第二章 流体力学
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34
【例2.3】如图2.10为了测定运动物体的加速度，在运动物 体上装一直径为d的U形管，测得管中液面差h=0.05m，两管
的水平距离l=0.3m，求运动物体的加速度 a 。
【解】选动坐标系Oxyz：
dp f x dx f y dy f z dz
质量力
f x a
fy 0
1、流体平衡微分方程式
dz
C B
参阅图2.1，设M（x，
p
A
p'
D
y，z）为流体中的某 一点，包围M点取一平 衡微分六面体。
o y dx
M
dy
图2 .1 平衡微分六面体
1.表面力
P
P’
以x方向为例：
p p( x, y, z )
p p p ( x dx, y , z ) p ( x, y , z ) dx x
fx 0
fy 0
fz g
y
p0 o
因为 dp ( f xdx f y dy f z dz)
A ( x ,y,z)
dp gdz dz
图2 . 4 静 压 强 分 布 规 律
p C z
在液体的自由表面上，z 0 ， p p0 ，故积分常数 C p0 由此可得
p p0 h
0
P0 h
A(x,y,z)
它是液体静力学的基本方程。
p p0 h
液面压强 p 0 有所增减Δp 0 ，那么内部压强 p 亦相应
地有所增减 p ，而且 p0 = p 。
这就是水静 压强等值传递的著
名的帕斯卡定律
(Pascal law) 。
F pA
p p0 h
B 1.5m A 图2 .9 密封容器
C点： B点：
pB pC 水Z
pB p0
2.4
流体的相对静止
对于流体的相对静止，可遵循下面的三个原则：
由于流体内部是相对静止，不必考虑粘性,可以作为理想流
体来处理；
流体质点实际上在运动，在质量力中计入惯性力，使流体
运动的问题，形式上转化为静平衡问题，直接应用流体静力学 的基本方程式求解； p ( f d
• 列出各等压面方程；
等压线1 等压线2
pab 水Z1 0
pab 水银 Z2 0
z2
等压线2
pab
z1
等压线1
pab
Z1
图2.8 测压管
【例2.2】立置在水池中的密封罩如图2.9所示，试求 罩内A、B、C三点的压强。 【解】： A点：
2.0m
C
pA 水Z pB
p0
插入边界条件： x
0, z 0, p 0
y
h
得出： C
0
a a p g ( x z ) ( x z ) g g
z a a x tan g g
对于自由表面，p=0，即
a p h h x z g
33
为什么符合静力学方程呢？
p h
A
dp ( f xdx f ydy f z dz)
f x 0, f y 0, f z g,
dp gdz
任意基准面
p gz C
静止流体重力作用下 任意一点
z
p
C
z
p
相等。
25
1.测压管高度、测压管水头
z
z
p
C
：为某流体质点在基准面上的高度，物理
流体，即 ≠c； 它既适用于绝对静止的流体，也适用于相对静止 的流体。
9
2
等压面
压强相等的空间点构成的面(平面或曲面)称为等压面。
等压面即P为常数，即dp=0;
f
A '( x+dx, y+ dx, z+ dz)
dr
A(x,y,z)
p=c A
dp ( f xdx f y dy f z dz)
示 ， 1Pa 1N/m2 ，工程上常用KPa，MPa; 2、是以大气压来表示,国际上规定标准大气压用符号atm表 示(温度为0º C时，海平面上的压强) （atmosphere） ; 3、是以液柱高度来表示。通常用水柱高度或者汞柱高度， 单位为mH2O、mmH2O或mmHg;
23
24
3、测压管水头
各压强的关系是
正压、表压 负压、真空度
pv pab pa
若自由表面为水平面，上面是大 气压强，z表示离开自由液面的深度h， 则静止流体中的某点相对压强为：
pab p0 z
p h
2、压强的三种度量单位 可用三种度量单位来表示压强：
1、从压强的基本定义出发，用单位面积上的力来表示Pa表
x
dx f ydy f z dz)
一般将坐标建立在容器上，即所谓的动坐标。
1、等加速运动流体的平衡 dp ( f x dx f y dy fz dz)
重力
G m g f x1 0, f y1 0, f z1 g
惯性力 F ma f x 2 a, f y 2 0, f z 2 0
dp gdz
因气体的密度ρ很小，对于一般的仪器高度z有限， 重力对气体压强的影响很小，可以忽略，故可以认为各点 的压强相等，即
pC
例如储气罐内各点的压强都相等。
2.大气层压强的分布 如果以大气层为对象，研究压强的分布，必须考虑
空气的压缩性。 （1）对流层标准大气压分布
z p 101.3 1 44300
上式可以看出，在等压面，任移动距离dr，质量力所 作的功为0，而显然，在做功公式中f.dr,单位质量力f和位 移dr均不会为0，因此，必然是质量力与等压面正交，即 质量力的方向垂直于等压面，即只要知道质量力的方向，
便可推断出等压面。
11
等压面的特性
作用于静止流体中任一点上的质量力必定垂直于通 过该点的等压面。
6
矢量式为
f p
上式称为流体静力学的平衡微分方程式。 很显然， f 必须是有势力。 方程式的物理意义是：在静止流体中，作用在单位体积 流体上的质量力与压强合力（压强梯度）平衡。
p fx x
p fy y
p fz z
以上三式两端分别乘以dx、dy及dz，然后等号的左边和 右边分别相加，并考虑到
p dxdydz f z dxdydz 0 z
p fx x p fy y
p fz z
欧拉平衡方程，它指出流体处于平衡状态时，作用 于流体上的质量力与压强递增率之间的关系。
如果单位体积的质量力在某两个轴向分力为零，则 压强在该平面无递增率，则该平面为等压面。
a
(a )
图2.5 等压面条件
b 1
压强也不相等。
多种流体在同一容器或连通管的条件下求压强或者
v
e d 压强差时，必须注意将两种液体的分界面作为压强关系
的联系面。
(b)
三个不同容积的容器中，三点的压强孰大孰小？ 压强的大小与液体的体积的关系？
P1
P2
P3
19
２、气体压强的分布 1.按不可压缩流体计算
上述静止流体的压强分布规律是在连通的同种液体 处于静止的条件下推导出来的。
如果不能同时满足这三个条件：
绝对静止 同种 连续液体 就不能应用上述规律。
17
a、b两点，虽属静止、同种
但不连通，中间被气体隔开了，所 以a、b两点压强是不相等的。
p0
b、c两点，虽属静止、连续，
但不同种，所以b、c两点的压强也 不相等。 图2.5（b），d、e两点，虽属同 种、连续，但不静止，所以d、e两点
12
（a）当流体处于绝对静止时，等压面是水平面；
（b）当流体在作相对运动时，此时等压面是倾斜的平面；
（c）是两种重度的液体之间的分界面既是水平面又是等压面。
a g g
图2.3 质量力与等压面
2.2 流体静压强的分布规律
1、液体静力学基本方程 在自由液面上取原点O，并建立坐标，xoy平面是水平 面，z轴垂直向下。质量力在x，y及z轴上的投影是
f x f x1 f x 2 a
z
f y f y1 f y 2 0 f z f z1 f z 2 g
x
dp (adx gdz)
积分得
0
y
a p g ( x z ) C g
z 取边界条件点， 压强为0 x
0
p g (
a x z) C g
h 0.05 9.807 2 a g 1.635m/s l 0.3
p p p dp dx dy dz x y z
可得
dp ( f xdx f y dy f z dz)
dp ( f xdx f y dy f z dz)
这个方程是流体静力学基本方程的另一种形式。
它既适用于不可压缩流体，即 =c，也适用于可压缩
第2章 流体静力学
流体静力学主要是研究流体处于绝对静止或相对静 止状态下的力学规律。 由于流体处于静止时，其内部之间无相对运动，因
此表面力中粘性力可不予考虑，仅考虑静压强，即流体
可作为理想流体来处理。 本章主要阐述压强的分布规律，以及物体壁面受到 静止液体总压力的计算。
2.1 流体静力学的基本方程（欧拉平衡微分方程）
'
压强沿x轴向的递增率
因为x轴向位置变化而引起的压强差
表面力在x方向的投影为
p p pdydz ( p dx ) dydz dxdydz x x
y方向投影
p dxdydz y
P
P’
z方向投影
p dxdydz z
4
2.质量力
设质量力为 f f x i f y j f z k ，流体的密度为 。 仍以x方向为例，总质量力在x方向的投影为：
意义为重力势能（位能）；
单位重量 测 流体的总 压
势能；
管 水 头
的开口玻璃管，称为测压管，测压管高
度 hp
p
p ：压强高度，为某质点处放置一竖直向上
，压pa
B
pB pB
g
z zA
0
A
zB
0 图2.7 测压管水头
z
p
C
静止液体中各单位重量的流体质点具有的总势能相等。
（2）同温层
5.256
m 0 z 11000
11000 z p 22.6exp 6334
11000m z 25000m
2.3 压强计示方式与度量单位
1、绝对压强和相对压强 绝对压强 pab ，相对压强 p ，大气压强 pa ；
p pab pa
fz g
图2.10 物 体 加 速 度 的 测 定
将它们代入上式并积分
dp adx gdz
得
p ax gz C
图2.10 物 体 加 速 度 的 测 定
由边界条件 x =0，z =0，p =0; 得 C=0 ； 另外x = –l，z = –h，p =0 ，得
p h
静止流体 等加速直线运动液体
y
h
1 1 1
p 0 x p 0 y p g z
1 1 1
p a x p 0 y p g z
从欧拉方程可以看出，压
强的递增率沿铅直方向是相 同的都服从同一形式的水静 力学方程，而沿x轴方向递增 率不同，因此，其等压面不 再是水平面，而是倾斜面。
o y
f x dx f y dy f z dz 0
课本公式可看出，上式即为单位质 量流体在移动过程中质量力所作的 功！
图2 .2 等压面
A( x , y , z )
A' ( x dx, y dy, z dz)
质量力所做的功为
W f dr ( f x i f y j f z k ) (dxi dyj dzk ) f xdx f y dy f z dz
f x .m f x ..dV f x ..dxdydz
y方向投影
f y dV f y dxdydz
f z dV f z dxdydz
z方向投影
流体是静止的，则各力平衡得：
p dxdydz f x dxdydz 0 x p dxdydz f y dxdydz 0 y
2.真空高度 当某流体质点的绝对压强小于当地大气压，其相对 压强是负压，往往用真空压强来表示，即
pv pa pab
hv是真空高度
hv
pv
pa pab
【例2.1】如图所示，封闭管端完全真空，水银柱差
Z2=50mm，求盛水容器液面绝对压强 Pab和水面高度Z1。
【解】 • 画出等压线；
【例2.3】如图2.10为了测定运动物体的加速度，在运动物 体上装一直径为d的U形管，测得管中液面差h=0.05m，两管
的水平距离l=0.3m，求运动物体的加速度 a 。
【解】选动坐标系Oxyz：
dp f x dx f y dy f z dz
质量力
f x a
fy 0
1、流体平衡微分方程式
dz
C B
参阅图2.1，设M（x，
p
A
p'
D
y，z）为流体中的某 一点，包围M点取一平 衡微分六面体。
o y dx
M
dy
图2 .1 平衡微分六面体
1.表面力
P
P’
以x方向为例：
p p( x, y, z )
p p p ( x dx, y , z ) p ( x, y , z ) dx x
fx 0
fy 0
fz g
y
p0 o
因为 dp ( f xdx f y dy f z dz)
A ( x ,y,z)
dp gdz dz
图2 . 4 静 压 强 分 布 规 律
p C z
在液体的自由表面上，z 0 ， p p0 ，故积分常数 C p0 由此可得
p p0 h
0
P0 h
A(x,y,z)
它是液体静力学的基本方程。
p p0 h
液面压强 p 0 有所增减Δp 0 ，那么内部压强 p 亦相应
地有所增减 p ，而且 p0 = p 。
这就是水静 压强等值传递的著
名的帕斯卡定律
(Pascal law) 。
F pA
p p0 h
B 1.5m A 图2 .9 密封容器
C点： B点：
pB pC 水Z
pB p0
2.4
流体的相对静止
对于流体的相对静止，可遵循下面的三个原则：
由于流体内部是相对静止，不必考虑粘性,可以作为理想流
体来处理；
流体质点实际上在运动，在质量力中计入惯性力，使流体
运动的问题，形式上转化为静平衡问题，直接应用流体静力学 的基本方程式求解； p ( f d
• 列出各等压面方程；
等压线1 等压线2
pab 水Z1 0
pab 水银 Z2 0
z2
等压线2
pab
z1
等压线1
pab
Z1
图2.8 测压管
【例2.2】立置在水池中的密封罩如图2.9所示，试求 罩内A、B、C三点的压强。 【解】： A点：
2.0m
C
pA 水Z pB
p0
插入边界条件： x
0, z 0, p 0
y
h
得出： C
0
a a p g ( x z ) ( x z ) g g
z a a x tan g g
对于自由表面，p=0，即
a p h h x z g
33
为什么符合静力学方程呢？
p h
A
dp ( f xdx f ydy f z dz)
f x 0, f y 0, f z g,
dp gdz
任意基准面
p gz C
静止流体重力作用下 任意一点
z
p
C
z
p
相等。
25
1.测压管高度、测压管水头
z
z
p
C
：为某流体质点在基准面上的高度，物理
流体，即 ≠c； 它既适用于绝对静止的流体，也适用于相对静止 的流体。
9
2
等压面
压强相等的空间点构成的面(平面或曲面)称为等压面。
等压面即P为常数，即dp=0;
f
A '( x+dx, y+ dx, z+ dz)
dr
A(x,y,z)
p=c A
dp ( f xdx f y dy f z dz)
示 ， 1Pa 1N/m2 ，工程上常用KPa，MPa; 2、是以大气压来表示,国际上规定标准大气压用符号atm表 示(温度为0º C时，海平面上的压强) （atmosphere） ; 3、是以液柱高度来表示。通常用水柱高度或者汞柱高度， 单位为mH2O、mmH2O或mmHg;
23
24
3、测压管水头
各压强的关系是
正压、表压 负压、真空度
pv pab pa
若自由表面为水平面，上面是大 气压强，z表示离开自由液面的深度h， 则静止流体中的某点相对压强为：
pab p0 z
p h
2、压强的三种度量单位 可用三种度量单位来表示压强：
1、从压强的基本定义出发，用单位面积上的力来表示Pa表
x
dx f ydy f z dz)
一般将坐标建立在容器上，即所谓的动坐标。
1、等加速运动流体的平衡 dp ( f x dx f y dy fz dz)
重力
G m g f x1 0, f y1 0, f z1 g
惯性力 F ma f x 2 a, f y 2 0, f z 2 0
dp gdz
因气体的密度ρ很小，对于一般的仪器高度z有限， 重力对气体压强的影响很小，可以忽略，故可以认为各点 的压强相等，即
pC
例如储气罐内各点的压强都相等。
2.大气层压强的分布 如果以大气层为对象，研究压强的分布，必须考虑
空气的压缩性。 （1）对流层标准大气压分布
z p 101.3 1 44300
上式可以看出，在等压面，任移动距离dr，质量力所 作的功为0，而显然，在做功公式中f.dr,单位质量力f和位 移dr均不会为0，因此，必然是质量力与等压面正交，即 质量力的方向垂直于等压面，即只要知道质量力的方向，
便可推断出等压面。
11
等压面的特性
作用于静止流体中任一点上的质量力必定垂直于通 过该点的等压面。
6
矢量式为
f p
上式称为流体静力学的平衡微分方程式。 很显然， f 必须是有势力。 方程式的物理意义是：在静止流体中，作用在单位体积 流体上的质量力与压强合力（压强梯度）平衡。
p fx x
p fy y
p fz z
以上三式两端分别乘以dx、dy及dz，然后等号的左边和 右边分别相加，并考虑到
p dxdydz f z dxdydz 0 z
p fx x p fy y
p fz z
欧拉平衡方程，它指出流体处于平衡状态时，作用 于流体上的质量力与压强递增率之间的关系。
如果单位体积的质量力在某两个轴向分力为零，则 压强在该平面无递增率，则该平面为等压面。
a
(a )
图2.5 等压面条件
b 1
压强也不相等。
多种流体在同一容器或连通管的条件下求压强或者
v
e d 压强差时，必须注意将两种液体的分界面作为压强关系
的联系面。
(b)
三个不同容积的容器中，三点的压强孰大孰小？ 压强的大小与液体的体积的关系？
P1
P2
P3
19
２、气体压强的分布 1.按不可压缩流体计算
上述静止流体的压强分布规律是在连通的同种液体 处于静止的条件下推导出来的。
如果不能同时满足这三个条件：
绝对静止 同种 连续液体 就不能应用上述规律。
17
a、b两点，虽属静止、同种
但不连通，中间被气体隔开了，所 以a、b两点压强是不相等的。
p0
b、c两点，虽属静止、连续，
但不同种，所以b、c两点的压强也 不相等。 图2.5（b），d、e两点，虽属同 种、连续，但不静止，所以d、e两点
12
（a）当流体处于绝对静止时，等压面是水平面；
（b）当流体在作相对运动时，此时等压面是倾斜的平面；
（c）是两种重度的液体之间的分界面既是水平面又是等压面。
a g g
图2.3 质量力与等压面
2.2 流体静压强的分布规律
1、液体静力学基本方程 在自由液面上取原点O，并建立坐标，xoy平面是水平 面，z轴垂直向下。质量力在x，y及z轴上的投影是
f x f x1 f x 2 a
z
f y f y1 f y 2 0 f z f z1 f z 2 g
x
dp (adx gdz)
积分得
0
y
a p g ( x z ) C g
z 取边界条件点， 压强为0 x
0
p g (
a x z) C g
h 0.05 9.807 2 a g 1.635m/s l 0.3
p p p dp dx dy dz x y z
可得
dp ( f xdx f y dy f z dz)
dp ( f xdx f y dy f z dz)
这个方程是流体静力学基本方程的另一种形式。
它既适用于不可压缩流体，即 =c，也适用于可压缩
第2章 流体静力学
流体静力学主要是研究流体处于绝对静止或相对静 止状态下的力学规律。 由于流体处于静止时，其内部之间无相对运动，因
此表面力中粘性力可不予考虑，仅考虑静压强，即流体
可作为理想流体来处理。 本章主要阐述压强的分布规律，以及物体壁面受到 静止液体总压力的计算。
2.1 流体静力学的基本方程（欧拉平衡微分方程）
'
压强沿x轴向的递增率
因为x轴向位置变化而引起的压强差
表面力在x方向的投影为
p p pdydz ( p dx ) dydz dxdydz x x
y方向投影
p dxdydz y
P
P’
z方向投影
p dxdydz z
4
2.质量力
设质量力为 f f x i f y j f z k ，流体的密度为 。 仍以x方向为例，总质量力在x方向的投影为：
意义为重力势能（位能）；
单位重量 测 流体的总 压
势能；
管 水 头
的开口玻璃管，称为测压管，测压管高
度 hp
p
p ：压强高度，为某质点处放置一竖直向上
，压pa
B
pB pB
g
z zA
0
A
zB
0 图2.7 测压管水头
z
p
C
静止液体中各单位重量的流体质点具有的总势能相等。
（2）同温层
5.256
m 0 z 11000
11000 z p 22.6exp 6334
11000m z 25000m
2.3 压强计示方式与度量单位
1、绝对压强和相对压强 绝对压强 pab ，相对压强 p ，大气压强 pa ；
p pab pa
fz g
图2.10 物 体 加 速 度 的 测 定
将它们代入上式并积分
dp adx gdz
得
p ax gz C
图2.10 物 体 加 速 度 的 测 定
由边界条件 x =0，z =0，p =0; 得 C=0 ； 另外x = –l，z = –h，p =0 ，得
p h
静止流体 等加速直线运动液体
y
h
1 1 1
p 0 x p 0 y p g z
1 1 1
p a x p 0 y p g z
从欧拉方程可以看出，压
强的递增率沿铅直方向是相 同的都服从同一形式的水静 力学方程，而沿x轴方向递增 率不同，因此，其等压面不 再是水平面，而是倾斜面。
o y
f x dx f y dy f z dz 0
课本公式可看出，上式即为单位质 量流体在移动过程中质量力所作的 功！
图2 .2 等压面
A( x , y , z )
A' ( x dx, y dy, z dz)
质量力所做的功为
W f dr ( f x i f y j f z k ) (dxi dyj dzk ) f xdx f y dy f z dz
f x .m f x ..dV f x ..dxdydz
y方向投影
f y dV f y dxdydz
f z dV f z dxdydz
z方向投影
流体是静止的，则各力平衡得：
p dxdydz f x dxdydz 0 x p dxdydz f y dxdydz 0 y
2.真空高度 当某流体质点的绝对压强小于当地大气压，其相对 压强是负压，往往用真空压强来表示，即
pv pa pab
hv是真空高度
hv
pv
pa pab
【例2.1】如图所示，封闭管端完全真空，水银柱差
Z2=50mm，求盛水容器液面绝对压强 Pab和水面高度Z1。
【解】 • 画出等压线；