湖南省长沙市中雅培粹学校2019-2020学年九年级第二学期第二次月考数学试卷
答案-2019-2020-2中雅九下第二次月考
2020年上学期初三第二次质量检测数学参考答案一、选择题二、填空题13.()()11a b b+-14.5x≥15.1216.517.13018.①②③三、解答题19.【解析】原式21333=--+⨯=20.【解析】原式()()()222122212212x x x xx xxx xx xx+-+=⋅-+--+=---=-将3x=代入得，原式1132==-21.【解析】(1)4a=，0.15b=(2)0.320.3(3)1622.【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形∴AD AB=，90D ABC∠=∠=︒，而F是DCB的延长线上的点∴90ABF∠=o在ADE∆和ABF∆中AB AD ABF ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ADE ABF SAS ∆∆≌； (2)∵8BC = ∴8AD =在Rt ADE ∆中，6DE =，8AD =∴10AE ==∵AE AF =，90EAF ∠=o∴50AEF S ∆=23.【解析】(1)设增长率为x()241 4.84x +=1 2.1x =-(舍去)，20.1x =∴增长率为10%(2)()4.8410.1 5.324⨯+=(万人)答：预计答四批公益课收益学生将达到5.324万人次. 24.【解析】(1)证明：∵AB 是O e 的直径∴90AEB ∠=o∴90EAB EBA ∠+∠=o，∵EDB EAB ∠=∠，BDE CBE ∠=∠ ∴EAB CBE ∠=∠ ∴90ABE CBE ∠+∠=o ∴CB AB ⊥ ∵AB 是O e 的直径 ∴BC 是O e 的切线 (2)证明：∵BD 平面ABE ∠ ∴ABD DBE ∠=∠¶¶AD DE=∴DEA DBE ∠=∠ ∵EDB BDE ∠=∠ ∴DEF DBE ∆∆∽ ∴DE DFDB DE=∴2DE DF DB =⋅ (3)连接DA 、DO ∵OD OB = ∴ODB OBD ∠=∠ ∵EBD OBD ∠=∠ ∴EBD ODB ∠=∠ ∴OD BE ∥ ∴PD POPE PB=∵PA AO = ∴PA AO OB ==∴23PO PB = ∴23PD PE = ∴23PD PD DE =+ ∵2DE = ∴4PD =，∵180PDA ADE ∠+∠=o，180ABE ADE ∠+∠=o∴PDA ABE ∠=∠， ∵OD BE ∥ ∴AOD ABE ∠=∠ ∴PDA AOD ∠=∠ ∵P P ∠=∠ ∴PDA POD ∆∆∽ ∴PD PAPO PD= 设OA x =∴PA x =，2PO x = ∴424x x =，∴2216x =，x =∴半径OA =25.【解析】(1)二次函数的顶点坐标为()1,5-将()1,5-代入一次函数132y x =-- ∵11352-⨯-≠-∴该二次函数不是一次函数132y x =--的中雅函数 (2)∵中雅函数25y x nx =++与x 轴两个交点间的距离为4，设一元二次方程250x nx ++=的两个根分别为1x 、2x ，则有124x x a-=== 解得：6n =±∴顶点坐标为()3,4--或()3,4-∴一次函数解析式为133y x =--或133y x =- ∴直线与坐标轴所围三角形面积为1273922S =⨯⨯=(3)中雅函数24y kx kx k =++的顶点坐标为115,24k ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入解得3m k = ∵12l l ∥ ∴3n m k ==联立方程2374y kx k y kx kx k=+⎧⎨=++⎩化简得：2230x x --= 解得：13x =，21x =-不妨设()3,16A k ，()1,4B k -，(),0C x ∵90ACB ∠=o∴222BC AC AB += 得222412860x x k -+-= 又∵有且仅有一个点C ∴0∆= ∴2116k =∵0k > ∴14k =26.【解析】(1)∵四边形ABCD 是正方形∴AB AD =，90BAF DAO ∠=∠=o在ABF ∆和ADO ∆中∵ABF ADO ∠=∠，AB AD =，BAF DAO ∠=∠ ∴ABF ADO ∆∆≌ ∴BF DO =(2)∵(),0A m ，()B∴OA m =，OB =AB m =∵»»AE DE = ∴EBO EBD ∠=∠ ∵90DAB ∠=o∴BD 为直径∴90BEO BED ∠=∠=o又∵BE BE = ∴BEO BED ∆∆≌∴BD BO ==在Rt BCD ∆中∵BD =∴)m =∴222m =- ∵ABF ADO ∆∆≌ ∴222AF AO m ===- 又∵点F 在第四象限∴点F 的坐标为()222,222-- ∵抛物线l 经过()0,0O ，()22,0B ∴设l 的解析式为()22y ax x =- 将()222,222F --代入得：12a = ∴抛物线l 的解析式为2122y x x =- (3)①如图，设直线BE 与y 轴相交于G ，向上平移直线BE 使平移后的直线经过原点O ，由图象知，在平移前直线BE 与新图象有1个公共点(公共点为点B )，平移到经过点O 时与新图象有3个公共点∴0t OG <<设直线BE 的解析式为y kx m =+将()22,0B ，()222,222F --代入易求出：()21422y x =--+当0x =时，422y =-+ ∴422OG =-此时t 的取值范围是：0422t <<-②如图，当直线BE 向上平移到与抛物线相切后再向上平移时，直线BE 与图象的交点又变为两个设相切时直线BE 的解析式为()21y x b =-+则方程组()212221y x x y x b ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩有一个解 ∴方程()212212x x x b -+=-+即：2102x x b -+=有两个相等的实数根∴()211402b --⨯⨯= ∴12b =此时直线BE 的解析式为)112y x =+直线BE 与y 轴的交点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭∵(19422+-=-∴此时t 的取值范围是：92t >-综上所述：t 的取值范围为：04t <<-92t >-。
精品解析：2019年湖南省长沙市中雅中学、南雅中学中考数学二模试卷(解析版)
2019年湖南省长沙市中雅中学、南雅中学中考数学二模试卷一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1.下列实数为无理数的是（ ） A. 4 B. 32 C. 2π D. 0【答案】C【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A 、4＝2是整数，是有理数，故选项不符合题意；B 、32是分数，是有理数，故选项不符合题意； C 、2π是无理数，故选项符合题意； D 、0是整数，是有理数，故选项不符合题意．故选：C ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（ ）A. 3.56×106人B. 35.6×105人C. 3.6×105人D. 0.356×107人 【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：356万＝56×106．故选：A．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.下列各式正确的是（）A. （a2）3＝a5B. 2a2+2a3＝2a5C.433a bababD. （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1【答案】D【解析】【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、原式＝a6，不符合题意；B、原式不能合并，不符合题意；C、原式＝a3，不符合题意；D、原式＝x2﹣1，符合题意，故选：D．【点睛】此题考查了平方差公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．4.下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5.下列说法中不正确的是（）A. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形B. 两条对角线相等的菱形是正方形C. 两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形D. 两条对角线垂直且相等的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】根据既是矩形又是菱形的四边形是正方形进行判断.【详解】解：A、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项不符合题意；B、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项不符合题意；C、两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项不符合题意；D、应是两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意．故选D【点睛】本题考查了正方形的判定，通过这道题可以掌握正方形和矩形，菱形的关系，熟练掌握性质是解题的关键.6.如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】主视图就是从正面看，看横和竖两个方向正方形的个数.【详解】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边2个小正方形，第三层右边2个小正方形，故选：D．【点睛】考核知识点：三视图.理解三视图的意义是关键.7.不等式组10114xx-<⎧⎪⎨≤⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示即可．【详解】解不等式组得：14xx<⎧⎨⎩…，∴在数轴上表示正确的是，故选：A．【点睛】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．8.已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（）A. a＜3B. a＞3C. a＜﹣3D. a＞﹣3．【答案】A【解析】【分析】根据题意一次函数y随自变量x的增大而增大，即可得出3﹣a＞0，从而求得a的取值范围.【详解】∵一次函数y＝（3﹣a）x+3，函数值y随自变量x的增大而增大∴3﹣a＞0解得a＜3故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图像增减性问题，解决此类问题只要牢固掌握一次函数k>0，函数图像递增，k<0函数图像递减，反过来亦适用.9.将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（）A. y＝5（x+3）2+2B. y＝5（x+3）2﹣2C. y＝5（x﹣3）2+2D. y＝5（x﹣3）2﹣2【答案】C【解析】【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的顶点坐标为（3，2），∴所得的抛物线的解析式为y＝5（x﹣3）2+2．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式求解更简便．10.如图，已知CA、CB分别与⊙O相切于A、B两点，D是⊙O上的一点，连接AD、BD，若∠C＝56°，则∠D等于（）A. 72°B. 68°C. 64°D. 62°【答案】D【解析】【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．详解】连接OA，OB，∵CA、CB切⊙O于点A、B，∴∠CAO＝∠CBO＝90°，∵∠C＝56°，∴∠AOB＝360°﹣∠CAO﹣∠CBO﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°．由圆周角定理知，∠D＝12∠AOB＝62°，故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度．熟练掌握：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等等知识是解题的关键．11.如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（）米．A. 25.5B. 26C. 28.5D. 20.5【答案】B【解析】【分析】作AE⊥BC，AF⊥BD，由i＝3：4，可设AF＝3x，DF＝4x，结合AD＝10，利用勾股定理可求得x的值，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F，由i＝3：4，可设AF＝3x，DF＝4x，∵AD＝10，∴9x2+16x2＝100，解得：x＝2（负值舍去），则AF＝BE＝6，DF＝8，∴AE＝DF+BD＝8+12＝20，∵∠CAE＝45°，∴CE＝AE＝20，则BC＝CE+BE＝20+6＝26，故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．12.如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C、B运动（任何一个点到达即停止），BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（）A. 512-B.512+C. 51- D. 51+【答案】A【解析】【分析】首先判断出△ABE≌△BCF，即可判断出∠BAE＝∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA＝90°，可得∠CBF+∠BEA ＝90°，所以∠APB＝90°；然后根据点P在运动中保持∠APB＝90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值为多少．【详解】解：如图，∵动点F，E的速度相同，∴DF＝CE，又∵CD＝BC，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，AB BC1ABE BCF90 BE CF ︒==⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，∵点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△BCG中，CG＝222215 BC BG122⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，∵PG＝1122 AB=，∴CP＝CG﹣PG＝5151 222--=，即线段CP的最小值为512-，故选：A．【点睛】此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，正方形的性质和应用，直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，解答此题的关键是判断出什么情况下，CP的长度最小．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13.分解因式：3a2﹣12=▲ ．【答案】3（a+2）（a﹣2）【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。
长沙市培粹实验中学2020-2021年九年级(下)第二次月考试数学试题(含答案)(最新编写)
说明： 还可连接 OB、OP，利用△ OAP≌△ OBP 来证明 OB⊥ PB．
（2）解：连接 OP，交 AB 于点 D ．
∵ PA=PB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
∵ OA=OB ，∴点 O 在线段 AB 的垂直平分线上．
∴ OP 垂直平分线段 AB．
…………………………………４ 分
8．样本数据 10， 10， x， 8 的众数与平均数相同，那么这组数据的中位数是（
）
A.8
B.9
C.10
D.12
二、 填空题 （本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．请将结果直接填写在答题卡相应位
置上）
C
9．如图， AB ∥ DE ， E 65 ，则 B C
10．分解因式： a3 4a2 4a =
12.0 13.750 元 14.20
三、解答题
17. 3.
x25
18.原式 =
=
x1 2
6
21.(1)y=-
x
(2)y=-0.5x+2
22.（ 1）证明：连接 OB．
15.（ -2 3 ， 2）
3
16.
5
1
19.（ 1） 9 种，（ 2）
9
∵ OA=OB ，∴∠ OAB=∠ OBA ．
∵ PA=PB，∴∠ PAB=∠ PBA．
∴∠ OAB +∠ PAB =∠ OBA +∠PBA，
即∠ PAO =∠ PBO
…………………２ 分
20. 2.6m
又∵ PA 是⊙ O 的切线，∴∠ PAO=90°，
∴∠ PBO =90°，∴ OB⊥ PB ．
又∵ OB 是⊙ O 半径，
湖南省长沙市中雅培粹学校 2019-2020学年九年级下学期中考第二次全真模拟考试 数学试卷(无答案)
中雅培粹学校2020届初三中考第二次全真模拟考试数学试卷总分：120分 时量：120分钟一、选择题(本大题共12小题，共36分)1.下列实数中，为无理数的是( )A.227 C.3.142.下列运算正确的是( )5= B.()2239t t -=-C.()222424ab a b -=D.22x x x ⋅= 3.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4.已知函数y =x 的取值范围是( ) A.2x <B.2x <且0x ≠C.2x ≤D.2x ≤且0x ≠ 5.在ABC ∆中，不能判断ABC ∆是直角三角形的是( )A.222b a c =-B.::3:4:5A B C ∠∠∠=C.C A B ∠=∠-∠D.::a b c =6.下列事件中，是必然事件的是( )A.射击运动员射击一次，命中靶心B.一个游戏的中奖概率是110，则做10次这样的游戏一定会中奖 C.雨后见彩虹 D.任意画一个三角形，其外角和是3607.空心六棱柱螺母按如图所示位置摆放，则它的左视图正确的图形是( )A. B. C. D.8.如图，已知//AB CD ，BC 平分ABE ∠，32C ∠=，则BED ∠的度数是( )A.32B.16C.49D.649.如图，菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 的中点，若6AC =，8BD =，则OE 长为( )A.2.5B.3C.4D.5第8题图 第9题图 第11题图10.能说明命题“若a b ≥，则0a >”是假命题的反例是( )A.2a =-，3b =-B.2a =-，1b =C.2a =-，1c =-D.2a =，1b =11.如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度1200m AC =，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角30α=，则飞机A 与指挥台B 的距离为( )A.1200mB. C. D.2400m12.如图，在ABC ∆中，P 为边上一点.若M 为CP 的中点，PBM ACP ∠=∠，3AB =，2AC =，则BP 的长为( ) A.3 B.94 C.5 D.103二、填空题(每小题3分，共18分)13.若分式21x x x -+的值为零，则x 的值是____________.14.不等式组391102x x ->⎧⎪⎨-<⎪⎩的解集是____________. 15.边长为6的正六边形的边心距是____________.16.如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，相似比为3:1，将ABC∆放大为DEF ∆，已知()1,2C ，则点F 的坐标为____________.17.一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球，它们除颜色外其余都相同.从中任意摸出1个球.不放回.再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是____________.18.如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数24y x=的图象交于()1,A m ，()4,B n 两点.则不等式40kx b x+-≥的解集为____________. 三、解答题(共8个小题，共66分)19.(6分)计算：()10120204cos302273π-⎛⎫++---- ⎪⎝⎭.20.(6分)先化简，再求值：()()()2222x y x y x y y y ⎡⎤÷⎣--+⎦--，其1x =-中，2y =-.21.(8分)某校组织全校学生进行了一次“社会主义核心价值观”知识竞赛，赛后随机抽取了各年级部分学生成绩进行统计，制作如下频数分布表和频数分布直方图.请根据图表中提供的信息，解答下列问题：(1)请求出该校随机抽取了_________名学生成绩进行统计；(2)表中a =_________，b =_________，并补全频数分布直方图；(3)若用扇形图统计图描述此成绩统计分布情况，则分数段6070x ≤<对应扇形圆心角度数是_______；(4)若该校学生共有8000人，请估计该校分数在80100x ≤<的学生有多少人？22.(8分)如图，在四边形ABCD 中，5OD OB ==，//AB CD . 成绩/x 分 频数 频率 5060x ≤< 4 0.1 6070x ≤< 8 b 7080x ≤< a 0.3 8090x ≤< 10 0.25 90100x ≤< 60.15(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(2)若12AD =，26AC =，求四边形ABCD 的面积.23.(9分)学校为了让师生更好的养成垃圾分类的习惯，决定在校园内安装垃圾分类的提示牌和垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是提示牌单价的3倍.(1)求提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，问有多少种购买方案.24.(9分)如图，点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线和ABC ∆的外接圆相交于点D ，交BC 于F .(1)若40ABC ∠=，80C ∠=，求CBD ∠的度数；(2)求证：DB DE =；(3)若6AB =，4AC =，5BC =，求DE 的长.25.(10分)定义：若一次函数y ax b =+和反比例函数c y x =-满足a b b c -=-，则称2y ax bx c =++为一次函数和反比例函数的“等差”函数.(1)判断y x b =+和3y x=-是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数； (2)若5y x b =+和c y x =-存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与c y x=-的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式；(3)若一次函数y ax b =+和反比例函数c y x =-(其中a 、b 、c 为常数，且0a >，0c >，32a b =)存在“等差”函数，且y ax b =+与“等差”函数有两个交点()11,A x y 、()22,B x y ，试判断“等差”函数图象上是否存在一点(),P x y (其中12x x x <<)，使得ABP ∆的面积最大？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.26.(10分)如图1，二次函数23y ax ax b =-+(a 、b 为参数，其中0a <)的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D .(1)若10b a =-，求tan CBA ∠的值(结果用含a 的式子表示)；(2)若ABC ∆是等腰三角形，直线AD 与y 轴交于点P ，且:2:3AP DP =.求抛物线的解析式；(3)如图2，已知4b a =-，E 、F 分别是CA 和CB 上的动点，且35EF AB =，若以EF 为直径的圆经过点C ，并交x 轴于M 、N 两点，求MN 的最大值.。
02(填空题)-2021年中考数学专题(湖南长沙卷)(解析版)
2021年中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编（湖南长沙卷）02挑战压轴题（填空题）1.（2020年长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M、N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F。
（1）=+PMPEPQPF（2）若MNPMPN•=2，则=NQMQ【答案】（1）1 （2）21-5【解析】90901===∴∴=∴∠=∠=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∠=∠∴∠=∴⊥PFEGMEPFGFEGPEPEGFPFPEEFPQFNPEFMNEQFNPNEPENMNEPNEMNPNEEPEGPFEGGFMNEG为菱形四边形，∵，平分∵，∥。
，连接）如图：作（（2）由射影定理：MN QN PN •=2 ∵MN PM PN •=2∴QN=PM 设QN=PM=m MQ=x 则MN MQ PM •=2 215(2)51(2)15()(2-==∴---=∴+=∴a x QN MQ a a x a x x m 舍去）或2.（2019年长沙）如图，函数k y x=(k 为常数，k ＞0)的图象与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若BM ⊥AM 于点M ，则∠MBA =30°；③若M 点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则2k =25MF MB =，则MD=2MA ．其中正确的结论的序号是_______．【答案】①③④【解析】①设点A（m，km），M（n，kn），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA=OM=AM，可得1+k2=m2+2km，推出m=k，根据OM=AM，构建方程求出k即可判断．④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．解：①设点A（m，km），M（n，kn），则直线AC的解析式为y=-kmnx+kn+km，∴C（m+n，0），D（0，()m n kmn+），∴1()()1(),()2222 ODM OCAm n k m n k k m n kS n S m nmn m m m∆∆+++ =⨯⨯==⨯+⨯=，∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BM⊥AM，∴OM=OA，∴k=mn，∴A（m，n），M（n，m），∴),AM n m OM=-=∴AM不一定等于OM，∴∠BAM不一定是60°，∴∠MBA不一定是30°．故②错误，∵M点的横坐标为1，∴可以假设M（1，k），∵△OAM为等边三角形，∴OA=OM=AM，1+k2=m2+2km，∵m＞0，k＞0，∴m=k，∵OM=AM，∴（1-m）2+(k−km)2=1+k2，∴k2-4k+1=0，∴k m＞1，∴k如图，作MK∥OD交OA于K．∵OF∥MK，∴25FM OKBM KB==，∴23OKOB=，∵OA =OB ，∴23OK OA =，∴21OK KA =， ∵KM ∥OD ，∴2DM OK AM AK ==，∴DM =2AM ，故④正确． 故答案为①③④．3.（2018年长沙）如图，点A ，B ，D 在⊙O 上，∠A =20°，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OD 的延长线交BC 于点C ，则∠OCB = 度．【答案】50°【解析】由圆周角定理易求∠BOC 的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC =90°，进而可求出求出∠OCB 的度数。
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级(下)第一次段考数学试卷(解析版) (1)
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（下）第一次段考数学试卷一．选择题（共12小题）1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．2D．﹣22．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线3．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A．46×10﹣7B．4.6×10﹣7C．4.6×10﹣6D．0.46×10﹣54．下列计算正确的是（）A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．3﹣＝25．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°6．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m 7．如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A．球B．圆锥C．圆柱D．棱柱8．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．49．为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（）A．B．C．D．10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若BD ＝6，则CD的长为（）A．2B．4C．6D．311．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（）A．B．C．D．12．在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（）A．a＝b B．a＝b﹣1C．a＝b或a＝b+1D．a＝b或a＝b﹣1二．填空题（共6小题）13．已知二次根式有意义，则满足条件的x的最大值是．14．分解因式：m2﹣4m+4＝．15．不等式组的解集是．16．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于．17．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD 的长为9cm，则纸面部分BDEC的面积为cm2．18．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE ＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为．三．解答题（共8小题）19．计算：20．化简求值：，其中x＝．21．某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：频数频率体育400.4科技25a艺术b0.15其它200.2请根据上图完成下面题目：（1）总人数为人，a＝，b＝．（2）请你补全条形统计图．（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣4，1），B（﹣2，3），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点．（2）求过点B′的反比例函数解析式．（3）判断A′B′的中点P是否在（2）的函数图象上．23．东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？24．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝4，点E是BC边上的点，BE＝3，连接AE，DF⊥AE交于点F．（1）求证：△ABE≌△DF A；（2）连接CF，求sin∠DCF的值；（3）连接AC交DF于点G，求的值．25．若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．（1）判断抛物线C1：y＝x2﹣2x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．（2）若抛物线C2：y＝ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；（3）对于“等边抛物线”C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．26．如图，二次函数y＝2mx2+5mx﹣12m（m为参数，且m＜0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0）．（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．（2）若m＝﹣，连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，设点M为AC上方的抛物线上一动点（与点A，C不重合），以M为圆心的圆与直线AC相切，求⊙M面积的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．2D．﹣2【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．【解答】解：|﹣|＝，故选：B．2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．3．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A．46×10﹣7B．4.6×10﹣7C．4.6×10﹣6D．0.46×10﹣5【分析】本题用科学记数法的知识即可解答．【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6．故选：C．4．下列计算正确的是（）A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．3﹣＝2【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可；【解答】解：2a+3a＝5a，A错误；（﹣3a）2＝9a2，B错误；（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，C错误；＝2，D正确；故选：D．5．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠1，∵∠1＝∠D+∠E，∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，故选：B．6．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m 【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用算术平均数的计算公式进行计算即可．【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，平均数为：（9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）÷7＝9.8m，故选：B．7．如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A．球B．圆锥C．圆柱D．棱柱【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱．故选：C．8．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝即可求解；【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；故选：B．9．为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（）A．B．C．D．【分析】根据“购买2个排球和3个实心球共需95元，购买5个排球和7个实心球共需230元”可得．【解答】解：设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得：，故选：B．10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若BD ＝6，则CD的长为（）A．2B．4C．6D．3【分析】由作图过程可得DN是AB的垂直平分线，AD＝BD＝6，再根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边一半即可求解．【解答】解：由作图过程可知：DN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝6∵∠B＝30°∴∠DAB＝30°∴∠C＝90°，∴∠CAB＝60°∴∠CAD＝30°∴CD＝AD＝3．故选：D．11．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（）A．B．C．D．【分析】根据∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，AB∥x轴，△AOB为等腰直角三角形，OA ＝OB，利用三角函数解答即可．【解答】解：∵∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，∴∠AOD＝90°，∵AB∥x轴，∴∠BAO＝∠AOC＝45°，∠ABO＝∠BOD＝45°，∴△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB，∵OB+OA+AB＝60km，∵OB＝OA＝AB，∴AB＝，故选：B．12．在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（）A．a＝b B．a＝b﹣1C．a＝b或a＝b+1D．a＝b或a＝b﹣1【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以求得a、b的值，从而可以得到a和b的关系，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，m≠n，∴（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，∴a＝2；∵函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，m≠n，∴当mn＝0时，该函数为y＝（m+n）x+1与x轴有一个交点，∴b＝1；当mn≠0时，（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，∴b＝2；由上可得，a＝b+1或a＝b，故选：C．二．填空题（共6小题）13．已知二次根式有意义，则满足条件的x的最大值是．【分析】二次根式有意义，则被开方数大于等于0，从而得关于x的不等式，解得x范围，则可得答案．【解答】解：∵二次根式有意义∴3﹣4x≥0∴x≤∴满足条件的x的最大值是．故答案为：．14．分解因式：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（m﹣2）2，故答案为：（m﹣2）215．不等式组的解集是x≤﹣2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，则不等式组的解集为x≤﹣2，故答案为：x≤﹣2．16．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于．【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在红色区域的概率．【解答】解：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有6种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能结果，所以指针落在红色区域的概率是＝；故答案为．17．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD 的长为9cm，则纸面部分BDEC的面积为πcm2．【分析】贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去扇形DAE的面积．【解答】解：S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝﹣＝π（cm2）．故答案是：π18．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE ＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为5﹣2．【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【解答】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝＝5，∴OM＝＝5，∵OF+MF≥OM，∴OF≥5﹣2，∴线段OF长的最小值为5﹣2．故答案为：5﹣2．三．解答题（共8小题）19．计算：【分析】利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式＝﹣2+﹣2×﹣（2﹣）＝﹣2+2﹣﹣2+＝﹣2．20．化简求值：，其中x＝．【分析】根据分式的混合运算先将分式化简，再代入求值即可．【解答】解：原式＝•＝＝﹣x（x+1）＝﹣x2﹣x当x＝时，原式＝﹣2﹣．21．某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：频数频率体育400.4科技25a艺术b0.15其它200.2请根据上图完成下面题目：（1）总人数为100人，a＝0.25，b＝15．（2）请你补全条形统计图．（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？【分析】（1）根据“频率＝频数÷总数”求解可得；（2）根据频数分布表即可补全条形图；（3）用总人数乘以样本中“艺术”类频率即可得．【解答】解：（1）总人数为40÷0.4＝100人，a＝25÷100＝0.25、b＝100×0.15＝15，故答案为：100、0.25、15；（2）补全条形图如下：（3）估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15＝90人．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣4，1），B（﹣2，3），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点．（2）求过点B′的反比例函数解析式．（3）判断A′B′的中点P是否在（2）的函数图象上．【分析】（1）首先确定A、B、C点关于原点对称的点的位置，再连接即可；（2）设过点B′的反比例函数解析式为y＝，再代入B′点坐标即可得到k的值，进而可得函数解析式；（3）首先确定点P坐标，根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式可得答案．【解答】解：（1）如图：（2）设过点B′的反比例函数解析式为y＝，∵B′（2，﹣3），∴﹣3＝，∴k＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；（3）∵A′（4，﹣1），B′（2，﹣3）∴A′B′的中点P坐标为（3，﹣2），∵3×（﹣2）＝﹣6，∴点P在（2）的函数图象上．23．东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？【分析】（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据数量＝总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入﹣成本＝利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据题意得：＝1.5×，解得：x＝25，经检验，x＝25是原分式方程的解．答：第一批悠悠球每套的进价是25元．（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据题意得：500÷25×（1+1.5）y﹣500﹣900≥（500+900）×25%，解得：y≥35．答：每套悠悠球的售价至少是35元．24．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝4，点E是BC边上的点，BE＝3，连接AE，DF⊥AE交于点F．（1）求证：△ABE≌△DF A；（2）连接CF，求sin∠DCF的值；（3）连接AC交DF于点G，求的值．【分析】（1）根据勾股定理求出AE，矩形的性质、全等三角形的判定定理证明；（2）连接DE交CF于点H，根据全等三角形的性质得到DF＝AB＝CD＝4，AF＝BE＝3，证明∠DCH＝∠DEC，求出sin∠DEC，得到答案；（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，根据平行线分线段成比例定理得到＝，根据余弦的概念求出EK，计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴＝5，∠AEB＝∠DAF，在△ABE和△AFD中，，∴△ABE≌△AFD；（2）连接DE交CF于点H．∵△ABE≌△DF A，∴DF＝AB＝CD＝4，AF＝BE＝3，∴EF＝CE＝2．∴DE⊥CF．∴∠DCH+∠HDC＝∠DEC+∠HDC＝90°．∴∠DCH＝∠DEC．在Rt△DCE中，CD＝4，CE＝2，∴DE＝2，∴sin∠DCF＝sin∠DEC＝＝．（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K．∴＝．在Rt△CEK中，EK＝CE•cos∠CEK＝CE•cos∠AEB＝2×＝．∴FK＝FE+EK＝．∴＝＝．25．若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．（1）判断抛物线C1：y＝x2﹣2x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．（2）若抛物线C2：y＝ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；（3）对于“等边抛物线”C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．【分析】（1）根据“等边抛物线”的定义得到抛物线C1：y＝x2﹣2x是“等边抛物线”；然后根据抛物线的性质求得它的对称轴和顶点坐标；（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），知AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||，结合顶点坐标（﹣，）知＝，据此求解可得；（3）由（2）中b2﹣4ac＝12知c＝，结合等边抛物线过（1，1）求得b＝﹣6或b＝2，依据对称轴位置得b＝﹣6，联立，求得x＝1或x＝6，从而得出答案．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣2x是“等边抛物线”．对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣2）．理由如下：由y＝x2﹣2x＝x•（x﹣2）知，该抛物线与x轴的交点是（0，0），（4，0）．又因为y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，所以其顶点坐标是（2，﹣2）．∴抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形的边长为4，∴抛物线y＝x2﹣2x是“等边抛物线”．对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣2）；（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），令y＝ax2+bx+c＝0，∴x＝，∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||＝||＝||．又∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），∴＝．∵4﹣4ac≠0，∴||＝，∴ac＝﹣2；（3）由（2）得b2﹣4ac＝12，∴c＝，∴C3：y＝x2+bx+，∵1＜x＜m时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数y＝x图象的下方，即抛物线与直线有一个交点为（1，1），∴该等边抛物线过（1，1），∴1+b+＝1，解得b＝﹣6或b＝2，又对称轴x＝﹣＝﹣＞1，∴b＜﹣2，∴b＝﹣6，∴y＝x2﹣6x+6，联立，解得x＝1或x＝6，∴m的最大值为6．26．如图，二次函数y＝2mx2+5mx﹣12m（m为参数，且m＜0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0）．（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．（2）若m＝﹣，连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，设点M为AC上方的抛物线上一动点（与点A，C不重合），以M为圆心的圆与直线AC相切，求⊙M面积的取值范围．【分析】（1）由抛物线的解析式求出C点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式；（2）作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'．证明AB'＝CB'便可得结论；（3）过M点ME∥y轴，交AC于点E，设M点的横坐标为m，用m表示MD，再根据二次函数的性质求得MD的最大值，最后根据圆的面积公式便可求得结果．【解答】解：（1）令x＝0，得y＝2mx2+5mx﹣12m＝﹣12m，设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线AC的解析式为：y＝﹣3mx﹣12m；（2）∠CBA＝2∠CAB．理由如下：如图1，作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'．∴CB＝CB'，∴∠CBA＝∠CB'O，∵m＝﹣时，抛物线的解析式为：，∴C（0，2），∴OC＝2，当y＝0，得＝0，解得x＝﹣4或，∴A（﹣4，0），B（，0），∴B'（﹣（，0），∴AB'＝，CB'＝∴AB'＝CB'，∴∠CAB＝∠ACB'，∵∠CB'O＝∠CAB+∠ACB'＝2∠CAB，∴∠CBA＝2∠CAB；（3）如图2，以MD为半径做圆，过M点ME∥y轴，交AC于点E，则∠MEC＝∠ACO，∵A（﹣4，0），以（0，2）∴直线AC的解析式为y＝，设M（m，）（﹣4＜m＜0），则E（m，），∴，在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝4，由勾股定理可得AC＝2，∴sin∠MED＝，∴，由二次函数的性质知，当m＝﹣2时，DE有最大值为：，∴，∴∴⊙M面积的最大值为：π×（）2＝，∴⊙M面积的取值范围为：0＜S⊙M≤，。
长沙市九年级下学期数学第二次月考试卷
长沙市九年级下学期数学第二次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共23分)1. （2分）下列各实数中，最大的是（）A . πB . （﹣2016）0C . ﹣D . |﹣3|2. （2分）(2015·河北) 下列运算正确的是（）A . （）﹣1=﹣B . 6×107=6000000C . （2a）2=2a2D . a3•a2=a53. （2分）某几何体的三视图如图，则该几何体是（）A . 圆柱B . 圆锥C . 球D . 长方体4. （5分）(2016·日照) 下列各式的运算正确的是（）A .B . a2+a=2a3C . （﹣2a）2=﹣2a2D . （a3）2=a65. （2分）已知ΔABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶7∶8，则ΔABC的形状是（）A . 钝角三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 都有可能6. （2分） (2019九上·弥勒期末) 下列说法正确的是（）A . 检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B . 可能性是1 的事件在一次试验中一定不会发生C . 数据3，5，4，1，-2的中位数是4D . “367人中有2人同月同日出生”为确定事件7. （2分）已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第二象限，则关于x的方程的根的情况（）A . 有两个相等的实数根B . 有两个不相等的实数根C . 没有实数根D . 无法判断8. （2分）“服务他人,提升自我”,某学校积极开展志愿者服务活动,来自该校初三的5名同学（3男2女）成立了“交通秩序维护”小分队,若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护,则恰好是一男一女的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·铁西模拟) 在平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（2﹣a，0），且A在B的左边，点C （1，﹣1），连接AC，BC，若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个，那么a的取值范围为（）A . ﹣1＜a≤0B . 0≤a＜1C . ﹣1＜a＜1D . ﹣2＜a＜210. （2分） (2017八下·丰台期末) 如图1所示，四边形ABCD为正方形，对角线AC ， BD相交于点O ，动点P在正方形的边和对角线上匀速运动. 如果点P运动的时间为x ，点P与点A的距离为y ，且表示 y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）图1 图2A . A→B→C→AB . A→B→C→DC . A→D→O→AD . A→O→B→C二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2020七下·洪泽期中) 计算： ________.12. （1分） (2019八下·静安期末) 在矩形中, 与相交于点， ,那么的度数为，________．13. （1分）关于x的方程是一元二次方程，则a=________14. （1分）(2013·梧州) 如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC 为半径作．过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是________．15. （1分） (2019八上·成都月考) 小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E 点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为________．三、解答题 (共8题；共79分)16. （5分） (2019九下·杭州期中) 先化简，再求值：，其中a=1+ ，b=-1+17. （15分） (2019九上·长兴月考) 某中学举行钢笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图。
湖南省长沙市中雅培粹学校 2019-2020 学年 上 学期入学考试 卷九年级数学试题(含答案)
中雅培粹学校九年级数学入学考试答案及评分标准一.选择题（每题3分，共36分）1-6CBDCBB 7-12ACABDD二．填空题（每题3分，共18分）13.1->x 14.)a )(a (222+-15.无解16.1017.1818.5三．计算解答题19.（6分）原式=2132132--+……4′=0.5……2′20.（6分）11-+=x x 原式，……4′代入得原式=223+……2′21.（8分=2′+4′+2′）解：（1）70÷70%＝100（天），故答案是：100；……2′（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%＝72°……2′；如图所示：……2′（3）班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是．……2′22．（8分=4′+5′）如图，△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∠DBC ＝∠BAC ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的半径为2，∠BAC ＝30°，求图中阴影部分的面积．证明题按得分点给分，过程中没有相应的得分点，则扣除相应的分数。
（下同）【解答】（1）证明：法一∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，……1′∴∠BAC+∠ABD＝90°，∵∠DBC＝∠BAC，∴∠DBC+∠ABD＝90°，∴AB⊥BC，……2′∵AB为直径，∴BC是⊙O切线；……1′法二：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，……1′∵∠DBC=∠BAC，∠C=∠C∴△BCD∽△ACB∴∠ABC=∠ADB=90°即AB⊥BC，……2′∵AB为直径，∴BC是⊙O切线；……1′（2）解：连接OD，过O作OM⊥BD于M，∵∠BAC＝30°，∴∠BOD＝2∠A＝60°，……1′∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴OB＝BD＝OD＝2，∴BM＝DM＝1，由勾股定理得：OM＝，﹣S△DOB＝﹣×2×＝π﹣．……3′∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB23.（9分=3′+3′+3′）解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；……3′（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）=-2x2+220x-4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，……1′∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，……1′故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；……1′（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＞800，解得：40＜x＜70，……1′∵30≤x≤50解得：40＜x≤50，……1′在y＝﹣2x+160中，∵-2<0∴y随x的增大而减小当x＝50时，y＝﹣2×50+160＝60∴每天的销售量最少应为60件．……1′24.（9分=3′+3′+3′）解：（1）法一：由题得，对称轴为x＝2．……1′∴B（5,0）……2′法二：A （-1,0）带入解析式求得1′∴y=x 2-4x-5∴B （5,0）……2′（2）设A 、B 的横坐标分别是x 1、x 2由韦达定理得x 1+x 2=4,x 1·x 2=3a+2……1′∴()()212212214x x x x x x -+=-……2′此时△>0,符合题意。
湖南省长沙市中雅培粹学校2019-2020学年九年级下学期中考第二次全真模拟考试数学试卷
中雅培粹学校2020届初三中考第二次全真模拟考试数学试卷总分：120分 时量：120分钟一、选择题(本大题共12小题，共36分)1.下列实数中，为无理数的是()A.227 C.3.14 2.下列运算正确的是( )5÷= B.()2239t t -=-C.()222424ab a b -=D.22x x x ⋅= 3.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4.已知函数y =x 的取值范围是( ) A.2x <B.2x <且0x ≠C.2x ≤D.2x ≤且0x ≠ 5.在ABC ∆中，不能判断ABC ∆是直角三角形的是( )A.222b a c =-B.::3:4:5A B C ∠∠∠=C.C A B ∠=∠-∠D.::a b c =6.下列事件中，是必然事件的是( )A.射击运动员射击一次，命中靶心B.一个游戏的中奖概率是110，则做10次这样的游戏一定会中奖 C.雨后见彩虹D.任意画一个三角形，其外角和是3607.空心六棱柱螺母按如图所示位置摆放，则它的左视图正确的图形是( )A. B. C. D.8.如图，已知//AB CD ，BC 平分ABE ∠，32C ∠=，则BED ∠的度数是( )A.32B.16C.49D.649.如图，菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 的中点，若6AC =，8BD =，则OE 长为( )A.2.5B.3C.4D.5第8题图 第9题图 第11题图10.能说明命题“若a b ≥，则0a >”是假命题的反例是( )A.2a =-，3b =-B.2a =-，1b =C.2a =-，1c =-D.2a =，1b =11.如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度1200m AC =，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角30α=，则飞机A 与指挥台B 的距离为( )A.1200mB.12002mC.12003mD.2400m12.如图，在ABC ∆中，P 为边上一点.若M 为CP 的中点，PBM ACP ∠=∠，3AB =，2AC =，则BP 的长为( )A.3B.94C.5D.103二、填空题(每小题3分，共18分)13.若分式21x x x -+的值为零，则x 的值是____________.14.不等式组391102x x ->⎧⎪⎨-<⎪⎩的解集是____________. 15.边长为6的正六边形的边心距是____________.16.如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，相似比为3:1，将ABC∆放大为DEF ∆，已知()1,2C ，则点F 的坐标为____________.17.一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球，它们除颜色外其余都相同.从中任意摸出1个球.不放回.再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是____________.18.如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数24y x=的图象交于()1,A m ，()4,B n 两点.则不等式40kx b x+-≥的解集为____________. 三、解答题(共8个小题，共66分)19.(6分)计算：()10120204cos302273π-⎛⎫++---- ⎪⎝⎭.20.(6分)先化简，再求值：()()()2222x y x y x y y y ⎡⎤÷⎣--+⎦--，其1x =-中，2y =-.21.(8分)某校组织全校学生进行了一次“社会主义核心价值观”知识竞赛，赛后随机抽取了各年级部分学生成绩进行统计，制作如下频数分布表和频数分布直方图.请根据图表中提供的信息，解答下列问题：(1)请求出该校随机抽取了_________名学生成绩进行统计；(2)表中a =_________，b =_________，并补全频数分布直方图；(3)若用扇形图统计图描述此成绩统计分布情况，则分数段6070x ≤<对应扇形圆心角度数是_______；(4)若该校学生共有8000人，请估计该校分数在80100x ≤<的学生有多少人？成绩/x 分 频数 频率 5060x ≤< 4 0.1 6070x ≤< 8 b 7080x ≤< a 0.3 8090x ≤< 10 0.25 90100x ≤< 60.1522.(8分)如图，在四边形ABCD 中，5OD OB ==，//AB CD .(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(2)若12AD =，26AC =，求四边形ABCD 的面积.23.(9分)学校为了让师生更好的养成垃圾分类的习惯，决定在校园内安装垃圾分类的提示牌和垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是提示牌单价的3倍.(1)求提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，问有多少种购买方案.24.(9分)如图，点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线和ABC ∆的外接圆相交于点D ，交BC 于F .(1)若40ABC ∠=，80C ∠=，求CBD ∠的度数；(2)求证：DB DE =；(3)若6AB =，4AC =，5BC =，求DE 的长.25.(10分)定义：若一次函数y ax b =+和反比例函数c y x =-满足a b b c -=-，则称2y ax bx c =++为一次函数和反比例函数的“等差”函数.(1)判断y x b =+和3y x=-是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数； (2)若5y x b =+和c y x =-存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与c y x=-的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式；(3)若一次函数y ax b =+和反比例函数c y x =-(其中a 、b 、c 为常数，且0a >，0c >，32a b =)存在“等差”函数，且y ax b =+与“等差”函数有两个交点()11,A x y 、()22,B x y ，试判断“等差”函数图象上是否存在一点(),P x y (其中12x x x <<)，使得ABP ∆的面积最大？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.26.(10分)如图1，二次函数23y ax ax b =-+(a 、b 为参数，其中0a <)的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D .(1)若10b a =-，求tan CBA ∠的值(结果用含a 的式子表示)；(2)若ABC ∆是等腰三角形，直线AD 与y 轴交于点P ，且:2:3AP DP =.求抛物线的解析式；(3)如图2，已知4b a =-，E 、F 分别是CA 和CB 上的动点，且35EF AB =，若以EF 为直径的圆经过点C ，并交x 轴于M 、N 两点，求MN 的最大值.。
2024年湖南省长沙市中雅培粹学校中考二模数学试题
2024年湖南省长沙市中雅培粹学校中考二模数学试题一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数为无理数的是（ ）A.3B.3.14C.22D.2372.下面的图形是常见的安全标志,其中是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.3.光年是天文学上的一种距离单位,一光年指光在一年内走过的路程,约等于9460000000000km ,数9460000000000可以用科学记数法表示为（ ） A.129.4610⨯B.1294.610⨯C.120.94610⨯D.139.4610⨯4.下列计算正确的是（ ） A.224a a a +=B.33(2)6a a =C.623422a a a ÷=D.()23533a a a ⋅-=- 5.已知三角形的两边长分别为2cm 和6cm ,则下列长度能作为第三边的是（ ） A.3cmB.6cmC.9cmD.11cm6.如图,直线CD ,EF 被射线OA ,OB 所截,//CD EF ,若1107︒∠=,则2∠的度数为（ ）A.63︒B.73︒C.83︒D.107︒7.下列说法中,正确的是（ ）A.为了解长沙市中学生的睡眠情况实行全面调查B.一组数据1,2,5,5,7,7,4-的众数是7C.明天的降水概率为10%,则明天下雨是不可能事件D.若平均数相同的甲,乙两组数据,220.3,0.02S S ==乙甲,则乙组数据更稳定 8.不等式组12213x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上可表示为（ ）A. B. C. D.9.一次函数y kx b =+中,如果0,0k b <≥,那么该函数的图象一定不经过（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.四大名著一般指《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四部小说,它们是中国文学史中的经典作品,是世界宝贵的文化遗产之一，某同学想阅读其中的两本，从这四部著作中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率是（ ）A.112B.16C.14D.12二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分) 11.因式分解:224a b -=_______________.12.已知一组数据8,9,x ,3,若这组数据的平均数是7,则x =_______________.13.如图,已知50ABC ︒∠=,点D 在BA 上,以点B 为圆心,BD 长为半径画弧,交BC 于点E ,连接DE ,则BDE ∠的度数是_______________度。
湖南省长沙市中雅培粹学校2019-2020学年度初三下学期中考二模数学试卷(含答案)
湖南省长沙市中雅培粹学校2019-2020学年度初三下学期中考二模数学试卷总分：120分 时量：120分钟一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.下列实数中，为无理数的是（ ）A.227 C.3.14 2.下列运算正确的是（ ）5= B.()2239t t -=-C.()222424ab a b -=D.22x x x ⋅= 3.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.4.已知函数y =，则x 的取值范围是（ ） A.2x <B.2x <且0x ≠C.2x ≤D.2x ≤且0x ≠ 5.在ABC ∆中，不能判断ABC ∆是直角三角形的是（ ）A.222b a c =-B.::3:4:5A B C ∠∠∠=C.C A B ∠=∠-∠D.::a b c =6.下列事件中，是必然事件的是（ ）A.射击运动员射击一次，命中靶心B.一个游戏的中奖概率是110，则做10次这样的游戏一定会中奖C.雨后见彩虹D.任意画一个三角形，其外角和是3607.空心六棱柱螺母按如图所示位置摆放，则它的左视图正确的图形是（ ）A. B. C. D.8.如图，已知//AB CD ，BC 平分ABE ∠，32C ∠=，则BED ∠的度数是（ ）A.32B.16C.49D.649.如图，菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 的中点，若6AC =，8BD =，则OE 长为（ ）A.2.5B.3C.4D.5第8题图 第9题图 第11题图10.能说明命题“若a b ≥，则0a >”是假命题的反例是（ ）A.2a =-，3b =-B.2a =-，1b =C.2a =-，1c =-D.2a =，1b =11.如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度1200m AC =，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角30α=，则飞机A 与指挥台B 的距离为（ ）A.1200mB.12002mC.12003mD.2400m12.如图，在ABC ∆中，P 为边上一点.若M 为CP 的中点，PBM ACP ∠=∠，3AB =，2AC =，则BP 的长为（ ） A.3 B.94 C.5 D.103二、填空题（每小题3分，共18分）13.若分式21x x x-+的值为零，则x 的值是____________. 14.不等式组391102x x ->⎧⎪⎨-<⎪⎩的解集是____________. 15.边长为6的正六边形的边心距是____________.16.如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，相似比为3:1，将ABC ∆放大为DEF ∆，已知()1,2C ，则点F 的坐标为____________.17.一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球，它们除颜色外其余都相同.从中任意摸出1个球.不放回.再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是____________.18.如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数24y x=的图象交于()1,A m ，()4,B n 两点.则不等式40kx b x+-≥的解集为____________.三、解答题（共8个小题，共66分）19.（6分）计算：()10120204cos3023π-⎛⎫++--- ⎪⎝⎭.20.（6分）先化简，再求值：()()()2222x y x y x y y y ⎡⎤÷⎣--+⎦--，其1x =-中，2y =-.21.（8分）某校组织全校学生进行了一次“社会主义核心价值观”知识竞赛，赛后随机抽取了各年级部分学生成绩进行统计，制作如下频数分布表和频数分布直方图.请根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）请求出该校随机抽取了_________名学生成绩进行统计；（2）表中a =_________，b =_________，并补全频数分布直方图；（3）若用扇形图统计图描述此成绩统计分布情况，则分数段6070x ≤<对应扇形圆心角度数是_______；（4）若该校学生共有8000人，请估计该校分数在80100x ≤<的学生有多少人？22.（8分）如图，在四边形ABCD 中，5OD OB ==，//AB CD .（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）若12AD =，26AC =，求四边形ABCD 的面积. 成绩/x 分 频数 频率 5060x ≤< 4 0.1 6070x ≤< 8 b 7080x ≤< a 0.3 8090x ≤< 10 0.25 90100x ≤< 6 0.1523.（9分）学校为了让师生更好的养成垃圾分类的习惯，决定在校园内安装垃圾分类的提示牌和垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是提示牌单价的3倍.（1）求提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，问有多少种购买方案.24.（9分）如图，点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线和ABC ∆的外接圆相交于点D ，交BC 于F .（1）若40ABC ∠=，80C ∠=，求CBD ∠的度数；（2）求证：DB DE =；（3）若6AB =，4AC =，5BC =，求DE 的长.25.（10分）定义：若一次函数y ax b =+和反比例函数c y x =-满足a b b c -=-，则称2y ax bx c =++为一次函数和反比例函数的“等差”函数.（1）判断y x b =+和3y x=-是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数； （2）若5y x b =+和c y x =-存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与c y x=-的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式；（3）若一次函数y ax b =+和反比例函数cy x =-（其中a 、b 、c 为常数，且0a >，0c >，32a b =）存在“等差”函数，且y ax b =+与“等差”函数有两个交点()11,A x y 、()22,B x y ，试判断“等差”函数图象上是否存在一点(),P x y （其中12x x x <<），使得ABP ∆的面积最大？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.26.（10分）如图1，二次函数23y ax ax b =-+（a 、b 为参数，其中0a <）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D .（1）若10b a =-，求tan CBA ∠的值（结果用含a 的式子表示）；（2）若ABC ∆是等腰三角形，直线AD 与y 轴交于点P ，且:2:3AP DP =.求抛物线的解析式； （3）如图2，已知4b a =-，E 、F 分别是CA 和CB 上的动点，且35EF AB =，若以EF 为直径的圆经过点C ，并交x 轴于M 、N 两点，求MN 的最大值.初三模考 数 学参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）二、填空题（共6小题，每小题3分）13． 1 ． 14. x ＜－3 ． 15 33．16． ()233，． 17． 31． 18． x ＜0或1≤x≤4 三、解答题（共8小题，共66分）19．（6分）解：()27-2-4cos30---︒⎪⎭⎫⎝⎛++1312020π ＝35-20．（6分）解：原式＝3y －4x 当x ＝﹣1，y ＝﹣2时，原式＝﹣2． 21．（8分）解：（1）40，……2′ （2） 12； 0.2．……3′ （3） 72°；……1′（4）8000×（0.25+0.15）=3200（人）……2′ 22．（8分）证明：（1）略……4′（2）∵四边形ABCD 为平行四边形∴OA=21AC=13……1′ ∴OD 2+AD 2=OA 2=269……1′ ∴∠ADB=90°……1′ ∴S 四边形ABCD =120．……1′23．（9分）解：（1）设提示牌单价是x 元，垃圾箱单价y 元，由题意得：，解得：，答：提示牌单价是50元，垃圾箱单价150元；……4′（2）设购买提示牌m 个，则购买垃圾箱（100﹣m ）个，由题意得：……2′解得：50≤m ≤52，……1′ ∵m 为非负整数，∵m ＝50或51或52，……1′ 答：购买方案有3种，……1′ 24．（9分）解（1）30°……3′ （2）证明：连接BE ，∵E 是内心， ∵∵ABE ＝∵CBE ，∵BAD ＝∵CAD ．……1′ ∵∵CBD ＝∵CAD ， ∵∵CBD ＝∵BAD ，∵∵BAD +∵ABE ＝∵BED ，∵CBE +∵CBD ＝∵DBE ，∵∵DBE ＝∵BED ， ∵DE ＝DB ；……2′（3）∵∵BAD ＝∵CAD ，AB=6,AC=4,BC=5∵23==CF BF AC AB ∵BF=3,CF=2……1′ ∵∵DBC ＝∵D AC ，∵BFD=∵AFC ∵∵BDF∵∵ACF ……1′∵6,224=•=•===DF AF CF BF CF AC DF BD ∵∵BAD ＝∵CAD=∵DBC =，∵BDF=∵ADB ∵∵DBF∵∵DAB∵2226)(⎪⎭⎫⎝⎛+=+=•=BD DF AF DF AD DF BD∵22=BD ……1′ 25.（10分）（1）存在，假设一次函数y ＝x +b 与反比例函数y ＝﹣存在“等差”函数，则a ＝1，c ＝3，a +c ＝2b ， 解得：b ＝2，……1′∵存在“等差”函数，其解析式为y ＝x 2+2x +3；……2′ （2）根据题意知：a ＝5，5+c ＝2b ，……1′ ∵c ＝2b ﹣5，则“等差”函数的解析式为y ＝5x 2+bx +2b ﹣5，反比例函数的解析式为y ＝﹣，根据题意，将x＝1代入，得：5+b+2b﹣5＝﹣2b+5，……1′解得b＝1，c＝﹣3，故一次函数的解析式为y＝5x+1，反比例函数的解析式为y＝；……1′（3）存在．根据题意知：a＝b，a+c＝2b，∵b＝2c，a＝3c，……1′（或者a=1.5b，c=0.5b等均可）则“等差”函数的解析式为y＝3cx2+2cx+c，一次函数解析式为y＝3cx+2c，∵y＝3cx+2c与“等差”函数y＝3cx2+2cx+c有两个交点A（x1，y1）、B（x2，y2），∵3cx2﹣cx﹣c＝0，即3x2﹣x﹣1＝0，∵x1+x2＝，x1•x2＝﹣∵|x1﹣x2|＝＝，……1′如图，过点P（x，3cx2+2cx+c）作PH∵x轴，交AB于H，则H（x，3cx+2c），∵点P（x，y）（其中x1＜x＜x2），∵P点在A，B之间，∵PH＝3cx+2c﹣（3cx2+2cx+c）＝﹣3cx2+cx+c，＝﹣3c（x2﹣x﹣）＝﹣3c[（x﹣）2﹣]，S＝|x1﹣x2|•PH＝××{﹣3c[（x﹣）2﹣]}＝﹣c[（x﹣）2﹣]，∵当x＝时，S取得最大值，最大值为c．……2′26. （10分）（1） 可求B （5,0）……2′ tan∵CBA=－2a ……1′ （2）由已知23=D x 过D 做DH∵X 轴，交X 轴于点H ∵OP∵DH,AP:DP=2:3,23=OH ∵32==DP AP OH OA ∵OA=1，A(－1,0),B （4,0）……1′ ∵a ax ax x x a y 43)1)(4(2--=--=∵()a C 4-0，349434343,251616,12222++-=∴-==+=x x y a a BC AB （舍）或则若。
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级(下)第一次段考数学试卷-教师用卷
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（下）第一次段考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.−12的绝对值是()A. −12B. 12C. 2D. −2【答案】B【解析】【分析】本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键．根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．【解答】解：|−12|=12，故选：B．2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. 赵爽弦图B. 笛卡尔心形线C. 科克曲线D. 斐波那契螺旋线【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为()A. 46×10−7B. 4.6×10−7C. 4.6×10−6D. 0.46×10−5【答案】C【解析】【分析】本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与0的个数的关系要掌握好．本题用科学记数法的知识即可解答．【解答】解：0.0000046=4.6×10−6．故选：C．4.下列计算正确的是()A. 2a+3a=6aB. (−3a)2=6a2C. (x−y)2=x2−y2D. 3√2−√2=2√2【答案】D【解析】【分析】本题考查整式的运算；熟练掌握合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可．【解答】解：2a+3a=5a，A错误；(−3a)2=9a2，B错误；(x−y)2=x2−2xy+y2，C错误；3√2−√2=2√2，D正确；故选D．5.如图，AB//CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为()A. 45°B. 48°C. 50°D. 58°【答案】B【解析】【分析】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．根据平行线的性质解答即可．【解答】解：如图，∵AB//CD，∴∠B=∠1，∵∠1=∠D+∠E，∴∠D=∠B−∠E=75°−27°=48°，故选：B．6.在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是()．A. 9.7m，9.9mB. 9.7m，9.8mC. 9.8m，9.7mD. 9.8m，9.9m【答案】B【解析】【分析】考查中位数、算术平均数的计算方法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数，平均数则是反映一组数据的集中水平．将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用算术平均数的计算公式进行计算即可．【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，平均数为：(9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2)÷7=9.8m，故选B．7.如图是一个几何体的三视图，该几何体是()A. 球B. 圆锥C. 圆柱D. 棱柱【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，难度适中．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和左视图为矩形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱．故选：C．8.已知抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，则n的值为()A. −2B. −4C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．根据(−2,n)和(4,n)可以确定函数的对称轴x=1，再由对称轴是x=b即可求解b，最后代入坐标求出n．2【解答】解：抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，可知函数的对称轴x=1，∴b=1，2∴b=2；∴y =−x 2+2x +4，将点(−2,n)代入函数解析式，可得n =−4；故选B ．9. 为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x 元，每个实心球y 元，则根据题意列二元一次方程组得( )A. {3x +2y =955x +7y =230B. {2x +3y =955x +7y =230 C. {3x +2y =957x +5y =230 D. {2x +3y =957x +5y =230 【答案】B【解析】解：设每个排球x 元，每个实心球y 元，则根据题意列二元一次方程组得：{2x +3y =955x +7y =230， 故选：B ．根据“购买2个排球和3个实心球共需95元，购买5个排球和7个实心球共需230元”可得．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．10. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若BD =6，则CD 的长为( )A. 2B. 4C. 6D. 3【答案】D【解析】解：由作图过程可知：DN 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD =6∵∠B =30°∴∠DAB =30°∴∠C =90°，∴∠CAB =60°∴∠CAD =30°∴CD =12AD =3．故选：D ．由作图过程可得DN 是AB 的垂直平分线，AD =BD =6，再根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边一半即可求解．本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．11.如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/ℎ，则A，B之间的距离是()A. 60−30√2B. 60√2−60C. 120−60√2D. 120√2−120【答案】B【解析】解：∵∠AOD=45°，∠BOD=45°，∴∠AOD=90°，∵AB//x轴，∴∠BAO=∠AOC=45°，∠ABO=∠BOD=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，OA=OB，∵OB+OA+AB=60km，AB，∵OB=OA=√22∴AB=60√2−60，故选：B．根据∠AOD=45°，∠BOD=45°，AB//x轴，△AOB为等腰直角三角形，OA=OB，利用三角函数解答即可．本题考查了等腰直角三角形，解决本题的关键是熟悉等腰直角三角形的性质．12.在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y=x2+(m+n)x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y=mnx2+(m+n)x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是()A. a=bB. a=b−1C. a=b或a=b+1D. a=b或a=b−1【答案】C【解析】解：∵函数y=x2+(m+n)x+mn的图象与x轴有a个交点，m≠n，∴(m+n)2−4mn=(m−n)2>0，∴a=2；∵函数y=mnx2+(m+n)x+1的图象与x轴有b个交点，m≠n，∴当mn=0时，该函数为y=(m+n)x+1与x轴有一个交点，∴b=1；当mn≠0时，(m+n)2−4mn=(m−n)2>0，∴b=2；由上可得，a=b+1或a=b，故选：C．根据题意，利用分类讨论的方法可以求得a、b的值，从而可以得到a和b的关系，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知二次根式√3−4x有意义，则满足条件的x的最大值是______．【答案】34【解析】解：∵二次根式√3−4x有意义∴3−4x≥0∴x≤3 4∴满足条件的x的最大值是34．故答案为：34．二次根式有意义，则被开方数大于等于0，从而得关于x的不等式，解得x范围，则可得答案．本题考查了二次根式有意义的条件，明确二次根式意义的条件，是解题的关键．14.分解因式：m2−4m+4=______．【答案】(m−2)2【解析】解：原式=(m−2)2，故答案为：(m−2)2原式利用完全平方公式分解即可．此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15.不等式组{x2≤−1−x+7>4的解集是______．【答案】x≤−2【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x2≤−1，得：x≤−2，解不等式−x+7>4，得：x<3，则不等式组的解集为x≤−2，故答案为：x≤−2．16.如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于______．【答案】13【解析】解：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有8种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能结果，所以指针落在红色区域的概率是26=13；故答案为13．首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在红色区域的概率．此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．17.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则纸面部分BDEC的面积为______cm2．【答案】4054π【解析】解：S=S扇形BAC −S扇形DAE=150⋅π⋅182360−150⋅π⋅92360=4054π(cm2).故答案是：4054π贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去扇形DAE的面积．本题考查了扇形面积的计算．解题的关键是把求不规则的图形的面积，转化为几个规则图形的面积的和或差来求．18.如图，正方形ABCD中，AB=2√5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF.则线段OF长的最小值为______．【答案】5√2【解析】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF=∠ODM=90°，∴∠EDO=∠FDM，∵DE=DF，DO=DM，∴△EDO≌△FDM(SAS)，∴FM =OE =2，∵正方形ABCD 中，AB =2√5，O 是BC 边的中点，∴OC =√5，∴OD =√(2√5)2+(√5)2=5，∴OM =√52+52=5√2，∵OF +MF ≥OM ，∴OF ≥5√2，∴线段OF 长的最小值为5√2．故答案为：5√2．连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM ，连接OF ，FM ，OM ，证明△EDO≌△FDM ，可得FM =OE =2，由条件可得OM =5√2，根据OF +MF ≥OM ，即可得出OF 的最小值．本题考查图形的旋转，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19. 化简求值：(2x−1x+1−x +1)÷x−2x 2+2x+1，其中x =√2．【答案】解：原式=2x−1−x 2+1x+1⋅(x+1)2x−2=x(2−x)1⋅x +1x −2=−x(x +1)=−x 2−x 当x =√2时，原式=−2−√2．【解析】根据分式的混合运算先将分式化简，再代入求值即可．本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是掌握分式的化简．四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）20. 计算：(−12)−1+13√27×√43−2cos30°−|2−√3| 【答案】解：原式=−2+13√27×43−2×√32−(2−√3) =−2+2−√3−2+√3=−2．【解析】利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值和二次根式的乘法法则运算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．21.艺术b0.15其它200.2请根据上图完成下面题目：(1)总人数为______人，a=______，b=______．(2)请你补全条形统计图．(3)若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？【答案】(1)100；0.25；15 ；(2)补全条形图如下：(3)估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15=90人．答：全校喜欢艺术类学生的人数有90人．【解析】【分析】此题主要考查了条形统计图的应用以及利用样本估计总体，根据题意求出样本总人数是解题关键．(1)根据“频率=频数÷总数”求解可得；(2)根据频数分布表即可补全条形图；(3)用总人数乘以样本中“艺术”类频率即可得．【解答】解：(1)总人数为40÷0.4=100人，a=25÷100=0.25、b=100×0.15=15，故答案为：100、0.25、15；(2)补全条形图如下：(3)估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15=90人．22.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(−4,1)，B(−2,3)，C(−1,2)．(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点．(2)求过点B′的反比例函数解析式．(3)判断A′B′的中点P是否在(2)的函数图象上．【答案】解：(1)如图：(2)设过点B′的反比例函数解析式为y=k，x∵B′(2,−3)，∴−3=k，2∴k=−6，∴反比例函数解析式为y=−6；x(3)∵A′(4,−1)，B′(2,−3)∴A′B′的中点P坐标为(3,−2)，∵3×(−2)=−6，∴点P在(2)的函数图象上．【解析】(1)首先确定A、B、C点关于原点对称的点的位置，再连接即可；(2)设过点B′的反比例函数解析式为y=kx，再代入B′点坐标即可得到k的值，进而可得函数解析式；(3)首先确定点P坐标，根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式可得答案．此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及关于原点对称的点的坐标，反比例函数图象上的点的坐标特点，关键是掌握用待定系数法求反比例函数的解析式的步骤：(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式y=kx，(k为常数，k≠0)；(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数；(4)写出解析式．23.东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．(1)求第一批悠悠球每套的进价是多少元；(2)如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？【答案】解：(1)设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是(x+5)元，根据题意得：900x+5=1.5×500x，解得：x=25，经检验，x=25是原分式方程的解．答：第一批悠悠球每套的进价是25元．(2)设每套悠悠球的售价为y元，根据题意得：500÷25×(1+1.5)y−500−900≥(500+900)×25%，解得：y≥35．答：每套悠悠球的售价至少是35元．【解析】(1)设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是(x+5)元，根据数量=总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入−成本=利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24.如图，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，点E是BC边上的点，BE=3，连接AE，DF⊥AE交于点F．(1)求证：△ABE≌△DFA；(2)连接CF，求sin∠DCF的值；(3)连接AC交DF于点G，求AGGC的值．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD//BC，∴√AB2+BE2=5，∠AEB=∠DAF，在△ABE和△AFD中，{∠AEB=∠DAF ∠B=∠AFDAE=AD，∴△ABE≌△AFD；(2)连接DE交CF于点H．∵△ABE≌△DFA，∴DF=AB=CD=4，AF=BE=3，∴EF=CE=2．∴DE⊥CF．∴∠DCH+∠HDC=∠DEC+∠HDC=90°．∴∠DCH=∠DEC．在Rt△DCE中，CD=4，CE=2，∴DE=2√5，∴sin∠DCF=sin∠DEC=CDDE =2√55．(3)过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K．∴AGGC =AFFK．在Rt△CEK中，EK=CE⋅cos∠CEK=CE⋅cos∠AEB=2×35=65．∴FK=FE+EK=165．∴AGGC =AFFK=1516．【解析】(1)根据勾股定理求出AE，矩形的性质、全等三角形的判定定理证明；(2)连接DE交CF于点H，根据全等三角形的性质得到DF=AB=CD=4，AF=BE=3，证明∠DCH=∠DEC，求出sin∠DEC，得到答案；(3)过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，根据平行线分线段成比例定理得到AGGC =AFFK，根据余弦的概念求出EK，计算即可．本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理的应用，掌握矩形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25.若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．(1)判断抛物线C1：y=√32x2−2√3x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．(2)若抛物线C2：y=ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；(3)对于“等边抛物线”C3：y=x2+bx+c，当1<x<m时，二次函数C3的图象落在一次函数y=x图象的下方，求m的最大值．【答案】解：(1)抛物线y=√32x2−2√3x是“等边抛物线”.对称轴x=2，顶点坐标为(2,−2√3).理由如下：由y=√32x2−2√3x=√3x⋅(12x−2)知，该抛物线与x轴的交点是(0,0)，(4,0)．又因为y=√32x2−2√3x=√32(x−2)2−2√3，所以其顶点坐标是(2,−2√3).∴抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形的边长为4，∴抛物线y=√32x2−2√3x是“等边抛物线”．对称轴x=2，顶点坐标为(2,−2√3)；(2)设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A(x1,0)，B(x2,0)，令y=ax2+bx+c=0，∴x=−2±√22−4ac2a，∴AB=|x1−x2|=|−2+√22−4ac2a−−2−√22−4ac2a|=|√22−4aca|=|√4−4aca|=|2√1−aca|.又∵抛物线的顶点坐标为(−1a ,ac−1a)，∴|ac−1 a||2√1−aca |=√32．∵4−4ac≠0，∴|√1−ac2|=√32，∴ac=−2；(3)由(2)得b2−4ac=12，∴c=b2−124，∴C3：y=x2+bx+b2−124，∵1<x<m时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数y=x图象的下方，即抛物线与直线有一个交点为(1,1)，∴该等边抛物线过(1,1)，∴1+b+b2−124=1，解得b=−6或b=2，又对称轴x=−b2a =−b2>1，∴b<−2，∴b=−6，∴y =x 2−6x +6，联立{y =x 2−6x +6y =x， 解得x =1或x =6，∴m 的最大值为6．【解析】(1)根据“等边抛物线”的定义得到抛物线C 1：y =√32x 2−2√3x 是“等边抛物线”；然后根据抛物线的性质求得它的对称轴和顶点坐标；(2)设等边抛物线与x 轴的两个交点分别为A(x 1,0)，B(x 2,0)，知AB =|x 1−x 2|=|−b+√b2−4ac 2a −−b−√b 2−4ac2a |=|√b 2−4aca |，结合顶点坐标(−1a ,ac−1a )知|ac−1a ||2√1−ac a |=√32，据此求解可得； (3)由(2)中b 2−4ac =12知c =b 2−124，结合等边抛物线过(1,1)求得b =−6或b =2，依据对称轴位置得b =−6，联立{y =x 2−6x +6y =x，求得x =1或x =6，从而得出答案． 本题是二次函数的综合问题，解题的关键是理解等边抛物线的概念和等边三角形的性质、抛物线与x 轴的交点问题及抛物线与直线的交点问题等知识点．26. 如图，二次函数y =2mx 2+5mx −12m(m 为参数，且m <0)的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(−4,0)．(1)求直线AC 的解析式(用含m 的式子表示)．(2)若m =−16，连接BC ，判断∠CAB 和∠CBA 的数量关系，并说明理由．(3)在(2)的条件下，设点M 为AC 上方的抛物线上一动点(与点A ，C 不重合)，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，求⊙M 面积的取值范围．【答案】解：(1)令x =0，得y =2mx 2+5mx −12m =−12m ，设直线AC 的解析式为y =kx +b(k ≠0)，则{−4k +b =0b =−12m， ∴{k =−3m b =−12m ， ∴直线AC 的解析式为：y =−3mx −12m ；(2)∠CBA =2∠CAB ．理由如下：如图1，作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′．∴CB =CB′，∴∠CBA =∠CB′O ，∵m =−16时，抛物线的解析式为：y =−13x 2−56x +2， ∴C(0,2)，∴OC =2，当y =0，得y =−13x 2−56x +2=0，解得x =−4或32，∴A(−4,0)，B(32,0)，∴B′(−(32,0)，∴AB′=52，CB′=√OB′2+OC 2=52∴AB′=CB′，∴∠CAB =∠ACB′，∵∠CB′O =∠CAB +∠ACB′=2∠CAB ，∴∠CBA =2∠CAB ；(3)如图2，以MD 为半径做圆，过M 点ME//y 轴，交AC 于点E ，则∠MEC =∠ACO ，∵A(−4,0)，以(0,2)∴直线AC 的解析式为y =12x +2，设M(m,−13m 2−56m +2)(−4<m <0)，则E(m,12m +2)，∴ME =−13m 2−43m ，在Rt △AOC 中，OC =2，OA =4，由勾股定理可得AC =2√5，∴sin∠MED =MD ME =sin∠ACO =AO AC =2√5=2√55， ∴DE =−2√515m 2−8√515m ， 由二次函数的性质知，当m =−2时，DE 有最大值为：8√515， ∴0<DE ≤8√515， ∴∴⊙M 面积的最大值为：π×(8√515)2=6445π， ∴⊙M 面积的取值范围为：0<S ⊙M ≤6445π，【解析】(1)由抛物线的解析式求出C 点坐标，再用待定系数法求直线AC 的解析式；(2)作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′.证明AB′=CB′便可得结论；(3)过M 点ME//y 轴，交AC 于点E ，设M 点的横坐标为m ，用m 表示MD ，再根据二次函数的性质求得MD 的最大值，最后根据圆的面积公式便可求得结果．本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数的性质，二次函数的图象与性质，圆的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，第三题关键是求出DE 的最大值．。
湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校2019-2020学年九年级下学期第一次段考数学试题(word无答案)
湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校2019-2020学年九年级下学期第一次段考数学试题(word无答案)一、单选题(★) 1 . ﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣2D．2(★★) 2 . 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．(★) 3 . 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A．B．C．D．(★) 4 . 下列计算正确的是（）A．B．C．D．(★) 5 . 如图，，，，则的度数为（）A．B．C．D．(★★) 6 . 在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7，9.9B．9.7，9.8C．9.8，9.7D．9.8，9.9(★) 7 . 如图是一个几何体的三视图，该几何体是( )A．球B．圆锥C．圆柱D．棱柱(★★★★) 8 . 已知抛物线经过和两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4(★★) 9 . 为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球 x元，每个实心球 y元，则根据题意列二元一次方程组得（）A．B．C．D．(★) 10 . 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若BD＝6，则CD的长为（）A．2B．4C．6D．3(★★) 11 . 如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（）A．B．C．D．(★★) 12 . 在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x 2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx 2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（）A．a＝b B．a＝b﹣1C．a＝b或a＝b+1D．a＝b或a＝b﹣1二、填空题(★) 13 . 已知二次根式有意义，则满足条件的的最大值是______．(★) 14 . 分解因式：_____．(★) 15 . 不等式组的解集是_____．(★)16 . 如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于_____．(★) 17 . 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB， AC夹角为150°， AB的长为18 cm，BD的长为9 cm，则纸面部分 BDEC的面积为_____ cm 2．(★★) 18 . 如图，正方形 ABCD中， AB＝2 ， O是 BC边的中点，点 E是正方形内一动点，OE＝2，连接 DE，将线段 DE绕点 D逆时针旋转90°得 DF，连接 AE、 CF．则线段 OF长的最小值为_____．三、解答题(★) 19 . 计算：(★) 20 . 化简求值：，其中．(★★) 21 . 某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：频数频率体育400.4科技25a艺术b0.15其它200.2请根据上图完成下面题目：（1）总人数为人，a= ，b= ．（2）请你补全条形统计图．（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？(★★) 22 . 如图，在平面直角坐标系中，△ ABC的顶点坐标为 A（﹣4，1）， B（﹣2，3）， C （﹣1，2）．（1）画出△ ABC关于原点 O成中心对称的△ A′ B′ C′，点A′，B′，C′分别是点 A， B， C的对应点．（2）求过点B′的反比例函数解析式．（3）判断A′ B′的中点 P是否在（2）的函数图象上．(★★) 23 . 东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？(★★) 24 . 如图，在矩形ABCD中，，，点E是BC边上的点，，连接AE，交于点A．求证：≌；连接CF，求的值；连接AC交DF于点G，求的值．(★★★★) 25 . 若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．（1）判断抛物线C 1：y＝x 2﹣2 x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．（2）若抛物线C 2：y＝ax 2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；（3）对于“等边抛物线”C 3：y＝x 2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C 3的图象落在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．(★★★★) 26 . 如图，二次函数y＝2mx 2+5mx﹣12m（m为参数，且m＜0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0）．（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．（2）若m＝﹣，连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，设点M为AC上方的抛物线上一动点（与点A，C不重合），以M为圆心的圆与直线AC相切，求⊙M面积的取值范围．。
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级(下)第二次月考数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在实数−1、−2、0、√3中，绝对值最小的实数是()3D. √3A. −2B. 0C. −132.截至北京时间4月17日6时38分，全球新冠病毒确诊人数突破215万例，数据215万用科学记数法表示为()A. 2.15×105B. 2.15×106C. 21.5×105D. 0.215×1073.下列运算正确的是()A. x2+x4=x6B. x2⋅x3=x6C. (x2)3=x6D. 3√5−√5=34.下列说法正确的是()A. 一个游戏的中奖概率是1，则做10次这样的游戏一定会中奖10B. 为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式C. 一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8D. 若甲组数据的方差S甲2=0.01，乙组数据的方差S乙2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定5.不等式组{−x+2≤1x<2的解集在数轴上可以表示为()A. B.C. D.6.下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是()A. ①③B. ②③C. ③④D. ②④7.已知关于x的一元二次方程x2−4x+c=0的一个根为1，则另一个根是()A. 5B. 4C. 3D. 28.已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是()A. 216°B. 270°C. 288°D. 300°9.如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是()A. SSSB. SASC. AASD. ASA10.一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为()A. 7B. 9C. 12D. 9或1211.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于()A. 45B. 35C. 34D. √101012.如图，AB是半圆O的直径，AB=5cm，AC=4cm.D是弧BC上的一个动点(含端点B，不含端点C)，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是()A. √13−2<BE≤95B. √13−2≤BE<3C. 95≤BE<3 D. √13−95≤BE<3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.分解因式：ab2−a=____________．14.函数y=√x−5中自变量x的取值范围是______．15.抛掷一枚均匀的硬币，前5次都正面朝上，则第6次正面朝上的概率是______．16.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为______．17.如图，已知AB//CD，BE平分∠ABD，∠BED=25°，则∠D=______°.18.已知点A(a,b)是反比例函数y=8x(x>0)图象上的动点，AB//x轴，AC//y轴，分别交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点B、C，交坐标轴于D、E，且AC=3CD，连接BC.现有以下四个结论：①k=2；②在点A运动过程中，△ABC的面积始终不变；③连接DE，则BC//DE；④不存在点A，使得△ABC∽△OED.其中正确的结论的序号是______．三、解答题（本大题共8小题，共65.0分）19.计算：|√3−2|+20200+(−13)−1+3tan30°20.先化简，再求值：x2−4x2−4x+4÷x+2x+1−xx−2，其中x=3．21.某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”，“自强自立”、“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正确的，后两行的数据中有一个是错误的．类别频数频率助人为乐美德少年a0.20自强自立美德少年3b孝老爱亲美德少年70.35诚实守信美德少年60.32根据以上信息，解答下列问题：(1)统计表中的a=______，b______；(2)统计表后两行错误的数据是______，该数据的正确值是______；(3)校园小记者决定从A，B，C三位“自强自立美德少年”中随机采访两位，用画树状图或列表的方法，求A，B都被采访到的概率．22.四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．23.2020年疫情期间，长沙市教育局出台《长沙市中小学线上教学工作实施意见》，长沙市推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播教学，据统计，第一批公益课受益学生4万人次，第三批公益课受益学生4.84万人次．(1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；(2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？24.如图，AB是⊙O的直径，点D是AE⏜上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF⋅DB；(3)在(2)的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．25.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上，则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的中雅函数，如：y=x2+ 1是y=x+1的中雅函数．x−3的中雅函数，并说(1)判断二次函数y=2x2−4x−3是否为一次函数y=−12明理由；(2)若关于x的一次函数y=mx−3(m≠0)的中雅函数y=x2+nx+5与x轴两个交点间的距离为4，求直线y=mx−3与坐标轴所围三角形的面积；k(k>0)的中雅函数为y=kx2+kx+(3)已知关于x的一次函数l1：y=mx+2144k，与l1平行的直线l2：y=nx+7k交中雅函数y=kx2+kx+4k的图象于A、B 两点，若x轴上有且仅有一个点C，使得∠ACB=90°，求k的值．26.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(m,0)(0<m<√2)，B(2√2,0)，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆的交点，连接BE与AD相交于点F．(1)求证：BF=DO；(2)若AE⏜=DE⏜，试求经过B，F，O三点的抛物线C的解析式；(3)在(2)的条件下，将抛物线C在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象，若直线BE向上平移t个单位与新图象只有两个公共点，试求t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵|−13|=13，|−2|=2，|0|=0，|√3|=√3，∴绝对值最小的实数是0．故选：B．根据题目中的数据可以求出它们的绝对值，从而可以找出绝对值最小的数，本题得以解决．本题考查实数大小比较，解答本题的关键是求出题目中各个数据的绝对值．2.【答案】B【解析】解：215万用科学记数法表示为：2.15×106，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：A、x2与x4不是同类项，无法合并，故此选项错误；B、x2⋅x3=x5，故此选项错误；C、(x2)3=x6，正确；D、3√5−√5=2√5，故此选项错误；故选：C．直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、二次根式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.【答案】C【解析】解：A、概率即是在多次重复试验中，比较接近的一个数，所以一个游戏的中，则做10次这样的游戏不一定会中奖，故选项错误；奖概率是110B、容量太大，只能抽样调查，故选项错误；C、数据8出现3次，次数最多，所以8是众数；数据从小到大排列为6，7，8，8，8，9，10，所以中位数是8，故选项正确；D、方差越大，说明这组数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故选项错误．故选：C．根据中位数、众数、方差的概念对选项一一分析，选择正确答案即可．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不易采集到的数据的调查方式应采用抽样调查的方式；一组数据中出现次数最多的数为众数；一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数；一组数据的方差越小，稳定性越好．5.【答案】D【解析】解：解不等式−x+2≤1，得：x≥1，又x<2，∴不等式组的解集为1≤x<2，故选：D．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图，考查了学生的空间想象能力．分别分析四个几何体的三视图，从中找出只有两个视图相同的几何体，可得出结论．【解答】解：①正方形的主、左和俯视图都是正方形；②圆锥的主、左视图是三角形，俯视图是圆；③球体的主、左和俯视图都是圆形；④圆柱的主、左视图是长方形，俯视图是圆；只有两个视图相同的几何体是圆锥和圆柱．故选D．7.【答案】C【解析】解：设方程的另一个根为m，则1+m=4，∴m=3，故选：C．根据根与系数的关系可得出两根之和为4，从而得出另一个根．本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解题关键是灵活运用一元二次方程根与系数的关系求方程的另外一个根．8.【答案】A【解析】解：设其侧面展开图的圆心角为n°，∵圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，=2π×3，∴nπ×5180解得：n=216，∴其侧面展开图的圆心角为：216°，故选：A．=2π×3，继而求得答首先设其侧面展开图的圆心角为n°，然后由弧长公式可得：nπ×5180案．此题考查了圆锥的有关计算以及弧长公式．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．9.【答案】A【解析】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C′O′D′，故选：A．由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS可得到三角形全等．本题主要考查了全等三角形的判定和基本作图，关键是掌握全等三角形的判定定理．10.【答案】C【解析】解：当腰为5时，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12．故选：C．题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．11.【答案】D【解析】解：∵AB=5，BC=√32+42=5，AC=√12+32=√10，∴BA=BC，∴∠ACB=∠CAB，∴cos∠ACB=cos∠CAB=√10=√1010，故选：D．求出AB，BC，可得AB=BC，推出∠ACB=∠CAB，由此即可解决问题．本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．12.【答案】B【解析】解：如图，由题意知，∠AEC=90°，∴E在以AC为直径的⊙M的CN⏜上(不含点C、可含点N)，∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点(图中E′点)，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB=5，AC=4，∴BC=3，CM=2，则BM=√CM2+BC2=√22+32=√13，∴BE长度的最小值BE′=BM−ME′=√13−2，当BE最长时，即E与C重合，∵BC=3，且点E与点C不重合，∴BE<3，综上，√13−2≤BE<3，故选：B．由∠AEC=90°知E在以AC为直径的⊙M的CN⏜上(不含点C、可含点N)，从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点(图中E′点)，在Rt△BCM中利用勾股定理求得BM=√13，从而得BE长度的最小值BE′=BM−ME′=√13−2；由BE最长时即E与C重合，根据BC=3且点E与点C不重合，得BE<3，从而得出答案．本题主要考查圆周角定理、勾股定理等知识点，根据题意得出BE最短时，即为连接BM 与⊙M的交点是解题的关键．13.【答案】a(b+1)(b−1)【解析】【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．首先将原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a(b2−1)=a(b+1)(b−1)，故答案为a(b+1)(b−1)．14.【答案】x≥5【解析】解：由题意得，x−5≥0，解得x≥5．故答案为：x≥5．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．15.【答案】12【解析】【试题解析】解：∵硬币由正面朝上和朝下两种情况，并且是等可能发生的，∴第6次正面朝上的概率是1，2．故答案为：12根据概率的意义解答．本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义并明确硬币只有正反两个面是解决本题的关键．16.【答案】5【解析】【分析】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=12CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=12CD=12×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB−BE=x−1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+(x−1)2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．17.【答案】130【解析】解：∵AB//CD，∠BED=25°，∴∠ABE=∠BED=25°，∠ABD+∠D=180°，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=50°，∴∠D=180°−∠ABD=180°−50°=130°，故答案为130．根据平行线的性质可求∠ABE=25°，∠ABD+∠D=180°，再利用角平分线的定义可求解∠ABD的度数，进而可求解．本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．18.【答案】①②③【解析】解：∵A(a,b)，且A在反比例函数y=8x(x>0)的图象上，∴b=8a，∵AC//y轴，且C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，∴C(a,k a ).又∵AC=3CD，∴AD=4CD，即8a =4⋅ka，∴k=2，故①正确．∵A(a,8a )，C(a,2a).∵AB//x轴，∴B点的纵坐标为8a，∵点B在反比例函数y=2x的函数图象上，∴8a =2x，解得：x=a4，∴点B(a4,8a )，∴AB=a−a4=3a4，AC=8a−2a=6a，∴S=12AB⋅AC=12⋅3a4⋅6a=94，∴在点A运动过程中，△ABC面积不变，始终等于94，故②正确，连接DE，如图所示．∵由已知可知：∠BAC=∠DOE=90°，∵ABAE =34aa=34，ACAD=6a8a=34，∴ABAE =ACAD，∴BC//DE，故③正确，若△ABC∽△OED．则有ABOE =ACOD，∴3a48a=6aa，∴a=2√2，∴在点A的运动过程中，当a=2√2时，△ABC∽△OED，故④错误，故答案为①②③．①正确．由反比例函数图象上点的坐标特征用函数a的代数式表示出来b，并找出点C 坐标，根据AC=3CD，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．②正确．根据(1)得出A、C的坐标，由AB//x轴找出B点的坐标，由此即可得出AB、AC的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论．③正确，证明ABAE =ACAD即可．④错误，假设△ABC∽△OED，根据相似三角形的性质，构建方程求出a即可判断．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是：(1)根据线段间的关系找出关于k的一元一次方程；(2)用含a 的代数式表示出线段AB、AC；(3)根据线段间的关系找出三角形是否相似．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据对应线段成比例来证出三角形相似是难点，在日常练习中应加强该方面的练习．19.【答案】解：原式=2−√3+1−3+3×√33=2−√3+1−3+√3=0．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：原式=(x+2)(x−2)(x−2)2×x+1x+2−xx−2=x+1x−2−xx−2=1x−2，当x=3时，原式=13−2=1．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=3代入进行解答即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．21.【答案】(1)4，0.15；(2)0.32，0.30；(3)列表得：A B CA AB ACB BA BCC CA CB∵共有6种等可能的结果，A、B都被选中的情况有2种，∴P(A,B都被采访到)=26=13．【解析】解：(1)由题意得：a=20×0.20=4，b=3÷20=0.15；故答案为：4，0.15；(2)∵6÷20=0.3≠0.32，∴最后一行数据错误，正确的值为0.30；故答案为：0.32，0.30；(3)见答案．【分析】(1)根据频率=频数样本总数直接求得a、b的值即可；(2)用频数除以样本总数看是否等于已知的频率即可；(3)列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．本题考查了频数分布表及列表或树形图求概率的知识，解题的关键是能够正确的列表将所有等可能的结果列举出来，难度不大．22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，而F是CB的延长线上的点，∴∠ABF=90°，在△ADE和△ABF中{AD=AB∠D=∠ABF DE=BF，∴△ADE≌△ABF(SAS)；(2)解：∵BC=8，∴AD=8，在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，∴AE=√AD2+DE2=10，∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90 度得到，∴AE=AF，∠EAF=90°，∴△AEF的面积=12AE2=12×100=50(平方单位)．【解析】(1)根据SAS只要证明AD=AB，∠D=∠ABF，DE=BF即可；(2)只要证明△AEF是等腰直角三角形即可解决问题；本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积．等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)设这个增长率为x，依题意，得：4(1+x)2=4.84，解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(不合题意，舍去)．答：这个增长率为10%．(2)4.84×(1+10%)=5.324(万人次)．答：第四批公益课受益学生将达到5.324万人次．【解析】(1)设这个增长率为x，根据第一批及第三批公益课受益学生人次数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)根据第四批公益课受益学生人次数=第三批公益课受益学生人次数×(1+增长率)，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，∴∠EAB=∠CBE，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线；(2)证明：∵BD平分∠ABE，∴∠ABD=∠DBE，AD⏜=DE⏜，∴∠DEA=∠DBE，∵∠EDB=∠BDE，∴△DEF∽△DBE，∴DEDB =DFDE，∴DE2=DF⋅DB；(3)解：连接DA、DO，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵∠EBD=∠OBD，∴∠EBD=∠ODB，∴OD//BE，∴PDPE =POPB，∵PA=AO，∴PA=AO=OB，∴PO PB=23∴PDPE =23，∴PDPD+DE =23，∵DE=2，∴PD=4，∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，∴∠PDA=∠ABE，∵OD//BE，∴∠AOD=∠ABE，∴∠PDA=∠AOD，∵∠P=∠P，∴△PDA∽△POD，∴PDPO =PAPD，设OA=x，∴PA=x，PO=2x，∴42x =x4，∴2x2=16，x=2√2，∴OA=2√2，即⊙O的半径为2√2．【解析】(1)根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE=90°，则CB⊥AB，从而证得BC是⊙O的切线；(2)通过证得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论．(3)连接DA、DO，先证得OD//BE，得出PDPE =POPB，然后根据已知条件得出POPB=PDPE=PD PD+DE =23，求得PD=4，通过证得△PDA∽△POD，得出PDPO=PAPD，设OA=x，则PA=x，PO=2x，得出42x =x4，解得OA=2√2．本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．25.【答案】解：(1)二次函数y=2x2−4x−3不是一次函数y=−12x−3的中雅函数．理由如下：∵y=2x2−4x−3=2(x−1)2−5，∴抛物线y=2x2−4x−3的顶点坐标为(1,−5)，当x=1时，y=−12x−3=−12×1−3=−312≠−5，∴点(1,−5)不在直线y=−12x−3上，∴二次函数y=2x2−4x−3不是一次函数y=−12x−3的中雅函数；(2)设函数y=x2+nx+5与x轴两个交点为(x1,0)，(x2,0)，∴x1+x2=−n，x1x2=5，∴(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=n 2−20， ∵函数y =x 2+nx +5与x 轴两个交点间的距离为4， ∴|x 1−x 2|=4，∴(x 1−x 2)2=16，即n 2−20=16， ∴n =±6，∵y =x 2+nx +5=(x +n2)2−14n 2+5，∴函数y =x 2+nx +5的顶点坐标为(−n2,−14n 2+5)， ∵y =x 2+nx +5是一次函数y =mx −3(m ≠0)的中雅函数， ∴−14n 2+5=−12mn −3，∴m =n 2−322n，当n =6时，m =13， 当n =−6时，m =−13，①当m =13时，直线y =mx −3为y =13x −3，直线y =13x −3与x 轴的交点为(9,0)，与y 轴的交点为(0,−3)， ∴直线y =mx −3与坐标轴所围三角形的面积为12×9×|−3|=272，②当m =−13时，直线y =mx −3为y =−13x −3，直线y =−13x −3与x 轴的交点为(−9,0)，与y 轴的交点为(0,−3)， ∴直线y =mx −3与坐标轴所围三角形的面积为12×|−9|×|−3|=272，综上，直线y =mx −3与坐标轴所围三角形的面积为272． (3)∵y =kx 2+kx +4k =k(x +12)2+154k ，∴函数为y =kx 2+kx +4k 的顶点坐标为(−12,154k)，∵函数为y =kx 2+kx +4k 是y =mx +214k(k >0)的中雅函数，∴154k =−12m +214k ，∴m =3k ， ∵l 1//l 2， ∴n =m ，∴直线l 2：y =nx +7k 可化为y =3kx +7k ， 联立方程组{y =3kx +7ky =kx 2+kx +4k ，解得，{x 1=3y 1=16k ，{x 2=−1y =4k ，不妨令A(3,16k)，则B(−1,4k)，∵当以AB 为直径的圆与x 轴相切时，x 轴上有且仅有一个点C ，使得∠ACB =90°， ∴以AB 为直径的圆的圆心到x 轴的距离等于12AB 时，x 轴上有且仅有一个点C ，使得∠ACB =90°，且C 为切点， 设AB 的中点为点P ，则P(1,10k)， 过P 作PC ⊥x 轴于点C ，则PC =10k ，∴12AB =10k ，即12√(3+1)2+(16k −4k)2=10k ， 解得，k =14，或k =−14(舍)， 故k =14．【解析】(1)先求出抛物线数y =2x 2−4x −3的顶点坐标，再检验其顶点坐标是否在直线y =−12x −3上，进而根据定义得出结论；(2)根据y =x 2+nx +5与x 轴两个交点间的距离为4，运用根与系数的关系列出n 的方程求得n 的值，再根据中雅函数定义求得m 的值，进而直线y =mx −3与坐标轴的交点坐标，根据三角形面积公式求得结果； (3)由一次函数l 1：y =mx +214k(k >0)的中雅函数为y =kx 2+kx +4k ，根据中雅函数的定义求出m 、k 的关系，再由平行直线的函数的一次项系数相等，把n 换成k ，再求出l 2与y =kx 2+kx +4k 的交点A 、B 的坐标，当以AB 为直径的圆与x 轴相切时，x 轴上有且仅有一个点C ，使得∠ACB =90°，此时C 点刚好为切点，由此根据AB 的中点到x 轴的距离等于圆的半径，列出k 的方程进行解答便可．本题是一个新定义阅读题，主要考查了新定义，二次函数的性质，一次函数的性质，求一次函数与坐标轴的交点，求二次函数与x 轴的交点，三角形的面积，根与系数的关系，关键是根据新定义，求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数中便可得结果．26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠BAF =∠DAO =90°在△ABF和△ADO中{∠ABF=∠ADO AB=AD∠BAF=∠DAO∴△ABF≌△ADO(ASA)，∴BF=DO；(2)∵A(m,0)，B(2√2,0)，∴AO=m，BO=2√2，AB=2√2−m，∵AE⏜=DE⏜，∴∠EBO=∠EBD，∵∠DAB=90°，∴BD为直径∴∠BEO=∠BED=90°，又∵BE=BE，∴△BEO≌△BED，∴BD=BO=2√2，在Rt△BCD中BD=√2AB，∴2√2=√2(2√2−m)，∴m=2√2−2，∵△ABF≌△ADO，∴AF=AO=m=2√2−2，∴F点的坐标为(2√2−2,2−2√2)，∵抛物线C经过O(0,0)，B(2√2,0)，设C的解析式为y=ax(x−2√2)，将F(2√2−2,2−2√2)代入得：a=12，∴抛物线l的解析式为y=12x2−√2x；(3)①如图，设直线BE与y轴相交于G，向上平移直线BE使平移后的直线经过原点O，由图象知，在平移前直线BE与新图象有1个公共点，平移到经过点O时与新图象有3个公共点．∴0<t<OG，设直线BE的解析式为y=kx+m，将B(2√2,0)，F(2√2−2,2−2√2)代入易求出：y=(√2−1)x−4+2√2，当x=0时，y=−4+2√2，∴OG=4−2√2，此时t的取值范围是：0<t<4−2√2．②如图，当直线BE向上平移至于抛物线相切后再向上平移时，直线BE与图象的交点又变为两个，设相切时直线BE的解析式为y=(√2−1)x+b，则方程组{y=−12x2+√2xy=(√2−1)x+b有一个解，于是方程−12x2−√2x=(√2−1)x+b有两个相等的实数根，即△=0，解得b=12，此时直线BE的解析式为y=(√2−1)x+12，直线BE与y轴的交点为(0,12)，∴OG=12+(4−2√2)=92−2√2，∴此时t的取值范围是：t>92−2√2．综上所述：t的取值范围为：0<t<4−2√2或t>92−2√2．【解析】(1)本题可通过全等三角形来证简单的线段相等，三角形ABF和ADO中，根据圆周角定理可得出∠ABF=∠ADO，已知了一组直角和AB=AD，因此两三角形全等，即可得出BF=OD的结论；(2)如果G是三角形BDO的外心，根据三角形外心定义可知BE必垂直平分OD，因此三角形BOD是等腰三角形．在等腰直角三角形ABD中，BD=BO=2√2，AB=OB−OA=2√2+m，因此可根据AB、BD的比例关系求出m的值，即可得出OA的长，而在(1)得出的全等三角形中，可得出OA=FG，据此可求出F点坐标．已知B、F、O三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；(3)当直线BE与y轴相交于G，向上平移直线BE使平移后的直线经过原点O，由图象知，在平移前直线BE与新图象有1个公共点，平移到经过点O时与新图象有3个公共点，并且0<t<OG，利用已知条件求出OG的长即可求出t的取值范围；当直线BE 向上平移至于抛物线相切后再向上平移时，直线BE与图象的交点又变为两个，设相切时直线BE的解析式为y=(√2−1)x+b，求出方程组的解，进而求出t的取值范围．本题考查了二次函数的性质，二次函数和圆的交点问题，以及正方形的性质和全等三角形的判定和全等三角形的性质，本题有一定的难度，综合性也比较强，有一定的新意，第3小问有些难度，有一定的能力要求，解这种题时需冷静地分析题意，找到切入点不会很难．。
2019届九年级下学期月考数学试卷(2)(3月份)(附答案,解析)
2019届九年级下学期月考数学试卷（3月份）一．选择题（每题3分，共42分）1．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．B．y=2x+1 C．y=x2+x﹣2 D．y2=x2+3x2．抛物线y=x2﹣4的顶点坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（1，﹣3）D．（0，﹣4）3．抛物线y=x2﹣4x﹣7的对称轴是（）A．直线x=2 B．直线x=﹣2 C．直线x=4 D．直线x=74．将抛物线y=2x2向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y=2x2+1 B．y=2x2﹣1 C．y=2（x+1）D．y=2（x﹣1）25．将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=2（x﹣2）2﹣1 B．y=2（x﹣4）2+32 C．y=2（x﹣2）2﹣9 D．y=2（x﹣4）2﹣336．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）A．B．C．D．7．运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高y（m）与水平的距离x（m）之间的函数关系式为y=﹣x2+x+，则该运动员的成绩是（）A．6m B．12m C．8m D．10m8．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等9．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°10．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．311．正六边形的边长为6cm，则内切圆的半径为（）A． B．6 C．3 D．12．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．25°C．40°D．50°13．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=52°，则∠A的度数是（）A．52°B．76°C．26°D．128°14．用一个半径为30cm，面积为300π cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm二．填空题（每题4分，共16分）15．已知点（2，8）在抛物线y=ax2上，则a=．16．已知抛物线y=2x2﹣4x+m的顶点在x轴上，则m的值是．17．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB等于度．18．如图，在△ABC中，点I是外心，∠BIC=110°，则∠A=．三．解答题（共计62分）19．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度数．20．如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求AC的长．21．如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．22．已知一条抛物线过点（3，2）和（0，1），且它的对称轴为直线x=3．试求这条抛物线的解析式．23．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经过市场调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出2件．设每件衬衫降价x元，每天的利润为y元，（1）试写出y与x之间的函数关系式；（2）若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？24．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．2019届九年级下学期月考数学试卷（2）（3月份）参考答案与试题解析一．选择题（每题3分，共42分）1．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．B．y=2x+1 C．y=x2+x﹣2 D．y2=x2+3x【考点】二次函数的定义．【分析】利用二次函数定义就可以解答．【解答】解：A、，分母中含有自变量，不是二次函数，错误；B、y=2x+1，是一次函数，错误；C、y=x2+x﹣2，是二次函数，正确；D、y2=x2+3x，不是函数关系式，错误．故选C．【点评】本题考查二次函数的定义．2．抛物线y=x2﹣4的顶点坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（1，﹣3）D．（0，﹣4）【考点】二次函数的性质．【分析】形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k）直接求顶点坐标．【解答】解：抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4）．故选D．【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．3．抛物线y=x2﹣4x﹣7的对称轴是（）A．直线x=2 B．直线x=﹣2 C．直线x=4 D．直线x=7【考点】二次函数的性质．【分析】先把抛物线化为顶点式的形式，再进行解答即可．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣4x﹣7可化为y=（x﹣2）2﹣11，∴抛物线的对称轴是直线x=2．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．4．将抛物线y=2x2向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y=2x2+1 B．y=2x2﹣1 C．y=2（x+1）D．y=2（x﹣1）2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】可根据二次函数图象左加右减的平移规律进行解答．【解答】解：二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位，得：y=2（x﹣1）2，故选D．【点评】主要考查的是二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．5．将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=2（x﹣2）2﹣1 B．y=2（x﹣4）2+32 C．y=2（x﹣2）2﹣9 D．y=2（x﹣4）2﹣33【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y=2x2﹣8x﹣1，=2（x2﹣4x+4）﹣8﹣1，=2（x﹣2）2﹣9，即y=2（x﹣2）2﹣9．故选C．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的操作是解题的关键．6．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．7．运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高y（m）与水平的距离x（m）之间的函数关系式为y=﹣x2+x+，则该运动员的成绩是（）A．6m B．12m C．8m D．10m【考点】二次函数的应用．【专题】应用题．【分析】铅球落地才能计算成绩，此时y=0，即﹣x2+x+=0，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去．【解答】解：由题意可知，把y=0代入解析式得：﹣x2+x+=0，解方程得x1=10，x2=﹣2（舍去），即该运动员的成绩是10米．故选D．【点评】本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即y=0，测量运动员成绩，也就是求x的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．8．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出A选项错误．【解答】解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．故选A．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．9．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°【考点】圆的认识；平行线的性质．【分析】首先由AD∥OC可以得到∠AOC=∠DAO，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．【解答】解：∵AD∥OC，∴∠AOC=∠DAO=70°，又∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO=70°，∴∠AOD=180﹣70°﹣70°=40°．故选D．【点评】此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．10．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．11．正六边形的边长为6cm，则内切圆的半径为（）A． B．6 C．3 D．【考点】正多边形和圆．【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为6cm的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=6cm，∴OG=OA•sin60°=6×=3（cm），∴边长为6cm的正六边形的内切圆的半径为3cm．故选：A．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．12．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．25°C．40°D．50°【考点】切线的性质；圆心角、弧、弦的关系．【专题】几何图形问题．【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．【解答】解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=25°，∴∠AOC=50°，∴∠C=40°．故选：C．【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．13．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=52°，则∠A的度数是（）A．52°B．76°C．26°D．128°【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理；切线的性质．【专题】压轴题．【分析】连接OD、OF；由圆周角定理可求得∠DOF的度数；在四边形ADOF中，∠ODA=∠OFA=90°，因此∠A和∠DOF互补，由此可求出∠A的度数．【解答】解：连接OD，OF，则∠ADO=∠AFO=90°；由圆周角定理知，∠DOF=2∠E=104°；∴∠A=180°﹣∠DOF=76°．故选B．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形的内角和等知识．14．用一个半径为30cm，面积为300π cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到•2π•r•30=300π，然后解方程求出r即可．【解答】解：根据题意得•2π•r•30=300π，解得r=10（cm）．故选B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．二．填空题（每题4分，共16分）15．已知点（2，8）在抛物线y=ax2上，则a=2．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把点（2，8）代入解析式得到关于a的方程，然后解方程即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2经过点（2，8），∴4a=8，∴a=2．故答案为2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式熟练掌握待定系数法是解题的关键．16．已知抛物线y=2x2﹣4x+m的顶点在x轴上，则m的值是2．【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与x轴的交点只有一个，因此根的判别式△=0，可据此求出m 的值．【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣4x+m的顶点在x轴上，∴b2﹣4ac=0，即16﹣8m=0，解得m=2．【点评】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系．17．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB等于130度．【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得∠E 的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可得到∠ACB的度数．【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB∵∠AOB=100°∴∠E=∠AOB=50°∴∠ACB=180°﹣∠E=130°．【点评】本题利用了圆周角定理和圆内接四边形的性质求解．18．如图，在△ABC中，点I是外心，∠BIC=110°，则∠A=55°．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】由已知条件点I是△ABC的外心，根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可得出结果．【解答】解：∵点I是外心，∠BIC=110°，∴∠A=∠BIC=×110°=55°；故答案为：55°．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理；由圆周角定理得出结果是解决问题的关键．三．解答题（共计62分）19．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度数．【考点】圆的认识；等腰三角形的性质．【专题】计算题．【分析】连接OD，如图，由AB=2DE，AB=2OD得到OD=DE，根据等腰三角形的性质得∠DOE=∠E=20°，再利用三角形外角性质得到∠CDO=40°，加上∠C=∠ODC=40°，然后再利用三角形外角性质即可计算出∠AOC．【解答】解：连接OD，如图，∵AB=2DE，而AB=2OD，∴OD=DE，∴∠DOE=∠E=20°，∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°，而OC=OD，∴∠C=∠ODC=40°，∴∠AOC=∠C+∠E=60°．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．20．如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求AC的长．【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】数形结合．【分析】（1）首先连接OD，由BD是⊙O的切线，AC⊥BD，易证得OD∥AC，继而可证得AD平分∠BAC；（2）由OD∥AC，易证得△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AC的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD，∵AC⊥BD，∴OD∥AC，∴∠2=∠3，∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，即AD平分∠BAC；（2）解：∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴，∴，解得：AC=．【点评】此题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．21．如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．【考点】切线的判定与性质；圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】（1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用三角函数的定义求得AP的长度；（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵AB=2，∠P=30°，∴AP===2，即AP=2；（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．【点评】本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法．22．已知一条抛物线过点（3，2）和（0，1），且它的对称轴为直线x=3．试求这条抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】根据对称轴可设抛物线的顶点式，将（3，2）和（0，1）代入可得方程组，解方程组即可的抛物线解析式．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=3，∴设抛物线的解析式为：y=a（x﹣3）2+k，由抛物线过点（3，2）和（0，1）可得：，解得：，故抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣3）2+2．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据题意设出二次函数的合适形式是解题的关键．23．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经过市场调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出2件．设每件衬衫降价x元，每天的利润为y元，（1）试写出y与x之间的函数关系式；（2）若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）根据：每天总利润=每件利润×销售量，可列函数关系式；（2）若商场平均每天赢利1200元，可令（1）中函数关系式y=1200，求出x结合题意取舍可得．【解答】解：（1）根据题意，得：y=（40﹣x）=﹣2x2+60x+800；（2）由题意知，（40﹣x）=1200，整理，得：﹣2x2+60x+800=1200解得：x1=10，x2=20，∵当x=10时，销售量为20+2×10=40件，当x=20时，销售量为20+2×20=60件，且商场想尽快减少库存，∴x=20．答：若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价20元．【点评】本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意确定相等关系并依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．24．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；②设直线AC的解析式为y=kx+t （k≠0）将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．考试小提示试卷一张一张，发的是希望；考试一场一场，考的是能力；笔尖一动一动，动的是梦想；问候一声一声，道的是真情；考试日，愿你们认真、细心做题，取得好成绩。
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2019-2020学年中雅培粹学校第二学期第二次质量检测试卷
九年级 数学
总分：120分 时量：120分钟
一、选择题(每小题3分，共36分)
1.在实数13
-、2-、0( )
A.2-
B.0
C.13
-
2.截至北京时间4月17日6时38分，全球新冠病毒确诊人数突破215万例，数据215万用科学记数法表示为( )
A.52.1510⨯
B.62.1510⨯
C.521.510⨯
D.70.21510⨯
3.下列运算正确的是( )
A.246x x x +=
B.236x x x ⋅=
C.()
3
26x
x =
D.3=
4.下列说法正确的是( )
A.一个游戏的中奖概率是
1
10
，则做10次这样的游戏一定会中奖 B.为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C.一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8
D.若甲乙两组数据的方差分别是20.01S =甲，2
0.1S =乙，则乙组数据比甲组数据稳定
5.不等式组21
2x x -+≤⎧⎨
<⎩
的解集在数轴上可以表示为( )
A.
B.
C.
D.
6.下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是( )
A.①③
B.②③
C.③④
D.②④
7.已知关于x 的—元二次方程240x x c -+=的一个根为1，则另一个根是( )
A.5
B.4
C.3
D.2
8.已知圆锥的母线长为5cm ，底面半径为3cm ，则该圆锥侧面展开图的圆心角是( )
A.216o
B.270o
C.288o
D.300o
9.如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明A O B AOB '''∠=∠的依据是( )
A.SAS
B.AAS
C.SSS
D.ASA
10.一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( )
A.7
B.
9
C.12
D.
9
或12
11.如图，ABC ∆的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ACB ∠等于( )
A.
45
B.
35
C.
34
D.
1010
12.如图，AB 是半圆O 的直径，5cm AB =，4cm AC =.D 是弧BC 上的一个动点(含端点B ，不含端点
C )，连接A
D ，过点C 作C
E AD ⊥于E ，连接BE ，在点D 移动的过程中，BE 的取值范围是( )
A.91325
BE -≤≤ B.1323BE -≤< C.
9
35BE ≤<
D.9
1335
BE -
≤<
第11题图 第12题图 第16题图
二、填空题(每小题3分，共18分) 13.分解因式：2ab a -=__________. 14.在函数5y x =
-中，自变量x 的取值范围是__________.
15.抛掷一枚质地均匀的硬币，前5次都正面朝上，则第6次正面朝上的概率是__________.
16.如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，已知6CD =，1EB =，则O e 的半径为__________.
17.如图，已知AB CD ∥，BE 平分ABD ∠，25BED ∠=o ，则D ∠=__________
o
.
18.已知点(),A a b 是反比例函数()8
0y x x =
>图象上的动点，AB x ∥轴，AC y ∥轴，分别交反比例函数()0k
y x x
=>的图象于点B 、C ，交坐标
轴于D 、E ，且3AC CD =，连接BC .现有以下四个结论：①2k =；②在点A 运动过程中，ABC ∆的面积始终不变；③连接DE ，则BC DE ∥；④不存在点A ，使得ABC OED ∆∆∽.其中正确的结论的序号是__________.
三、解答题(共8个小题，共66分)
19.(6分)计算：1
13220203tan 303-⎛⎫
-++-+ ⎪⎝⎭
o
o
20.(6分)先化简，再求值：22424412
x x x
x x x x -+÷-
-++-，其中3x =.
21.(8分)中雅培粹学校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”，“自强自立”，“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正确的，后两行的数据中有一个是错误的.
类别
频数 频率
助人为乐美德少年
a
0.2
根据以上信息，解答下列问题：
(1)统计表中的a =__________，b =__________；
(2)统计表后两行错误的数据是__________，该数据的正确值是__________；
(3)校园小记者决定从A 、B 、C 、D 四位“助人为乐美德少年”中随机采访两位，用列表法或画树状图的方法，求A 、B 都被采访到的概率.
22.(8分)四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE BF =，连接AE 、AF 、
EF .
(1)求证：ADE ABF ∆∆≌；
(2)若8BC =，6DE =，求AEF ∆的面积.
23.(9分)2020年疫情期间，长沙市教育局出台《长沙市中小学线上教学工作实施意见》，长沙市推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播教学，据统计，第一批公益课受益学生4万人次，第三批公益课受益学生4.84万人次.
(1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率； (2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
自强自立美德少年 3 b
孝老爱亲美德少年 7 0.35 诚实守信美德少年
6
0.32
24.如图，AB 是O e 的直径，点D 是弧AE 上一点，且BDE CBE ∠=∠，BD 与AE 交与点F .
(1)求证：BC 是O e 的切线；
(2)若BD 平分ABE ∠，求证：2
DE DF DB =⋅；
(3)在(2)的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若PA AO =，2DE =，求PD 的长和O e 的半径.
25.(10分)若二次函数()2
0y ax bx c a =++≠图象的顶点在一次函数()0y kx t k =+≠的图象上，则称
()20y ax bx c a =++≠为()0y kx t k =+≠的中雅函数，如：21y x =+是1y x =+的中雅函数.
(1)判断二次函数2
243y x x =--是否为一次函数1
32
y x =-
-的中雅函数，并说明理由； (2)若关于x 的一次函数()30y mx m =-≠的中雅函数2
5y x nx =++与x 轴两个交点间的距离为4，求直线3y mx =-与坐标轴所围三角形的面积；
(3)已知关于x 的一次函数()121
:04
l y mx k k =+
>的中雅函数为24y kx kx k =++，与1l 平行的直线2:7l y nx k =+交中雅函数24y kx kx k =++的图象于A 、B 两点，若x 轴上有且仅有一个点C ，使得
90ACB ∠=o ，求k 的值.
26.(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知点()(
,00A m m <<
、()
B ，以AB 为边在x 轴下
方作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆的交点，连接BE 与AD 相交于点F .
(1)求证：BF DO =；
(2)若»
»AE DE =，试求经过B 、F 、O 三点的抛物线l 的解析式； (3)在(2)的条件下，将抛物线l 在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图
象，若直线BE向上平移t个单位与新图象有两个公共点，试求t的取值范围.
备用图。