控制系统的信号流图和梅森公式
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控制系统的信号流图和梅森公式.
11:29 电子信息工程学院
x5
f
x1
a
d
x2
b
x3
c
x4
e
g
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起 点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
11:29
电子信息工程学院
x5
f
x1
a
d
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c
x4
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g
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起 点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
11:29
电子信息工程学院
x5
f
x1
a
d
x2
b
x3
c
x4
e
g
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起 点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。 不接触回路：各回路间没有公共节点的回路。 回路增益：回路中所有支路增益的乘积。一般用 La表示。
11:29 电子信息工程学院
x5
f
x1
a
d
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b
x3
c
x4
e
g
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时， 每个节点只通过一次的通路。
input node (source) a12 x1
1
a53
a32
2
a43
3
a44
4
x2
a23
x3
a34 a24
x4 a45 a25
5
1
Output node
x5
x6
单独回路(7个)
x4 x4
x2 x3 x2
不接触回路(2组)
x2 x3 x2 和 x4 x4
x5
f
x1
a
d
x2
b
x3
c
x4
e
g
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起 点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
11:29
电子信息工程学院
x5
f
x1
a
d
x2
b
x3
c
x4
e
g
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起 点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
11:29
电子信息工程学院
x5
f
x1
a
d
x2
b
x3
c
x4
e
g
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起 点和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。 不接触回路：各回路间没有公共节点的回路。 回路增益：回路中所有支路增益的乘积。一般用 La表示。
11:29 电子信息工程学院
x5
f
x1
a
d
x2
b
x3
c
x4
e
g
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时， 每个节点只通过一次的通路。
input node (source) a12 x1
1
a53
a32
2
a43
3
a44
4
x2
a23
x3
a34 a24
x4 a45 a25
5
1
Output node
x5
x6
单独回路(7个)
x4 x4
x2 x3 x2
不接触回路(2组)
x2 x3 x2 和 x4 x4
2-5 信号流图与梅森公式
G12 ( s ) R2 ( s )
G21 ( s )
C2 ( s ) G22 ( s )
G22 ( s )
+
+
C2 ( s )
5
2、根据线性代数方程组绘制。 设一组线性方程式如下：
x1 x1 x2 ax1 dx2 ex3 x3 x4 x5 bx2 cx3 x5
8
Σ Li:所有各回路的“回路传递函数”之和； Σ LiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； Σ LiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
9
注意事项：
“回路传递函数”是指反馈回路的前 向通路和反馈回路的传递函数的乘积， 并且包含代表反馈极性的正、负号。
结论：开环传递函数等于前向通路传递函数G(s)和反馈 通路传递函数H(s)的乘积。
30
推广到一般情况：
b m s m b m 1s m 1 b1s b 0 G(s)H(s) a n s n a n 1s n 1 a 1s a 0
2 2 Π( τ i s 1) Π( τ di s 2ζ di τ d s 1) i 2 s ν Π(Ti s 1) Π(Tni s 2ζ ni Tni s 1) i 1 i 1 i 1 ρ i 1 σ u η
26
例3：画出信流图，并利用梅逊公式求取它 的传递函数C(s) / R(s)。
R (s)
+
A
_
1 R1
+
-
B
1 C1 s
C +
D _
1 R2
E
1 C2 s
§2.5 信号流图与梅森公式
R(s) 1
e
g
a f
b
c
h
C(s)
前向通路两条
四个单独回路， 四个单独回路，两个回路互不接触 ab c d + e d (1 – b g) C(s) = – a – bg – c – R(s) 1 f h e h g f + af c h
— ∑L
a
Pk—从R(s)到C(s)的第 条前向通路传递函数 的第k条前向通路传递函数 从 到 的第
称为第k条前向通路的余子式 △k称为第 条前向通路的余子式
求法: 去掉第k条前向通路后所求的 △k求法 去掉第 条前向通路后所求的△ 条前向通路后所求的△
△k=1-∑LA+ ∑LBLC- ∑LDLELF+…
P2= G4G3
L4= – G4G3
P1=G1G2G3
L1= –G1 H1 L2= – G3 H3 L5 = – G1G2G3
L3= – G1G2G3H3H1
L1L2= (–G1H1) (–G3H3) = G1G3H1H3
L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1
G3(s) R(s) R(s) R(s) R(s) G3 (s) E(S)G(s) G33(s) E(S) E(S) E(S) GG (s) 1 (s) G(s)
1 1
梅逊公式求E(s) 梅逊公式求
N(s) N(s) N(s)
G2(s) G2(s) G22(s) G (s) HH (s) 2 (s) H(s) 2 2 C(s) C(s) C(s) C(s)
P2= - G3G2H3 △ 2= 1 P2△2=?
HH (s) 1 (s) H(s) 1 1
H3(s) H3(s) H33(s) H (s)
e
g
a f
b
c
h
C(s)
前向通路两条
四个单独回路， 四个单独回路，两个回路互不接触 ab c d + e d (1 – b g) C(s) = – a – bg – c – R(s) 1 f h e h g f + af c h
— ∑L
a
Pk—从R(s)到C(s)的第 条前向通路传递函数 的第k条前向通路传递函数 从 到 的第
称为第k条前向通路的余子式 △k称为第 条前向通路的余子式
求法: 去掉第k条前向通路后所求的 △k求法 去掉第 条前向通路后所求的△ 条前向通路后所求的△
△k=1-∑LA+ ∑LBLC- ∑LDLELF+…
P2= G4G3
L4= – G4G3
P1=G1G2G3
L1= –G1 H1 L2= – G3 H3 L5 = – G1G2G3
L3= – G1G2G3H3H1
L1L2= (–G1H1) (–G3H3) = G1G3H1H3
L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1
G3(s) R(s) R(s) R(s) R(s) G3 (s) E(S)G(s) G33(s) E(S) E(S) E(S) GG (s) 1 (s) G(s)
1 1
梅逊公式求E(s) 梅逊公式求
N(s) N(s) N(s)
G2(s) G2(s) G22(s) G (s) HH (s) 2 (s) H(s) 2 2 C(s) C(s) C(s) C(s)
P2= - G3G2H3 △ 2= 1 P2△2=?
HH (s) 1 (s) H(s) 1 1
H3(s) H3(s) H33(s) H (s)
控制工程基础6-第2章 (数学模型-4：信号流图及梅逊公式)
N 1
1 R E
G1
Q
G2
O
1
C
R(s ) 1 R( s )
1
×G
G5
H
1
G6 G3 -H 1 G4 1 C (s )
G2 -H2
三个回路
梅森公式
C ( s) 1 n pk k R( s) k 1
△为特征式，其计算公式为
D= 1 - 邋 1 + L
其中:
L2 -
L3 +
n 为从输入节点到输出节点间前向通路的条数；
R(s)
E ( s) B( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C (s)
1 R E
N 1
G1
Q
G2
O
1
C
H (s)
H
信号流图常用的名词术语
（1）输入节点(源节点)：只有输出支路而没有输入支路 的节点，称为源节点。它一般表示系统的输入变量，亦称 输入节点，如图中的节点R和N。 （2）输出节点（阱节点）：只有输入支路而没有输出支 路的节点，称为阱节点。它一般表示系统的输出变量，亦 称输出节点，如图中的节点C （3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点， 称为混合节点，如图中的节点E,Q,O
6
R(s) 1
G1 2
G2 3
G3 4
G4 H1 5
G5 6
C(s)
解：前向通路有3个
1 2 3 4 5 6
1 2 4 5 6来自H2P1 G1G2 G3G4 G5
2 1
1 1
P2 G1G6 G4 G5
1 2 3 6
P3 G1G2 G7
1 R E
G1
Q
G2
O
1
C
R(s ) 1 R( s )
1
×G
G5
H
1
G6 G3 -H 1 G4 1 C (s )
G2 -H2
三个回路
梅森公式
C ( s) 1 n pk k R( s) k 1
△为特征式，其计算公式为
D= 1 - 邋 1 + L
其中:
L2 -
L3 +
n 为从输入节点到输出节点间前向通路的条数；
R(s)
E ( s) B( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C (s)
1 R E
N 1
G1
Q
G2
O
1
C
H (s)
H
信号流图常用的名词术语
（1）输入节点(源节点)：只有输出支路而没有输入支路 的节点，称为源节点。它一般表示系统的输入变量，亦称 输入节点，如图中的节点R和N。 （2）输出节点（阱节点）：只有输入支路而没有输出支 路的节点，称为阱节点。它一般表示系统的输出变量，亦 称输出节点，如图中的节点C （3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点， 称为混合节点，如图中的节点E,Q,O
6
R(s) 1
G1 2
G2 3
G3 4
G4 H1 5
G5 6
C(s)
解：前向通路有3个
1 2 3 4 5 6
1 2 4 5 6来自H2P1 G1G2 G3G4 G5
2 1
1 1
P2 G1G6 G4 G5
1 2 3 6
P3 G1G2 G7
如何用梅逊公式求传递函数
• 通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通 路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前 向通路增益。
• 回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回
路增益。
1/8/2024
如何用梅逊公式求传递函数
4
信号流图的等效变换
• 串联支路合并：
ab x1 x2 x3
8
例2: 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。 然后画出信号流图如下图所示。
k
R(S) b
m
d
V1
l
g V3 e
V2
h
C(S)
f f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
g
1/8/2024
如何用梅逊公式求传递函数
9
信号流图的绘制
例2: 按微分方程拉氏变换后
的代数方程所表示的变量间
信号流图的概念
信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关 系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函 数时较为方便。
一、信号流图及其等效变换
组成：信号流图由节点和支路组成。见下图：
R1
N
1
E G1 P
G2
Q
1
R(s)
C
E(s)
-
G1(s)
N (s)
+ G2(s) C (s)
H
H (s)
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
LdLeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
梅森公式的理解
是包含于，你理解的有点偏差，举个例子如果有三个互不接触的回路，取两个不接触的回路应有三项，取三个互不接触回路就一项。
具体的应该是这样：
梅森公式G(s)=Σ(Ρκ*△κ)╱△G(s)= ——系统总传递函数；n——是前向通道数；Ρκ——第k条前向通路的传递函数，由输入端单向传递至输出端的信号通道称为前向通道；△——流图的特征式△=1-ΣLi+ΣLjLk-ΣLiLjLk+······
L A
bc为每两个不接触回路增益乘积之和
a为所有回路增益之和；L a L b
Li——所有单独回路的增益之和；
LjLk——所有互不接触的单独回路中，取其中两个不接触的回路增益乘积之和；LiLjLk——所有互不接触的单独回路中，取三个互不接触回路增益之和；
△κ——第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式△，将与第k 条前向通路相接触的回路
增益代以零值，余下的即为△κ。
对于复杂的结构，理论上有很多项，但实际上△就取到前两三项。
信号与系统7_梅森公式的证明及应用
梅森公式的证明及应用
电子工程系 无22班 喻浩 赵欣 肖元章 马存庆 蔡金蝉
梅森公式
梅森公式的回顾
大家都知道，用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得
从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）
其表达式为：P
1
n k 1
Pk k
式中： P 总传输（即总传递函数）；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与
第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；
梅森公式的推导
梅森公式的推导（先 用一个一般性的图来证明）
如右图已知信号流图如图所 示，所对应的代数方程为
V1 mV1 lV3 bR
f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
和
1 m bR l 2 g fR e (1 m) fR debR dlfR gbR
d 0 1 [bde f (1 m dl) bg]R
梅森公式的推导
根据克莱姆法则得
C
V2
2
1 (m
[bde f (1 m dl) bg]R dl ke h gkl) mh dlh
j,k
而△值就是
1 Li Lj Lk 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
i
j,k
可见，传递函数的分母△取决于信号流图的拓扑结构特征。
梅森逊公式的推导
1 Li Lj Lk 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
电子工程系 无22班 喻浩 赵欣 肖元章 马存庆 蔡金蝉
梅森公式
梅森公式的回顾
大家都知道，用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得
从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）
其表达式为：P
1
n k 1
Pk k
式中： P 总传输（即总传递函数）；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与
第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；
梅森公式的推导
梅森公式的推导（先 用一个一般性的图来证明）
如右图已知信号流图如图所 示，所对应的代数方程为
V1 mV1 lV3 bR
f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
和
1 m bR l 2 g fR e (1 m) fR debR dlfR gbR
d 0 1 [bde f (1 m dl) bg]R
梅森公式的推导
根据克莱姆法则得
C
V2
2
1 (m
[bde f (1 m dl) bg]R dl ke h gkl) mh dlh
j,k
而△值就是
1 Li Lj Lk 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
i
j,k
可见，传递函数的分母△取决于信号流图的拓扑结构特征。
梅森逊公式的推导
1 Li Lj Lk 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
第2章 第4讲 信号流图及其梅逊公式
X
4
输入节点 输出节点 混合节点
混 合 节 点
X a X
输入节点 d 源点） （源点）
X
5
1
2
b
X
3
输入节点 源点） （源点）
c
输出节点 汇点） （汇点）
4
支路
连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方 连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数） 程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支 程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。 路上沿箭头单向传递。 路上沿箭头单向传递。
-1 Ui 1
1/R1
I1
1/sC1
UA
1
1/R2
I2 1/sC 2
1 Uo
-1
-1
23
(Mason)公式 6 梅逊 (Mason)公式
G —系统总传递函数或增益
1 n G ( s) = ∑ Pk k k =1
条前向通路的传递函数（通路增益） Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增益） —特征式
自动控制原理
第4讲 信号流图及梅 逊公式
杨金显
yangjinxian@
河南理工大学电气工程与自动化学院
1
本节内容
信号流图及其术语 信号代数运算法则 根据微分方程绘制信号流图 根据结构图绘制信号流图 梅逊公式 根据梅逊闭环传递函数
2
1 信号流图概念 信号流图起源于梅逊（ MASON） 信号流图起源于梅逊（S.J. MASON）利用图示法来 描述一个和一组线性代数方程， 描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成 的一种信号传递网络。 的一种信号传递网络。
步骤： 、画出前向通路(可能有多个 可能有多个)； 步骤：1、画出前向通路 可能有多个 ； 2、确定节点(多画一个没有关系 ； 、确定节点 多画一个没有关系 多画一个没有关系)； 3、连接各支路、回路 、连接各支路、
4
输入节点 输出节点 混合节点
混 合 节 点
X a X
输入节点 d 源点） （源点）
X
5
1
2
b
X
3
输入节点 源点） （源点）
c
输出节点 汇点） （汇点）
4
支路
连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方 连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数） 程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支 程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。 路上沿箭头单向传递。 路上沿箭头单向传递。
-1 Ui 1
1/R1
I1
1/sC1
UA
1
1/R2
I2 1/sC 2
1 Uo
-1
-1
23
(Mason)公式 6 梅逊 (Mason)公式
G —系统总传递函数或增益
1 n G ( s) = ∑ Pk k k =1
条前向通路的传递函数（通路增益） Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增益） —特征式
自动控制原理
第4讲 信号流图及梅 逊公式
杨金显
yangjinxian@
河南理工大学电气工程与自动化学院
1
本节内容
信号流图及其术语 信号代数运算法则 根据微分方程绘制信号流图 根据结构图绘制信号流图 梅逊公式 根据梅逊闭环传递函数
2
1 信号流图概念 信号流图起源于梅逊（ MASON） 信号流图起源于梅逊（S.J. MASON）利用图示法来 描述一个和一组线性代数方程， 描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成 的一种信号传递网络。 的一种信号传递网络。
步骤： 、画出前向通路(可能有多个 可能有多个)； 步骤：1、画出前向通路 可能有多个 ； 2、确定节点(多画一个没有关系 ； 、确定节点 多画一个没有关系 多画一个没有关系)； 3、连接各支路、回路 、连接各支路、
自动控制原理--信号流图及梅逊公式应用例题
解：三个回路
La d eg bcg
有两个互不接触回路
Lb Lc deg
则 1 d eg bcg deg
f
1. X1 X 4 , p1 aef , p2 abcf
1 1 d, 2 1
X4 X1
1 ( p1 1
p2 2 )
aef (1 d ) abcf 1 d eg bcg deg
4. 闭环系统的误差传递函数 [ 定义误差 E(s)=R(s)-B(s) ]
e (s)
E(s) R(s)
en (s)
E(s) N(s)
1
G 1
1
, N(s) 0
1 (s)G 2 (s)H(s)
E(s)
G 2 (s)H(s) , R(s) 0
G1 (s)G 2 (s)H(s)
e
(s)R(s)
Tr1
x1 xr
1 (d
a(1 e) e cf ) de
Ty1
x1 y
1 (d
bf e cf
)
de
例2.15 已知系统信号流图，求传递函数。
• 解：三个回路：L1 G2H2
-H1
L2 G1G2H2
L3 G 2G 3H1
• 回路相互均接触，则：
R
G1
G2
G3
H2 -H2
G4
例2.13 绘制结构图对应的信号流图(1) 。
Ui(s) (-)
(-)
1 I1(s)
1 U(s)
R1
IC(s) C1s
(-)
1
1
R2 I2(s) C2 s
Uo(s)
Ui(s)
-1
1/R1
1/C1s
IC(s)
La d eg bcg
有两个互不接触回路
Lb Lc deg
则 1 d eg bcg deg
f
1. X1 X 4 , p1 aef , p2 abcf
1 1 d, 2 1
X4 X1
1 ( p1 1
p2 2 )
aef (1 d ) abcf 1 d eg bcg deg
4. 闭环系统的误差传递函数 [ 定义误差 E(s)=R(s)-B(s) ]
e (s)
E(s) R(s)
en (s)
E(s) N(s)
1
G 1
1
, N(s) 0
1 (s)G 2 (s)H(s)
E(s)
G 2 (s)H(s) , R(s) 0
G1 (s)G 2 (s)H(s)
e
(s)R(s)
Tr1
x1 xr
1 (d
a(1 e) e cf ) de
Ty1
x1 y
1 (d
bf e cf
)
de
例2.15 已知系统信号流图，求传递函数。
• 解：三个回路：L1 G2H2
-H1
L2 G1G2H2
L3 G 2G 3H1
• 回路相互均接触，则：
R
G1
G2
G3
H2 -H2
G4
例2.13 绘制结构图对应的信号流图(1) 。
Ui(s) (-)
(-)
1 I1(s)
1 U(s)
R1
IC(s) C1s
(-)
1
1
R2 I2(s) C2 s
Uo(s)
Ui(s)
-1
1/R1
1/C1s
IC(s)
(完整)系统的信号流图与梅森公式
6-5 系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。
例如，图6—29(a）所示的系统框图，可用图6-29(b）来表示,图（b)即为图（a)的信号流图。
图（b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输（或流动）方向,支路上标注的H(s）代表支路(子系统）的传输函数.这样，根据图6—29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系,即图6—29二、三种运算器的信号流图表示三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。
由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加（求和）的作用，如表中第一行中的节点Y（s)即是。
三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换,其规则是:（1) 在转换中,信号流动的方向（即支路方向)及正、负号不能改变。
(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。
根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即。
(3) 模拟图（或框图）中先是“分点"后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6—31所示。
（4) 模拟图(或框图）中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路（若不增加,就会出现环路的接触,此时就必须增加)，但有时则不需增加（若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。
见例6—17）。
(5) 在模拟图（或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点"之间增加一条传输函数为1的支路（见例6—17).(6) 在模拟图（或框图）中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中,可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路（也可以不增加,见例6—17)。
信号与系统第七章(3)信号流图
7.3 信号流图
本节主要内容：
一、信号流图 1、信号流图的术语 2、信号流图的基本性质 3、信号流图化简的基本规则 二、梅森公式
本节重点、难点
重点：
一、信号流图 二、梅森公式
难点: 梅森公式的应用
§.3 信号流图
一、信号流图的概念
如图 （a）的框图，
它表征了输入 F () F(s) 与输出Y (的) 关系，
由方程211sususcsi????322sususcsi????433sususcsi????212sisirsu????323sisirsu????34srisu??可画出信号流图scscscscscscrrrrru1u2u3u4i1i2i3scscscscscscrrrrru1u2u3u4i1i2i322求转移电压比14susush??32314651scrscrscrscrsusush??????????33求输入阻抗11sisuszin??先求1111susisusisyin????scu1scscscscscrrrrru2u3u4i1i2i31i1scu1scscscscrrrru2u3u4i1i2i31i132211651341scrscrscrscrscrscsusisyin??????????????34165123211scrscrscscrscrscrsisuszin??????????????本节小结一掌握信号流图的基本概念性质和系统的信号流图表示方法
x2
（2）当结点有多个输入时，该结点将所有输
入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结
点相连的输出支路。
x4 ax1 bx2 cx3
x5 dx4 dax1 bx2 cx3 x6 ex4 eax1 bx2 cx3
自动控制原理03信号流图,梅逊公式
1 1
2 1 P2 2
abcdefg
abhfg (1 d )
1 b d f bd df bf bdf
2.4.2 梅逊增益公式
例题2：已知系统的动态结构图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
解：首先进行分析
G1
X2
X3
G2 H1
G3
X4
G4
C(s)
R
1
X1
G1
X2
G2 X3 -1 -H1
G3
X4
G4
C
2.4 信号流图与梅森公式
2.4.2 梅逊增益公式
P G (s) 1
n
k 1
Pk
--特征式
k
1
La
Lb Lc
Ld Le L f
{
例题1：已知系统的信号流图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
h a b -1 c d -1 e f -1
g
R(s)
C(s)
解：首先对信号流图进行分析，找到梅逊公式中的相关信息 系统有：2条前向通道，3个闭合回路，3组两两互不接触回 路， 1组三三互不接触回路 然后写出各项的取值：
2.4.2 梅逊增益公式 例题1：P1
3 1
，找到梅逊公式中 的相关信息
G2
R(s)
G1 H
G3 G4
C(s)
系统有：3条前向通道，2个闭合回路，0组两两互不接触回路
P1 G 1 G 3
P2 G 2 G 3
P3 G 1 G 4
1 G1H G 2 H
2 1 P2 2
abcdefg
abhfg (1 d )
1 b d f bd df bf bdf
2.4.2 梅逊增益公式
例题2：已知系统的动态结构图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
解：首先进行分析
G1
X2
X3
G2 H1
G3
X4
G4
C(s)
R
1
X1
G1
X2
G2 X3 -1 -H1
G3
X4
G4
C
2.4 信号流图与梅森公式
2.4.2 梅逊增益公式
P G (s) 1
n
k 1
Pk
--特征式
k
1
La
Lb Lc
Ld Le L f
{
例题1：已知系统的信号流图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
h a b -1 c d -1 e f -1
g
R(s)
C(s)
解：首先对信号流图进行分析，找到梅逊公式中的相关信息 系统有：2条前向通道，3个闭合回路，3组两两互不接触回 路， 1组三三互不接触回路 然后写出各项的取值：
2.4.2 梅逊增益公式 例题1：P1
3 1
，找到梅逊公式中 的相关信息
G2
R(s)
G1 H
G3 G4
C(s)
系统有：3条前向通道，2个闭合回路，0组两两互不接触回路
P1 G 1 G 3
P2 G 2 G 3
P3 G 1 G 4
1 G1H G 2 H
梅森公式——精选推荐
、 梅森公式(Mason ’s Formula)从系统的信号流图直接求系统函数()()()s F s Y s H =的计算公式，称为梅森公式。
该公式如下：()()()∑∆∆==k kk P 1s F s Y s H (6-34)此公式的证明甚繁，此处略去。
现从应用角度对此公式予以说明。
式中+-+-=∆∑∑∑r,q .p r q p n,m n m iI L L L L L L 1 (6-35)Δ称为信号流图的特征行列式。
式中：i L 为第i 个环路的传输函数， i i L 为所有环路传输函数之和；n m L L 为两个互不接触环路传输函数的乘积，n m L mL 为所有两个互不接触环路传输函数乘积之和；r q p L L L 为三个互不接触环路传输函数的乘积， ∑rq,p,rq p L L L 为所有三个互不接触环路传输函数乘积之和；k P 为由激励节点至所求响应节点的第k 条前向开通路所有支路传输函数的乘积；k ∆为除去第k 条前向通路中所包含的支路和节点后所剩子流图的特征行列式。
求k ∆的公式仍然是式(6-35)。
例6-19 图6-34(a)所示系统。
求系统函数()()()s F s Y s H =。
解：1 求Δ(1) 求∑iiL：该图共有5个环路，其传输函数分别为2L 1=，8,42L 2=⨯=()-11-1L 3=⨯= 2L 4=，()421-2L 5=⨯⨯-=故 ∑iiL15L L L L L 54321=++++=)s ()a ()b图6-34(2) 求 ∑nm,nmL L:该图中两两互不接触的环路共有3组：()1628L L 422L L 212L L 424131=⨯==⨯=-=-⨯=故 18L L L L L L L L424131nm,n m=++=∑该图中没有3个和3个以上互不接触的环路，故有 0LL L rrq,p,qp=∑；…。
故得418151L L L L L L -1r rq,p,q p n,m n m ii =+-=+-+=∆∑∑∑2 求∑∆kkk P(1) 求k P ：该图共有3个前向通路，其传输函数分别为1111P 1=⨯⨯=()-41141-1P 2=⨯⨯⨯⨯= ()()2121-1P 3=⨯-⨯⨯=(2) 求k ∆:除去1P 前向通路中所包含的支路和节点后，所剩子图如图6-34(b)所示。
信号流图梅森公式
支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而 变换为另一信号。
信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因 果关系。
对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图 不是唯一的。
Sunday, March 08, 2020
8
信号流图的绘制
[信号流图的绘制]：
根据结构图
列出系统各环节的拉氏方程，按变量间的数学关系绘制
Ld LeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征余子式；其值为 中除去与第k个
前向通道接触的回路后的剩余部分。
Sunday, March 08, 2020
13
梅逊公式||例2-13a
n
Pk k
P k 1
例2-13a：求速度控制系统的总传输(s) 。（不计扰动）
Sunday, March 08, 2020
12
梅逊公式
P
1
n k 1
Pk k
1 La LbLc Ld LeLf ...（正负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
1
Pk k
k 1
P11
G1G2G3Gu 1 G1G2G3GuGf
Sunday, March 08, 2020
14
梅逊公式||例2-13
[例2-13]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算 总传递函数。
ui (s) ue (s) 1 I1(s) -
1 u(s)
-
R1
P1 G1G2G3G4 P2 G1G2G7G4
信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因 果关系。
对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图 不是唯一的。
Sunday, March 08, 2020
8
信号流图的绘制
[信号流图的绘制]：
根据结构图
列出系统各环节的拉氏方程，按变量间的数学关系绘制
Ld LeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征余子式；其值为 中除去与第k个
前向通道接触的回路后的剩余部分。
Sunday, March 08, 2020
13
梅逊公式||例2-13a
n
Pk k
P k 1
例2-13a：求速度控制系统的总传输(s) 。（不计扰动）
Sunday, March 08, 2020
12
梅逊公式
P
1
n k 1
Pk k
1 La LbLc Ld LeLf ...（正负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
1
Pk k
k 1
P11
G1G2G3Gu 1 G1G2G3GuGf
Sunday, March 08, 2020
14
梅逊公式||例2-13
[例2-13]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算 总传递函数。
ui (s) ue (s) 1 I1(s) -
1 u(s)
-
R1
P1 G1G2G3G4 P2 G1G2G7G4
信号流图及梅逊公式
R(s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
(2)扰动信号下的闭环 传函：R(s)=0
N(s)
1
R(s) 1
G1(s) G2(s) -H(s)
E(s)
N (s) = C (s) =
G2 (s)
N (s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
1
C(s)
所以当输入信号和扰动信号同时作用时， 系统输出为：
C (s) =(s) R(s) + N (s) N (s) = G1 (s)G2 (s) R(s) + G2 (s) N (s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
(3)闭环系统的误差传递函数(以E(s)为输
出的传递函数)：
N(s)
1
R(s) 1
G1(s) G2(s) -H(s)
1
C(s)
+ [G1G2 + G1G3 + G2G3 + G1G2G3 ] [ G1G2G3 ]
例4：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
P = C (s)= p1 1 + p2 2 + p3 3 + p4 4 R(s)
=
G1G3 K (1 + G1 ) + G2G3 K (1 + G2 )
1 + G1 + G2 + G3 + 2G1G2 + G1G3 + G2G3 + 2G1G2G3
L(1) —— 所有单独回路增益之和； L(2) —— 两个互不接触回路增益乘积之和； L( m ) —— m个不接触回路增益乘积之和。
例3：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
自动控制原理_第2章_5
前向通路中各支路传输的乘积，称为前向通路增益， 相当于方框图中的前向通道传递函数。
6
2.4.2 控制系统的信号流图
控制系统的信号流图可以根据系统运动方程的 拉氏变换式所构成的代数方程来绘制。
7
控制系统方框图与信号流图的对照
R( s )
G ( s)
Y ( s)
R( s )
G ( s)
Y ( s)
R( s ) ( s)
L7 G2G8 H3
41
该信号流图含有每两个互不接触的回路增益乘积：
G8
G7
R( s) G1
G9 G3 G4 G5 G6
1 1 1 Y ( s)
G2
H1 H3
H2
L1L2 G4G6 H1H 2 L1L7 G2G4G8 H1H3 L2 L7 G2G6G8 H2 H3
42
该信号流图含有每三个互不接触的回路增益乘积：
G2
H1 H3
H2
L6 G7G4G9G6 H3
39
第7条回路
G8
G7
R( s) G1
G9 G3 G4 G5 G6
1 1 1 Y ( s)
G2
H1 H3
H2
L7 G2G8 H3
40
即
L1 G4 H1 L2 G6 H 2
L3 G2G3G4G5G6 H3 L4 G2G3G4G9G6 H3 L5 G7G4G5G6 H3 L6 G7G4G9G6 H3
G3 (s)
R( s )
1
E ( s) G1 ( s)
1
G2 (s)
Y ( s)
1
Y ( s)
E (s)
1
控制系统的信号流图
解 由图1-37可知，信号流图共有两条前向通道,即 n2
第一条前向通道的传输为 P1 acegi 第二条前向通道的传输为 P2 kgi 信号流图共有6个回环 ，不同回环的传输之和为
L1 ab cd ef gh ij kfdb
信号流图含有两两互不接触回路的传输增益乘积之和 为
L2 abef abgh abij cdgh cdij efij kfdbij
三个回环均与前向通道P1接触，所以
1 1
根据梅森公式，系统的传递函数为
G(s) C(s) P11
G1G2G3G4
R(s) 1 G2G3G6 G3G4G5 G1G2G3G4G7
例1-11 试应用梅森增益公式求如图1-37所示 系统的传递函数C(s) / R(s) 。
图1-37系统信号流图
自动控制原理
控制系统的信号流图
在控制工程中，信号流图是表示控制系统 各变量间相互关系及信号流程的另一种图示方 法。
信号流图方法是S.J.梅森(Mason)1953年首 先提出的，故信号流图又称梅森图。
符号简单，便于绘制，可以通过梅森公式 （不必经过图形简化）直接求得系统的传递函 数。
1.1 信号流图的基本术语
1 (ab cd ef gh ij kfbd ) (abef abgh abij cdgh cdij efij kfbdij) abefij
自动控制原理
支路表示了一个信号对另一个信号的函数关系， 对于给定的系统，信号流图不是唯一的。由于 同一系统的方程组可以写成不同的形式，因此 对于给定的系统，可以画出许多种不同的信号 流图。
节点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总 和信号传送到所有支路。
控制系统方框图与信号流图是一一对应的，同 时也是可以相互转化的。
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C [sU o(s)－ uo(0)]＝ I(s)
2020/6/26
17
L [ s I( s ) － i( 0 ) ] ＋ R I( s ) ＝ U i( s ) － U o ( s ) C [sU o(s)－ uo(0)]＝ I(s)
3 按照因果关系，将各变量重新排列得方程组：
I(s)＝Ui(sL)s－ ＋URo(s)＋s＋ i(0R) L
G1
R
C
-
G2
2020/6/26
42
解：由结构图绘制出信号流图。
x2 G1
x3
1 R(s) 1 x1
1
1
1 G2
x6
-1
1 x4 C(s) 1 x5
2020/6/26
43
单独回路有5条：
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 :L 1 G 1 R(s)
x2 G1 x3
x1
x4
G2 x6 -1 x5
N ——前向通路的总数。
2020/6/26
27
例1 利用梅森公式，求：C(s)/R(s)。
2020/6/26
28
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
a
b
c
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
L1=G4H1
2020/6/26
29
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
a
b
c
Uo(s)＝IC(s)＋uos(0)
2020/6/26
18
I(s)＝Ui(sL)s－ ＋URo(s)＋s＋ i(0R) L
Uo(s)＝IC(s)＋uos(0)
4 按照方程组绘制信流图
i(0 )
1
1 R
1
L1
U i ( s ) 1 Ui(s)Uo(s)
Ls R
I (s)
C
-1
2020/6/26
uo (0) 1 s
-H2
❖ 前向通道有三个：
P1=G1G2G3G4G5
1 1
2020/6/26
34
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
C(s)
a
b
c
d
-H1
-H2
❖ 前向通道有三个：
P1=G1G2G3G4G5
1 1
P2=G1G6G4G5
2 1
2020/6/26
35
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
C(s)
a
表示。
2020/6/26
9
x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每 个节点只通过一次的通路。
前向通路增益：前向通路上各支路增益的的乘 积。一般用Gk来表示。
2020/6/26
10
x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每 个节点只通过一次的通路。
U o(s)
19
❖由系统结构图绘制信号流图
比较点 结构图：输入量 引出点 方框
信号线
输出量
信流图：输入节点 混合节点 支路 输出节点
信号流图包含了结构图所包含的全部信息， 在描述系统性能方面，其作用是相等的。但是， 在图形结构上更简单方便。
2020/6/26
20
由系统结构图绘制信号流图的步骤
1）将方框图的所有信号(变量)换成节点， 并按方框图的顺序分布好； 2）用标有传递函数的线段(支路)代替结构 图中的方框。
2020/6/26
15
例 绘制RLC电路的信号流图，设电容初始电压为uo(0)， 回路中电流的初始值为i(0)。
2020/6/26
16
1 列写网络微分方程式如下：
Ldd i(tt)＋ Ri(t)＝ ui(t)－ uo(t) C duo (t) ＝i(t) dt
2 方程两边进行拉氏变换：
L [ s I( s ) － i( 0 ) ] ＋ R I( s ) ＝ U i( s ) － U o ( s )
x2 G1 x3
x1
x4
G2 x6 -1 x5
2020/6/26
46
单独回路有5条：
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 :L 1 G 1 x 1 x 6 x 5 x 4 x 1 :L 2 G 2 R(s)
x2 G1 x3
x1
x4
x 2 x 3 x 6 x 5 x 2 :L 3 G 1 G 2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点 和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
2020/6/26
8
x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点 和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
不接触回路：各回路间没有公共节点的回路。
回路增益：回路中所有支路增益的乘积。一般用La
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
L1=G4H1
L2=G2G7H2
2020/6/26
30
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
a
b
c
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
L1=G4H1 L3=G6G4G5H2
L2=G2G7H2
2020/6/26
31
2 1 3 1 L1
2020/6/26
37
Δ=1-(L1+L2+L3+L4)+L1L2
将 G1= G1G2G3G4G5
G2= G1G6G4G5
Δ1=1 Δ2=1
代入
G
1 Δ
N
kΣ1GkΔk
G3= G1G2G7
Δ3=1-L1
得系统的传递函数C(s)/R(s)为
C R((sG s ))Δ 1(1 p Δ 1p2Δ2p3Δ3)
2020/6/26
21
画出系统的信流图。
R(s)
2020/6/26
G6
G7
G1 a
G2 b
G3 c
G4
G5
d
-H1
-H2
C(s)
22
注意：引出点和比较点相邻的处理
2020/6/26
23
例 绘制下图所示系统结构图对应的信号流图。
2020/6/26
24
解：1 将结构图的变量换成节 点，并按结构图的顺序分 布好；
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
a
b
c
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
L1=G4H1 L3=G6G4G5H2
L2=G2G7H2 L4=G 2G 3G 4G 5H 2
2020/6/26
32
G6
G7
R(s)
G1 a
用梅森公式
G2 b
G3 c
G4
G5
d
-H1
-H2
❖ 该系统中有四个独立的回路：
x2 x3 x2
x3 x4 x3
不接触回路(2组) x2x3x2和 x4 x4
x2 x4 x3 x2 x3 x4 x5 x3
x2 x5 x3 x2和 x4 x4
x2 x5 x3 x2
x2 x4 x 5 x 3 x2
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12
说明
1 信流图是线性代数方程组结构的一种图形表示， 两者一一对应。
x1
a
x5
1
b
x2
d
e
c
x4
x3
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信号流图的绘制
❖由原理图绘制信号流图
(1)列写系统原理图中各元件的原始微分方程式。 (2)将微分方程组取拉氏变换，并考虑初始条件， 转换成代数方程组。 (3)将每个方程式整理成因果关系形式。 (4)将变量用节点表示，并根据代数方程所确定 的关系，依次画出连接各节点的支路。
L1=G4H1
L2=G2G7H2
L3=G6G4G5H2
L4=G 2G 3G 4G 5H 2
❖ 互不接触的回路L1 L2。所以，特征式
= 1 -(L 1 + L 2 + L 3 + L 4 )+ L 1 L 2
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C(s)
33
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
C(s)
a
b
c
d
-H1
m
m
m
=1-(所有单独回路增益之和)+(任意两个互不
接触回路增益乘积之和)–(任意三个互不接触回路增
益乘积之和)+¨¨¨
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26
G
1 Δ