数学三角函数与圆初三
中考数学复习专题三角函数与圆.docx
2011 中考数学复习专题—三角函数和圆考点 1三角形的边角关系主要考查：三种锐角三角函数的概念，特殊值计算，锐角函数之间的关系，解直角三角形及应用。
1. 如图所示， Rt △ ABC～ Rt △ DEF，则 cosE 的值等于（）A ．1B．2C．3D．3 22232. 如图，已知直角三角形ABC中，斜边 AB的长为 m，∠B=40，则直角边 BC的长是（）A．msin 40B． mcos 40C ． mtan40D．mtan 403. 王师傅在楼顶上的点 A 处测得楼前一棵树CD 的顶端 C 的俯角为 60，又知水平距离BD=10m，楼高 AB=24m，则树高 CD为（）A ． 24 10 3 m B．2410 3 m C ． 24 5 3 m D．9m34. 如图是掌上电脑设计用电来测量某古城墙高度的示意图。
点P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端 C 处，已知 AB⊥ BD， CD⊥BD，且测得 AB=1.2 米， BP=1.8 米， PD=12 米，那么该古城墙的高度是（）A ． 6 米B． 8 米C． 18 米D． 24 米5.如图所示，某河堤的横断面是梯形 ABCD，BC∥ AD，迎水坡 AB长 13 米，且 tan ∠ BAE=12，5 则河堤的高 BE为米。
6．如果，小明同学在东西方向的环海路 A 处，测得海中灯塔P 在北偏东 60 方向上，在A 处东 500 米的 B 处，测得海中灯塔P 在北偏东 30 方向上，则灯塔 P到环海路的距离PC=米（用根号表示）。
7．某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40 千米的 A、 B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在 A 地北偏东 45 、B 地北偏西 60方向上有一牧民区C。
一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案 I ：从 A 地开车沿公路到离牧民区 C 最近的 D 处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区 C。
(完整版)人教版九年级下册：圆和三角函数综合练习(含答案)
圆与三角函数1 •已知，如图，AB是。
O的直径，点C为。
O上一点，OF丄BC于点F,交。
O于点E, AE 与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点，且/ ODBN AEC(1)求证：BD是O O的切线；(2)求证：CE二EH?EA(3)若。
O的半径为5，sinA^L，求BH的长.2•如图，已知AB是。
O的直径，C是。
O上任一点(不与A，B重合)，AB丄CD于E，BF为O O的切线，OF// AC,连结AF, FC, AF与CD交于点G,与。
O交于点H,连结CH.(1)求证：FC是O O的切线；(2)求证：GC=GE(3)若cos/ AOC=-, O O的半径为r,求CH的长.3•已知。
O是以AB为直径的厶ABC的外接圆，OD// BC交。
O于点D,交AC于点E,连接AD、BD, BD 交AC于点F.(1)求证：BD平分/ ABC;(2)延长AC到点P,使PF=PB求证：PB是。
O的切线；(3)如果AB=10, cos/ ABC」，求AD.54.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F,且/ ACBd DCE(1 )判断直线CE与。
O的位置关系，并证明你的结论;(2)若上&门/ACB据,BC=2求O O的半径.5 •如图，AB是。
O的直径，D、E为。
O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C,使得CD=BD连接AC交。
O于点F,连接AE、DE、DF.(1 )证明：/ E=Z C;(2) 若/ E=55,求/ BDF的度数；(3) 设DE交AB于点G,若DF=4, cosB二，E是・，的中点，求EG?ED的值.E6. AB, CD是。
O的两条弦，直线AB, CD互相垂直，垂足为点E,连接AD,过点B作BF丄AD,垂足为点F,直线BF交直线CD于点G.(1) 如图1,当点E在。
O外时，连接BC,求证：BE平分/ GBC(2) 如图2,当点E在。
北师大版九年级数学下册复习课件锐角三角函数与圆
典例精讲
如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA 的延长线上，∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD2=CA•CB； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线 于点E，若BC=12，tan∠CDA= ������ ������ ， 求BE的长．
典例精讲
(1) 证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C
又∵OD是e O的半径，
∴CD是e O的切线.
典例精讲
（3）解：如图，连接OE． ∵EB、CD均为⊙O的切线， ∴ED=EB，OE⊥DB， ∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°， ∴∠ABD=∠OEB， ∴∠CDA=∠OEB． 而tan∠CDA= ������ ������ ， ∴tan∠OEB= ������������ ������������ = ������ ������ ， ∵Rt△CDO∽Rt△CBE， ∴ ������������ ������������ = ������������ ������������ = ������������ ������������ = ������ ������ ，∴CD=8， 在Rt△CBE中，设BE=x， ∴（x+8）2=x2+122， 解得x=5． 即BE的长为5．
∴△ADC∽△DBC，
∴
AC = DC DC BC
，即CD2=CA•CB；
(2) 证明：如图，连接OD.
∵AB是e O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠3=90°.
∵OA=OD，∴∠2=∠3，
∴∠1+∠2=90°.
又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，
∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，
初三专题：圆与三角函数
BCEBD 圆与三角函数例1.如图，Rt △ABC 中, ∠ACB=90°，AC=4， BC=2,以AB 上的一点0为圆心作⊙O 分别与AC ．BC 相切于点D ，E 。
(1)求⊙O 的半径。
(2)求sin ∠BOC 的值。
例2．如图，等腰△ABC 中，AB=A C ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E 。
(1)求证：DE 为⊙O 的切线(2)若BC=45，AE=1，求cos ∠AEO●专项训练：1．如图，已知Rt△ABC 和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC 上的点D 为圆心， OA 为半径的⊙O 与EC 相切于点D ，AD∥BC. (l)求证： ∠E=∠ACB: (2)若AD=1, tan ∠DAC=22，求BC 的长．2．如图，已知点0是Rt △ABC 的直角边AC 上一动点，以D 为圆心，OA 为半径的⊙O 交AB 于D 点， DB 的垂直平分线交BC 于F,交BD 于E 。
(l)连结DF ，请你判断直线DF 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论(2)当点D 运动到OA=2OC 时，恰好有点D 是AE 的中点，求tan ∠B 。
ADDA B3．如图，在△ABC中．AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D．过D作DF⊥BC,交AB的延长线于点E,垂足为F . (1)求证；直线DE是⊙O的切线；(2) 当∠E的值．4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点0为圆心，过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点E EF⊥AC于点F。
(1)求证：⊙O与AC相切：(2)若EF=2，BC =4，求tan∠A的值。
5．如图，△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于点C，在弧AC上取一点F，使弧CF=弧CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D。
(1)求证：CD为⊙O的切线。
(2)连BF交AP于B若BE=6，EF=2．求tan ∠FAE。
数学三角函数与圆初三
∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∴tan
BD 2 ∠A= DA 2
感悟、渗透、应用 ------求圆中的有关线段长等问题
【例3】(2003年·湖北省黄冈市)已知：如图，C为半圆 上一点， AC=CE，过点 C 作直径 AB 的垂线 CP，P 为垂足，弦 AE分别交PC，CB于点D，F， (1)求证：AD=CD； (2)若DF=5/4，tan ∠ECB =3/4，求PB的长. 【分析】 (1)证△ACD为等腰三角形即可得. (2)先证明 CD=AD=FD，在Rt△ADP中再利用勾股定理及tan ∠DAP=tan ∠ECB=3/4， 求 出 DP、PA、CP， 最 后 利 用 △APC∽△CPB求PB的长.
sin A sin B sin A cos A 2m 5 m5 sin A sin B sin A cos A 12 m5
①2-②×2得(sin
A+A，得m2-18m-40=0 解之得m=20或m=-2
感悟、渗透、应用 ------构造直角三角形
例2、如图,已知△ABC的外接圆⊙O的半径 为1, D、E分别为AB、AC的中点，DE=0.5, 则sin∠BAC的值等于------
感悟、渗透、应用
－－－－－非特殊角求其三角函数值的问题
【例 3】如图所示，已知 AB为⊙ O 的直径， C为 AB 延长线上 的点，以OC为直径的圆交⊙O于D，连结AD，BD，CD. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AB=BC=2，求tan ∠A的值.
思想方法提炼
三角函数是与角密切相关的函数，而圆中常会出 现与角有关的求解问题,三角函数与圆的综合应用是中考 中的热点问题之一.
初三数学三角函数知识点归纳总结
初三数学三角函数知识点归纳总结三角函数是数学中一个重要的概念，也是初三数学中的重点知识之一。
它们在几何、物理和工程学等领域有广泛的应用。
下面，我们将对初三数学中的三角函数知识点进行归纳总结。
1. 正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，用sin表示。
在单位圆上，对于任意角度θ，点P(x, y)的坐标可以表示为P(θ, sinθ)，其中y坐标即为sinθ的值。
正弦函数的值域为[-1, 1]，定义域为所有实数。
2. 余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，用cos表示。
在单位圆上，对于任意角度θ，点P(x, y)的坐标可以表示为P(cosθ, θ)，其中x坐标即为cosθ的值。
余弦函数的值域也为[-1, 1]，定义域同样为所有实数。
3. 正切函数正切函数是三角函数中的一种，用tan表示。
正切函数可以表示为sinθ/cosθ，在θ=π/2+kπ（k为整数）的情况下，等于无穷大，即不存在定义。
正切函数的值域为所有实数，定义域除了θ=π/2+kπ之外的所有实数。
4. 反正弦函数反正弦函数是正弦函数的反函数，用arcsin表示。
在[-1, 1]的值域内，对于任意实数y，可以找到唯一的角度θ，使得sinθ=y，其中θ的范围在[-π/2, π/2]之间。
5. 反余弦函数反余弦函数是余弦函数的反函数，用arccos表示。
在[-1, 1]的值域内，对于任意实数x，可以找到唯一的角度θ，使得cosθ=x，其中θ的范围在[0, π]之间。
6. 反正切函数反正切函数是正切函数的反函数，用arctan表示。
在所有实数的定义域内，对于任意实数y，可以找到唯一的角度θ，使得tanθ=y，其中θ的范围在(-π/2, π/2)之间。
通过对上述知识点的了解，我们可以利用三角函数来解决一些有关角度和边长的问题。
在学习过程中，我们需要注意以下几个要点：1. 熟练掌握三角函数基本概念和符号表示，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、值域、定义域等。
三角函数与单位圆
三角函数与单位圆引言三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
而单位圆作为三角函数的基础，具有重要的几何和代数意义。
本文将探讨三角函数与单位圆之间的关系，以及它们在数学和实际应用中的重要性。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
以正弦函数为例，它是一个周期函数，可以表示为f(x) = sin(x)，其中x为自变量。
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
通过图形可以看出，正弦函数的图像在一个周期内呈现出波浪形状，具有对称性。
二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆，圆心位于坐标原点(0, 0)。
单位圆的方程可以表示为x^2 + y^2 = 1。
单位圆上的点可以表示为(x, y)，其中x和y的取值范围是[-1, 1]。
单位圆在坐标平面上呈现出完美的对称性。
三、三角函数与单位圆的关系三角函数与单位圆之间存在密切的关系。
我们可以通过单位圆来解释三角函数的定义和性质。
1. 正弦函数与单位圆正弦函数可以通过单位圆上的点的y坐标来表示。
具体而言，对于一个角度x （弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么y坐标即为sin(x)。
这是因为单位圆上的点到圆心的距离为1，而y坐标正好对应这个距离。
因此，单位圆上的点可以帮助我们直观地理解和计算正弦函数的值。
2. 余弦函数与单位圆余弦函数可以通过单位圆上的点的x坐标来表示。
具体而言，对于一个角度x （弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么x坐标即为cos(x)。
这是因为单位圆上的点到圆心的距离为1，而x坐标正好对应这个距离。
因此，单位圆上的点可以帮助我们直观地理解和计算余弦函数的值。
3. 正切函数与单位圆正切函数可以通过单位圆上的点的y坐标和x坐标的比值来表示。
具体而言，对于一个角度x（弧度制），在单位圆上找到对应的点P(x, y)，那么y坐标除以x 坐标即为tan(x)。
这是因为正切函数定义为tan(x) = sin(x) / cos(x)，而单位圆上的点的坐标正好满足这个比值关系。
九年级数学圆与三角函数
专题复习 圆与三角函数
一、自主探究
△ABC 中，AB=AC
（1）若sin A=
3
5
，求tanC (2)若tanC=3，求cosA
归纳：1.已知等腰三角形 的三角函数，可求 的三角函数 2.已知等腰三角形 的三角函数，可求 的三角函数 二．例题讲解
例1、如图，已知P 为⊙O 外的一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于E ，交PA 、PB 于C 、D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长为3r ， 求:①PA 的长（用r 表示）；
②tan ∠APB 的值.
三.练习：
1.已知P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，sin ∠（1） 若AC 为直径，，求tan ∠C 的值
（2） 变式：若点C 为优弧AB 上任一点，求tan ∠C 的值
2、如图，⊙O 中， OA ⊥OE ，弦AB 交OE 的于D 点，过B 做
P
34
⊙O 的切线，交OE 的延长线于C 点，若tan ∠A=
13
(1) 求证：CB=CD (2) 求sin ∠DCB 的值
3、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 与点D ，CF ⊥AB 于E ，
若sin ∠C=45
（1） 求证：∠AOD=∠C （2） 求tan ∠A 的值
4.如图，在⊙O 中，弧AB=弧AC,D 为弧AB 上一点，若cos ∠BDC= ，求tan ∠ADC 的值。
F
O A
D。
【专项复习】2022年中考数学专项 第27讲 三角函数与圆的综合
第27讲三角函数与圆的综合知识导航1．明确同弧所对的弦、圆周角和圆的半经三者的关系：AB＝2RsinC，如图所示两种常用辅助线．C图1 图22．三角函数值形式上是两条线段的比值，往往可以转化为两个相似三角形的相似比．【板块一】求与圆有关的角的三角函数值方法技巧1．将所求角转化到直角三角形中；2．利用相似比进行转化。
题型一遇斜三角形作垂线构直角【例1】如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB，连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值．【解析】过点C作CD⊥TA于点D，设⊙O的半径为r，则AT＝AB＝2r，∴OT r，TC＝－1)r，∵CD∥OA，∴△TCD∽△TOA，∴CDOA＝TCTO＝TDTA，∴CD＝r，∴DA＝r，∴tan∠TAC＝CDDA＝．D【例2】如图，已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC是⊙O的直径，连接BC，PC，若PB＝6，PC＝10，求sin ∠PCB的值．【解析】连OP，AB，则OP⊥AB，BC⊥AB，∴OP∥BC，∴∠PCB＝∠OPC，过点O作OM⊥PC于点M，∴sin∠PCA＝PAPC＝610＝35＝4OM，∴OM＝125，又OPsin∠PCB＝sin∠OPM＝．【点评】当所求锐角不在直角三角形中时，常作参线构造直角或利用等角特接求其三角函数值．题型二遇切线，连圆心切点构直角【例3】如图，BE，BC，CG分别与⊙O相切于E，F，G三点，且BE∥CG，延长BO交CG的延长线于点D，连接FG，若FGBD＝45，求sin∠CFG的值．【解析】易证OC⊥BD，OC⊥FG，∴FG∥BD，∴∠CFG＝∠CBD，连接OF，则OF⊥BC，可证△CFG∽△CBD，∴CF CB＝FGBD＝45，设CF＝4x，BC＝5x，∴BF＝x，易证OF2＝BF·FC＝4x2，∴OF＝2x，∴OB x，∴sin∠CFG＝sin∠OBF＝OFOB．【点评】注意等角转换与等比转换．题型三遇直径，利用直径构直角【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E，若AEEB＝12，求cos∠BED的值．【解析】连接CE．由AEEB＝12，可设AE＝x，EB＝2x，易证上进△ACE∽△CBE，得CE2＝AE·BE＝2x2，∴CE，∴BC，由∠BEC＝90°，D是BC的中点可得DE＝BD，∴∠BED＝∠B，∴cos∠BED＝cos∠B＝BEBC＝．题型四遇弧的中点，利用垂径构直角【例5】如图，CD是△ABC的外角∠ECA的平分线，CD与过A，B，C三点的⊙O相交于点D．(1)求证：BD＝AD;(2)若AB＝CD，ABAC＝，求sin∠ACB的值。
初三圆周角函数知识点归纳总结
初三圆周角函数知识点归纳总结圆周角函数是初中数学中的重要内容，对于学习三角函数和解题提供了便利。
本文将对初三圆周角函数的知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握。
一、正弦函数1. 定义：在单位圆上，从正半轴到与半径夹角为θ的弧段的纵坐标与半径的比值，称为正弦函数，记作sinθ。
2. 基本性质：- 定义域：所有实数；- 值域：[-1, 1]；- 周期性：sin(θ+2π)=sinθ；- 对称性：sin(-θ)=-sinθ。
3. 常用值：- sin(0)=0；- sin(π/6)=1/2；- sin(π/4)=√2/2；- sin(π/3)=√3/2；- sin(π/2)=1。
二、余弦函数1. 定义：在单位圆上，从正半轴到与半径夹角为θ的弧段的横坐标与半径的比值，称为余弦函数，记作cosθ。
2. 基本性质：- 定义域：所有实数；- 值域：[-1, 1]；- 周期性：cos(θ+2π)=cosθ；- 对称性：cos(-θ)=cosθ。
3. 常用值：- cos(0)=1；- cos(π/6)=√3/2；- cos(π/4)=√2/2；- cos(π/3)=1/2；- cos(π/2)=0。
三、正切函数1. 定义：在单位圆上，从正半轴到与半径夹角为θ的弧段的纵坐标与横坐标的比值，称为正切函数，记作tanθ。
2. 基本性质：- 定义域：所有实数，除去所有余弦函数为0的点（即θ=π/2+kπ，k为整数）；- 值域：全体实数；- 周期性：tan(θ+π)=tanθ。
3. 常用值：- tan(0)=0；- tan(π/4)=1；- tan(π/6)=√3/3；- tan(π/3)=√3；四、相关性质1. 三角函数的关系：- tanθ=sinθ/cosθ；- sin²θ+cos²θ=1。
2. 三角函数的互化公式：- sin(-θ)=-sinθ；- cos(-θ)=cosθ；- tan(-θ)=-tanθ。
初中数学单位圆定义的三角函数公式
初中数学单位圆定义的三角函数公式单位圆定义在实际计算上没有大的价值;事实上对多数角它都依靠于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对全部正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。
它也提供了一个图象，把全部重要的三角函数都包含了。
依据勾股定理，单位圆的等式是：图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线，同 * 轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。
这个交点的 * 和 y 坐标分别等于 cos θ和 sin θ。
图象中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = */1。
单位圆可以被视为是通过转变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。
上面的内容为大家带来的是单位圆定义三角函数，相信大家能仔细记忆了吧，接下来还有更多的公式大全营养餐等着同学们来吸取呢。
中学数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，盼望同学们很好的掌控下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且相互垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
盼望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌控，相信同学们会取得很好的成果的哦。
中学数学平行四边形定理公式同学们仔细学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的`对角相等；③平行四边形的对角线相互平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线相互平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌控了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。
中考数学专题复习——锐角三角函数与圆的综合
2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合一、综合题1．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM.（1）求证：AM=BM；（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长.2．如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°.（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE＝34，求AE的长.3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，点A为BD的中点，切线AE交CB的延长线于点E。
（1）求证：AE∥BD。
（2）若⊙O的半径为2.5，CD=4，求AE的长。
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F 为CE的中点，连结DB，DF.（1）求∠CDE的度数.（2）求证：DF是⊙O的切线.（3）若tan∠ABD＝3时，求ACDE的值.5．如图，在⊙O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的切线于点E.（1）求证：AE⊥CE.（2）若AE＝2，sin∠ADE＝13，求⊙O半径的长.6．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．（1）求DE是⊙O的切线；（2）设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，若S2＝5S1，求tan∠BAC的值；（3）在（2）的条件下，连接AE，若⊙O的半径为2，求AE的长．7．如图，O是ABC∆的外接圆，连接OC，过点A作AD OC交BC的延长线于点D，45ABC∠= .（1）求证：AD是O的切线；（2）若3sin5CAB∠=，O的半径为，求AB的长.8．如图，AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D，E是BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB.（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长.9．如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC.（1）求证：BA＝BC；（2）若AG＝2，cosB＝35，求DE的长.10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝34，求CF的长．11．如图，AB为O的直径，BC为O的切线，AD OC‖，交O于点D，E为弧AB的中点，连接DE，交AB于点F.（1）求证：CD为O的切线；（2）求证：22AD OC OA⋅=；（3）若3cos5A=，求tan E .12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作 O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F.（1）求证：EF是 O的切线；（2）若EB=6，且sin∠CFD= 35，求 O的半径.13．如图，在Rt△ABC中，点在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD。
最新人教版初中数学九年级下册精品课件28.1.7 用三角函数解与圆有关的问题
证明：如图，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F.
在 Rt△ABC 中，tan B＝ABCC＝12，
∴BC＝2AC＝2 5.
∴AB＝ AC2＋BC2＝ （ 5）2＋（2 5）2＝5.
∴CF＝ACA·BBC＝
5×2 5
5＝2.
∴AB 为⊙C 的切线．
(2)求图中阴影部分的面积．
2 (2)若 AB＝5，⊙O 的半径为 12，则 tan∠BDO＝____3____．
11．(2019·安顺)如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的 ⊙O 与边 BC，AC 分别交于 D，E 两点，过点 D 作 DH⊥AC 于点 H.
(1)判断 DH 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
A．3 或 5
B．5
C．4 或 5
D．4
4．(2019·襄阳)如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形 OBCD 是平行四边形，AC 与 OB 相交于点 P，下列结论错．误．的是
(A )
A．AP＝2OP
B．CD＝2OP
C．OB⊥AC
D．AC 平分 OB
5．(中考·黔东南州)如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝15，AC＝9， 则 tan∠ADC＝___34_____.
∵∠C＝90°，∴EF∥BC. ∴∠AEF＝∠B. ∴sin∠AEF＝sin B＝153. ∴AF＝AE·sin∠AEF＝10×153＝5103. ∵∠ODA＝∠FAD，∠OGD＝∠FGA，∴△AGF∽△DGO.
50 ∴DAGG＝OAFD＝153＝1103. ∴DG＝1233AD.
∵AD＝ AB·AF＝ 18×5103＝3103 13，∴DG＝1233×3103 13＝3203 13.
九年级(上)培优讲义：第13讲 圆三角函数相似三角形
第13讲:圆与三角函数、相似三角形的综合一、 知识建构1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到圆心的距离d 和半径r 之间的数量关系分别为：①d r ，②d r ，③d r .2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为：①d r ，②d r ，③d r . 3. 圆与圆的位置关系共有五种：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；两圆的圆心距d 和两圆半径R 、r （R ≥r ）之间的数量关系分别为：①d R －r ，②d R －r ，③ R －r d R ＋r ，④d R ＋r ，⑤d R ＋r .4. 圆的切线 过切点的半径；经过 的一端，并且 这条 的直线是圆的切线.5. 从圆外一点可以向圆可以引 条切线， 相等， 相等.6. 三角形的三个顶点确定 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 心，是三角形 的交点.7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 . 二、 例题精讲例1.如图，第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ，作直径AD ，过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ，P 为直线l 上一动点，已知直线P A 的解析式为：y =kx +3。
(1) 设点P 的纵坐标为p ，写出p 随变化的函数关系式。
(2)设⊙C 与P A 交于点M ，与AB 交于点N ，则不论动点P 处于直线l 上（除点B 以外）的什么位置时，都有△AMN ∽△ABP 。
请你对于点P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明；(3)是否存在使△AMN 的面积等于2532的k 值？若存在，请求出符合的k 值；若不存在，请说明理由。
2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点例2.如图1，已知菱形ABCD的边长为3，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．D的坐标为（3（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3）①当t=1时，△ADF与△DEF是否相似？请说明理由；②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）例3．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x 轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．例4.已知，如图(a)，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(x1,0),B(x2,0)，C(0,－2)，其顶点为D.以AB 为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N.∠ONE=30°，|x1－x2|=8.（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得⊿ABP与⊿ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b）,点Q 为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH·AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.例5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cos A＝35.求：(1)DE，CD的长；(2)tan∠DBC的值．三、基础演练1.如图，⊙O的直径AB=8，P是圆上任一点（A、B除外），∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC、BC的中点M、N，则EF的长是（）A．34B．32C．6 D．522.如图，点A是反比例函数y=2x(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=－的图象于点B，以AB为边作□ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为( )A．2 B．3 C．4 D．53.在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1－S2=，则S3－S4的值是( )A．π429B．π423C．π411D．π454.关于x的方程022=++baxx有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论：①02<+ba；②0<ab；③关于x的方程0222=+++baxx有两个不相等的实数根；④抛物线222-++=baxxy的顶点在第四象限。
第三讲 三角函数与圆
（1）证明：∵BD平分∠CBA， ∴∠CBD＝∠DBA. ∵∠DAC＝∠CBD， ∴∠DAC＝∠DBA.
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°. ∴∠ADE＋∠EDB＝∠ABD＋∠EDB＝90°. ∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP.∴PD＝PA. ∵∠DFA＋∠DAC＝∠ADE＋∠PDF＝90°， 且∠DAP＝∠ADE， ∴∠PDF＝∠PFD.∴PD＝PF. ∴PA＝PF，即P是AF的中点．
第三讲 三角函数与圆
三角函数的相关概念：
B
斜边
sin
A
∠A对边
斜边
叫∠A的正弦值
∠A对边
A
∠A
C
cos A
∠A
斜边
叫
∠A对边
tan A
叫∠A的正切值
∠A
三角函数的意义：
sin A
∠A对边
斜边
cos A
∠A
斜边
tan A ∠A对边
∠A
1、三角函数只有放在直角三角形中才有意义
2、利用三角函数定义形成等式建立方程，知二求一.
3、角相等
三角函数值相等
对应边比值相等建立方程
三角函数的应用：
A D
C
E
B
sin B DE AC EB AB
cos A cos∠DEB
cos A AC ,cos∠DEB DE
AB
EB
AC DE AB EB
∠A ∠DCB sin A sin∠DCB CD DB CB AC CB AB
(3）∵ AB＝10，且AD＝6. ∴DB＝. AB2 AD2 8
在Rt△ABD中t，anABD
2023秋季初三AA第11讲三角函数与圆
第11讲 三角函数与圆模块1 求半径【知识梳理】知识点1 锐角三角函数锐角三角函数:在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对三角形的边分别为a 、b 、c ．正弦：sin a A c =；余弦：cos b A c =；正切：tan a A b=．锐角三角函数的性质:（1）同角三角函数关系：22sin cos 1A A +=，sin tan cos A A A=. （2）互为余角三角函数关系：()sin cos 90A A =︒-，()cos sin 90A A =︒-.（3）锐角三角函数的增减性：当角度在0~90︒︒范围内变化时，正弦值随角度增大 （或减小）而增大 （或小）；余弦值随角度增大 （或减小）而减小 （或增大）．正切值随角度增大 （或减小）而增大（或减小）.特殊角的三角函数: sin30°=12，cos30°=.sin45°=，tan45°=1.sin60°=，cos60°=12【经典例题】例1 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ，过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点F ，连接FB ．C BA（1）求证：FB是⊙O的切线．（2）若AC＝4，tan∠ACD＝，求⊙O的半径．【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解析；（2）5．例2 已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；（2）若tan∠ADC＝，BC＝4，求⊙O的半径．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．模块2 求其他长度【经典例题】例3 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE为⊙O的切线；（2）延长AB，ED交于点F．若BF＝2，，求AC的长．【专题】与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．例4 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D 作⊙O的切线交CB的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB；（2）若OA＝5，sin∠BAC＝，求线段DE的长．【专题】线段、角、相交线与平行线；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）．例5 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E．（1）求证：∠E＝90°；（2）连接CD，若，AB＝9，求CE的长．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）证明见解析；（2）4．附加题1 如图，AB是⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作⊙O的切线，交DE于点F．（1）求证：FC＝FD；（2）若E是OB的中点，sin D＝，OA＝2，求FD的长．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）见解答；（2）．附加题2 如图，△ABC中，AB＝AC，以BC为直径作⊙O，与边AC交于点D，过点D的⊙O的切线交BC的延长线于点E．（1）求证：∠BAC＝2∠DBC；（2）若cos∠BAC＝，DE＝4，求BE的长．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）见解答；（2）8．【作业】作业1 如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，D为OC延长线上一点，DA与⊙O相切，切点为A，连接BO并延长，交⊙O于点E，交直线DA于点F．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AF＝4，sin B＝，求⊙O的半径．【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】（1）证明见解析过程；（2）7．作业2 如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥AB，垂足为C，过点A作⊙O的切线，交OC的延长线于点D，连接OB．（1）求证：∠B＝∠D；（2）延长BO交⊙O于点E，连接AE，CE，若AD＝2，sin B＝，求CE的长．【专题】与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）CE＝2．。
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解：(1)连结OD，∵OC为直径ห้องสมุดไป่ตู้∴∠CDO=90° 又∵OD为⊙O的半径∴CD是⊙O的切线
(2)由切割线定理有：CD2=CB·CA=8∴CD=2 2 ∵∠BDC=∠A，∠BCD=∠DCA∴△BCD∽△DCA
BD CD ∴ = 2 2 2 DA CA 4 2
∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∴tan
感悟、渗透、应用 ------转换角
例1、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是 弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则 sin∠ABD的值是（ ） A 4/5 B．3/5 C．3/4 D．4/3
感悟、渗透、应用 ------构造直角三角形
例2、如图,已知△ABC的外接圆⊙O的半径 为1, D、E分别为AB、AC的中点，DE=0.5, 则sin∠BAC的值等于------
BD 2 ∠A= DA 2
感悟、渗透、应用 ------求圆中的有关线段长等问题
【例3】(2003年·湖北省黄冈市)已知：如图，C为半圆 上一点， AC=CE，过点 C 作直径 AB 的垂线 CP，P 为垂足，弦 AE分别交PC，CB于点D，F， (1)求证：AD=CD； (2)若DF=5/4，tan ∠ECB =3/4，求PB的长. 【分析】 (1)证△ACD为等腰三角形即可得. (2)先证明 CD=AD=FD，在Rt△ADP中再利用勾股定理及tan ∠DAP=tan ∠ECB=3/4， 求 出 DP、PA、CP， 最 后 利 用 △APC∽△CPB求PB的长.
小结:今天你有什么收获? 你还有什么疑问?
请各位专家批评指正
解：(1)连结AC∵AC=CE∴∠CEA=∠CAE ∵∠CEA=∠CBA∴∠CBA=∠CAE ∵AB是直径∴∠ACB=90° ∵CP⊥AB∴∠CBA=∠ACP ∴∠CAE=∠ACP∴AD=CD (2)∵∠ACB=90°∠CAE=∠ACP ∴∠DCF=∠CFD∴AD=CD=DF=5/4 ∵∠ECB=∠DAP，tan ∠ECB=3/4 ∴tan ∠DAP=DP/PA=3/4 ∵DP2+PA2=DA2 ∴DP=3/4 PA=1∴CP=2 ∵∠ACB=90°，CP⊥AB ∴△APC∽△CPB
A)2-2sin
(
2m 5 2 24 ) m5 m5
(2)当m=20时， 方程化为：25x2-35x+12=0 解之得 x=3/5，x=4/5 则sin A=3/5，sin B=4/5或sin A=4/5，sin B=3/5 即： AC=AB·sin B=10×4/5=8 BC=AB·sin A=10×3/5=6或AC=6，BC=8 于是内切圆半径r=1/2(a+b-c)= 1/2(8+6-10)=2 当m=-2时，方程化为x2+3x+4=0 ∵此方程无实根 ∴m=-2应舍去 ∴m=20，r=2
AP PC ∴ PC PB
∴PB=4
三角函数与圆、方程结合
思维拓展：△ABC中，AB=10，外接圆O的面积为25π ，sin A，sin B 是方程 (m+5)x2-(2m-5)x+12=0 的个两根 ，其中 m≠-5.(1)求m的值；(2)求△ABC的内切圆的半径.
解(1)设⊙O的内切圆的半径为r，⊙O的半径为R ∵π R2=25π ∴R=5 因⊙O的内接△ABC的边AB=10=2R ∴AB是⊙ O 的直径，且∠ ACB＝90°，则△ ABC 是直角三角形，从而 ∠ A+∠B=90°， 故 sin B=cos A 因 sin A、sin B 是 一 元 二 次 方 程 (m+5)x2-(2m-5)x+12=0的两个根，故
三角函数与圆
思想方法提炼 感悟、渗透、应用 课时训练
思想方法提炼
三角函数是与角密切相关的函数，而圆中常会出 现与角有关的求解问题,三角函数与圆的综合应用是中考 中的热点问题之一.
(1)非特殊角求其三角函数值的问题.
(2)已知三角函数值求圆中的有关线段长等问题. (3)三角函数与方程结合
sin A sin B sin A cos A 2m 5 m5 sin A sin B sin A cos A 12 m5
①2-②×2得(sin
A+cos A·cos A ,1 消去sin A和cos A，得m2-18m-40=0 解之得m=20或m=-2
感悟、渗透、应用
－－－－－非特殊角求其三角函数值的问题
【例 3】如图所示，已知 AB为⊙ O 的直径， C为 AB 延长线上 的点，以OC为直径的圆交⊙O于D，连结AD，BD，CD. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AB=BC=2，求tan ∠A的值.
【解析】 (1)证∠CDO=90°即可，理由OC为圆的直径. (2)利用△BCD∽△DCA得到BD：DA的比值