二次根式听课记录
9上21.2《二次根式性质》课堂教学实录
课堂实录21.1.2 二次根式的性质【预习反馈】师：根据课前预习及以前学过的知识做课前延伸生：各组组长汇报完成情况：主要错题是（1）（3）（4）第（1）大于等于负x 23；第（3）题x 为0；第（4）题好几人不会做师：第（1）题分母不为0 ；第（3）题中被开方数不是是x -（x -5）2第（4）题a -5与5-a 互为相反数又要同时为非负数，所以只有都为0 〖评析〗提醒学生：教师让学生回顾再现旧知识，为下一步学习二次根式的性质做好铺垫和准备．【导入新课】师：下面请同学们一起来看这一道问题：-2-2和、-222-2和）（相等吗？（幻灯片） 生：（脱口而出）不等．师：为什么？生：被开方数不能为负师：为什么不能为负？生：没有哪个数的平方为负师：很好。
那么什么情况下形如这样的两个式子相等？生：换为3次方根师：非常棒 师：那么22(-2))2(和、222)2(和、222-)2(）（和相等吗？ 生：（自信地）相等。
师：为什么？生：被开方数相等。
师：很好！（揭示课题，板书）【探索新知】师：同学们，观察预习思考题，你发现了什么？利用你的发现填空：；=________．当a>0a 0;当a=00生：2， 0.01， 101， 32， 0， 73， ＞， ＝师：很好．:生：非负数师：非常好下面我们来看第二问题： 根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；）2=_______ 生：4， 2，31， 0 师：怎么得到的是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于42=4．其余的跟它一样师：非常棒！所以：生：a师：非常好下面我们来看第三问题： 探究（三）； =________； 生： 2， 0.01， 32 0师：很好．师：当a 不加任何条件时2a =多少？（停顿）师：（竖起大拇指）回答得很好。
板书：（1〖评析〗教师通过让学生动口、动脑，引导学生运用归纳的数学思想去探究问题，在品尝成功的喜悦中激发出学数学的兴趣．在活动中，教师应重点关注：学生能否都主动参与．【学生练习】师：下面请同学们独立完成自主探究题（停顿）师：同学们，结果如何? 第1小题 生：25.1=1.5师：第2小题呢？生： 32 师：现在我们来看看同学们又将如何思考小组合作探究题?师：××同学，你是如何完成的？生： 62y =6y （利用实物展台让学生边板演边说明）．生：不对，结果应为y 6=y 6±师：为什么不是6y ？生：因为2y 是非负数，等于2y 的数有两个所以结果应为y 6=y 6±师：真不错．同学们能对结果进行了讨论，可以看出，同学们作业时善于思考．生活中，我们就是要不断发现数学问题，并用数学思想方法解决一个又一个的问题．〖评析〗课堂上学生畅所欲言，暴露学生的思路及解题过程．让其他的学生发现并解决问题，这样他们的印象将更加深刻．【精讲点拨】师：下面请同学们看：例1计算 25-）（ （学生思考）师：注意与前面的习题相比较师：哪位同学先发言？ 生：解：25-）（ =25=5 师：请同学们想想看他是怎样做的？能否用准确的数学语言概括出来？生：先做根号里的乘方，再开根号师：回答得很好！（板书）请同学们继续看例2 （22)2师：×××同学说说看（请基础尚可的同学回答）生：（22)2 =22*22=4*2=8 （让学生们互相交流，小组讨论．）师：谁来分析？生：22是一个数应该作为整体．根据积的乘方法则各项都要乘方师：讲得很不错，相信其他同学也有同感．〖评析〗让学生初步感受积的二次根式的性质.同时培养学生主动参与、合作交流的意识，提高学生的观察、分析能力。
2018-2019-二次根式(1)评课记录-优秀word范文 (15页)
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本章是在第13章《实数》的基础上，进一步研究二次根式的知识。
它与已学内容“实数”“整式”联系紧密，同时也是后面的“勾股定理”，“一元二次方程”，“二次函数”等内容的重要基础。
本节课涉及的二次根式的字母取值范围的问题是中考的必考题型。
2、教学目标：（1）、知识目标：1.理解二次根式的概念。
2. 确定二次根式中字母的取值范围。
（2）、能力目标：培养学生观察、分析、归纳等能力，体会从特殊到一般的学习方法。
（3）、情感目标：使学生经历观察、猜想、总结、应用等数学活动，感受和体验数学活动的乐趣，并提高学生应用数学的意识。
3、教学重点、难点教学重点: 二次根式的概念。
教学难点：确定二次根式中字母的取值范围。
二、教法与学法分析（1）、本节课中，我采用学案导学和小组合作的方法进行教学，并充分利用多媒体辅助教学。
通过学生的自主学习，合作交流和教师的适当点拨，使学生达到对知识的发现和掌握。
（2）、学法：采取自主学习和探究学习的方法，以便更好地发挥学生的主观能动作用，提高他们的综合能力。
三、教学过程分析(一)、温故知新，情境导入。
1．复习平方根和算术平方根的有关知识。
2．创设情境，提出问题：由实际问题得到的式子有什么共同特点？设计意图：通过创设情境，把数学问题与学生的现实生活联系起来，激发学生的学习兴趣，让学生从不同的式子中探寻规律，由特殊到一般引入二次根式的概念。
二次根式的乘法听课记录评语
二次根式的乘法听课记录评语二次根式乘法法则二次根式的定义:二次根式的性质:a(a≥0)-a(a≤0)=∣a∣=计算下列式子.并观察他们之间有什么联系?能用字母表示你所发现的规律吗?一、二次根式乘法法则：一般地有二次根式与二次根式相乘，等于各被开数的积的算术平方根。
扩充：例题1 计算：（1）（2）解：（3）（a≥0，b≥0）二次根式的乘法：利用这个等式可以化简一些根式。
试一试：例题2 化简：（1）（3）解：(1)（2）化简:4、计算：化简二次根式的步骤：1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式二次根式的乘法和除法1.积的算数平方根的性质列如：√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）2.乘法法则列如：√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3.除法法则a÷b=√a÷b（a≥0，b>0）二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
4.有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
编辑本段二次根式的加法和减法1 同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
例如：2√5+√5=3√54、有括号时，要先去括号在二次根式的乘法运算中，对结果有什么要求在二次根式的乘法运算中，对结果有什么要求解答必须是最简二次根式进行二次根式的乘法运算时,不一定非得把二次根式先化成最简二次根式,然后再相乘,但最后结果必须是最简二次根式.有个数字在根号外的二次根式乘法怎么算先分解因式，把16x²提出来，变成根号下[16x²（2x+1）]根据二次根式乘法法则分别开方得4x·根号下（2x+1）如何计算二次根式的乘法我告诉你答案是10的n次方。
初中数学组听评课活动记录讲课稿
初中数学组听评课活动记录初中数学组听评课活动记录（1）上课教师：李红梅上课内容：人教版8年级数学《二次根式的运算》上课时间：2017年3月10日星期四第5节听课参加人员：韩满科赵林梅孙茂林李红梅孙立强李凌霞评课过程：初中部分数学教师1、上课教师讲解本节课的教学设计和目的，2、点评（1)对学生课前准备的习惯培养较好，重点把握好，学生都掌握好了，难点突破自然（2)本节课难点在于正确进行计算，课堂环境好，使学生静下心来认真做、思考方法（3）对学生数学思想方法的培养到位，整节课贯穿其中（4)学生对出错的地方能及时找到并谈一下，教师即发现了学生知识的薄弱点，也使学生总结了错误的原因，吸取教训（5)整节课关注学生，题目由易到难，循序渐进，不急不躁，教师具有亲和力，师生的交流融洽（6)与小学时比较，学生的精力集中了，跟着教师思路走了，养成了良好的学习习惯，培养了严密的数学思维，解题习惯好了（7）课堂驾驭能力强，充分调动了学生的积极性和主动性。
上课时保证了学生能够参与课堂，学生主体参与是提高课堂实效性有了保证。
3、针对点评中提出的困惑讨论初中数学组听评课活动记录（2）上课教师：李红梅上课内容：人教版8年级数学《勾股定理》上课时间：2017年5月11日星期四第3节听课参加人员：韩满科赵林梅孙茂林李红梅孙立强李凌霞评课过程：初中部分数学教师一、教师们针对自己的做法与经验发言在课堂教学中，时时注意营造积极的思维状态，关注学生的思维发展过程，创设民主、宽松、和谐的课堂气氛，让学生畅所欲言，这样学生的创造火花才会不断闪现，个性才的以发展。
（1）勾股定理应用时一定要注意指明使用范围，即直角情况下使用。
（2）注意重点内容要板书。
（3）小组讨论时，声控适当。
（4）学生回答问题时，养成表述完整的习惯。
（5）图形中字母要标清。
《勾股定理》定理证法众多，应用广泛，有着深厚的历史文化背景。
对于学生来说学习《勾股定理》是几何学习当中的一次飞跃，是培养学生探究数学问题兴趣的重要一课。
二次根式加减评课记录
二次根式加减评课记录评课记录：二次根式加减授课反思一、引言在本次课堂中，我担任高中数学老师的角色，为学生尝试讲解了二次根式加减的概念与运算规律。
通过教学实践和学生互动，我意识到了自己在课前准备、教学方法和评价手段等方面存在的不足之处，并对今后的教学进行了思考和改进。
二、课前准备反思在这堂课之前，我没有充分考虑到学生对二次根式加减概念的理解程度以及相关知识点是否掌握扎实。
因此，一开始我并未预留时间来回顾基础知识。
这导致部分学生在上述概念理解上遇到困难，在后续的教学中产生了阻碍。
改进方案：1. 在下一节课之前，请学生预先阅读相关教材内容并完成作业，提前夯实基础知识；2. 制定针对不同层次学生的备选教材和练习题，以满足他们个别化的需求；3. 设立预习或复习环节，便于对重要知识点进行回顾，洞察学生对基础概念的掌握情况。
三、教学方法反思在上课的过程中，我主要采用了传统的讲授式教学方法，内容较为单一。
这导致学生在听课时出现了注意力不集中、理解困难等问题。
改进方案：1. 引入多媒体资源和实例，以便更加直观地呈现二次根式加减的概念与步骤；2. 引导学生进行小组合作、讨论和分享，提高他们自主学习和合作解决问题的能力；3. 设置“提问环节”，积极与学生互动，激发他们思考和思维能力。
四、评价手段反思本次课堂中，我主要通过口头提问来检测学生对二次根式加减的理解情况。
这种方式无法全面准确地评估每位学生的掌握程度，并且容易使部分学生因害怕回答错误而不愿积极参与。
改进方案：1. 引入更多形式多样的评价手段，如个人书面练习、小组任务等，从而获取更全面准确的评价结果；2. 实施定期的诊断性评估，及时了解学生掌握情况，针对性地进行复习和辅导；3. 提倡积极向学的氛围，营造宽松、包容的教学氛围，鼓励每位学生勇于表达自己的观点。
五、结语通过这次授课经历和反思，我在二次根式加减这一章节的教学上意识到自己的不足，并且明确了今后应该采取的改进策略。
9上期末复习第21章《二次根式》课堂教学实录
第二十一章 二次根式课堂实录（重温本堂课的学习目标)师：本堂课我们的学习目标是：1。
理解二次根式基本概念；掌握二次根式的性质及运算法则,会分母有理化，并进行实数的简单四则运算．2。
培养学生严谨求实的良好学习态度，并发展自我的应用数学意识．通过预习，你能基本达到哪些目标？需要继续努力的地方可要在课内认真噢!（小组讨论课前延伸中存在的疑难之处或问题）师：在知识梳理中，你有哪些疑难之处或问题要提交小组讨论？生：最简二次根式含义“（2）被开方数中不含有_________________的因数或因式．” 不理解什么意思？生2:被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．师：对的!你能举例说明“开得尽方”的含义吗？生2:如根号下是4、9、16、a 3b 2、（- π）2 ……师：你说得很好!同学们还有什么疑问吗？生3：b a -1与b a -1的有理化因式有什么不同？生4:前面的是b a +, 后面的是b a -．师：下面我们检查自己的预习作业．我提供的参考答案1．A ；2．C;3．A;4．D;5．D ；6．C 。
同学们有需要讨论的吗？生5：把aa 1-根号外的因式移到根号内,我的答案不一样？师：你选的是……生5：我选D ．生6:不对！这里的a 是负数！根号外是负的．师：大家明白了吗?生（齐）:明白啦！选C ．师：下面我们一起来探讨几个典型例题．（出示小黑板)例1：x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)23-+-x x ; （2)x x -12； (3)x x 22-+； (4）xx 32+。
例2:①计算：31627321-++ ②ab ab b a 1⋅÷ （师生分析）师：例1的(1)题是两个二次根式的和，x 的取值必须怎样？ 生（齐)：x 的取值必须使两个二次根式都有意义．师：那么x 取值是……（指定学生回答）生7：小于等于3且大于等于2．师：请坐！（板演)解：(1）要使x -3有意义，必须x -3≥0，即x ≤3；要使2-x 有意义，必须2-x ≥0，即x ≥2.所以使式子23-+-x x 有意义的x 值为2≤x ≤3。
二次根式第一课时课堂实录
2.7二次根式 第一课时一. 教学目标1.认识二次根式和最简二次根式的概念，并能用二次根式的性质进行化简。
2.用类比的方法，引入二次根式的性质、公式。
3.通过二次根式的化简，培养学生抓住问题的关键来解决问题的基本思路。
二．教学重难点正确运用公式b a b a ∙=⋅（a ≥0，b ≥0），b ab a=（a ≥0， b ＞0）并能进行熟练地运算，理解法则中b a b a ∙=⋅（a ≥0，b ≥0），b aba=（a ≥0， b ＞0）a 、b各满足什么条件。
三．新旧只是连接运用二次根式是在平方根，立方根，实数的基础上，进一步研究二次根式的概念和性质。
与已学内容实数，整式和勾股定理联系紧密，同时也是以后将要学习的锐角三角函数，一元二次方程和二次函数等内容的重要基础。
本课时研究的内容是下一课时二次根式的运算的基础和依据。
做一做：填空：（1）94⨯94⨯2516⨯2516⨯＝，94＝；9425162516＝，＝；＝，＝；＝，＝．66202023234545有何发现：49⨯＝1625⨯＝49＝1625＝49⨯，1625⨯，49，1625．＝，6.48067⨯76⨯＝；76（2）用计算器计算：＝，＝．6.4800.92550.9255有何发现：6776⨯7649⨯＝，49⨯1625⨯＝，1625⨯49＝，491625＝．1625观察上面的结果你可得出什么规律？＝67⨯，＝67．知识巩固•例1 化简•（1）；•（2）；•（3）。
教师首先讲解第一个例题。
师：【根号下是81乘以64，我们应用第一个公式，就等于728964816481=⨯=⨯=⨯】教师要注意格式。
师：【就是这样简单的应用我们的公式，下面两个题同学们在课堂本上写，我找两个同学来做。
】 学生能很快地写出正确答案。
学生得出答案.35.....65.....72. 师：【我们为什么要学习二次根式的性质呢？是想去化简二化简下面的二次根式.化简：4527319816125。
二次根式教研活动记录(3篇)
第1篇一、活动背景随着新课程改革的深入推进，数学教学逐渐重视对学生数学思维的培养。
二次根式作为高中数学中的重要内容，对于培养学生的逻辑思维和数学运算能力具有重要意义。
为了提高教师对二次根式的教学水平，促进教师专业成长，我校于2021年10月15日开展了二次根式教研活动。
本次活动以“二次根式的教学策略与方法”为主题，旨在通过集体备课、课堂教学展示、评课研讨等形式，提升教师对二次根式教学的理解和教学能力。
二、活动内容1. 集体备课活动伊始，各备课组针对二次根式的教学目标、重难点进行了深入研讨。
首先，各备课组长带领组内教师共同分析了二次根式的概念、性质以及运算方法，明确了教学目标。
接着，针对二次根式的教学重难点，各备课组提出了相应的教学策略，如：（1）通过实际问题引入，激发学生学习兴趣；（2）运用图形直观，帮助学生理解二次根式的概念；（3）强化基础知识，提高学生运算能力；（4）注重类比，培养学生逻辑思维能力。
2. 课堂教学展示本次活动邀请了两位教师进行二次根式的课堂教学展示。
第一位教师以“二次根式的概念与性质”为主题，通过实际问题引入，引导学生自主探究二次根式的概念，并运用图形直观，帮助学生理解二次根式的性质。
第二位教师以“二次根式的运算”为主题，结合实例，引导学生掌握二次根式的运算方法，并强调运算过程中的注意事项。
3. 评课研讨课堂教学展示结束后，全体教师进行了评课研讨。
首先，各备课组长对本组教师的教学进行了简要评价，肯定了优点，指出了不足。
接着，其他教师针对两位展示教师的教学进行了深入点评，从教学设计、教学方法、课堂组织、学生互动等方面进行了交流。
（1）教学设计方面：两位教师的教学设计合理，教学目标明确，重难点突出，能够有效引导学生掌握二次根式的相关知识。
（2）教学方法方面：两位教师运用了多种教学方法，如问题引导、小组合作、探究学习等，激发了学生的学习兴趣，提高了课堂效果。
（3）课堂组织方面：两位教师能够灵活运用课堂时间，关注学生个体差异，确保了课堂教学的顺利进行。
【观评记录】16.1二次根式 夏步桥
杜静老师、王丽华、刘丙华、任东峰等老师进行评课。
五、鹿校长，朱主任进行总结。
活动反思
或结果
本节课教师用心准备，透彻把握学生，清晰地体现了数学学习的过程；学生亲自思考、探究、小组活动的过程，体现出教学中的“动”的过程。整个教学过程，胸有成竹，设计鲜明，给学生留有足够的思考时间，有条不紊，恰到好处，整节课动静相宜，恰到好处，受到听课老师及学生的一致好评。省来自山东区域/学校
鱼台县
学科
数学
活动名称
《16.1二次根式》
时间
2015.04.11
主题/问题
评夏步桥老师执教的《16.1二次根式》
形式
公开课
主持人
屈卫国
参与人员
全体数学教师
活动设计
一、各位老师听课。
二、听夏老师的汇报教学设计课。
三、数学老师进行研讨。
活动过程
四、各位老师听课。
五、听夏老师的汇报教学设计课。
审核意见
(区域学科管理员):：屈卫国姓名：夏步桥
日期:2015.04.11
【评课记录】16.1二次根式3_数学_初中
《二次根式》观课报告
新的课程标准，倡导把课堂变为学生自主、合作、探究的场所，呼唤学生主体性的发展。
教学活动中学生在问题的基础之上逐步地得出这节课的重点内容。
这样让学生感觉坡度不大，掌握起来比较容易.本课教学始终贯穿“发展、创新”两个主要思想，并以训练思维为主线，重视知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，重视知识的概括和总结，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成自主、合作获取、发展新知，运用新知解决问题，以及用数学语言交流的能力。
孔老师在教学方法与手段的选择方面：主要采用了启发式和引导探究式的教学方法，为配合问题的提出与解决,借助了多媒体辅助教学。
在教学过程的设计方面：本节课的教学分为以下几个环节：一、复习回顾导入新课二、自主探究共享新知在这个环节，一系列的学习过程都是在教师引导，学生思考、探究的过程中完成的，学生学得轻松，在例题后面设计的小试牛刀、拾级而上、勇攀高峰分层练习，学生在浅移默化中总结升华。
三、课堂小结老师引导学生总结全课，畅谈感受，由此，整节课的教学内容将得到升华。
四、达标测试设计出许多不同的带有字母的二次根式。
这一教学环节正是本课的亮点所在，让学生在自己设计的二次根式中巩固、应用、拓展，再次让学生加深的二次根式性质的理解。
这样，教学重点的突出，教学难点的突破也就水到渠成。
我对整节课的设计力求符合学生的认知特点，想方设法创设生动活泼的教学情境，使学生始终处在好奇、好学的高昂学习情绪当中，
同时，整节课努力做到先有孕伏，中有深化，后有突破。
学生学有情趣，学有所获，并由衷感到：学习是快乐的事，学会了更是幸福的事。
9上21.3《二次根式的乘法》课堂教学实录
课堂实录21.2.1 二次根式的乘法【预习反馈】师：同学们好﹗生：老师好﹗师：同学们，在课前我布置了几道练习题，我想大家都已经完成了，下面我请各组的小组长回报各组的预习成果及在解题中遇到的一些问题．生：基础知识题中有少数同学第一题做错，其余还可以．生：预习思考题绝大多数同学完成得不错，有少数同学使用了计算器．师：（颔首微笑）同学们预习得真不错!〖评析〗基础知识题实际上是教师让学生回顾再现旧知识，为下一步学习二次根式的乘法性质做好铺垫和准备．【导入新课】 师：下面请同学们一起来看这一道题：一个长方形的长为6cm 、宽为3cm ，这个长方形的面积是多少？（幻灯片）生：（脱口而出）面积为3×6cm 2． 师：这个结果可以进一步进行化简吗？生：（自信地）能．师：怎么做？生：（挠挠脑袋）计算器．师：（试探）那是化简吗？生：（接着回答）用预习的知识做．结果为18cm 2．师：很好！ 但18还可以进一步进行化简．（揭示课题，板书）【探索新知】师：同学们，观察预习思考题，你发现了什么？师： ×××同学说说看（请基础较薄弱的同学回答）生：这些题都相等．师：很好！ 请坐．师：同学们能得出什么结论吗？（停顿）生：两个二次根式相乘等于它们的被开方数相乘．师：（竖起大拇指）回答得很好．即：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负数的积的算术平方根. 一般地：对于二次根式的乘法，有：ab b a =⋅(a ≥0，b ≥0) （板书） 〖评析〗对于课程实施和教学过程，教师应在教学过程中与学生积极互动，共同发展；要处理好传授知识与培养能力的关系．【学生练习】师：下面请同学们独立完成自主探究题（停顿）师：同学们，结果如何? 第1小题 生：3×7=21．师：第2小题呢？ 生：12551⨯=12551⨯=25=5． 师：现在我们来看看同学们又将如何思考小组合作探究题?师：××同学，你是如何完成的？ 生：x y xy 32⋅=（2⨯3）xy xy ⋅=62y =6y （利用实物展台让学生边板演边说明）． 生：不对，结果应为y 6．生：（很自豪地）y 6±．师：真不错．同学们能对结果进行了讨论，可以看出，同学们作业时善于思考．生活中，我们就是要不断发现数学问题，并用数学思想方法解决一个又一个的问题．师：同学们思考得都不错．只是我们约定：在本章中，如无特别说明所有的字母都表示正数，因此结果为6y ．师：我们知道：两个二次根式相乘等于它们的被开方数相乘，那么当它们前面有系数时又将如何化简？谁来说说看？生：对于二次根式的乘法：根式与根式按公式相乘，根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数． （板书）ab mn b n a m =•（a ≥0，b ≥0)〖评析〗课堂上学生畅所欲言，教室里再次沸腾起来．这时应多培养孩子去观察积累，并鼓励他们说出二次根式的乘法法则．【精讲点拨】师：下面请同学们看：例1（化简：436x ）（学生思考）师：好了没有？哪位同学先发言？ 生：解：436x =436x ⋅=26x 师：请同学们想想看他是怎样做的？能否用准确的数学语言概括出来？ 生：把ab b a =⋅反过来，就得到b a ab ⋅=(a ≥0,b ≥0)；利用它可以将二次根式化简.师：回答得很好！（板书：b a ab ⋅=(a ≥0,b ≥0)））请同学们继续看：例2（ 化简：329b a (a ≥0,b ≥0).）师：×××，你说说看（请基础尚可的同学回答）生： 329b a =329b a ⋅⋅=3b ab b b a 32=⋅师：同学们，若条件改为呢？0≥,0≤b a 结果会怎样？大家考虑一下．（让学生们互相交流，小组讨论．）师：好，谁来分析？ 生：2a 化简时，如果题目中未指明a 的符号，则应对a 的符号进行讨论，结果有两种情况． 师：你讲得很不错，相信其他同学也有同感．〖评析〗让学生初步感受积的算术平方根的性质与二次根式的乘法的关系及区别.同时培养学生主动参与、合作交流，在合作学习中增强与他人合作的意识，培养学生的团队精神． 师：现在我们来看议一议（化简4336-y x ：）师：同学们是不是愿意先独立思考一会儿？（学生连连点头）（先让学生独立思考，然后小组交流讨论，教师巡视）师：大家做得真快！现在我们来谈谈自己的见解． 生：等于x xy -62师：×××，告诉大家你是怎样思考的？ 生：x xy x x y x y y x -6=•-6=)-(•36=36-2223443．师：（面对全班）请大家评判他的答案．（有同学在交流）生： 应对x 的符号分情况讨论．生：（还没举手就抢着答）x 是负数，不需要讨论．师：考虑问题很全面！你们都做对了吗？（选一学生的练习投影，讲评）〖评析〗教师遵循学法指导自主性原则：让学生动口、动脑，引导学生运用分类讨论的数学思想去探究问题、发现问题；通过生生互动，解决问题，形成能力．【反馈训练】师：下面我们来看反馈训练．（学生练习，教师巡视）师：做出来没有，计算的第一题答案是什么？生：36（同学们不约而同的齐声说出答案）师：第二题呢？×××说说看．生：根据二次根式的乘法：系数2与3相乘，被开方数6与15、10相乘，结果化简为180． （利用实物展台投影，展示部分学生练习结果．并进行讲解）〖评析〗在教学中，遵循教师为主导、学生为主体、训练为主线，充分体现学生的主体地位。
二次根式的加减法听课记录表
3、思考：计算 。
~
分析： 先化简，后合并.
解：原式=
=
4、例:1：计算 （1） （2）
讲解
5、例2：计算 （1）[源自听课体会。（空间不足可附页）
听课人：王奕波
教育实习听课记录表
科目
初三数学
课题
二次根式的加减法
授课人
陈敏
班级
初三（5）班
听课
：
时间
2013年9月12日 第5节
教学内容
1、试一试：（1） ； （2） .
概括：与整式中同类项的意义相类似，我们把像 与 ， 、
与 这样的几个二次根式，称为同类二次根式。
2、如何判断两个二次根式是否为同类二次根式
判断方法：应先将各个二次根式化为最简二次根式，再观察每个最简二次根式的被开方数.若被开方数相同，则称它们为同类二次根式。而与根号外的因式（或因数）
16.1二次根式听课记录
（二）提出问题
1、式子 表示什么意义
2、什么叫做二次根式
3、式子 的意义是什么
4、 的意义是什么
5、如何确定一个二次根式有无意义
（三）自主学习
自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式哪些不是为什么
， ， ， ， ，
2、计算 ：
(1) (2)
（3） （4）
课题
二次根式(1)
授课教师
听课人
听课班级
初二1班
听课时间
2014年6月3日
教学内容
（一）复习引入：
（1）已知x2= a，那么a是x的______;x是a的________,记为______,
a一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；
正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；
1、二次根式的基本性质( )2=a成立的条件是a≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如( )2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=( )2.
2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。
评价建议
1、让学生了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、有效讲述二次根式有意义的条件。
根据计算结果，你能得出结论： ，其中 ,
的意义是。
3、当a为正数时指a的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a必须满足, 才有意义。
（三）合作探究
1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习：
x取何值时，下列各二次根式有意义
二次根式的概念听课手册
第1课时 二次根式的概念
1 (3) 由题意，得 ≥0 且 a－2≠0，所以 a＞2， a－ 2 即当 a＞2 时，式子 (4) 1 在实数范围内有意义． a－ 2
a＋3≥0， 由题意，得 解得－3≤a≤3， 3－a≥0，
即当－3≤a≤3 时，式子 a＋3＋ 3－a在实数范围内有意义．
第1课时 二次根式的概念
目标突破
目标一 能识别二次根式
例 1 教材补充例题 在式子 4， 1.2， －5， x2＋1， a＋1，
y
2
(y>0)， －2x(x<0)， x 和 a －1 中，是二次根式的有( C ) A．3 个 B．4 个 C ．5 个 D．6 个
3
2
2
第1课时 二次根式的概念
[解析]
(3) 被 开 方 数 ( 式 ) 中 的 零 指 数 幂 、 负 整 数 指 数 幂 的 底 数
不等于0 ． __________
第1课时 二次根式的概念
3a－1 当 a 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ a－3 1 解：由题意，得 3a－1≥0，解得 a≥ . 3 1 3a－1 即当 a≥ 时， 在实数范围内有意义． 3 a－3 以上解答错在哪里？并给出正确的解答过程．
第1课时 二次根式的概念
【归纳总结】求含二次根式的式子有意义的条件时的“三注 意”： (1) 要使二次根式有意义 ，必须满足被开方数是一个非负 数．对于单个二次根式或多个二次根式，可以列不等式 (组)，求 得相应的范围； (2)对于复杂的式子(含分式、零指数、负整数指数等)，应该 使它们都有意义； (3)实际问题中除了要使二次根式有意义外，还必须使实际问 题有意义．
－5的被开方数是负数，所以它不是二次根式； a＋1的被开 3
15.1二次根式(1课时)课堂实录
学法
自主探索，合作交流
一、情境引 我们学习了平方根和算数 入 平方根，今天我们在深度 1′ 的研究一下二次根式。 二、展示目 要求学生认真读目标，明 标 确学习任务 2′ 三．新知探 究 数学活动一 5′ 学生有效活动设计 学生再读教材，教师检查 预习 ，2′后学生
回答： 有效反馈评价设计
达标测试 5′
教师巡视，指导差生
2
18 ，
3 10
，
s
, b 3 等式子 ,他们分
别表示某个非负数的算术平 方根.说一说他们的共同特 征.
1
归纳：二次根式： 做练习 3′ 巩固概念理解
数学活动二 新知应用 做练习，观察相关试题， 5-8′ 探索 a 的性质
小组合作
教师巡视，指导潜能生
巩固提升 15′ 总结 2′
巩固 a 的性质 学生思考本节学会了哪些 知识，有什么收获？
八
第 主题 授课人 周
年级
数学
第 1 课时
（学科）课堂实录
总课时第 2 节
教学 目标
重点 难点 教法 内容与时间
主备 人 授课 课 型 时间 1.记住二次根式的概念，会判断一个式子是否是二次根式， 会求二次根式有意义的条件。 2.通过对二次根式概念的探究提高学生的分析、 归纳的能力。 3.通过本节课的学习，感受数学活动充满探索性和创造性。 记住二次根式的概念及识别二次根式，会求二次根式有意义 的条件。 15.1 二次根式 归纳二次根式的概念及二次根式的性质。
教学反思：《二次根式》课堂实录
教学反思：“二次根式”课堂实录在二次根式这个知识点中，学生们常常会遇到根式的加减乘除，以及根式的化简等问题。
虽然这些问题看起来很简单，但是在实际的教学中，老师常常会发现这些问题却是让学生们感到很困难的知识点。
因此，教学反思是每个老师必须要做的事情。
在本次反思的实录中，我将会分享我的教学过程，并且对自己的教学进行反思和总结。
教学内容本次课程的教学内容是“二次根式”这个知识点。
在开始教学之前，我向学生们传达了本次课程的学习目标，并对学生们进行了热身活动。
接下来，我便开始讲授“二次根式”的知识点。
我先是用一些例子来讲解加减乘除根式的规则。
当我讲解到根号下a+b的化简法则时，我将问题进行了拆分：如果a或者b中有一个是平方数，那么化简就很简单了。
但是如果a和b 都不是平方数，学生们就会觉得很难理解。
因此我在讲解之后，还让学生跟我一起做了一些类似的习题。
当我看到一些学生开始有了理解，我便引领学生们开始进行下一步的学习。
接下来，我将讲解到根式的化简方法。
我使用一些简单的例子，如根号下12和根号下18来讲解如何化简。
我告诉学生们化简的目的是使式子更加简洁，更方便计算。
在讲解的过程中，我不断地强调化简的步骤，以使学生能够理清思路，更加容易掌握知识点。
教学实践在实践中，我将学生分成小组，在小组内互相进行讨论，共同解决一些实际问题。
这样做的目的是让学生们通过交流，更好地理解知识点和巩固基础。
一些学生在小组讨论的过程中表现得十分优秀，他们经常会互相辅导，解决一些难题。
但也有一些学生在这个过程中表现得很不以为然，他们专注于自己做题，不和小组其他成员进行交流和讨论，这使得他们的学习水平和进步非常有限。
在教学过程中，我常常会对学生进行点名讨论，以此激励学生积极参与讨论。
我会给学生们留出一定的思考时间，以便更好地掌握教学内容。
学生们都能够在思考的同时，组织自己的语言，更好地表达自己的观点。
总体来说，上课时我偏向于使用白板来进行讲解和写作。
《二次根式的乘除》课堂教学实录
《二次根式的乘除》课堂实录一、教学目标1.经历二次根式乘法法则的形成过程，会进行简单的二次根式的乘法运算.2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的乘法法则.2.难点：二次根式的化简.三、教学过程（一）创设情境，导入新课 师：前面我们学习了二次根式的概念和性质，从本节课开始我们要学习二次根式的乘除（板书课题：21.2二次根式的乘除），这节课我们先学习二次根式的乘法. （二）尝试指导，讲授新课师：a b =，并指准）这是一个二次根式，这也是一个二次根式，这两个二次根式怎么相乘呢？（稍停）还是让我们先来看几个具体的例子.师：49⨯49⨯4等于29等于3（边讲边板书：=2×3）49⨯6（边讲边板书：=6）.师：（板书：49⨯，并指准）49⨯（稍停）49⨯36（边讲边板书：36366（边讲边板书：=6）.师：（指准等式）49⨯6，49⨯6，49⨯49⨯（边49⨯49⨯.师：我们再来看一个例子.师：1625⨯1625⨯.（生计算） 师：你算出的结果是什么？生：20.（多让几名同学回答）师：1625⨯）16等于4，255（边讲边板书：=4×5），162520（边讲边板书：=20）.师：（板书：1625⨯）1625⨯等于什么？大家算一算.（生计算） 师：你算出的结果是什么？ 生：20.（多让几名同学回答） 师：（指准1625⨯）1625⨯等于400（边讲边板书：=400），400等于20（边讲边板书：=20）.师：（指准等式）1625⨯等于20，1625⨯也等于20，所以1625⨯=1625⨯（边讲边板书：1625⨯=1625⨯）.师：（指准等式）49⨯=49⨯，1625⨯=1625⨯，从这两个等式，你能发现什么规律？（让生思考一会儿）师：（板书：23⨯=）根据你发现的规律，23⨯等于什么？生：……（多让几名同学回答）师：（指准23⨯）23⨯等于23⨯，也就是等于6（边讲边板书：6.师：25⨯）25⨯10.10）师：a b =a b 等于什么？ab ab师：a b ab a b ab 乘法法则）.师：a b ab a 是被开方数，所以a 必须大于等于0；因为b 也是被开方数，所以b 也必须大于等于0（边讲边板书：(a ≥0,b ≥0)）.师：下面我们利用二次根式的乘法法则来做几个题目.（师出示例1）例1 计算：(1)35⨯； (2)1273⨯. （以下师边讲解边板书，解题过程如课本第7页所示） （三）试探练习，回授调节 1.计算： (1)67⨯= (2)232⨯= (3)2x y ·1x= (4)15·40= （四）尝试指导，讲授新课师：（板书：15·40=）刚才我们做的这个题目的结果是什么？ 生：8.（生答师板书：8）师：实际上，到这里题目还没有做完，为什么这么说？（稍停）因为8还可以化简.怎么化简？师：我们可以把8写成42⨯（边讲边板书：=42⨯），而42⨯=4×2（边讲边板书：=4×2）.师：（指式子）为什么42⨯=4×2？哪位同学知道？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让一两名学生发表看法）师：（指准式子）我们知道，4×2=42⨯，所以反过来，42⨯424，所以化结果是22.师：8化简的目的是把被开方数中的因数开方后移到根号外，化简时要用到一个等式，这个等式）.师：这个等式反过来得到的.师：下面我们来化简几个二次根式.（师出示例2）例2 化简：（师边讲解板书，(1)(2)小题解题过程如课本第8页所示，(3)小题解题过程如下）（(2)小题教学时，暂时不要说明本章字母都表示正数这个约定，以免使问题复杂化）（五）试探练习，回授调节2.化简：= == == == == =====（六）归纳小结，布置作业 师：本节课我们学习了二次根式的乘法，怎么做二次根式的乘法？（指1405.那个题）首先要运用乘法法则，a b=.ab ，这就是二次根式乘法法则；运用法则后，如果得到的二次根式还可以化简，就要化简二次根式.化简的目的是把像4这样的因数或因式开方后移到根号外.（作业：P 8练习1.2.）四、板书设计21.2二次根式的乘除49⨯=2×3=6 a b .=ab (a ≥0,b ≥0) 例149⨯=36=6 ab =a b .49⨯=49⨯ 23⨯=61625⨯=4×5=20 25⨯=10 例21625⨯=400=20 140=85.1625⨯=1625⨯ =42⨯=42⨯二次根式的乘除（第2课时）一、教学目标1.会进行二次根式的乘法运算.2.培养学生的运算能力.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的乘法运算.2.难点：正确地进行乘法运算.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：二次根式的乘法法则是a b=. (a ≥0，b ≥0)2.计算：(1)37=⨯(2)520=⨯ (3)31a b=ab . 3.化简： (1)1219⨯ (2)196x = == == = (3)50 (4)3216a b c= == == =（二）创设情境，导入新课（师出示下面的板书）ab=.ab ≥0,b ≥0) ab a b .(a ≥0,b ≥0)师：上节课我们学习了二次根式的乘法法则和二次根式的化简.（指准板书）a b=.ab ab a b .，利用用这个等式可以化简二次根式.师：（指准板书）会运用乘法法则，会化简二次根式，就会做二次根式乘法了.为什么这么说？（稍停）因为做二次根式的乘法实际上就是做这两件事，一件事是运用乘法法则，一件事是化简二次根式.师：下面我们来做几个二次根式乘法的题目.（三）尝试指导，讲授新课（师出示例题）例计算：⨯；(2)⨯；⨯（(1)(2)小题第一步运用法则，第二步化简；(3)小题第一步化简，第二步运用法则，第三步化简.教学时，师边讲解边板书，(1)(2)小题的解题过程如课本第11页所示，(3)小题的解题过程如下）⨯⨯=⨯=师：（指例题）我们做了三道二次根式的乘法，从这三道题目，哪位同学会归纳做二次根式乘法的步骤？生：……（让一两名好生归纳）师：（指准(3)小题）做二次根式的乘法，第一步：先看二次根式能不能化简，如果能化简先要化简；第二步：运用二次根式的乘法法则；第三步：再看所得的二次根式能不能化简，如果能化简还要化简.简单地说，就是化简——运用法则——再化简.（四）试探练习，回授调节4.计算：⨯= = = = = = = =(3)⨯⨯⨯= == == == =5.填空：一个矩形的长和宽分别是10cm 和22cm ，则这个矩形的面积为 cm 2.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们做了几道二次根式的乘法，请大家在脑子里想一想，做二次根式乘法的步骤是什么？（让生想一会儿）（作业：P 12习题1.4.5.）四、板书设计乘法法则：a b=.ab (a ≥0,b ≥0) 例化简：ab =ab .(a ≥0,b ≥0)课题：21.2二次根式的乘除（第3课时）一、教学目标1.知道二次根式的除法法则，会运用法则进行简单的二次根式的除法运算.2.会利用商的算术平方根的性质化简二次根式.二、教学重点和难点 1.重点：二次根式的除法法则.2.难点：二次根式的化简.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.计算：(1)3223. (2)510.= == =(3)1840 = = = = = （二）创设情境，导入新课 师：前面我们学习了二次根式的乘法，这节课我们要学习二次根式的除法（板书课题：21.2二次根式的乘除）（三）尝试指导，讲授新课师：谁来说说二次根式的乘法法则？（板书：乘法法则）生：……（让一两名学生回答）师：a b=.ab （边讲边板书：a b=.ab (a ≥0,b ≥0)），这就是二次根式的乘法法则.师：二次根式的除法法则也是类似的（板书：除法法则）.师：（板书：a b =，并指准）你猜想a 除以b 等于什么？（让生思考一会儿再叫学生）生：……（让几名学生发表看法）师：ab =a b （边讲边板书：a b）. 师：（指等式）在这个等式中，a 必须大于等于0，b 必须大于0（边讲边板书：(a ≥0,b ＞0)）.师：（指准板书）这是二次根式的乘法法则，这是二次根式的除法法则，两个法则是类似的，大家仔细看一看，对比对比（生观察对比）.师：下面我们就利用除法法则来做几个题目.（师出示例1）例1 计算：(1)243； (2)31218÷. （师边讲解边板书，解题过程如课本第9页所示）（四）试探练习，回授调节2.计算：(1)182 (2)726= == == =(3)2b b 520a ÷ (4)26a 24a ÷= == == == =（五）尝试指导，讲授新课师：（板书：26a 24a=÷）刚才我们做的这个题目的结果是什么？生：a 4.（生答师板书：a 4） 师：实际上，到这里题目还没有做完，为什么这么说？（稍停）因为a 4还可以化简.怎么化简？师：a 4=a 4（边讲边板书：=a 4）. 师：（指式子）为什么a 4=a 4？哪位同学知道？（让生思考一会儿，再叫学生） 生：……（让一两名学生发表看法）师：（指准式子）我们知道，.（板书：）.师：这样的二次根式还可以化简，化简的目的是把被开方数的分母开方后移到根号外，化简时要用到一个等式，这个等式就）.）它是把这个等式反过师：来得到的.师：下面我们利用这个等式来化简二次根式.（师出示例2）例2 化简：；（师边讲解边板书，解题过程如课本第10页所示）（六）试探练习，回授调节3.化简：= == == =（五）归纳小结，布置作业）这个等式就是二次根师：本节课我们学习了二次根式的除法法则，，利用它可以化简二次根式.式的除法法则，把这个等式反过来，（指等式）（作业：P12习题2.3.）四、板书设计课题：21.2二次根式的乘除（第4课时）一、教学目标1.会利用第二种方法（分母有理化）进行二次根式的除法运算.2.培养运算能力，渗透转化思想.二、教学重点和难点1.重点：利用第二种方法进行二次根式的除法运算.2.难点：两种方法的选择.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1) (a≥0,b≥0)；(2)= (a≥0,b＞0).2.计算：= == == == = (3)3xy6x . (4)51210÷= = = = = = = = （二）创设情境，导入新课 师：（板书：a b=ab(a ≥0,b ＞0)）这是二次根式的除法法则，上节课我们用这个法则做二次根式的除法.实际上，利用法则只是做二次根式除法的第一种方法（板书：第一种方法），做二次根式的除法还有第二种方法（板书：第二种方法）.师：那么，怎么用第二种方法做二次根式的除法呢？ （三）尝试指导，讲授新课 师：（板书：a b=）a 除以b 还可以怎么除？（稍停）我们在分子分母同乘b（边讲边板书：ab b b..），分母成了()2b （边讲边板书：=()2a bb .），结果是ab b（边讲边板书：=abb）. 师：（指准板书）第二种方法是怎么做的呢？（稍停）第二种方法是通过分子分母同乘分母中的那个二次根式，来去掉分母中的根号，从而把二次根式的除法转化为二次根式的乘法.（如有必要可再讲一遍）师：下面我们就用第二种方法来做几个题目. （师出示例题） 例 计算： 353227；82a.（师边讲解边板书，解题过程如课本第10页所示）师：（指例题）做了几道题目，哪位同学能归纳用第二种方法做二次根式除法的步骤？生：……（让一两名好生归纳）师：（指准(2)小题）用第二种方法做二次根式的除法，一般有这么三步，第一步：2727个二次根式，去掉分母中的根号；第三步：做二次根式的乘法.师：按这样的步骤，下面请同学们自己来做几个题目.（四）试探练习，回授调节3.计算：232024xy=（五）尝试指导，讲授新课师：（指准板书）做二次根式的除法有这么两种方法，一种是利用法则来做，一种是去掉分母中的根号，把二次根式的除法转化为乘法来做.可能有同学会问：做题的时候，用哪一种方法做会更简单呢？这要看具体的题目.师：243243（指准式子）被开方数24除以3，商是一个整数，用第一种方法比较简单.师：31218÷31218÷（指准式子）被开方数3 2除以118，商等于27，商也是一个整数，也是用第一种方法比较简单.师：我们再来看这个例题，353除以5，商不是整数，用第二种方法比较简单.同样，（指(2)(3)题）这两个小题也是用第二种方法比较简单.师：总之，两个二次根式相除，如果它们的被开方数的商是整数，一般用第一种方法比较简单；如果商不是整数，一般用第二种方法比较简单.（上面的说法不是绝对的，譬如188÷，被开方数的商不是整数，但用第一种方法比较简单.之所以这样说，只是为了教学上的方便）（以下师出示写有下面式子的卡片，让生判断用哪种方法比较简单）15 6，543，133155÷，4y2xy（六）归纳小结，布置作业师：好了，最后我们把这节课的内容来小结一下.师：（指准板书）做二次根式的除法有两种方法，一种方法是利用法则来做，一种方法是去掉分母中的根号，把二次根式的除法转化为乘法来做.对任何一个二次根式的除法题，两种方法都可以做，但有的题目用第一种方法比较简单，有的题目用第二种方法比较简单.所以，同学们要学会根据题目的特点来选择合适的方法.（作业：P12习题6）课外补充作业4.选择合适的方法计算：156543=133155÷4y2xy四、板书设计第一种方法：例a b =ab(a≥0,b＞0)243，31218÷第二种方法：a b=ab b b..=()2a b b .=ab b课题：21.2二次根式的乘除（第5课时）一、教学目标1.知道什么是最简二次根式，能把所给的二次根式化成最简二次根式.2.培养运算能力，发展数感. 二、教学重点和难点1.重点：最简二次根式.2.难点：最简二次根式的概念. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知 1.计算： 562÷1510=（二）尝试指导，讲授新课师：刚才我们做了两道二次根式的除法，有同学是这样做的，大家看一看他做的对不对.师：（板书：562÷562÷562÷（边讲边板书：562÷2828.师：（板书：1510）第(2)15101510（边讲边板书：1510）3232. 师：这位同学做的如何，你有什么评论？（让生思考一会儿，再叫学生） 生：……（多让几名同学发表看法）师：这位同学利用法则计算，这有没有错？没错.问题出在什么地方？（稍停）问题出在他没有把结果化简.（指准式子）28还可以化简，32也还可以化简. 师：28怎么化简？（稍停）等于47⨯（边讲边板书：=47⨯），等于27（边讲边板书：=27）.师：（指准27）7不能再化简了，它是最简二次根式（板书：最简二次根式）.师：32怎么化简？等于32（边讲边板书：=32），然后分子分母同乘2（边讲边板书：=3222⋅⋅），等于()2322⋅（边讲边板书：=()2322⋅），结果等于62（边讲边板书：=62）. 师：（指准62）6不能再化简了，它也是最简二次根式. 师：（指准式子）28，32还能化简，所以它们不是最简二次根式，而7，6不能再化简了，所以它们是最简二次根式.从这两个例子，请大家想一想，什么样的二次根式是最简二次根式？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准28）我们可以从反面来想，28之所以不是最简二次根式，是因为被开方数28中含有能开得尽方的因数4.可见，最简二次根式首先要满足这样一个条件.（师出示下面的板书）(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 师：（指板书）被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 师：这是一个条件，下面我们来看第二个条件. 师：323232中含有分母.可见，最简二次根式要满足的第二个条件是：（师出示下面的板书）(2)被开方数不含分母.师：（指准板书）被开方数不含分母.师：（指准板书）我们把同时满足这样两个条件的二次根式叫做最简二次根式.师：（指准6）譬如6，被开方数6不含能开得尽方的因数，而且被开方数6不含分母，所以6是最简二次根式.师：下面我们来看一道例题.（师出示例题）例下列二次根式中，哪些不是最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：5，114，23a b，45，10abc，ba，0.4（生让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：114，23a b，45，ba，0.4不是最简二次根式.114=54=54=5223a b=2a3b.=a3b45=95=35ba=ba=b aa a..=ab a0.4=25=25=2555..=105（三）试探练习，回授调节2.下列二次根式中，哪些不是最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：32a b26727xy14120.83.把下列各式化成最简二次根式：(1)1 412=(2)2yxx=（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了最简二次根式，什么是最简二次根式？从字面上讲，最简二次根式就是化得最简的二次根式，换句话说，就是不能再化简的二次根式.这种二次根式有两个特点，（指准板书）第一个特点是，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；第二个特点是，被开方数不含分母.师：知道了什么是最简二次根式，对我们做二次根式的乘法和除法有很大的帮助.有什么帮助？（稍停）它可以帮助我们判断题目有没有做完，如果结果是最简二次根式，说明题目做完了；如果结果不是最简二次根式，说明题目还没有做完，还要继续化简，直到化成最简二次根式为止.（作业：P11练习2.P12习题7.）四、板书设计最简二次根式(1)被开方数中不含… (1)562÷=562÷例=28=47⨯=27(2)被开方数不含分母. (2)1510=1510=32=3222..=()2322.=62。
《二次根式的乘除》课堂实录
《二次根式的乘除》课堂实录一、教学目标1.经历二次根式乘法法则的形成过程，会进行简单的二次根式的乘法运算.2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的乘法法则.2.难点：二次根式的化简.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：前面我们学习了二次根式的概念和性质，从本节课开始我们要学习二次根式的乘除（板书课题：21.2二次根式的乘除），这节课我们先学习二次根式的乘法.（二）尝试指导，讲授新课师：=，并指准）这是一个二次根式，这也是一个二次根式，这两个二次根式怎么相乘呢？（稍停）还是让我们先来看几个具体的例子.师：⨯⨯等于2，3（边讲边板书：=2×3）⨯6（边讲边板书：=6）.师：（边讲边板书：6（边讲边板书：=6）.师：⨯66⨯⨯.师：我们再来看一个例子.师：⨯⨯.（生计算）师：你算出的结果是什么？生：20.（多让几名同学回答）师：⨯45（边讲边板书：=4×5），所20（边讲边板书：=20）.师：等于什么？大家算一算.（生计算）师：你算出的结果是什么？生：20.（多让几名同学回答）师：于20（边讲边板书：=20）.师：（指准等式）⨯等于20，也等于20，所以⨯⨯）.师：⨯⨯，从这两个等式，你能发现什么规律？（让生思考一会儿）师：⨯⨯生：……（多让几名同学回答）师：⨯⨯，也就是等于.师：⨯⨯.）师：=等于什么？师：乘法法则）.师：a是被开方数，所以a必须大于等于0；因为b也是被开方数，所以b也必须大于等于0（边讲边板书：(a≥0,b≥0)）.师：下面我们利用二次根式的乘法法则来做几个题目.（师出示例1）例1 计算：⨯⨯.（以下师边讲解边板书，解题过程如课本第7页所示）（三）试探练习，回授调节1.计算：⨯⨯=（四）尝试指导，讲授新课师：=）刚才我们做的这个题目的结果是什么？师：实际上，到这里题目还没有做完，为什么这么说？（稍停）因为可以化简.怎么化简？师：，×（边讲边板书：.师：儿，再叫学生）生：……（让一两名学生发表看法）师：，所以反过来，.=2，所以化结果是（板书：）.师：（指准式子）从这个例子我们可以看到，简，化简的目的是把被开方数中的因数开方后移到根号外，化简时要用到一个等）.师：把这个等式反过来得到的.师：下面我们来化简几个二次根式.（师出示例2）例2 化简：（师边讲解板书，(1)(2)小题解题过程如课本第8页所示，(3)小题解题过程如下）（(2)小题教学时，暂时不要说明本章字母都表示正数这个约定，以免使问题复杂化）（五）试探练习，回授调节2.化简：= == == == == =====（六）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了二次根式的乘法，怎么做二次根式的乘法？（指那个题）这就是二次根式乘法法则；运用法则后，如果得到的二次根式还可以化简，就要化简二次根式.化简的目的是把像4这样的因数或因式开方后移到根号外.（作业：P 8练习1.2.）四、板书设计二次根式的乘除（第2课时）一、教学目标1.会进行二次根式的乘法运算.2.培养学生的运算能力.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的乘法运算.2.难点：正确地进行乘法运算.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.(a ≥0，b ≥0) 2.计算：⨯⨯3.化简：= == == == == = = =（二）创设情境，导入新课（师出示下面的板书）≥0,b ≥0)(a ≥0,b ≥0)师：上节课我们学习了二次根式的乘法法则和二次根式的化简.（指准板书），利用用这个等式可以化简二次根式.师：（指准板书）会运用乘法法则，会化简二次根式，就会做二次根式乘法了.为什么这么说？（稍停）因为做二次根式的乘法实际上就是做这两件事，一件事是运用乘法法则，一件事是化简二次根式.师：下面我们来做几个二次根式乘法的题目.（三）尝试指导，讲授新课（师出示例题）例计算：⨯(2)⨯；⨯（(1)(2)小题第一步运用法则，第二步化简；(3)小题第一步化简，第二步运用法则，第三步化简.教学时，师边讲解边板书，(1)(2)小题的解题过程如课本第11页所示，(3)小题的解题过程如下）⨯⨯=⨯=师：（指例题）我们做了三道二次根式的乘法，从这三道题目，哪位同学会归纳做二次根式乘法的步骤？生：……（让一两名好生归纳）师：（指准(3)小题）做二次根式的乘法，第一步：先看二次根式能不能化简，如果能化简先要化简；第二步：运用二次根式的乘法法则；第三步：再看所得的二次根式能不能化简，如果能化简还要化简.简单地说，就是化简——运用法则——再化简.（四）试探练习，回授调节4.计算：⨯= = = == == =(3)⨯⨯⨯= == == == == =5.cm和，则这个矩形的面积为cm2.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们做了几道二次根式的乘法，请大家在脑子里想一想，做二次根式乘法的步骤是什么？（让生想一会儿）习题1.4.5.）（作业：P12四、板书设计二次根式的乘除（第3课时）一、教学目标1.知道二次根式的除法法则，会运用法则进行简单的二次根式的除法运算.2.会利用商的算术平方根的性质化简二次根式.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的除法法则.2.难点：二次根式的化简.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.计算：= == == ======（二）创设情境，导入新课师：前面我们学习了二次根式的乘法，这节课我们要学习二次根式的除法（板书课题：21.2二次根式的乘除）（三）尝试指导，讲授新课师：谁来说说二次根式的乘法法则？（板书：乘法法则）生：……（让一两名学生回答）≥0,b≥0)），这就是二次根式的乘法法则.师：二次根式的除法法则也是类似的（板书：除法法则）.=等于什么？（让生思考一会师：儿再叫学生）生：……（让几名学生发表看法）.师：（指准板书）这是二次根式的乘法法则，这是二次根式的除法法则，两个法则是类似的，大家仔细看一看，对比对比（生观察对比）.师：下面我们就利用除法法则来做几个题目.（师出示例1）例1 计算：；÷（四）试探练习，回授调节2.计算：(2)= == =÷÷= == == == =（五）尝试指导，讲授新课师：÷）刚才我们做的这个题目的结果是什么？）可以化简.怎么化简？（边讲边板书：）.师：？哪位同学知道？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让一两名学生发表看法）师：.=2，所以化简结果是2（板书：=2）.师：这样的二次根式还可以化简，化简的目的是把被开方数的分母开方后移到根号外，化简时要用到一个等）.师：反过来得到的.师：下面我们利用这个等式来化简二次根式. （师出示例2） 例2 化简：（师边讲解边板书，解题过程如课本第10页所示） （六）试探练习，回授调节 3.化简：= == == =（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了二次根式的除法法则，，利用它可二次根式的除法法则，把这个等式反过来，以化简二次根式.习题2.3.）（作业：P12四、板书设计课题：二次根式的乘除（第4课时）一、教学目标1.会利用第二种方法（分母有理化）进行二次根式的除法运算.2.培养运算能力，渗透转化思想.二、教学重点和难点1.重点：利用第二种方法进行二次根式的除法运算.2.难点：两种方法的选择.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1) (a≥0,b≥0)；(2)= (a≥0,b＞0).2.计算：= = = = = = = =÷= == == == =（二）创设情境，导入新课师：≥0,b＞0)）这是二次根式的除法法则，上节课我们用这个法则做二次根式的除法.实际上，利用法则只是做二次根式除法的第一种方法（板书：第一种方法），做二次根式的除法还有第二种方法（板书：第二种方法）.师：那么，怎么用第二种方法做二次根式的除法呢？（三）尝试指导，讲授新课师：=还可以怎么除？（稍停）我们在分子分母同），分母成了2（边讲边板书：=()2），结果是b（边讲边板书：=b）.师：（指准板书）第二种方法是怎么做的呢？（稍停）第二种方法是通过分子分母同乘分母中的那个二次根式，来去掉分母中的根号，从而把二次根式的除法转化为二次根式的乘法.（如有必要可再讲一遍）师：下面我们就用第二种方法来做几个题目.（师出示例题）例计算：；；.师：（指例题）做了几道题目，哪位同学能归纳用第二种方法做二次根式除法的步骤？生：……（让一两名好生归纳）师：（指准(2)小题）用第二种方法做二次根式的除法，一般有这么三步，第乘分母中的那个二次根式，去掉分母中的根号；第三步：做二次根式的乘法.师：按这样的步骤，下面请同学们自己来做几个题目.（四）试探练习，回授调节3.计算：==师：（指准板书）做二次根式的除法有这么两种方法，一种是利用法则来做，一种是去掉分母中的根号，把二次根式的除法转化为乘法来做.可能有同学会问：做题的时候，用哪一种方法做会更简单呢？这要看具体的题目.师：（指准式子）被开方数24除以3，商是一个整数，用第一种方法比较简单.师：÷÷（指准式子）被开方数32除以118，商等于27，商也是一个整数，也是用第一种方法比较简单.师：我们再来看这个例题，3除以5，商不是整数，用第二种方法比较简单.同样，（指(2)(3)题）这两个小题也是用第二种方法比较简单.师：总之，两个二次根式相除，如果它们的被开方数的商是整数，一般用第一种方法比较简单；如果商不是整数，一般用第二种方法比较简单.（上面的说法不是绝对的，譬如÷，被开方数的商不是整数，但用第一种方法比较简单.之所以这样说，只是为了教学上的方便）（以下师出示写有下面式子的卡片，让生判断用哪种方法比较简单）÷（六）归纳小结，布置作业师：好了，最后我们把这节课的内容来小结一下.师：（指准板书）做二次根式的除法有两种方法，一种方法是利用法则来做，一种方法是去掉分母中的根号，把二次根式的除法转化为乘法来做.对任何一个二次根式的除法题，两种方法都可以做，但有的题目用第一种方法比较简单，有的题目用第二种方法比较简单.所以，同学们要学会根据题目的特点来选择合适的方法.（作业：P12习题6）课外补充作业4.选择合适的方法计算：=÷四、板书设计=二次根式的乘除（第5课时）一、教学目标1.知道什么是最简二次根式，能把所给的二次根式化成最简二次根式.2.培养运算能力，发展数感. 二、教学重点和难点 1.重点：最简二次根式. 2.难点：最简二次根式的概念. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知 1.计算： ÷=（二）尝试指导，讲授新课师：刚才我们做了两道二次根式的除法，有同学是这样做的，大家看一看他做的对不对.师：（板书：÷÷他怎么做？利用法则，（边讲边板书：.师：（板书：）第(2)题他是这样做的，利用法则，讲边板书：）.师：这位同学做的如何，你有什么评论？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（多让几名同学发表看法）师：这位同学利用法则计算，这有没有错？没错.问题出在什么地方？（稍停）问题出在他没有把结果化简.化简.（稍停）=，等于（边讲边板书：=）.师：（指准不能再化简了，它是最简二次根式（板书：最简二次根式）.，讲边板书：），等于()2⋅=()2⋅），结果等于2（边讲边板书：.师：.师：所以它们不是最简二次根式，所以它们是最简二次根式.从这两个例子，请大家想一想，什么样的二次根式是最简二次根式？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（多让几名同学发表看法）师：因为被开方数28中含有能开得尽方的因数4.可见，最简二次根式首先要满足这样一个条件.（师出示下面的板书）(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；师：（指板书）被开方数不含能开得尽方的因数或因式.师：这是一个条件，下面我们来看第二个条件.师：32中含有分母.可见，最简二次根式要满足的第二个条件是：（师出示下面的板书）(2)被开方数不含分母.师：（指准板书）被开方数不含分母.师：（指准板书）我们把同时满足这样两个条件的二次根式叫做最简二次根式.师：6不含能开得尽方的因数，而且被开方数6.师：下面我们来看一道例题.（师出示例题）例下列二次根式中，哪些不是最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：（生让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）.=2=a=5（三）试探练习，回授调节2.下列二次根式中，哪些不是最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：3.把下列各式化成最简二次根式：(1)=(2)x（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了最简二次根式，什么是最简二次根式？从字面上讲，最简二次根式就是化得最简的二次根式，换句话说，就是不能再化简的二次根式.这种二次根式有两个特点，（指准板书）第一个特点是，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；第二个特点是，被开方数不含分母.师：知道了什么是最简二次根式，对我们做二次根式的乘法和除法有很大的帮助.有什么帮助？（稍停）它可以帮助我们判断题目有没有做完，如果结果是最简二次根式，说明题目做完了；如果结果不是最简二次根式，说明题目还没有做完，还要继续化简，直到化成最简二次根式为止.（作业：P11练习2.P12习题7.）四、板书设计《二次根式的乘除》疑难分析1．二次根式的乘法: 0,0)a b=≥≥，逆用：0,0)a b=≥≥公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，且都满足0,0a b≥≥，其作用是：（1）化简二次根式：一般先将被开方数进行因式分解，再利用(0)a a=≥进行化简；（2）反过来，也可以将根号外的正因数或者正因式平方后移到根号里面去.2. 二次根式的除法0,0)a b=≥≥.0,0)a b=≥≥;利用商的算术平方根的性质可以进行二次根式的计算或者化简.3.最简二次根式具备两个特点:①被开方数不含有分母②被开方数中不含能开方开得尽的因数或者因式.例题选讲例1．下列根式中,不是最简二次根式的是：(A) (C)4解:选(D).评注：由于最简二次根式满足两个条件:. ①被开方数不含有分母②被开方数中不含能开方开得尽的因数或者因式.因而(A)、(B)、(C)都是最简二次根尽管式子中含有分母，但被开4方数中不含有分母，因而它仍然是最简二次根式，对于这类题目，不可仅仅从表面作出结论，应该深入探究其所具有的本质特征.例2.计算: -解:原式=(5)(15)-⨯=-=-评注：三个以上的二次根式相乘,将根号外面的系数与系数相乘,被开方数与被开方数相乘,最后的结果必须是有理数或者是最简二次根式.例3已知长方体的长为,宽为体积为求该长方体的高.解: ==评注：结合几何的有关性质,熟练的进行二次根式的乘除运算,运算的结果必须是最简二次根式.例4:阅读材料:黑白双雄,纵横江湖;双剑合壁,天下无敌.这是武侠小说中的常见描述,其意指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的例子.如2222 +=-==-=,它们的积(223是有理数,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式除法可以这样解:如====+象这样,通过分子、分母同2乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化.解决问题:分母有理化得(1) 4+的有理化因式是 ..(2)计算解：（1）4（2）= 2=2互为有理化因式.。
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3、充分练习了二次根式的基本性质： 和
2．式子 的取值是非负数。
（五）精讲点拨
1、二次根式的基本性质( )2=a成立的条件是a≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如( )2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=( )2.
2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。
评价建议
1、让学生了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
中学数学听课记录
课题
16.1 二次根式(1)
授课教师
听课人
听课班级
初二1班
听课时间
2014年 6月 3日
教学内容
（一）复习引入：
（1）已知x2= a，那么a是x的______;x是a的________,记为______,
a一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；
正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；
式子 的意义是。
（二）提出问题
1、式子 表示什么意义?
2、什么叫做二次根式？
3、式子 的意义是什么？
4、 的意义是什么？
5、如何确定一个二次根式有无意义？
（三）自主学习
自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
x取何值时，下列各二次根式有意义？
① ② ③
2、（1）若 有意义，则a的值为___________．
（2）若在实数范围内有意义，则x为（ ）。
A.正数B.负数C.非负数D.非正数
（四）0)叫做二次根式.
二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。
， ， ， ， ，
2、计算 ：
(1) (2)
（3） （4）
根据计算结果，你能得出结论： ，其中 ,
的意义是。
3、当a为正数时 指a的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式 中，字母a必须满足, 才有意义。
（三）合作探究
1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习：