工程测量公式方法备案

xi = Rsinφi yi = 1 − cosφi 式中： φi = 弦线支距法
ℓ������ R
∙
180 π

缓和曲线放样 切线长：T = m + (R + P) tan 2 曲线长：L = 2l0 + α − 2l0 ∙ R 外矢距： E = R + P sec − R
2 α α
切曲差：q = 2T − L 缓和曲线坐标计算： ℓ5 ℓ9 x=ℓ− + −⋯ 40R2 ℓ2 3456R4 ℓ4 0 0 ℓ3 ℓ7 ℓ11 y= − + −⋯ 6Rℓ0 336R3 ℓ3 42240R5 ℓ5 0 0 四、测量误差基本理论 偶然误差的特性 偶然误差的计算公式：∆i = X − ℓi (i = 1,2,3 … n) 式中 X 真值 ℓ1 ℓ2 ℓ3 … ℓn 观测值 ∆i 偶然误差（有称真误差） 标准差的计算公式： σ = ± lim ∆∆ n
α= β=
α1 + α2 2 β1 + β2 2
半径:r = AO ∙ sin
α 2−α 1 2
= BO ∙ sin⁡ (
β 2−β 1 2
)
圆心坐标按照前方交会的方法公式计算。 3、三点法 用一定的方法测量圆周上三点的坐标。 A(X1,Y1),B(X2,Y2),C(X3,Y3) 1).计算 A,B 的中点 N 的坐标。 xN = 2).计算 AB 的斜率 mAB = (y2 − y1 )/(x2 − x1 ) 3).因ON ⊥ AB 所以 ON 的斜率为 m12 的负倒数，即： mON = −(x2 − x1 )/(y2 − y1 ) 4).ON 的直线方程式为: y − yN = mON (x − xN ) x1 + x 2 y1 + y2 yN = 2 2
i
μ2

式子中 μ 任意常数 pi 观测值的权 mi 观测值的中误差 2， 常用定权公式 角度测量 pi = C 任意正常数 ni 角度观测的测回数 ni C

距离测量 pi = C 任意正常数 C Di
Di 距离观测值 高差测量 pi =
C ni
或者 pi =
C Li
C 任意正常数 ni 水准测量的测站数 Li 水准测量的线路长度 3， 加权平均值 设对同一未知量进行了 n 次不等精度观测,观测值为ℓ1 ℓ2 ℓ3 … ℓn ,其相应 的权为p1 p2 … pn ,则加权平均值 x 为不等精度观测值的最可靠值,其计算 公式为: p1 ℓ1 + p2 ℓ2 + ⋯ + pn ℓn x= p1 + p2 + ⋯ + pn 可写为： x=
n-1 为在不同情况下的多余观测数。 误差传播定律： 设有一般函数：Z = F x1 ，x2 ， … ，xn 式中 Z 为不便于直接观测的未知量。 则有： mZ = ± ∂F ∂x1
2 2 ∙ m1 +
∂F ∂x 2
2
∙ m2 2 + ⋯+
∂F ∂x n
2
∙ m2 n

此式为计算函数中误差的一般形式， 使用时需注意： 各观测值必须是相互独 立的观测量。 例题：对某段距离测量了 n 次，观测值为ℓ1 ℓ2 … ℓn ,所有观测值均为独立的 等精度观测，观测值中误差为 m，试求其算术平均值 x 的中误差 m。 解：函数关系如下：������ =
5).同理，写出 OM 直线方程式 xM =
x 3 +x 2 2
yM =
y 3 +y 2 2
mON = −
(x 3 −x 2 ) y 3 −y 2
y − yM = mOM (x − xM )
6). 两直线方程联立可解得（x0, y0 ）： yM −yN + mON xN − mOM xM yM −yN −mOM (xM − xN ) x0 = = xN + mON − xOM mON − xOM y0 = yN + mON (xO − x N ) 7).半径计算 r= x0 − x i
′ ′ ′ ������p = − ������p − ������o sin α − ������p − ������o cos α
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一 、 圆形物的测绘 1、利用切线的极坐标法 计算圆心 O 点的坐标(X0,Y0)及半径 r 的步骤如下:
α= β=
β2 − β1 2 β2 + β1 2
sinα = r (l + r) 半径： r = lsinα 1 − sinα
圆心坐标：X0 = XA + l + r cos αAB + β Y0 = YA + (l + r)sin(αAB + β) 2、交会法
如果顾及地球曲率的影响,则目标处的铅垂线将与测站处的铅垂线有夹角ε =D/R 按正弦定理有
ℓ′ ℓ
=
sin ⁡ (90−γ−ε ） sin ⁡ (90−γ）
整理得 ℓ = ℓ(1 − D/R ∙ tgγ) 设两控制点标石中心连线的竖直角为γ，则可得 h = D ∙ tgγ 综上有: tgtgγ = D （Dtgγ
标（������P 、������P ）:
′ ′ ������P = ������O + ������P cos α − ������′P sin α ′ ������P = ������′O + ������P sin α − ������′P cos α
如 果 已 知 P 点 的 测 量 坐 标 （������P 、������P ） , 则 可 将 其 换 算 为 施 工 坐 标 （������P ‘ 、������P ’ ）： ′ ′ ′ ������p = ������p − ������o cos α − ������p − ������o sin α
2 2 2 T
由此可得误差方程式为： xj − xi yj − yi vs = dxj − dx i + Sij Sij − S 0 ij ）
dyj − dyi +
zj − zi Sij
dzj − dzi − （Sij
式中 S 0 ij 为由两点近似坐标算得的距离；dx,dy,dz 为相应的坐标改正数。 三、工程测量放样 1、高精度高程放样

n →∞

标准差的大小取决于在一定条件下偶然误差出现的绝对值的大小。 中误差 m 定义公式 ： 或者：m = ± m=±
2 2 ∆2 1 +∆2 +⋯+∆n
n
=±
∆∆ n
2 +������ 2 +⋯+������ 2 ������1 n 2
n −1
=±
������������ n −1
上下式子的区别：在真值已知的情况下，所有 n 个观测值均为多余观测；在真值未知 的情况下，则有一个观测值是必要的，其余 n-1 个观测值均为多余观测。因此 n 和
S
′
L
S
=
sin⁡ (90°−γ ） sin⁡ (90°+γ ）
即 S = S ‘ cosγ/cosγ ℓ ） ∙ cosγ/cosγ R 3.空间角的计算 若 i 为测站点，jk 为两个目标点，β 实测水平角，γj γk 归化至标石中心的竖直角。 设αj 为 ij 的方向角，αk 为 ik 的方向角；θ 为空间角∠jik 显然 β = αk − αj S = S（1 − 设A1 为 ij 的单位向量, A2 为 ik 的单位向量. 则A1 = l1 , m1 , n1 = (cosγj cosαj ，cosγj sinαj ，sinγj )
A2 = l2 , m2 , n2 = (cosγk cosαk ，cosγk sinαk ，sinγk )
由此可得空间角的计算公式 cosθ = A1 A2 T = l1 , m1 , n1 ∙ （l2 , m2 , n2 ） cosθ = cosγj cosγk cosβ + sinγj sinγk 4.空间距离的误差方程式 因为 Sij = （xj − xi ） + （yj − yi ） +（zj − zi ）
实用公式 实际中常用观测值的改正数υi 来计算中误差mx 。计算公式为： μ=± pυυ n−1 1 p
mx = ± 不等精度观测值满足下面关系： pυ = p x − ℓ 五、控制测量 1、 坐标系转换
p∆∆ =± μ (n − 1) p
= p x − pℓ = 0
′ 设 XOY 为测量坐标系，X′O′Y′为施工坐标系，������O 、������O ′为施工坐标系的原点 O′在测量坐标系中的坐标， α为施工坐标系的纵轴O′X′在测量坐标系中的方位 ′ 角。设已知 P 点的施工坐标为（������p 、������′p ），则可按下式将其换算为测量坐
2
&1，2，3 均可） 已知三点坐标后求解圆心坐标和半径还有另一种算法：
1）.计算 AB,BC,AC 三条直线的方向角 αij = arctg x −x
j
y j −y i
i
(i,j=A,B,C)
2).计算 AC 距离 l= yc − ya
2
+ （xc − xa )2
3).计算半径 先计算∠AOC = 2β = 2(αBC − αAB ) r = l/2 ∙ sinβ 4).计算 A 点至圆心的方向角 αAO = αAC + 90°− β 5).计算圆心的坐标 x0 = xA + l ∙ cosαAO y0 = yA + l ∙ sinαAO 二、三维控制网 1、竖直角观测值归化至标石中心 三角高程测量公式为： h = Dtgγ + i − l′ 式中 D——两点间的水平距离 γ——实测竖直角； i——仪器高； l′——目标高，设目标点的铅垂线不平行于测站的铅垂线。