高数上期中试卷及答案

2013-2014学年高数1期中试卷答案
2013—2014学年第一学期期中考试
一、（每小题5分，共10分）求解或证明下列各题
1、写出函数y =的定义域。

解 函数是由基本初等函数arcsin y u v ==和简单的初等函数1
1
x v x +=-复合而成的。

2分 由 11
arcsin
00111
x x x x ++≥⇒≤≤--， 3分 于是当10x ->时，得011x x ≤+≤-，无解；当10x -<时，得011x x ≥+≥-，解得1x ≤-，
即函数的定义域为(,1]D =-∞-。

5分
2、用定义证明：21231
lim
11
x x x x →-+=-。

证明 任给0ε>，要2231
|
1||(21)1|2|1|1
x x x x x ε-+-=--=-<-，即要|1|/2x ε-<， 2分 3分
取/2δε=，则当0|1|x δ<-<时，恒有2231
|
1|1
x x x ε-+-<-， 故 21231
lim
11
x x x x →-+=- 5分 二、（每小题5分，共10分）求下列极限
1、21sin(1)lim ln x x x
→-； 2、1lim (123)x x x
x →+∞++。

解 1、原式2
1sin(1)
lim
ln[1(1)]x x x →-=+- 2分 2、原式1
ln(123)ln(123)lim
lim x x x x x x
x x e
e
→+∞++++→+∞
== 2分
2
1
1
lim
1
x x x →-=- 4分 2ln 23ln3lim
123x x x x
x e →+∞
+++=(2/3)ln 2ln3
lim
1(1/3)(2/3)x x x
x e
→+∞+++= 4分
1
lim(1)2x x →=+= 5分 ln 3
0ln3100
3e
e
+++=== 5分
三、（8分）求函数||
tan x y x
=
的间断点，并判断间断点的类型；若为可去间断点，补充定义使
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函数连续。

解 由tan 0x =，得,x k k Z π=∈，此时函数无定义；而当2
x k π
π=+，()k Z ∈时tan x 无
意义。

因此,x k k Z π=∈和()2
x k k Z π
π=+∈都是函数的间断点。

4分
因为0
000||||lim lim 1,lim lim 1tan tan tan tan x x x x x x x x
x x x x
+
+--
→→→→===-=-所以0x =是函数的第一类、跳跃间断点 5分 而当0k ≠时，因为||
lim tan x k x x
π
→=∞，所以,/{0}x k k Z π=∈是函数的第二类、无穷间断点。

6分
又因为2
lim
0tan x k x
x
π
π→+
=，所以,2x k k Z ππ=+∈是函数的第一类、可去间断点。

故令||/tan ,/20,/2
x x x k y x k ππππ≠+⎧=⎨≠+⎩，则函数在,2x k k Z π
π=+∈处连续。

8分
四、（每小题5分，共10分）求解下列各题 1、设2
sin (1)
x y e -=，求dy 。

解 22sin
(1)
2
sin (1)
[sin (1)]2sin(1)[sin(1)]x x dy e d x e x d x --=-=⋅--
2分 3分
2
2
sin
(1)
sin
(1)
2sin(1)cos(1)(1)sin 2(1)x x e x x d x x e dx --=⋅---=--
4分 5分 2、设11
x
x y e x --=
+，求y ' 解 2222
1(1)1213[](1)1(1)1(1)x x x x
x x x x x y e e e e x x x x x ----+-----'=
-=-=+++++ 2分 4分 5分
五、（9分）设函数()y y x =是由方程1y
y e x +=+所确定的隐函数，求20
2
x d y
dx
=。

解 将0x =代入原方程，得 10y
y e y +=⇒=。

1分 方程两边对x 求导，得
111y y dy dy dy e dx dx dx e
+=⇒=+ 4分 5分
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2223
111()()11(1)1(1)y y y y y y y d y d d dy e e dx dx e dy e dx e e e ⇒===-⋅=-+++++
6分 8分
200
2301||(1)8
y x x y y d y e dx e ===⇒=-=-+ 9分 六、（8分）求参数方程(cos sin )(cos sin )
x a y a θθθθ=-⎧⎨=+⎩所确定的曲线()y y x =在2π
θ=处的切线和法
线方程。

解 切点的坐标为22
()(cos sin )|
,()(sin cos )|2
2x a a y a a ππθθπ
π
θθθθ===-=-=+=， 2分 切线的斜率
222(cos sin )01
|||1(sin cos )10
x x x y dy a dx x a θπππθθθθθ==='--===='----， 6分 故切线方程 2y a x a y x a -=+⇒=+ 7分 法线方程 ()0y a x a x y -=-+⇒+= 8分 七 、（9分）设2
ln(32)y x x x =+-，求(6)
(1)y。

解 因为ln[(3)(1)]ln(3)ln(1)y x x x x x x x =-+=-++， 2分
所以 6
6
(6)
()
(6)
()
(6)6
60
()[ln(3)]
[ln(1)]k k k k k k k k y
x C x x C x x --===-++∑∑ 4分 (6)
(5)(6)(5)[ln(3)]
6[ln(3)][ln(1)]6[ln(1)]x x x x x x =-+-++++ 6分
54546565
(1)5!(1)4!(1)5!(1)4!
66(3)(3)(1)(1)
x x x x x x ----=⋅+⋅+⋅+⋅--++， 8分 于是 (6)
656555!4!5!4!5!9
(1)66(2)(2)2222
y --=
+⋅++⋅=-=--- 9分
八、（8分）设2,0
(),0
x e x f x ax b x ⎧>=⎨+≤⎩，试确定常数,a b 的值，使()f x 在0x =处可导。

解 依题设()f x 在0x =处连续，故(0)(0)(0)f f f +
-
==， 1分
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而 200
(0)lim 1,(0)lim(),(0)1,(0)1x
x x f e e f ax b b f b b f +
+
+-→→====+==⇒==，4分 又 200()(0)1
(0)lim
lim 20x x x f x f e f x x
+++→→--'===-， 0
0()(0)11
(0)lim lim 0x x f x f ax f a x x
-
+
-→→-+-'===-， 7分 由(0)(0)2f f a +-''=⇒=。

8分 九、（1-2小题各9分，3小题5分，共23分）求解下列各题 1、求函数3
2
693y x x x =-++的单调区间与极值。

解 由2
31293(1)(3)01,3y x x x x x '=-+=--=⇒=，
故函数的单增区间为(,1]-∞和[3,)+∞，单减区间为[1,3]， 7分 极大值为(1)7y =，极小值为(3)3y = 9分 2、求函数2
ln(1)y x =+的凹凸区间与拐点。

解 22
22222
2(1)21,221(1)(1)
x x x x x y y x x x +-⋅-'''==⋅=⋅+++，令01,1y x ''=⇒=-
故函数的凸区间为(,1]-∞和[1,)+∞，凹的区间为[1,1]-， 7分 拐点为(1,ln 2)-和(1,ln 2) 9分 3、求曲线lnsin (0)y x x π=<<曲率()x κ的最大值。

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解 因为21cos (sin )cot ,csc sin sin x y x x y x x x
''''=⋅===-， 2分 于是 22
1
()sin (0)|csc |
x x x x κπ=
=
=
=
=<<，
3分 4分 曲率的最大值为()12
π
κ=。

5分
十、（5分）证明：方程cos 0x x -=有且仅有一个实根。

证明 令()cos f x x x =-，显然()f x 在[,]22
ππ
-上连续，且
(),()2
222
f f π
π
ππ
-
=-
=， 故由介值定理知()0f x =在(,)22
ππ
-
内至少有一实根。

2分 又()1sin 0f x x '=+≥，其中等号仅在可列无限多个点3
(2)()2
y k k Z π=+∈处成立，
故()0f x =在(,)-∞∞内至多有一实根。

4分
从而()0f x =在(,)-∞∞内仅有一实根。

5分。