广东省高考数学二模试卷(文科)
最新广东省广州市高考数学二模(文科)试题及参考答案
图1俯视图侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2018．4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合A B I的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 A．y =．21y x =-+ C ．cos y x = D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为A．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为ABC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,L 按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 . 12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表.H FED C BA(1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.表2 18．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点. （1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭……………9分212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，M OH F E D CB A142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD I 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分 在△AME中，AE =1AM =，EM =OHFE D C B A ∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =I ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==. 在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====, ∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =I ,∴FH ⊥平面ABCD .∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =I ,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分（3）解：连接EC ，在Rt△BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分∴2d =，11p a =-，0q =.∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅L 14414n nn -=-⋅-()13413nn -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L .……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-L ， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=L ()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦L . ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x -≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分 当0x >时, 12x x +≥=当且仅当12x x=,即2x =时,取等号.……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分① 当0∆≤,即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对(0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分 ② 当0∆>,即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a >……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分 21．（本小题满分14分） （1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -， 则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………6分精品文档精品文档 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =， ∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+，解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+.…………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=u u r u u r ，……………10分 得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，……………11分 整理得，()224410x x y k +-++=.……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。
广东省东莞市高考数学二模试卷(文科)
高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2+x-2＜0}，集合B={x|x＞0}，则集合A∪B=（）A. {x|0＜x＜1}B. {x|x＜1}C. {x|-2＜x＜1}D. {x|x＞-2}2.若复数z满足（z+i）（2+i）=5（其中i为虚数单位），则等于（）A. 2+2iB. -2+2iC. 2-2iD. -2-2i3.已知等差数列，，，则（）B. C. D.A.4.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A. 12B. 10C. 8D. 65.已知，若θ是第二象限角，则tanθ的值为（）A. B. -2 C. D.6.曲线y=在点（-1，-1）处的切线方程为（）A. y=2x+1B. y=2x-1C. y=-2x-3D. y=-2x-27.若函数图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数f（x）的一个单调递增区间为（）A. B. C. D.8.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为（）A. πB. 2πC. 4πD. 16π9.欧拉三角形定义如下：△ABC的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为△ABC的欧拉三角形．已知△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，△ABC的垂心为P，AP，BP，CP的中点分别为A1，B1，C1，△A1B1C1即为△ABC的欧拉三角形，往△ABC中随机投掷一点，该点落在△PA1B1或△PB1C1内的概率为A. B. C. D.10.已知点F为双曲线的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，直线FA与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B，若，则此双曲线的离心率是（）11.已知点P在直线x+2y-1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，M（x0，y0）为PQ的中点，且y0＞2x0+1，则的取值范围是（）A. B.C. D.12.已知函数f（x）=2-|x|，若关于x的不等式f（x）≥x2-x-m的解集中仅有1个整数，则实数m的取值范围为（）A. [-3，-1）B. （-3，-1）C. [-2，-1）D. （-2，-1）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量与单位向量的夹角为120°，则=______．14.若f（x）=是奇函数，则a=______．15.已知数列{a n}满足，（n∈N*），则{a n}中最大项的值为______．16.已知矩形ABCD，AB=1，，E为AD中点，现分别沿BE、CE将三角形ABE和三角形DCE翻折，使A、D点重合，记为P点，则几何体P-BCE外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求∠B的值；（2）若a=4，，求△ABC的面积．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，∠BAA1=60°，E是棱BB1的中点，CA=CB=1，F在线段AC上，且AF=2FC．（1）证明：CB1∥面A1EF；（2）若CA⊥CB，面CAB⊥面ABB1A1，求三棱锥C-AA1B的体积19.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这（）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？附：，n=a+b+c+d20.已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．21.已知函数f（x）=ln x-ax2（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤-x恒成立，求a的取值范围．22.已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线l1、l2相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α．（1）求曲线C和射线l2的极坐标方程；（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时α的值．23.已知函数f（x）=|x-2|-a|x+2|．（1）当a=2时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）当x∈[-2，2]时，不等式f（x）≥x恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x2+x-2＜0}={x|-2＜x＜1}，集合B={x|x＞0}，∴集合A∪B={x|x＞-2}．故选：D．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由（z+i）（2+i）=5，得z=，∴．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查等差数列的首项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.利用等差数列通项公式列出方程组，能求出首项a1．【解答】解：∵等差数列{a n}，a4=9，a8=-a9，∴，解得a1=15，d=-2．故选：D．4.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+的截距最大，由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系式、三角函数值的符号，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用sin2θ+cos2θ=1，解得a．由于θ为第二象限角，可得sinθ＞0，cosθ＜0．即可得出a 的值，进而可求tanθ的值．【解答】解：∵，∴sin2θ+cos2θ=（）2+（-）2=1，解得：a=0，或a=4，∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0．∴a=4，∴可得：sinθ=，cosθ=-，tanθ=-．故选：C．6.【答案】A【解析】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=-1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（-1，-1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选：A．欲求在点（-1，-1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=-1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵函数图象的两个相邻最高点的距离为=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x-）．令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，故选：B．由题意利用正弦函数的图象求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的一个单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象，正弦函数的单调性，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由三视图知，该几何体为圆锥，设底面圆的半径为r，母线的长为l，则2r+2l=8，即r+l=4；∴圆锥的侧面积为S侧=，（当且仅当r=l时“=”成立）；∴圆锥的侧面积最大值为4π．故选：C．由三视图知该几何体为圆锥，设出底面圆半径和母线长，利用基本不等式求出圆锥侧面积的最大值．本题考查了圆锥的三视图与应用问题，是基础题．9.【答案】D【解析】解：以BC的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则直线AC：,故直线BP：,令x=0，得，故=,则所求概率为.故选：D．根据题意，设事件A={该点落在△PA1B1或△PB1C1内}，求出事件A的测度，除以△ABC 的面积即可．本题考查了几何概型的概率求法、相似三角形的相关知识、三角形的垂心、新定义欧拉三角形等．本题属于中档题．10.【答案】B【解析】【分析】由题意可得点F（c，0），设点A（0，b），求得直线AF的方程，联立渐近线方程，本题考查了双曲线的方程和性质应用问题，主要是渐近线方程和离心率的求法，是基础题．【解答】解：由题意可得F（c，0），设A（0，b），直线FA的方程为bx+cy-bc=0，与双曲线的渐近线y=-x的交点B横坐标为x=，由=（-1），可得-c=（-1）•，化为c=a，即离心率为e==．故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线斜率的求解，利用直线平行的性质求出中点的轨迹方程以及利用直线的斜率公式是解决本题的关键，是中档题．根据直线平行的性质求出M的轨迹方程，结合直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：如图∵直线x+2y-1=0与x+2y+3=0平行，∴点M的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为x+2y+1=0，即点M（x0，y0）满足x0+2y0+1=0，而满足不等式y0＞2x0+1的点在直线y=2x+1的上方，易得直线x+2y+1=0与y=2x+1的交点为（-，-），故问题转化为求射线（不含端点）x0+2y0+1=0（x0＜-）上的点M（x0，y0）与坐标原点（0，0）连线斜率．即的取值范围，故=k OM∈（-，）．故选：C．12.【答案】C【解析】解：令g（x）=x2-x-m-f（x），则g（x）=x2-x+|x|-2-m，∴g（x）=，则g（x）在（-∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，关于x的不等式f（x）≥x2-x-m的解集中仅有1个整数，即g（x）≤0解集中仅有1个整数，∴只需g（x）满足，，即，∴-2≤m＜-1，∴实数m的取值范围为：[-2，-1）．故选：C．构造函数g（x）=x2-x-m-f（x），将问题转化为g（x）≤0解集中仅有1个整数，然后结合函数g（x）的单调性，找出限制条件即可求解．本题主要考查绝对值不等式的解法，构造函数，将问题转化为函数问题是解题的关键，属中档题．13.【答案】【解析】解：据题意得，；∴；∴．故答案为：．根据条件即可得出，，从而可求出，进而可求出．考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式．14.【答案】【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），∴=∴=，解得a=．故答案为：．根据奇函数的性质，f（x）=-f（-x），代入f（x）的解析式，得到等式即可求出a的值．本题主要考查奇函数的性质，根据f（x）=-f（-x）列出式子即可解得a的值，本题比较基础．15.【答案】【解析】解：由（n∈N*），得（n∈N*），∴数列{}是以为首项，以8为公差的等差数列，则，则．当n=1时，；当n=2时，a2=-1；当n=3时，．当n≥3时，数列为递减数列，则数列{a n}中最大项的值为．故答案为：．把已知数列递推式两边取倒数，可得数列{}是以为首项，以8为公差的等差数列，求其通项公式，得到数列{a n}的通项公式，利用函数的单调性求解．本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，考查数列的函数特性，是中档题．16.【答案】【解析】解：∵AB=1，AD=，E为AD中点，可得∠EPB=∠EPC=90°，∠CPB=90°，∴P-BCE为长方体一角，其外接球直径为长方体的体对角线长，∴2R==，∴R=，∴外接球表面积为4π×=，故答案为：．首先利用数量关系得到三线垂直，而后联想到长方体，外接球直径为长方体体对角线长，得解．此题考查了长方体外接球问题，难度不大．17.【答案】解：（1）法一：由正弦定理得，∵，∴sin B cos C+cos B sin C-sin C=sin B cos C，∴；∵sin C≠0，∴，∵B∈（0，π），∴.（1）法二：由余弦定理得化简得，∴.∵B∈（0，π），∴.（2）由，得sin C==,在△ABC中，∵，由正弦定理，得，.【解析】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．（1）结合正弦定理或余弦定理进行化简，进行求解即可．（2）求出sin C的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算即可．18.【答案】证明：（1）连结AB1交A1E于点G，连结FG，∵△AGA1～△B1GE，∴==2，∵=2，∴=，∴FG∥CB1，∵CB1⊄面A1EF，FG⊂面A1EF，∴CB1∥面A1EF．解：（2）作O点为AB中点，连结CO，∵CA⊥CB，且CA=CB=1，∴CO⊥面ABA1，∴CO是三棱锥C-AA1B的高，由题意得CO=，AB=，∴三棱锥C-AA1B的体积：=×=．【解析】（1）连结AB1交A1E于点G，连结FG，推导出FG∥CB1，由此能证明CB1∥面A1EF．（2）作O点为AB中点，连结CO，推导出CO⊥面ABA1，CO是三棱锥C-AA1B的高，由此能求出三棱锥C-AA1B的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为=（7.5×18+12.5×12+17.5×9+22.5×9+27.5×6+32.5×4+37.5×2）≈16.92；所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92．（ 2）设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[5，10），[l0，15），[15，20）的女性客户中抽取1人（设为a），2人（设为A，B）4人，（设为c1，c2，c3，c4），从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA，aB，ac1，ac2，ac3，ac4，AB，Ac1，Ac2，Ac3，Ac4，Bc1，Bc2，Bc3，Bc4，c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共21种，其中事件A所包含的基本事件为：c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共6个，则事件A发生的概率P==．32×2则=≈16.667＞10.828．故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关．【解析】（1）根据平均数的公式进行计算即可．（2）利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可．（3）完成2×2列联表，计算K2的值，利用独立性检验的性质进行判断即可．本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，解得a=，又b2=a2-c2=4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2-12=0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0==-，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=-3，x2=0，所以y1=-1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P（-3，2）．到直线AB：y=x+2距离d=，所以△PAB的面积s=|AB|d=．【解析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2-c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=ln x-ax2的定义域为（0，+∞），f′（x）=-2ax=，当a≤0，则f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）为增函数；a＞0，令f′（x）=0，解得x=（负的舍去），所以，当x∈（0，），f′（x）＞0，f（x）在（0，）为增函数；当x∈（，+∞），f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）为减函数．综上所述，当a≤0，f（x）在（0，+∞）为增函数；当a＞0，f（x）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数；（Ⅱ）f（x）≤-x，即ln x-ax2≤-x，得ln x-ax2+x≤0，得a≥，设g（x）=，g′（x）=（x＞0），g′（x）=0，得x=1．令h（x）=1-2ln x-x，则h（x）=1-2ln x-x在（0，+∞）为减函数，h（1）=0，所以x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）递增；x∈（1，+∞），g′（x）＜0，g（x）递减，所以g（x）min=g（1）=1，所以a≥1．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，讨论a≤0，a＞0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由题意可得ln x-ax2≤-x，得a≥，设g（x）=，求得g（x）的导数，g（x）的单调性，可得最小值，即可得到所求范围．本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值和最值，考查分类讨论思想方法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）由曲线C的参数方程为（t为参数），得普通方程为4y=x2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得4ρsinθ=ρ2cos2θ，所以曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ，[或]过极点的两射线l1、l2相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α．故l2的极坐标方程为；（2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即，∴=∵，∴0＜α＜π，∴=≥16，△OAB的面积的最小值为16，此时sin2α=1，得，∴．【解析】（1）由曲线C的参数方程，得普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；由过极点的两射线l1、l2相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α，能求出l2的极坐标方程．（2）依题意设，则，同理，由此能法语出△OAB的面积的最小值及此时α的值．本题考查曲线、射线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：（1）①当x＜-2时，f（x）=-x+2+2（x+2）=x+6＜2，解得x＜-4，②当-2≤x＜2时，f（x）=-x+2-2（x+2）=-3x-2＜2，解得，③当x≥2时，f（x）=x-2-2（x+2）=-x-6＜2解得x≥2，上知，不等式f（x）＜2的解集为；（2）解法1：当x∈[-2，2]时，f（x）=2-x-a（x+2）=-（a+1）x+2（1-a），设g（x）=f（x）-x，则∀x∈[-2，2]，g（x）=-（a+2）x+2（1-a）≥0恒成立，只需，即，解得，解法2：当x∈[-2，2]时，f（x）=2-x-a（x+2），f（x）≥x，即2-x-a（x+2）≥x，即（x+2）a≤2（1-x），①当x=-2时，上式恒成立，a∈R；②当x∈（-2，2]时，得=恒成立，只需，综上知，．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）解法1：设g（x）=f（x）-x，结合一次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；解法2：分离参数a，得到恒成立，求出a的范围即可．。
2020届广东省汕头市高考数学二模试卷(文科)(有答案)(精品)
广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|2x2﹣7x＜0}，B={0，1，2，3，4}，则（∁R A）∩B=（）A．{0} B．{1，2，3}C．{0，4}D．{4}2．已知复数z满足（z+1）（1+i）=1﹣i，则|z|=（）A．1 B．C．D．3．在等差数列{a n}中，a10=a14﹣6，则数列{a n}的前11项和等于（）A．132 B．66 C．﹣132 D．﹣664．已知向量=（1，2），=（2，﹣3），若m+与3﹣共线，则实数m=（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．5．某个零件的三视图如图所示，网格上小正方形的边长为1，则该零件的体积等于（）A．24﹣2πB．24﹣4πC．32﹣2πD．48﹣4π6．运行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．5 B．8 C．10 D．137．将函数f（x）=sinπx的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，若f（x）和g（x）在区间[﹣1，2]上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是（）A． B．C．D．8．设f（x）=，则不等式f（x）＜3的解集为（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪[2，） D．（﹣∞，1）∪[2，3）9．对于函数f（x）=x2+，下列结论正确的是（）A．∃a∈R，函数f（x）是奇函数B．∀a∈R，函数f（x）是偶函数C．∀a＞0，函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数D．∃a＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数10．正四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱的长度均为，则该四棱锥的外接球体积为（）A．B．πC．πD．9π11．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点P在双曲线的左支上，且PF与圆x2+y2=a2相切于点M，若M恰为线段PF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．212．已知函数f（x）=x+xlnx，若m∈Z，且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，则m的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，包括2个红球，2个黑球和1个白球，从中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为．14．已知实数x，y满足，则2x﹣2y+1的最大值是．15．已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，点A（0，m），m＞0，射线FA于抛物线C交于点M，与其准线交于点N，若|MN|=2|FM|，则m=．16．在数列{a n}中，a1=1，（n2+n）（a n﹣a n）=2，则a20=．+1三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB=2c﹣b．（1）求cos（A+）的值；（2）若∠B=，D在BC边上，且满足BD=2DC，AD=，求△ABC的面积．18．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且有PB=PD，PA⊥BD．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若∠DAB=∠PDB=60°，AD=2，PA=3，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．某公司要推出一种新产品，分6个相等时长的时段进行试销，并对卖出的产品进行跟踪以及收集顾客的评价情况（包括产品评价和服务评价），在试销阶段共卖出了480件，通过对所卖出产品的评价情况和销量情况进行统计，一方面发现对该产品的好评率为，对服务的好评率为0.75，对产品和服务两项都没有好评有30件，另一方面发现销量和单价有一定的线性相关关系，具体数据如下表：时段123456单价x（元）800820840860880900销量y（件）908483807568（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为产品好评和服务好评有关？（2）该产品的成本是500元/件，预计在今后的销售中，销量和单价仍然服从这样的线性相关关系（=x+），该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为多少元？（参考公式：线性回归方程=x+中系数计算公式分别为：=，=﹣；K2=，其中n=a+b+c+d）（参考数据P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 x i y i=406600，x i2=4342000）20．过椭圆C： +y2=1的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，M是AB的中点．（1）求动点M的轨迹方程；（2）过点M且与直线l垂直的直线和坐标轴分别交于D，E两点，记△MDF的面积为S1，△ODE的面积为S2，试问：是否存在直线l，使得S1=S2？请说明理由．21．已知函数f（x）=，g（x）=﹣x2+ax+1．（1）求函数y=f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最大值；（2）若函数y=x2f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，过M（2，1）的直线l的倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sin （θ+）．（1）求直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点，求+的值．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）＜2；（2）求直线y=3与f（x）的图象所围成的封闭图形的面积．广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|2x2﹣7x＜0}，B={0，1，2，3，4}，则（∁R A）∩B=（）A．{0} B．{1，2，3}C．{0，4}D．{4}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式得集合A，根据补集与交集的定义写出（∁R A）∩B即可．【解答】解：集合A={x|2x2﹣7x＜0}={x|0＜x＜}，∴∁R A={x|x≤0或x≥}，又B={0，1，2，3，4}，∴（∁R A）∩B={0，4}．故选：C．2．已知复数z满足（z+1）（1+i）=1﹣i，则|z|=（）A．1 B．C．D．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（z+1）（1+i）=1﹣i，∴z+1====﹣i．∴z=﹣1﹣i．则|z|=．故选：B．3．在等差数列{a n}中，a10=a14﹣6，则数列{a n}的前11项和等于（）A．132 B．66 C．﹣132 D．﹣66【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】设其公差为d，利用等差数列的通项公式得到a6=﹣12．所以由等差数列的性质求得其前n项和即可．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，设其公差为d，∵a10=a14﹣6，∴a1+9d=（a1+13d）﹣6，∴a1+5d=﹣12，即a6=﹣12．∴数列{a n}的前11项和S11=a1+a2+…+a11=（a1+a11）+（a2+a10）+…+（a5+a7）+a6=11a6=﹣132．故选：C．4．已知向量=（1，2），=（2，﹣3），若m+与3﹣共线，则实数m=（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出m的值．【解答】解：向量=（1，2），=（2，﹣3），则m+=（m+2，2m﹣3），3﹣=（1，9）；又m+与3﹣共线，∴9（m+2）﹣（2m﹣3）=0，解得m=﹣3．故选：A．5．某个零件的三视图如图所示，网格上小正方形的边长为1，则该零件的体积等于（）A．24﹣2πB．24﹣4πC．32﹣2πD．48﹣4π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，直观图是以主视图为底面，侧棱垂直于底面的棱柱，求出底面面积，即可求出体积．【解答】解：由题意，直观图是以主视图为底面，侧棱垂直于底面的棱柱，底面面积为=6﹣，体积为（6﹣）×4=24﹣2π，故选：A．6．运行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．5 B．8 C．10 D．13【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a b i c 是否继续循环循环前1 1 1 2/第一圈 1 2 2 3 是第二圈2 3 3 5 是第三圈3 5 4 8 是第4圈 5 8 5 13 是第5圈8 13 6 否此时c值为13故选D．7．将函数f（x）=sinπx的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，若f（x）和g（x）在区间[﹣1，2]上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，结合正弦函数的图象特征求得A、B、C的坐标，可得△ABC的面积．【解答】解：将函数f（x）=sinπx的图象向左平移个单位后得到函数g（x）=sinπ（x+）=cosπx的图象，若f（x）和g（x）在区间[﹣1，2]上的图象交于A，B，C三点，由sinπx=cosπx，可得x=﹣，或x=，或x=，结合图象可得A （﹣，﹣）、B（，）、C（，﹣），则△ABC的面积S=AC•=，故选：C．8．设f（x）=，则不等式f（x）＜3的解集为（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪[2，） D．（﹣∞，1）∪[2，3）【考点】5B：分段函数的应用；7J：指、对数不等式的解法．【分析】利用分段函数，列出不等式转化求解即可．【解答】解：f（x）=，则不等式f（x）＜3，可得：，解得x ＜1．，解得2≤x＜3．则不等式f（x）＜3的解集为：（﹣∞，1）∪[2，3）．故选：D．9．对于函数f（x）=x2+，下列结论正确的是（）A．∃a∈R，函数f（x）是奇函数B．∀a∈R，函数f（x）是偶函数C．∀a＞0，函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数D．∃a＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A根据奇函数的定义判断即可；C求出函数的导函数，根据导函数判断函数的单调性；CD由定义判断可得．【解答】解：A中∃a∈R，函数f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣x2=x2，显然不成立；B中∀a∈R，函数f（x）是偶函数，只有当a=0时，函数才是偶函数，故不成立；C中∀a＞0，函数f（x）的导函数f'（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上小于零，故函数是减函数，正确；D中∃a＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数显然错误．故选：C．10．正四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱的长度均为，则该四棱锥的外接球体积为（）A．B．πC．πD．9π【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出棱锥的高，设外接球半径为r，根据勾股定理列方程求出r，代入体积公式计算即可．【解答】解：设正四棱锥的底面中心为O，则OA=AC=，∴正四棱锥的高PO==2，设外接球的半径为r，则（2﹣r）2+2=r2，解得r=．∴外接球的体积V==．故选C．11．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点P在双曲线的左支上，且PF与圆x2+y2=a2相切于点M，若M恰为线段PF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的左焦点为F1，由题意，△PF1F，为直角三角形，PF1⊥PF，|PF1|=2a，|PF|=|PF1|+2a=4a，利用勾股定理，建立方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，△PF1F为直角三角形，PF1⊥PF，|PF1|=2a，|PF|=|PF1|+2a=4a，在直角△PF1F中，4c2=4a2+16a2，∴c2=5a2，∴e=．故选：B．12．已知函数f（x）=x+xlnx，若m∈Z，且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，则m的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】问题转化为对任意x∈（1，+∞），m＜恒成立，求正整数m的值．设函数h （x）=，求其导函数，得到其导函数的零点x0位于（3，4）内，且知此零点为函数h （x）的最小值点，经求解知h（x0）=x0，从而得到m＜x0，则正整数m的最大值可求．．【解答】解：因为f（x）=x+xlnx，所以f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意x＞1恒成立，即m（x﹣1）＜x+xlnx，因为x＞1，也就是m＜对任意x＞1恒成立．令h（x）=，则h′（x）=，令φ（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则φ′（x）=1﹣=＞0，所以函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．因为φ（3）=1﹣ln3＜0，φ（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程φ（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，当x＞x0时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，所以函数h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以[h（x）]min=h（x0）==x0∈（3，4）．所以m＜[g（x）]min=x0，因为x0∈（3，4），故整数m的最大值是3，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，包括2个红球，2个黑球和1个白球，从中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】用列举法确定基本事件的情况，由对立事件的概率计算公式得答案．【解答】解：令红球、黑球、白球分别为A，B，a，b，1，则从袋中任取两球有（A，B），（A，a），（A，b），（A，1），（B，a），（B，b），（B，1），（a，b），（a，1），（b，1），共10种取法，其中两球颜色相同有（a，b），（A，B），共2种取法，由古典概型及对立事件的概率公式可得P=1﹣=．故答案为：．14．已知实数x，y满足，则2x﹣2y+1的最大值是7．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：实数x，y满足，作图：易知可行域为一个三角形，平移2x﹣2y+1=0，可知，当直线经过A时，目标函数取得最大值，由解得A（2，﹣1）时，2x﹣2y+1取得最大值7，故答案为：7．15．已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，点A（0，m），m＞0，射线FA于抛物线C交于点M，与其准线交于点N，若|MN|=2|FM|，则m=3．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据|PN|=2|PM|，tan∠NMP=﹣k=2，从而得到AF的斜率k=2．然后求解m的值．【解答】解：∵抛物线C：y2=6x的焦点为F（，0），点A坐标为（0，m），∴抛物线的准线方程为l：x=﹣，射线FA于抛物线C交于点M，与其准线交于点N，若|MN|=2|FM|，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠NMP=﹣k=2，直线AF的斜率为k=﹣2，∴直线AF为：y=﹣2（x﹣），x=0时，m=3．故答案为：3．16．在数列{a n}中，a1=1，（n2+n）（a n﹣a n）=2，则a20=．+1【考点】8H：数列递推式．【分析】把给出的数列递推式变形裂项，累加后结合a1=1求得a20的值．﹣a n）=2，得【解答】解：由a1=1，（n2+n）（a n+1a n﹣a n=an+1﹣an=．+1则a2﹣a1=2（1﹣）．a3﹣a2=2（﹣）．a4﹣a3=2（﹣）．…a20﹣a19=．累加得：a20﹣a1=2（1﹣）．∵a1=1，a20=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB=2c﹣b．（1）求cos（A+）的值；（2）若∠B=，D在BC边上，且满足BD=2DC，AD=，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据余弦定理表示出cosB，再根据条件可得b2+c2﹣a2=bc，再利用夹角公式级即可求出A，再根据两角和的余弦公式即可求出，（2）不妨设DC=x，则BD=2x，BC=AC=3x，根据正弦定理和余弦定理即可求出x，再根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：（1）∵cosB=，2acosB=2c﹣b．∴2a•=2c﹣b，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∵0＜A＜π，∴A=，∴cos（A+）=cos（+）=cos cos﹣sin sin=；（2）∵B=，A=，∴AC=BC，C=∵BD=2DC，不妨设DC=x，则BD=2x，BC=AC=3x，由正弦定理可得=，∴AB==3x，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB，即13=27x2+4x2﹣2×3x•2x•，解得x=1，∴BC=AC=3，=×AC•BC•sinC=×3×3×=．∴S△ABC18．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且有PB=PD，PA⊥BD．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若∠DAB=∠PDB=60°，AD=2，PA=3，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L Y：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，由PB=PD，得PO⊥BD，再由已知PA⊥BD，利用线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，进一步得到平面PAC⊥平面ABCD；（2）由（1）知，平面PAC⊥平面ABCD，可得BD⊥AC，则AB=AD，得到四边形ABCD为菱形，然后求解三角形可得△POA的面积，再由等积法求得四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵底面ABCD是平行四边形，∴O为BD的中点，又PB=PD，∴PO⊥BD，又PA⊥BD，PA∩PO=P，∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD；（2）解：由（1）知，平面PAC⊥平面ABCD，∴BD⊥AC，又O为BD的中点，∴AB=AD，则四边形ABCD为菱形，∵∠BAD=60°，∴△BAD为正三角形，又AD=2，∴AO=，OD=1，在Rt△POD中，由∠PDO=60°，OD=1，可得PD=2，PO=，在△POA中，∵AO=PO=，PA=3，可得PA边上的高为．∴，则．∴=．19．某公司要推出一种新产品，分6个相等时长的时段进行试销，并对卖出的产品进行跟踪以及收集顾客的评价情况（包括产品评价和服务评价），在试销阶段共卖出了480件，通过对所卖出产品的评价情况和销量情况进行统计，一方面发现对该产品的好评率为，对服务的好评率为0.75，对产品和服务两项都没有好评有30件，另一方面发现销量和单价有一定的线性相关关系，具体数据如下表：时段123456单价x（元）800820840860880900销量y（件）908483807568（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为产品好评和服务好评有关？（2）该产品的成本是500元/件，预计在今后的销售中，销量和单价仍然服从这样的线性相关关系（=x+），该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为多少元？（参考公式：线性回归方程=x+中系数计算公式分别为：=，=﹣；K2=，其中n=a+b+c+d）（参考数据P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 x i y i=406600，x i2=4342000）【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）由题意得到2×2列联表，由公式求出K2的观测值，对比参考表格得结论；（2）求出样本的中心点坐标，计算回归方程的系数，写出利润函数w的解析式，求出w（x）的最大值以及对应的x的值．【解答】解：（1）由题意可得产品好评和服务好评的2×2列联表：服务好评服务没有好评总计产品好评31090400产品没有好评503080总计360120480其中a=310，b=90，c=50，d=30，ad﹣bc=4800，代入K2=，得K2=8＜10.828．∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为产品好评和服务好评有关；（2）设获得的利润为w元，根据计算可得，=850，，代入入回归方程得，．∴w=（﹣0.2x+250）（x﹣500）=﹣0.2x2+350x﹣125000．此函数图象为开口向下，对称轴方程为x=875，∴当x=875时，w（x）取的最大值．即该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为875元．20．过椭圆C： +y2=1的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，M是AB的中点．（1）求动点M的轨迹方程；（2）过点M且与直线l垂直的直线和坐标轴分别交于D，E两点，记△MDF的面积为S1，△ODE的面积为S2，试问：是否存在直线l，使得S1=S2？请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；J3：轨迹方程．【分析】（1）：（1）设点M的坐标为（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2）；过椭圆C： +y2=1的右焦点F（1，0）的直线l为：y=k（x﹣1），联立，消去y，整理得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣1=0，求出动点M 坐标，消去参数k，即可得到动点M的轨迹方程（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，确定G，D的坐标，利用△GFD∽△OED，即可得到结论．【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2）；过椭圆C： +y2=1的右焦点F（1，0）的直线l为：y=k（x﹣1），联立，消去y，整理得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣1=0，∴x1+x2=，x1x2=；∴x==，y=k（x﹣1）=k（﹣1）=；∴=﹣2k，∴k=；代入l的方程，得y=（x﹣1），化简得x2﹣x+2y2=0，整理得4+8y2=1；∴点M的轨迹方程为4+8y2=1；（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．由（1）可得M（，），设D（m，0）因为DG⊥AB，所以k MD×k=﹣1，即⇒m=∵Rt△MDF和Rt△ODE相似，∴若S1=S2，则|MD|=|OD|=（⇒4k4+3k2+1=0因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1=S221．已知函数f（x）=，g（x）=﹣x2+ax+1．（1）求函数y=f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最大值；（2）若函数y=x2f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；（2）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．【解答】解：（1）由f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，故f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，①t+2＜e即0＜t＜e﹣2时，f（x）在[t，t+2]递增，f（x）max=f（t+2）=，②t≥e时，f（x）在[t，t+2]递减，f（x）max=f（t）=，③t＜e＜t+2时，f（x）在[t，e）递增，在（e，t+2]递减，f（x）max=f（e）=；故f（x）max=；（2）y=x2f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣1，则y′=lnx﹣2x+1+a，题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点∵G′（x）=﹣+2，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，画出函数图象的大致形状（如右图），由图象知，当a＞G（x）min=G（））=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大，而当x2﹣x1=ln2时，由题意，两式相减可得ln =2（x1﹣x2）=﹣ln2，∴x2=2x1代入上述方程可得x2=2x1=ln2，此时a=ln2﹣ln（）﹣1，所以，实数a的取值范围为a＞ln2﹣ln（）﹣1．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，过M（2，1）的直线l的倾斜角为，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．（1）求直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点，求+的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用过M（2，1）的直线l的倾斜角为，求直线l的参数方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的转化方法，求出圆C的直角坐标方程；（2）参数方程为（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y=0，整理可得，利用参数的几何意义，求+的值．【解答】解：（1）过M（2，1）的直线l的倾斜角为，参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+），即ρ=4sinθ+4cosθ∴两边都乘以ρ，得ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ可得圆C的普通方程是：x2+y2=4x+4y，即x2+y2﹣4x﹣4y=0；（2）参数方程为（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y=0，整理可得设A、B对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=，t1t2=﹣7，∴+===，五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）＜2；（2）求直线y=3与f（x）的图象所围成的封闭图形的面积．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，解不等式f（x）＜2；（2）直线y=3与f（x）的图象所围成的封闭图形是三角形，即可求出其面积．【解答】解：（1）①当x＜﹣1时，不等式f（x）＜2即1﹣2x+（﹣x﹣1）＜2，∴x＞﹣，∴此时无解；②当﹣1≤x＜时，不等式即1﹣2x+x+1＜2，∴x＞0，∴此时0＜x＜；③当x≥时，原不等式即2x﹣1+x+1＜2，∴x＜，∴此时≤x＜，∴综上，原不等式解集为{x|0＜x＜}；（2）直线y=3与f（x）的图象所围成的封闭图形，如图所示y=3时，x=﹣1或1，x=，y=，∴所求面积为=．。
广东省汕头市普通高考高三第二次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}2|02,|20A x x B x x x =<<=+-≥,则A B =（ ）A ．(]0,1B ．[)1,2C ．[)2,2-D ．()0,22. 已知复数31iz ai-=+是纯虚数, 则实数a =（ ） A ．3 B ．3- C ．13 D ．13-3. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和, 且满足等式：75689S a a a a =+++,则74a a 的值为（ ）A ．74B ．47C ．78D ．874. 学校开展运动会活动, 甲、乙两位同学各自报名参加跳高、跳远游泳三个项目中的一个, 每位同学参加每个项目的可能性相同, 则这两位同学参加同一个体育项目的概率为（ ）A ．14B ．13C ．38D ．235. 已知一个锥体挖去一个柱体后的三视图如图所示, 网络上小正方形的边长为1,则该几何体的体积等于（ ）A ．11πB ．5πC ．113π D ．3π6. 已知圆22:3C x y +=,从点()2,0A -观察点()2,B a ,要使视线不被圆C 挡住, 则a 的取值范围是（ ）A ．4,3,3⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎝⎭B ．()(),22,-∞-+∞C ．((),23,-∞-+∞ D ．((),43,-∞-+∞7. 如图, 在菱形ABCD 中,2,60,AB DAB E =∠=︒ 为CD 的中点, 则AD AE 的值是（ ）A B ．5 C ．6 8. 执行如图所示的程序框图, 则输出 S =（ ）A ．26B ．57C ．120D ．2479. 已知实数x 、y 满足条件2450x x y ax y ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩,若目标函数3z x y =+的最小值为5,则a 的值为（ ）A ．17-B ．2-C ．2D ．17 10. 已知直线6x π=是函数()()sin 22f x x πφφ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴, 则()y f x =取得最小值时x 的集合为（ ）A ．7|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ B ．11|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．2|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ D ．5|,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭11. 函数()f x 的部分图象如图所示, 则 ()f x 的解析式可以是（ ） A ．()sin f x x x =+ B ．()cos xf x x =C ．()cos f x x x =D ．()322f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12. 已知函数()(),12,1xe xf x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根,则实数m 的取值范围为（ ）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 函数()x xf x e=在点()()1,1f 处的切线方程是 ． 14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 首项11a =,且满足：121n n S a +=-,则345a a a ++= ．15. 三棱锥D A B C -内接于表面积为100π的球面,DA ⊥平面ABC ,且8,,30AB AC BC BAC =⊥∠=︒,则三棱锥D ABC -的体积为 ．16. 已知抛物线2:4C x y =的焦点为,F C 的准线和对称轴交于点M ,点P 是C 上一点, 且满足PM PF λ=,当λ取最大值时, 点P 恰好在以M 、F 为焦点的双曲线上, 则双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足()cos 2cos c c B a b C ==-.（1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆的周长的最大值.18. （本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中,PA 垂直于直角梯形ABCD 所在的平面,,,BA AD BC AD M ⊥ 是PC 的中点, 且2,4AB AD AP BC ====.（1）求证：DM 平面PAB ；（2）求三棱锥M PBD-的体积.19. （本小题满分12分）菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒, 以防止害虫的危害, 但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药, 食用时需要用清水清洗干净, 下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后, 蔬菜上残留的农药y(单位：微克) 的统计表：（1）在下面的坐标系中, 描出散点图, 并判断变量x与y的相关性；（2）若用解析式2=+作为蔬菜农药残量y与用水量x的回归方程, 令y cx d2ω=,计算平均值ω与y,完成以下表格(填在答题卡中) ,求出y与x的回归方程.x(,c d精确到0.1)()图()III 对于某种残留在蔬菜上的农药, 当它的残留量低于20微克时对人体无害, 为了放心食用该蔬菜, 请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1, 2.236≈)(附：线性回归方程y bx a =+中系数计算公式分别为；1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑, a y bx =- )20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2,左、右顶点分别为A 、B ,P 是椭圆上一点, 记直线PA 、PB 的斜率为1k 、2k ,且有1212k k =-.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于M 、N 两点, 以M 、N 为直径的圆经过原点, 且线段MN 的垂直平分线在y 轴上的截距为15-,求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()()()()22ln ,1212f x a x x g x x x λλ=-=-+--. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）2a =时, 有()()f x g x ≤恒成立, 求整数λ最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 割线PAB 交圆O 于A 、B 两点,PO 交圆O 于C ,D 在AB 上,且满足2CD DA DB =.（1）求证：OD CD ⊥； （2）若226,,123PA AB PO ===,求PC 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系, 若倾斜角为3π的直线l 经过点()4,2P .（1）写出直线l 的参数方程, 并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ,求PA PB +的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()1f x x x a =++-.（1）当2a =时, 解不等式：()5f x ≥；（2）若存在0x R ∈,使得()02f x <,试求实数a 的取值范围.试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.BAABD 5-10.DBBBC 11-12.CD 二、填空题（每小题5分，共20分）13.1y e= 14.117 15.1 三、解答题（2）()()22222222cos ,3,33,12,c a b ab C a b ab a b ab a b a b a b =+-+-=+=++≥∴+≤+≤(当且仅当a b ==),ABC ∴∆ 的周长最大值为18. 解：（1）取PB 中点N ,连接,AN MN ,则11//,//,//22MN BC AD BC MN AD ∴,∴四边形MNAD 是平行四边形, ,DM AN DM ∴⊄ 平面PAB .AN ⊂平面PAB ,DM ∴平面PAB .（2）1184,233BCD P BCD BCD S BC CD V S PA ∆-∆====,1118422233M PBD C PBD P BCD V V V ---===⨯=. 19. 解：（1）负相关： （2）11,38y ω==()()()()()()()222221020716215914287512.008 2.03741072514c -⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-===-≈--+-+-++, 38 2.01160.0d y c ω=-=+⨯-,22.060.0 2.060.0y x ω∴=-+=-+.(3) 当20y <时,22.060.020, 4.5x x -+<>≈,∴为了放心食用该蔬菜, 估计需要用4.5千克的清水清洗一千克蔬菜.20. 解：（1）依题意,()(),0,,0A a B a -, 设(),P x y ,则有 22221x y a b +=,即()22222b y a x a=-,()2222222122222221,2b a x y y y b b a k k x a x a x a x a a a -====-∴=+-+-,又2222222,,2,1c a b c a b ==+∴==,即椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()()1122,,,,M x y N x y M N 的中点为()00,Q x y ,联立2212y k xm x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得到()222124220k xk m x m +++-=,()22221621021k m m k ∆=-+>⇒<+ ①212121200022224222,,,121221212x x km m km m x x x x x y kx m k k k k +-+=-===-=+=++++ ② 因为以,M N为直径的圆经过顶点,0OM ON ∴=,()()121212120,0,x x y y x x kx m kx m +=+++=()()()()2222222121222122410,01212k m k m k x xkm x x mm kk+-++++=-+=++,化简得22223k m =+ ③将将②式代入得到222131k m +=-代入①式得,212m >.由于线段MN 的垂直平分线经过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,00112y x k +∴=-,将②代入得到 2122k m += ④ 联立③④得13m =-或1,21,1,2m m k >∴==,∴直线l 的方程为12y x =±+. 21. 解：（1）定义域为()()220,,'2a a x f x x x x-+∞=-=,0a ≤时,()()'0,f x f x < 在()0,+∞上单调递减；0a <时, 令()'0f x = ,得x =(舍去负的).0,2x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭上递增,在2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭递减. （2）2a =时,()()()2222ln 121222ln 22x x x x x x x x λλλ-≤-+--+≥++,22ln 220,2x x x x x λ++>∴≥+在()0,x ∈+∞上恒成立, 令()22ln 222x x g x x x++=+,则()()()()22212ln '2x x x g x xx +--=+.令()()()22ln ,'10,h x x x h x h x x=--=--<∴在()0,+∞递减, 且0x →时,()h x →+∞,x →+∞ 时, ()h x →-∞,因此()h x 在()0,+∞必存在唯一零点, 不妨设()00h x =,即002ln x x =-,当()00,x x ∈时,()()()0,'0,h x g x g x >> 单调递增；当()0x x ∈+∞时,()()()0,'0,h x g x g x << 单调递减；因此()()000max 022000002ln 222122x x x g x g x x x x x x +++====++, ()0011111ln 20,10,1,122422h h x x ⎛⎫=->=-<∴<<<< ⎪⎝⎭,即()()max 1,2g x ∈,依题意有2λ≥,即整数λ的最小值为2.22. 解：（1）延长CD 交圆O 于E ,由相交弦定理得CD DE DA DB =,由已知2CD DA DB =,故CD DE =,即D 是CE 的中点, 由垂径定理得,OD CD ⊥,（2）延长PO 交圆O 于F ,由切割线定理得PC PF PA PB =,设圆O 的半径为r ,则()()221212663r r ⎛⎫-+=⨯+ ⎪⎝⎭,得8,4r PC =∴=. 23. 解：（1）直线l 的参数方程为4cos 3(2sin 3x t t y ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数), 即142(22x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数),曲线222:4cos ,4C x y x ρρθ=+=,∴曲线C 的直角坐标方程化为()2224x y -+=.（2）将14222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C 的方程得(2240t t +++=,,A B 两点在P 的同侧,12122PA PB t t t t ∴+=+=+=+24. 解：（1）125x x ++-≥,1x ≤-时,125,2,12x x x --+≥≤--<< 时,125,x x x +-+≥∈Φ,2x ≥时,125,3x x x ++-≥≥,{}|23x x x x ∴∈≤-≥或.（2）()()111,12x x a x x a a a ++-≥+--=+∴+<,∴a 的取值范围为31a -<<.。
2023年广东省高考数学二模试卷【答案版】
2023年广东省高考数学二模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2﹣3≤0}，B ＝{1，2}，则A ∪B ＝（ ） A ．{0，1，2} B ．{﹣2，﹣1，0，1，2}C ．{﹣2，﹣1，1，2}D ．{﹣1，0，1，2}2．已知复数z =√3cosθ+isinθ（θ∈R ，i 为虚数单位），则|z |的最大值为（ ） A ．2 B ．√2C ．3D ．√33．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率是e =2√33，则该双曲线两渐近线夹角是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．已知某摩天轮的半径为60m ，其中心到地面的距离为70m ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（ ） A ．5分钟B ．10分钟C ．15分钟D ．20分钟5．现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为√32的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ） A ．278π B ．338π C ．458π D ．558π6．已知△ABC 是单位圆O 的内接三角形，若A =π4，则AB →⋅OC →的最大值为（ ）A ．12B ．√22C ．1D ．√2 7．已知(1−x)2023=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2023x 2023，则1a 1+1a 2+⋯+1a 2023=（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．202310128．已知a =ln22，b =ln3e ，c =√22，则（参考数据：ln 2≈0.7）（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞a D ．c ＞a ＞b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线m 与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（ ）A ．平面α内存在直线l 与直线m 平行B ．平面α内存在直线l 与直线m 垂直C ．存在平面γ与直线m 和平面α都平行D ．存在过直线m 的平面β与平面α垂直 10．已知f （x ）＝cos x +tan x ，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）是周期函数 B ．f （x ）有对称轴C ．f （x ）有对称中心D ．f （x ）在(0，π2)上单调递增11．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（ ） A ．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分 B ．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分 C ．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分D ．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于2412．在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD 四边所在直线与x 轴的交点分别为（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD 四边所在直线中过点（0，0）的直线的斜率可以是（ ） A ．2B ．32C ．34D ．14三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2+a 3＝12，a 4＝16，则{a n }的公比q ＝ ．14．已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°，除面ABCD 外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，Ⅰ，则由点E ，F ，G ，H ，Ⅰ构成的四棱锥的体积为 ． 15．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．若直线MN 在y 轴上的截距为3，且MN →=4F 1N →，则椭圆C 的标准方程为 ．16．已知f （x ）＝x 3﹣x ，若过点P （m ，n ）恰能作两条直线与曲线y ＝f （x ）相切，且这两条切线关于直线x ＝m 对称，则m 的一个可能值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且满足a 1＝1，a 1，a 2，a 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n ={2a n ，n 为奇数1a n a n+2，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3bcos A+B2=csinB ． （1）求C ；（2）若a +b =√3c ，求sin A ．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥CD ．（1）证明：AB ⊥PB ；（2）若平面P AB ⊥平面PCD ，且PA =√102，求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．20．（12分）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为γ（α+β+γ＝1，α＞0，β＞0，γ≥0），且每局比赛结果相互独立．（1）若α=25，β=25，γ=15，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； （2）当γ＝0时，（i ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X 的分布列及期望E （X ）的最大值； （ii ）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程． 21．（12分）已知f （x ）＝x 2﹣ae x ，存在x 1＜x 2＜x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝0． （1）求实数a 的取值范围；（2）试探究x 1+x 2+x 3与3的大小关系，并证明你的结论．22．（12分）已知A ，B 是抛物线E ：y ＝x 2上不同的两点，点P 在x 轴下方，P A 与抛物线E 交于点C ，PB 与抛物线E 交于点D ，且满足|PA||PC|=|PB||PD|=λ，其中λ是常数，且λ≠1．（1）设AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：MN 垂直于x 轴；（2）若点P 为半圆x 2+y 2＝1（y ＜0）上的动点，且λ＝2，求四边形ABDC 面积的最大值．2023年广东省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2﹣3≤0}，B ＝{1，2}，则A ∪B ＝（ ） A ．{0，1，2} B ．{﹣2，﹣1，0，1，2}C ．{﹣2，﹣1，1，2}D ．{﹣1，0，1，2}解：由题，A ＝{x ∈Z |x 2﹣3≤0}＝{﹣1，0，1}，B ＝{1，2}，则A ∪B ＝{﹣1，0，1，2}． 故选：D ．2．已知复数z =√3cosθ+isinθ（θ∈R ，i 为虚数单位），则|z |的最大值为（ ） A ．2B ．√2C ．3D ．√3解：由题意得|z|=√(√3cosθ)2+sin 2θ=√3cos 2θ+(1−cos 2θ)=√2cos 2θ+1≤√3， 当cos θ＝±1时，等号成立，故|z|max =√3． 故选：D ． 3．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率是e =2√33，则该双曲线两渐近线夹角是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：∵e =c a =2√33，∴c =2√33 a ，故在一、三象限内的渐近线的斜率为 b a =√c 2−a 2a =√33，故此渐近线的倾斜角等于30°，故该双曲线两渐近线夹角是2×30°＝60°，即π3，故选：C ．4．已知某摩天轮的半径为60m ，其中心到地面的距离为70m ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（ ） A ．5分钟B ．10分钟C ．15分钟D ．20分钟解：设游客到地面的距离为ym ，y 关于转动时间t （单位：分钟）的函数关系式为y ＝A sin （ωt +φ）+b （A ＞0，ω＞0），则A ＝60，﹣A +b ＝10，可得b ＝70，函数y ＝A sin （ωt +φ）+b 的最小正周期为T ＝30，则ω=2πT =π15，当t ＝0时，游客位于最低点，可取φ=−π2， 所以，y =60sin(πt15−π2)+70=−60cos πt15+70， 由y ＞100，即−60cosπt 15+70＞100，可得cos πt 15＜−12， 所以，2kπ+2π3＜πt15＜2kπ+4π3(n ∈N)，解得30k +10＜t ＜30k +20（k ∈N ）， 因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟． 故选：B ．5．现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为√32的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ） A ．278π B ．338π C ．458π D ．558π解：作轴截面图如下：△ABC 为圆锥的轴截面，点O 为与侧面相切球的球心，点E ，F 为切点，由已知，可得AB ＝BC ＝AC ＝4，OE =OF =√32，∠ACB ＝60°，OE ⊥AC ，在△OEC 中，OE =√32，∠OEC ＝90°，∠OCE ＝30°， 所以OC =√3，CE =32，又AC ＝4， 所以AE =52，所以圆台的母线长为52，因为CE ＝CF ，∠ECF ＝60°，所以△ECF 为等边三角形，所以EF =32， 所以圆台的侧面积S =π(34+2)52=55π8． 故选：D ．6．已知△ABC 是单位圆O 的内接三角形，若A =π4，则AB →⋅OC →的最大值为（ ）A ．12B ．√22C ．1D ．√2解：由圆O 是△ABC 的外接圆，且A =π4，故OB ⊥OC ，所以AB →=OB →−OA →，则AB →⋅OC →=OB →⋅OC →−OA →⋅OC →，所以AB →⋅OC →=−OA →⋅OC →=−cos〈OA →，OC →〉，故OA →，OC →反向共线时AB →⋅OC →最大， 所以(AB →⋅OC →)max =1． 故选：C ．7．已知(1−x)2023=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2023x 2023，则1a 1+1a 2+⋯+1a 2023=（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．20231012解：（1﹣x ）2023的展开式通项为T k+1=C 2023k ⋅(−x)k =C 2023k⋅(−1)k x k (k =0，1，2，⋯，2023)， 所以，a k =C 2023k ⋅(−1)k (k =0，1，2，⋯，2023)，所以，a k +a 2023−k =C 2023k ⋅(−1)k +C 20232023−k ⋅(−1)2023−k =(−1)k [C 2023k ⋅+C 20232023−k ⋅(−1)2023−2k ]=0，所以，1a k+1a 2023−k =0(k =0，1，2，⋯，2023)，且a 0＝1，所以，1a 1+1a 2+⋯+1a 2023=(1a 0+1a 1+1a 2+⋯+1a 2023)−1a 0=(1a 0+1a 2023)+(1a 1+1a 2022)+⋯+(1a 1011+1a 1012)−1a 0=−1．故选：A ．8．已知a =ln22，b =ln3e ，c =√22，则（参考数据：ln 2≈0.7）（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b解：因为a =ln22=2ln24=ln44，c =lne √2√2，考虑构造函数f(x)=lnxx ，则f ′(x)=1−lnxx 2， 当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（0，e ）上单调递增， 当x ＞e 时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（e ，+∞）上单调递减， 因为ln 2≈0.7，所以e 0.7≈2，即e √2＞(e 0.7)2≈4，所以3＜4＜e √2， 所以ln33＞ln44√2√2，即ln33＞ln22＞√2√2，又ln33＜ln3e，所以ln3e＞ln22√2√2，故b ＞a ＞c ．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线m 与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（ ） A ．平面α内存在直线l 与直线m 平行B ．平面α内存在直线l 与直线m 垂直C ．存在平面γ与直线m 和平面α都平行D ．存在过直线m 的平面β与平面α垂直 解：对于A 选项，若直线m 与α相交，且平面α内存在直线l 与直线m 平行， 由于m ⊄α，则m ∥α，这与直线m 与α相交矛盾，假设不成立，A 错； 对于B 选项，若m ⊂α，则在平面α内必存在l 与直线m 垂直， 若直线m 与α相交，设m ∩α＝A ，如下图所示：若m ⊥α，且l ⊂α，则m ⊥l ，若m 与α斜交，过直线m 上一点P （异于点A ）作PB ⊥α，垂足点为B ， 过点A 作直线l ，使得l ⊥AB ，因为PB ⊥α，l ⊂α，则l ⊥PB ， 又因为l ⊥AB ，PB ∩AB ＝B ，PB 、AB ⊂平面P AB ，所以l ⊥平面P AB ， 因为m ⊂平面P AB ，所以l ⊥m ，综上所述，平面α内存在直线l 与直线m 垂直，B 正确；对于C 选项，因为直线m 与平面α有公共点，所以m ⊂α或m 与α相交，故C 错误； 对于D 选项，若m ⊥α，则过直线m 的任意一个平面都与平面α垂直， 若m 与α不垂直，设直线m 与平面的一个公共点为点A ，则过点A 有且只有一条直线l 与平面α垂直，记直线l 、m 所确定的平面为γ，则α⊥β，D 正确． 故选：BD ．10．已知f （x ）＝cos x +tan x ，则下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）有对称轴C ．f （x ）有对称中心D ．f （x ）在(0，π2)上单调递增解：因为f （x ）＝cos x +tan x ，所以f （x +2π）＝cos （x +2π）+tan （x +2π）＝cos x +tan x ＝f （x ）， 所以函数f （x ）为周期函数，A 正确；因为f(π2+x)=cos(π2+x)+tan(π2+x)=−sinx −cosxsinx ， f(π2−x)=cos(π2−x)+tan(π2−x)=sinx +cosxsinx ， 所以f(π2+x)=−f(π2−x)，所以函数f(π2+x)为奇函数，故函数f(π2+x)的图象关于原点对称， 所以(π2，0)为函数f （x ）的中心对称，C 正确；当x ∈(0，π2)时，f ′(x)=−sinx +cos 2x+sin 2x cos 2x =−sinx +1cos 2x，因为0＜cos x ＜1，0＜sin x ＜1，所以f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在(0，π2)上单调递增，D 正确； 由f ′(x)=−sinx +1cos 2x可得， 当−π2＜x ＜π2时，由0＜cos x ≤1，﹣1＜sin x ＜1，可得f ′（x ）＞0， 函数f （x ）在(−π2，π2)上单调递增， 当π2＜x ＜3π2，由﹣1≤cos x ＜0，﹣1＜sin x ＜1，可得f ′（x ）＞0，函数f （x ）在(π2，3π2)上单调递增， 又f （0）＝1，f （π）＝﹣1， 作出函数f （x ）在(−π2，π2)∪(π2，3π2)的大致图象可得：结合函数f （x ）是一个周期为2π的函数可得函数f （x ）没有对称轴，B 错误． 故选：ACD ．11．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（ ） A ．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分 B ．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分 C ．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分D ．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24解：对于A ，设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5， 则x 1≤x 2≤x 3≤x 4≤x 5，x 3＝26，且24至少出现2次， 故x 1＝x 2＝24，故A 正确；对于B ，设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为y 1，y 2，y 3，y 4，y 5， 则y 1≤y 2≤y 3≤y 4≤y 5，y 3＝29，取y 1＝20，y 2＝23，y 4＝29，y 5＝29，可得其满足条件，但有2场得分低于24，故B 错误； 对于C ，设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为z 1，z 2，z 3，z 4，z 5， 由已知15[(z 1−26)2+(z 2−26)2+(z 3−26)2+(z 4−26)2+(z 5−26)2]=9.6，所以(z 1−26)2+(z 2−26)2+(z 3−26)2+(z 4−26)2+(z 5−26)2=48， 若z 4≥32，则z 5≥32，所以(z 1−26)2+(z 2−26)2+(z 3−26)2+(z 4−26)2+(z 5−26)2＞72，矛盾， 所以z 5＝32，(z 1−26)2+(z 2−26)2+(z 3−26)2+(z 4−26)2=12， 因为z 1，z 2，z 3，z 4，z 5的平均数为26，所以z 1+z 2+z 3+z 4＝98，取z 1＝23，z 2＝25，z 3＝25，z 4＝25，满足要求，但有一场得分低于2（4分），故C 错误； 对于D ，因为5×60%＝3，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为z 3+z 42，若z 3+z 42≤24，则z 1+z 22≤24，故z 1+z 2+z 3+z 4＜98，矛盾，所以z 3+z 42＞24，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，故D 正确．故选：AD ．12．在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD 四边所在直线与x 轴的交点分别为（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD 四边所在直线中过点（0，0）的直线的斜率可以是（ ） A ．2B ．32C ．34D ．14解：因为选项斜率均为正值，不妨假设AB 所在的直线过点（0，0）， 设直线AB 的倾斜角为α∈(0，π2)，斜率为k ，①若CD 所在的直线过点（1，0），如图，可得BC ＝sin α，CD ＝2cos α， 因为BC ＝CD ，即sin α＝2cos α，则k ＝tan α＝2；②若CD 所在的直线过点（2，0），如图，可得BC ＝2sin α，CD ＝3cos α， 因为BC ＝CD ，即2sin α＝3cos α，则k =tanα=32；③若CD 所在的直线过点（4，0），如图，可得BC ＝4sin α，CD ＝cos α， 因为BC ＝CD ，即4sin α＝cos α，则k =tanα=14；综上所述：k 的可能值为2，32，14． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2+a 3＝12，a 4＝16，则{a n }的公比q ＝ 2 ． 解：由题意可得{a 2+a 3=a 2(1+q)=12a 4=a 2q 2=16，则a 2≠0，上述两个等式作商可得q 21+q=43，即3q 2﹣4q ﹣4＝0，因为q ＞1，解得q ＝2． 故答案为：2．14．已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°，除面ABCD 外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，Ⅰ，则由点E ，F ，G ，H ，Ⅰ构成的四棱锥的体积为 √33． 解：连接AC ，BD ，由题意可得AC ⊥BD ，AC =2√3，BD =2，分别过E ，F ，G ，H 作底面ABCD 的垂线，垂足分别为E 1，F 1，G 1，H 1， 可得E 1，F 1，G 1，H 1分别为AB ，BC ，CD ，AD 的中点， 连接E 1F 1，F 1G 1，G 1H 1，H 1E 1，可得E 1F 1⊥F 1G 1，E 1F 1=G 1H 1=12AC =√3，F 1G 1=H 1E 1=12BD =1， 由题意可得：EFGH ﹣E 1F 1G 1H 1为四棱柱， 则S EFGH =S E 1F 1G 1H 1=E 1F 1⋅F 1G 1=√3，四棱锥的高为直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高的一半，即为1， 所以四棱锥的体积V I−EFGH =13×1×√3=√33． 故答案为：√33．15．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．若直线MN 在y 轴上的截距为3，且MN →=4F 1N →，则椭圆C 的标准方程为x 281+y 254=1 ．解：由对称性不妨令点M 在第一象限，令直线MN 交y 轴于点A ，过N 作NB ⊥x 轴于B ，令F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），因为MF 2⊥x 轴，则OA ∥MF 2，而O 为F 1F 2的中点，又A 为MF 1中点，而|OA |＝3， 于是|MF 2|＝2|OA |＝6，由MN →=4F 1N →知，|NF 1||MF 1|=13，显然NB ∥MF 2，因此|NB|=13|MF 2|=2，|BF 1|=13|F 1F 2|=2c3，于是N(−5c3，−2)，又M （c ，6），则{25c 29a 2+4b 2=1c 2a 2+36b 2=1，解得b 2＝54，a 2＝3c 2， 而a 2＝b 2+c 2，则c 2＝27，a 2＝81， 所以椭圆C 的标准方程为x 281+y 254=1．故答案为：x 281+y 254=1．16．已知f （x ）＝x 3﹣x ，若过点P （m ，n ）恰能作两条直线与曲线y ＝f （x ）相切，且这两条切线关于直线x ＝m 对称，则m 的一个可能值为2√69（或−2√69或2√3015或−2√3015） ．解：设切点坐标为（t ，t 3﹣t ），因为f （x ）＝x 3﹣x ，则f '（x ）＝3x 2﹣1，切线斜率为f '（t ）＝3t 2﹣1， 所以，曲线y ＝f （x ）在x ＝t 处的切线方程为y ﹣（t 3﹣t ）＝（3t 2﹣1）（x ﹣t ）， 将点P 的坐标代入切线方程可得2t 3﹣3mt 2+m +n ＝0，设过点P 且与曲线y ＝f （x ）相切的切线的切点的横坐标分别为x 1、x 2，且x 1≠x 2，因为这两条切线关于直线x ＝m 对称，则f ′(x 1)+f′(x 2)=3x 12−1+3x 22−1=0， 所以x 12+x 22=23，易知x 1、x 2关于t 的方程2t 3﹣3mt 2+m +n ＝0的两个根，设该方程的第三个根为x 3， 则2t 3﹣3mt 2+m +n ＝2（t ﹣x 1）（t ﹣x 2）（t ﹣x 3），则2t 3−3mt 2+m +n =2t 3−2(x 1+x 2+x 3)t 2+2(x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3)t −2x 1x 2x 3，所以{ x 1+x 2+x 3=3m2x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=0x 1x 2x 3=−m+n2x 12+x 22=23， 因为过点P （m ，n ）恰能作两条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则关于t 的方程2t 3﹣3mt 2+m +n ＝0只有两个不等的实根，不妨设x 3＝x 1， 则{ 2x 1+x 2=3m22x 1x 2+x 12=0x 12x 2=−m+n 2x 12+x 22=23， 若x 1＝0，则{x 2=3m 2x 22=23，可得9m 24=23，解得m =±2√69；若2x 2+x 1＝0，则x 1＝﹣2x 2，所以，2x 1+x 2=−3x 2=3m 2，可得x 2=−m2，x 1＝m ， 所以x 12+x 22=5m 24=23，解得m =±2√3015．综上所述，m =±2√69或±2√3015． 故答案为：2√69（或−2√69或2√3015或−2√3015）． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且满足a 1＝1，a 1，a 2，a 4成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n ={2a n ，n 为奇数1a n an+2，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．解：（1）∵a 1，a 2，a 4成等比数列，∴a 22=a 1a 4，即（1+d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d ＝1，∵d ＞0，∴d ＝1， ∴a n ＝1+1×（n ﹣1）＝n ．（2）由（1）得b n ={2n ，n 为奇数，1n(n+2)，n 为偶数，∴b n ={2n ，n 为奇数，12(1n−1n+2)，n 为偶数， ∴T 2n ＝b 1+b 2+b 3+…+b 2n ﹣1+b 2n ＝（b 1+b 3+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）＝（21+23+...+22n ﹣1）+12[（12−14）+（14−16）+...+（12n −12n+2）]=21−22n−1⋅221−22+12(12−12n+2)=22n+13−14n+4−512， ∴数列{b n }的前2n 项的和T 2n =22n+13−14n+4−512．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3bcos A+B2=csinB ． （1）求C ；（2）若a +b =√3c ，求sin A ． 解：（1）由正弦定理b sinB=csinC，得√3sinBcos A+B2=sinCsinB ，因为B ∈（0，π），则sin B ≠0，所以√3cosA+B2=sinC ， 因为A +B +C ＝π，所以cos(A+B2)=cos(π2−C2)=sin C2， 所以√3sin C2=2sin C2cos C2，因为C ∈（0，π），则C2∈(0，π2)，可得sin C2≠0，所以cos C 2=√32， 则C2=π6，所以C =π3；（2）因为a +b =√3c ，由正弦定理asinA=b sinB=csinC，得sin A +sin B =√3sinC =32，因为A +B =π−π3=2π3， 所以sinA +sinB =sinA +sin(2π3−A)， =sinA +√32cosA +12sinA =32sinA +√32cosA =√3sin(A +π6)=32，即sin(A +π6)=√32，因为A ∈（0，π），则A +π6∈(π6，7π6)， 所以A +π6=π3或2π3，所以A =π6或π2，故sinA =12或1．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥CD ．（1）证明：AB ⊥PB ；（2）若平面P AB⊥平面PCD，且PA=√102，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．证明：（1）如图1，连接BD，因为四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝2，所以CD＝1，∠BCD＝60°，AB∥CD，所以BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcos∠BCD=1+4−2×1×2×12=3，所以BD=√3，所以BC2＝BD2+CD2，所以CD⊥BD，又因为CD⊥PD，BD∩PD＝D，BD，PD⊂平面PBD，所以CD⊥平面PBD，因为PB⊂平面PBD，所以CD⊥PB，因为AB∥CD，所以AB⊥PB；解：（2）如图2，设平面P AB和平面PCD的交线为直线l，因为CD∥AB，CD⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以CD∥平面P AB，因为CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面P AB＝l，所以CD∥l，因为CD⊥平面PBD，所以l⊥平面PBD，因为PB，PD⊂平面PBD，所以∠BPD是平面P AB与平面PCD的二面角，因为平面P AB⊥平面PCD，所以∠BPD＝90°，即BP⊥DP在Rt△ABP中，因为PA=√102，AB＝1，所以PB=√62，在Rt△BPD中，因为BD=√3，则PD=√62，所以△BPD为等腰直角三角形，由（1）得CD⊥平面PBD，如图3，以点D为坐标原点，DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(√3，−1，0)，B(√3，0，0)，C （0，1，0），P(√32，0，√32)，所以AC →=(−√3，2，0)，BC →=(−√3，1，0)，BP →=(−√32，0，√32)， 设平面PBC 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{n →⋅BC →=−√3x +y =0n →⋅BP →=−√32x +√32z =0， 取x ＝1，则y =√3，z =1，得n →=(1，√3，1)， 记直线AC 与平面PBC 所成角为θ， 则sinθ=|cos〈n →，AC →〉|=|n →⋅AC→|n →|⋅|AC →||=−√3+2√3+01+3+1×3+4=√10535，所以直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值为√10535．20．（12分）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为γ（α+β+γ＝1，α＞0，β＞0，γ≥0），且每局比赛结果相互独立．（1）若α=25，β=25，γ=15，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； （2）当γ＝0时，（i ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X 的分布列及期望E （X ）的最大值； （ii ）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程． 解：（1）用事件A ，B ，C 分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”， 则P(A)=α=25，P(B)=β=25，P(C)=γ=15， 记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N ，则事件N 包括事件ABAA ，BAAA ，ACCA ，CACA ，CCAA 共5种，所以P （N ）＝P （ABAA ）+P （BAAA ）+P （ACCA ）+P （CACA ）+P （CCAA ） ＝2P （B ）P （A ）P （A ）P （A ）+3P （C ）P （C ）P （A ）P （A ）=2×(25)4+3×(15)2×(25)2=44625； （2）（i ）因为γ＝0，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即α+β＝1， 由题意得X 的所有可能取值为2，4，5，则 P （X ＝2）＝α2+β2，P （X ＝4）＝（αβ+βα）α2+（αβ+βα）β2＝2αβ（α2+β2）， P （X ＝5）＝（αβ+βα）•（αβ+βα）•1＝4α2β2． 所以X 的分布列为：所以X 的期望E （X ）＝2（α2+β2）+8αβ（α2+β2）+20α2β2 ＝2（1﹣2αβ）+8αβ（1﹣2αβ）+20α2β2＝4α2β2+4αβ+2，因为α+β=1≥2√αβ，所以αβ≤14，当且仅当α=β=12时，等号成立， 所以αβ∈(0，14]，所以E(X)=4α2β2+4αβ+2=(2αβ+1)2+1≤(2×14+1)2+1=134， 故E （X ）的最大值为134；（ii ）记“甲学员赢得比赛”为事件M ，则P(M)=α21−2αβ=α2α2+β2． 由（1）得前两局比赛结果可能有AA ，BB ，AB ，BA ，其中事件AA 表示“甲学员赢得比赛”， 事件BB 表示“乙学员赢得比赛”，事件AB ，BA 表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同， 所以 P （M ）＝P （AA ）•1+P （BB ）•0+P （AB ）•P （M ）+P （BA ）•P （M ） ＝P （A ）P （A ）+P （A ）P （B ）P （M ）+P （B ）P （A ）P （M ） ＝α2+αβP （M ）+βαP （M ） ＝α2+2αβP （M ）所以（1﹣2αβ）P （M ）＝α2，即P(M)=α21−2αβ， 因为α+β＝1，所以P(M)=α2(α+β)2−2αβ=α2α2+2αβ+β2−2αβ=α2α2+β2．21．（12分）已知f （x ）＝x 2﹣ae x ，存在x 1＜x 2＜x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝0． （1）求实数a 的取值范围；（2）试探究x 1+x 2+x 3与3的大小关系，并证明你的结论．解：（1）由题意得f （x ）＝x 2﹣ae x 有三个零点， 所以方程x 2﹣ae x＝0有三个根，即方程x 2e x=a 有三个根，所以函数y ＝a 与函数y =x 2e x的图象有三个公共点， 设g(x)=x 2e x ，则g ′(x)=2x−x 2e x ，令g ′（x ）＞0，解得0＜x ＜2；令g ′（x ）＜0，解得x ＜0或x ＞2，所以g （x ）在（0，2）上单调递增，在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递减， 因为当x →﹣∞时，g （x ）→+∞，当x →+∞时，g （x ）→0， 且g （0）＝0，g(2)=4e 2， 所以g （0）＜a ＜g （2），所以0＜a ＜4e 2，即实数a 的取值范围为（0，4e 2）． （2）x 1+x 2+x 3＞3，证明如下：因为x 1＜x 2＜x 3，由（1）得x 1＜0＜x 2＜2＜x 3，由a =x 22e x 2=x 32e x 3，得2lnx 2﹣x 2＝2lnx 3﹣x 3，设h （x ）＝2lnx ﹣x ，则h （x 2）＝h （x 3）， 求导得ℎ′(x)=2x−1， 令h ′（x ）＞0，解得0＜x ＜2，令h '（x ）＜0，解得x ＞2， 所以h （x ）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减， 设m （x ）＝h （4﹣x ）﹣h （x ），0＜x ＜2，则m （x ）＝2ln （4﹣x ）﹣4+x ﹣2lnx +x ＝2ln （4﹣x ）﹣2lnx +2x ﹣4，0＜x ＜2，求导得m ′(x)=2x−4−2x +2=2(x−2)2x(x−4)＜0恒成立，所以m （x ）在（0，2）上单调递减，所以m （x ）＞m （2）＝0，即h （4﹣x ）＞h （x ）， 因为0＜x 2＜2，所以h （4﹣x 2）＞h （x 2）＝h （x 3）， 又因为x 3＞2，4﹣x 2＞2，h （x ）在（2，+∞）上单调递减， 所以4﹣x 2＜x 3，即x 2+x 3＞4， 设g(x 0)=4e 2且x 0＜0，则g(x 1)=a ＜4e2=g(x 0)， 因为g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x 1＞x 0， 因为e 3＞4，所以1e−1＞4e 2，所以g(−1)=1e −1＞4e 2=g(x 0)，因为g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x 0＞﹣1， 所以x 1＞x 0＞﹣1， 所以x 1+x 2+x 3＞4﹣1＝3．22．（12分）已知A ，B 是抛物线E ：y ＝x 2上不同的两点，点P 在x 轴下方，P A 与抛物线E 交于点C ，PB 与抛物线E 交于点D ，且满足|PA||PC|=|PB||PD|=λ，其中λ是常数，且λ≠1．（1）设AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：MN 垂直于x 轴；（2）若点P 为半圆x 2+y 2＝1（y ＜0）上的动点，且λ＝2，求四边形ABDC 面积的最大值． （1）证明：因为|PA||PC|=|PB||PD|=λ，且P ，A ，C 共线，P ，B ，D 共线，所以AB ∥CD ，所以直线AB 和直线CD 的斜率相等，即k AB ＝k CD ，设A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，C(x 3，x 32)，D(x 4，x 42)，则点M 的横坐标x M =x 1+x 22，点N 的横坐标x N =x 3+x42， 由k AB ＝k CD ，得x 22−x 12x 2−x 1=x 42−x 32x 4−x 3，因式分解得(x 2−x 1)(x 2+x 1)x 2−x 1=(x 4−x 3)(x 4+x 3)x 4−x 3，约分得x 2+x 1＝x 4+x 3，所以x 1+x 22=x 3+x 42，即x M ＝x N ，所以MN 垂直于x 轴．（2）解：设P （x 0，y 0），则x 02+y 02=1，且﹣1≤y 0＜0，当λ＝2时，C 为P A 中点，则x 3=x 0+x 12，y 3=y 0+x 122，因为C 在抛物线上，所以y 0+x 122=(x 0+x 12)2，整理得x 12−2x 0x 1+2y 0−x 02=0，当λ＝2时，D 为PB 中点，同理得x 22−2x 0x 2+2y 0−x 02=0， 所以x 1，x 2是方程x 2−2x 0x +2y 0−x 02=0的两个根， 因为Δ=4x 02−4(2y 0−x 02)=8(x 02−y 0)＞0， 由韦达定理得x 1+x 2＝2x 0，x 1x 2=2y 0−x 02，所以x 0=x 1+x 22=x M ，所以PM 也垂直于x 轴， 所以|PM|=x 12+x 222−y 0=4x 02−4y 0+2x 022−y 0=3(x 02−y 0)， 因为|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4x 02−8y 0+4x 02=2√2⋅√x 02−y 0，所以S 四边形ABDC =34S △PAB =34×12⋅|PM|⋅|x 1−x 2|=38⋅(3x 02−y 0)×2√2⋅√x 02−y 0=9√24(√x 02−y 0)3=9√24(√−y 02−y 0+1)3，﹣1≤y 0＜0，当y 0=−12时，−y 02−y 0+1取得最大值54，所以S 四边形ABDC ≤9√24×(√54)3=45√1032， 所以四边形ABDC 面积的最大值为45√1032．。
2020-2021学年广东省高三第二次高考模拟数学(文)试题及答案解析
绝密★启用前广东省高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知复数2(1)z i i =-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）4i（B ）4i - （C ）4（D ）4-（2）已知集合2{|{|ln(2)}A x y B x y x x ====-，则A B =I（A ）(2,)+∞ （B ）[1,2) （C ）(0,2)（D ）[1,2]（3）已知向量(0,1),(a b c k ==-=r r r，若（2a b -r r ）与c r 互相垂直，则k的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3（4）已知命题:,cos sin p x R x x ∃∈>，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题 （C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60o，则该双曲线的离心率为（A（B ）43（C或2 （D ）4 （6）已知函数2,(1)()(1),(1)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则2(log 9)f 的值为（A ）9 （B ）92 （C ）94（D ）98（7）已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且124111,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =（A ）2(1)4n + （B ）(3)4n n +（C ）(1)2n n + （D ）212n + （8）函数log ||()||a x x f x x =（01a <<）图象的大致形状是（9）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足条件30,230,.x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（A ）2-（B ）1- （C ）1（D ）3（10）圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （A ）1 cm（B ）2cm （C ）3cm（D ）4cm（11）某组合体的三视图如图2示，则该组合体的表面积为(A)(622)12π++ (B) 8(1)π+ (C)4(21)π+(D)(122)π+（12）已知P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A 、B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为 图2 （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为 ___________．(14)执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 . (15)已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为 .(16) 已知梯形ABCD 中，AD//BC ，90ABC ∠=o,AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则||PC PD +u u u r u u u r的最小值为 .图3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.bkg0.0.ABCD （17）（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=o，且152AB AC ⋅=-u u u r u u u r.(Ⅰ)求△ABC 的面积；(Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4（18）（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产 量数据，得到年产量频率分布直方图如图5示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为 图5年产量低于450 kg 时，单位售价为12元/ kg ，当年产量不低于 450 kg 时，单位售价为10元/ kg. （Ⅰ）求图中a 、b 的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率.（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o，AB=PC=2，2.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求点D 到平面APC 的距离.图6（20）（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>与抛物线22:1C x y =+有公共弦AB （A 在B左边），AB=2，2C 的顶点是1C 的一个焦点，过点B 且斜率为k (0)k ≠的直线l 与1C 、2C 分别交于点M 、N （均异于点A 、B ）．（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求k 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知函数ln(1)()2x f x x -=-（2x >）．(Ⅰ) 判断函数()f x 的单调性；(Ⅱ)若存在实数a ，使得()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，求a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．(22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲OP‘AB D CE图75如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC=2，BD=4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC=3，求AE 的长．(23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）(24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>， (Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ)求|()|2f x ≤的解集．数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（7）由142a a a =，得公差d=1，n a n =；故选C.（10）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=. （11）该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：211112222242422222πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯2484(612πππ=++++=++.(12)PACB S PA AC PA =⋅=四边形=，可知当||CP 最小时，即CP l ⊥ 2=得min ||CP =由点到直线的距离公式得：min ||CP ==0k >，所以2k =.二、填空题：解析：（15）依题意知函数()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++，AB CDE201611111122320162017S =-+-++-L 12016120172017=-=． （16）如图以PC 、PD 为邻边作平行四边形PCQD ，则PC PD PQ +=u u u r u u u r u u u r 2PE =u u u r，要||PQ uuu r 取最小值，只需||PE u u u r取最小值，因E 为CD 的中点，故当PE AB ⊥时，||PE u u u r取最小值，这时PE 为梯形的 中位线，即min 13||(||||)22PE BC AD =+=u u u r ,故min ||3PQ =u u u r.三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,----2分即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴315311sin 1522ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯=.-------5分(Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分 ∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=o,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分解得192x =，即AD 的长为192.--------------------------------------12分【解法2：由5AB =得3AC =， 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=,得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得5sin 2sin 7AB BACACD BC⨯∠∠===----------------------------------------9分∵090ACD <∠<oo∴11cos 14ACD ∠==，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =.------------------------------------------------------12分】【解法3：由5AB =得3AC =， 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=,得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分 在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =.-------------------------------------------------------12分】 （18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，-------------------------------------------------2分由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------4分解得0.0010a =，0.0035b =；----------------------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）结合直方图知，当年产量为300kg 时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg 时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg 时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg 时，其年销售额为6000元，-------------------------8分 因为年产量为400kg 的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，-----------9分而年产量为500kg 的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，-----------10分故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75, -----------12分(19)解：(Ⅰ)取AB 得中点O ，连结PO 、CO ，----1分由2，AB=2知△PAB 为等腰直角三角形，∴PO ⊥AB ，PO=1，------------------------------------------------------------------2分又AB=BC=2，60ABC ∠=o 知△ABC 为等边三角形，∴3CO =分又由2PC =得222PO CO PC +=, ∴PO ⊥CO ，-----------4分 ∴PO ⊥平面ABC ，-------------------------------------------5分又∵PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD -----------------------6分 （Ⅱ）设点D 到平面APC 的距离为h ，由(Ⅰ)知△ADC 是边长为2的等边三角形，△PAC 为等腰三角形，由D PAC P ADC V V --=得1133PAC ADC S h S PO ∆∆⋅=⋅---------------------------------------------8分 ∵23234ADC S ∆==，22117()22PAC S PA PC PA ∆=-=,---------------------10分 ∴ADC PAC S PO h S ∆∆⋅=3221772==，即点D 到平面APC 的距离为221.-------12分 （20）解：（Ⅰ）∵抛物线21y x =-的顶点为(0,1)-，即椭圆的下焦点为(0,1)-，∴1c =，----------------------------------------------------------------------------------------1分由AB=2知1B x =，代入抛物线得(1,0)B ，得1b =，----------------------2分∴222a b c =+=2，1C 的方程为2212y x +=；---------------------------4分 （Ⅱ）依题意知直线l 的方程为(1)y k x =-，-------------------------------5分 联立2212y x +=消去y 得：2222(2)220k x k x k +-+-=， 则2222M B k x x k -⋅=+，得2222M k x k -=+，242M k y k -=+，-------------------------7分由{2(1)1y k x x y =-=+，得210x kx k -+-=， 由224(1)(2)0k k k ∆=--=->，得2k ≠，则1N B x x k ⋅=-，得1N x k =-，(2)N y k k =-，----------------------------9分∵点A 在以MN 为直径的圆外，即,AM AN <>u u u u r u u u r [0,)2π∈，----------------------10分∴0AM AN ⋅>u u u u r u u u r ，又(1,0)A -，∴(1,)(1,)M M N N AM AN x y x y ⋅=+⋅+u u u u r u u u r 22224(2)222k k k k k k --=⋅+++222(4)02k k k -=>+， 解得4k <，综上知(,0)(0,2)(2,4)k ∈-∞U U .-----------------------------12分（21）解：(Ⅰ) 解法1：22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-2(2)(1)ln(1)(1)(2)x x x x x ----=--， -----------2分记()(2)(1)ln(1)g x x x x =----（2x >），'()ln(1)0g x x =--<，----------3分即()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <=从而'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.----------------------------5分【解法2：依题意得22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-， --------------------------------------------2分 记2()ln(1)1x g x x x -=---（2x ≥） 则211'()(1)1g x x x =---22(1)xx -=-，---------------------------------------------------------3分∵2x > ∴'()0g x <，即函数()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <=，从而得'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.--------------------------------------------------5分】(Ⅱ) 解法1：()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立，-------------------------------------6分由ln(1)y x =-得1'1y x =-，由此可得函数ln(1)y x =-的图象在点（2,0）处的切线为y=x-2，-----------------------------------------------------------------------------------------7分（1）当1a <时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-与函数ln(1)y x =-的图象相交，不合题意；---9分（2）当1a ≥时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-在函数ln(1)y x =-的图象的上方，符合题意---------------11分综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞.------------------------------12分【解法2： ()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立---------------------------------------5分记()ln(1)(2)h x x a x =---，则1'()1h x a x =--11a ax x +-=-1()1a a x x a-+=---------6分 (2)0h =，令'()0h x =得1a x a +=， 1201a a a +>⇔<<， （1）当0a ≤时，对(2,)x ∀∈+∞，'()0h x >，即函数()h x 在(2,)+∞单调递增，故()(2)0h x h >=，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；---------------------------8分（2）当01a <<时，对1(2,)a x a +∀∈，'()0h x >， 此时函数()h x 在1(2,)a a+上为增函数，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；-----10分（3）当1a ≥时，对(2,)x ∀∈+∞，有'()0h x <，函数()h x 在(2,)+∞单调递减，因此ln(1)(2)(2)0x a x h ---<=，符合题意；综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞．------------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分 得AB BC BD AB =，----------------------------------------------------------------------------4分28AB BC BD =⋅=，AB =---------------------------------5分 （Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分 ∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分于是得x =±，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C的参数方程为2.x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩（t为参数）和2.x y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分 设点P 的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分3sin 3cos )4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<----------------9分 当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AOBP 面积取得最大值，其值为分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+，---4分∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a=1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-，∴a=1；----------------------------------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集----6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2a a <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分 综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。
广东省广州市高考数学二模试卷(文科)
广东省广州市高考数学二模试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·阜新月考) 方程组的解集是（）A .B .C .D .2. （2分）已知集合，，则A∩B＝（）A . ［0,2）B . ［1,2）C . （－,2）D . （0,2）3. （2分）(2020·济宁模拟) i是虚数单位，复数，若，则（）A .B . 1C . 2D . 34. （2分）(2017·湘潭模拟) 已知e为自然对数的底，a=（）﹣0.2 ， b=（）0.4 ， c= ，则a，b，c的大小关系是（）A . c＜a＜bB . c＜b＜aC . b＜a＜cD . a＜b＜c5. （2分） (2017高一上·邢台期末) 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（）A . 6B . 5C . 4D . 36. （2分）若tanα﹣，则cos2α的值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·湘潭模拟) 已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（）A . 100，8B . 80，20C . 100，20D . 80，88. （2分）(2017·湘潭模拟) 已知曲线f（x）= 在点（1，f（1））处切线的斜率为1，则实数a的值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·湘潭模拟) 已知函数f（x）=1+2cosxcos（x+3φ）是偶函数，其中φ∈（0，），则下列关于函数g（x）=cos（2x﹣φ）的正确描述是（）A . g（x）在区间[﹣ ]上的最小值为﹣1．B . g（x）的图象可由函数f（x）向上平移2个单位，在向右平移个单位得到．C . g（x）的图象可由函数f（x）的图象先向左平移个单位得到．D . g（x）的图象可由函数f（x）的图象先向右平移个单位得到．10. （2分）(2017·湘潭模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A . 40+8 +4B . 40+8 +4C . 48+8D . 48+811. （2分）(2017·湘潭模拟) 半径为2的球O中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（）A . 16（）B . 16（）C . 8（2 ）D . 8（2 ）12. （2分）(2017·湘潭模拟) 如图，F1 ， F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（1，），若△ABF2为等边三角形，则△BF1F2的面积为（）A . 1B .C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）某班有30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为________．14. （1分） (2020高二下·都昌期中) 函数的极大值是________.15. （1分）(2018·如皋模拟) 已知点是边长为的正三角形内切圆上的一点，则的取值范围为________.16. （1分） (2019高二上·龙潭期中) 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，当时，的面积为________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2020高二下·泸县月考) 已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：不等式对于任意恒成立.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为真，为假，求实数的取值范围.18. （10分） (2016高二上·西安期中) 解答题。
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =( )A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2. 已知i 为虚数单位，若z ·(1+i)=2i ，则|z|=( )A. 2B. √2C. 1D. √223. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sinα,3)，则cosα=( )A. 12B. −12C. √32 D. −√324. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −65. 已知函数f(x)=x 3+x +1(x ∈R)，若f(a)=2，则f(−a)的值为( )A. 3B. 0C. −1D. −26. 设函数f(x)=sin(2x −π4)，则下列结论正确的是( )A. 函数y =f(x)的递减区间为[−π8,3π8]B. 函数y =f(x)的图象可由y =sin2x 的图象向左平移π8得到 C. 函数y =f(x)的图象的一条对称轴方程为x =π8D. 若x ∈[7π24,π2]，则y =f(x)的取值范围是[√22,1]． 7. 《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a(0<a <r)，若在圆内随机取点，得到点自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为( )A. a 2(1−p)r 2B. a 2(1+p)r 2C. a(1−p)rD. a(1+p)r8. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC 1A 1(包括边界)上一点，若EF//平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹是( )A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分9. 不等式log 2(x −1)<−1的解集是( )A. {x|x >1}B. {x|x <32}C. {x|1<x <32}D. {x|0<x <32}10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =√3+1,b =2,A =π3，则B =( )A. 3π4B. π6C. π4D. π4或3π411. 函数f(x)=x 2−7x −4lnx 的最小值为( )A. 3ln3−12B. −4ln2−10C. −8ln2−12D. −8ln2−1612. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若BA⃗⃗⃗⃗⃗ =3AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √63B. √32C. 2√33D. √62二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(−1,0)，若向量k a ⃗ +b 与向量c ⃗ =(2,1)共线，则实数k 等于________． 14. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=1，S 3=3，则S n =______；15. 斜率为√33的直线l 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，若直线l 与圆(x −2)2+y 2=4相切，则p =________．16. 正四棱锥P −ABCD 的底面边长为2，侧棱长为2√2，过点A 作一个与侧棱PC 垂直的平面α，则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为________，平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，a n+1=2+S n (n ∈N ∗).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AC=AB1，B1C∩BC1=O．(1)求证：B1C⊥AB；(2)若∠CBB1=60°，AC=BC，三棱锥A−BB1C的体积为1，且点A在侧面BB1C1C上的投影为点O，求三棱锥A−BB1C的表面积．19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数(百分制)随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清(用x表示)，已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2．(1)根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；(2)根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；(3)经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据(即剔除x)健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差(结果精确到0.1)．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点(18,0)，求k的取值范围．21.已知函数f(x)=lnx−sinx，记f(x)的导函数为fˈ(x)．−f′(x)是(0,+∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；(1)若ℎ(x)=ax+1x(2)若x∈(0,2π)，试判断函数f(x)的极值点个数，并说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cosα,(α为参数).以坐标原点O为极点，y=2+sinαx轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=4．1+3sin2θ(1)写出曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值．23.已知函数f(x)=x2−x+1，且a，b，c∈R．(Ⅰ)若a+b+c=1，求f(a)+f(b)+f(c)的最小值；(Ⅱ)若|x−a|<1，求证：|f(x)−f(a)|<2(|a|+1)．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}=[0,1]，故选：A求出集合B，根据交集定义进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：B解析：本题考查复数的模的求法，考查计算能力，是基础题．直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．解：i为虚数单位，复数z满足z·(1+i)=2i，∴|z|=|2i||i+1|=√2=√2，故选B．3.答案：A解析：本题考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的定义是解题的关键，属于基础题．根据题意任意角三角函数的定义即可求出．解：由三角函数定义得tanα=32sinα，即sinαcosα=32sinα，得3cosα=2sin2α=2(1−cos2α)，解得cosα=12或cosα=−2(舍去)．4.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．5.答案：B解析：解：∵f(a)=2∴f(a)=a 3+a +1=2，a 3+a =1，则f(−a)=(−a)3+(−a)+1=−(a 3+a)+1=−1+1=0． 故选：B ．把α和−α分别代入函数式，可得出答案． 本题主要考查函数奇偶性的运用．属基础题．6.答案：D解析：解：对于函数f(x)=sin(2x −π4)， 令2kπ+π2≤2x −π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，解得kπ+3π8≤x ≤kπ+7π8(k ∈Z)，所以函数y =f(x)的递减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8](k ∈Z)，故选项A 错误；由于sin(2x −π4)=sin[2(x −π8)]，所以函数y =f(x)的图象是由y =sin2x 的图象向右平移π8得到的，故选项B 错误；。
(全优试卷)广东省广州市高考数学二模试卷(文科)Word版含解析
广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，3}B．{0，3}C．{﹣1，0，3}D．{﹣1，0，3，5}2．若复数z满足（3﹣4i+z）i=2+i，则z=（）A．4+6i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣2+2i．3．已知命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），命题q：，，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（¬p）∨q D．（¬p）∧（¬q）4．执行如图所示的程序图，则输出的S值为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．﹣35．函数f（x）=ln（|x|﹣1）+x的大致图象是（）A．B．C．D．6．在区间[﹣1，5]上随机地取一个实数a，则方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根的概率为（）A．B．C．D．7．已知三条直线2x﹣3y+1=0，4x+3y+5=0，mx﹣y﹣1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（）A．{﹣， } B．{，﹣ } C．{﹣，， } D．{﹣，﹣， } 8．已知两点A（﹣1，1），B（3，5），点C在曲线y=2x2上运动，则的最小值为（）A．2 B．C．﹣2 D．9．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．10．数列{a n}满足a2=2，a n+（﹣1）n+1a n=1+（﹣1）n（n∈N*），S n为数列{a n}+2前n项和，S100=（）A．5100 B．2550 C．2500 D．245011．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．16二、填空题已知双曲线（a＞0）的离心率为2，则a的值为．14．在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有个．16．已知函数，若f（3a﹣1）≥8f（a），则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC=a．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若BC边上的高等于，求cosA的值．18．（12分）某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：身高（cm）分组[145，155）[155，165）[165，175）[175，185]男生频数15124女生频数71542（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）现从身高在[175，185]这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率．19．（12分）如图，ABCD是边长为a的正方形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：EF⊥AC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣FAC的体积．20．（12分）已知定点F（0，1），定直线l：y=﹣1，动圆M过点F，且与直线l相切．（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+4x存在极小值点x0，且，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B 两点．（1）求线段AB的长（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB 的最大面积．[选修4-5：不等式选讲]23．（I）已知a+b+c=1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．广东省广州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，3}B．{0，3}C．{﹣1，0，3}D．{﹣1，0，3，5}【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}={﹣1，0，3，8，15，…，}，∴A∩B={﹣1，0，3}．故选：C．【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2．若复数z满足（3﹣4i+z）i=2+i，则z=（）A．4+6i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣2+2i．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（3﹣4i+z）i=2+i，则3﹣4i+z===﹣2i+1．∴z=﹣2+2i．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），命题q：，，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（¬p）∨q D．（¬p）∧（¬q）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用不等式的解法化简命题p，q，再利用复合命题的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∵△=a2﹣4a2=﹣3a2≤0，因此∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），是真命题．命题q：由2x2﹣1≤0，解得≤x，因此不存在x0∈N*，使得，是假命题．则下列命题中为真命题的是p∨q．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．执行如图所示的程序图，则输出的S值为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：s=0，i=2，s=2，i=3，s=﹣1．i=4，s=3，i=5，s=﹣2，i=6，s=4，i=7＞6，结束循环，输出s=4，故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．5．函数f（x）=ln（|x|﹣1）+x的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】化简f（x），利用导数判断f（x）的单调性即可得出正确答案．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x＜﹣1或x＞1}．f（x）=，∴f′（x）=，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．故选A．【点评】本题考查了函数图象的判断，函数单调性的判断，属于中档题．6．在区间[﹣1，5]上随机地取一个实数a，则方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】根据根与系数之间的关系，求出a的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根，则满足，即，得＜a≤1或a≥3，∵﹣1≤a≤5则对应的概率P=+=+=，故选：C【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据根与系数之间的关系求出a 的取值范围是解决本题的关键．7．已知三条直线2x﹣3y+1=0，4x+3y+5=0，mx﹣y﹣1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（）A．{﹣， } B．{，﹣ } C．{﹣，， } D．{﹣，﹣， }【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】三条直线若两两相交围成一个三角形，则斜率必不相同；否则，只要有两条直线平行，或三点共线时不能构成三角形．【解答】解：∵三条直线不能围成一个三角形，∴（1）l1∥l3，此时m=；l2∥l3，此时m=﹣；（2）三点共线时也不能围成一个三角形2x﹣3y+1=0与4x+3y+5=0交点是（﹣1，﹣）代入mx﹣y﹣1=0，则m=．故选：C．【点评】本题考查两直线平行的条件，当斜率相等且截距不相等时两直线平行．属于基础题．8．已知两点A（﹣1，1），B（3，5），点C在曲线y=2x2上运动，则的最小值为（）A．2 B．C．﹣2 D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设C（x，2x2），得出关于x的函数，根据函数性质求出最小值．【解答】解：设C（x，2x2），则=（4，4），=（x+1，2x2﹣1），∴=4（x+1）+4（2x2﹣1）=8x2+4x=8（x+）2﹣．∴当x=﹣时取得最小值﹣．故选D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，函数最值得计算，属于中档题．9．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．【考点】LA ：平行投影及平行投影作图法．【分析】由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，取AA 1的中点N ，可知截面为等腰梯形，利用题中数据可求．【解答】解：取AA 1的中点N ，连接MN ，NB ，MC 1，BC 1， 由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN=BC 1=，MC 1=BN ，=，∴梯形的高为，∴梯形的面积为（）×=，故选C ．【点评】本题的考点是棱柱的结构特征，主要考查几何体的截面问题，关键利用正方体图形特征，从而确定截面为梯形．10．数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），S n 为数列{a n }前n 项和，S 100=（ ） A ．5100B ．2550C ．2500D ．2450【考点】8H ：数列递推式．【分析】数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），n=2k （k ∈N *）时，a 2k +2﹣a 2k =2，因此数列{a 2k }为等差数列，首项为2，公差为2．n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k +1+a 2k ﹣1=0．通过分组求和，利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），n=2k （k ∈N *）时，a 2k +2﹣a 2k =2，因此数列{a 2k }为等差数列，首项为2，公差为2．n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k +1+a 2k ﹣1=0．∴S 100=（a 1+a 3+…+a 97+a 99）+（a 2+a 4+…+a 100）=0+2×50+=2550．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据区间[0，1]上，求出ωx+的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知三棱锥倒立放置，从而得出棱锥的高，根据俯视图找出三棱锥的底面，得出底面积，从而可求出棱锥的体积．【解答】解：由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置，棱锥的底面水平放置，故三棱锥的高为h=4，∵主视图为直角三角形，∴棱锥的一个侧面与底面垂直，=4，结合俯视图可知三棱锥的底面为俯视图中的左上三角形，∴S底=∴V==．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，根据三视图的特征找出棱锥的底面是关键，属于中档题．二、填空题（2017•广州二模）已知双曲线（a＞0）的离心率为2，则a的值为．【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】求得双曲线的b2=2，由c=和e=，解关于a的方程，即可得到所求值．【解答】解：由双曲线（a＞0）得到b2=2，则c=，所以=2，解得a=．故答案是：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用离心率公式和基本量a，b，c 的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14．在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．【考点】8H：数列递推式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由a1=2，，可得+=4，化简解出q，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=2，，∴+=4，化为：q4﹣4q2+4=0，解得q2=2，q＞0，解得q=．则数列{a n}的通项公式a n==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有23个．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23，或者105k+23（k为正整数）．∴这堆物品至少有23，故答案为：23．【点评】本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键，属于中档题．16．已知函数，若f（3a﹣1）≥8f（a），则实数a的取值范围为．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】根据条件判断函数f（x）的奇偶性和单调性即可．【解答】解：∵，∴f（﹣x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，在[0，+∞）上为增函数，则不等式f（3a﹣1）≥8f（a），等价为f（|3a﹣1|）≥f（2|a|），∴|3a﹣1|≥2|a|，解得a∈．故答案为．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2017•广州二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC=a．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若BC边上的高等于，求cosA的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理求和三角形的三角的关系，以及两角和的正弦公式sinB=cosB，即可求出B，（Ⅱ）设BC边上的高线为AD，运勾股定理和余弦定理，即可求得cosB，再由正弦定理，即可求出【解答】解：（Ⅰ）因为bcosC+bsinC=a，由正弦定理得，sinBcosC+sinBsinC=sinA．因为A+B+C=π，所以sinBcosC+sinBsinC=sin（B+C）．即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC．因为sinC≠0，所以sinB=cosB．因为cosB≠0，所以tanB=1．因为B∈（0，π），所以．（Ⅱ）设BC边上的高线为AD，则．因为，则，．所以=，．由余弦定理得=．所以cosA=．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•广州二模）某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：身高（cm）分组[145，155）[155，165）[165，175）[175，185]男生频数15124女生频数71542（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）现从身高在[175，185]这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布表能作出这50名学生身高的频率分布直方图．（Ⅱ）由频率分布直方图能估计这50名学生的平均身高，并能估计这50名学生身高的方差．（Ⅲ）记身高在[175，185]的4名男生为a，b，c，d，2名女生为A，B．利用列举法能求出从这6名学生中随机抽取3名学生，至少抽到1名女生的概率．【解答】解：（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：（Ⅱ）由题意可估计这50名学生的平均身高为=164．所以估计这50名学生身高的方差为s2==80．所以估计这50名学生身高的方差为80．（Ⅲ）记身高在[175，185]的4名男生为a，b，c，d，2名女生为A，B．从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，d，A}，{a，d，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，d，A}，{b，d，B}，{c，d，A}，{c，d，B}，{a，A，B}，{b，A，B}，{c，A，B}，{d，A，B}共20个基本事件．其中至少抽到1名女生的情况有：{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，d，A}，{a，d，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，d，A}，{b，d，B}，{c，d，A}，{c，d，B}，{a，A，B}，{b，A，B}，{c，A，B}，{d，A，B}共16个基本事件．所以至少抽到1名女生的概率为．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．（12分）（2017•广州二模）如图，ABCD是边长为a的正方形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：EF⊥AC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣FAC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD，推导出AC⊥BD，AC⊥FD，从而AC⊥平面BDF．推导出EB∥FD，从而B，D，F，E四点共面，由此能证明EF⊥AC．（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO，由V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO，能求出三棱锥E﹣FAC的体积．【解答】证明：：（Ⅰ）连接BD，因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为FD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥FD．因为BD∩FD=D，所以AC⊥平面BDF．因为EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，所以EB∥FD．所以B，D，F，E四点共面．因为EF⊂平面BDFE，所以EF⊥AC．解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO．由（Ⅰ）知，AC⊥平面BDFE，所以AC⊥平面FEO．因为平面FEO将三棱锥E﹣FAC分为两个三棱锥A﹣FEO和C﹣FEO，所以V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO．因为正方形ABCD的边长为a，，所以，．取BE的中点G，连接DG，则FE=DG=．所以等腰三角形FEO的面积为=．所以V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO====．所以三棱锥E﹣FAC的体积为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•广州二模）已知定点F（0，1），定直线l：y=﹣1，动圆M过点F，且与直线l相切．（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系；J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）利用直接法，即可求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）证明△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．得到当k=0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．【解答】解：（Ⅰ）设点M到直线l的距离为d，依题意|MF|=d．设M（x，y），则有=|y+1|．化简得x2=4y．所以点M的轨迹C的方程为x2=4y．（Ⅱ）设l AB：y=kx+1，代入x2=4y中，得x2﹣4kx﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．所以．因为C：x2=4y，即，所以．所以直线l1的斜率为，直线l2的斜率为．因为，所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形．所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．因为|AB|=4（k2+1），所以当k=0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•广州二模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+4x存在极小值点x0，且，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）计算f′（x），讨论a判断f′（x）的符号得出f（x）的单调区间；（II）由导数和二次函数的性质得g′（x）=0在（0，+∞）上有两解列不等式组得出a的范围，根据得出a的范围，再取交集即可．【解答】解：（Ⅰ）因为函数，所以其定义域为（0，+∞）．所以=．当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．当a＞0时，f'（x）=．当时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间上单调递减．当时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间上单调递增．综上可知，当a≤0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）因为g（x）=f（x）+4x=，所以=（x＞0）．因为函数g（x）存在极小值点，所以g'（x）在（0，+∞）上存在两个零点x1，x2，且0＜x1＜x2．即方程x2﹣4x﹣a=0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，所以，解得﹣4＜a＜0．则=．当0＜x＜x1或x＞x2时，g'（x）＜0，当x1＜x＜x2时，g'（x）＞0，所以函数g（x）的单调递减区间为（0，x1）与（x2，+∞），单调递增区间为（x1，x2）．所以x=x1为函数g（x）的极小值点x0．由，得．由于等价于．由，得，所以alnx0+a＞0．因为﹣4＜a＜0，所以有lnx0+1＜0，即．因为，所以．解得．所以实数a的取值范围为．【点评】本题考查了导数与函数单调性、极值的关系，函数最值得计算，属于中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•广州二模）在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l 与曲线C交于A，B两点．（1）求线段AB的长（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB 的最大面积．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；QL：椭圆的参数方程．【分析】（1）根据题意，将曲线C的参数方程变形为普通方程，将直线x﹣y ﹣2=0代入其中，可得x2﹣3x=0，解可得x的值，由弦长公式计算可得答案；（2）分析可得要使△PAB的面积最大，则必须使P到直线直线l的距离最大，设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），由点到直线l的距离公式可得d=，由余弦函数的性质分析可得当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，代入点的坐标（2cosθ，2sinθ）中可得P的坐标，进而计算可得△PAB的最大面积，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，曲线C的参数方程为，则其普通方程为： +=1，将直线x﹣y﹣2=0代入+=1可得：x2﹣3x=0，解可得x=0或3，故|AB|=|x1﹣x2|=3；（2）要求在椭圆+=1上求一点P，使△PAB的面积最大，则P到直线直线l的距离最大；设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），则P到直线l的距离d==，又由θ∈[0，2π），则≤θ+＜，所以当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，且d max=3，此时P（﹣3，1），△PAB的最大面积S=×|AB|×d=9．【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系，涉及椭圆的参数方程，关键是正确将参数方程化为普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•广州二模）（I）已知a+b+c=1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R6：不等式的证明．【分析】（I）利用柯西不等式，即可证明；（Ⅱ）分：①a=、②a＞、③a＜三种情况，分别化简不等式，根据函数y=|2x ﹣1|+|x﹣a|的最小值大于或等于2，求得a的范围．【解答】（I）证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，∵a+b+c=1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）解：①当a=时，不等式即|x﹣|≥，显然不能任意实数x均成立．②当a＞时，|2x﹣1|+|x﹣a|=，此时，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣3×+a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣3×+a+1≥2，解得a≥．③当a＜时，|2x﹣1|+|x﹣a|=，此时，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣﹣a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣﹣a+1≥2，解得a≤﹣．综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
广东省广州市高考二模文科数学试卷
XX省XX市2021 届高考二模文科数学试卷一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合 A { 1,0,1,2,3,4,5} ， B { b | b n21,n Z}，那么AI B〔〕A．{ 1,3}B．{0,3 }C．{ 1,0,3}D．{ 1,0,3,5}2．假设复数z满足(34i z)i 2i ，那么 z 〔〕A ．4 6i B．4 2i C．4 2i D．2 2i3．命题p : x R，x ax a≥0〔 a R 〕，命题q : x N， 2x210，那么以下命题中为真命220*≤题的是〔〕A ．p qB．p qC． ( p) q D． ( p) ( q)4．执行如下图的程序图，那么输出的S 值为〔〕A ． 4B． 3C．2D．35．函数f ( x) ln( x 1)x 的大致图像是〔〕A．B．C．D．6．在区间[ 1,5]上随机地取一个实数a，那么方程x22ax4a 3 0 有两个正根的概率为〔〕21C．31A ．B．8D．3237．三条直线2x3y 1 0 ， 4 x3y 5 0 ， mx y10 不能构成三角形，那么实数m 的取值集合为-1-/4〔〕A ．{ 4,2}B ．{4,2}C ．{4,2,4}D ．{4,2,2}3 3333 3 333 38．两点A( 1,1)，B(3,5) ，点 C 在曲线y 2x 2uuuruuur上运动，那么AB g AC 的最小值为〔〕A ． 2B ．1C ．2D ．12 29．在棱长为 2 的正方体ABCD A 1B 1C 1 D 1中，M 是棱 A 1 D 1的中点，过 C 1，B ，M 作正方体的截面，那么这个截面的面积为〔 〕A ．3 5B ．3 5C ．9D ．9282810．数列 { a n }满足 a 2 2， an 2( 1)n1 an1 ( 1)n*〕， S{ a n }前 n 项和，S100〔〕〔 n N n 为数列A ．5 100B ． 2 550C ． 2 500D ． 2 45011．函数f ( x)2sin(xπ ＞ 0 〕的图像在区间 [0,1] 上恰有 3 个最高点，那么 的取值X 围为〔〕4 )〔19π 27 π9π 13π 17π 25πD ． [4 π,6π)A ．[ 4 ,)B ．[, )C ．[ 4 ,)42 2412．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，那么该三棱锥的体积为〔〕816 32D ． 16A ．B ．C ．333二、填空题13．双曲线x 2y 21〔 a ＞0 〕的离心率为 2，那么 a 的值为_______．a 2214．在各项都为正数的等比数列{ a n } 中， a 1 2 ， a n 2 24a n 2 4a n 1 2，那么数列 { a n } 的通项公式a n_______．15．?孙子算经?是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的?孙子算经?共三卷，其中下卷：“物不知数〞中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？〞其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目， 3 个 3个数，剩 2 个，5 个 5 个数，剩3个，7个 7个数，剩2 个，问这堆物品共有多少个？〞试计算这堆物品至少有 _______ 个．x 3≥ 016．函数f ( x)x 3 ＜，假设 f (3a 1)≥8 f ( a) ，那么实数a 的取值X 围为_______．x 0-2-/4三、解答题〔本大题共 5 小题，共70 分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．〔 12 分〕△ABC的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，bcosC bsinC A．〔Ⅰ〕求角 B 的大小；〔Ⅱ〕假设 BC 边上的高等于1a ，求 cosA 的值．418．〔 12 分〕某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50 名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：身高〔 cm〕分组[145,155)[155,165)[165,175)[175,185]男生频数15124女生频数71542〔Ⅰ〕在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；〔Ⅱ〕估计这 50 名学生身高的方差〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔Ⅲ〕现从身高在[175,185) 这6名学生中随机抽取 3 名，求至少抽到 1名女生的概率．19．〔 12 分〕如图，ABCD 是边长为 a 的正方形，EB平面 ABCD ，FD平面 ABCD ，EB2FD2a ．〔Ⅰ〕求证： EF AC ；〔Ⅱ〕求三棱锥 E FAC 的体积．20.〔12 分〕定点F (0,1)，定直线l : y 1 ，动圆M过点F，且与直线l相切．〔Ⅰ〕求动圆M 的圆心轨迹 C 的方程；〔Ⅱ〕过点 F 的直线与曲线 C 相交于 A，B 两点，分别过点A，B 作曲线 C 的切线l1，l2，两条切线相交于点 P，求△PAB外接圆面积的最小值．21．〔 12 分〕函数f ( x)alnx 1 x2．2〔Ⅰ〕求函数 f ( x) 的单调区间；〔Ⅱ〕假设函数g( x) f ( x) 4x存在极小值点x0，且 g( x0 )1x022a＞0 ，XX数a的取值X围．2请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]22．〔 10 分〕在平面直角坐标系xOy 中．直线 l 的普通方程为x y 2 0，曲线 C 的参数方程为x 2 3cos〔为参数〕，设直线l 与曲线 C 交于 A， B 两点．y2sin（1〕求线段 AB 的长-3-/4〔 2〕点 P 在曲线 C 上运动．当△PAB的面积最大时，求点P 的坐标及△PAB的最大面积．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．〔Ⅰ〕a b c 1，证明 (a22216；1)(b 1)(c 1)≥3〔Ⅱ〕假设对任总实数x，不等式x a 2 x1≥2 恒成立，XX数 a 的取值X围．-4-/4。
广东省深圳市高考二模文科数学试卷
XX 省XX 市2021 年高考二模文科数学试卷一、选择题 : 1．集合A{ x | x 2 2x ＜0} ， B { x | x 2＜0} 那么〔〕A ．A BB ．ABAC ．ABAD ．AB R 2．复数z 满足(1 i) z 3 i ，其中i 是虚数单位，那么| z | 〔〕A ．10B ．10C ． 5D ．5 3．以下函数中既是偶函数，又在区间 (0,1) 上单调递增的是〔〕A ．ycosxB ．1C ．y2|x| D ．y|lg x |y x 2x y≤1 04．假设实数 x ，y 满足约束条件x 3≥0，那么 z 2xy 的最大值为〔〕y ≤2A ．8B ．6C ．2D ．45．平面向量a,b ，假设 | a | 3, | b | 2 ， a 与 b 的夹角π，且 ( a mb)a ，那么m〔〕61B ．1C ．3D ．2A ．26．设等差数列{ a n }的前 n 项和为S n ，假设a 3 a 5 4,S 1560 ，那么 a 20〔 〕A ． 4B ．6C ． 10D ．127．一个三位数，个位．十位．百位上的数字依次为 x, y,z ，当且仅当y ＞x, y ＞z 时，称这样的数为“凸数〞〔如 243〕，现从集合{1,2,3,4} 中取出三个不一样的数组成一个三位数，那么这个三位数是 “凸数 〞的概率为〔 〕A ．2B ．1C ．1D ．1336128SABC ， △ABC是直角三角形，其斜边AB 8, SC 平面 ABC, SC6 ，那么三棱锥的外接．三棱锥球的外表积为〔 〕A ．64πB ．68πC ．72πD ．100π．函数 f ( x) 2sin(x ) (π2π如下图，假设 f ( x )f ( x ) ，且 x x ，那么 f(x x )9＞0), x [, ]12121212 3〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．2-1-/410．一个长方体被一个平面截去一局部后，所剩几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A．24B．48C．72D．96x2y21( a＞0, b＞0)的左右顶点分别为A1 , A2，M是双曲线上异于A1 , A2的任意一点，直11．双曲线b2a2线 MA1和 MA2分别与y轴交于P，Q 两点， O 为坐标原点，假设| OP |,| OM |,| OQ |依次成等比数列，那么双曲线的离心率的取值X围是〔〕A ．(2,)B ．[2,)C．(1,2)D．(1, 2]12．假设对任意的实数 a ，函数f ( x)(x1)ln x ax a b 有两个不同的零点，那么实数b的取值X围是〔〕A ．(,1] B ．(,0)C． (0,1)D． (0,)二、填空题 :13．以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点 P(1,2)，那么tan(π)__________．414．直线 l: x my 30 与圆C: x2y24 相切，那么m__________ ．15．?孙子算经?是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的?孙子算经?共三卷．卷中有一问题:“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何 ?〞该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得．〞通过对该题的研究发现，假设一束方物外周一匝的枚数n 是 8的整数倍时，均可采用此方法求解.如图，是解决这类问题的程序框图，假设输入n=40，那么输出的结果为 __________ ．16．假设数列{ a n},{ b n}满足a1b11, b n1a n , a n 1 3 a n 2 b n , n N，那么a2021 a 2021__________．三、解答题 :解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．a,b,c,分别为△ABC三个内角A, B,C的对边，2b3a sin B bcos A,c 4〔Ⅰ〕求 A．〔Ⅱ〕假设 D 是 BC的中点，AD7 ，求△ ABC 的面积．-2-/418．如图，在直三棱柱1 1 1ACB 90 ， E1 1ABC ABC 中，为 AC 的中点，CC12C 1 E〔Ⅰ〕证明 : CE 平面 AB 1C 1;〔Ⅱ〕假设AA 16, BAC30 ，求点E 到平面 AB 1C 的距离．19“〞S 市的 A 区开设分店 .为了确定在．在 新零售 模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，方案在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到以下表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和．x 〔个〕 2 3 4 5 6y 〔百万元〕2.5344.56〔Ⅰ〕该公司已经过初步判断， 可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求 y 关于x 的线性回归方程y bx a ;〔Ⅱ〕假设该公司在A 区获得的总年利润z 〔单位 :百万元〕与x ，y之间的关系为 z y 0.05 x 21.4 ，请结合〔Ⅰ〕中的线性回归方程，估算该公司应在 A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大 ?nn??x i y inxy(x ix )( y i y )?参考公式 : ? i1i 1, a．ybxa,bnny bxx i 2nx 2( x i x )2i 1i 120．圆 C: (x1)2 y 21 ，一动圆与直线 x1 相切且与圆 C 外切．42〔Ⅰ〕求动圆心P 的轨迹 T 的方程;〔Ⅱ〕假设经过定点 Q(6,0) 的直线l与曲线 T 相交于A,B 两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 作x 轴的平行线与曲线 T 相交于点 N ，试问是否存在直线 l ，使得NA NB ，假设存在，求出直线l 的方程，假设不存在，说明 理由．21．设函数 f ( x) xe x ax (aR ,a 为常数)，e 为自然对数的底数．〔Ⅰ〕当 f (x)＞0 时，XX 数x的取值X 围;〔Ⅱ〕当 a2 时，求使得 f ( x) k ＞0 成立的最小正整数 k ．22．在极坐标系中，点A(π 3, π，曲线C:2cos(π ≥0) .以极点为坐标原点， 极轴为x轴3, ),B()) (623正半轴建立平面直角坐标系．〔Ⅰ〕在直角坐标系中，求点A, B 的直角坐标及曲线C 的参数方程;〔Ⅱ〕设点 M 为曲线 C 上的动点，求| MA |2| MB |2取值X 围．-3-/4四、 [选修 4-5:不等式选讲 ]23．函数 f ( x) | x 1 2a || x a2 |, a R |〔Ⅰ〕假设 f (a)≤2|1- a | ，XX数a的取值X围;〔Ⅱ〕假设关于x 的不等式f ( x)≤1存在实数解，XX数 a 的取值X围．-4-/4。
2022届广东省揭阳市高三第二次高考模拟考文科数学试题及答案
2022届广东省揭阳市高三第二次高考模拟考文科数学试题及答案揭阳市2022年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：V1Sh．其中S表示棱锥的底面3积，h表示棱锥的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A{某|某3k1,kZ}，则下列表示正确的是A.1AB.11AC.3k21AD.34A2．已知复数z1i，则z2(1z)A.2B.－2C.D.22i3．命题P：“对某R,某212某”的否定P为A.某R,某212某B.某R,某212某C.某R,某212某D.某R,某212某4．已知in()1，则co2322iA.7B.8C.7D.4999295.若0某y1，则下列不等式正确的是A．4y4某B．某3>y3C．log4某log4yD．(1)某(1)y446．设向量a(1，，若向量ab与向量c(5，则的2)b(2，3)，6)共线，值为A．4B．4C．4D．46俯视图5正视图侧视图A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm8．已知变量某,y满足约束条件图1某y50某2y10某10，则y某的最小值是开始输入a1，a2，……，a12n=0,i=1i=i+1n=n+1是a≥90？否是i≤12？A.1B.4C.2D.039．下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩考试第次123456789101112成绩（分）657885878899909493102105116将第1次到第12次的考试成绩依次记为a1,a2,L表中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图,那么算法流程图输出的结果是,a12.图2是统计上A.8B.7C.6D.510．已知a{1,2,3,4},b{1,2,3}，则关于某的不等式某22(a1)某b20的解集为R的概率为A.D.341412B.C.23二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．已知幂函数y1f(某)的图象过点(3,)，则log2f(2)的值为．312．以点(2,1)为圆心且与直线3某4y70相切的圆的标准方程是．13．在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且。
广东省广州市高考数学二模试卷(文科)Word版含解析
广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，3}B．{0，3}C．{﹣1，0，3}D．{﹣1，0，3，5}2．若复数z满足（3﹣4i+z）i=2+i，则z=（）A．4+6i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣2+2i．3．已知命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），命题q：，，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（¬p）∨q D．（¬p）∧（¬q）4．执行如图所示的程序图，则输出的S值为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．﹣35．函数f（x）=ln（|x|﹣1）+x的大致图象是（）A．B．C．D．6．在区间[﹣1，5]上随机地取一个实数a，则方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根的概率为（）A．B．C．D．7．已知三条直线2x﹣3y+1=0，4x+3y+5=0，mx﹣y﹣1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（）A．{﹣， } B．{，﹣ } C．{﹣，， } D．{﹣，﹣， }8．已知两点A（﹣1，1），B（3，5），点C在曲线y=2x2上运动，则的最小值为（）A．2 B．C．﹣2 D．9．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．10．数列{a n}满足a2=2，a n+（﹣1）n+1a n=1+（﹣1）n（n∈N*），S n为数列{a n}+2前n项和，S100=（）A．5100 B．2550 C．2500 D．245011．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．16二、填空题已知双曲线（a＞0）的离心率为2，则a的值为．14．在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有个．16．已知函数，若f（3a﹣1）≥8f（a），则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC=a．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若BC边上的高等于，求cosA的值．18．（12分）某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）现从身高在[175，185]这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率．19．（12分）如图，ABCD 是边长为a 的正方形，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，．（Ⅰ）求证：EF ⊥AC ；（Ⅱ）求三棱锥E ﹣FAC 的体积．20．（12分）已知定点F （0，1），定直线l ：y=﹣1，动圆M 过点F ，且与直线l 相切．（Ⅰ）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作曲线C 的切线l 1，l 2，两条切线相交于点P ，求△PAB 外接圆面积的最小值． 21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数g （x ）=f （x ）+4x 存在极小值点x 0，且，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B 两点．（1）求线段AB的长（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB 的最大面积．[选修4-5：不等式选讲]23．（I）已知a+b+c=1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．广东省广州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，3}B．{0，3}C．{﹣1，0，3}D．{﹣1，0，3，5}【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}={﹣1，0，3，8，15，…，}，∴A∩B={﹣1，0，3}．故选：C．【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2．若复数z满足（3﹣4i+z）i=2+i，则z=（）A．4+6i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣2+2i．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（3﹣4i+z）i=2+i，则3﹣4i+z===﹣2i+1．∴z=﹣2+2i．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），命题q：，，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（¬p）∨q D．（¬p）∧（¬q）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用不等式的解法化简命题p，q，再利用复合命题的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∵△=a2﹣4a2=﹣3a2≤0，因此∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），是真命题．命题q：由2x2﹣1≤0，解得≤x，因此不存在x0∈N*，使得，是假命题．则下列命题中为真命题的是p∨q．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．执行如图所示的程序图，则输出的S值为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：s=0，i=2，s=2，i=3，s=﹣1．i=4，s=3，i=5，s=﹣2，i=6，s=4，i=7＞6，结束循环，输出s=4，故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．5．函数f（x）=ln（|x|﹣1）+x的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】化简f（x），利用导数判断f（x）的单调性即可得出正确答案．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x＜﹣1或x＞1}．f（x）=，∴f′（x）=，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．故选A．【点评】本题考查了函数图象的判断，函数单调性的判断，属于中档题．6．在区间[﹣1，5]上随机地取一个实数a，则方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】根据根与系数之间的关系，求出a的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根，则满足，即，得＜a≤1或a≥3，∵﹣1≤a≤5则对应的概率P=+=+=，故选：C【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据根与系数之间的关系求出a 的取值范围是解决本题的关键．7．已知三条直线2x﹣3y+1=0，4x+3y+5=0，mx﹣y﹣1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（）A．{﹣， } B．{，﹣ } C．{﹣，， } D．{﹣，﹣， }【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】三条直线若两两相交围成一个三角形，则斜率必不相同；否则，只要有两条直线平行，或三点共线时不能构成三角形．【解答】解：∵三条直线不能围成一个三角形，∴（1）l1∥l3，此时m=；l2∥l3，此时m=﹣；（2）三点共线时也不能围成一个三角形2x﹣3y+1=0与4x+3y+5=0交点是（﹣1，﹣）代入mx﹣y﹣1=0，则m=．故选：C．【点评】本题考查两直线平行的条件，当斜率相等且截距不相等时两直线平行．属于基础题．8．已知两点A（﹣1，1），B（3，5），点C在曲线y=2x2上运动，则的最小值为（）A．2 B．C．﹣2 D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设C（x，2x2），得出关于x的函数，根据函数性质求出最小值．【解答】解：设C（x，2x2），则=（4，4），=（x+1，2x2﹣1），∴=4（x+1）+4（2x2﹣1）=8x2+4x=8（x+）2﹣．∴当x=﹣时取得最小值﹣．故选D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，函数最值得计算，属于中档题．9．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．【考点】LA ：平行投影及平行投影作图法．【分析】由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，取AA 1的中点N ，可知截面为等腰梯形，利用题中数据可求．【解答】解：取AA 1的中点N ，连接MN ，NB ，MC 1，BC 1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN=BC 1=，MC 1=BN ，=，∴梯形的高为，∴梯形的面积为（）×=，故选C ．【点评】本题的考点是棱柱的结构特征，主要考查几何体的截面问题，关键利用正方体图形特征，从而确定截面为梯形．10．数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），S n 为数列{a n }前n 项和，S 100=（ ） A ．5100B ．2550C ．2500D ．2450【考点】8H ：数列递推式．【分析】数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），n=2k （k ∈N *）时，a 2k +2﹣a 2k =2，因此数列{a 2k }为等差数列，首项为2，公差为2．n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k +1+a 2k ﹣1=0．通过分组求和，利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），n=2k （k ∈N *）时，a 2k +2﹣a 2k =2，因此数列{a 2k }为等差数列，首项为2，公差为2．n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k +1+a 2k ﹣1=0．∴S 100=（a 1+a 3+…+a 97+a 99）+（a 2+a 4+…+a 100）=0+2×50+=2550．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据区间[0，1]上，求出ωx+的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知三棱锥倒立放置，从而得出棱锥的高，根据俯视图找出三棱锥的底面，得出底面积，从而可求出棱锥的体积．【解答】解：由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置，棱锥的底面水平放置，故三棱锥的高为h=4，∵主视图为直角三角形，∴棱锥的一个侧面与底面垂直，=4，结合俯视图可知三棱锥的底面为俯视图中的左上三角形，∴S底=∴V==．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，根据三视图的特征找出棱锥的底面是关键，属于中档题．二、填空题（2017•广州二模）已知双曲线（a＞0）的离心率为2，则a的值为．【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】求得双曲线的b2=2，由c=和e=，解关于a的方程，即可得到所求值．【解答】解：由双曲线（a＞0）得到b2=2，则c=，所以=2，解得a=．故答案是：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用离心率公式和基本量a，b，c 的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14．在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．【考点】8H：数列递推式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由a1=2，，可得+=4，化简解出q，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=2，，∴+=4，化为：q4﹣4q2+4=0，解得q2=2，q＞0，解得q=．则数列{a n}的通项公式a n==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有23个．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23，或者105k+23（k为正整数）．∴这堆物品至少有23，故答案为：23．【点评】本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键，属于中档题．16．已知函数，若f（3a﹣1）≥8f（a），则实数a的取值范围为．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】根据条件判断函数f（x）的奇偶性和单调性即可．【解答】解：∵，∴f（﹣x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，在[0，+∞）上为增函数，则不等式f（3a﹣1）≥8f（a），等价为f（|3a﹣1|）≥f（2|a|），∴|3a﹣1|≥2|a|，解得a∈．故答案为．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2017•广州二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC=a．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若BC边上的高等于，求cosA的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理求和三角形的三角的关系，以及两角和的正弦公式sinB=cosB，即可求出B，（Ⅱ）设BC边上的高线为AD，运勾股定理和余弦定理，即可求得cosB，再由正弦定理，即可求出【解答】解：（Ⅰ）因为bcosC+bsinC=a，由正弦定理得，sinBcosC+sinBsinC=sinA．因为A+B+C=π，所以sinBcosC+sinBsinC=sin（B+C）．即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC．因为sinC≠0，所以sinB=cosB．因为cosB≠0，所以tanB=1．因为B∈（0，π），所以．（Ⅱ）设BC边上的高线为AD，则．因为，则，．所以=，．由余弦定理得=．所以cosA=．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•广州二模）某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）现从身高在[175，185]这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布表能作出这50名学生身高的频率分布直方图．（Ⅱ）由频率分布直方图能估计这50名学生的平均身高，并能估计这50名学生身高的方差．（Ⅲ）记身高在[175，185]的4名男生为a，b，c，d，2名女生为A，B．利用列举法能求出从这6名学生中随机抽取3名学生，至少抽到1名女生的概率．【解答】解：（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：（Ⅱ）由题意可估计这50名学生的平均身高为=164．所以估计这50名学生身高的方差为s2==80．所以估计这50名学生身高的方差为80．（Ⅲ）记身高在[175，185]的4名男生为a，b，c，d，2名女生为A，B．从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，d，A}，{a，d，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，d，A}，{b，d，B}，{c，d，A}，{c，d，B}，{a，A，B}，{b，A，B}，{c，A，B}，{d，A，B}共20个基本事件．其中至少抽到1名女生的情况有：{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，d，A}，{a，d，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，d，A}，{b，d，B}，{c，d，A}，{c，d，B}，{a，A，B}，{b，A，B}，{c，A，B}，{d，A，B}共16个基本事件．所以至少抽到1名女生的概率为．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．（12分）（2017•广州二模）如图，ABCD是边长为a的正方形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：EF⊥AC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣FAC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD，推导出AC⊥BD，AC⊥FD，从而AC⊥平面BDF．推导出EB∥FD，从而B，D，F，E四点共面，由此能证明EF⊥AC．（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO，由V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO，能求出三棱锥E﹣FAC的体积．【解答】证明：：（Ⅰ）连接BD，因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为FD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥FD．因为BD∩FD=D，所以AC⊥平面BDF．因为EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，所以EB∥FD．所以B，D，F，E四点共面．因为EF⊂平面BDFE，所以EF⊥AC．解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO．由（Ⅰ）知，AC⊥平面BDFE，所以AC⊥平面FEO．因为平面FEO将三棱锥E﹣FAC分为两个三棱锥A﹣FEO和C﹣FEO，所以V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO．因为正方形ABCD的边长为a，，所以，．取BE的中点G，连接DG，则FE=DG=．所以等腰三角形FEO的面积为=．所以V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO====．所以三棱锥E﹣FAC的体积为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•广州二模）已知定点F（0，1），定直线l：y=﹣1，动圆M过点F，且与直线l相切．（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系；J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）利用直接法，即可求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）证明△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．得到当k=0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．【解答】解：（Ⅰ）设点M到直线l的距离为d，依题意|MF|=d．设M（x，y），则有=|y+1|．化简得x2=4y．所以点M的轨迹C的方程为x2=4y．（Ⅱ）设l AB：y=kx+1，代入x2=4y中，得x2﹣4kx﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．所以．因为C：x2=4y，即，所以．所以直线l1的斜率为，直线l2的斜率为．因为，所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形．所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．因为|AB|=4（k2+1），所以当k=0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•广州二模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+4x存在极小值点x0，且，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）计算f′（x），讨论a判断f′（x）的符号得出f（x）的单调区间；（II）由导数和二次函数的性质得g′（x）=0在（0，+∞）上有两解列不等式组得出a的范围，根据得出a的范围，再取交集即可．【解答】解：（Ⅰ）因为函数，所以其定义域为（0，+∞）．所以=．当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．当a＞0时，f'（x）=．当时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间上单调递减．当时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间上单调递增．综上可知，当a≤0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）因为g（x）=f（x）+4x=，所以=（x＞0）．因为函数g（x）存在极小值点，所以g'（x）在（0，+∞）上存在两个零点x1，x2，且0＜x1＜x2．即方程x2﹣4x﹣a=0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，所以，解得﹣4＜a＜0．则=．当0＜x＜x1或x＞x2时，g'（x）＜0，当x1＜x＜x2时，g'（x）＞0，所以函数g（x）的单调递减区间为（0，x1）与（x2，+∞），单调递增区间为（x1，x2）．所以x=x1为函数g（x）的极小值点x0．由，得．由于等价于．由，得，所以alnx0+a＞0．因为﹣4＜a＜0，所以有lnx0+1＜0，即．因为，所以．解得．所以实数a的取值范围为．【点评】本题考查了导数与函数单调性、极值的关系，函数最值得计算，属于中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•广州二模）在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l 与曲线C交于A，B两点．（1）求线段AB的长（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB 的最大面积．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；QL：椭圆的参数方程．【分析】（1）根据题意，将曲线C的参数方程变形为普通方程，将直线x﹣y ﹣2=0代入其中，可得x2﹣3x=0，解可得x的值，由弦长公式计算可得答案；（2）分析可得要使△PAB的面积最大，则必须使P到直线直线l的距离最大，设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），由点到直线l的距离公式可得d=，由余弦函数的性质分析可得当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，代入点的坐标（2cosθ，2sinθ）中可得P的坐标，进而计算可得△PAB的最大面积，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，曲线C的参数方程为，则其普通方程为： +=1，将直线x﹣y﹣2=0代入+=1可得：x2﹣3x=0，解可得x=0或3，故|AB|=|x1﹣x2|=3；（2）要求在椭圆+=1上求一点P，使△PAB的面积最大，则P到直线直线l的距离最大；设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），则P到直线l的距离d==，又由θ∈[0，2π），则≤θ+＜，所以当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，且d max=3，此时P（﹣3，1），△PAB的最大面积S=×|AB|×d=9．【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系，涉及椭圆的参数方程，关键是正确将参数方程化为普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•广州二模）（I）已知a+b+c=1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R6：不等式的证明．【分析】（I）利用柯西不等式，即可证明；（Ⅱ）分：①a=、②a＞、③a＜三种情况，分别化简不等式，根据函数y=|2x ﹣1|+|x﹣a|的最小值大于或等于2，求得a的范围．【解答】（I）证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，∵a+b+c=1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）解：①当a=时，不等式即|x﹣|≥，显然不能任意实数x均成立．②当a＞时，|2x﹣1|+|x﹣a|=，此时，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣3×+a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣3×+a+1≥2，解得a≥．③当a＜时，|2x﹣1|+|x﹣a|=，此时，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣﹣a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣﹣a+1≥2，解得a≤﹣．综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2020年广东省高考数学二模试卷(文科)
2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. （5分）已知集合A{x| 5 2x 1 7}, B {x| 2 x4}，则A| B( )A. {x | 3 x 4}B. {x| 2 x 4}C. {x| 3x 3}D.{x| 2 x 3}2. （5分）已知复数z i（a i）（i为虚数单位， a R)，若|z| 5，则a( )A . 4B . 2C. 2D. 23. （5分）小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为（）A 1r 2 c 1r 1A .—B .— C.— D .-3362x y 3, 04. ( 5 分)若x , y满足约束条件x y 3, 0 , 则z y2x的最大值是（）x1 0A . 9B . 7C . 3D . 65. （5分）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度）夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（）A . 1.5 尺B . 2.5 尺 C.3.5尺 D .4.5 尺6. （5分）一个底面半径为2的圆锥, 其内部有个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为 3 , 则该圆锥的体积为( )A. 2 3 2.3 B .C.8.34亦D .-3337. （5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在［0 , ）上单调递减，f（ 3）0则不等式f（x 1）0的解集为（)A . ( 3,3)B . (2,4)C . ( ,2)(2 , ) D.(4,2)2 2&（5分）已知双曲线笃每1（a 0,b 0）的右焦点为F ,过点F分别作双曲线的两条渐a b10.(5分)把函数f(x) 2sinx 的图象向右平移 一个单位长度，再把所得的函数图象上所3 有点的横坐标缩短到原来的1(纵坐标不变)得到函数 g(x)的图象，关于g(t)的说法有： 2①函数g(x)的图象关于点(_,0)对称；②函数g(x)的图象的一条对称轴是x 一 ；③函数 312g(x)在［—，］上的最上的最小值为,3 ;④函数g(x) ［0，］上单调递增，则以上说法正3 2确的个数是()围为(r r r r r 「14 . (5分)已知向量a (1, 3) , |b| 1，且向量a 与b 的夹角为一，则|a 2b | 3a a b15 . (5 分)对于任意实数 a , b ，定义 min {a , b} ''，函数 f(x) ex 2e , g(x) e x , b ,a b近线的垂线，垂足分别为 A ，B . luu uur 右FAgFB0 ,则该双曲线的离心率为9. ( 5分)已知数列｛a n ｝满足a n 1 N*)，且 a 1，设 b n a n a,前n 项和为S n ，则S 2019A 2018 20192019 2020C . 2019( ) 21，记数列g ｝的1 201911 . (5分)已知椭圆C 的焦点为F( c,0), F 2(C ,0) , P 是椭圆C 上一点.若椭圆C 的离心率为——，且PR FF 2 , △ PRF 2的面积为2 2x A .—2y 2112 . (5分) 已知函数 2xB.—31 2f(x) ax 2 2—，则椭圆C 的方程为( 2 2 2x y C .y 2 1cosx 1(aR)，若函数 f (x)有唯一零点，则 a 的取值范A .(,0)B . (,0)U【0]U 【1， )D .(,1】U 【1，二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。
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高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i为虚数单位，则复数z=i（2-i）的共轭复数=（）A. -1+2iB. -1-2iC. 1+2iD. 1-2i2.已知集合A={x|-1＜x＜6}，集合B={x|x2＜4}，则A∩（∁R B）=（）A. {x|-1＜x＜2}B. {x|-1＜x≤2}C. {x|2≤x＜6}D. {x|2＜x＜6}3.在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（）A. 0.2B. 0.25C. 40D. 504.设向量与向量垂直，且=（2，k），=（6，4），则下列下列与向量+共线的是（）A. （1，8）B. （-16，-2）C. （1，-8）D. （-16，2）5.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若公差d=1，S9-S4=10，则S17=（）A. 34B. 36C. 68D. 726.某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为，则其体积为（）A.B.C.D.7.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.8.函数f（x）在（-∞，+∞）单调递增，且为奇函数．已知f（1）=2，f（2）=3，则满足-3＜f（x-3）＜2的x的取值范围是（）A. （1，4）B. （0，5）C. （1，5）D. （0，4）9.某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度(单位：mm)进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在195±3内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195，196，190，194，200，则这批轮胎基本合格的概率为（）A. B. C. D.10.函数的部分图象不可能为（）A. B.C. D.11.若函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（）A. [0，+∞）B.C.D.12.已知直线x=2a与双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠PF2F1=-，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数f（x）=log2（x+a）的零点为-2，则a=______．14.若x，y满足约束条件，则的最大值为______．15.在四棱锥P－ABCD中，PA与矩形ABCD所在平面垂直，AB＝3，，，则直线PC与平面PAD所成角的正切值为．16.在数列{a n}中，a n＋1＝2(a n－n＋3)，a1＝－1，若数列{a n－pn＋q)为等比数列，其中p，q为常数，则a p＋q＝_____________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，AC=3，C=120°．（1）若AB=7，求BC边的长；（2）若cos A=sin B，求△ABC的面积．18.《最强大脑》是江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀节目．节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120分以上才有机会入围．某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试．规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为“未入围学生”．已知男生入围24人，女生未入围80人．（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关．（）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生．（ⅰ）求这11名学生中女生的人数；（ⅱ）若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），求这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值．附：K2=，其中n=a+b+c+d．19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，点E，F分别为CA1与AB的中点．（1）证明：EF∥平面BCC1B1．（2）求三棱锥B1-AEF的体积．20.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点．(1)证明：△AOB为钝角三角形．(2)若直线l与直线AB平行，直线l与抛物线C相切，切点为P，且△PAB的面积为16，求直线l的方程．21.已知函数f（x）=x2-（a+1）x+a ln x．（1）当a=-4时，求f（x）的单调区间；（2）已知a∈（1，2]，b∈R，函数g（x）=x3+bx2-（2b+4）x+ln x．若f（x）的极小值点与g（x）的极小值点相等，证明：g（x）的极大值不大于．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcosθ=-1的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．23.设函数f（x）=|x+1|+|2-x|-k．（1）当k=4时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式对x∈恒成立，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z=i（2-i）=1+2i，∴．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】C【解析】解：B={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，则∁R B={x|x≥2或x≤-2}，则A∩（∁R B）={x|2≤x＜6}，故选：C．求出集合B的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本题的关键．3.【答案】D【解析】解：在样本的频率直方图中，共有9个小长方形，中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，解得m=150，∴中间一组的频数为=50．故选：D．设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，由此能求出中间一组的频数．本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵；∴；∴k=-3；∴；∴；∴（-16，-2）与共线．故选：B．根据即可得出，从而得出k=-3，从而可求出，从而可找出与共线的向量．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.【答案】C【解析】解：因为数列{a n}是等差数列，且S9-S4=10，所以10=5a1+（36d-6d）=5（a1+6d）=5a7，所以a7=2，所以a9=a7+2d=2+2=4，S17===17a9=17×4=68．故选：C．数列{a n}是等差数列，S9-S4=10=5a1+（36d-6d）=5（a1+6d）=5a7，所以a7=2，所以a9=a7+2d=2+2=4，S17===17a9，将a9代入可得S17．本题考查了等差数列的前n项和公式，通项公式，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：将三视图还原可知该几何体为球体的，S=3×+=，r=，几何体的体积为：=．故选：A．首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．【解答】解：由题意可得：，解得a=4，b=3，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为：．故选A．8.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．【解答】∵f（x）是奇函数，且f（1）=2，f（2）=3，∴f（-2）=-3，则不等式-3＜f（x-3）＜2等价为f（-2）＜f（x-3）＜f（1），∵f（x）是增函数，∴-2＜x-3＜1得1＜x＜4，即x的取值范围是（1，4），故选：A．9.【答案】C【解析】解：某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm）进行质检，从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在195±3内，则称这批轮胎基本合格．这批轮胎的宽度分别为195，196，190，194，200，基本事件总数n==10，至少有2个轮胎的宽度在195±3内包含的基本事件个数m==7，∴这批轮胎基本合格的概率为p==．故选：C．基本事件总数n==10，至少有2个轮胎的宽度在195±3内包含的基本事件个数m==7，由此能求出这批轮胎基本合格的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】B【解析】解：A．由图象知函数的周期T=2π，则=2π得ω=1，此时f（x）=2sin（x-）=-2cos x为偶函数，对应图象为A，故A图象可能B．由图象知函数的周期T=-（-）==，即=，得ω=±3，当ω=3时，此时f（x）=2sin（3x-），f（）=2sin（3×-）=2sin≠-2，即B图象不可能，当ω=-3时，此时f（x）=2sin（-3x+），f（）=2sin（-3×+）=-2sin≠-2，即B图象不可能，C．由图象知函数的周期T=4π，则=4π得ω=±，当ω=时，此时f（x）=2sin（x-π）=-2sin x，f（π）=-2sin=-1，即此时C图象不可能，当ω=-时，此时f（x）=2sin（-x-π）=2sin x，f（π）=2sin=-1，即此时C图象可能，D．由图象知函数的周期=-=，即t=π，则=π得ω=2，此时f（x）=2sin（2x-），f（）=2sin（2×-）=2sin=2，即D图象可能，综上不可能的图象是B，故选：B．根据三角函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论．本题主要考查三角函数图象的识别和判断，利用周期性求出ω以及利用特殊值进行验证是解决本题的关键．注意本题的ω有可能是复数．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．令f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立得k在（0，+∞）上恒成立，求出右侧函数的最大值即可得出k的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）=3x2-ke x≤0在（0，+∞）上恒成立，∴k在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，x＞0，则，当0＜x＜2时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x=2时，g（x）取得最大值g（2）=，则k，故选：C．12.【答案】B【解析】解：双曲线C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），cos∠PF2F1=-，可得sin∠PF2F1==，即有直线PF2的斜率为tan∠PF2F1=，由直线x=2a与双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x交于点P，可得P（2a，2b），可得=，即有4b2=15（4a2-4ac+c2）=4（c2-a2），化为11c2-60ac+64a2=0，由e=可得11e2-60e+64=0，解得e=或e=4，由2a-c＞0，可得c＜2a，即e＜2，可得e=4舍去．故选：B．设出双曲线的焦点，求得一条渐近线方程可得P的坐标，求得直线PF2的斜率，由两点的斜率公式和离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】【分析】根据题意，由函数零点的定义可得f（-2）=log2（a-2）=0，解可得a的值，即可得答案．本题考查函数的零点，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．【解答】解：根据题意，若函数f（x）=log2（x+a）的零点为-2，则f（-2）=log2（a-2）=0，即a-2=1，解可得a=3，故答案为：314.【答案】【解析】解：设z=，则z的几何意义为可行域内的点与原点连线的斜率，作出不等式组对应得平面区域如图：由图可知OA的斜率最大，由，解得A（3，4），则OA得斜率k=，则的最大值为．故答案为：．本题主要考查线性规划求最值，是基础题．设z=，作出不等式组对应得平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．15.【答案】【解析】解：∵在四棱锥P-ABCD中，PA与矩形ABCD所在平面垂直，∴CD⊥AD，CD⊥PA，∵AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∴∠CPD是直线PC与平面PAD所成的角，∵AB=3，AD=，PA=，∴直线PC与平面PAD所成角的正切值：tan∠CPD===．故答案为：．推导出CD⊥AD，CD⊥PA，从而CD⊥平面PAD，进而∠CPD是直线PC与平面PAD所成的角，由此能求出直线PC与平面PAD所成角的正切值．本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．16.【答案】40【解析】解：数列{a n}中，a n+1=2（a n-n+3），a1=-1，若数列{a n-pn+q）为等比数列，则a n+1-p（n+1）+q=2（a n-pn+q），解得：p=2，q=4，故：数列{a n-pn+q}是以-1+4-2=1为首项，2为公比的等比数列．所以：，整理得：．故：a p+q=a6=40，故答案为：40首先求出数列的通项公式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17.【答案】解：（1）由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC×AC×cos C，代入数据整理得BC2+3BC-40=0，解得BC=5（BC=-8舍去）．（2）由cos A=sin B及C=120°，得cos（60°-B）=sin B，展开得cos B+sin B-sin B=0，即sin B=cos B，tan B==，所以B=30°．从而A=60°-B=30°，即A=B=30°，所以BC=AC=3．故△ABC的面积为×3×3×sin120°=．【解析】（1）直接利用余弦定理和一元二次方程的解的应用求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．因为K2的观测值k==＜2.706所以没有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关（2）（ⅰ）这11名学生中，被抽到的女生人数为（ⅱ）因为入围的分数不低于120分，且每个女生的测试分数各不相同，每个人的分数都是整数，所以这11名学生中女生的平均分的最小值为×（120+121+122+123+124）=122【解析】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样原理与平均数的计算问题，是基础题．（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）（ⅰ）根据分层抽样原理计算被抽到的女生人数；（ⅱ）由题意计算所求平均分的最小值．19.【答案】（1）证明：如图，连接BC1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，E为AC1的中点．又因为F为AB的中点，所以EF∥BC1．又EF⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以EF∥平面BCC1B1．（或先证面面平行，再证线面平行，也是常见的方法）（2）解：因为AC⊥AB，AA1⊥AC，AA1∩AB=A，AA1、AB平面ABB1A1,所以AC⊥平面ABB1A1，又AC=4，E为A1C的中点，所以E到平面ABB1A1的距离为：×4=2．因为△AB1F的面积为：×2×6=6，所以==×2×6=4．【解析】（1）连接BC1．证明EF∥BC1，然后证明EF∥平面BCC1B1．（2）求证AC⊥平面ABB1A1，求出E到平面ABB1A1的距离，通过=求解体积即可．本题考查直线与平面平行的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2-4kx-4=0，则x1x2=-4，所以y1y2==1，从而•=x1x2+y1y2=-3＜0，则∠AOB为钝角，故△AOB为钝角三角形．（2）解：由（1）知，x1+x2=4k，y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2，由题知，直线y=kx+1经过抛物线的焦点，则|AB|=y1+y2+p=4k2+4．由x2=4y，得y=，y'=，设P（x0，y0），则x0=2k，y0=k2，则点P到直线y=kx+1的距离d==．从而△PAB的面积S=d|AB|=2（k2+1）=16，解得k=±，故直线l的方程为y=±x-3．【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2-4kx-4=0，利用韦达定理以及向量的数量积证明△AOB为钝角三角形．（2）求出|AB|=y1+y2+p=4k2+4，结合函数的导数，利用斜率关系，求出点P到直线y=kx+1的距离，利用△PAB的面积，转化求解即可.21.【答案】（1）解：当a=-4时，f（x）=x2+3x-4ln x，定义域为（0，+∞）．f'（x）=x+3-=．当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，则f（x）的单调递减区间为（0，1）．（2）证明：f'（x）==，g'（x）=3x2+2bx-（2b+4）+=．令p（x）=3x2+（2b+3）x-1．因为a∈（1，2]，所以f（x）的极小值点为a，则g（x）的极小值点为a，所以p（a）=0，即3a2+（2b+3）a-1=0，即b=，此时g（x）的极大值为g（1）=1+b-（2b+4）=-3-b=-3-=a--．因为a∈（1，2]，所以a-≤3-=．故g（x）的极大值不大于．【解析】（1）当a=-4时，f（x）=x2+3x-4ln x，定义域为（0，+∞）．f'（x）=x+3-=．即可得出单调区间．（2）f'（x）=，g'（x）=3x2+2bx-（2b+4）+=．令p（x）=3x2+（2b+3）x-1．由a∈（1，2]，可得f（x）的极小值点为a，则g（x）的极小值点为a，可得p（a）=0，b=，此时g（x）的极大值为g（1）=1+b-（2b+4）代入利用函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直角坐标方程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，则|PM|=3+sinα，又直线ρcosθ=-1的直角坐标方程为x=-1，所以|PN|=2+cosα+1=3+cosα，所以|PM|+|PN|=6+sin（α+），故当α=时，|PM|+|PN|取得最大值为6+．【解析】（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直角坐标方程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，求出|PM|和|PN|后相加，用三角函数的性质求得最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）k=4时，函数f（x）=|x+1|+|2-x|-4，不等式f（x）＜0化为|x+1|+|2-x|＜4，当x＜-1时，不等式化为-x-1+2-x＜4，解得-＜x＜-1，当-1≤x≤2时，不等式化为x+1+2-x=3＜4恒成立，则-1≤x≤2，当x＞2时，不等式化为x+1+x-2＜4，解得2＜x＜，综上所述，不等式f（x）＜0的解集为（-，）；（2）因为f（x）=|x+1|+|2-x|-k≥|x+1+2-x|-k=3-k，所以f（x）的最小值为3-k；又不等式对x∈恒成立，所以3-k≥，所以，解得k≤1，所以k的取值范围是（-∞，1]．【解析】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．（1）k=4时，利用分类讨论思想求出不等式f（x）＜0的解集，再求它们的并集；（2）利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值，再把不等式化为3-k≥，求出不等式的解集即可．。