《高等数学B》(二)模拟试卷(12)2

《高等数学B 》（二）模拟试卷（12）
一、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
1. 已知三角形的三个顶点分别为),0,1,1(-A ),1,0,2(B ),0,3,1(-C 求该三角形的面积 。

2.求直线4
951135
--=+=+z y x 与球面49)5()1()2(222=++-++z y x 的交点。

二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
1. 设v u z ln 2=，xy v y x u =+=,，求y
z x z ∂∂∂∂,.
2. 设x e
u y x sin +=，求y x u x u ∂∂∂∂∂222,.
三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
1. 计算
σd e x D y ⎰⎰2，其中D 是矩形区域 1,1≤≤y x .
2. 计算二重积分
⎰⎰D xdxdy ，其中区域D 是由422≤+y x ，0≥x ，0≥y 所确定的平面
区域.
四、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
1. 解微分方程
)(2y x e dx dy +=.
2. 求差分方程06512=+-++x x x y y y 的通解.
五、(9分)设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、B 的数量y x ,间有关系式y x y x p 2005.0),(=，欲用300元购料，已知A 、B 原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少，可使生产数量最多？
六、(9分) 证明级数
∑∞=+1)
1(1sin n n n 收敛.
七、(9分)求微分方程25x y y -=-''的通解.
八、(9分) 把函数2)(x xe x f -=展开成x 的幂级数.
《高等数学B 》（二）模拟试卷（12）解答
一、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
1. 已知三角形的三个顶点分别为),0,1,1(-A ),1,0,2(B )0,3,1(-C .求该三角形的面积. 解 }1,1,1{=,}0,4,2{-=，因此 (2)
4211121-==∆k j i S ABC
145621==. …….……….…2+2+2 2. 求直线4
951135--=+=+z y x 与球面49)5()1()2(222=++-++z y x 的交点.
解 把直线的参数方程 ⎪⎩
⎪⎨⎧+-=-=-=9411
55
3t z t y t x ………3 代入球面方程得
21=t ，32=t .故得交点为 )1,1,1(1-M ，)3,4,4(2-M . .. 5
二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
1. 设v u z ln 2=，xy v y x u =+=,，求y
z x z ∂∂∂∂,. 解 x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y v
u v u ⋅+=2ln 2x y x xy y x 2)(ln )(2+++= (4)
y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂x v u v u ⋅+=2ln 2y
y x xy y x 2)(ln )(2+++= . (4)
2. 设x e u y x sin +=，求y
x u x u ∂∂∂∂∂222,； 解 x e x e x u y x y x cos sin +++=∂∂，x e x
u y x cos 222+=∂∂ …….2+3 =∂∂∂y
x u 2x e x e y x y x cos sin +++ (3)
三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
1. 计算σd e x D y
⎰⎰2，其中D 是矩形区域 1,1≤≤y x .
解 原式⎰⎰--=11112dx x dy e y ])1(1[31)(331
1--⋅-=-e e )1(32e e -=. ………4+2+2
2. 计算二重积分
⎰⎰D xdxdy ，其中区域D 是由422≤+y x ，0≥x ，0≥y 所确定的平面区域.
解 ⎰⎰⎰⎰-=24020x D xdy dx xdxdy 384202
=-=⎰dx x x .……4+2+2
四、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
1. 解微分方程
)(2y x e dx
dy +=. 解 原方程可化为 dx e dy e x y 22=- …………3 两边积分得
⎰⎰=-dx e dy e x y 22…………2 解得
C e e x y =+-22 (C 为任意常数). (3)
2. 求差分方程06512=+-++x x x y y y 的通解.
解 特征方程为 0652=+-λλ 解得 3,221==λλ…………..2+3
所以该方程的通解为 x x C C y 3221+= (1C ,2C 为任意常数). (3)
五、(9分)设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、B 的数量y x ,间有关系式y x y x p 2005.0),(=，欲用300元购料，已知A 、B 原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少，可使生产数量最多？
解 依题意得 3002=+y x (1)
则拉格朗日函数为 )3002(005.0),(2-++=y x y x y x F λ (3)
(3)
解得 50,200==y x .
答：购进两种原料50,200==y x ，可使生产数量最多. (2)
六、(9分)证明级数∑∞=+1)1(1sin n n n ⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=
+='=+='0
300202005.00
01.02y x F x F xy F y x λλλ收敛.
证明 因为 )1(1sin +n n )
1(1+≤n n ， (4)
又 ∑∞=+1)
1(1n n n 收敛，所以由比较法可知该级数收敛. 证毕…….…..3+2
七、(9分) 求微分方程25x y y -=-''的通解.
解 对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y 21+=- (3)
设原方程的一个特解为
c bx ax y ++=*2， 代入得 225)(2x c bx ax a -=++-，解得 5=a ，0=b ，10=c ，
所以原方程的一个特解为
1052+=*x y . ……….…….…3 故所给方程的通解为
x x e C e C y Y y 21+=+=-*1052++x (1C ，2C 为任意常数). (3)
八、(9分)把函数2
)(x xe x f -=展开成x 的幂级数. 解 +++++=!!212n x x x e n x ，),(∞+-∞∈x (3)
+++++=∴!!212422n x x x e n x ，),(∞+-∞∈x (3)
因此 2)(x xe x f -= ------=+!!21253n x x x x n ，),(∞+-∞∈x . (3)。