CNC系统中任意空间曲线的插补方法

机械
% & & %年第% -卷第%期
・+ (・ ； ） （ ） $’ # ! ! !! # # !! 1 ! " # 那么， 的弓高误差" 如图 " *! 逼近曲线弧 " 2 ! ! 之间的关系可表达为 #所图。图#中， " *! 和" !
% （ ） " *!$ %# % ,! " " # % !’ ! 若对任意.$ ［ ， ］ ， 要求插补器输出由式 （ ） 给 & # %
［ ］ + 定 。 + （!） （!） （!） ／ （!） （ ） $ $ " + , + " " + " ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ % （ ） （ （ ） ， （ ） ， （ ） ） ／ （ ） （ ） %! $ +! +! + ! " +! , +!"
・ ・ ・ ・ ・ ・
图# 弓高与步长的关系
& 方向上： " " 7 0测微螺距的加工误差、 8 0分厘卡 的读数误差、 " " 0 %第二维上 / 方向上的误差、 0 +第三
优点就是保证插补点始终在曲线上， 无累积误差， 只 有弓高误差。
% 最大插补步长和弓高误差的关系
由以上恒速实时插补算法推导可知， 插补点始 终在曲线上， 无累积误差， 因此弓高误差就是插补误 差。弓高误差 " 受给定精度指标# 的限制， 即必须 有"!#。实 际 加 工 的 弓 高 误 差 取 决 于 插 补 步 长 曲 线 的 曲 率 $ 和 挠 率%。$ 和% 由 下 式 决 " *!、
+ 6 % 精度分析 由上述误差分析可得三维精密移动工作台的总 体误差为：
参考文献：
［ ］ 陈林才， 张鄂6精密仪器设计 ［@］ 机械工业出版社6 # 6北京： # # 6 ［ ］ 薛实福， 李庆 祥 6 精 密 仪器 设 计 ［ @］ 清华 大 学 出版 社A % 6 北京： # 6 ［ ］ 费业 泰 6 误 差 理 论 与 数 据 处 理 ［ @］ 机 械 工 业 出 版 社A + 6 北 京： # ) 6
在! 无论是加工曲面还是 " ! 机床上加工工件， 曲线， 加工过程的刀具中心轨迹都是曲线。传统的 加工 ! " ! 机床只能加工简单的直线和圆弧等曲线， 复杂的曲线需要在编程时转化为简单曲线。随着计 算机技术的发展和机械零件复杂程度的提高， 人们 希望 ! " ! 机床能直接加工任意空间曲线。尤其样 条曲线的发展， 这种希望更迫切。本文运用数据采 样时间分割法和泰勒 （( ） 公式， 推导出一种任意 ) + , * 参数曲线的等速进给实时插补算法。下面给 以 介 绍。
（ ） P
I # I I % # -Q -Q $ % -Q $ I " I " I " 式 （ ） 要求 I ／ ， 由式 （P ） 知， 即要求该曲 # + I "#% ［ ］ 线为正则曲线 $ 。 把式 （ ） 代入式 （ ） ， 得 P # I " * （ ） Q 2 0 ／ 2 2） ’ 2 I , （# -U U % $ 花少量的时间计算式 （ ） 的解是实时插补算法 0 的关键， 然而 * 为常值条件下的解" （ 一般难以求 ,） 得。因此， 不妨在,Q( （( ） 级数 & 处使用泰勒 ) + , *
+ 结束语
本文介绍的插补方法能用在所有以参数方程表 示的任意空间曲线上。这些曲线可包括 5 样条等所 有样条曲线。计算的复杂程度也不是很高， 一般带 浮点运算器的计算机都能胜任， 加之插补时间固定， 能很好地满足控制系统对实时性的要求。 维上 / 方向上的误差。
% % % % " " "" "" " # 6 < * # . 9 1 . :$; # 7 0 8 0 0 %" 0 +$; & 同理求得 % % % % " " "" "" " # 6 < * # . 7 8 = %" 9 1 . =$; # = +$; & > > % % % % " " " " " # 6 < * # . 9 1 . ?$; # 7 ?" 8 ?" ? %" ? +$; & 则三维精密移动工作台仪器总的测量误差为
展开进行迭代求解。由泰勒公式得 （ ）! ! ! ! " #$ !""! !" " % ! ・ ・ （ ， ， ， …， ， ） （ ） #$ & # % $’ # ! ! ( !! !! ! " # ! 最后一项为一阶泰勒公式的余项， 是二阶无穷 小量， 对于插补计算可忽略不计。把式 （)） 代入式 （ ） ， 忽略二阶余项， 得 (
［ ］ 2 。 " " T。以下是恒速进给实时插补算法的具体推导 沿参数曲线的进给速度可按下式计算
’ 参数曲线插补算法
一般曲线! 可写成如下形式 （ ｛ （ ， （ ， （ ｝ "! ［ ］（ ） ! "） Q # "） "） % "） " " ’ $ %， ; 通常 %"""’ 。大多数 ! ／ " 是任意参数， / R ! /S 系统采用参数形式表示曲线。用参数描述曲 线有以下优点： 参数形式曲线对于控制多轴机床是 非常方便的， 每个轴可以单独驱动。另外， 曲线上点 的计算容易， 这是由于 #， % 都是参数" 的显函 $， 数， 故易于计算。 （& ! " ! 系统插补器的任务是在恒插补周期 & ［ ］ ’ 是常数， 一般为’ 内计算输出一次由下式 ! ’ % H > ） 确定的进给弦长 " （" ） 在 #， ’ % 轴上的坐标分量 $， T
收稿日期： 2 % % ’ 1 % P 1 % &
I + （I +） "） （"） （I * Q Q I , I " I , " * 或I Q ／ I , I +I " 其中+ 为曲线的自然参数即弧长， 有
／ I + ［ 2 （ ） 2） ’ 2 （ ］ Q（# -） U$ - 2U % I "
（ ） $ （ ） #
（ ） ｛（ T ）# （ ） ， （ T ）$ （" ） ， ! ’ " " T Q #" U ’ 1 T $" U ’ 1 T （" ）% （" ） ｝ % T U ’ 1 T ， ， ， …， （ ） (Q % ’ 2 )1 ’ 2 因 ! " ! 系统要求每次插补所形成的弦长相等， 此， 实时插补方法不能建立在参数的等分上， 而应建 立在每个进给步长 " ’T 相等的基础上。现在的关 键是 推 导 出 弦 长 相 等 的 条 件 下 相 应 的 参 数 增 量
% " *. $ %# % , #’ # / 0 式 （ ） 中 , 由下式决定 # +
（ ） # +
／ ［. （ （ ） ， （ （ ） ］ ［ ，3］ ,$ Hale Waihona Puke Baidu . / 0 / 0 $ !） . / 0 % !） !$ ! &! （ ） # 4 式 （ ） 可由参数方程 （ ） 代入式 （ ） 、 式 （ ） ， 分 # 4 # # & 别用普通函数求最大值的方法得到。
・
% ／
・ ・
定的 " 时， 弓高误差对所 *! 逼近对应的曲线弧 " + ! 有# 均有" ， 则最大插补步长可表示为 # !!
% " （ ） ! ! * ／ ! " #$ !" % % %） # % （& ’ " ’ " ) ’ ( 由式 （ ） 确定 ! ， 代入式 （# ） 和式 （% ） 即可计 * ! " # 算出插补步长 " （!） ） 的各个坐标分量。该算法的 * !
!" # $ % & ’ $ & ( ) ) * % ) ) *, ) ’ & . / ) . $ & ) , # ’ & . # $/ ) & 0 # * ( # ,+ ’ , ’ / ) & , . " " 1 , 2 ) + +
3 4 / " 56 7 8
（6 ， ， ） 9 : ) ;< ; 8 = 7 > 8 ? @ A B 8 7 ; B 7C ( 7 B : ; , + , 6 9 : ) ;# $ % % & ’ ! : 8 ; ) *, D * ： ! 3 % & , ’ " & E , > , + = 8 ; ? : 7 ) B ? 9 ) + , G + 7 H, @H ) B : 8 ; 8 ; ) ; I , H J > ) B 7 J B 9 = 7 8 ; ? : 7H ) B : 8 ; 7 J ? , , + ! " !> > ? 7 H， ) B , ; > ? ) ; ? @ 7 7 I > 7 7 I D F D F * F ， 7 ) + ? 8 H 7 8 ; ? 7 , + ) ? 8 , ;H 7 ? : , I 8 > 7 > 7 ; ? 7 IK : 8 B : 8 > G ) > 7 I , ; ? : 7 @ , H 9 + )( ) + , L / ; 7 9 + ) B 9 = 7 ? : ) ? B ) ;G 7 7 M 7 > > 7 IG ? : 7 = 7 B ? , F F * * D F * ) ) H 7 ? 7 7 9 ) ? 8 , ;H ) 7 8 ; ? 7 , + ) ? 7 IG ? : 8 >H 7 ? : , I L O F N *G F * ： ； ； ) ) H 7 ? 8 B B 9 = 7 4 ) # , * % B , ; > ? ) ; ? @ 7 7 I > 7 7 I 8 ; ? 7 , + ) ? 8 , ;H 7 ? : , I F F F 56
（ ） # & 由于插补步长很短， 因此可将被插补弧看作半 径为 ,! 的圆弧。这样的简化是偏安全的。,! 由下 式决定 ／ （ （! ） ， （ 1 ） ）（ ， ， ， …， ,!$ # . / 0 $ #， -$ & # % 1 %! （上接第+ +页）
图+ 分厘卡读数原理图
% % % " " " " % 6 ( + . 9 1 . :" 9 1 . = 9 1 .$; # 9 1 . ?$; &
・$ 0・
机械
2 % % 2年第2 V卷第2期
! " ! 系统中任意空间曲线的插补方法
张 伟
（武汉科技大学 机械自动化学院， 湖北 武汉 # ） $ % % & ’ 摘要： 针对机床 ! 提出了一种基于泰勒 （( ） 公式的用于实时控制的等速进给 " ! 系统中加工任意空间曲线的实际问题， ) + , * 插补算法。凡是可以表示为矢量参数方程的正则曲线， 都可以用该方法进行插补。 关键词： 参数曲线； 等速进给； 插补算法 中图分类号： ( . $ % ’ 文献标识码： / 文章编号： （ ） ’ % % 0 1 % $ ’ 0 2 % % 2 % 2 1 % % $ 0 1 % 2