2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列(综合题)

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题）

一、解答题（共10题；共85分）

1.（2019•江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”. （1）已知等比数列{a n } 满足： ，求证:数列{a n }为“M －数列”；

(n ∈N *)a 2a 4=a 5,a 3−4a 2+4a 4=0（2）已知数列{b n }满足:

，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．

b 1=1,1

S n

=

2b n −2b n +

1

①求数列{b n }的通项公式；

②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n } ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有

(n ∈N

*

) 成立，求m 的最大值．

c k ⩽b k ⩽c k +12.已知等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 {a n }

d ∈(0,π]{b n }b n =sin(a n ) ．

S ={x|x =b n ,n ∈N *

} （1）若

，求集合 ；

a 1=0,d =2π3S （2）若

，求 使得集合 恰好有两个元素；

a 1=

π2d S

（3）若集合 恰好有三个元素：

，

是不超过7的正整数，求

的所有可能的值．

S 3.（2019•浙江）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 3=4.a 4=S 3 ， 数列{b n }满足： 对每个n ∈N * ， S n +b n ， S n+1+b n 、S n+2+b n 成等比数列（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式

（2）记C n =

，n ∈N * ， 证明：C 1+C 2+…+C n ＜2 ，n ∈N *

a n

2b n

n 4.（2019•天津）设 是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知 ， {a n }{b n }a 1=b 1=3b 2=a 3 ， .b 3=4a 2+3（Ⅰ）求 和 的通项公式；

{a n }{b n }（Ⅱ）设数列 满足 求 .

{c n }c n ={1,n为奇数

b n 2

,n为偶数

a 1c 1+a 2c 2+⋯+a 2n c 2n (n ∈N

*

)5.（2019•天津）设 是等差数列， 是等比数列.已知 {a n }{b n } . a 1=4,b 1=6 ， b 2=2a 2−2,b 3=2a 3+4（Ⅰ）求 和 的通项公式；

{a n }{b n }（Ⅱ）设数列 满足

其中 .

{c n }c 1=1,c n ={

1, 2k

+1

,

b k ,n =2k ,k ∈N

*

（i ）求数列 的通项公式；

{a 2

n (c 2

n −1)}

（ii ）求

.

∑2n i

=1

a i c i (n ∈N

*

)

6.（2019•卷Ⅱ）已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。 {a n }a 1=2a 3=2a 2+16（1）求 的通项公式；

{a n }（2）设 ，求数列{ }的前n 项和。

b n =log 2a n b n 7.（2019•北京）设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列. （I ）求{a n }的通项公式；

（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ， 求S n 的最小值.8.（2019•卷Ⅱ）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0， ， .

4a n +1

=3a n −b n +44b n

+1

=3b n −a n −4（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.

9.（2019•北京）已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项…第i m 项（i 1

（I ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（II ）已知数列{a n }的长度为P 的递增子列的末项的最小值为a m0 ， 长度为q 的递增子列的末项的最小值为a n0 ， 若p

（III ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s 末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个（s=1.2.…），求数列{a n }的通项公式。10.（2019•卷Ⅰ）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S n =-a 5 （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式。

（2）若a 1≥0，求使得S n ≥a n 的n 取值范围。

答案解析部分

一、解答题

1.【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0.

由 ，得 ，解得 ．

{a 2a 4=a 5a 3−4a 2+4a 1=0{a 21q 4=a 1q 4a 1q 2−4a 1q +4a 1=0{

a 1=1q =2因此数列 为“M—数列”.

{a n }（2）解：①因为

，所以 ． 1S n

=

2b n −2b n +1

b n ≠0由 得 ，则 .

b 1=1,S 1=b 111

=2

1−2

b

2

b 2=2由

，得

，

1S n

=

2b n −2b n +

1

S n =

b n b n

+1

2(b n

+1−b n )

当 时，由 ，得 ，

n ≥2b n =S n −S n −1b n =

b n b n +12(b n

+1−b n )

−b n −1b n

2(b n

−b

n −1)

整理得 ．

b n +1+b n −1=2b n 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.

因此，数列{b n }的通项公式为b n =n .

(n ∈N *

)②由①知，b k =k ， .

k ∈N

*

因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m .

q k −1

≤k ≤q k 当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有

．

lnk k

≤lnq ≤

lnk k −1设

f （x ）= ，则

．

lnx x

(x

>1)

f '(x)=

1−lnx x 2

令 ，得x =e.列表如下：f '(x)=0x (1,e)e (e ，+∞) f '(x)+

0–

f （x ）极大值

因为

，所以

．

ln22

=

ln86

<

ln96

=

ln33f(k)max =f(3)=

ln3

3取 ，当k =1，2，3，4，5时，

，即 ，

q =

3

3lnk

k ⩽lnq k ≤q k

经检验知 也成立．

q k −1

≤k 因此所求m 的最大值不小于5．