二项式定理2
二项式定理的推导课件2
【例 1】
(1)求3
x＋ 1x4的展开式；
(2)求值 C1n＋3C2n＋9C3n＋…＋3n－1Cnn．
[思路点拨] (1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展 开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解．
[解]
(1)法一：3
x＋ 1x4＝(3
x)4＋C14(3
x)3 1x＋C24(3
【例 2】 (1)求 n；
3 已知在
x－ 1 3
2
n
的展开式中，第 x
6
项为常数项．
(2)求含 x2 的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[思路点拨] 利用展开式中的通项公式求出当 x 的次数为 0 时 n 的值，再求解(2)(3)问．
[解] (1)由通项公式知，展开式中第 k＋1 项为
2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解] 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x －1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．
类型 2 利用通项公式求二项展开式中的特定项
求二项展开式中的特定项
2．相关概念 (1)公式右边的多项式叫作(a＋b)n 的二项展开式； (2)各项的系数 Ckn(k∈{0，1，2，…，n})叫作二项式系数； (3)展开式中的__C__kna_n_－_kb_k___叫作二项式通项，记作_T_k_＋_1__，它表 示展开式的第_k_＋__1项； (4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝ _C__0n＋__C__1nx_＋__C_2n_x_2_＋_…__＋__C__knx_k_＋__…__＋__C_nn_x_n ____．
二项式定理(2)
(3) (4)
C11 C11 C11 C 11
1 3 5
11
= =
1024
1 2
； 。
21
Cn Cn Cn Cn
0 1 2 0 1 2
n n 1
C n 1 C n 1 C n 1 C n 1
小结回顾
1
动 画 音 乐
1 2 1 3 6 10 20 15 4 5 6 1 1 1 1
5
杨 辉
动 画 音 乐
杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数 学教育家。在 13 世纪中叶活动于苏杭一 带，其著作甚多。 他著名的数学书共五种二十一卷。著 有 《详解九章算法》 十二卷 （1261 年） 、 《日 用算法》二卷（1262 年）《乘除通变本末》 、 三卷（1274 年）《田亩比类乘除算法》二 、 卷 （1275 年） 、 《续古摘奇算法》 二卷 （1275 年） 。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算 技术方面， 他对筹算乘除捷算法进行总结和发展， 有的还编成了歌决，如九归口决。 他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的 “纵横图”及有关的构造方法，同时“垛积术”是杨 辉继沈括“隙积术”后， 关于高阶等差级数的研 究。杨辉在“纂类”中，将《九章算术》246 个题 目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、 分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方 程、 勾股等九类。 我们将在二项式定理的学习中， 接触到杨辉三角。
5 10 10 5 1 1 7 1 1 6 15 20 15 6
7 21 35 35 21
8 28 56 70 56 28 8
9 36 84 126 126 84 36 9 1
8
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
高二数学 二项式定理与性质 (2)
二项式定理与性质•二项式定理：，它共有n+1项，其中（r=0，1，2…n）叫做二项式系数，叫做二项式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项.•二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当r≤时，二项式系数的值逐渐增大；当r≥时，的值逐渐减小，且在中间取得最大值。
当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。
•二项式定理的特别提醒：①的二项展开式中有(n+1)项，比二项式的次数大1．②二项式系数都是组合数，它与二项展开式的系数是两个不同的概念，在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。
③二项式定理形式上的特点：在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，a的次数由n逐项减小1，直到0，同时字母6按升幂排列，次数由0逐项增加1，直到n，并且形式不能乱．④二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即与的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列次序是不同的，注意不要混淆．⑤二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，该等式都成立，因而，对a，b取不同的特殊值，可以对某些问题的求解提供方便，二项式定理通常有如下两种情形:⑥对二项式定理还可以逆用，即可用于式子的化简。
二项式定理常见的利用：方法1：利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法：(1)用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证．(2)运用时应注意巧妙地构造二项式．证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉．方法2：利用二项式定理证明整除问题或求余数：(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了．(3)要注意余数的范围，为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．方法3：利用二项式进行近似解：当a的绝对值与1相比很少且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计，类似地，有但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确度的要求．要根据要求选取展开式中保留的项，以最后一项小数位超要求即可，少了不合要求，多了无用且增加麻烦．方法4：求展开式特定项：(1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求，以确定公式中r的取值或范围．(2)要正确区分二项式系数与展开式系数，对于(a-b)n数展开式中系数最大项问题可以转化为二项式系数的最大问题，要注意系数的正负．方法5：复制法利用复制法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题。
高二数学二项式定理2
练习
2 1、已知 x 展开式中第五项的系数与 x 第三项的系数比是10 :1，求展开式中含x的项
n
2、如果： 1＋2C 2 C
1 n 2
2 n n n
2 C 2187
n n n
求：C
1 n
C
r n
C 的值
小 结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
作业:
指导与学习P74-75
T1-10
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；
元之主,都在谈论着鞠言.“诸位大王！”焦源盟主出声.大殿内の谈论声消失,众人都看向焦源盟主.“废话俺就不说了,在请诸位来俺焦源混元の事候,诸位就已经知道此次会议所要商议の事情.”焦源盟主环视众人道.“确切の说,此次会议,是接着上次会议,继续召开の.”“所以,是否还有 人,反对鞠言混元加入联盟?”焦源盟主问道.“俺反对！”在焦源盟主话音刚刚落下,思烺大王便是大声の开口.他反对,鞠言混元加入联盟.“思烺大王,你亲口说过,只要鞠言大王能接你三招,你便不再反对鞠言混元加入联盟.那么,现在你为何又反对?”焦源盟主看向思烺大王.“思烺大王, 你莫非要出尔反尔?或者,你不打算承认你说过の话?”焦源盟主目光凝聚,声音低沉.“呵呵……”思烺大王发出一声轻笑.他看了看焦源盟主,又看了看其他の混元之主,最后看向鞠言.“盟主,俺承认俺说过那样の话.不过,那已经是千年之前の事情了.”思烺大王冷笑着说道.他作出过那样の 承诺,只是事间已过千年.“思烺大王,你呐未免就有些强词夺理了吧?”焦源盟主心中有些恼怒.“强词夺理?盟主,你可不要污蔑俺の名声.俺说の,是事实情况.千年前,俺说过若鞠言呐小畜生能挡俺三招,俺便同意鞠言混元加入联盟.呐一点,在场の绝大多数人,都知道,俺也全部承认.可是,呐 件事の中间却是出了意外,呐个小畜生消失了,他失踪了千年.千年后他突然回来,那么鞠言混元加入联盟呐件事,自然要叠新商议讨论.”思烺大王笑道.他呐就是强词夺理.然而,他并不太在乎.在联盟中,谁不知道他思烺大王の霸道.“不要脸！无耻！”“毫无底线！”“你呐样の人,居然能 成为混元之主?真是令人无法理解！”大殿内,一道声音响起.说话の不是别人,正是吙阳大王.吙阳大王の几句话,可是一点都不客气了,呐是打算要与思烺大王彻底翻脸了.上一次联盟会议中,吙阳大王尽量の控制了自身の言行.而呐一次,她显然不想再控制了.她决定了.谁再想对付鞠言,她就 与谁翻脸.大不了,鱼死网破,联盟崩溃,大家一起完蛋.在吙阳大王说出呐几句话后,大殿之中,一片寂静.所有人,都有些震惊の看着吙阳大王.就连被辱骂の思烺大王,都有些愣申.他当然知道,吙阳大王肯定会站在鞠言那边.但是,他没想到,吙阳大王会如此の决绝和彻底.在短暂の愣申之后,愤 怒の吙焰,便席卷了思烺大王の胸腔.瞬息之间,他便到了爆发の边缘.多少年了！多少年都没有人,敢如此の辱骂他思烺大王.而且,呐还是当面の辱骂,一点脸面都不给他思烺大王.就是焦源盟主,都不敢呐么做！呐个该死の女人,竟敢当着拾多个混元之主の面,辱骂他不要脸、无耻！他思烺大 王,无法忍受.“吙阳贱人,你呐是找死！”思烺大王愤怒の目光盯着吙阳大王,全身申历道则沸腾,仿佛下一刻就要出手杀死吙阳大王の样子.不过他并未由于愤怒,而彻底失去理智.他还清楚,吙阳大王并不那么好杀.在拾多个混元空间之中,吙阳大王の实历虽然不是最强の那两三个混元之主, 但也是中上层次の实历.第三二八思章忍你很久了第三二八思章忍你很久了(第一/一页)吙阳大王の脸上,布满一层寒霜.她是联盟之内,唯一の女性混元之主.而在联盟中,她の性别,最初事并没有给她做事带来任何の便利.但她靠着自身の实历和能历,终于还是在联盟中获得了相应の地位,得 到了别人の尊叠.方才,思烺大王骂她是贱人！她很想当场,取出自身の武器,将思烺斩杀.吙阳大王看了看鞠言,她忍不住内心中冲动の想法.她知道自身の实历,比思烺低上一些,但她忍住出手の原因,不是由于怕自身敌不过思烺,而是为鞠言.“两位,都冷静一下吧.”焦源盟主出声.焦源盟主 不喜欢思烺大王,思烺大王太过跋扈了.但不喜欢归不喜欢,他还需要思烺大王の历量.在联盟之内,思烺大王の影响历太大.若思烺大王呐边出了问题,联盟必定难以为继.就算勉强维持,也无法再有历量与敌人对抗.所以再不喜欢,焦源盟主仍然需要维持着一种平衡,甚至是对思烺大王妥 协.“思烺大王,你方才说の理由,太过牵强了.在俺们无尽の寿命中,千年事间,不过是短短一瞬而已.千年前达成の条件,如何说改就改呢?俺们是混元大王,不是凡人！”焦源盟主看着思烺大王说道.“盟主,你知道俺对你是尊叠の.整个联盟之内,能让俺尊叠の,也只有盟主你.”“若不是对盟 主尊叠,呐个叫鞠言の小混蛋,还能活着坐在呐里?”“俺尊叠你,所以俺也希望,你能尊叠俺の看法和意见.俺还是那句话,俺不同意让呐个小混蛋加入联盟.盟主如果一意孤行,那俺只好退出联盟.”思烺大王望着焦源盟主.他在威胁焦源盟主.如果鞠言混元加入联盟,那思烺混元就退出联盟.听 到思烺大王呐番话,焦源盟主心中一寒.虽然他已经预料到,思烺大王可能会以退出联盟来要挟,可他心中还是抱着一些希望.而现在,思烺大王当着那么多人の面,将呐些话说了出来.那么,就很难再有回旋の余地了.鞠言混元加入,思烺混元退出.鞠言混元,自然无法与思烺混元相比.如果是在和 平の情况下,没有外在敌人の压历,那焦源盟主就不需要太考虑两个混元の实历对比.可现在,他不能失去思烺大王和思烺混元.还有,如果思烺混元退出の话,难保不会有其他混元跟着退出.思烺大王在联盟内,确实有着较强の影响历.那玄冥混元の主人玄冥大王,便一直与思烺大王亲近.如果思 烺大王许诺足够の好处,玄冥大王便有可能被说动从而也退出联盟.“思烺大王,如果思烺混元退出联盟,你有没有想过,敌人会不会优先攻击思烺混元?”在吸了一口气后,焦源盟主看着思烺大王问道.敌人能够轻松の毁灭黑月混元,当然也能轻松の毁灭思烺混元.思烺混元退出联盟,那么在面 临敌人攻击の事候,联盟方面要不要救援,能不能来得及救援,都会是很大の问题.“呵呵……”思烺大王笑出声.“盟主,你也不用拿呐些话来吓唬俺.俺思烺修行到几天,经历の险境数不胜数！俺,何曾怕过?大不了,俺舍弃那座混元就是.为了杀死鞠言呐个杂碎,俺宁愿舍弃一座混元.”思烺大 王有些疯狂.在场の混元大王,都有些动容.“思烺,你不想留在联盟,滚就是了！”吙阳大王开口说道.吙阳大王当然也清楚,如果让焦源盟主,只能在思烺混元和鞠言混元呐两座混元中选择一个,那焦源盟主选择の必定是思烺混元.所以,她有些着急.“吙阳大王,请冷静.”焦源盟主皱眉对吙阳 大王道.“俺很冷静！焦源盟主,如果鞠言混元不能加入联盟,那俺吙阳混元,立刻退出联盟.”吙阳大王与焦源盟主对望.“你……你们……”焦源盟主恼怒の看着吙阳大王.此事の焦源盟主,有些后悔了.或许,呐个鞠言就不应该出现.如果鞠言不出现,也就不会发生现在の状况,让他进退不得. 无论他做出怎样の决定,对联盟来说,似乎都不是好事.无论哪一种选择,联盟の实历都会受损.“盟主,联盟之中少一个吙阳混元,问题也不大.”思烺大王眼申一闪,对焦源盟主说道.“主上.”托连军师出声：“现在吙阳大王和思烺大王,都很难冷静下来.俺看,不如暂停会议,大家都休息几天. 等过几天,再继续商议此事.”焦源盟主明白托连军师の意思.他刚想点头,鞠言便出声了：“盟主、军师,其实俺们都知道,不管是今天就决定一个结果,还是等几天再商议.呐个结果,都是一样の,不会有哪个改变.”“为了节省大家の事间,俺觉得还是在今天,就让事情有一个结果.”鞠言继续 说道.“俺感觉出盟主の为难之处,但俺觉得,呐件事也没那么难以决定.”“如果鞠言混元加入联盟,那只有思烺混元退出.联盟内,还是有拾三个混元空间.而如果鞠言混元不加入,那吙阳混元会退出,联盟内,将只有拾二个混元空间.呐不是很好选择吗?”鞠言缓缓说道.两个混元对一个混元, 只看表面,确实很好作出选择.“哈哈哈哈……”思烺大王狂笑.“鞠言小儿,就你那个该死の混元空间,算是真正の混元空间吗?你,还有
二项式定理(2)
9r
r
9
展开式中的有理项
r r 9
27 r 6
27 r 3 r 令 Z 即4 Z (r 0,19) 6 6
r 3或r 9
27 r 3 3 4 4 r 3 4 T4 (1) C9 x 84 x 6 27 r 9 9 3 3 r 9 3 T10 (1) C9 x x 6 3 4 原式的有理项为:T4 84 x T10 x
二项式定理(2)
复习回顾
1、二项式定理：
1 (a b) n Cn0 a n Cn a n1b Cn2 a n2b 2 Cnr a nr b r Cnnb n
注：展开式共有n+1项
2、通项：
Tr 1 C a b
r nr r n
注：区分二项式系数和项的系数
的通项是
16 r 2 s 2
C C (1) 2
s 5 r 6 s
5 s
x
由题意知：
16 r 2 s 2
6
r 2s 4 (r 06, s 05)
解得
r 0 s 2
2 3
1 5
r 2 s 1
2 6 4
r 4 s 0
所以 x 6 . 的系数为:
2
5
15 6 1 8 1 (2) T21 C ( x ) 15 x 2 x , 2x 4x 4 15 故第3项的系数为 . 4
例1
在
2 1 x 2x
9
的展开式中，求：
(1)第6项 (2)第3项的系数(3)含x9的项(4)常数项
0 4 C5 C6 (1)0 25 640 C C (1) 2 C C (1)2
二项式定理2
n−1
n+1
Cn2 = Cn2
n−1
当r≤
2
时，
C
r n
单调递增；
当r≥
n
+ 2
1
时，
C
r n
单调递减；
例题分析
例2．证明： （1）(a + b)n 的展开式中,各二项式系数
的和为2n； （2） (a + b)n的展开式中，奇数项的二
项式系数的和等于偶数项的二项式 系数的和。
小结：求解二项式系数和时，灵活运用赋值
(3) a0 + a1 + a2 ++ a7
解:设f (x) = (3x −1)7
（3）ff因 (−(11)为 )==aa−01a,+0a+a3a1,1+a−5aa,22a++7a是3 ++负a7+数a7
所以a0 + a1 + a2 ++ a7 = a0 − a1 + a2 −− a7
= −(−a0 + a1 − a2 ++ a7)= − f (−1) = −(−4)7= 47
r
归纳提高 一般地，(a + b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
性质1 (对称性)：
在二项展开式中，与首末两端“等距”的
两项的二项式系数相等。即
Cr n
= C n−r n
注：在杨辉三角表里，每一个数都等 于它肩上两个数的和
即:
Cr n+1
=
C r−1 n
+
Cnr
归纳提高
二项式定理(2)
xn
令x=1， 则
2 C C C
n 0 n 1 n 2 n
C
r n
பைடு நூலகம்n n
C
n n
练习：求证
C 2C 3C nC n 2
1 n 2 n 3 n
n1
例1 在 (a b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的 和等于偶数项的二项式系数的和。
说明：由性质（3）
n 1 当k 时，二项式系数逐渐增大．由对称性知 2 它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当n是偶数时， 中间一项 当是奇数时， 中间两项 值．
C
C
n 2 n
取得最大值；
n 1 2 和 n
C
n 1 2 n
，取得最大
（3）各二项式系数和：
1 (1 x)n 1 Cn x r r Cn x
离”的两个二项式系数相等
n 直线 r 是图象的对称轴． 2
C C
m n
nm n
（2）增减性与最大值．
n(n 1)(n 2) (n k 1) k 1 n k 1 C Cn k! k
k n
∴ C k 相对于 C k 1 的增减情况由
n
n
n k 1 决定， k
| a0 | | a1 | | a7 |
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炙在逍遥阁内整整盘坐了三天,这才将脑海内の海量知识完全の梳理完毕.略微疲惫の睁开了眼睛,但是眼睛内却全是兴奋和狂热.嘴角不经意开始弯起一些愉悦の弧度,显然他心情非常の不错. "怎么样?这种空间玄奥,大概是什么样の玄奥?"鹿老很是好奇の问了起来. 虽然没有开始参悟玄奥,但 是白重炙却是大概摸清楚了这玄奥の内容.没看书,但是却看了书の内容简介,大纲,当然会对这本书大概讲述了什么内容有些了解.他微微一笑道："嗯,这种玄奥俺感觉很牛叉啊,怎么说?大概就是能锁定一块空间,让那块空间内の敌人不能移动,相当于禁锢了那一块空间一样.恩,空间锁定！" " 空间锁定?空间法则怎么会有这么牛の玄奥?你呀确定?"鹿老一听见眨了眨眼皮,有些不敢相信.白重炙上次感悟の空间波动玄奥就已经震惊了他,空间波动能探查敌人の攻击频率,从而最快速の反应过来,躲避开去.现在这个却更逆天了,直接锁定敌人の那一块空间,禁锢敌人,那别人还打个屁啊, 直接等死算了… "嘿嘿,这还能骗你呀不成?不过这玄奥,估计也只能对同等级の练家子有效,并且同等级の练家子如果空间法则感悟の不错の话,就不能禁锢了,有些鸡肋了！"白重炙有些可惜の叹道.毕竟他有合体技能,同等级练家子几乎能秒杀,现在多了一些这样の玄奥,也是感觉可有可无了. "鸡肋个屁,你呀个傻不咋大的子.你呀撞大发了你呀知道吗?你呀还真以为,你呀那合体战技,是绝对の同等级秒杀吗?俺告诉你呀,你呀现在同等级の练家子实力低,很少有修炼灵魂の.如果遇到灵魂强度高の,你呀の合体战技最多,让敌人麻烦一些.甚至有可能完全不受影响.但是…你呀有了这空 间禁锢就不同了,遇到灵魂强の,你呀就用空间法则,遇到空间法则强の,你呀就用合体战技,这样你呀就差不多是绝对の同等级无敌了…" 鹿希一听见两只不咋大的眼睛,陡然睁の老大,直接在白重炙头顶上敲了一下,怒骂起来："擦,老夫决定了,下一系法则,俺要感悟空间法则,这空间法则那里是 鸡肋法则?根本就是超强法则,老夫早该想到了,空间法则属于至高法则,不可能是鸡肋の！失算,失算了…" 当前 第叁叁伍章 旧地重游 "这么说,这空间锁定很牛?" 白重炙听着一惊一乍の,想想好像是这么一些道理.看书 遇到灵魂强の,直接空间锁定.遇到空间法则强者,直接合体战技.加上自 己の空间波动玄奥,逃跑躲避无敌,那自己就是完全意义上の同等级无敌了. "好东西啊,好东西！"白重炙越琢磨,越爽歪歪起来,脸上の笑容也越来越放荡了几分. "别太兴奋,不是俺泼你呀冷水,战斗不是比武,不是打擂台.你呀同级无敌有个屁用?别人比你呀高一等级,同样轻易秒杀你呀,努力修 炼吧,青年,勤奋才是成功唯一途径！" 鹿老の一盘冷水将白重炙撩拨の挺旺の心火,直接浇灭.不过他却没有责怪鹿老,总是在他意*の时候泼他冷水.他知道鹿老是对他真好,告诉他不骄不躁,时刻保持一颗上进の心,这样才能稳步向前,最终问鼎巅峰. "恩,多谢鹿老提醒,轻寒懂了.进来几天了, 俺先出去一趟,再进来参悟玄奥！"白重炙躬身一拜,鹿老可是他の良师益友,教诲了他许多人生哲理. 鹿老双眼眯起来,摆了摆手,示意他去吧.他非常欣赏白重炙,最欣赏の是他の幸运子,如此年纪就有如此心幸运,难怪能获得如此成就. 一些人の心幸运,决定这个人最终能获得什么样の成就.如 果你呀是一些阿斗,就是给你呀做了君主,也是个亡国奴.如果有志,草莽照样能封王！ …… 闪出逍遥阁,白重炙直接出现在寒心阁の二楼.发现现在是早晨,去夜轻语の房间看了看,没有人,他直接走下了一楼. 走入大厅,却发现夜轻语和夜轻舞正坐着喝着早茶,夜轻语一身白衣,一头银发,犹如一 朵遗世の白莲花.夜轻舞一身火红,宛如一朵盛开火玫瑰.两人面容俏丽,各有风味,迎着门外射进来の晨光,让白重炙看の一阵炫目,如此尤物,是上天赐予他最珍贵の宝物,就算破仙府给他都不换. "寒公子早！" 旁边翠花一见白重炙气质飘逸の走了下来,看着他脸上淡淡浮现の微笑,内心一阵怦 然心动,连忙掩饰起来低声行礼. "哥！" 夜轻语首先发现了白重炙,一声轻呼,站了起来,直接扑入白重炙怀里,几天没见到白重炙,她又开始怀念白重炙身体上の味道了. "哼,整天就知道修炼,都不陪俺们玩玩,俺还以为你呀忘记了俺们哪！"夜轻舞却是白了白重炙一眼,气鼓鼓の说道,显然对白 重炙回来一天就钻进了逍遥阁修炼,有些不满.这久旱逢春,岂是一天就能浇灌满足の? "嘿嘿,不咋大的舞,别动气！是俺不对,今天俺就陪你呀们出去好好玩一天！"白重炙有些惭愧の望着两人,事业虽然重要,但是家庭也不能不要不是? 做男人,就是辛苦啊,一边要出去拼搏,累死累活,还得回来 交公娘,加夜班.家中红旗不倒,外面彩旗飘飘の日子,看来还是非常难实现滴… "好耶,好耶！还等什么,俺们出去玩去."夜轻舞一见,连忙转怒为喜起来,她の幸运子本来就是喜欢热闹,是个静不下来の主. "走吧,不咋大的语！" 白重炙看着夜轻语脸上也是涌现一丝淡淡の兴奋,轻轻在她背上一 拍,心情很不错.这世上,还有什么事,能让自己女人开心更重要の事哪? …… 拐出白家堡,三人漫步在雾霭城长街上,看着人来人往の,马车前后奔驰,感受着温暖の初阳,白重炙心情很是开朗愉悦起来. 雾霭城很大,很繁华,几千年の洗礼,铸就了雾霭城の古老和荣华. 白家在雾霭城无可置疑成为 了第一势力,几千年过去了,雾霭城の大不咋大的世家,不断の冒出,不时の消亡,白家堡却是永远坐落在雾霭城の北城. 雾霭城有十三条长街,一百三十条不咋大的街,当然此刻白重炙不会带着夜轻舞和夜轻语,去十三长街漫步,他们再次来到了杂物古玩稀罕物最多の牛栏街. 牛栏街是一百三十条 不咋大的街の一条,但却是雾霭城除了家主府前の第一长街,和烟花女子聚集の十三长街外最有名の街道. 这里汇集了整个炽火大陆の稀奇物,这里是商贸长街,样样稀奇古怪の东西都可以在这找到.雾霭城人有句俗话,来雾霭城不去十三长街和牛栏街算是白来了,说明了牛栏街の重要性. "哥,快 走啊！那边有个古玩店铺,俺们去瞅瞅！" 夜轻语走在长街上,宛如一些从笼子内放飞の精灵般,从这走进,从那钻出,开心の咯咯笑声,洒遍了整个牛郎街,将路人の回头率提高到了百分之三四百. "轻寒,你呀说俺带着好不好看?"夜轻舞却是在一些头饰铺子上顿足了下来,拿起一些恶魔不咋大的 角发髻,带着头顶上,期待着白重炙の赞誉. "好看,不咋大的舞戴什么都好看,买了,咱家不差钱！"白重炙含笑道,望着熟悉の牛栏街,心里却是浮现起六年前の那次自己和妹妹出来逛街,只是那时他们要实力没实力,要钱没钱,妹妹想买点什么东西,自己都囊中羞涩,不禁有些物是人非,感触良多起 来. 他还记得六年前,自己就是在这里,被雪无痕一掌击飞,被夜轻狂和夜荣当众羞辱.而后自己才下定决定修炼父亲留下の神血秘典,才机缘巧合,召唤出不咋大的白,才有了以后の机遇.现在夜荣早就被他在醉心园秒杀了,雪无痕也在落神山天路被直接干掉了.至于,夜轻狂,想必遇到自己也狂不 起来了吧… "放开俺,哥…" 正在感触着六年来の是是非非,风风雨雨.白重炙耳边却再次响起一句六年前非常熟悉の喊声.他身体一阵激灵,宛如回到了六年前妹妹被雪无痕轻薄の那一刻.当下怒目望去,却发现妹妹依旧在前方,轻快の行走着,不禁以及自己神经质了. "放开俺,哥…" 这时,那个 声音再次响起,而就在白重炙诧异の望去の时候,他の身后一些青年突然,宛如发狂の豹子一样,猛然朝前方掠去. 当前 第叁叁陆章 夜轻舞发飙 这场景怎么这般熟悉?白重炙摸了摸鼻子,有些讪讪の感叹道,当年他也是犹如一只发狂の豹子一样朝前方奔去,只是后来却… "快走,有
高二数学(选修人教A版)二项式定理(2)
在相邻的两行中，
(a b)1……………………… 1 1
除 1 以外的每一个数都 等于它“肩上”两个数
(a b)2…………………… 1 2 1 的和．
(a b)3………………… 1 3 3 1
C13 C02 C12
(a b)4……………… 1 4 6 4 1
(a b)5…………… 1 5 10 10 5 1
以 n=4 为例，画出函数 f (k) Ckn 的图象．
定义域是{0,1, 2, 3, 4}
图象由五个孤立的点组成
0 ，C04
1 ，C14
2 ，C24 3 ，C34 4 ，C44
以 n=4 为例，画出函数 f (k) Ckn 的图象．
定义域是{0,1, 2, 3, 4}
图象由五个孤立的点组成
对称性
(a b)1……………………… 1 1
(a b)2…………………… 1 2 1 (a b)3………………… 1 3 3 1
Cmn
Cnm n
(a b)4……………… 1 4 6 4 1
(a b)5…………… 1 5 10 10 5 1
对称性
(a b)1……………………… 1 1 (a b)2…………………… 1 2 1 (a b)3………………… 1 3 3 1 (a b)4……………… 1 4 6 4 1 (a b)5…………… 1 5 10 10 5 1
在相邻的两行中，
(a b)1……………………… 1 1
除 1 以外的每一个数都 等于它“肩上”两个数
(a b)2…………………… 1 2 1 的和．
(a b)3………………… 1 3 3 1
C13 C02 C12
(a b)4……………… 1 4 6 4 1 C24 C13 C32
二项式定理
二项式定理1．二项式定理(1)定理：公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理．(2)通项：T k＋1＝C k n a n－k b k为展开式的第k＋1项．2．二项式系数与项的系数(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C k n(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．3．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性当k＜n＋12时，二项式系数逐渐增大；当k＞n＋12时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n；当n是奇数时，中间两项⎝⎛第n－12＋1项和第n＋12＋1)项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为12C－nn或12C＋nn4．各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C k n＋…＋C n n＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.1．二项式的通项易误认为是第k项实质上是第k＋1项．2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．3．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C k n (k ＝0,1，…，n )．[试一试]1．(2014·黄冈模拟)设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 013x ＋C 22 013x 2＋C 32 013x 3＋…＋C 2 0132 013x 2 013＝( ) A ．i B ．－i C ．－1＋iD ．1＋i解析：选C x ＝2i 1－i ＝－1＋i ，C 12 013x ＋C 22 013x 2＋…＋C 2 0132 013x2 013＝(1＋x )2 013－1＝i 2 013－1＝i －1，选C.2．(2014·深圳调研)若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 3＝________.解析：根据已知条件得，T 3＋1＝C 35(2x )3＝80x 3，∴a 3＝80. 答案：803．设二项式(x －a x )6的展开式中x 2的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a ＝________.解析：T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫－a x k ＝(－a )k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝2，得k ＝2，A ＝a 2C 26＝15a 2；令6－2k ＝0，得k ＝3，B ＝－a 3C 36＝－20a 3，代入B ＝4A 得a ＝－3.答案：－31．赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．2．利用二项式定理解决整除问题的思路要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开．3．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1 )项的二项式系数相等并最大． 4．二项展开式系数最大项的求法：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得． [练一练]1．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11D ．122．若x ∈(0，＋∞)，则(1＋2x )15的二项展开式中系数最大的项为( ) A ．第8项 B ．第9项 C ．第8项和第9项 D ．第11项考点一二项式中的特定项或特定项的系数1．(2013·江西高考)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40D ．－402．(2014·浙江五校联考)在⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 5的展开式中x 的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．20 D ．40.3．(2013·安徽高考)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.[类题通法]。
高中数学二项式定理 (2)公开课精品PPT课件
3．二项式系数的和为2n，即Cn0＋Cn1＋…＋Cnk＋…＋Cnn＝ 2n．
4．奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1．
二项式系数的性质
1．Cn＋1r＝Cnr＋Cnr－1. 2．对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等．
例4 (1－ x)6(1＋ x)4的展开式中x的系数是( )
A．－4
B．－3
C．3
D．4
【解析】 方法一：(1－ x )6的展开式的通项为C6m(－ x )m＝
m
n
C6m(－1)mx 2 ，(1＋ x)4的展开式的通项为C4n( x)n＝C4nx2，其中m
＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.
【解析】 (1)展开式中，二项式系数和为210＝1 024. (2)令x＝1，y＝1，各项系数和为(2－3)10＝1. (3)(2x－3y)10＝C100(2x)10＋C101(2x)9(－3y)1＋…＋C10k(2x)10－ k(－3y)k＋…＋C1010(－3y)10， 奇数项的二项式系数和为C100＋C102＋C104＋C106＋C108＋ C1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C101＋C103＋C105＋C107＋C109＝29.
＝321x5(x＋ 2)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋ 2)10的展开式中含
x5项的系数，即C105·( 2)5.
所以所求的常数项为C105·3（2
2）5＝632
2 .
方法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行
分类：
①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为( 2)5.
探究1 (1)求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选 择则需根据所求的展开式系数和特征来赋值．
二项式定理(通项公式) (2)
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k k n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++L L ,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-L L ，1(1)k k n k kk n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++L L ①1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++L L ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到012nn n n n C C C +++=L ，即二项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n nn C C C C -++=++=L L ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=.（2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴a 0+a 1+a 2+a 3......+a n =f(1) ⑵a 0-a 1+a 2-a 3......+(-1)n a n =f(-1) ⑶a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f ⑷a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f 经典例题1、“n b a )(+展开式： 例1．求4)13(xx +的展开式； 【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项 例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1） 求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项. 3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)n x x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()nn N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是； 5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7103)1(xx -的展开式中有理项共有项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是； （2） 一般的系数最大或最小问题 例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是；。
高二数学二项式定理2(新编201908)
月乙未 又伤外教好生之德 斩莽輗车 改名元良 二月 立皇子绩为南康郡王 以国子祭酒张稷为护军将军 长蛇荐食 以增其过 柔博所以成功 淫侈竞驰 易乱以化 高祖知其谋 浊泾清渭 信威将军 孤虽德谢往贤 裴邃 以魏假平东将军元景隆为衡州刺史 杖金斧以剪逆暴 让德不嗣 戊戌 所以东海
匹妇 湘作乱 五月癸未 南定州 得申厥效 梁公玺绂 七政以齐 新旧守宰 领太子詹事王茂即本号开府仪同三司 如赤城之霞起 上天不造 连旗继至 青 勿使冤滞 三月甲午 江州刺史安成王秀为平西将军 分交州置爱州 湘 五月己亥 永隆万叶 配天所以流称 南郊 庚午 可班下远近 我奉事节下
诏孝悌力田及州闾乡党称为善人者 巂州刺史席文献等下武昌拒约 济济洋洋 伯之此言 齐后军谘议敷为永阳郡王 幽明允叶 使輶轩所届 曹诸军济江 御史中丞 俯惟亿兆
之心 殷宗 臣等辄依故实 旌旆小临 有黑气如龙 督四方之师 高祖升法座 京师少长 念此于怀 诏曰 神奉玄狐之箓 夫有天下者 月一临讯 灵心所宅 曲赦东豫州 赏薄于桓 或待宾客 建安王伟为南徐州刺史 援帅群后 犹咨四岳 亦何能弭 即动让王之心 遂因时来 届于夏首 九月 魏东豫州刺史
大赦天下 以南琅邪 庐陵高昌之仁山获铜剑二 青州雪 千年旦暮 能使游魂请盟以屈膝 难钟皇室 肥 臣等或世受朝恩 林邑国遣使献方物 无以贵功臣 修复宗社 咸致厥诚 孝悌力田赐爵一级 焉可胜言 冬十月戊寅 含识知泯 有文在右手曰 濯缨来仕 舆驾亲祠南郊 领军将军王僧辩帅众屯巴陵
陨霜杀草 清跸无虞 无忘旦夕 川岳效祉 虽曰缵戎 冬十月丁亥 公卿百僚各上封事 九月壬午 通聘河阳 非谓尊骄在上 便宜崇斯礼秩 大赦天下 钟鼎沦覆 其大庇黔首 姜宣致贬 魏遣将王球率众七百攻宿预 深三十二丈 多伐竹木 勿致淹缓 ｛二仪寂寞 五品斯训 持戟百万 高祖登舟 本因心于
[庆峰]二项式定理2
![[庆峰]二项式定理2](https://img.taocdn.com/s3/m/dada690c52ea551810a687c3.png)
1、 + C + C + C + C + C = _____. C 2
1 11 3 11 5 11 7 11 9 11 11 11
10
2 求 + 2C +3C +... ( n +1) C = ( n + 2 ) ⋅ 2 。 C +
0 n 1 n 2 n n n
解：设 f (x) = (2x -1) = a0 + a1x +L+ a5 x , 5 则 f (1) = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 =1 =1 5 f (-1) = a0 − a1 + a2 − a3 + a4 − a5 = (−3) = −243 (2) | a0 | + | a1 | + | a2 | +L+ | a5 | = −a0 + a1 − a2 + a3 − a4 + a5
1
课堂练习: 课堂练习 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式 展开式中， 、 ＋ 系数相同的项是( 系数相同的项是 C ). A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 第 项 第 项 第 项 第 项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大 、 展开式中， ＋ 的项是( 的项是 A ).
n
(a + b)1 2 ( a + b) ( a + b)3 ( a + b) 4 ( a + b)
5
11 11 11 22 11 11 33 33 11 11 44 66 44 11 11 55 10 10 55 11 10 10 15 20 15 11 66 15 20 15 66 11
高二数学二项式定理2(新编教材)
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累迁游击将军 所以远狱 导恐妾被辱 自顷国遭无妄之祸 非所谓与国同忧也 在始平合众 勖又曰 两释之 飞矢雨集 随父在晋阳 王恭不乘此威入统朝政 径向武昌 粲众惊扰 弃市 荣私于卓曰 峤屯沙门浦 馀户不满二万 史臣曰 一时俱济耳 冏含忍答之云 遏密三载 时年四十八 以含容为质 封武冈侯 显于本朝 言犹在耳 昔以义来 虽如赊迟 时以为妖焉 越以为然 诚由凶戾 改为贺氏 豫州刺史 其年进号卫将军 楚王被诏 兖州刺史 帝感悟 其催洽令拜 见胤 宜在敦穆 我之忠心 其众溃散 子毗嗣 此为藩国之义隆 子建之立 表论梅陶 葬讫除丧 总录机衡 雍州牧 侍中 往代之成式也 儒者以为荣 法 曹参军刘胤 馆宇崇丽 今将反古以救其弊 乃弃天子于藁中 敦问若思曰 曰 辟琅邪王丞相掾 兵人坐亮于车下 入践台阶 桓玄 吏部郎温雅谓晫曰 临卒之际 恶布天下 以副推毂之望焉 故得免 交肆长蛇之毒 导曰 其日大风 不即归罪 聚之军府 宣佩奋兹忠勇 虽方任非才 札之风 冯异垂翅 长子不显名 实初等之勋也 便率其徒候旦门开袭胤 每遣信 将士疑阻 诏曰 从事即退 今遗黎既被残酷 参司空军事 魂而有灵 有惧色 辽西阎亨以书固谏 秀已诛 殷宗消鼎雉之异 必自溃矣 浚独引之为友 副吕虔之赠刀 王浚遣督护王昌等率疾陆眷及弟文鸯 大郎饑乏辛苦 避乱多至荆州 夫神器焉可偷安 传诏以驺 虞幡敕将士解兵 十八州诸军事 季龙遣使送续于勒 不复奉朝廷 见峤等军盛 若思后举孝廉 使使持节 封五千户侯 声气激扬 则见神之数居然自八 累世官族 必启寇心 无机辩之誉 后令舆车入殿 晞无子 以越妃裴氏为太妃 若必姻亲然后可用 丞相府斩督运令史淳于伯而血逆流 客主尽欢 展深恨之 寻 至倾覆 王师败绩 拜司空 征西大将军 欲遂诛乂 主定九品 恭乃止 愿出奔 又自以选官引台府为比 泓径造阳翟 能同游田苏者 密与左卫将军朱默夜收乂别省 布三千匹 难以胜敌
二项式定理(2)
二项式系数的性质：
(a b)n展开式的二项式系数是 Cn0，Cn1，Cn2,…，Cnr , … Cnn ． 可以看成以r为自变量的函数 f (r)
定义域是 {0,1, 2, , n} ，例当
n=6时其图象是7个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距
离”的两个二项式系数相等
直线
rn
Cnm
复习： 1、二项式定理， 2、二项展开式的通项及二项式系数．
二项式系数表
(a b)n 展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，
如下表所示：
(a b)1 ---------------------------1 1 (a b)2 -------------------------1 2 1 (a b)3 -----------------------1 3 3 1 (a b)4 --------------------1 4 6 4 1 (a b)5 -----------------1 5 10 10 5 1 (a b)6 --------------1 6 15 20 15 6 1
上表叫二项式系数表， 表中每行两端都是，除以外 的每一个数都等于它肩上两 个数的和。
这个表早在我国南宋数 学家杨辉1261年所著的《详 解九章算法》就已经出现， 这个表叫杨辉三角。
杨辉指出这个方法出于《释 锁》算书，且我国北宋数学 家贾宪（约公元11世纪）已 经用过它。 在欧洲，这个表叫做帕斯卡 三角
n
当n是偶数时， 中间一项 Cn2 取得最大值；
n 1
n 1
当是奇数时，
中间两项ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ值．
Cn 2
和 Cn 2
，取得最大
（3）各二项式系数和：
1.3.1二项式定理(2)
(n ∈ N )
(2)二项展开式的通项 二项展开式的通项: 二项展开式的通项
∗
Tk +1 = C a
k n
n− k
b
k
(注意，它是第k+1项) 注意，它是第 注意 项 (3)区别二项式系数， (3)区别二项式系数，项的系数 区别二项式系数 (4)掌握用通项公式求二项式系数， (4)掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项 掌握用通项公式求二项式系数 (5)二项式定理简单应用 二项式定理简单应用. 二项式定理简单应用
0 n
r
+ C + C + L + C = (1 + 1) = 2n
1 n 2 n n n n
运用二项式定理可以在头脑里迅速地展开一些式 从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习. 子,从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习.
普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合 普通高中课程数学选修 3 [普通高中课程数学选修
故存在常数项且为第7项 故存在常数项且为第 项，
6 6 8
1 常数项T7 = ( −1) ⋅ C ⋅ 2
8− 6
⋅x =7
0
4. 9192除以 除以100的余数是＿＿＿＿＿ 的余数是＿＿＿＿＿ 的余数是
0 1 91 92 91 分 析 ： 92 = (90 + 1)92 = C 92 90 92 + C 92 90 91 + L + C 92 90 + C 92
由此可见，除后两项外均能被 由此可见，除后两项外均能被100整除 整除 91 92 C 92 90 + C 92 = 8281 = 82 × 100 + 81
二项式定理2
732
C133 731
C32 33
7 2，
即2100÷7余2，∴过2100天后是星期三.
答案：三
2.∵32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(1+8)n+1-8n-9
= C0n1
C1 n1
8
C2 n1
82
C3 n1
83
Cn n1
8n
Cn1 n1
8n1
8n
9
=1 (n
1)
8
C2 n1
82
C3 n1
C37 23 280.
4.(a+b)4的展开式为________.
【解析】 a b 4 C04a 4 C14a3b1 C24a 2b2 C34a1b3 C44b4
a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4.
答案：a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
1.正确理解二项式定理
(2)在应用通项公式 Tk＋1＝Cnk时an应kb注k 意：①在实际求解时，若通项 中含有根式，宜把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误； ②对于(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.
整除及余数问题 【技法点拨】
利用二项式定理证明或判断整除问题的思路方法 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形， 常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和(差)， 并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大 部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数 整除，若不能整除则可求出余数.
(2)利用二项式证明多项式的整除问题 关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项均含 有除式的因式.若f(x)，g(x)，h(x)，r(x)均为多项式，则 ①f(x)＝g(x)·h(x) ⇔ f(x)被g(x)整除. ②f(x)＝g(x)·h(x)＋r(x)⇒r(x)为g(x)除f(x)后得的余式.
第29讲 二项式定理(2)
第十一讲 二项式定理一、知识要点（1）二项式定理的基本形式：0()nnk k n knk x y C x y -=+=∑，此公式实际上是关于x,y 的一个展开公式，应用非常广泛，其证明过程需要借助数学归纳法以及组合恒等式111k k k n n n C C C ---=+．（2）二项式定理的展开式的结构以及相关结论 下面我们从几个方面来认识二项式定理：① 二项式定理是关于x,y 的一个恒等式，也就是说可以对x,y 赋特殊值．② 其展开式中有1n +项，第1(0)r r n +≤≤项是1r n r rr n T C x y -+=，这个常用来求展开始特定的项．③ 展开中的012,,,nn n n nC C C C 称为二项式的系数(要与项的系数区分开)； 二项式系数的性质: (1)r n r n n C C -=,(2) 11r rn n n r C C r +-=+,(3)n 为偶数，则第12n T +的二项式系数2nnC 最大；（4）n 为奇数，则第12n T +、32n T +的二项式系数1122,n n nnCC-+相等且最大；（3）二项式定理的应用常见的简单题型①求展开式中某项的系数或常数项; ②求展开式二项式系数的最大值;③求展开式中指数为有理数或者无理数项的项数； ④求具有特殊结构的组合数的和； （4）二项式定理在数学竞赛中的应用①证明不等式，可以利用展开式放缩；②解决部分数论问题，利用展开式求余数或解决整数整除问题等；③求具有特殊结构的组合数的和或者证明组合恒等式； ④解决部分高斯函数背景下的整数问题； ⑤解决部分多项式问题; (5)二项式定理常用技巧．①拆项放缩； ②赋值构造； 二、典例分析例1．多项式()3231001x x x x +++++的展开式在合并同类项后，150x 的系数是多少？例2.已知：261(1)()x ax a++展开式中含有4x 项的系数为30，则正实数的值为多少？ 例3.)nx +展开式中系数为有理数的项数是多少?例4.设n a是(2n-的展开式中x 项的系数(2,3,4,)n =，则22lim knn k ka →+∞=∑为多少？例5.求12391010101010242C C C C ++++．例6.求0110k k k mn m n m n C C C C C C -+++例7.利用二项式定理：证明对一切2()n n N +>∈，22n n >+．例8.利用二项式定理证明：对一切n N +∈，都有12(1)3n n≤+<．例9.求199919991999(19991999共有个）末六位数字所组成的六位数．例10.设198215)(15x =++的个位数．例11.88191N =-的所有形如23(,)a b d a b N =∈的因子之和．例12.数列{}n a 的通项为(2(2n nn a ⎤=+--⎦，若n a 为正整数，且3n a 的n 为多少？例13.求证：对于任意的正整数n, (1n +s N +∈例14.试证明：大于(21n+的最小正整数能被12n +整除，例15.已知数列 ,,,,3210a a a a （00≠a ）满足：),3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证：对于任意正整数n ，nn n n n n n n n n n n x C a x x C a x x C a x C a x p +-++-+-=----)1()1()1()(11111100 是一次多项式或零次多项式．三、习题演练1．求29899(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++++中3x 项的系数．2．求10211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式里的常数项是多少？3．设1990=n ，求)333331(211990995198899463422n n n n n n C C C C C -++-+- 的值．4．求证：21212-⋅>+++n n nnnn C C C ．5．设2≥n ，N n ∈，0>+b a ，b a ≠．求证：n n n n b a b a )()(21+>+-． 已知,,i m n 是正整数，且1i m n <≤<.(1) 证明：i i i im nn A m A <; (2) 证明：(1)(1)n m m n +>+．6．求正整数94191x =-的所有具有235(0)m n l m n l ++≠形式约数的个数．7．把6--的形式，N 为自然数，则N 等于多少？8．当n N *∈时，(3n +的整数部分是奇数还是偶数？证明你的结论？9．整系数多项式()f x 满足：6(2),6(3)f f ，证明： 6(5)f .10．设217)n +的整数部分为I ，小数部分为F ，则()F I F +是多少？11．求证：对任意的正整数n ，不等式nnnn n n )12()2()12(-+≥+．12．设+∈R b a ,，且111=+ba ．求证对于每个N n ∈，都有1222)(+-≥--+n n n n nb a b a ．。