数列专题复习教案

年级 数学 科辅导讲义（第 讲）

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数列专题复习

题型一：等差、等比数列的基本运算

例1、已知数列}{n a 是等比数列，且4622a a a =，则=53a a ( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

例2、在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= ( ) A.58 B.88 C.143 D.176

变式 1、等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

2、若等比数列{}n a 满足2412

a a =

，则2

135a a a = . 3、已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。

题型二：求数列的通项公式

⑴.已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法（累加法）

例1：已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；

变式 已知数列{}n a 满足122a =，12n n a a n +-=，求数列{}n a 的通项公式．

(2).已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+，可利用迭乘法（累积法）

例2、已知数列{}n a 满足：111

(2),21

n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式；

变式 已知数列{}n a 满足n n a n a 2

1=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。

(3).构造新数列

1°递推关系形如“q pa a n n +=+1”，利用待定系数法求解

例、已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.

变式 已知数列{}n a 中，54,211+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式。

2°递推关系形如“n

n n q pa a +=+1”两边同除1

n p

+或待定系数法求解

例、已知n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.

变式 已知数列{}n a ，n n n a a 631+=+，31=a ，求数列{}n a 的通项公式。

3°递推关系形如"11n n n n a pa qa a ---=≠（p,q 0),两边同除以1n n a a -

例1、已知数列{}n a 中，1122n n n n a a a a ---=≥=1（n 2),a ，求数列{}n a 的通项公式.

变式 数列{}n a 中，)(42,211++∈+==N n a a a a n

n

n ，求数列{}n a 的通项公式.

d 、给出关于n S 和m a 的关系（1--=n n n S S a ）

例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设n

n n S b 3-=，

求数列{}n b 的通项公式．

变式 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212

≥⎪⎭

⎫

⎝

⎛-

=n S a S n n n . ⑴求{}n a 的通项； ⑵设1

2+=n S b n

n ，求数列{}n b 的前n 项和n T .

题型三：数列求和

一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

前n 个正整数的和 2

)

1(321+=

++++n n n 前n 个正整数的平方和 6)

12)(1(3212

2

2

2

++=

++++n n n n

前n 个正整数的立方和 23

333]2

)1([321+=++++n n n

例1、在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .

二、错位相减法求和（重点）

这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，

转化为同倍数的等比数列求和。

例2、求和：1

32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S

变式 已知等差数列{}n a 的通项公式n a n =，等比数列{}1

2,+=n n n b b ，设n n n b a C •=，n S 是数列n C 的

前n 项和，求n S 。

三、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例3、求数列的前n 项和：231

,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a

a a n ，…

变式 求数列{n(n+1)}的前n 项和.