高等代数.第六章.线性空间.课堂笔记

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P245 P245
二、用定义证明线性空间: 例 1.用ℝ+ 表示全体正实数的集合,证明ℝ+ 关于下面定义的加法与数乘运算构成ℝ的线性空间. ������ ⊕ ������ = ������������, ∀������, ������ ∈ V; ������°������ = ������������ , ∀������ ∈ ℝ, ∀������ ∈ ℝ+ . 证:∀������, ������ ∈ ℝ+ , ������ ∈ ℝ有������°������ = ������������ , ������ ⊕ ������ = ������������ ∈ ℝ+ ,因此所定义的加法⊕、数乘°满足线性空间定义. ∀������, ������ ∈ ℝ+ , ������ ⊕ ������ = ������������ = ������������ = ������ ⊕ ������, ∀������ ∈ ℝ+ , ( ������ ⊕ ������) ⊕ ������ = (������������) ⊕ ������ = ������������������, ∃������ = 1 ∈ ℝ+ , ∀������ ∈ ℝ+ , ������ ⊕ 1 = ������ ∙ 1 = ������, ∀������ ∈ ℝ+ , ∃������的负元素 ,有������ ⊕ = ������ ∙ = 1,
第2页
高等代数
课堂笔记
第六章
§6.3 维数·基与坐标
������ 线性空间 ������, ������, ������ 两种运算:加法、数乘 ������ 的元素运算 一、线性空间的向量之间的线性关系: 1.线性组合和线性表出: (1)α1 , α2 , … , α������ ∈ ������, ������1 , ������2 , … , ������������ ∈ ������, 则������1 ������1 + ������2 ������2 + ⋯ + ������������ ������������ 称为向量组α1 , α2 , … , α������ 的线性 组合; (2) ������ = ������1 ������1 + ������2 ������2 + ⋯ + ������������ ������������ ,称������可由向量组α1 , α2 , … , α������ 线性表出. 2.向量组的线性: 向量组������1 , ������2 , … , ������������ ,可由向量组表出和等价: ������������ 可由向量组α1 , α2 , … , α������ 线性标出⇒ 向量组������1 , ������2 , … , ������������ ,可由向量组α1 , α2 , … , α������ 线性表出; 向量组等价:可以相互线性表出. 3.线性相关性: (1) α1 , α2 , … , α������ ∈ ������ ,存在一组不全为 0 的数������1 , ������2 , … , ������������ ∈ ������,使������1 ������1 + ������2 ������2 + ⋯ + ������������ ������������ = 0, 则称向量组α1 , α2 , … , α������ 线性相关; (2)否则称向量组α1 , α2 , … , α������ 线性无关. 由������1 ������1 + ������2 ������2 + ⋯ + ������������ ������������ = 0 ⇒ ������1 = ������2 = ⋯ = ������������ = 0. 4.常用的一些结论: (1) α线性相关⟺ α = 0; 无关⟺ α ≠ 0. (2) α1 , α2 , … , α������ 线性相关⟺ ∃α������ 可由其余向量线性表出; (3) α ⏟ 1 , α2 , … , α������ 可由α1 , α2 , … , α������ 线性表示⇒ ������ ≤ ������
线性相关
α1 , α2 , … , α������ 线性无关 *.������ = ������ ⇐ { ������1 , ������2 , … , ������������ 线性无关 向量组等价 (4)向量组α1 , α2 , … , α������ 线性无关,α1 , α2 , … , α������ , ������线性相关,则������可由α1 , α2 , … , α������ 线性表出. 二、线性空间的维数、基与坐标: 1.维数: 定义 5 ①如果在线性空间������ 中有n个线性无关的向量,但任意n + 1个向量线性相关,定义������ 是一 个n维线性空间,记������������ ������(V) = ������. ②无限维线性空间; ③零空间维数为 0. 2.基与坐标: 定义 6 ①基:线性空间������ ,������������ ������(V) = ������,n个线性无关的向量组������1 , ������2 , … , ������������ 称为������ 的一组基; ②坐标:设������1 , ������2 , … , ������������ 称为������ 的一组基,α ∈ V, 若α = ������1 ������1 + ������2 ������2 + ⋯ + ������������ ������������ ,������1 , ������2 , … , ������������ ∈ ������,则数组������1 , ������2 , … , ������������ 就称为α在 基������1 , ������2 , … , ������������ 下的坐标,记为:(������1 , ������2 , … , ������������ ).
������ ������ ������ 1 1 1
∀������, ������ ∈ ℝ+ , ������, ������ ∈ ℝ, (������������)°������ = ������������������ = (������������ )������ = ������°������������ = ������°(������°������), 有1°������ = ������1 = ������, (������ + ������)°������ = ������������+������ = ������������ ∙ ������������ = (������°������) ⊕ (������°������), ������°(������ ⊕ ������) = ������°(������������) = (������������)������ = ������������ ∙ ������ ������ = (������°������) ⊕ (������°������), 综上,ℝ+ 关于所定义的加法和数乘,构成ℝ的线性空间 例 2.设V为实数域ℝ上所有������ × ������可逆矩阵的集合. 定义:A ⊕ B = AB, ∀A, B ∈ V, ������°A = A������ , ∀A ∈ V, ������ ∈ ℝ. 解:因为矩阵乘法不满足交换律,因而A ⊕ B = AB ≠ AB = B ⊕ A, 据线性空间定义,V对于所定义的运算不构成ℝ上的线性空间. 习题:Ex.3/(5).(6) 三、常用线性空间: P ������ 为P上的线性空间; P ������×������ 为P上的线性空间; P,������-为P上的线性空间;(P244) C,������,������- 为ℝ上的线性空间. 2011-03-10
映射分类:单射、满射、双射. 2011-03-07
§6.2 线性空间定义
补例 1 数域P上的n维列向量全体P ������ ,在第三章中我们定义了两种运算: (1). P ������ 中向量的加法,满足运算律: ①������ + ������ = ������ + ������; ②������ + ������ + ������ = (������ + ������) + ������ = ������ + (������ + ������); ③∃0 ∈ P ������ , ������. ������. ∀������ ∈ P ������ 有������ + 0 = 0 + ������ = ������; ④∀������ ∈ P ������ , ∃������, ������. ������. ������ + ������ = ������ + ������ = 0,称������为������的负向量,记作:−������. (2). P中数������ 与P ������ 中向量的数乘,满足四条运算律: ①������(������ + ������) = ������������ + ������������; ②(������ + ������)������ = ������������ + ������������ ; ③(������ ∙ ������)������ = ������ ∙ (������ ∙ ������); ④1 ∙ ������ = ������. 补例 2 用P ������×������ 表示数域P上所有������ × ������的矩阵集合,在第四章中我们定义了两种运算: (1). P ������×������ 中矩阵加法,满足类似于P ������ 中向量加法的四条性质; (2). P中数与P ������×������ 中矩阵的数乘,满足类似于上面的四条性质. 用P,������-表示数域P上一元多项式的集合,在第一章中我们定义了两种运算: (1). P,������-中多项式加法,满足上述四条运算律; (2). P中的数与P,������-中矩阵的数乘,含四条性质. 用C,������,������- 表示闭区间,������, ������-上所有连续函数的集合,分析中我们定义了两种运算: (1).C,������,������- 中函数加法,满足类似于P ������ 中向量加法的四条性质; (2). ℝ中实数与C,������,������- 中函数满足类似于上面的四条性质.
高等代数
课堂笔记
第六章
第六章 线性空间 §6.1 集合与映射
集合:用A, B, …表示,刻划。 映射: S→ℝ S → ������ S→S 运算:
������ ������ ������
函数 映射,∀������ ∈ S, ������(������) = ������ ∈ T. 变换
A ∪ B = {������|������ ∈ A 或������ ∈ B} A ∩ B = {������|������ ∈ A 且������ ∈ B} ������: A → B, ������: B → C, ������ ∙ ������: A → C. ������ *. ������ ↦ ������
第1页
补例 3
补例 4
高等代数
课堂笔记
第六章
上述四个补例共性:是它们都具有三个要素: (1)有两个非空集合:一个是数域P,一个是抽象的集合V; (2)有两种运算: VXV → V (加法) PV → V (数乘) (3)满足 8 条运算律. 一、线性空间的定义及简单性质: 定义 1 (P243 定义 1) 线性空间元素称为向量. 性质 1 性质 2 性质 3 性质 4 零元素是唯一的; P244 负元素是唯一的; P245 0 ∙ ������ = ������, ������ ∙ ������ = ������, (−1)������ = −������; 若������ ∙ ������ = ������,则������ = 0或������ = ������.
相关文档
最新文档