初中数学 第23章旋转 教案及试题

第二十三章旋转基础知识通关23.1图形的旋转1.旋转：在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一定点O 按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。

这个定点叫做，转动的角度叫做，如果图形上的某点P 经过旋转变为点P’，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于 0°，小于360°）。

3.旋转的性质：1）对应点到旋转中心的距离。

2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

3）旋转前、后的图形全等。

23.2中心对称4.中心对称图形与中心对称：中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形是中心对称图形。

中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180 度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

这个点就是它的。

5.中心对称的性质：成中心对称的两个图形是全等形。

成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

成中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

6.坐标系中对称点的特征:1）关于原点对称：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（）2）关于x 轴对称：两个点关于x 轴对称时，x 相等，y 的符号相反，即点P（x，y）关于x 轴的对称点为P’（）3）关于y 轴对称：两个点关于y 轴对称时，y 相等，x 的符号相反，即点P（x，y）关于y 轴的对称点为P’（）23.3课题学习图案设计7.利用平移、旋转、轴对称的组合设计图案一．选择题（共 10 小题）单元检测1. 如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转 90°后能与原来的图案重合的是（）A ．B ．C ．D ． 2．如图，按 a ，b ，c 的排列规律，在空格 d 上的图形应该是（ ）A. B ． C ． D ．3．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现出现一小方格体正向下运动，你必须进行以 下（）操作，才能拼成一个完整图案，使所有图案消失． A ．顺时针旋转 90°，向右平移 B. 逆时针旋转 90°，向右平移 C. 顺时针旋转 90°，向下平移 D. 逆时针旋转 90°，向下平移4. 已知等边△ABC 的边长为 4，点 P 是边 BC 上的动点，将△ABP 绕点 A 逆时 针旋转 60°得到△ACQ ，点 D 是 AC 边的中点，连接 DQ ，则 DQ 的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．不能确定5. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ′，M 是 BC的中点，P 是 A'B ’的中点，连接 PM ，若 BC ＝4，AC ＝3，则在旋转的过程中，线段 PM 的长度不可能是（ ）A ．5B ．4.5C ．2.5D ．0.56.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 位于第二象限，点A 的坐标是（﹣2，3），先把△ABC 向右平移3 个单位长度得到△A1B1C1，再把△A1B1C1 绕点C1 顺时针旋转90°得到△A2B2C1，则点A 的对的坐标是（）应点A2A．（4，2）B．（﹣6，0）C．（0，0）D．（﹣2，2）7.如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，∠BOC＝150°，将△BCO 绕点C 按顺时针旋转60°得到△ACD，则下列结论不正确的是（）A．BO＝AD B．∠DOC＝60°C．OD⊥AD D．OD∥AB8.如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与BD 相交于点 O．将∠COB 绕点O 顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），角的两边分别与 BC，AB 交于点 M，N，连接 DM，CN，MN，下列四个结论：①∠CDM＝∠COM；②CN⊥DM；③△CNB≌△DMC；④AN2+CM2＝MN2；其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49.如图，边长为 24 的等边三角形A B C中，M是高C H所在直线上的一个动点，连结M B，将线段B M绕点B逆时针旋转 60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．12 B．6 C．3 D．110.如图，平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，点 A 在x 轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA ＝2，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 的对应点B'的坐标是（）A．（﹣1，2+ ）B．（﹣，3）C．（﹣，2+ ）D．（﹣3，）二．填空题（共10 小题）11.笑脸（2）是由笑脸（1）经过变换得到的．12.已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于原点对称，则a+b＝．13.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC 由AB 绕点A 顺时针旋转90°而得，则AC 所在直线的解析式是．14.如图，一个正方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，根据图中该正方体①②③三种状态时所显示的数字，可推断“？”处的数字是．15.已知点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则m 的取值范围是．16.如图，O 为坐标原点，矩形OABC 中，A（﹣8，0），C（0，6），将矩形OABC 绕点O 旋转60°，得到矩形OA′B′C′，此时直线OA′与直线BC 相交于P．则点P 的坐标为．17.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），如果将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°至CB，那么点C 的坐标是．18.如图所示，Rt△ABC 与Rt△AB′C′关于点A 成中心对称，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的长度为．19.如图，在 4×4 的正方形网格中，有 5 个小正方形已被涂黑（图中阴影部分），若在其余网格中再涂黑一个小正方形，使它与5 个已被涂黑的小正方形组成的新图形是一个轴对称图形，则可涂黑的小正方形共有个．20.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB1C1 的位置，点 B、O 分别落在点B 1、C1处，点 B1在x 轴上，再将△AB1C1绕点 B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点 C2在x 轴上，将△A1B1C2 绕点C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的位置，点A2 在轴上，依次进行下去…若点A（1.5，0），B（0，2），B1（4，0），则点B2018的坐标为．三．解答题（共 5 小题）21．如图，已知 A（1，﹣1），B（3，﹣3），C（4，﹣1）是直角坐标平面上三点．（1）请画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1；（2）请画出△A1B1C1 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A2B2C2；（3）判断以 B，B1，B2，为顶点的三角形的形状（无需说明理由）．22.将一副三角尺的直角重合放置（∠B＝30°，∠C＝45°），如图 1 所示，（1）图1 中∠BEC 的度数为；（2）三角尺 AOB 的位置保持不动，将三角尺 COD 绕其直角顶点 O 顺时针方向旋转：①当旋转至图 2 所示位置时，恰好 OD∥AB，求此时∠AOC 的大小；②若将三角尺 COD 继续绕 O 旋转，直至回到图 1 位置，在这一过程中，是否会存在△COD 其中一边能与AB 平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC 的大小；如果不存在，请说明理由．23.如图，四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD 绕点C 顺时针旋转一定角度后，点 B 的对应点恰好与点 A 重合，得到△ACE．（1）判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形 ABCD 的对角线 BD 的长．24.已知△ABC 为等边三角形，点 D 是线段 AB 上一点（不与 A、B 重合）．将线段 CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段 CE．连结 DE、BE．（1）依题意补全图 1 并判断 AD 与BE 的数量关系．（2）过点 A 作AF⊥EB 交EB 延长线于点 F．用等式表示线段 EB、DB 与AF 之间的数量关系并证明．25.如图，在矩形 ABCD 中，把矩形 ABCD 绕点C 旋转得到矩形 FECG，且点 E 落在AD 边上，连接 BG 交CE 于点H（1）如图 1，求证：AE+CH＝EH：（2）如图 2，连接 FH，若 FH 平分∠EFG，则满足 2 倍关系的两条段有几对？直接写出这几对线段．四．附加题（共 2 小题）26.数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形ABCD 与边长为的正方形 AEFG 按图1 位置放置，AD 与AE 在同一条直线上，AB 与AG 在同一条直线上．（1）小明发现 DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图 2，小明将正方形 ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时，请你帮他求出此时 BE 的长．27.已知，四边形ABCD 是边长为3 的正方形，点E 在边AB 上，矩形AEFG 的边AE＝，∠GAF＝30°．（1）如图①，求 AF 的长；（2）如图②，将矩形 AEFG 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到矩形 AMNH，点 C 恰好在AN 上．①求α的大小；②求 DN 的长；（3）若将矩形 AEFG 绕点A 顺时针旋转 30°，得到矩形 ARTZ，此时，点 B 在矩形 ARTZ 的内部、外部、还是边上？（直接写出答案即可）．1. 旋转中心，旋转角3.相等4.180，对称中心6. -x，-y，x，-y，-x，y 一．选择题（共10 小题）基础知识通关答案单元检测答案1.【分析】根据旋转对称图形的概念解答．【解答】解：A.此图案绕中心旋转 36°或 36°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；B.此图案绕中心旋转 45°或 45°的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；C.此图案绕中心旋转 60°或 60°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；D.此图案绕中心旋转 72°或 72°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；故选：B．【知识点】1，22.【分析】这是一个旋转问题，找出旋转中心，旋转方向，旋转角，按照规律判断第四个图形．【解答】解：通过观察图形的变化，根据旋转的性质可知，每次旋转的中心是等边三角形的中心，顺时针旋转，旋转角度是 90°，故在空格 d 上的图形应该是 D．故选 D．【知识点】1，23.【分析】在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把三行排满，需要旋转和平移，通过观察即可得到．【解答】解：顺时针旋转 90°，向右平移．故选：A．【知识点】1，24.【分析】依据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当 DQ⊥CQ 时，DQ 的长最小，再根据勾股定理，即可得到 DQ 的最小值．【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°又∵∠ACB＝60°∴∠BCQ＝120°∵点 D 是 AC 边的中点∴CD＝2当DQ⊥CQ 时，DQ 的长最小此时，∠CDQ＝30°∴CQ＝CD＝1∴DQ＝＝∴DQ 的最小值是故选：B．【知识点】35.【分析】连接 PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出 PC＝2，然后再依据三角形的三边关系可得到 PM≤PC+CM，故此可得到 PM 的最大值为 PC+CM．【解答】解：如图连接 PC．在 Rt△ABC 中，∵BC＝4，AC＝3∴AB＝5根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝5∴A′P＝PB′∴PC＝A′B′＝2.5∵CM＝BM＝2又∵PM≤PC+CM，即 PM≤4.5∴线段 PM 的长度不可能是 5故选：A．【知识点】36.【分析】根据要求画出图形即可解决问题．【解答】解：观察图象可知 A2（4，2）故选：A．【知识点】67.【分析】由旋转的性质得，BO＝AD，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，∠ADC＝∠BOC＝150°，推出△OCD 为等边三角形，得到∠DOC＝60°，故 A，B 正确；由于∠ODC＝60°，∠ADC＝∠BOC＝150°，得到∠ADO＝90°，由垂直的定义得到 OD⊥AD，故 C 正确，于是得到结论．【解答】解：由旋转的性质得，BO＝AD，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，∠ADC＝∠BOC＝150°∵∠ACB＝60°∴∠DCO＝60°∴△OCD 为等边三角形∴∠DOC＝60°，故 A，B 正确∵∠ODC＝60°，∠ADC＝∠BOC＝150°∴∠ADO＝90°∴OD⊥AD，故 C 正确故选：D．【知识点】38.【分析】由“ASA”可证△OCM≌△OBN，可得 CM＝BN，∠CDM＝∠BCN，由余角的性质可判断②，不能证明出①，由“SAS”可证△DCM≌△CNB，由勾股定理可判断④．【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形∴CD＝BC，BO＝CO，AC⊥BD，∠ACB＝∠ABD＝45°∵将∠COB 绕点 O 顺时针旋转∴∠COM＝∠BON，且 BO＝CO，∠ACB＝∠ABD∴△OCM≌△OBN（ASA）∴CM＝BN，∠CDM＝∠BCN∵∠CDM+∠CMD＝90°∴∠BCN+∠CMD＝90°∴CN⊥DM故②正确∵∠ONM＝∠OBM＝45°∴∠BON＝∠BMN＝∠COM＞∠BCN＝∠CDM故①错误∵CM＝BN，CD＝BC，∠ABC＝∠DCB＝90°∴△DCM≌△CBN（SAS）故③正确∵AB＝BC，BN＝CM∴AN＝BM∵BN2+BM2＝MN2∴AN2+CM2＝MN2故④正确故选：C．【知识点】39.【分析】取C B的中点G，连接M G，根据等边三角形的性质可得B H＝B G，再求出∠H B N＝∠M B G，根据旋转的性质可得M B＝N B，然后利用“边角边”证明△M B G≌△N B H，再根据全等三角形对应边相等可得H N＝M G，然后根据垂线段最短可得M G⊥C H时最短，再根据∠BCH＝30°求解即可．【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG∵旋转角为 60°∴∠MBH+∠HBN＝60°又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°∴∠HBN＝∠GBM∵CH是等边△ABC的对称轴∴H B＝A B∴HB＝BG又∵MB旋转到BN∴BM＝BN在△MBG和△NBH中\ 11 /∴△MBG≌△NBH（SAS）∴MG＝NH根据垂线段最短，当M G⊥C H时，M G最短，即H N最短此时∠B C H＝×60°＝30°，CG＝A B＝×24＝12∴M G＝C G＝×12＝6∴H N＝6故选：B．【知识点】310.【分析】如图，作 B′H⊥y 轴于H．解直角三角形求出 B′H，OH 即可．【解答】解：如图，作 B′H⊥y 轴于 H．由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°∴∠A′B′H＝30°∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝∴OH＝3∴B′（﹣，3）故选：B．【知识点】3二．填空题（共 10 小题）11.【分析】根据第一个图象是正直的，第二个图象倾斜，可得旋转变换．【解答】解：笑脸（2）是由笑脸（1）经过旋转变换得到的．故答案为：旋转．【知识点】1,212.【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．【解答】解：由题意，得a＝﹣5，b＝﹣1 a+b＝﹣5+（﹣1）＝﹣6 故答案为：﹣6【知识点】613.【分析】过点 C 作CD⊥x 轴于点 D，易知△ACD≌△BAO（AAS），已知 A（2，0），B（0，1），从而求得点 C 坐标，设直线 AC 的解析式为 y＝kx+b，将点 A，点 C 坐标代入求得 k 和 b，从而得解．\ 12 /\ 13 /∴【解答】解：∵A （2，0），B （0，1）∴OA ＝2，OB ＝1过点 C 作 CD ⊥x 轴于点 D可证△ACD ≌△BAO （AAS ）∴AD ＝OB ＝1，CD ＝OA ＝2∴C （3，2）设直线 AC 的解析式为 y ＝kx+b ，将点 A ，点 C 坐标代入得∴直线 AC 的解析式为 y ＝2x ﹣4故答案为：y ＝2x ﹣4．【知识点】314. 【分析】找到和 1 相邻的数，判断出和 1 相对的数，按③放置即可得到所求的数字．【解答】解：∵1 与 2，3，4，5 相邻，只能与 6 相对，2 与 5 相对；3 与 4 相对．当 5 在上，3 在右时，前面只能是 1．故答案为：1．【知识点】215. 【分析】根据关于原点对称点的性质可得 P 在第一象限，进而可得 ，再解不等式组即可．【解答】解：∵点 P （2m ﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限∴点 P （2m ﹣1，﹣m+3）在第一象限∴解得： ＜m ＜3故答案为： ＜m ＜3【知识点】616. 【分析】作出图形，有两个解，利用直角三角形的 30°的性质可以解决问题．【解答】解：如图，矩形 OABC 绕点 O 旋转 60°，可能顺时针旋转，也可能逆时针旋转，所以有两种可能，见图．∵∠AOP 1＝60°，∠AOC ＝90°∴∠COP 1＝30°在 RT △COP 1 中，∵OC ＝6，∠COP 1＝30°∴CP 1＝2∴点 P 1 坐标为（﹣2，6），根据对称性，P 1、P 2 关于 y 轴对称 ∴P 2 坐标（2，6）故答案为（﹣2 ，6）或（2 ，6）\ 14 /【知识点】3,617. 【分析】作 CD ⊥y 轴于点 D ，如图，根据旋转的性质得∠ABC ＝90°，BC ＝BA ，再利用等角的余角相等得到∠CBD ＝∠A ，则可证明△ABO ≌△BCD 得到 BD ＝OA ＝3，CD ＝OB ＝4，然后根据第二象限内点的坐标特征写出 C 点坐标．【解答】解：如图，作 CD ⊥y 轴于点 D∵A （3，0），B （0，4）∴OA ＝3，OB ＝4∵线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90°至 CB∴∠ABC ＝90°，BC ＝BA∵∠ABO+∠A ＝90°，∠ABO+∠CBD ＝90°∴∠CBD ＝∠A在△ABO 和△BCD 中∠AOB∠BDC ∠ A∠CBD AB BC∴△ABO ≌△BCD （AAS ）∴BD ＝OA ＝3，CD ＝OB ＝4∴OD ＝OB ﹣BD ＝4﹣3＝1∴C 点坐标为（﹣4，1）故答案为：（﹣4，1）【知识点】318. 【分析】利用在直角三角形中，锐角三角函数关系得出 AB 的长，然后根据中心对称可得 AB ＝ AB ′，进而可得答案．【解答】解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝1∴cos30°＝＝解得：AB＝∵Rt△ABC 与 Rt△AB′C′关于点 A 成中心对称∴AB＝AB′＝∴BB′＝故答案为：【知识点】2，419.【分析】根据轴对称图形的定义求解可得．【解答】解：如图所示，共有 4 种涂黑的方法，故答案为：4．【知识点】720.【分析】首先根据已知条件求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B 相差6 个单位长度，根据这个规律可以求得 B2018 的横坐标，进而可得点 B2018 的坐标．【解答】解：∵点 A（1.5，0），B（0，2）∴OA＝1.5，OB＝2∴AB＝＝2.5∴OA+AB1+B1C2＝1.5+2.5+2＝6观察图象可知，点 B2018 的纵坐标为 2∵2018÷2＝1009∴点 B2018的横坐标为 1009×6＝6054∴点 B2018的坐标为（6054，2）故答案为：（6054，2）【知识点】1,3三．解答题（共 7 小题）21.【分析】（1）分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1 即可．（2）分别作出点 A1，B1，C1 的对应点 A2，B2，C2 即可．（3）△BB1B2 是等腰直角三角形．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．\ 15 /\ 16 / （2） △A 2B 2C 2 如图所示．（3） △BB 1B 2 是等腰直角三角形．【知识点】1,2,3,622. 【分析】（1）由已知可求出∠CAE ＝180°﹣60°＝120°，再根据三角形外角性质求出∠BEC 的度数．（2）①由 OD ∥AB 可得∠BOD ＝∠B ＝30°，再由∠BOD+∠BOC ＝90°和∠AOC+∠BOC ＝90°求出∠ AOC ．②将三角板△COD 继续绕 O 旋转，OC 边能与 AB 平行，由平行可得∠COB ＝∠B ＝30°，从而求出 ∠AOC ．【解答】解：（1）∠CAE ＝180°﹣∠BAO ＝180°﹣60°＝120°∴∠BEC ＝∠C+∠CAE ＝45°+120°＝165°故答案为：165°（2）①∵OD ∥AB∴∠BOD ＝∠B ＝30°又∠BOD+∠BOC ＝90°，∠AOC+∠BOC ＝90°∴∠AOC ＝∠BOD ＝30°②存在，如图 1，当 AB ∥OC 时则∠COB ＝∠B ＝30°∴∠AOC ＝90°+30°＝120°如图 2，当 AB ∥CD 时，延长 DO 交 AB 于 D ′∴∠AD ′O ＝∠D ＝45°∴∠AOD ′＝75°∴∠AOC ＝∠AOD ′+90°＝165°如图 3，当 AB ∥OD 时，∠DOB ＝∠B ＝30°∴∠AOC ＝∠DOB ＝30°如图 4，当 AB ∥OD 时，∠AOD ＝∠A ＝60°\ 17 /∴∠AOC ＝90°+60°＝150°如图 5，当 AB ∥OC 时，∴∠AOC ＝∠A ＝60°如图 6，当 AB ∥CD 时，∠1＝∠A ＝60°∴∠AOC ＝60°﹣45°＝15°综上所述，∠AOC 的度数为：15°，30°，60°，120°，150°，165°【知识点】3，723. 【分析】（1）利用旋转不变性证明△ABC 是等腰直角三角形．（2）证明△CDE 是等腰直角三角形，再在 Rt △ADE 中，求出 AE 即可解决问题．【解答】解：（1） △ABC 是等腰直角三角形理由：∵BC ＝CA∴∠CBA ＝∠CAB ＝45°∴∠ACB ＝90°∴△ACB 是等腰直角三角形（2） 由旋转的性质可知：∠DCE ＝∠ACB ＝90°，CD ＝CE ＝3，BD ＝AE∴DE ＝3 ，∠CDE ＝∠CED ＝45°∵∠ADC ＝45°∴∠ADE ＝45°+45°＝90°∴AE ＝＝ ＝∴BD ＝AE ＝ ． 【知识点】3，724. 【分析】（1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出 AB ＝BC ＝AC ，∠A ＝∠B ＝60°， 由旋转的性质得：∠ACB ＝∠DCE ＝60°，CD ＝CE ，得出∠ACD ＝∠BCE ，证明△ACD ≌△BCE ，即可 得出结论；（2）由全等三角形的性质得出 AD ＝BE ，∠CBE ＝∠CAD ＝60°，求出∠ABF ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ CBE ＝60°，在 Rt △ABF 中，由三角函数得出＝sin60°＝ ，AB ＝ AF ＝ AF ，即可得出结论．【解答】解：（1） 补全图形如图 1 所示，AD ＝BE ，理由如下： ∵△ABC 是等边三角形∴AB ＝BC ＝AC ，∠A ＝∠B ＝60°由旋转的性质得：∠ACB ＝∠DCE ＝60°，CD ＝CE∴∠ACD ＝∠BCE在△ACD 和△BCE 中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE（2）EB+DB＝AF；理由如下：由（1）得：△ACD≌△BCE∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠ABF＝180°﹣∠ABC﹣∠CBE＝60°∵AF⊥EB∴∠AFB＝90°在Rt△ABF 中，＝sin60°＝∴AB＝AF＝AF∵AD+DB＝AB∴EB+DB＝AB∴EB+DB＝AF．【知识点】3，725.【分析】（1）过B 作BM⊥CE 于M，根据旋转的性质得到 CE＝BC，求得∠CEB＝∠CBE，根据全等三角形的性质得到 BM＝CG，HM＝CH，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到 BH＝GH，求得 BG＝2BH，BG＝2GH，根据线段的和差得到 DE＝2CH，根据已知条件得到△EFH 是等腰直角三角形，求得 EF＝EH，设 AE＝x，CH＝y，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）过B 作BM⊥CE 于M∴∠A＝∠BME＝90°∵把矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 FECG∴CE＝BC∴∠CEB＝∠CBE∵AD∥BC∴∠AEB＝∠EBC∴∠AEB＝∠BEM在△ABE 与△MBE 中∴△ABE≌△MBE（AAS）∴AE＝EM，AB＝BM∴BM＝CG\ 18 /在△BMH 与△GCH 中∴△BMH≌△GCH（AAS）∴HM＝CH∵EH＝EM+HM∴AE+CH＝EH；（2）满足 2 倍关系的两条线段有 4 对由（1）得△BMH≌△GCH∴BH＝GH∴BG＝2BH，BG＝2GH∵AD＝AE+DE＝CE＝CH+EH＝CH+CH+AE＝2CH+AE∴DE＝2CH∵FH 平分∠EFG∴∠EFH＝45°∴△EFH 是等腰直角三角形∴EF＝EH∴EH＝AB＝CD设AE＝x，CH＝y∴DE＝2y，CD＝x+y，CE＝x+2y∵DE2+CD2＝CE2∴（2y）2+（x+y）2＝（x+2y）2解得：y＝2x∴CH＝2AE【知识点】3，726.【分析】（1）由正方形的性质可证△ADG≌△ABE（SAS），因此可证得∠AGD＝∠AEB，延长 EB 交DG 于点H，然后由三角形的内角和和直角三角形的两锐角互余可证得结论；由正方形的性质和等量代换可证△ADG≌△ABE（SAS），因此可证得 DG＝BE；（2）过点A 作AM⊥DG 交DG 于点M，根据正方形的性质可证得DM＝AM＝，然后根据勾股定理可求得 GM 的长，进而可求得 BE＝DG＝DM+GM；【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是正方形∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE在△ADG 和△ABE 中∴△ADG≌△ABE（SAS）∴∠AGD＝∠AEB如图 1，延长 EB 交 DG 于点 H∵△ADG 中∠AGD+∠ADG＝90°∴∠AEB+∠ADG＝90°\ 19 /∵△DEH 中，∠AEB+∠ADG+∠DHE＝180°∴∠DHE＝90°∴DG⊥BE；（2）∵四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是正方形∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE∴∠DAB+∠BAG＝∠GAE+∠BAG∴∠DAG＝∠BAE在△ADG 和△ABE 中∴△ADG≌△ABE（SAS）∴DG＝BE如图 2，过点 A 作 AM⊥DG 交 DG 于点 M∠AMD＝∠AMG＝90°∵BD 是正方形 ABCD 的对角线∴∠MDA＝∠MDA＝∠MAB＝45°，BD＝2∴AM＝BD＝1在Rt△AMG 中∵AM2+GM2＝AG2∴GM＝2∵DG＝DM+GM＝1+2＝3∴BE＝DG＝3．【知识点】3，727.【分析】（1）在Rt△AFG 中，解直角三角形求出 AF 即可；（2）①根据α＝∠DAC﹣∠HAN 计算即可；②如图 2 中，作 NK⊥DC 交 DC 的延长线于 K．在 Rt△DKN 中，求出 KN，DK，再利用勾股定理即可解决问题；（3）如图③中，设 MN 交直线 AB 于点J，作 JQ⊥AN 于Q．求出 AJ 的长与 AB 比较即可判断；【解答】解：（1）∵四边形 AEFG 是矩形∴∠AEF＝90°，AE＝FG∵AE＝∴GF＝∵∠GAF＝30°∴AF＝2FG＝7（2）①如图 2 中∵四边形 ABCD 是正方形∴∠DAC＝45°∴α＝∠DAC﹣∠HAN＝45°﹣30°＝15°\ 20 /②如图 2 中，作 NK⊥DC 交 DC 的延长线于 K∵AC＝AB＝6，AN＝7∴CN＝1在 Rt△CNK 中∵∠NCK＝∠DCA＝45°∴CK＝NK＝∴DN＝DC+CK＝3 + ＝在Rt△DNK 中，DN＝＝＝5（3）如图③中，设 MN 交直线 AB 于点J，作 JQ⊥AN 于Q．由题意可知：AN＝7，∠JAN＝∠N＝30°∴JA＝JN∵JQ⊥AN∴AQ＝QN＝∴AJ＝＝∵AB＝3∴AJ＜AB∴点 B 在△ANM 外【知识点】3，7\ 21 /。