52_6半无限深势阱_一维势垒

p2 E= 2m
2 p∆ p p∆ p →∆ E = = 2m m
→ E+∆E > U0 ∆
8
很小时， 和 很大 以致可以有： 很大， ∆x = a很小时， ∆P和∆E很大，以致可以有： 很小时
∆E > U 0 − E
势垒贯穿（隧道效应） • 势垒贯穿（隧道效应）
U ( x ) = 0, x < 0, x > a
电子云重叠 U0 U0
A d B
隧道电流i 隧道电流 探针 U
E A d B
样品
由于电子的隧道效应， 由于电子的隧道效应，金 属中的电子并不完全局限 于表面边界之内， 于表面边界之内，电子密 度并不在表面边界处突变 为零， 为零，而是在表面以外呈 指数形式衰减， 指数形式衰减，衰减长度 越为1nm。 越为 。
空气隙 样品 STM工作示意图 工作示意图
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d变~ 10nm 变
i 变几十倍，非常灵敏。 变几十倍，非常灵敏。
竖直分辨本领可达约百分之几 nm； ； 横向分辨本领与探针、样品材料及绝缘物有关， 横向分辨本领与探针、样品材料及绝缘物有关， 在真空中可达0.2nm 在真空中可达 技术关键： 技术关键： 1. 消震：多级弹簧，底部铜盘涡流阻尼。 消震：多级弹簧，底部铜盘涡流阻尼。 2. 探针尖加工：电化学腐蚀，强电场去污， 探针尖加工：电化学腐蚀，强电场去污， 针尖只有1~2个原子！ 个原子！ 针尖只有 个原子 3. 驱动和到位：利用压电效应的逆效应 驱动和到位： —— 电致伸缩，一步一步扫描。 电致伸缩，一步一步扫描。 扫描一步0.04nm， 扫描 µ2 ，用0.7s ， 扫描1µ 扫描一步 4. 反馈：保持 不变 反馈：保持i不变 d不变（不撞坏针尖） 不变（不撞坏针尖） 不变
例如，电子可逸出金属表面， 例如，电子可逸出金属表面， 在金属表面形成一层电子气。 在金属表面形成一层电子气。 7
怎样理解粒子通过势垒区? 怎样理解粒子通过势垒区 经典物理：粒子不能进入E 的区域(动能 经典物理：粒子不能进入 < U的区域 动能< 0)。 的区域 动能< 。 量子物理：粒子有波动性，遵从不确定关系， 量子物理：粒子有波动性，遵从不确定关系， 粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。 粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。 只要势垒区宽度∆ 不是无限大， 只要势垒区宽度∆ x = a 不是无限大， 粒子能量就有不确定量∆ 粒子能量就有不确定量∆E
3
类似于简谐振子的方程，其通解： 类似于简谐振子的方程，其通解：
ϕ ( x) = A sin(kx + B)
所以， 所以，
B = 0;
0≤0≤a
k
2
2 mE = ℏ2
代入边界条件得： 代入边界条件得： ϕ ( 0 ) = A sin B = 0
∴ϕ(x) = Asin( kx)
0≤ x ≤a
3、在x>a 区域粒子势能不为零（U0），定态薛定谔方程 、 区域粒子势能不为零（ ），定态薛定谔方程
x ≤ 0, x ≥ a
n = 1, 2 ,3 , ⋯ 0≤ x≤a
一维无限深方势阱
ϕ n ( x ) = 0,
ϕ n ( x) =
2
2 nπx sin( ), a a
2
ℏ π En = n2 2 ma 2
n = 1, 2,3, ⋯
1
提纲
§5 一维势阱问题 分立谱 • 半无限深方势阱 §6 一维方势垒 • 势垒贯穿（隧道效应） 势垒贯穿（隧道效应） * 薛定谔方程、边界条件、结果讨论 薛定谔方程 边界条件、 方程、 • 隧道效应的应用 * 隧道效应和扫描隧道显微镜 隧道效应和扫描隧道显微镜STM * 核的α衰变
发明STM 发明
鲁斯卡（ 鲁斯卡（E.Ruska） 1932发明电 ） 发明电 子显微镜 STM是一项技术上的重大发明，用于观察 是一项技术上的重大发明， 是一项技术上的重大发明 表面的微观结构（不接触、不破坏样品）。 表面的微观结构（不接触、不破坏样品）。
原理： 原理：利用量子力学的隧道效应
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U0
U ( x)
U0
方程的解必处处为零,根据 方程的解必处处为零 根据 波函数的标准化条件， 波函数的标准化条件，在边界上
ϕ ( x) = 0
x≤0
E2 E1
o
a
x
2、在0<x<a 区域粒子势能为零，定态薛定谔方程 、 区域粒子势能为零，
− ℏ 2 d 2ϕ ( x ) = Eϕ ( x ) 2 2m dx 0< x<a
2
二、 半无限深方势阱
∞, U ( x) = 0, 已知粒子所处的势场为 U , 0
x < 0 0 < x < a x > a
1、在x<0粒子势能为无穷大 定态薛定谔方程 、 粒子势能为无穷大,定态薛定谔方程 粒子势能为无穷大
− ℏ 2 d 2ϕ ( x ) + ∞ ⋅ ϕ ( x ) = Eϕ ( x ) 2 2 m dx x<0
i ∝ Ue
−A φ d
A——常量 常量 垒高度（ 垒高度（~eV） ） 。 d ~ 10A d变 变 i变， 变 反映表面情况。 反映表面情况。
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样品表面平均势 φ ——样品表面平均势
因隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 因隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。对于 表面起伏不大的样品，若控制针尖高度不变， 表面起伏不大的样品，若控制针尖高度不变，通过 隧道电流的变化可得到表面态密度的分布； 隧道电流的变化可得到表面态密度的分布； 利用STM可以分辨表面上 可以分辨表面上 利用 原子的台阶、 原子的台阶、平台和原子 阵列。可以直接绘出表面 探针 阵列。 的三维图象 使人类第一次能够实时地观 测到单个原子在物质表面上 的排列状态以及与表面电子 行为有关的性质。 行为有关的性质。在表面科 学、材料科学和生命科学等 领域中有着重大的意义和广 广阔的应用前景。 广阔的应用前景。
薛定谔方程
∂ ˆ iℏ ψ (r , t) = H ψ (r , t) ∂t
ℏ2 ˆ H = − ∇ 2 + U (r ) 2m ∂ ℏ2 2 iℏ ψ ( r , t ) = [ − ∇ + U ( r )]ψ ( r , t ) ∂t 2m
定态薛定谔方程
ℏ2 2 [− ∇ + U ( r )]ϕ ( r ) = E ϕ ( r ) 2m
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• 隧道效应的应用 隧道二极管，金属场致发射， 衰变， 隧道二极管，金属场致发射，核的α衰变，等… 隧道效应和扫描隧道显微镜STM ＊隧道效应和扫描隧道显微镜 Scanning tunneling microscopy 1986. Nob： 毕宁（G. Binning） ： 毕宁（ ） 罗尔（Rohrer） 罗尔（ ）
只要将原子线度的极细 探针以及被研究物质的 表面作为两个电极， 表面作为两个电极，当 样品与针尖的距离非常 接近时， 接近时，它们的表面电 子云就可能重叠。 子云就可能重叠。
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若在样品与针尖之间加一微小电压U,电子 若在样品与针尖之间加一微小电压 电子 就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。 就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。 隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若 利用电子反馈电路，控制隧道电流不变， 利用电子反馈电路，控制隧道电流不变，则探 针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样 品表面的起伏。 品表面的起伏。
ka ≥ π 2
k
2
=
2 mE ℏ2
5
cos 2 ( ka ) κ 2 U 0 = 2 = −1 2 sin ( ka ) k E
sin2 (ka) =
E U0
♣结果说明若势阱内有束缚态，能量是量子化的 结果说明若势阱内有束缚态 结果说明若势阱内有束缚态， 解该超越方程可求出各能量
势阱内至少有一个束缚态的基态能的条件是： 势阱内至少有一个束缚态的基态能的条件是： k 2 = 2 mE 2
ℏ 2 d 2ϕ 3 ( x ) − = E ϕ 3 ( x ), 2 2 m dx
x≥a
9
2mE 令： k = 2 ℏ
2
2m(U 0 − E ) k = ℏ2
2 1
三个区间的薛定谔方程化为
U
d ϕ1 ( x ) 2 + k ϕ1 ( x) = 0, 2 dx
2
x≤0
U0
d 2ϕ3 ( x) 2 + k ϕ3 ( x) = 0, 2 dx
x≥a
→∞时波函数应有限 在x→∞时波函数应有限，所以 →∞时波函数应有限，所以C=0 ∴ϕ( x) = Be−κx , x ≥a
♣ 结果说明粒子仍有一定的概率进入 ≥a区域 结果说明粒子仍有一定的概率进入 粒子仍有一定的概率进入x≥ 区域
波函数标准化条件要求在边界上波函数的一阶导数连 波函数标准化条件要求在边界上波函数的一阶导数连 否则会导致二阶导数发散，薛定谔方程失去意义 续，否则会导致二阶导数发散，薛定谔方程失去意义
dϕ 1 ( x ) dϕ 2 ( x ) / ϕ1 ( x ) |x=a = / ϕ 2 ( x ) |x=a ∴ dx dx
2m κ = 2 (U 0 − E ) ℏ E 2 sin (ka) = U0
2
cos( ka ) k = −κ sin( ka )
cos 2 ( ka ) κ 2 U 0 = 2 = −1 2 sin ( ka ) k E
U ( x ) = 0, x < 0, x > a
U0
U (x) = U0,
0≤ x≤a
经 典
隧 道 效 应
I
o
IIHale Waihona Puke Baidu
a
III
x
在经典力学中,若 在经典力学中 若E<U0 粒子的动能 为正, 区中运动。 为正 它只能在 I 区中运动。
量 子
金属或半导体接触处 势能隆起，形成势垒。 势能隆起，形成势垒。
x≥a
I
II
III
d ϕ 2 ( x) 2 − k1 ϕ 2 ( x ) = 0, 2 dx
2
o
0≤ x≤a
a
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x
区入射， 若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波 反射波； 反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区， 区只有透射波。 在III区只有透射波。粒子在 x = 0 处的几率要大 于在 x = a 处出现的几率 其解为： 其解为： 根据边界条件： 根据边界条件
ℏ
sin ( ka ) ≤ 1 或
2
ka ≥
π
2
E =
π 2ℏ 2
8 ma
2
h2 = 32 ma
2
≤ U0
∴ϕ( x) = Be
−κx
,
x ≥a
♣结果说明粒子会出现在 ＝a的表层附近 结果说明粒子会出现在 结果说明粒子会出现在x 的表层附近
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§6 一维方势垒 • 势垒贯穿（隧道效应） 势垒贯穿（隧道效应） U
U
U0
U (x) = U 0,
0≤ x≤a
I
o
II
a
III
x
ℏ 2 d 2ϕ 1 ( x ) − = E ϕ 1 ( x ), 2 2m dx
x ≤ 0 定态薛定谔方程
的解又如何呢？ 的解又如何呢？
0≤ x≤a
ℏ 2 d 2ϕ 2 ( x ) − + U 0ϕ 2 ( x ) = E ϕ 2 ( x ), 2 2 m dx
dϕ 3 ( x ) dϕ 2 ( x ) |x=a = |x=a dx dx
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求出解的形式画于图中 定义粒子穿过势垒的透射系数
T = t2 4 k k1 = 2 2 ( k 2 + k 1 ) 2 sinh 2 ( k 1 a ) + 4 k 2 k 1
2 2
隧道效应
U
U0
I
II
III
o a x 4 E (U 0 − E ) = 2 m (U 0 − E ) a 2 U 0 sinh( ) + 4 E (U 0 − E ) ℏ 势垒的宽度约50nm 以上时，透射系 以上时， 当U0 − E = 5eV 时，势垒的宽度约 数会比宽度10nm时小六个数量级以上。隧道效应此时 时小六个数量级以上。 数会比宽度 时小六个数量级以上 实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。 实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。
ϕ1 ( x) = Ae + r e
ikx
1
−ikx
,
x≥a
x≤0
0≤ x≤a
ϕ2 ( x) = Cek x + De−k x ,
1
ϕ 1 (0) = ϕ 2 (0)
ϕ3 ( x) = te ,
ikx
ϕ 2 (a ) = ϕ 3 (a )
dϕ 1 ( x ) dϕ 2 ( x ) |x=0 = |x=0 dx dx
d 2ϕ ( x ) 2m = 2 (U 0 − E )ϕ ( x ) 2 dx ℏ d 2ϕ ( x) 即 = κ 2ϕ ( x) dx2 x≥a
−κx
x≥a
2
2m 式中 κ = 2 (U 0 − E ) ℏ
其通解为
ϕ( x) = Be
+ Ce ,
κx
x ≥a
4
其通解为
ϕ ( x ) = Be −κx + Ce κx ,