立体几何-垂直的证明 完整

2
精选ppt
知识回顾：
直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直。
数学语言表示：
图形语言表示：
l a
l b ab
A
l
a
b
判定
线线垂直
线面垂直
3
精选ppt
如图所示，已知长A方 BCD体 A1B1C1D1, 四边形ADD1A1为正方形。
问题1、 长方体8个顶点中任意两点所在直线 中与A1D垂直的直线有哪些？
11
1
A E2 AC 2 C E2 9 OE 2 OC 2 CE 2 3
1
11
1
得AO2 OE 2 A E2
1
1
AO OE 1
6
精选ppt
例 2 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中， PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证：(1)A E ⊥CD； (2)PD⊥平面 ABE.
因为 PA∩AB＝A，所以 MD⊥平面 PAB，
所以 EF⊥平面 PAB.
问题2、 直线A D与直线D B、C A是否垂直？
1
1
1
判定
线线垂直
4
性质
线面垂直
精选ppt
线线垂直的证明方法
公理化方法（几何法）：
1、共面垂直：（1）等腰（等边）三角形中线 （2）勾股定理中的三角形（可求边长） （3）菱形（正方形）对角线 （4）相似或全等证明直角
2、异面垂直： 线面垂直的性质
3、两条平行直线中，其中一条垂直于某直线， 则另一条也垂直于该直线。
BP ⊥ AB，H 为 BD 上一点，且 AH ⊥平面 PBD.
求证：BP⊥平面 ABCD.
证明：因为AH 平面PBD BD 平面PBD 所以AH BP 又BP AB且AH AB A 所以BP 平面ABCD
11
精选ppt
小结：
直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
直线与平面垂直的证明
授课人：卢光明 2017-4-18
1
精选ppt
教学目标:
1．能运用公理化方法证明线线、线面垂直等问题,能熟练运 用线线垂直与线面垂直相互转化。
2. 会用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面的垂 直。
复习指导:
本讲复习让学生会根据空间几何体的结构特征，寻找线 线垂直条件，进而证明线面垂直。找线线垂直时注意是共面 关系，还是异面关系。
3、两条平行直线中，其中一条垂直于某直线， 则另一条也垂直于该直线。
即：若a // b, a c,则b c
13
精选ppt
谢谢各位光临， 望大家提出宝贵
意见！
14
精选ppt
练习3、如图所示，在正四面体 ABCD 中，O为BD中点。 求证：BD 平面AOC
证明：连接AO，CO 因为BC CD,O为BD中点 所以CO BD
则该直线与此平面垂直。
数学语言表示
图形语言表示：
l a
l b ab
A
l
a
b
判定
线线垂直
性质
线面垂直
12
精选ppt
线线垂直的证明方法
公理化方法（几何法）：
1、共面垂直：（1）等腰（等边）三角形中线 （2）勾股定理中的三角形（可求边长） （3）菱形（正方形）对角线 （4）相似或全等证明直角
2、异面垂直：线面垂直的性质(一条直线垂直于一个平面， 则这条直线垂直于该平面内任何一条直线）
又AB AD
所以AO BD AO CO O
所以BD 平面AOC
15
精选ppt
练习 4、如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，AB⊥平面 PAD， AB∥CD，PD＝AD，E 是 PB 的中点，F 是 DC 上的 点, DF＝1AB，PH 为△PAD 中 AD 边上的高． 2
(1)证明：PH⊥平面 ABCD； (2)证明：EF⊥平面 PAB.
7
精选ppt
证明： (1)在四棱锥P ABCD 中 PA 底面ABCD CD 平面ABCD 所以PA CD
又因为AC CD, PA AC A 所以CD 平面PAC 而AE 平面PAC 所以CD AE
8
精选pptห้องสมุดไป่ตู้
(2)因为PA AB BC, ABC 60 所以AC PA 又E是PC中点，所以AE PC 由（1）知，AE CD且PC CD C 所以AE 平面PCD PD 平面PCD 所以AE PD
因为PA 底面ABCD 所以PA AB
又因为AB AD且PA AD A 所以AB 平面PAD 而PD 平面PAD 所以AB PD,又AB AE A 所以PD 平面ABE
9
精选ppt
练习1、如图所示，在四面体 ABCD 中，O为BD中点，
CA CB CD BD 2, AB AD 2 求证：AO 平面BCD
16
精选ppt
证明：(1)因为 AB⊥平面 PAD PH⊂平面 PAD，所以 PH⊥AB. 因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高， 所以 PH⊥AD. 因为 AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面 ABCD， 所以 PH⊥平面 ABCD.
17
精选ppt
(2)取 PA 中点 M，连接 MD，ME，
证明： 连接CO,因为AB AD 2,
O为BD中点,所以AO BD
又BD 2,则OD 1，所以AO 1
因为CB CD 2
所以CO BD,CO 3，AC 2
所以AC 2 AO 2 OC 2
AOC为直角三角形，AO OC
BD CO O
所以AO 平面BCD
10
精选ppt
练习 2、 如图所示，ABCD 是边长为 a 的正方形，
即：若a // b, a c,则b c
5
精选ppt
例 1、如图所示，正方体 ABCD­A1B1C1D1 的棱长为 2, O 为底面 ABCD 的中心，E 为 C1C 中点，求证：A1O OE
证明： AO
2, A A 2 1
A A2 AO 2 AO2
1
1
AO2 6 1
又AC 2 2,C E 1, EC 1,OC 2
因为 E 是 PB 的中点，
所以 ME//AB 且 ME=12AB，
又因为 DF//AB 且 DF=1AB， 2
所以 ME//DF 且 ME=DF， 所以四边形 MEFD 是平行四边形，
所以 EF∥MD.
因为 PD＝AD，M 为 AP 中点，所以 MD⊥PA.
因为 AB⊥平面 PAD，所以 MD⊥AB.