第五章大考点一综合应用提升训练
【高中数学】新教材新高中数学选择性必修二_ 第五章 一元函数的导数及其应用5.1_5.3综合拔高练
5.1~5.3综合拔高练五年高考练考点1导数的运算法则及其几何意义1.(2019课标全国Ⅲ,6,5分,)已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-12.(2019课标全国Ⅰ,13,5分,)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.3.(2019江苏,11,5分,)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x 上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.4.(2020北京,15,5分,)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水的大小评价在[a,b]这段排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.深度解析考点2函数的导数与单调性5.(2018课标全国Ⅲ,7,5分,)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()6.(2019北京,13,5分,)设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是.7.(2020课标全国Ⅰ文,20,12分,)已知函数f(x)=e x-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.深度解析8.(2019课标全国Ⅱ,20,12分,)已知函数f(x)=ln x-x+1x -1.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x 0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x 在点A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线y=e x 的切线.考点3 函数的导数与极值、最大(小)值 9.(2019天津,8,5分,)已知a ∈R.设函数f(x)={x 2-2ax +2a,x ≤1,x -alnx,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为( ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 10.(2017课标全国Ⅱ,11,5分,)若x=-2是函数f(x)=(x 2+ax-1)e x -1的极值点,则f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e -3 C.5e -3 D.111.(2018江苏,11,5分,)若函数f(x)=2x 3-ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 . 12.(2018课标全国Ⅰ,16,5分,)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 .13.(2017课标全国Ⅰ,16,5分,)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.14.(2019课标全国Ⅲ,20,12分,)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.15.(2020课标全国Ⅲ理,21,12分,)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点(12, f(12))处的切线与y轴垂直.(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.16.(2020新高考Ⅰ,21,12分,)已知函数f(x)=ae x-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.深度解析17.(2019北京,19,13分,)已知函数f(x)=1x3-x2+x.4(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x;(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.三年模拟练应用实践1.(2020重庆九校联盟高二上期末联考,)设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的图象的一部分如图所示,则下列说法正确的是(易错)A.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)B.f(x)的极大值为f(√3),极小值为f(-√3)C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)D.f(x)的极大值为f(-√3),极小值为f(√3) 2.(2020江西南昌二中高二上期末,)若函数f(x)=x 2-1与函数g(x)=alnx-1的图象存在公切线,则正实数a 的取值范围是( ) A.(0,e) B.(0,e]C.(0,2e) D.(0,2e] 3.(2020福建福州高三上期末质量检测,)已知函数f(x)=x 2+2ax,g(x)=-1x,若存在点A(x 1,f(x 1)),B(x 2,g(x 2)),使得直线AB 与两曲线y=f(x)和y=g(x)都相切,则当实数a 取最小值时,x 1+x 2=( ) A.2√23B.3√232C.√23D.-3√2344.(多选)(2020山东临沂高三上期末,)已知函数f(x)=x+sin x-xcos x的定义域为[-2π,2π),则( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)在[0,π)上单调递增 C.f(x)恰有4个极大值点 D.f(x)有且仅有4个极值点 5.(2020辽宁大连高三上双基测试,)若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1<x 2)是函数f(x)={-e x +1,x ≤1,lnx,x >1图象上的任意两点,且函数f(x)的图象在点A 和点B 处的切线互相垂直,则下列结论正确的是( ) A.x 1<0 B.0<x 1<1C.x2x 1的最大值为e D.x 1x 2的最大值为e6.(2020北京海淀高三上期末,)已知函数f(x)=x+ax在区间(1,4)上存在最小值,则实数a 的取值范围是 .7.(2020山东烟台高三上期末,)设点P是曲线y=e x+x2上任意一点,则点P到直线x-y-1=0的最小距离为.8.(2020河南开封五县联考高二上期末,)已知函数f(x)={2x,x≥2,(x-1)3,x<2,令g(x)=f(x)-kx+1,若函数g(x)有四个零点,则实数k 的取值范围为.9.(2020北京东城高三上期末,)已知函数f(x)=13x3-x2+3ax(a∈R).(1)若f(x)在x=-1时有极值,求a的值;(2)在直线x=1上是否存在点P,使得过点P至少有两条直线与曲线y=f(x)相切?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.10.(2020江西上饶高二中、高三上第三次段考,)已知函数f(x)=xln x-2ax2+x,a∈R.(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2,证明:x1+x2>12a.迁移创新11.(2020浙江嘉兴高三上期末,)已知函数f(x)=aln x+bx+c(a≠0)有极小值.(1)试判断a,b的符号,求f(x)的极小值点;(2)设f(x)的极小值为m,求证:m+a<4ac-b 24a.深度解析答案全解全析五年高考练1.D∵y'=ae x+ln x+1,∴y'x=1=ae+1,∴2=ae+1,∴a=e-1,∴切点坐标为(1,1).将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b,∴b=-1,故选D.2.答案y=3x解析∵y'=3(x2+3x+1)e x,∴曲线在点(0,0)处的切线的斜率k=y'x=0=3,∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x.3.答案(e,1)解析设A(x0,y0),由y'=1x ,得该点处的切线斜率k=1x0,∴在点A处的切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0).∵切线经过点(-e,-1),∴-1-ln x0=1x0(-e-x0),∴ln x0=ex0,令g(x)=ln x-ex(x>0),则g'(x)=1x +ex2,则g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上为增函数.又g(e)=0,∴ln x=ex有唯一解x=e.∴x0=e,∴点A的坐标为(e,1).4.答案①②③解析 设y=-f(b)-f(a)b -a,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t 1,t 2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为-f(t 2)-f(t 1)t 2-t 1,由题图易知y 甲>y 乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以①对;由题图可知,在t=t 2处,甲、乙的切线斜率满足k 甲<k 乙<0,所以-k 甲>-k 乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以②对;在t 3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以③对; 由计算式-f(b)-f(a)b -a可知,甲企业在[0,t 1]这段时间内污水治理能力最弱,所以④错.解后反思 本题以环保部门要求相关企业加强污水处理,排放未达标的企业要限期整改这个情境为载体,贴近生活,要求考生能够在短时间内审清题意,理清解决问题的思路,建立适当的数学模型来解决问题,体现试题的教育价值.通过企业污水治理能力的强弱的计算式,考查学生的抽象概括、直观想象、分析和解决具有实际意义问题的能力,同时考查了数形结合的思想.正确理解题目所给的信息,并把信息翻译成数学问题是解决本题的第一个关键;理解一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式,并把这个计算式与函数图象在某点处切线的斜率联系起来是正确解决本题的第二个关键.5.D y'=-4x 3+2x=-2x(√√x+1),当x>0时,函数y=-x 4+x 2+2在(0,√22)上单调递增,在(√22,+∞)上单调递减.又函数y=-x 4+x 2+2为偶函数,所以D 选项符合题意.故选D.6.答案 -1;(-∞,0]解析 因为f(x)为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,所以e 0+a e -0=0,解得a=-1.因为f(x)在R 上为增函数,所以f'(x)=e x -aex ≥0在R上恒成立,即a ≤e 2x 在R 上恒成立,又因为e 2x >0,所以a ≤0,即a 的取值范围为(-∞,0].7.解析 (1)当a=1时, f(x)=e x -x-2,则f'(x)=e x -1. 当x<0时, f'(x)<0;当x>0时, f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)f'(x)=e x -a.当a ≤0时, f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增, 故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x ∈(-∞,ln a)时, f'(x)<0;当x ∈(ln a,+∞)时, f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,故当x=ln a 时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).(i)若0<a ≤1e ,则f(ln a)≥0, f(x)在(-∞,+∞)至多存在1个零点,不合题意.(ii)若a>1e,则f(ln a)<0.由于f(-2)=e -2>0,所以f(x)在(-∞,ln a)存在唯一零点. 由(1)知,当x>2时,e x -x-2>0,所以当x>4且x>2ln(2a)时,f(x)=e x2·e x 2-a(x+2)>e ln(2a)·(x2+2)-a(x+2)=2a>0.故f(x)在(ln a,+∞)存在唯一零点.从而f(x)在(-∞,+∞)有两个零点. 综上,a 的取值范围是(1e ,+∞).方法总结 已知函数的零点求参数的取值范围(1)利用函数零点存在定理构建不等式(组)求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式(组)求解.(4)利用导数研究函数的图象和性质,由函数零点的个数,判断函数的极值大于零还是小于零,从而建立关于参数的不等式(组)求解.8.解析(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).因为f'(x)=1x +2(x-1)2>0,所以f(x)在(0,1),(1,+∞)上单调递增.因为f(e)=1-e+1e-1<0,f(e2)=2-e2+1e2-1=e2-3e2-1>0,所以f(x)在(1,+∞)上有唯一零点x1,即f(x1)=0.又0<1x1<1,f(1x1)=-ln x1+x1+1x1-1=-f(x1)=0,故f(x)在(0,1)上有唯一零点1x1.综上,f(x)有且仅有两个零点.(2)证明:因为1x0=e-ln x0,所以点B(-ln x0,1x0)在曲线y=e x上.由题设知f(x0)=0,即ln x0=x0+1x0-1,故直线AB的斜率k=1x0-ln x0-ln x0-x0=1x0-x0+1x0-1-x0+1x0-1-x0=1x0.曲线y=e x在点B(-ln x0,1x0)处切线的斜率是1x0,曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处切线的斜率也是1x0,所以曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=e x的切线. 9.C由题中选项可知a≥0.当0≤a≤1时,若x≤1,则f(x)=(x-a)2+2a-a2,可知f(x)min=f(a)=2a-a2,因为f(x)≥0恒成立,所以{f(x)min=2a-a2≥0,0≤a≤1,解得0≤a≤1;若x>1,则f(x)=x-aln x,f'(x)=1-ax,因为0≤a≤1,x>1,所以f'(x)=1-ax>0,所以f(x)=x-aln x在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)>1-aln1=1>0.所以当0≤a≤1时,f(x)≥0在R上恒成立.当a>1时,若x≤1,则f(x)=(x-a)2+2a-a2在(-∞,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=1>0.若x>1,则f(x)=x-aln x,f'(x)=1-ax,令f'(x)=0,得x=a.当x∈(1,a)时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,a)上单调递减;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(a,+∞)上单调递增.所以当x>1时,f(x)min=f(a)=a-aln a,若f(x)≥0恒成立,则f(x)min=a-aln a≥0,即ln a≤1,解得1<a≤e.综上可知,若f(x)≥0在R上恒成立,则0≤a≤e.故选C.10.A f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]e x-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f'(-2)=0,所以4-2(a+2)+a-1=0,解得a=-1,此时f'(x)=(x2+x-2)e x-1.由f'(x)=0,解得x=-2或x=1,且当-2<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,故x=1为f(x)的极小值点,所以f(x)的极小值为f(1)=-1.11.答案-3解析由题意得,f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).当a≤0时,对任意x∈(0,+∞), f'(x)>0,则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(x)>f(0)=1,则f(x)在(0,+∞)上没有零点,不满足题意,舍去.当a>0时,令f'(x)=0及x>0,得x=a3,则当x∈(0,a3)时,f'(x)<0,当x∈a3,+∞时,f'(x)>0,因此函数f(x)的单调递减区间是(0,a3),单调递增区间是(a3,+∞),在x=a3处f(x)取得极小值f(a3)=-a327+1.而函数f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,所以f(a3)=-a327+1=0,解得a=3,因此f(x)=2x3-3x2+1,则f'(x)=2x(3x-3).令f'(x)=0,结合x∈[-1,1],得x=0或x=1.而当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,所以f(x)max=f(0)=1.又f(-1)=-4,f(1)=0,所以f(x)min=-4,故f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.12.答案-3√32解析因为f(x+2π)=2sin(x+2π)+sin(2x+4π)=f(x),所以2π是函数f(x)的一个周期,不妨取区间[0,2π]进行分析.f'(x)=2cos x+2cos2x=4cos2x+2cos x-2,令f'(x)=0,解得cos x=12或cos x=-1.当x在[0,2π]上变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x0,π3π3π3,πππ,5π35π35π3,2πf'(x)+0-0-0+f(x)↗极大值↘↘极小值↗可知函数f(x)在[0,2π]上的极小值即为函数f(x)在定义域上的最小值,所以f(x)min=f(5π3)=2sin5π3+sin10π3=-3√32.13.答案4√解析设△ABC的边长为a cm,0<a<5√3,则三个等腰三角形的高为(5−√36a)cm,折起后所得正三棱锥的高为√(5−√36a)2-(√36a)2=√25−5√33a(cm),所以所得三棱锥的体积为13×√34a 2×√25−5√33a =√312√25a 4-5√33a 5(cm 3).令u=25a 4-5√33a 5,则u'=100a 3-25√33a 4=25a 3(4−√33a),其中0<a<5√3,当0<a<4√3时,u'>0,当4√3<a<5√3时,u'<0,故a=4√3是u=25a 4-5√33a 5在定义域内唯一的极大值点,也是最大值点,所以当a=4√3时,三棱锥的体积最大,最大值为13×√34×(4√3)2×√25−5√33×4√3=4√3×√5=4√15(cm 3).14.解析 (1)由题可知函数f(x)的定义域为R. f'(x)=6x 2-2ax=2x(3x-a). 令f'(x)=0,得x=0或x=a3.若a>0,则当x ∈(-∞,0)∪a 3,+∞时, f'(x)>0;当x ∈(0,a3)时, f'(x)<0.故f(x)在(-∞,0),(a3,+∞)上单调递增,在(0,a3)上单调递减.若a=0,则f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a<0,则当x ∈(-∞,a3)∪(0,+∞)时, f'(x)>0;当x ∈(a3,0)时, f'(x)<0.故f(x)在(-∞,a3),(0,+∞)上单调递增,在(a3,0)上单调递减.(2)满足题设条件的a,b 存在.(i)当a ≤0时,由(1)知, f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1时满足题意.(ii)当a ≥3时,由(1)知, f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1时满足题意.(iii)当0<a<3时,由(1)知, f(x)在[0,1]上的最小值为f (a3)=-a 327+b,最大值为b 或2-a+b.若-a 327+b=-1,b=1,则a=3√23,与0<a<3矛盾;若-a 327+b=-1,2-a+b=1,则a=3√3或a=-3√3或a=0,与0<a<3矛盾. 综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时, f(x)在[0,1]上的最小值为-1且最大值为1.15.解析 (1)f'(x)=3x 2+b. 依题意得f'(12)=0,即34+b=0.故b=-34.(2)由(1)知f(x)=x 3-34x+c, f'(x)=3x 2-34.令f'(x)=0,解得x=-12或x=12.f'(x)与f(x)的情况为:x -∞,-12-12-12,1212 12+∞ f'(x) + 0 - 0 +f(x)↗c+14↘ c-14↗因为f(1)=f (-12)=c+14,所以当c<-14时, f(x)只有大于1的零点.因为f(-1)=f (12)=c-14,所以当c>14时, f(x)只有小于-1的零点. 由题设可知-14≤c ≤14.当c=-14时, f(x)只有两个零点-12和1.当c=14时, f(x)只有两个零点-1和12.当-14<c<14时, f(x)有三个零点x 1,x 2,x 3,且x 1∈(-1,-12),x 2∈(-12,12),x 3∈(12,1).综上,若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.16.解析 f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=ae x-1-1x .(1)当a=e 时, f(x)=e x -ln x+1,则f(1)=e+1, f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)·(x-1),即y=(e-1)x+2. 直线y=(e-1)x+2在x 轴,y 轴上的截距分别为-2e -1,2.因此所求三角形的面积为2e -1.(2)当0<a<1时, f(1)=a+ln a<1.当a=1时, f(x)=e x-1-ln x, f'(x)=e x-1-1x .当x ∈(0,1)时,f'(x)<0;当x ∈(1,+∞)时, f'(x)>0.所以当x=1时, f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.当a>1时, f(x)=ae x-1-ln x+ln a ≥e x-1-ln x ≥1. 综上,a 的取值范围是[1,+∞).名师点评 本题第(2)问中,由不等式成立求参数的取值范围,常规解法是分离参数转化为求函数的最值问题,而本题中参数分布范围较广,无法分离,所以要对参数进行分类讨论,怎样分类是本题的一个难点,特别是当a>1时,证明f(x)≥1需要用到a=1时的结论,思路很窄,技巧性较强.17.解析 (1)由f(x)=14x 3-x 2+x,得f'(x)=34x 2-2x+1.令f'(x)=1,即34x 2-2x+1=1,得x=0或x=83.又f(0)=0, f (83)=827,所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x 与y-827=x-83,即y=x 与y=x-6427.(2)证明:令g(x)=f(x)-x,x ∈[-2,4].则g(x)=14x 3-x 2,g'(x)=34x 2-2x.令g'(x)=0,得x=0或x=83.当x 变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x -2 (-2,0) 0 (0,83) 83 (83,4) 4 g'(x) + 0 - 0 + g(x)-6↗↘-6427↗所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.故-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x. (3)由(2)知,当a<-3时,M(a)≥F(0)=|g(0)-a|=-a>3;当a>-3时,M(a)≥F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3;当a=-3时,M(a)=3. 综上,当M(a)最小时,a=-3.三年模拟练应用实践1.A 结合题中图象列表如下:x (-∞,-3) -3 (-3,0) 0 (0,3) 3 (3,+∞) xf'(x) + 0 - 0 + 0 - f'(x) - 0 + + 0 - f(x)↘极小值↗↗极大值↘由表知,A 正确,故选A.易错警示f'(x)与f(x)的图象可以相互转化,在转化的过程中,导函数看正负,原函数看增减;区间端点值在解题时要单独判断,如f'(0)的值不能确定,解题时要防止漏判导致错误.2.D设公切线在f(x)上的切点为P(x1,x12-1),在g(x)上的切点为Q(x2,aln x2-1).∵f'(x)=2x,g'(x)=ax,∴k PQ=2x1=ax2=aln x2-x12x2-x1.∴2x1x2=a,①2x1x2-2x12=aln x2-x12,即a-a 24x22=aln x2,∴a=4x22-4x22ln x2.令h(x)=4x2-4x2ln x(x>0),则h'(x)=4x(1-2ln x),令h'(x)=0,得ln x=12,解得x=√e.当0<x<√e时,h'(x)>0;当x>√e时,h'(x)<0,∴h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(√e)=4(√e)2(1-ln√e)=2e,结合选项知,D 正确.3.A∵f(x)=x2+2ax,∴f'(x)=2x+2a,∴f'(x1)=2x1+2a,又f(x1)=x12+2ax1,∴过A点的切线方程为y=(2x1+2a)x-x12.①又∵g(x)=-1x,∴g'(x)=1x2,∴g'(x 2)=1x 22,又g(x 2)=-1x 2,∴过B 点的切线方程为y=1x 22x-2x 2.②由题意知①②都为直线AB, ∴{2x 1+2a =1x 22,-x 12=−2x 2,消去x 2,得a=x 148-x 1, 令h(x)=x 48-x,h'(x)=x 32-1=x 3-22,令h'(x)=0,得x=√23,当x ∈(-∞,0)和(0,√23)时,h(x)单调递减,且当x ∈(-∞,0)时,h(x)>h(0)=0恒成立,当x ∈(√23,+∞)时,h(x)单调递增, ∴当x=√23时,h(x)有最小值,∴x 1=√23, 则x 2=2x 12=√23,∴x 1+x 2=2√23.故选A.4.BD ∵f(x)的定义域为[-2π,2π), ∴f(x)是非奇非偶函数,A 错误. ∵f(x)=x+sin x-xcos x, ∴f'(x)=1+cos x-(cos x-xsin x) =1+xsin x,当x ∈[0,π)时, f'(x)>0,则f(x)在[0,π)上单调递增,B 正确. 显然f'(0)≠0,令f'(x)=0,得sin x=-1x ,分别作出y=sin x,y=-1x在区间[-2π,2π)上的图象,如图.由图可知,这两个函数的图象在区间[-2π,2π)上共有4个公共点,且两个图象在这些公共点上都不相切,故f(x)在区间[-2π,2π)上的极值点的个数为4,且f(x)只有2个极大值点,C 错误,D 正确.故选BD. 5.D 因为f(x)={-e x +1,x ≤1,lnx,x >1,点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1<x 2),所以f'(x)={-e x ,x ≤1,1x,x >1,由f(x)的图象在点A 和点B 处的切线互相垂直及导数的几何意义可知, f(x)的图象在点A 和点B 处的切线的斜率之积为-1, ①当x 1<x 2≤1时,满足(-e x 1)×(-e x 2)=-1,即e x 1×e x 2=e x 1+x 2=-1, 因为e x 1+x 2>0,所以方程无解.即不存在x 1,x 2∈(-∞,1],使得f(x)的图象在点A 和点B 处的切线互相垂直;②当x 1≤1<x 2时,满足(-e x 1)×1x 2=-1,即e x 1=x 2.因为x 2>1,所以e x 1>1,所以x 1>0,所以A 、B 错误. 易知x 2x 1=e x 1x 1,令g(x)=e xx(x ≤1),则g'(x)=(e xx)'=xe x -e x x 2=e x (x -1)x 2,令g'(x)=0,得x=1,所以当x<1时, g'(x)<0,则g(x)=e xx 在x<1时单调递减,所以g(x)=e x x在x=1时取得极小值,也是最小值,即g(1)min =e 11=e,无最大值,所以C 错误.易知x1x2=x1·e x1,令h(x)=xe x(x≤1),则h'(x)=e x+xe x,令h'(x)=0,解得x=-1,所以当x<-1时,h'(x)<0,则h(x)=xe x在x<-1时单调递减,当-1<x≤1时,h'(x)>0,则h(x)=xe x在-1<x≤1时单调递增,所以h(x)=xe x在x=-1时取得极小值,也是最小值,即h(-1)min=-1e.在x=1时取得最大值,即h(1)max=e,所以D正确.③当1<x1<x2时,满足1x1×1x2=-1,即x1·x2=-1,此方程无解,所以不成立.故选D.6.答案(1,16)解析∵f(x)=x+ax ,∴f'(x)=1-ax2=x2-ax2.当a≤0时,对任意的x∈(1,4),f'(x)>0,∴函数y=f(x)在区间(1,4)上为增函数,则函数y=f(x)在区间(1,4)上没有最小值.当a>0时,令f'(x)=0,可得x=√a(负值舍去),当0<x<√a时,f'(x)<0,当x>√a时,f'(x)>0,∴函数y=f(x)的极小值点为x=√a,由题意可得1<√a<4,解得1<a<16.∴实数a的取值范围是(1,16).7.答案√2解析设曲线y=e x+x2上斜率为1的切线的切点坐标为P(x0,y0),由y'=e x+2x得,e x0+2x0=1.设g(x)=e x+2x,则g'(x)=e x+2>0,∴g(x)在R上是增函数.又g(0)=e0+2×0=1,∴e x0+2x0=1有唯一解x0=0.∴切点坐标为P(0,1),∴切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.∴点P到直线x-y-1=0的距离的最小值为√2=√2.8.答案34<k<1解析当g(x)=0时,f(x)=kx-1,可理解为函数y=f(x)的图象与直线y=kx-1的交点问题,画出图象如图.令h(x)=(x-1)3,则h'(x)=3(x-1)2,设切点P的坐标为(x0,y0),则过点P的切线方程为y-(x0-1)3=3(x0-1)2(x-x0),将点(0,-1)的坐标代入,可得-1-(x0-1)3=-3x0(x0-1)2,整理得,2x03-3x02=0,所以x0=0(舍去)或x0=32,故h'(32)=34,又(0,-1),(2,1)两点连线的斜率为1−(−1)2−0=1,故34<k<1.9.解析(1)由f(x)=13x3-x2+3ax,得f'(x)=x2-2x+3a,由f(x)在x=-1时有极值,可得f'(-1)=1+2+3a=0,解得a=-1.经检验,当a=-1时,f(x)有极值.所以a的值为-1.(2)不妨设在直线x=1上存在一点P(1,b),使得过点P至少有两条直线与曲线y=f(x)相切.设过点P且与y=f(x)相切的直线为l,切点坐标为(x0,y0),则切线l的方程为y-13x03+x02-3ax0=(x02-2x0+3a)(x-x0),又直线l过点P(1,b),所以b-13x03+x02-3ax0=(x02-2x0+3a)(1-x0),即23x03-2x02+2x0-3a+b=0,设g(x)=23x3-2x2+2x-3a+b,则g'(x)=2x2-4x+2=2(x-1)2≥0,所以g(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,所以g(x)=0至多有一个解,即过点P且与y=f(x)相切的直线至多有一条,故在直线x=1上不存在点P,使得过P至少有两条直线与曲线y=f(x)相切.10.解析(1)由f(x)=xln x-2ax2+x,得f'(x)=ln x-4ax+2.∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,即4a≥lnxx +2x在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=lnxx +2 x ,则g'(x)=-1-lnxx2.令g'(x)=0,得x=1e.当0<x<1e 时,g'(x)>0,即g(x)在(0,1e )上为增函数;当x>1e 时,g'(x)<0,即g(x)在(1e ,+∞)上为减函数. ∴g(x)的最大值为g (1e )=e,∴a ∈[e4,+∞).(2)证明:若函数f(x)的两个极值点分别为x 1,x 2, 则f'(x)=0在(0,+∞)内有两个根x 1,x 2,由(1)知0<a<e4.由{ln x 1-4ax 1+2=0,ln x 2-4ax 2+2=0,两式相减, 得ln x 1-ln x 2=4a(x 1-x 2).不妨设0<x 1<x 2,要证明x 1+x 2>12a ,只需证明x 1+x 24a(x 1-x 2)<12a(ln x 1-ln x 2).即证明2(x 1-x 2)x 1+x 2>ln x 1-ln x 2,即证明2(x1x 2-1)x 1x 2+1>ln x 1x 2.令x 1x 2=t,函数h(t)=2(t -1)t+1-ln t,0<t<1,则h'(t)=-(t -1)2t(t+1)<0,即函数h(t)在(0,1)内单调递减. ∴当t ∈(0,1)时,有h(t)>h(1)=0, ∴2(t -1)t+1>ln t.即不等式2(x1x 2-1)x 1x 2+1>ln x1x 2成立.综上,得x 1+x 2>12a.迁移创新11.解析 (1)由题意得, f'(x)=ax +b=a+bx x,x>0.∵函数f(x)=aln x+bx+c(a ≠0)有极小值,∴b>0,a<0, f(x)的极小值点为-ab .(2)证明:由(1)知,m=f (-ab ),m+a-4ac -b 24a =f (-ab)+a-4ac -b 24a=aln (-a b )-a+c+a-c+b 24a=aln (-ab )+b 24a=a [ln (-a b )+14(b a )2]. 令-a b=t,g(t)=ln t+14t 2,t>0,则g'(t)=1t -12t 3=2t 2-12t 3.令g'(t)=0,得t=√22(负值舍去),∴g(t)在(0,√22)上单调递减,在(√22,+∞)上单调递增.∴g(t)≥g (√22)=ln (√22)+12>0.∵a<0,∴ag(t)<0,∴m+a<4ac -b 24a.解题模板 利用构造法解决含有两个变量的不等式问题时,常将两个变量化为同一形式,设此形式为新的变量,通过换元构造一个新的函数,进而解决问题.如本题中:aln (-ab )+b 24a =a [ln (-ab )+14(b a )2],将两变量a 、b化为-ab 的形式,构造函数解决问题.。
新高考数学复习考点知识提升专题训练1--- 集合的概念
新高考数学复习考点知识提升专题训练（一） 集合的概念(一)基础落实1．下列判断正确的个数为( ) (1)所有的等腰三角形构成一个集合； (2)倒数等于它自身的实数构成一个集合； (3)质数的全体构成一个集合；(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合； (5)平面上到点O 的距离等于1的点的全体． A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C 在(1)中，所有的等腰三角形构成一个集合，故(1)正确；在(2)中，若1a ＝a ，则a 2＝1，∴a ＝±1，构成的集合为{1，－1}，故(2)正确；在(3)中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故(3)正确；在(4)中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2,3,4,6}，含4个元素，故(4)错误；在(5)中，“平面上到点O 的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，故(5)正确．2．下列说法不正确的是( ) A ．0∈N * B ．0∈N C ．0.1∉ZD ．2∈Q解析：选A N *为正整数集，则0∉N *，故A 不正确；N 为自然数集，则0∈N ，故B 正确；Z 为整数集，则0.1∉Z ，故C 正确；Q 为有理数集，则2∈Q ，故D 正确．3．(多选)表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集，下面正确的是( )A ．(－1,2) B.⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2C.{}－1，2D.{}(－1，2)解析：选BD ∵⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴列举法表示为{}(－1，2)，故D 正确． 描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0， 故B 正确．∴选B 、D.4．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a 等于( ) A ．－1 B ．－32C ．－23D ．－32或－1解析：选B 因为集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，所以当a －2＝－3即a ＝－1时，A ＝{－3，－3,12}，不满足集合中元素的互异性；当2a 2＋5a ＝－3时，解得a ＝－32或a ＝－1(舍去)，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－72，－3，12，满足题意．综上，a ＝－32.5．(多选)设所有被4除余数为k (k ＝0,1,2,3)的整数组成的集合为A k ，即A k ＝{x |x ＝4n ＋k ，n ∈Z }，则下列结论中正确的是( )A ．2 020∈A 0B ．a ＋b ∈A 3，则a ∈A 1，b ∈A 2C ．－1∈A 3D ．a ∈A k ，b ∈A k ，则a －b ∈A 0解析：选ACD 2 020＝4×505＋0，所以2 020∈A 0，故A 正确；若a ＋b ∈A 3，则a ∈A 1，b ∈A 2，或a ∈A 2，b ∈A 1或a ∈A 0，b ∈A 3或a ∈A 3，b ∈A 0，故B 不正确；－1＝4×(－1)＋3，所以－1∈A 3，故C 正确；a ＝4n ＋k ，b ＝4m ＋k ，m ，n ∈Z ，则a －b ＝4(n －m )＋0，(n －m )∈Z ，故a －b ∈A 0，故D 正确．6．集合{x ∈N |x －3<2}用列举法表示是________．解析：由x －3<2得x <5，又x ∈N ，所以集合表示为{0,1,2,3,4}． 答案：{0,1,2,3,4}7．已知集合A ＝{－1,0,1}，则集合B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是________． 解析：集合B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈A }＝{－2，－1,0,1,2}，则集合B 中元素的个数是5. 答案：58．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝______.解析：由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解方程组可得a ＝1，经检验此时A ＝{1，－2,0}， B ＝{1，－2,0}，满足A ＝B ，所以a ＝1. 答案：19．设集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5,1－a }，且A ，B 中有唯一的公共元素9，求实数a 的值．解：∵A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5,1－a }，且A ，B 中有唯一的公共元素9， ∴2a －1＝9或a 2＝9.当2a －1＝9时，a ＝5，此时A ＝{－4,9,25}，B ＝{9,0，－4}，A ，B 中还有公共元素－4，不符合题意；当a 2＝9时，a ＝±3，若a ＝3，B ＝{9，－2，－2}，集合B 不满足元素的互异性． 若a ＝－3，A ＝{－4，－7,9}， B ＝{9，－8,4}，A ∩B ＝{9}，∴a ＝－3. 综上可知，实数a 的值为－3. 10．根据要求写出下列集合．(1)已知－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，用列举法表示集合{x |x 2－4x －a ＝0}；(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫168－x ∈N x ∈N ，用列举法表示集合A ；(3)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0，分别用描述法、列举法表示该集合；(4)已知集合B ＝{(x ，y )|2x ＋y －5＝0，x ∈N ，y ∈N }，用列举法表示该集合； (5)用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集． 解：(1)∵－5∈{x |x 2－ax －5＝0}， ∴(－5)2－a ×(－5)－5＝0， 解得a ＝－4，∵x 2－4x ＋4＝0的解为x ＝2，∴用列举法表示集合{x |x 2－4x －a ＝0}为{2}． (2)∵168－x ∈N ，则8－x 可取的值有1,2,4,8,16，∴x 的可能值有7,6,4,0，－8，∵x ∈N ，∴x 的取值为7,6,4,0， ∴168－x的值分别为2,4,8,16， ∴A ＝{2,4,8,16}．(3)∵方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴用描述法表示该集合为{(x ，y )|x ＝1，y ＝2}，列举法表示该集合为{(1,2)}． (4)∵当x ＝0时，y ＝5；当x ＝1时，y ＝3； 当x ＝2时，y ＝1，∴用列举法表示该集合为{(0,5)，(1,3)，(2,1)}． (5)坐标轴上的点满足x ＝0或y ＝0，即xy ＝0， 则该集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}．(二)综合应用1．已知集合A ＝{a 2,0，－1}，B ＝{a ，b,0}，若A ＝B ，则(ab )2 021的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．±1解析：选B 根据集合中元素的互异性可知a ≠0，b ≠0， 因为A ＝B ，所以－1＝a 或－1＝b ，当a ＝－1时，b ＝a 2＝1，此时(ab )2 021＝(－1)2 021＝－1； 当b ＝－1时，则a 2＝a ，因为a ≠0， 所以a ＝1，此时(ab )2 021＝(－1)2 021＝－1.综上可知，(ab )2 021＝－1.2．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋bb ＝1＋1＝2.当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a ＋－bb ＝－1－1＝－2.当a ，b 异号时，|a |a ＋|b |b＝0.∴|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素共有3个． 答案：33．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B ＝{1,2,3,6}，则A 中的元素与B 中的元素组成的集合为________．解析：由题意可知－2x ＝x 2＋x ，解得x ＝0或x ＝－3. 而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A 中的元素与B 中的元素组成的集合为{－6,0,1,2,3,6}． 答案：{－6,0,1,2,3,6}4．若集合P ＝{x |ax 2＋4x ＋4＝0，x ∈R }中只含有1个元素，则实数a 的取值是________． 解析：当a ＝0时，方程为4x ＋4＝0，解得x ＝－1，此时P ＝{－1}，满足题意； 当a ≠0时，则Δ＝42－4a ×4＝0，解得a ＝1，此时P ＝{－2}，满足题意，∴a ＝0或1. 答案：0或15．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋1>0}． (1)若1∉A,2∈A ，求实数a 的取值范围；(2)已知a ≠0，判断a ＋1a能否属于集合A ，并说明你的理由．解：(1)因为1∉A,2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋1≤0，4－2a ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a <52，所以实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | 2≤a <52.(2)假设a ＋1a 属于集合A ，则⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2－a ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋1>0， 整理得1a 2＋2>0恒成立，所以a ＋1a 属于集合A .(三)创新发展已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z }，M ＝{x |x ＝6n ＋3，n ∈Z }． (1)若m ∈M ，则是否存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立？(2)对任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定存在m ∈M ，使a ＋b ＝m ？证明你的结论． 解：(1)设m ＝6k ＋3＝3k ＋1＋3k ＋2(k ∈Z )， 令a ＝3k ＋1(k ∈Z )，b ＝3k ＋2(k ∈Z )，则m ＝a ＋b . 故若m ∈M ，则存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立． (2)设a ＝3k ＋1，b ＝3l ＋2，k ，l ∈Z ， 则a ＋b ＝3(k ＋l )＋3，k ，l ∈Z .当k ＋l ＝2p (p ∈Z )时，a ＋b ＝6p ＋3∈M ，此时存在m ∈M ，使a ＋b ＝m 成立；当k ＋l ＝2p ＋1(p ∈Z )时，a ＋b ＝6p ＋6∉M ，此时不存在m ∈M ，使a ＋b ＝m 成立．故对任意a ∈A ，b ∈B ，不一定存在m ∈M ，使a ＋b ＝m .。
2020—2021学年鲁教版(五四制)六年级数学下册《第五章基本平面图形》单元综合培优训练(附答案)
鲁教版2021年度六年级数学下册《第五章基本平面图形》单元综合培优训练（附答案）1．如图，在直线l上有A、B、C三点，则图中线段共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条2．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm4．如图（一），为一条拉直的细线，A、B两点在上，且：＝1：3，：＝3：5．若先固定B点，将折向，使得重叠在上，如图（二），再从图（二）的A 点及与A点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？（）A．1：1：1B．1：1：2C．1：2：2D．1：2：55．如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（）A．30°B．60°C．90°D．120°6．如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（）A．在南偏东75°方向处B．在5km处C．在南偏东15°方向5km处D．在南偏东75°方向5km处7．1°等于（）A．10′B．12′C．60′D．100′8．如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（）A．∠BAC＝∠BAM B．∠BAM＝∠CAMC．∠BAM＝2∠CAM D．2∠CAM＝∠BAC9．直线上有2020个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点．10．在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是．11．数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O 的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，A n．（n≥3，n是整数）处，那么线段A n A的长度为（n≥3，n是整数）．12．如图，线段的长度大约是厘米（精确到0.1厘米）．13．在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．14．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线上；（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律；（3）“2007”在哪条射线上？15．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求p．16．先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形．如图（1），如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离．如图（2），如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，A2处最合适，因为如果P不放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到P的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处最佳选择．不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置．问题：（1）有n台机床时，P应设在何处？（2）根据（1）的结论，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣617|的最小值．17．考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B 位于O点南偏东60°，请在图中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．18．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．求证∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．证法1：∵，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．∵，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．参考答案1．解：图中线段有AB、AC、BC这3条，故选：C．2．解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．故选：A．3．解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点，①当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；②当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：C．4．解：设OP的长度为8a，∵OA：AP＝1：3，OB：BP＝3：5，∴OA＝2a，AP＝6a，OB＝3a，BP＝5a，又∵先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二）的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、4a，∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：4a＝1：1：2，故选：B．5．解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°．故选：B．6．解：由图可得，目标A在南偏东75°方向5km处，故选：D．7．解：1°等于60′．故选：C．8．解：∵AM为∠BAC的平分线，∴∠BAC＝∠BAM，∠BAM＝∠CAM，∠BAM＝∠CAM，2∠CAM＝∠BAC．故选：C．9．解：第一次：2020+（2020﹣1）＝2×2020﹣1，第二次：2×2020﹣1+2×2020﹣1﹣1＝4×2020﹣3，第三次：4×2020﹣3+4×2020﹣3﹣1＝8×2020﹣7．∴经过3次这样的操作后，直线上共有8×2020﹣7＝16153个点．故答案为：16153．10．解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．11．解：由于OA＝4，所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1＝OA＝×4＝2，同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4＝，故线段A n A的长度为4﹣（n≥3，n是整数）．故答案为：4﹣．12．解：线段的长度大约是2.3（或2.4）厘米，故答案为：2.3（或2.4）．13．解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2＝3个锐角；在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3＝6个锐角；在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4＝10个锐角；…∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+（n+1）＝×（n+1）×（n+2），∴画10条不同射线，可得锐角×（10+1）×（10+2）＝66．故答案为：66．14．解：（1）18正好转3圈，3×6；17则3×6﹣1；“17”在射线OE上；（2）射线OA上数字的排列规律：6n﹣5射线OB上数字的排列规律：6n﹣4射线OC上数字的排列规律：6n﹣3射线OD上数字的排列规律：6n﹣2射线OE上数字的排列规律：6n﹣1射线OF上数字的排列规律：6n（3）2007÷6＝334…3．故“2007”在射线OC上．15．解：（1）若以B为原点，则C表示1，A表示﹣2，∴p＝1+0﹣2＝﹣1；若以C为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，∴p＝﹣3﹣1+0＝﹣4；（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，则C表示﹣28，B表示﹣29，A 表示﹣31，∴p＝﹣31﹣29﹣28＝﹣88．16．解：（1）当n为偶数时，P应设在第台和（+1）台之间的任何地方，当n为奇数时，P应设在第台的位置．（2）根据绝对值的几何意义，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣617|的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当x＝309时，原式的值最小，最小值是308+307+…+1+1+2+…+308＝95172．17．解：∵∠1＝45°，∠2＝60°，∴∠AOB＝180°﹣（45°+60°）＝75°．18．证明：证法1：∵平角等于180°，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．证法2：∵∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．故答案为：平角等于180°，∠1+∠2+∠3＝180°。
鲁教版2019-2020九年级数学第五章第一单元圆的有关性质单元综合练习题4(培优 含答案)
鲁教版2019-2020九年级数学第五章第一单元圆的有关性质单元综合练习题4（培优含答案）1．如图所示，AB为⊙O的直径，P点为其半圆上一点，∠POA=40°，C为另一半圆上任意一点（不含A、B），则∠PCB的度数为（）A.50°B.60°C.70°D.80°2．三角形两边的长分别是8 和6，第三边的长是方程x2﹣12x+20＝0 的一个实数根，则三角形的外接圆半径是( )A.4B.5C.6D.83．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（）①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3，BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．A．①②B．①②③C．②③D．①③4．如图，△ABC是⊙O内接三角形，若∠C＝30°，AB＝3，则⊙O的半径为（）A.3 D.65．已知∠ACB=90°，∠CAB=a，且sina=45，I为内心，则△ABC的内切圆半径r与△BIC的外接圆半径R之比为（）6．如图1，把圆形井盖卡在角尺〔角的两边互相垂直，一边有刻度）之间，即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移10cm，如图2，OA边与圆的两个交点对应CD的长为40cm则可知井盖的直径是（）A.25cmB.30cmC.50cmD.60cm7．下列说法中正确的是（ ）A ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧B ．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴C ．弦的垂直平分线过圆心D ．相等的圆心角所对的弧也相等8．如图，在直径为82cm 的圆柱形油槽内装有一些油以后，油面宽80AB cm =，则油的最大深度为（ ）A ．32cmB ．31cmC ．9cmD ．18cm9．一个圆柱的侧面积为2120πcm ，高为10cm ，则它的底面圆的半径为________． 10．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，OD //AC ，若BD 1=，则BC 的长为_______．11．如图，在Rt △ABC 中，∠BCA=900，∠BAC 的平分线交△ABC 外接圆于点D ，连接BD ，若AB=2AC=4。
公务员中的综合应用能力考点
公务员中的综合应用能力考点公务员考试一直是备受关注的话题，众多考生为了能够顺利通过考试而努力备考。
在公务员考试中，综合应用能力是一个重要的考点。
在本文中，我们将探讨公务员考试中的综合应用能力考点，并分析其重要性和相关的应对策略。
一、综合应用能力的定义与重要性综合应用能力是指考生在解决实际问题时所需要综合运用各种知识、技能和经验的能力。
在公务员工作中，综合应用能力具有重要的意义。
公务员需要能够熟练运用所学的知识，处理复杂的情况以及解决实际问题。
综合应用能力的高低直接影响着公务员在工作中的表现和成效。
因此，在公务员考试中，综合应用能力成为评判考生综合素质的重要指标。
二、综合应用能力考点的具体内容1. 综合分析能力综合分析能力是指考生能够从多个角度综合分析问题，找出问题的本质和关键点。
在公务员考试中，通常会出现涉及多个维度的问题，考生需要具备综合分析能力，能够准确把握问题的要点，做好答题的思路和方法。
2. 综合决策能力综合决策能力是指考生能够在解决实际问题时，能够权衡利弊，做出正确的决策。
在公务员考试中，会涉及到一些实际情境，考生需要在规定的时间内做出合理的决策，考察其综合决策能力。
3. 综合应变能力综合应变能力是指考生面对复杂情况时，能够迅速做出应对，并能够有效解决问题的能力。
在公务员工作中，经常会面临各种各样的情况和问题，考生需要具备综合应变能力，能够在不确定的环境下迅速做出正确的反应。
三、提升综合应用能力的方法和策略1. 培养综合思维能力综合应用能力需要考生具备综合思维的能力。
考生在备考过程中，应培养综合思维的习惯，学会从不同的角度看问题，并加强对多学科知识的融会贯通。
2. 多做综合应用练习题在备考中，考生应多做一些综合应用题目，通过实际解题的过程，加深对综合应用能力的理解和应用。
可以通过购买相关的练习册或参加培训班来进行有针对性的练习。
3. 积累实际经验综合应用能力的提升需要考生具备丰富的实际经验。
21版：第五单元 单元综合提升（步步高）
素材2 从基层群众自治看社会治理体制创新 自二十世纪六七十年代以来，乡村逐渐建立起以村民自治为主的乡村治理格局， 由于人口大量流动，以及人们诉求日益多元化等原因，村内信息不透明，村民 委员会与村民沟通不畅，村庄工作有时推进相对较难。 “村民说事”是2009年浙江象山县委探索推进的一项以“说、商、办、评”为 核心内容的制度。为了加强村民与村干部的沟通，象山以“有事好商量”为核 心，让村民有事敞开说，把事亮出来；党组织牵头议，通过镇村联合会商，集 思广益，破解决策不规范问题，把计找出来；党员干部带头，依托服务平台， 帮助广大村民办难事、大事，把活干出来；结果大家评，不仅让老百姓打开天 窗说亮话，更保证桩桩件件有回音、有落实、有反馈，把谱定出来。经过近十 年的实践与探索，这一制度得到不断完善和推广，逐渐演变成凝聚乡村发展合 力的农村基层治理发展新路子，也成为当地推动乡村振兴的重要抓手。
(1)结合材料，运用公民的政治参与有关知识，说明如何推进共建共治共享的 社会治理格局。 答案 ①坚持党的领导，遵守宪法和法律，坚持权利与义务统一的原则，坚 持个人利益与国家利益相结合的原则，有序参与社会治理。 ②通过社情民意反映制度等方式参与民主决策， 为共建共治共享的社会治理 格局建言献策。 ③积极行使监督权， 敢于同社会治理中的失职和违法行为作斗争。 ④增强主人翁意识、责任意识和法律意识，提高政治素养。
大一轮复习讲义
单元综合提升
内
容
索
核心知识整合
引
小微专题突破
NEIRONGSUOYIN
长效热点探究
核心知识整合
返回
小微专题突破
微专题4 原因意义类主观题解法
题型特点
原因类主观题通常考查对某一事物或事件存在、发生、发展的必然性、必要 性和重要性的认识。通常结合日常生活中的时事材料，展示以“某一核心观 点”为中心的具体现象、具体行动措施，从理论依据、现实意义两个角度论 证 现 象 或 措 施 的 合 理 性 。 常 采 用 的 设 问 方 式 有 “ 为 什 么 ”“…… 的 依 据”“……的原因”“……的影响”“……的意义”等。
【高中化学】第五章整理与提升2022-2023学年高二化学同步精品课件(人教版2019选择性必修3)
C．合成酚醛树脂(
)的单体是苯酚和甲醇
D．合成顺丁橡胶(
)的单体是
CH2=CH—CH=CH2
考点二：有机合成与推断
典例2：苯酚是一种重要的化工原料。以苯酚为主要起始原料,经下列反应 可制得香料M和高分子N(部分产物及反应条件已略去)。
知合
识成
体
高 分
系子
加聚反应 合成方法 缩聚反应
塑料 ——聚乙烯、酚醛树脂
通用高分子 合成纤维 ——锦纶、涤纶
类别
功能高分子
合成橡胶 ——顺丁橡胶 高分子分离膜 高吸水性树脂
一：高分子的结构特点
1.比较高分子与一般小分子有机物
有机物 举例
结构简式
高分子 聚丙烯 一般有机 丙烯
小分子
[ CH CH2]n CH3 CH3CH=CH2
(2)根据特征现象进行推断
①溴水褪色：一般含碳碳双键、碳碳三键或醛基。 ②酸性高锰酸钾溶液褪色：含碳碳双键、碳碳三键、醛基或为苯的同系物( 与苯环相连的碳原子上连有氢原子)。 ③遇FeCl3溶液显紫色：含酚羟基。 ④加入新制的Cu(OH)2悬浊液(或银氨溶液)，加热后出现砖红色沉淀(或银镜) 含醛基。 ⑤加入Na，产生H2：含羟基或羧基。物质可能为醇、酚、羧酸等。 ⑥加入NaHCO3溶液，产生气体：含羧基。 ⑦加入溴水产生白色沉淀：含酚羟基。 ⑧能水解的有机化合物可能含有酯基、酰胺基或是卤代烃。 ⑨能发生消去反应的可能是醇或卤代烃等
M
M＋28
(关系式中 M 代表第一种有机物的相对分子质量)
(4)根据特征产物推断碳骨架结构和官能团的位置
初中物理第五章《透镜及其应用》单元训练题 (8)(含答案解析)
第五章《透镜及其应用》单元训练题 (8)一、单选题1．下列光学知识中，说法错误的是A．路灯下人的影子是由于光沿直线传播形成的B．“潭清疑水浅”是由于光的折射形成的C．近视眼镜的镜片是凸透镜D．照相时，被照者与镜头之间的距离应大于镜头的二倍焦距2．如图所示，蜡烛在光屏上成清晰的像，凸透镜焦距为18cm．下列说法正确的是（）A．所成的像是虚像B．所成的像是倒立、放大的C．蜡烛向左移动所成的像变大D．照相机是利用这一成像原理制成的3．在“探究凸透镜成像的规律”的实验中，物体距离凸透镜30 cm时，在凸透镜另一侧的光屏上可得到一个倒立的、放大的实像．该凸透镜的焦距可能为（）A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm4．如图所示，使用手机摄像头扫描維码时，成缩小的实像．下列仪器成像特点与其相同的是（）A．放大镜B．照相机C．投影仪D．显微镜5．关于望远镜，下列说法中正确的是（）A．物镜、目镜都相当于一个放大镜B．一定是由两组凸透镜组成的C．目镜相当于放大镜，成正立、放大的虚像D．望远镜的物镜与目镜成的像都是实像6．如图所示，小明物理课学了视力矫正后，在家里做了以下探究活动，将凸透镜看作是眼睛的晶状体，光屏看作是眼睛的视网膜，烛焰看作是被眼睛观察的物体，把父亲佩戴的一副眼镜给“眼睛”戴上，光屏上出现烛焰清晰的像，而拿走眼镜则烛焰的像变得模糊，将光屏靠近凸透镜移动像又变的清晰，则小明的父亲是A．近视眼，戴的是凹透镜B．近视眼，戴的是凸透镜C．远视眼，戴的是凹透镜D．远视眼，戴的是凸透镜7．彩色电视机显现出的各种颜色都是由三种基本颜色混合而成的，这三种颜色是A．红、黄、蓝B．红、绿、蓝C．红、绿、紫D．红、黄、绿8．在掌心中滴一滴水珠，水珠下会有手纹的“清晰”像，这个“清晰”像是手纹的（）A．倒立放大的像B．倒立缩小的像C．正立等大的像D．正立放大的像9．如图所示的四幅图中，属于光的直线传播现象的是（）A．眼睛被放大镜放大B．屏幕上的手影C．平面镜中的像D．水中的笔向上翘起10．小红在做“探究凸透镜成像的规律”的实验中，在光屏上得到了烛焰清晰的缩小的像。
高考英语_大一轮复习考点高考英语_综合训练：必修五_Unit5
大一轮复习考点综合训练：必修五Unit5Ⅰ.单句语法填空1．— Did you enjoy the party?—Yes. We ________(treat) well by our hosts.(2015·北京，22)2．With the local community ________ (aid) us with our investigation，we soon found out the criminal.3．Americans see eating as something ________ (squeeze) between the other daily activities.(2014·陕西，阅读C)4．It was so hot that he was sweating a lot and his shirt was sticking ________ his back.5．I'm writing to apply ________ the position as a student volunteer.(2015·陕西，书面表达) 6．These days，I can't fall asleep because the coming final exam is putting great ________ (press) on me.7．What's worse，some drivers，cyclists and pedestrians do not think ________ vital to obey traffic rules.(2015·江苏，书面表达)8．It is so cold that you can't go outside unless fully ________ (cover) in thick clothes.(2015·江苏，26)9．It is essential that these application forms ________ (send) back as early as possible.10．One day，the cow was ________ (eat) grass when it began to rain heavily.(2015·广东，语法填空)答案 1.were treated 2.aiding 3.to be squeezed 4．to 5.for 6.pressure 7.it 8.covered 9.(should) be sent 10.eatingⅡ.单句改错(每句仅1处错误)1．There is no doubt whether global warming is a security threat to us all.2．They have retrained the number of young technicians for our factory.3．Much damage has done to the car; you'd better get it repaired.4．Though I told him over and over again to be careful when driven，he wouldn't listen. 5．Whether he could get the support from his parents made great difference to the plan.6．She was watching TV while the doorbell rang.答案 1.whether→that2.the→a 3.has后加been4．driven→driving 5.made后加a 6.while→whenⅢ.单元考点作文串记(一)根据提示翻译句子1．毫无疑问，懂得一些急救知识很有必要，因为危险无处不在，事故时时发生。
2021高中数学一轮复习课件第五章 平面向量、复数第三节 第二课时 平面向量的综合应用
速度垂直于对岸行驶，则这艘船的航行速度的大小为________，
方向与水流方向的夹角为________．
解析：如图所示，设
―→ AB
表示水流速度，
―→ AC
表示船
垂直于对岸行驶的速度，以AB为一边，AC为一对角
―→ 线作▱ABCD，则 AD 就表示船的航行速度．
∵|
―→ AB
|＝4
3
，|
―→ AC
|＝12，∴|
心；由
―→ NA
＋
―→ NB
＋
―→ NC
＝0知，N为△ABC的重心；因为
―→ PA
―→ ·PB
＝
―→ PB
―→ ·PC
，所以(
―→ PA
－
―→ PC
―→ )·PB
＝0，所以
―→ CA
·―P→B ＝0，所以―C→A ⊥―P→B ，即CA⊥PB，同理AP⊥BC，
CP⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选C．
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[解题技法] 向量在解析几何中的2个作用
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此 载体 类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外 作用 衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关
距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题
利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、 工具 作用 平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解
形的内心．
(6)对于△ABC，O，P为平面内的任意两点，若
―→ OP
＝
―O→A ＋λ
―→ AB ―→
＋
―→ AC ―→
(λ>0)，则直线AP过△ABC的内心．
2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第五章 第四节 数列求和与数列的综合应用 含答案
由 即
可解得 所以bn＝3n＋1。
(2)由(1)知cn＝ ＝3(n＋1)·2n＋1，
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
两式作差，得
－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
解析：因为ex≥x＋1，a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)，所以ea1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a3≥a1＋a2＋a3＋a4＋1，则a4≤－1，又a1>1，所以等比数列的公比q<0。若q≤－1，则a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)≤0，而a1＋a2＋a3≥a1>1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，与ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，所以－1<q<0，所以a1－a3＝a1(1－q2)>0，a2－a4＝a1q(1－q2)<0，所以a1>a3，a2<a4。故选B。
两式相减，并化简，得an＋1＝3an－2，
即an＋1－1＝3(an－1)，又a1－1＝－2－1＝－3≠0，
所以{an－1}是以－3为首项，3为公比的等比数列，
所以an－1＝(－3)·3n－1＝－3n。
故an＝－3n＋1。
(2)证明：由bn＝log3(－an＋1)＝log33n＝n，
得 ＝ ＝ ，
所以Tn＝
答案B
三、走出误区
微提醒：①不会分组致误；②错位相减法运用不熟出错。
5．已知数列：1 ，2 ，3 ，…， ，则其前n项和关于n的表达式为______________。
必考点解析京改版七年级数学下册第五章二元一次方程组综合测试练习题(精选)
京改版七年级数学下册第五章二元一次方程组综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、初一课外活动中，某兴趣小组80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和8人三种情况，那么8人组最多可能有几组（）A．5组B．6组C．7组D．8组2、下列是二元一次方程的是（）A．3x﹣6＝x B．3x＝2y C．x﹣1y＝0 D．2x﹣3y＝xy3、已知方程组54358x y mx y-=⎧⎨+=⎩中，x、y的值相等，则m等于（）．A．1或-1 B．1 C．5 D．-54、若方程x+y＝3，x﹣2y＝6和kx+y＝7有公共解，则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣25、二元一次方程组32138220x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A ．51x y =⎧⎨=-⎩B ．412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．32x y =⎧⎨=⎩D ．22x y =⎧⎨=-⎩ 6、中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹价值x 两，牛每头价值y 两，根据题意可列方程组为（ ）A ．46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．46483538x y y x +=⎧⎨+=⎩C ．46385348x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．46383548x y x y +=⎧⎨+=⎩ 7、如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（ ）A ．48B ．52C ．58D ．648、一艘缉毒艇去距90海里的地方执行任务，去时顺水用了3小时，任务完成后按原路返回，逆水用了3.6小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度．设在静水中的速度为x 海里/时，水流速度为y 海里/时，则下列方程组中正确的是（ ）．A ．33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．3 3.6903.6390x y y x +=⎧⎨+=⎩ C ．3()903()90x y x y +=⎧⎨-=⎩ D ．33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨-=⎩9、用加减法解方程组336x y x y +=-⎧⎨+=⎩①②由②-①消去未知数y ，所得到的一元一次方程是（ ） A ．29x = B ．23x = C ．49=x D ．43x =10、由方程组250x m x y m +=⎧⎨+-=⎩可以得出关于x 和y 的关系式是（ ） A ．5x y += B ．25x y += C ．35x y += D ．30x y +=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、把方程2x −y ＝3 写成用含x 的式子表示y 的形式________．2、如图，把8个大小相同的长方形（如图1）放入一个较大的长方形中（如图2），则ab 的值为_____．3、已知x 、y 满足方程组52723x y x y +=⎧⎨-=⎩，则x y +的值为__________． 4、方程(1)(1)0a x a y ++-=，当a ≠___时，它是二元一次方程，当a =____时，它是一元一次方程．5、已知51x t =+，62y t =-用含y 的式子表示x ，其结果是_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解方程组：（1）3155214x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）231021124x y x y y +=⎧⎪⎨++-=⎪⎩ 2、解方程（组）（1）10+2（x ﹣12）＝7（x ﹣2）；（2）1.7210.30.2x x +-=-；（3）34(2)521x x y x y --=⎧⎨-=⎩． 3、任意一个三位自然数m ，如果满足百位上的数字小于十位上的数字，其百位上的数字与十位上的数字之和等于个位上的数字，则称m 为“进步数”．如果在一个“进步数”m 的末尾添加其十位上的数字的2倍，恰好得到一个四位数m '，则称m '为m 的“进步美好数”，并规定F （m ）＝101m m '-．例如m ＝134是一个“进步数”，在134的末尾添加数字3×2＝6，得到一个四位数m ′＝1346，则1346为134的“进步美好数”，F （134）＝1346134101-＝12． （1）求F （123）和F （246）的值．（2）设“进步数”m 的百位上的数字为a ，十位上的数字为b ，规定K （m ）＝()F m b a-．若K （m ）除以4恰好余3，求出所有的“进步数”m ．4、千佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区．为了激发学生个人潜能和团队精神，历下区某学校组织学生去千佛山开展为期一天的素质拓展活动．已知千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠．某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元．（1）这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决）（2）某旅行网上成人票价格为28元，学生票价格为14元，若该班级全部网上购票，能省多少钱？5、解方程组：（1）25328x y x y ⎧⎨⎩－＝－＝（消元法）； （2）2312134x y x y -=⎧⎪++⎨=⎪⎩（加减法）．---------参考答案-----------一、单选题1、B【分析】设8人组有x 组，7人组由y 组，则5人组有（12﹣x ﹣y ）组，根据题意得方程8x +7y +（12﹣x ﹣y ）×5＝80，于是得到结论．【详解】解：设8人组有x 组，7人组由y 组，则5人组有（12﹣x ﹣y ）组，由题意得，8x +7y +（12﹣x ﹣y ）×5＝80，∴3x +2y ＝20，当x ＝1时，y ＝172， 当x ＝2时，y ＝7，当x ＝4时，y ＝4，当x ＝6时，y ＝1，∴8人组最多可能有6组，故选B ．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．2、B【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断即可得．【详解】A 、362x x -=是一元一次方程，此项不符合题意；B 、32x y =是二元一次方程，此项符合题意；C 、10x y-=是分式方程，此项不符合题意； D 、23x y xy -=是二元二次方程，此项不符合题意；【点睛】本题考查了二元一次方程的定义：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程是二元一次方程．注意分母中有字母的情况是不符合二元一次方程定义的．3、B【分析】根据x、y的值相等，利用第二个方程求出x的值，然后代入第一个方程求解即可．【详解】解：解方程组54358x y mx y-=⎧⎨+=⎩，得：3253740337mxmy+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∵x、y的值相等，∴325403 3737m m+-=，解得1m=．故选：B．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，根据x、y的值相等利用第二个方程求出x的值是解题的关键．4、C【分析】先求出326x yx y+=⎧⎨-=⎩①②的解，然后代入kx+y＝7求解即可．解：联立326x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，②-①，得-3y=3，∴y=-1，把y=-1代入①，得x-1=3∴x=4，∴41xy=⎧⎨=-⎩，代入kx+y＝7得：4k﹣1＝7，∴k＝2，故选：C．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，二元方程转化为一元方程是解题的关键．5、C【分析】根据加减消元法，由①+②得出11x＝33，求出x，再把x＝3代入①求出y即可．【详解】解：3213 8220x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，由①+②，得11x ＝33，解得：x ＝3，把x ＝3代入①，得9+2y ＝13，解得：y ＝2，所以方程组的解是32x y =⎧⎨=⎩， 故选：C ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法解方程组．6、A【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别列出方程即可得出答案．【详解】解：设马每匹价值x 两，牛每头价值y 两，根据题意可列方程组为：46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找到等量关系是解题关键．7、B【分析】设小长方形的宽为a ，长为b ，根据图形列出二元一次方程组求出a 、b 的值，再由大长方形的面积减去7个小长方形的面积即可．【详解】设小长方形的宽为a ，长为b ，由图可得：31626a b b a +=⎧⎨-=⎩①②， ①-②得：2a =，把2a =代入①得：10b =，∴大长方形的宽为：3632612a +=⨯+=，∴大长方形的面积为：1612192⨯=，7个小长方形的面积为：77210140ab =⨯⨯=，∴阴影部分的面积为：19214052-=．故选：B ．【点睛】本题考查二元一次方程组，以及代数式求值，根据题意找出a 、b 的等量关系式是解题的关键．8、D【分析】根据等量关系“顺水时间×顺水速度=90、逆水时间×逆水速度=90”以及顺水、逆水速度与静水速度、水流速度的关系即可解答．【详解】解：根据题意可得，顺水速度=x +y ，逆水速度=x -y ，()()3903.690x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，化简得33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨-=⎩． 故选：D ．【点睛】考查主要考查了用二元一次方程组解决行程问题，掌握顺水路程及逆水路程的等量关系以及顺水速度=静水速度+水流速度、逆水速度=静水速度一水流速度是解答本题的关键．9、A【分析】观察两方程发现y 的系数相等，故将两方程相减消去y 即可得到关于x 的一元一次方程．【详解】解：解方程组336x y x y +=-⎧⎨+=⎩①②，由②-①消去未知数y ，所得到的一元一次方程是2x =9， 故选：A ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．10、C【分析】分别用x ，y 表示m ，即可得到结果；【详解】由25x m +=，得到52m x =-，由0x y m +-=，得到m x y =+，∴52x x y -=+，∴35x y +=；故选C ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的化简，准确分析计算是解题的关键．二、填空题1、y =2x −3【解析】【分析】将x 看做已知数求出y 即可．【详解】解：∵2x -y =3，∴2x -3=y ，∴y =2x -3；故答案为：y =2x -3．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数． 2、16【解析】【分析】根据图1和图2分析可得10a b +=，510a =，即可,a b 的值，进而可得ab 的值【详解】由图1可得长方形的长为b ，宽为a ，根据图2可知大长方形的宽可以表示为5,a a b +510,10a a b ∴=+=解得2,8a b ==16ab ∴=故答案为：16【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据图中信息求得,a b 的值是解题的关键．3、1【解析】【分析】利用整体思想直接用方程①-②即可得结果．【详解】解：52723x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①-②得，4x +4y =4，x +y =1，故答案为：1．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握整体思想．4、 ±1 1-或1【解析】【分析】根据一元一次方程的定义可得分两种情况讨论，当10a +=，即1a =-时；当10a -=，即1a =时，方程为一元一次方程，即可得a 的值；根据二元一次方程的定义可得10a +≠且10a -≠，解可得a 的值．【详解】 解：关于x 的方程(1)(1)0a x a y ++-=，是二元一次方程，10a ∴+≠且10a -≠，解得：1a ≠±；方程(1)(1)0a x a y ++-=，是一元一次方程，分类讨论如下：当10a +=，即1a =-时，方程为20y -=为一元一次方程；当10a -=，即1a =时，方程为20x =为一元一次方程；故答案是：±1；1-或1．【点睛】本题主要考查了二元一次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元)，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．5、151x y =-+【解析】【分析】先将62y t =-化成3t y =-，然后再代入51x t =+化简即可．【详解】解：∵62y t =-，∴3t y =-，∴()531151x y y =⨯-+=-+，故答案是：151x y =-+．【点睛】本题考查了利用代入消元法解二元一次方程及其应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三、解答题1、（1）43x y =⎧⎨=⎩；（2）123x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．（1）应用加减消元法，求出方程组的解即可；（2）先把方程组化简，再应用加减消元法，求出方程组的解即可．【详解】解：（1）315 5214x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①×2得，6x+2y=30③，②+③得，11x=44，解得x=4，把x=4代入①得，y=3，所以方程组的解是43xy=⎧⎨=⎩；（2）231021124x yx y y+=⎧⎪⎨++-=⎪⎩，整理得231045x yx y+=⎧⎨+=⎩①②，①×2得，4x+6y=20③，③-②得，5y=15，解得y=3，把y=3代入①得，x=12，所以方程组的解是123xy⎧=⎪⎨⎪=⎩．本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．2、（1）x＝235；（2）x＝﹣4；（3）31xy=⎧⎨=⎩．【分析】（1）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；（2）方程整理后，去分母、移项、合并同类项、系数化为1即可；（3）利用加减消元法解答即可．【详解】解：（1）10+2（x﹣12）＝7（x﹣2），去括号、得10+2x﹣1＝7x﹣14，移项、得2x﹣7x＝1﹣10﹣14，合并同类项、得﹣5x＝﹣23，系数化为1，得x＝235；（2）1.720.3x+﹣10.2x=-，整理、得1720513xx+-=-，去分母、得17+20x﹣15x＝﹣3，移项、得20x﹣15x＝﹣3﹣17，合并同类项、得5x＝﹣20，系数化为1，得x＝﹣4；（3）方程组整理，得85?21?x y x y -+=⎧⎨-=⎩①②， ①+②，得6y ＝6，解得y ＝1，把y ＝1代入②，得x ﹣2＝1，解得x ＝3，故方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程和二元一次方程组的步骤．3、（1）11，22；（2）123,246,347【分析】（1）根据定义F （m ）＝101m m '-求解即可； （2）根据题意求得()F m b a-，进而根据14a b ≤<≤以及K （m ）除以4恰好余3，根据求得,a b 的值，进而求得m 的值．【详解】 解：（1）123m =，根据定义，1234m '=∴F （123）123412311101-== 246m =，则2468m '=∴F （246）246824622101-== （2）设1001010111m a b a b a b =+++=+(14a b ≤<≤，且,a b 为正整数)则100010010()21010112m a b a b b a b '=++++=+909101=91(010)11m m a a m b b F '+==-+∴ ()()9F m a b b K m a b a +∴-==- K （m ）除以4恰好余3，则()1k m +能被4整除 即99821a b a b b a a b b a b a b a+++-++==---能被4整除，即42()a b b a +-是整数， 设42()a b N b a +=-，即42()a b N b a +=-， 4,2()a N b a -是2的倍数，则b 是2的倍数14a b ≤<≤2,4b ∴=1,2a b ∴==或2,4a b == 或3,4a b ==则1011112123m =⨯+⨯=或1012114246m =⨯+⨯=或1013114347m =⨯+⨯=综上所述，123,246,347m =【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，理解题目中的定义是解题的关键．4、（1）教师4人，学生46人；（2）54元【分析】（1）根据班教师加学生一共去了50人，门票共需810元，列出两个等式，求解即可；（2）门店的门票费减去网购的门票费就等于节省的钱．【详解】解：设这个班参与活动的教师有x 人，学生有y 人，∵千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠，由题意得：503015810x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：446x y =⎧⎨=⎩ 答：这个班参与活动的教师有4人，学生有46人．（2）由（1）求得这个班参与活动的教师有4人，学生有46人．∴网购的总费用为：28×4+14×46＝756（元）∴节省了：810－756＝54（元）．答：该班级全部网上购票，能省54元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找出等量关系，列出等式并解出二元一次方程组是解题的一般思路．5、（1）21x y ⎧⎨⎩＝＝－；（2）373x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩【分析】（1）利用加减消元法解方程组，即可得到答案；（2）先把方程进行整理，然后利用加减消元法解方程组，即可得到答案．【详解】解：（1）25328x y x y ⎧⎨⎩－＝①－＝②， 由①2⨯－②，得2x =，把2x =代入②，解得1y =-，∴21xy⎧⎨⎩＝＝－．（2）2312134x yx y-=⎧⎪++⎨=⎪⎩，方程组整理得231435x yx y-=⎧⎨-=-⎩①②，由①－②得：－2x＝6，解得：x＝－3，把x＝－3代入①得－6－3y＝1，解得：73y=-；所以方程组的解为373xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解本题的关键．。
(新人教A版)2020版高考数学大一轮复习第五章数列第4节数列求和及数列的综合应用讲义理
考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；3.了解数列是一种特殊的函数；4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.知 识 梳 理1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d .(2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. 3.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a n 与a n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者S n 与S n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系. [微点提醒]1.1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2.2.12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.3.裂项求和常用的三种变形 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1).( )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( ) (4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( ) 解析 (3)要分a ＝0或a ＝1或a ≠0且a ≠1讨论求解. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.(必修5P47B4改编)数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 0192 020，则项数n 为( )A.2 018B.2 019C.2 020D.2 021解析 a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0192 020，所以n ＝2019.答案 B3.(必修5P56例1改编)等比数列{a n }中，若a 1＝27，a 9＝1243，q >0，S n 是其前n 项和，则S 6＝________. 解析 由a 1＝27，a 9＝1243知，1243＝27·q 8，又由q >0，解得q ＝13，所以S 6＝27⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫1361－13＝3649.答案36494.(2018·东北三省四校二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A.9B.15C.18D.30解析 由题意知{a n }是以2为公差的等差数列，又a 1＝－5，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 答案 C5.(2019·北京朝阳区质检)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，则2T n ＝________________.解析 由题意知T n －S n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝n ＋2n ＋1－2，又S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，所以2T n ＝T n －S n ＋S n ＋T n ＝2n ＋2＋n (n ＋1)－4.答案 2n ＋2＋n (n ＋1)－46.(2019·河北“五个一”名校质检)若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________.解析 由f (x )＋f (1－x )＝4，可得f (0)＋f (1)＝4，…，f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＝4，所以2a n＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋…＋[f (1)＋f (0)]＝4(n ＋1)，即a n ＝2(n ＋1). 答案 a n ＝2(n ＋1)考点一 分组转化法求和【例1】 (2019·济南质检)已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 3－1成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2n －1＋a n (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与n 2＋2n 的大小. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1，a 2，a 3－1成等差数列， ∴2a 2＝a 1＋(a 3－1)＝a 3，∴q ＝a 3a 2＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *).(2)由(1)知b n ＝2n －1＋a n ＝2n －1＋2n －1，∴S n ＝(1＋1)＋(3＋2)＋(5＋22)＋…＋(2n －1＋2n －1)＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝1＋（2n －1）2·n ＋1－2n 1－2＝n 2＋2n －1.∵S n －(n 2＋2n )＝－1<0，∴S n <n 2＋2n .规律方法 1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【训练1】 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5， ∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1).∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(2n －3)－(2n －1)＝(－2)×n ＝－2n . 考点二 裂项相消法求和【例2】 (2019·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S n ＝a n ＋12－n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2×3n a n a n ＋1的前n 项和T n . 解 (1)∵a 2＝8，S n ＝a n ＋12－n －1，∴a 1＝S 1＝a 22－2＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n ＋12－n －1－⎝⎛⎭⎫a n 2－n ， 即a n ＋1＝3a n ＋2，又a 2＝8＝3a 1＋2， ∴a n ＋1＝3a n ＋2，n ∈N *，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是等比数列，且首项为a 1＋1＝3，公比为3， ∴a n ＋1＝3×3n －1＝3n ，∴a n ＝3n －1.(2)∵2×3n a n a n ＋1＝2×3n （3n －1）（3n ＋1－1）＝13n －1－13n ＋1－1. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2×3n a n a n ＋1的前n 项和 T n ＝⎝⎛⎭⎫13－1－132－1＋⎝⎛⎭⎫132－1－133－1＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1. 规律方法 1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等. 【训练2】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)，∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2.考点三 错位相减法求和【例3】 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝6，a 21q ＝a 1q 2， 又a n >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .规律方法 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【训练3】 已知等差数列{a n }满足：a n ＋1>a n (n ∈N *)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，a n ＋2log 2b n ＝－1.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d >0，由a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d 分别加上1，1，3后成等比数列，得(2＋d )2＝2(4＋2d )，解得d ＝2(舍负)，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 又因为a n ＋2log 2b n ＝－1，所以log 2b n ＝－n ，则b n ＝12n .(2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)·12n ，则T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －12n ，①12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1，② 由①－②，得12T n ＝12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋123＋124＋…＋12n －2n －12n ＋1. ∴12T n ＝12＋2×14⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1， ∴T n ＝1＋2－22n －1－2n －12n ＝3－4＋2n －12n＝3－3＋2n 2n . 考点四 数列的综合应用【例4】 某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？解 设该学生工作n 天，每天领工资a n 元，共领工资S n 元，则第一种方案a n (1)＝38，S n (1)＝38n ； 第二种方案a n (2)＝4n ，S n (2)＝4(1＋2＋3＋…＋n )＝2n 2＋2n ； 第三种方案a n (3)＝0.4×2n －1，S n (3)＝0.4（1－2n ）1－2＝0.4(2n －1).令S n (1)≥S n (2)，即38n ≥2n 2＋2n ，解得n ≤18，即小于或等于18天时，第一种方案比第二种方案报酬高(18天时一样高).令S n (1)≥S n (3)，即38n ≥0.4×(2n －1)，利用计算器计算得小于或等于9天时，第一种方案报酬高， 所以少于10天时，选择第一种方案.比较第二、第三种方案，S 10(2)＝220，S 10(3)＝409.2，S 10(3)>S 10(2)，…，S n (3)>S n (2). 所以等于或多于10天时，选择第三种方案. 规律方法 数列的综合应用常考查以下几个方面： (1)数列在实际问题中的应用； (2)数列与不等式的综合应用； (3)数列与函数的综合应用.解答数列综合题和应用题既要有坚实的基础知识，又要有良好的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再结合其他相关知识来解决问题.【训练4】 已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，试求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由于f ′(x )＝6x －2，得a ＝3，b ＝－2， 所以f (x )＝3x 2－2x .又因为点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上， 所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝6×1－5，也适合上式， 所以a n ＝6n －5(n ∈N *).(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝12·⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－17＋⎝⎛⎭⎫17－113＋…＋⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1＝3n 6n ＋1.[思维升华]1.非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到实际问题中. [易错防范]1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.3.解等差数列、等比数列应用题时，审题至关重要，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A.－24B.－3C.3D.8解析 设{a n }的公差为d ，根据题意得a 23＝a 2·a 6， 即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，解得d ＝－2，所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24.答案 A2.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 答案 B3.数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，前n 项和为9，则n 等于( )A.9B.99C.10D.100解析 因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(n ＋1－n )＋(n －n －1)＋…＋(3－2)＋(2－1)＝n ＋1－1， 令n ＋1－1＝9，得n ＝99. 答案 B4.(2019·德州调研)已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023解析 ∵2n＋12n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n，∴T n＝n ＋1－12n ， ∴T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210，又m >T 10＋1 013恒成立， ∴整数m 的最小值为1 024. 答案 C5.(2019·厦门质检)已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ＝2，则其前100项和为( )A.250B.200C.150D.100解析 当n ＝2k (k ∈N *)时，a 2k ＋1－a 2k ＝2，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a 2k ＋a 2k －1＝2，当n ＝2k ＋1(k ∈N *)时，a 2k ＋2＋a 2k ＋1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝4，a 2k ＋2＋a 2k ＝0，∴{a n }的前100项和＝(a 1＋a 3)＋…＋(a 97＋a 99)＋(a 2＋a 4)＋…＋(a 98＋a 100)＝25×4＋25×0＝100. 答案 D 二、填空题6.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 解析 由a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，得(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0， 又a n >0，所以a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， 故S n ＝2（1－3n ）1－3＝3n －1.答案 3n －17.(2019·武汉质检)设数列{(n 2＋n )a n }是等比数列，且a 1＝16，a 2＝154，则数列{3n a n }的前15项和为________.解析 等比数列{(n 2＋n )a n }的首项为2a 1＝13，第二项为6a 2＝19，故公比为13，所以(n 2＋n )a n ＝13·⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n，所以a n ＝13n （n 2＋n ），则3n a n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，其前n 项和为1－1n ＋1，n ＝15时，为1－116＝1516.答案15168.某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为________.解析 由于平均产量类似于图形过P 1(1，S 1)，P n (n ，S n )两点直线的斜率，斜率大平均产量就高，由图可知n ＝9时割线P 1P 9斜率最大，则m 的值为9.答案 9三、解答题9.求和S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2(x ≠0). 解 当x ≠±1时，S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝⎛⎭⎫x 2n ＋2＋1x 2n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n ＝x 2（x 2n －1）x 2－1＋x －2（1－x －2n ）1－x －2＋2n ＝（x 2n －1）（x 2n ＋2＋1）x 2n （x 2－1）＋2n . 当x ＝±1时，S n ＝4n .10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝2＋S n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1＋log 2(a n )2，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n <16. (1)解 因为a n ＋1＝2＋S n (n ∈N *)，所以a n ＝2＋S n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，所以a n ＋1＝2a n (n ≥2).又因为a 2＝2＋a 1＝4，a 1＝2，所以a 2＝2a 1，所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，则a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *). (2)证明 因b n ＝1＋log 2(a n )2，则b n ＝2n ＋1.则1b n b n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝⎛⎭⎫13－12n ＋3＝16－12（2n ＋3）<16. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·广州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ≥2(n ∈N *)，且S n 为{a n }的前n 项和，则( )A.a n ≥2n ＋1B.S n ≥n 2C.a n ≥2n －1D.S n ≥2n －1 解析 由题意得a 2－a 1≥2，a 3－a 2≥2，a 4－a 3≥2，…，a n －a n －1≥2，∴a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1≥2(n －1)，∴a n －a 1≥2(n －1)，∴a n ≥2n －1，∴a 1≥1，a 2≥3，a 3≥5，…，a n ≥2n －1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ≥1＋3＋5＋…＋2n －1，∴S n ≥n （1＋2n －1）2＝n 2. 答案 B12.某厂2019年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同.已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润ω与总投资N 的大小关系是( )A.ω>NB.ω<NC.ω＝ND.不确定解析 投入资金逐月值构成等比数列{b n }，利润逐月值构成等差数列{a n }，等比数列{b n }可以看成关于n 的指数式函数，它是凹函数，等差数列{a n }可以看成关于n 的一次式函数.由于a 1＝b 1，a 12＝b 12，相当于图象有两个交点，且两交点间指数式函数图象在一次函数图象下方，所以全年的总利润ω＝a 1＋a 2＋…＋a 12比总投资N ＝b 1＋b 2＋…＋b 12大，故选A.答案 A13.已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.解析 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1， 即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3（1－4n ）1－4＝4n －1.答案 4n －114.(2019·潍坊调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋n .(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列； (2)令b n ＝2n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)证明 由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋n 得S n ＋1n ＋1－S n n＝1， 又S 11＝5，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为5，公差为1的等差数列. (2)解 由(1)可知S n n＝5＋(n －1)＝n ＋4， 所以S n ＝n 2＋4n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋4n －(n －1)2－4(n －1)＝2n ＋3.又a 1＝5也符合上式，所以a n ＝2n ＋3(n ∈N *)，所以b n ＝(2n ＋3)2n ，所以T n ＝5×2＋7×22＋9×23＋…＋(2n ＋3)2n ，①2T n ＝5×22＋7×23＋9×24＋…＋(2n ＋1)2n ＋(2n ＋3)2n ＋1，② 所以②－①得T n ＝(2n ＋3)2n ＋1－10－(23＋24＋…＋2n ＋1) ＝(2n ＋3)2n ＋1－10－23（1－2n －1）1－2 ＝(2n ＋3)2n ＋1－10－(2n ＋2－8) ＝(2n ＋1)2n ＋1－2.新高考创新预测15.(多填题)已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 2，a 5，a 14成等比数列，{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝(－1)n S n ，则a n ＝________，数列{b n }的前n 项和T n ＝________.解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则由a 2，a 5，a 14成等比数列得a 25＝a 2·a 14，即(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )，解得d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2，当n 为偶数时，T n ＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4－…－S n －1＋S n ＝－12＋22－32＋42－…－(n －1)2＋n 2＝3＋7＋…＋(2n －1)＝n （n ＋1）2；当n 为大于1的奇数时，T n ＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4－…＋S n －1－S n ＝－12＋22－32＋42－…－(n －2)2＋(n －1)2－n 2＝3＋7＋…＋(2n －3)－n 2＝－n （n ＋1）2，当n ＝1时，也符合上式.综上所述，T n ＝(－1)n n （n ＋1）2.答案 2n －1(－1)n n （n ＋1）2。
(新编)八年级物理全册第五章质量与密度单元综合复习讲义沪科版
A．将电子天平放在桌面上，调节底板水平； B．将手镯放在电子天平的托盘上，液晶屏显示如图所 示，则手镯的质量为__________g； C．用电子天平测量空烧杯的质量为 22.060 g； D．将手镯浸没到盛满水的溢水杯中，用烧杯收集溢 出来的水； E．用电子天平测量溢出来的水和烧杯的总质量为 24.460 g.
【答案】25.230 (1)10.5 (2)小 (3)大
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◎针对练三 4. 在“测量盐水的密度“实验中：
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(1)把天平放在____水__平____桌面上，游码归零后，发现 指针位置如图甲所示，此时应将平衡螺母向____左______ (填 “左”成“右”)调节，直到横梁水平平衡．
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(2)将装有适量盐水的小烧杯放在天平的左盘上，天平 平衡时，所用砝码和游码在标尺上的位置如图乙所示，若 小烧杯的质量为 20 g，则小烧杯中盐水的质量为__6_6_____ g．然后，将烧杯中的盐水全部倒入量筒中，液面到达的位 置如图丙所示，则量筒中盐水的体积为___6_0______cm3，由 此可计算出盐水的密度为__1_.1_×_1_0_3___kg/m3.
8
(3)用瓶子装满液体，用天平测得瓶和液体的总质量如 图乙所示，是__________ g，已知瓶子的容积是 40 mL， 则该液体的密度是__________ g/cm3.
9
【解析】(1)由天平使用方法可知，要将天平放在水平 桌面上，将游码拨至标尺左端的零刻度线处，并调节天平 平衡；(2)由题图可知，测量空瓶的质量时物体和砝码的位 置放反了；(3)瓶和液体的总质量为 m＝50 g＋3.2 g＝53.2 g，则液体的密度 ρ＝mV′＝53.420gc－m230 g＝0.83 g/cm3.
人教版高考数学总复习第一部分考点指导第五章三角函数第五节函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数的应用
【解析】由题意可知将函数 g(x)图象上的点－π3，0 向右平移4π 个单位长度，
可得 f(x)的图象与 x 轴负半轴的第一个交点，坐标为－1π2，0 ，
因为
f(x)的图象与
x
轴正半轴的第一个交点为152π，0
－1π2ω＋φ＝0 ，所以152πω＋φ＝π
2．(改变情境)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出 现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份 x
1
2
3
4
收购价格 y/(元/斤)
6
7
6
5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格与相应月份之间的函数关系为________．
【解析】设 y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，由题意得 A＝1，b＝6，T＝4，因为 T＝2ωπ ，
0<φ<π)的部分图象如图所示，
则
π f4
的值为________．
【解析】由图象可知 A＝2，34 T＝1112π －π6 ＝34π ，
所以 T＝π，所以 ω＝2，因为当 x＝π6 时，函数
f(x)取得最大值，所以
π 2×6
＋φ＝π2
＋2kπ(k∈Z)，
所以 φ＝π6 ＋2kπ(k∈Z)，因为 0<φ<π，
2cos 2×1132π＋φ ＝2，
所以 φ＝－6π ＋2kπ，k∈Z，
所以 f(x)＝2cos 2x－π6 ，
所以 fπ2
＝2cos
2×π2－6π
＝2cos
5π 6
＝
－ 3.
答案：－ 3
(2)(一题多解)函数 f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ| ＜π)的部分图象如图所示， 则 函 数 f(x) 的 解 析 式 为 ________．
综合应用提升.
综合应用提升例1： 在光滑的水平轨道上有两个半径都是r 的小球A 和B,质量分别为m 和m 2,当两球心的距离大于L(L 比2r 大得多)时,两球之间无作用力。
当两球心间的距离等于或小于L 时，两球之间存在相互作用的恒定斥力F ，设A 球从远离B 球处以速度0v ，沿两球心连线向原来静止的B 球运动。
如图所示，欲使两球不发生接触，0v 必须满足什么条件？解析：当球心距离小于L 后，A 球受到斥力而做匀减速直线运动，B 球受到斥力而做初速度为零的匀加速运动，从而产生A 追B 的情形，开始阶段A 球的速度大于B 球速度，球间距离在减小，当B 球速度大于A 球速度时两球间的距离就会增大，所以两球的速度相等时两球间的距离达到最小。
不相撞的条件是这个最小距离要大于r 2。
解法一：利用牛顿定律和运动学公式求解：两球间距最小时，有21v v =如图，设两球从相互作用过程中，A 的位移为A s ，B 的位移为B s ，则距离关系为r s L s d A B 2〉-+= 由牛顿第二定律得，两球加速度分别为m F a A =，mF a B 2= 由运动学公式知，两球速度分别为t a V v A A -=0，t a v B B = 由运动学公式知，两球位移分别为2021t a t V S B A -=，221t a S B B = 解得：m r l F v /)2(30-<解法二：利用极值法求解：当A 、B 间的距离等于L 时，开始计时 A 球的位移2021t a t v s A A -=，B 球的位移221t a s B B = 据牛顿第二定律：m F a A = ；mF a B 2= 球心间距离L t v t a a s L s d B A A B +-+=-+=02)(21 当BA a a v a b t +=-=02时,d 有最小值 此时0v t a t aB A =+，即t a v t a A B -=0因为t a v A A -,t a v B B =,所以B A v v =l Fmv l a a v l a a v v a a v a a d B A B A B A B A +-=++-=++⋅-++=3)(2))((2120200020min两球不相遇,r d 2min >,所以-r l Fmv 2320>+ 即m r l F v /)2(30-< 答案: m r l F v /)2(30-<例2：蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目，一个质量为kg 60的运动员，从离水平网面m 2.3高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面m 0.5高处，巳知运动员与网接触的时间为s 2.1。
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第五章大考点一综合应用提升训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用下图所示装置探究燃烧的条件，有关该实验的说法正确的是
A．该实验只能得出燃烧需要氧气这一结论
B．该实验使用了相同的可燃物
C．该实验现象是铜片上的白磷不燃烧，红磷燃烧
D．该实验说明燃烧需要达到可燃物的着火点
2．用白色瓷片接近酒精灯外焰时，瓷片没有明显变化；接近焰心时，在瓷片上出现黑色粉末状固体，这是酒精没有完全燃烧时生成的炭黑。
用水壶烧水，开始时会发现：与火焰接触的壶底出现水珠和黑色的炭黑，下列说法不正确的是
A．燃料中一定含有碳、氢、氧三种元素B．燃料本身也可能含有水分子
C．加大空气的流量可以减步炭黑的生成D．提高水壶的高度可以减少炭黑的生成3．人们常在可燃物建筑材料中添加阻燃剂以防止火灾。
Mg(OH) 2是一种常见的阻燃剂，在380℃时分解成水蒸气和耐高温的MgO,并吸收大量的热。
下列说法错误的是（）A．Mg(OH)2分解吸热能降低可燃物的着火点
B．Mg(OH)2分解吸热能降低可燃物的温度
C．Mg(OH)2分解的产物能使可燃物与氧气隔绝
D．MgCO3比CaCO3易分解，也可作阻燃剂
4．强化安全意识，提升安全素养。
下列采取的安全措施错误的是
A．在点燃氢气前先检验其纯度
B．在火灾逃生时用湿毛巾捂住口鼻
C．在加油站张贴严禁烟火标志
D．在天然气燃气灶下方安装报警器
5．家用燃料使用的发展历程(括号内表示燃料主要成分)如下图所示。
下列有关说法错误的是
A．燃料燃烧时均放出热量
B．煤、石油、天然气都属于化石燃料
C．管道煤气有毒
D．丁烷中碳、氢元素的质量比为4∶10
二、选择填充题
6．下列灭火方法正确的是______；
A．电器着火直接用水灭火B．图书馆档案失火用水基型灭火器熄灭
C．油锅着火用锅盖盖灭D．熄灭酒精灯用________________
三、简答题
7．国产大飞机C919发动机上的压气机将高密度空气（高压压缩后的空气）压入燃烧室，能促进航空煤油的燃烧，使燃油消耗减少16%，请你从微观角度解释高密度空气能使航空煤油燃烧更充分的原因是________________，应用该技术的重要意义是
__________________。
（答出一点即可）。
8．新能源汽车的研发和使用是时代发展的需要。
(1)下列能源不属于新能源的是___________(填序号)。
A．氢能B．核能C．石油D．风能
(2)锂电池可为新能源汽车提供动力，下列结构示意图表示的粒子与锂原子的化学性质最为相似的是___________(填序号)。
(3)锂(Li)的金属活泼性强于铝，它与稀硫酸反应的化学方程式为______________，新能源汽车除了节约化石能源外，其主要优点是__________________。
四、填空题
9．19世纪初,电灯尚未发明,煤矿工人在矿井中只能借助煤油灯照明。
矿井中通常存在大量的甲烷气体,遇火极易发生爆炸。
1815年，化学家戴维设计出一种安全矿灯——戴维灯(如图)。
采用一种网眼很小的普通金属网罩住火焰，火焰只会在网中燃烧而不会引燃外界的甲烷气体。
(1)甲烷与空气混合,遇火易发生爆炸,是因为甲烷燃烧释放大量的_______。
(2)用戴维灯照明,不会引燃矿井中的甲烷,原因是_________。
10．用如图所示装置探究可燃物的燃烧条件的实验过程如下：①将白磷放在燃烧匙内，塞好胶塞；②从长颈漏斗向瓶内迅速注入60℃的水至刚刚浸没白磷；③连接好注射器，向瓶内推入空气，瓶内水面下降，当白磷露出水面时立即燃烧，停止推入空气：④白磷熄火后，瓶内水面上升，最后淹没白磷。
请同答下列问题：
（1）白磷燃烧的化学方程式为_________________。
（2）对比③中白磷露出水面前、后的现象，说明燃烧需要的条件是
____________________。
（3）④中瓶内水面上升的原因__________________。
参考答案
1．D
【详解】
可燃物燃烧必须具备两个条件：与氧气接触，温度达到着火点。
白磷和红磷是两种不同的物质，白磷的着火点低，红磷的着火点高，热水的温度达到了白磷的着火点，达不到红磷的着火点，铜片上的白磷达到了着火点且与空气接触，能够燃烧，而铜片上的红磷因没有达到其着火点而不能燃烧，该实验只能得出可燃物燃烧需要温度必须达到其着火点这一结论，不能得出需要氧气的结论。
故选D。
2．A
【详解】
A．燃料中一定含有碳、氢、两种元素，可能含氧元素，错误；
B．燃料本身也可能吸收了空气中的水分而含有水分子，正确；
C．氧气浓度越大，燃料燃烧越充分，故加大空气的流量可以减少炭黑的生成，正确；D．提高水壶的高度可以使燃烧更充分，所以减少炭黑的生成，正确。
故选A。
3．A
【分析】
本题考查的是灭火的原理和方法，灭火的原理：清除可燃物或使可燃物与其他物品隔离，隔绝氧气或空气，使温度降到可燃物的着火点以下。
【详解】
A、着火点是物质的固有的属性，是不会改变的，只能改变可燃物的温度，故A错误；
B、Mg(OH)2分解吸热能降低可燃物的温度到可燃物的着火点以下，故B正确；
C、Mg(OH)2分解的产物水蒸气和耐高温的MgO，可以隔绝氧气或空气，故C正确；
D、碳酸镁和碳酸钙都不具有可燃性，受热都会分解出二氧化碳，都可作阻燃剂，故D正确。
故选A
4．D
【详解】
A．在点燃氢气前先检验其纯度，是正确的表述；
B．在火灾逃生时用湿毛巾捂住口鼻，是正确的叙述，防止热空气或有毒气体吸入鼻孔；C．在加油站张贴严禁烟火标志，是正确的叙述；防止爆炸事故的发生；
D．在天然气燃气灶下方安装报警器，是错误的叙述，因为天然气的密度比空气的小；故答案选择D
5．D
【解析】
由题中信息知，A、燃料燃烧时均放出热量，故A正确；B、煤、石油、天然气都属于化石燃料，故B正确；C、管道煤气有毒，故C正确；D、丁烷化学式是C4H10，其中碳、氢元素的质量比为12×4∶10＝24∶5，故D错误。
点睛∶煤、石油、天然气属于三大化石燃料。
燃料燃烧一般都放出热量，煤气有毒，使用时应防止煤气中毒。
6．C 灯帽盖灭
【解析】
A、用水来浇灭电器着火，容易触电，错误；
B、图书馆档案失火用水基型灭火器熄灭会造成图书档案的损坏，错误；
C、油锅着火可以盖上锅盖，通过隔绝氧气而灭火，正确。
故选C。
D、熄灭酒精灯时，利用隔绝氧气灭火的方法，可以盖上灯帽。
点睛：燃烧需要同时满足三个条件：①可燃物、②氧气或空气、③温度要达到着火点。
灭火原理：①清除或隔离可燃物，②隔绝氧气或空气，③使温度降到可燃物的着火点以下。
7．煤油分子与氧分子接触更充分提高化石燃料利用率，减弱温室效应
【解析】
【详解】
高密度空气能使航空煤油更充分燃烧的微观原因是高密度空气中的氧分子与煤油分子接触更充分；煤油中含有碳元素，节约煤油就减少了二氧化碳的排放，可以缓解温室效应的发生。
提高化石燃料利用率，减弱温室效应。
8．C B 2Li+H2SO4=Li2SO4+H2↑无污染
【解析】
本题考查了资源综合利用和新能源开发，金属的化学性质，核外电子在化学反应中的作用，化学方程式的书写等。
（1）人们正在利用和开发的新能源有氢能、太阳能、核能、风能、地热能、潮汐能、生物质能等，石油属于化石燃料，不属于新能源。
故选C；
（2）元素的性质，特别是元素的化学性质是由该原子最外层电子数决定的。
锂原子的最外
层有1个电子，与B中钠原子的最外层电子数相同，化学性质相似，在化学反应中易失去个电子变成阳离子，A中的氢原子最外层也是1个电子，但氢为非金属元素，所以性质不同。
故选B；
（3）锂与稀硫酸反应生成硫酸锂和氢气，反应的化学方程式是2Li+H2SO4=Li2SO4+H2↑；新能源汽车除了节约化石能源外，其主要优点是无污染。
9．热量金属网可以把火焰的热量迅速传递出去，矿井中甲烷气体的温度达不到着火点【解析】
(1)甲烷与空气混合，遇火易发生爆炸，是因为甲烷燃烧释放大量的热量。
(2)用戴维灯照明，不会引燃矿井中的甲烷，原因是金属网可以把火焰的热量迅速传递出去，矿井中甲烷气体的温度达不到着火点。
10．4P+5O2点燃
2P2O5氧气瓶内气体压强减小
【详解】
（1）白磷燃烧生成五氧化二磷：4P+5O2点燃
2P2O5；
（2）白磷露出水面后接触到了氧气，故说明燃烧需要氧气；
（3）白磷燃烧消耗氧气，导致集气瓶内的压强变小，故瓶内水面会上升。