《构造辅助圆》教学设计

教
学
设
计
教学过程
一、类型一 引例（2011 北京 17） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=-2x 的图象与反比例函数 y 象的一个交点为 A（-1，n）.
设计说明
这是一道学生熟悉的题 目，以此告诉学生构造辅 助圆来解决问题是一种常 见的解题方法，那么构造 辅助圆还可以解决哪些类 型的题目呢？带着这样的 疑问，学生会主动寻找解 决问题的方法，从而提升 学生学习新知识的主动 性，实现构造圆解决问题 的思路.
k 的图 x
k （1）求反比例函数 y 的解析式 x
（2）若 P 是坐标轴上一点，且满足 PA=OA，直接写出点 P 的坐标. 提问：什么条件让你想到可以以 A 为圆心，OA 为半径作圆？ 依据是什么？
引导：我们经常添加辅助线来解题，并且，以前所做的辅助线 都是直线形，而通过这道题，我们发现，所添加的辅助线也可 以是曲线形，初中阶段，构造辅助圆就是曲线形辅助线的代表， 今天，我们就来探究，构造辅助圆，还可以解决哪些类型的题 目？ 本题可从两个方面入手解 例 1、 如图所示， 在四边形 ABCD 中， AB=AC=AD， BAC=26， 决:1.利用等边对等角； 2. CAD=74，则 BDC =________°， DBC =________° 利用构造辅助圆将问题转
六、板书设计 课题 例1 小结 1 小结 2 例2
七、课后反思
四、总结提升
1．数学方法：构造辅助圆 （1）当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心， 等线段长为半径，构造辅助圆. （2）可以利用直径所对的圆周角是直角，以斜边为直径，构造 辅助圆.
2.数学思想：转化思想 利用构造辅助圆解决分类讨论问题，可以很快找到符合条件的 点，并可以将问题转化为圆中求线段、求角度的问题.
2 2 2
通过直角顶点的分类，并 利用直径所对的圆周角是 直角，很快就能找到满足 条件的点 P；
构造辅助圆也可以将问题 转化为圆中的计算问题。
∴PE=1.5 ∴P3（0，1） 4（0，-2） ，P 综上所述：共有 4 个点 P. 预案：可能有的学生会用相似解决问题，先表示赞同，再引导 用圆的知识求线段.
《构造辅助圆》教学设计 丰台八中
科 目 教 师 数学 赵鹏 课题 班级
赵鹏
专题：构造辅助圆 初三（6）班 时间 2012.4.17
本节课前,学生已经学习了圆的基本知识,掌握了圆的一些有关性质,并 对辅助圆有了初步的认识.对于直线形中常见的几何问题形成了一些基 本的解题策略,但从辅助圆这个新的视角解决问题还显得弱了很多.学 学生情况分析 生对于一些数学问题容易产生想法,但欠缺的是归纳总结提升,而本节 课想要达到的目的,就是引导学生学会归纳总结,将以前学过的一些知 识从一个新的视角研究,简化证明过程.初步形成构造曲线形辅助线的 意识. 对于平面几何问题,学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件, 从而利用三角形、四边形的知识来解决问题.但辅助线的添加就被局限 在直线形,而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下,更有利于条件的 集中,辅助圆是曲线形辅助线的代表,利用圆，就会让图形的条件更丰 富，而学生对此又很少了解，故想借此节课，和学生一起探究，通过多 设计意图 种解题方法的对比，来感受辅助圆的独特.本节课想以一种学生探究， 老师引领学生作归纳总结的形式呈现，通过学生思想的碰撞，最终达成 共识.学生探究时，以审条件，审图形，审结论的方式阐述，并说明解 题思路.这样其他同学听得也清楚明白. 对于程度较好的学生，能够掌握构造辅助圆的基本方法，中等的学生能 够在几何题中想到利用辅助圆，基础薄弱学生也能够想得起辅助圆. 1.进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆找到符合条件的点所在 的位置； 教学目标 2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决点的轨迹问题，进而 掌握利用作圆解决分类讨论问题的方法； 3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原 事物的本质. 教学重点 教学难点 教学方法 教学用具 利用辅助圆解决有关问题 建立用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的条件 讲练结合、教师引导下的学生自主探究 圆规、几何画板、尺子
3.辅助线的构造可以是直线形，也可以是曲线形.
ห้องสมุดไป่ตู้
五、课后作业 1.在平面直角坐标系中，（4， ， 为坐标原点， A 0） O 求直线 y=x+3 上一点 P，使△AOP 是等腰三角形，这样的 P 点有几个？ 2. 如图所示，在凸四边形 ABCD 中，AB=BC=BD,
ABC 80 则 ADC 的度数为
为例题构造辅助圆做铺 垫.
例 2、在平面直角坐标系中，已知 A（2，2） ，B（2，3） ，点 P 在 y 轴上，且△ABP 为直角三角形. 请问满足条件的点 P 有几 个？ 并求出它们的坐标. 解： （1）过点 A 作 AP⊥y 轴于 P ∴∠PAB=90° ∴P1（0，2） （2）过点 B 作 BP⊥y 轴于 P ∴∠PBA=90° ∴P2（0，-3） （3）以 AB 为直径作圆，交 y 轴于 P，设圆心为 D ∴∠APB=90° ∵D（2，-0.5） ∴AD=BD=PD=2.5 作 DE⊥y 轴于 E，则 E（0，-0.5） ∴DE=2，OE=0.5 ∵∠PED=90° ∴ DE PE PD
A D
.
B C
3.已知如图，梯形 ABCD 中，AB⊥BC 于 B,CD⊥BC 于 C （1）当 AB=4，CD=1，BC=4 时，点 P 在直线 BC 上，且 APD 90 ，这样的点有 个. （ 2 ） 设 AB=a ， DC=b ， AD=c ， 点 P 在 直 线 BC 上 ， 且 APD 90 ，试确定此时 a，b，c 满足的关系式.
A B
化为圆中圆周角与圆心角 的关系. 想达到的效果是:学生习 惯于利用前者，少数人有 了引例中的方法意识，开 始从圆的定义出发构造辅 助圆.初步让学生尝到新 方法的甜头.从而强化辅 助圆的意识.
C
D
什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？ 条件：__有公共端点的等线段_______________； 依据：__同圆半径相等_____________________. 小结 1： 当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心，等线 段长为半径，构造辅助圆.
二、类型二 引例:若 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC 的外接 圆半径为_____________. 让学生复习 90°的圆周 角所对的弦是直径，从而
什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？ 条件：__直角___________________； 依据：__90°的圆周角所对的弦是直径________. 小结 2： 可以利用 90°的圆周角所对的弦是直径，以斜边为直径，构造 辅助圆.