高数上期中试卷及答案

2013-2014学年高数1期中试卷答案

2013—2014学年第一学期期中考试

一、（每小题5分，共10分）求解或证明下列各题

1、写出函数y =的定义域。

解 函数是由基本初等函数arcsin y u v ==和简单的初等函数1

1

x v x +=-复合而成的。2分 由 11

arcsin

00111

x x x x ++≥⇒≤≤--， 3分 于是当10x ->时，得011x x ≤+≤-，无解；当10x -<时，得011x x ≥+≥-，解得1x ≤-，

即函数的定义域为(,1]D =-∞-。 5分

2、用定义证明：21231

lim

11

x x x x →-+=-。 证明 任给0ε>，要2231

|

1||(21)1|2|1|1

x x x x x ε-+-=--=-<-，即要|1|/2x ε-<， 2分 3分

取/2δε=，则当0|1|x δ<-<时，恒有2231

|

1|1

x x x ε-+-<-， 故 21231

lim

11

x x x x →-+=- 5分 二、（每小题5分，共10分）求下列极限

1、21sin(1)lim ln x x x

→-； 2、1lim (123)x x x

x →+∞++。

解 1、原式2

1sin(1)

lim

ln[1(1)]x x x →-=+- 2分 2、原式1

ln(123)ln(123)lim

lim x x x x x x

x x e

e

→+∞++++→+∞

== 2分

2

1

1

lim

1

x x x →-=- 4分 2ln 23ln3lim

123x x x x

x e →+∞

+++=(2/3)ln 2ln3

lim

1(1/3)(2/3)x x x

x e

→+∞+++= 4分

1

lim(1)2x x →=+= 5分 ln 3

0ln3100

3e

e

+++=== 5分

三、（8分）求函数||

tan x y x

=

的间断点，并判断间断点的类型；若为可去间断点，补充定义使

2013-2014学年高数1期中试卷答案

函数连续。

解 由tan 0x =，得,x k k Z π=∈，此时函数无定义；而当2

x k π

π=+，()k Z ∈时tan x 无

意义。因此,x k k Z π=∈和()2

x k k Z π

π=+∈都是函数的间断点。4分

因为0

000||||lim lim 1,lim lim 1tan tan tan tan x x x x x x x x

x x x x

+

+--

→→→→===-=-所以0x =是函数的第一类、跳跃间断点 5分 而当0k ≠时，因为||

lim tan x k x x

π

→=∞，所以,/{0}x k k Z π=∈是函数的第二类、无穷间断点。6分

又因为2

lim

0tan x k x

x

π

π→+

=，所以,2x k k Z ππ=+∈是函数的第一类、可去间断点。

故令||/tan ,/20,/2

x x x k y x k ππππ≠+⎧=⎨≠+⎩，则函数在,2x k k Z π

π=+∈处连续。 8分

四、（每小题5分，共10分）求解下列各题 1、设2

sin (1)

x y e -=，求dy 。

解 22sin

(1)

2

sin (1)

[sin (1)]2sin(1)[sin(1)]x x dy e d x e x d x --=-=⋅--

2分 3分

2

2

sin

(1)

sin

(1)

2sin(1)cos(1)(1)sin 2(1)x x e x x d x x e dx --=⋅---=--

4分 5分 2、设11

x

x y e x --=

+，求y ' 解 2222

1(1)1213[](1)1(1)1(1)x x x x

x x x x x y e e e e x x x x x ----+-----'=

-=-=+++++ 2分 4分 5分

五、（9分）设函数()y y x =是由方程1y

y e x +=+所确定的隐函数，求20

2

x d y

dx

=。

解 将0x =代入原方程，得 10y

y e y +=⇒=。 1分 方程两边对x 求导，得

111y y dy dy dy e dx dx dx e

+=⇒=+ 4分 5分

2013-2014学年高数1期中试卷答案

2223

111()()11(1)1(1)y y y y y y y d y d d dy e e dx dx e dy e dx e e e ⇒===-⋅=-+++++

6分 8分

200

2301||(1)8

y x x y y d y e dx e ===⇒=-=-+ 9分 六、（8分）求参数方程(cos sin )(cos sin )

x a y a θθθθ=-⎧⎨=+⎩所确定的曲线()y y x =在2π

θ=处的切线和法

线方程。

解 切点的坐标为22

()(cos sin )|

,()(sin cos )|2

2x a a y a a ππθθπ

π

θθθθ===-=-=+=， 2分 切线的斜率

222(cos sin )01

|||1(sin cos )10

x x x y dy a dx x a θπππθθθθθ==='--===='----， 6分 故切线方程 2y a x a y x a -=+⇒=+ 7分 法线方程 ()0y a x a x y -=-+⇒+= 8分 七 、（9分）设2

ln(32)y x x x =+-，求(6)

(1)y

。

解 因为ln[(3)(1)]ln(3)ln(1)y x x x x x x x =-+=-++， 2分

所以 6

6

(6)

()

(6)

()

(6)6

60

()[ln(3)]

[ln(1)]k k k k k k k k y

x C x x C x x --===-++∑∑ 4分 (6)

(5)(6)(5)[ln(3)]

6[ln(3)][ln(1)]6[ln(1)]x x x x x x =-+-++++ 6分

54546565

(1)5!(1)4!(1)5!(1)4!

66(3)(3)(1)(1)

x x x x x x ----=⋅+⋅+⋅+⋅--++， 8分 于是 (6)

656555!4!5!4!5!9

(1)66(2)(2)2222

y --=

+⋅++⋅=-=--- 9分

八、（8分）设2,0

(),0

x e x f x ax b x ⎧>=⎨+≤⎩，试确定常数,a b 的值，使()f x 在0x =处可导。

解 依题设()f x 在0x =处连续，故(0)(0)(0)f f f +

-

==， 1分