第七讲三角函数第一课时

22

y x y sin ,cos ,tan ,(r x y )

r

r

x

α=

α=

α=

=+第七讲三角函数

第一课时

考点知识:

1.与角α终边相同的角Z k ∈+=,k 2παβ

2.三角函数的概念

设是任意角α，它的终边与单位圆交于点P （x,y ） ，1OP ==r

则x

y x y

=

==αααtan cos sin

3.同角三角函数的关系

①平方关系：22sin cos 1θθ+=， ②商关系tan θ=

θ

θcos sin

4.诱导公式）（Z k ∈

（一）sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα （二）sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= t anα （三）sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα （四）sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα

（五）sin （2

π-α）= cosα cos （2

π-α）= sinα （六）sin （

2

π+α）= cosα cos （

2

π+α）= -sinα

4.三角恒等变换

（一）和角与差角公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB tan(A+B) =

tanAtanB -1tanB tanA +

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A-B) =

tanAtanB

1tanB tanA +-

（二）二倍角公式 Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A tan2A =

A

tan 12tanA 2

-

（三）辅助角公式：()22

sin cos sin a x b x a b x ϕ+=+⋅+，

2

2

2

2

sin cos b a a b

a b

ϕϕ=

=

++其中，

5.三角函数的图象和性质：

y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx

定义域： 值域：

周期：

奇偶性： 单调增区间 ：

单调减区间 ： 对称轴： 对称中心：

6.函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与性质（图象变换） ①振幅：A 周期：ω

π

2=T 频率：T

f 1=

相位：ϕω+x 初相：ϕ

②最值（值域） ③单调性 ④对称轴 ⑤对称中心 ⑥图象的变换

1.应用诱导公式求值，对特殊角的三角函数值要熟悉

（1）sin 120 = （2） 600cos = （3）0sin 390= ． （4） 075sin =

2.应用三角函数的定义解题2

2

y x y sin ,cos ,tan ,(r x y )r

r

x α=

α=

α=

=

+

(1)已知角α的终边经过点P （-5, 12）,则cos α= sin α= tan α= (2)已知角α的终边过点ααcos sin 2),3,4(+-则P 的值为

3.应用同角三角函数的基本关系式 ：

1.平方关系：22sin cos 1θθ+=，

2.商关系tan θ=θ

θcos sin

（1）已知5

4sin =α，且α是第二象限的角，则cosx= tanx=

（2）已知31cos -=α，且α是第三象限的角，则sinx= tanx=

（3）若2tan -=α，π0<<α，则αcos 的值为________．

（4）已知tan α＝－3，且cos α＞0，则sin α＝___________．

（5）已知5

3sin ),,2

(=

∈αππα，则)4

tan(πα+

等于___________．

4.弦化切

（1）已知tan α＝－3求α

αααcos sin cos 2sin 3-+及 x x x x 22sin cos sin cos 2-+的值

（2）已知2

cos sin cos sin =-+x

x x x ，

则①tanx = ②x x cos sin =

（3）.__________

tan ,3

4cos sin 2cos 2sin ==-+αα

ααα则若

（4）若2

1tan =

α，则

α

αααcos 3sin 2cos sin -+= ；

5.扇形面积、弧长、半径、圆心角的关系

（1）在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为 弧度。

（2）已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积是 （3）.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为 弧度, 扇形面积是 6．已知α是第二象限角，那么

2

α是第 象限角

7、（1）若cos 0α>，sin 0α<，则角α的终边在第 象限 （2）若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边在第 象限 8．若α是三角形的内角，且2

1sin =α，则α等于=

9.函数y=

x

x x

x x

x tan tan cos cos sin sin ++的值域为

10.若α是第四象限的角，则πα-是（ ）

A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 11.设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限．