第七讲三角函数第一课时

22
y x y sin ,cos ,tan ,(r x y )
r
r
x
α=
α=
α=
=+第七讲三角函数
第一课时
考点知识:
1.与角α终边相同的角Z k ∈+=,k 2παβ
2.三角函数的概念
设是任意角α，它的终边与单位圆交于点P （x,y ） ，1OP ==r
则x
y x y
=
==αααtan cos sin
3.同角三角函数的关系
①平方关系：22sin cos 1θθ+=， ②商关系tan θ=
θ
θcos sin
4.诱导公式）（Z k ∈
（一）sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα （二）sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= t anα （三）sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα （四）sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα
（五）sin （2
π-α）= cosα cos （2
π-α）= sinα （六）sin （
2
π+α）= cosα cos （
2
π+α）= -sinα
4.三角恒等变换
（一）和角与差角公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB tan(A+B) =
tanAtanB -1tanB tanA +
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A-B) =
tanAtanB
1tanB tanA +-
（二）二倍角公式 Sin2A=2SinA•CosA
Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A tan2A =
A
tan 12tanA 2
-
（三）辅助角公式：()22
sin cos sin a x b x a b x ϕ+=+⋅+，
2
2
2
2
sin cos b a a b
a b
ϕϕ=
=
++其中，
5.三角函数的图象和性质：
y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx
定义域： 值域：
周期：
奇偶性： 单调增区间 ：
单调减区间 ： 对称轴： 对称中心：
6.函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与性质（图象变换） ①振幅：A 周期：ω
π
2=T 频率：T
f 1=
相位：ϕω+x 初相：ϕ
②最值（值域） ③单调性 ④对称轴 ⑤对称中心 ⑥图象的变换
1.应用诱导公式求值，对特殊角的三角函数值要熟悉
（1）sin 120 = （2） 600cos = （3）0sin 390= ． （4） 075sin =
2.应用三角函数的定义解题2
2
y x y sin ,cos ,tan ,(r x y )r
r
x α=
α=
α=
=
+
(1)已知角α的终边经过点P （-5, 12）,则cos α= sin α= tan α= (2)已知角α的终边过点ααcos sin 2),3,4(+-则P 的值为
3.应用同角三角函数的基本关系式 ：
1.平方关系：22sin cos 1θθ+=，
2.商关系tan θ=θ
θcos sin
（1）已知5
4sin =α，且α是第二象限的角，则cosx= tanx=
（2）已知31cos -=α，且α是第三象限的角，则sinx= tanx=
（3）若2tan -=α，π0<<α，则αcos 的值为________．
（4）已知tan α＝－3，且cos α＞0，则sin α＝___________．
（5）已知5
3sin ),,2
(=
∈αππα，则)4
tan(πα+
等于___________．
4.弦化切
（1）已知tan α＝－3求α
αααcos sin cos 2sin 3-+及 x x x x 22sin cos sin cos 2-+的值
（2）已知2
cos sin cos sin =-+x
x x x ，
则①tanx = ②x x cos sin =
（3）.__________
tan ,3
4cos sin 2cos 2sin ==-+αα
ααα则若
（4）若2
1tan =
α，则
α
αααcos 3sin 2cos sin -+= ；
5.扇形面积、弧长、半径、圆心角的关系
（1）在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为 弧度。

（2）已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积是 （3）.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为 弧度, 扇形面积是 6．已知α是第二象限角，那么
2
α是第 象限角
7、（1）若cos 0α>，sin 0α<，则角α的终边在第 象限 （2）若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边在第 象限 8．若α是三角形的内角，且2
1sin =α，则α等于=
9.函数y=
x
x x
x x
x tan tan cos cos sin sin ++的值域为
10.若α是第四象限的角，则πα-是（ ）
A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 11.设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限．
三角恒等变换
练习（应用和差角公式、倍角公式）
(1)sin 50cos 20cos 50sin 20- = ； （2） 25sin 20sin 65sin 70sin -= （3）160sin 12-=
（4）0000sin 347cos148sin 32cos13+=____________ （5）000
tan 20tan 403tan 20.tan 40++
=_______________
（6） 50tan 70tan 350tan 70tan -+= . (7)
sin(180)cos(720)cos(180)sin(180)
αααα︒+︒+--︒-︒-=
1.已知)2,2
3(
,13
12cos ππαα∈=
，则=+
)4
(cos π
α
2.=
+-)12
sin
12
(cos
)12
sin
12
(cos
π
π
π
π
3.=-+0
tan50
tan70
3tan50
tan70
4.
=⋅
+α
αα
αcos2cos cos212sin22
5.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1
6. 已知1sin cos 3
αα+=
，则sin 2α=
7. 已知2cos 23
θ=，则44
cos sin θθ-的值为
8．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+=
=
,5
1cos ,10
1cos ．
9．在A B C ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = ． 10.若5
42
cos
,532sin
-
==α
α
，则角α的终边在 象限．
11.△ABC 中，已知的值求sinC ,13
5B c ,5
3cosA =
=os ．
12..已知α为第二象限角，且 sinα=
,4
15求
1
2cos 2sin )
4sin(+++
ααπ
α的值．
13.已知7
1tan ,2
1)tan(),,0(),4
,0(-
==
-∈∈ββαπβπα且，求)2tan(βα-的值
14.化简下列函数
①2()cos 3sin cos 1f x x x x =++ ②2sin cos 3cos 3y x x x =+-
③x x y cos 3sin += ④2
13cos sin cos 122
y x x x =
+
+。