控制系统的信号流图和梅森公式

x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点 和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
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x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点 和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
不接触回路：各回路间没有公共节点的回路。
回路增益：回路中所有支路增益的乘积。一般用La
2 1 3 1 L1
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Δ=1-(L1+L2+L3+L4)+L1L2
将 G1= G1G2G3G4G5
G2= G1G6G4G5
Δ1=1 Δ2=1
代入
G
1 Δ
N
kΣ1GkΔk
G3= G1G2G7
Δ3=1-L1
得系统的传递函数C(s)/R(s)为
C R((sG s ))Δ 1(1 p Δ 1p2Δ2p3Δ3)
控制系统的信号流图和梅森公式
2-5 信号流图和梅森公式
项目
内容
学习目的
掌握由信号流图利用梅森公式求取传递函数的方 法。
重 点 利用梅森公式求取传递函数
难 点 闭环系统有关传函的一些基本概念
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本节内容
➢信号流图的组成和绘制 ➢MASON公式→求系统传递函 ➢闭环系统有关数传函的一些基本概念
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。相 当于结构图中的信号比较点和引出点。它上面的信 号是所有输入支路引进信号的叠加。
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x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点 和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
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x1
a x2
表示。
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x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每 个节点只通过一次的通路。
前向通路增益：前向通路上各支路增益的的乘 积。一般用Gk来表示。
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x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每 个节点只通过一次的通路。
N ——前向通路的总数。
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例1 利用梅森公式，求：C(s)/R(s)。
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G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
a
b
c
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
L1=G4H1
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G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
a
b
c
L1=G4H1
L2=G2G7H2
L3=G6G4G5H2
L4=G 2G 3G 4G 5H 2
❖ 互不接触的回路L1 L2。所以，特征式
= 1 -(L 1 + L 2 + L 3 + L 4 )+ L 1 L 2
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C(s)
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G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
C(s)
a
b
c
d
-H1
Uo(s)＝IC(s)＋uos(0)
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I(s)＝Ui(sL)s－ ＋URo(s)＋s＋ i(0R) L
Uo(s)＝IC(s)＋uos(0)
4 按照方程组绘制信流图
i(0 )
1
1 R
1
L1
U i ( s ) 1 Ui(s)Uo(s)
Ls R
I (s)
C
-1
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uo (0) 1 s
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单独回路有5条：
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 :L 1 G 1 x 1 x 6 x 5 x 4 x 1 :L 2 G 2 R(s)
x2 G1 x3
x1
x4
G2 x6 -1 x5
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单独回路有5条：
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 :L 1 G 1 x 1 x 6 x 5 x 4 x 1 :L 2 G 2 R(s) x 2 x 3 x 6 x 5 x 2 :L 3 G 1 G 2
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一 信号流图的组成和绘制
对于复杂的控制系统，结构图的简化过程 仍较复杂，且易出错。
信号流图：对系统的结构和信号（变量）传
递过程的数学关系的图解描述。
优点：用梅森公式可以直接写出系统的传递函 数，无需对信号流图进行化简和变换。
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4
基本组成： 由节点、支路组成
x
y
x2 G1 x3
x1
x4
G2 x6 -1 x5
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单独回路有5条：
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 :L 1 G 1 x 1 x 6 x 5 x 4 x 1 :L 2 G 2 R(s)
x2 G1 x3
x1
x4
x 2 x 3 x 6 x 5 x 2 :L 3 G 1 G 2
G 1G 2G 3G 4G 5G 1G 6G 4G 3G 1G 2G 7( 1G 4H 1)
1G 4H 1G 2G 7H 2G 6G 4G 5H 2G 2G 3G 4G 5H 2G 4H 1G 2G 7H 2
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例2：求系统传递函数。 e
g
R(s) 1
a
b
c
d
C(s)
f
h
四个单独回路，两个回路互不接触。
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e
f
a
b
c
d
g
h
i
G1abcd,11 G 2ade,21f 由 梅 森 公 式 ， 得 传 递 函 数
C (s)
a b c d a d e (1 f)
R (s) 1 b g b c i e h g e if c h e if
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例4 用梅森公式求系统传递函数。
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画出系统的信流图。
R(s)
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G6
G7
G1 a
G2 b
G3 c
G4
G5
d
-H1
-H2
C(s)
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注意：引出点和比较点相邻的处理
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例 绘制下图所示系统结构图对应的信号流图。
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解：1 将结构图的变量换成节 点，并按结构图的顺序分 布好；
C [sU o(s)－ uo(0)]＝ I(s)
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L [ s I( s ) － i( 0 ) ] ＋ R I( s ) ＝ U i( s ) － U o ( s ) C [sU o(s)－ uo(0)]＝ I(s)
3 按照因果关系，将各变量重新排列得方程组：
I(s)＝Ui(sL)s－ ＋URo(s)＋s＋ i(0R) L
2 用标有传递函数的线段 (支路)代替结构图中的函 数方框。
G 2 (s)
R (s)
1
a
G 1(s)
b
1
H (s)
a
bc
G 3(s)
c
C (s)
G 4 (s)
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梅森公式
输入与输出两个节点间的传递函数可用梅森公
式来求取：
G
1 Δ
N
kΣ1GkΔk
式中：Δ——信流图的特征式
1 Lm 1 Lm 2 Lm 3LL
x1 x1 x 2 ax1 dx 2 ex3 x 3 bx 2 fx 5 x 4 cx3 x5 x5
x1
a x2
d
x5
f
b
c
x4
x3
e
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2 对于一个给定的系统，由于描述同一个系统的方 程可以表示为不同的形式，因此信号流图不是唯一 的。
3 混合节点可以通过增加一个增益为1的支路变成 为输出节点,且两节点的变量相同。
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例 绘制RLC电路的信号流图，设电容初始电压为uo(0)， 回路中电流的初始值为i(0)。
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1 列写网络微分方程式如下：
Ldd i(tt)＋ Ri(t)＝ ui(t)－ uo(t) C duo (t) ＝i(t) dt
2 方程两边进行拉氏变换：
L [ s I( s ) － i( 0 ) ] ＋ R I( s ) ＝ U i( s ) － U o ( s )
G1
R
C
-
G2
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解：由结构图绘制出信号流图。
x2 G1
x3
1 R(s) 1 x1
1
1
1 G2
x6
-1
1 x4 C(s) 1 x5
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单独回路有5条：
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 :L 1 G 1 R(s)
x2 G1 x3
x1
Leabharlann Baidu
x4
G2 x6 -1 x5
前向通路增益：前向通路上各支路增益的的乘 积。一般用Gk来表示。
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11
Mixed node
a53
a32
input node
a43
a44
(source) x1
1
a12 2
3
x2
a23 x3 a34 4 x4 a45
单独回路(7个)
a24 a25
1 Output node
5
x5
x6
x4 x4
x2 x3 x2
x3 x4 x3
不接触回路(2组) x2x3x2和 x4 x4
x2 x4 x3 x2 x3 x4 x5 x3
x2 x5 x3 x2和 x4 x4
x2 x5 x3 x2
x2 x4 x 5 x 3 x2
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说明
1 信流图是线性代数方程组结构的一种图形表示， 两者一一对应。
前向通路两条。
C(s)
abc d + e d (1 – bg)
R(s)
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=
1 – af
– bg – ch– eh g f +af ch
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例3：求系统的传递函数
e
f
a
b
c
d
g
h
i
单 独 回 路 : L 1 b g ,L 2 b c i L 3 e h g ,L 4 e i ,L 5 f,L 6 c h 两 两 互 不 接 触 回 路 : L 4 L 5 e i f 1 b g b c i e h g e i f c h e i f
m
m
m
=1-(所有单独回路增益之和)+(任意两个互不
接触回路增益乘积之和)–(任意三个互不接触回路增
益乘积之和)+¨¨¨
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G
1 Δ
N
kΣ1GkΔk
Gk ——N条前向通路中第k条前向通路的增益； Δk——第k条前向通路余因式，即与第k条前向 通路不接触部分的Δ值（特征式）； 去掉第K条前向通路后剩余的流图的特征式。
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
L1=G4H1
L2=G2G7H2
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G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
a
b
c
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
L1=G4H1 L3=G6G4G5H2
L2=G2G7H2
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G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
a
b
c
d
C(s)
-H1
-H2
用梅森公式
❖ 该系统中有四个独立的回路：
L1=G4H1 L3=G6G4G5H2
L2=G2G7H2 L4=G 2G 3G 4G 5H 2
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G6
G7
R(s)
G1 a
用梅森公式
G2 b
G3 c
G4
G5
d
-H1
-H2
❖ 该系统中有四个独立的回路：
b
c
d
-H1
-H2
❖ 前向通道有三个：
P1=G1G2G3G4G5
1 1
P2=G1G6G4G5 P3 =G1G2G7
2 1 3 1 L1
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G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
C(s)
a
b
c
d
-H1
-H2
❖ 前向通道有三个：
P1=G1G2G3G4G5
1 1
P2=G1G6G4G5 P3 =G1G2G7
U o(s)
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❖由系统结构图绘制信号流图
比较点 结构图：输入量 引出点 方框
信号线
输出量
信流图：输入节点 混合节点 支路 输出节点
信号流图包含了结构图所包含的全部信息， 在描述系统性能方面，其作用是相等的。但是， 在图形结构上更简单方便。
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由系统结构图绘制信号流图的步骤
1）将方框图的所有信号(变量)换成节点， 并按方框图的顺序分布好； 2）用标有传递函数的线段(支路)代替结构 图中的方框。
x1
a
x5
1
b
x2
d
e
c
x4
x3
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信号流图的绘制
❖由原理图绘制信号流图
(1)列写系统原理图中各元件的原始微分方程式。 (2)将微分方程组取拉氏变换，并考虑初始条件， 转换成代数方程组。 (3)将每个方程式整理成因果关系形式。 (4)将变量用节点表示，并根据代数方程所确定 的关系，依次画出连接各节点的支路。
-H2
❖ 前向通道有三个：
P1=G1G2G3G4G5
1 1
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34
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
C(s)
a
b
c
d
-H1
-H2
❖ 前向通道有三个：
P1=G1G2G3G4G5
1 1
P2=G1G6G4G5
2 1
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G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
C(s)
a
G
x Gy
节点：节点表示信号。输入节点表示输入信号，输出 节点表示输出信号。
支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向 表示信号传送方向。传递函数标在支路上箭头的旁边， 称支路增益。
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x5
x1
a x2
d
有关术语
f
b
c
x4
x3
e
输入节点：源节点。只有输出支路。
输出节点：阱节点。只有输入支路。