52_6半无限深势阱_一维势垒

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一维无限深势阱 (2)

一维无限深势阱 (2)

论文题目:一维无限深势阱简述制作人:刘子毅(应用物理(1))学号:09510113一维无限深势阱一、引言Hu = Eu,,2222Eu Vu dxu d m =+- (1) 在图中Ⅰ区,-a/2<x<a/2,式中的V=0;在图中Ⅱ区,x<-a/2和x>a/2, V=∞. 现在解Ⅰ区情况的方程,V=0,(1)式成为.2,22222mEk u k u mE dx u d =-=-= 设axe u =,那么u a u n2=,代入上式,u k u a 22-= ik a ±=所以ikx ikx Be Ae u -++=kx D kx C u sin cos += (2)(2)式是Ⅰ区的通解。

2、一维无限深阱电子的基态222222282n mdh n md E n == π n=1、2、3…… 无量纲处理:以波尔半径2200m e a ε=里德伯20242ε me R y =分别为长度和能量单位能量可化为21d E π3、数值模拟当n=1时,1E 和d 的一组数值用计算机编程模拟如下: 设d 从0.3 3.0 include ‹stdio.h › include ‹math.h ›main() { double e,d,c; int i; c=3.14,d=0.3; for(i=0;i ‹10;i++) { e=c/(d*d); printf(“%lf ”,&e); d=d+0.3;} }d 的取值利用画图软件描绘出横坐标为d ,纵坐标为E 的曲线 设d 从0.3 3.0,能量化简为:21dE π=模拟如下:。

高二物理竞赛课件一维无限深势阱

高二物理竞赛课件一维无限深势阱

满足归一化条件,另外
z

1 me
z
z
还要满足边界条件.
有限深势阱能带
有限
无限
有效质量
En k
E n,0
2k 2 2m 0
2
m
2 0
nn
un0 k p un0 2 En0 En0
E n,0
2k 2
2
1
m
0
m 022k2
nn
un0
k
p
un0
En0 En0
2
E n,0
2k 2 2me
2 2
z
1
me z z
nz
zV
z nz
z
Enz
nz
z,
波函数形式为
B expz,z lz 2
nz
Acoskz, lz A sinkz, lz
B exp z
2
2
,
z z z
lz
lz lz 2
2 2
其中 k
2meI Enz 2
,
2meII V0 Enz 2
,
nz z
一维无限深势阱
一维无限深势阱
E nz
2 2 2me ,hLz2
nz2 ,nz
1,2,3,
有限深真实势阱,仅存在着几个束缚态,
E nz nz2, 系数变小,能级降低.这是由于
势垒降低,电子产生贯穿(Δx↑→ Δ p↓
→ p↓).当 lz 0,Enz (发散)电子 态接近于势垒中的布洛赫态.
.
1
me1m0 Nhomakorabeam 022k2
nn
un0 k p un0 En0 En0

2.6一维无限深势阱

2.6一维无限深势阱
2 2
O
a
x
第二章 波函数和薛定谔方程
2/33
Quantum mechanics
2
§2.6 一维无限深势阱
d 2 E 0, (a x a) U 0 , (| x | a) 2 2 dx U ( x) 2 2 d 0, (| x | a) ( E U ) 0, ( x a , x a ) 0 2 dx 2 2 (U 0 E ) 1/ 2 2 E 1/ 2 令: ( 2 ) , [ ] 2
第二章 波函数和薛定谔方程
4/33
Quantum mechanics
§2.6 一维无限深势阱
A sin( x ),(| x | a) 1 x x Be ,( x a), Ce ,( x a) 当x=±a处波函数连续可得: ctg( a ) ,( x a) ctg( a ) ,( x a)
Quantum mechanics
§2.9 例题
例1,设一维无限深方势阱宽度为a,求处于基态的 粒子的动量分布(P39). U(x) 0,(0 x a) 解:U ( x) ,( x 0),( x a)
2 d 2 ( x) E ( x) 0, (0 x a) 2 2 dx ( x) 0, (0 x, x a)
d ctg( x ),(| x | a) dx ,( x a), ,( x a) 0, ctg a , / 2, tg a ,
a A sin a Be ,( x a) A sin x,(| x | a) 0, 0, x a x A sin a Ce ,( x a) Be ,( x a), Ce ,( x a)

一维无限深势阱

一维无限深势阱

n*dx
=
a −a
A sin ⎢⎣⎡
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤dx
= aA2 = 1
A= 1 a
ψn =
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
ψ
n
( x, t )
=
ψ
− i Et
ne h
=
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤

−i
eh
Et
En
=
n2π 2h 2 8μA2
ΔEn
=
En +1
§2.6 一维无限深势阱 (1) 序
一维运动 相互作用用势函数 U 表示
势场
⎧散射场 ⎩⎨束缚态
势垒
方形势阱
⎧方形势阱 ⎪⎪谐振子势阱 ⎪⎨δ 阱 ⎪⎩周期阱
一维无限深势阱,图 2.1 所示
Fig 2.1 一维无限深势阱
(2) 一维无限深势阱 在一维空间中运动的粒子,粒子在一定区域内(x=-a 到 x=a)为零,而在此区域外,势能为无
a −a
⎢⎣⎡cos
n
+ n′ 2a
(
x
+
a)

cos
n
− n′ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
dx
=0
——此即为波函数的正交条件。
8.波函数可视为两波波函数的迭加
ψ = c e + c e i h
(
nπh 2a

Ent
)

52_6半无限深势阱_一维势垒解读

52_6半无限深势阱_一维势垒解读
d 1 ( x ) d 2 ( x ) / 1 ( x ) | x a / 2 ( x ) |xa dx dx
2m 2 (U 0 E )
2
cos(ka) k sin(ka)
cos2 ( ka) 2 U 0 2 1 2 sin ( ka) k E
空气隙
样品
STM工作示意图
16
d变~ 10nm
i 变几十倍,非常灵敏。
竖直分辨本领可达约百分之几 nm; 横向分辨本领与探针、样品材料及绝缘物有关, 在真空中可达0.2nm 技术关键: 1. 消震:多级弹簧,底部铜盘涡流阻尼。 2. 探针尖加工:电化学腐蚀,强电场去污, 针尖只有1~2个原子! 3. 驱动和到位:利用压电效应的逆效应 —— 电致伸缩,一步一步扫描。 扫描一步0.04nm, 扫描12 ,用0.7s
2 d 2 3 ( x ) E 3 ( x ), 2 2m dx
xa
9
2mE 令: k 2
2
2m(U 0 E ) k 2
2 1
三个区间的薛定谔方程化为
U
d 1 ( x) 2 k 1 ( x ) 0, 2 dx
2
x0
U0
d 2 3 ( x ) 2 k 3 ( x ) 0, 2 dx

2
2mE k 2
2
sin ( ka ) 1或
2
ka
h2 E U0 2 2 8ma 32ma
2 2
( x) Be
x
,
xa
结果说明粒子会出现在x=a的表层附近
6
§6 一维方势垒 势垒贯穿(隧道效应) U
U ( x ) 0, x 0, x a

量子力学_第二章_一维势阱

量子力学_第二章_一维势阱

(四)讨论
一维无限深 势阱中粒子 的状态
0 n 1 n sin x 2a a 1 n cos x 2a a 其能量本征值为: n 2 2 2 En 8 a
| x | a; n even, n odd, | x | a; | x | a .
2 d 2 [ V1 ( x )]X ( x ) E x X ( x ) 2 dx2 2 d 2 [ V2 ( y )] ( y ) E yY ( y ) Y 2 dy2 2 d 2 [ V3 ( z )]Z ( z ) E z Z ( z ) 2 dz2
2
n为正偶数, x a
x a
n为正奇数,
x a
x a
由归一化条件
-
n dx 1 A'
1 a
.
一维无限深方势阱中 粒子的定态波函数为: n ( x, t ) n (x)e
-i En t -i
En t n A' sin ( x a )e 2a e i e i 用公式sin 2i
等式两边除以 (x, y, z ) X ( x )Y ( y ) Z ( z )
1 X 1 2 d 2 X V1 ( x ) 2 dx2 Y 1 2 d 2 Y V2 ( y ) 2 dy2 Z 2 d 2 Z V3 ( z ) E 2 dz2
I II III
0
a
ψ 有限条件要求 C2=0。
d2 2 dx d2 2 dx d2 2 dx
I
2 2
I
0 0 0
II

一维无限深势阱ppt课件

一维无限深势阱ppt课件

n个节点。
四.几率分布:
在经典力学中,在ξ到ξ+dξ之间的区域内找到质点的 11
几率ω (ξ) dξ与质点在此区域内逗留的时间dt成
比例:
( )d dt
T
T是振动周期。因此有
( )
T
1
d
dt
1 vt
即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子,ξ= a sin(ωt+δ ) ,在ξ点的速度为
J
i
2
[
i
d dx
* i
* i
d dx
i
]
k1
|
A |2
JD
k1
| c |2 ,
JR
k1
|
A |2
16
透射系数与反射系数为:
D
JD J
(k12
4k12k22 k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
R
JR J
(k12
(k12 k22 )2 sin 2 k2a k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
13
如果将此问题推广到三维,显然它是散射问题。
二、方势垒的穿透 (1)E>U0 的情况:
薛定谔方程为
d 2
dx 2
2
2
(E
U
0
)
0
令 k1 2E / 2
则其解为
k2 2 (E U 0 ) / 2
1 Aeik1x Ae ik1x
x0
2 Beik2x Beik2x 0 x a
3 Ceik1x C e ik1x
数为:
2 2[U ( x)E ]dx
D D0e
贯穿势垒U(x)的透射系数应等于贯穿所有这些方形势垒的透射 系数之积,即

一维势阱和势垒问题

一维势阱和势垒问题
§16-3 一维势阱和势垒问题
1.一维无限深势阱
一维无限深方势阱是金属中自由电子的简化模型
粒子在势阱内受力为零,势能为零。在阱内自由运 动。在阱外势能为无穷大,在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外。
一维无限深方势阱的数学表达形式 :
0 (0 x a) U (x) (x 0及x a )
无数峰:量子 经典均匀0分布4 2
a
n4
x
0
ax
n时
量子经典
|n | 2 n很大
En
0
a
一维无限深势阱
En n
n(x)
En ( x)

h2 8ma 2
n2
n (x)
2 sin n x
aa
n(x)

2 sin2( n
aa
x)
0
ax
例1: 证明无限深方势阱中,不同能级的粒子波函数 具有正交性:
0 x a;
0,
x 0, x a.
讨论:
① 粒子的能量
En

2k 2
2

22n2
2 a2
,
n 1,2,3,
粒子的最低能量状态称为基态,则一维无限深方势 阱的基态能量为:
E1
22 2a2
0
————零点能
与零点能相对应的,应存在零点运动。这与经典粒
子的运动是相矛盾的。零点能是微观粒子波动性的表 现,因为“静止的波”是没有意义的。
② 图形
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
(2 sin nx , 0 x a;
a a
0,
x 0, x a. 0
除端点外,

《一维无限深势阱》课件

《一维无限深势阱》课件

解题方法与工具
薛定谔方程、波函数公式和 边界条件的应用。
应用前景
在多个领域有很多实际应用。
计算激发态的概率
利用特定能级的波函数计算激发态的概率;以及其他相关问题的解答。
应用
材料科学领域
解决纳米材料中的物理、化学和 力学问题
量子信息领域
利用量子特性加速数据处理;破 译密码和设计新型电池。
纳米技术领域
研究光电、信息、能源等相关的 量子力学现象。
总结
一维无限深势阱的特殊 性质
简单而重要的模型,可用于 探究更复杂的问题。
基本概念
势能与波函数
势能定义粒子所在位置的势场, 波函数描述粒子位置的可能性 幅度。
薛定谔方程
描述粒子的术语,包括势能、 动量被发现 在特定位置的可能性。
波函数的物理意义
波函数描述粒子的位置、动量 和能量等物理量的概率分布。
解法
1
波函数公式
《一维无限深势阱》PPT 课件
欢迎来到我们的演示文稿。我们将一起探讨令人兴奋的量子力学现象,发现 一维无限深势阱的概念、解法和应用。让我们开始!
简介
什么是一维无限深势阱?
描述了一维粒子在具有无限 深势阱的区域内的性质。
为什么要研究它?
简单而重要的模型可用于探 索更复杂的问题。
研究它有什么应用?
了解电子和纳米材料中的量 子现象,以及量子信息学和 计算机领域中的应用。
每个薛定谔方程的解都对应一个特定能量的粒子状态并对应一个单独的波函数。
能级图谱
制作不同能级下对应的波函数图像,形成能级图谱。
典型问题
1
求解基态能量和波函数
应用波函数公式,从特定势能中解出基本能级的能量和波函数。

一维势阱

一维势阱
力学中, 在量子力学中 无论粒子能量是大于还是 都有一定的几率穿过势垒, 小于 都有一定的几率穿过势垒,也有 一定的几率被反射。 一定的几率被反射。 我们下面只就 时,讨论薛定谔方程的解。 讨论薛定谔方程的解。
12
势垒的势场分布写为: 势垒的势场分布写为:
I 在三个区间内波函数应遵从的 薛定谔方程分别为: 薛定谔方程分别为:
10

多次测量能量(可能测到的值) 多次测量能量(可能测到的值) 概率各1/2 概率各1/2 能量的平均值
11
势垒贯穿(隧道效应) 势垒贯穿(隧道效应)
在经典力学中,若 在经典力学中 若 ,粒子的 粒子的
V0
动能为正,它只能在 区中运动。 动能为正 它只能在 I 区中运动。 I 即粒子运动到势垒左边缘就被 反射回去,不能穿过势垒。 反射回去,不能穿过势垒。
h E1 = = 2 2 2m a 8m a
πh
2
2
2
称为基态能级 称为基态能级
∴En = n E1
2
n叫作量子数 叫作量子数
5
E
势 阱 能 中 级 粒 图 子
n = 4, E = E4 n = 3, E = E3 n = 2, E = E2
o
a
n = 1, E = E1 x
6
相对应的本征函数,即本问题的解为: 与 E 相对应的本征函数,即本问题的解为:
2 2
令 k = 2m h E 代入薛定谔方程得: 代入薛定谔方程得: 此方程的通解为: 此方程的通解为:
d2ψ (x) 2 + k ψ (x) = 0 2 dx ψ (x) = Asinkx + Bcoskx
由于阱壁无限高, 由于阱壁无限高,所以 ψ (0) = 0 阱壁无限高

高二物理竞赛课件:一维无限深势阱问题

高二物理竞赛课件:一维无限深势阱问题

其定态薛定谔方程: 2 d 2 E
2m dx 2
粒子在各处出现的概率密度 Ψ x 2 2 sin 2 nπ x
a
a
一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度
n= 3
ψn
3
2 sin 3 x aa
wn n 2
w3
n=2
2
2 2 sin x
aa
w2
n= 1
1
2 sin x aa
w1
0 aX
粒子在0到a/2区域内出现的概率:
2
2 s
a
in2
x
a
a/22 dx来自2a/ 2 sin2 x dx
1
0
a0
a
2
(3)概率最大的位置应该满足:
d 2 2 sin 2x 0
dx
aa
即当 2x k , k 0,1,2,
a
时,粒子出现的概率最大。因为0<x<a, 故得x=a/2,此处粒子出现的概率最大。
k12
2m( E P 0 2
E)
三个区间的薛定谔方程化为:
d
2 1 ( dx2
x
)
k
21
(
x
)
0,
x0
d
22 ( dx2
x
)
k12
2
(
x)
0,
0 xa
d
2
3 ( dx2
x)
k
23
(
x
)
0,
xa
若考虑粒子是从I区入射,在I区中有入射波 和反射波;粒子从I区经过Ⅱ区穿过势垒到Ⅲ区, 在Ⅲ区只有透射波。粒子在 x=0处的几率要大于 在 x=a处出现的几率。

【PPT】一维无限深势阱(讨论课).

【PPT】一维无限深势阱(讨论课).

2 ( x,t ) -i E( x, t ) 2 ( x,t ) p x ( x, t ) 2 2 t x 自由粒子非相对论情况下:
2 px m 2 E Ek vx 2 2m
自由粒子波函数满足的微分方程:
2 i ( x , t ) ( x , t ) 2 t 2m x 2
2 2 2 2 三维: i ( 2 2 2 ) U (r , t ) t 2m x y z
引入拉普拉斯算符: 2
2 x
2

2 y
2

2 z 2
2 2 U (r , t )] (r , t ) 则有: i (r , t ) [ t 2m —薛定谔方程 它是非相对论量子力学的基本方程。
4
a 2
3
2a 3
2 a
o
a
1 2a
一维无限深势阱结论总结:
能级
En n
2
2 2
2ma 2
能量是量子化的, n =1, 2, 3, … (量子数) 存在最低能量(零点能)
E1 0 2 2ma
2 2
这是不确定关系要求的,是量子客体具有波粒二 象性这种固有属性所决定的。
n 2,6,10,
L4处的概率密度极大.
三、有限宽势垒和隧道效应
有限宽势垒
势函数
0 U(x ) { U0 x0 x0
入射
U(x)
U0
透射?
E
反射
入射能量 E <U0
Ⅰ区
1
0 Ⅱ区
2
x
经典:电子不能进入E < U的区域(因动能 0)。 量子:电子可透入势垒。 电子可逸出金属表面,在金属表面形成一层电子气。

一维无限深势阱

一维无限深势阱

2008.5
25
对奇宇称态则不同,只当
2 2 mV0a2 / 22 2 / 4

V0a2
2h2
2m
,或
V0
2h2
2ma2

才可能出现最低的奇宇称能级。
2008.5
26
3、束缚态与分立谱的讨论
由以上分析可知,束缚态能量是分立的。
相应动量也是分立的。 这是在束缚态边界条件下求解定态方程的结果。
En
π 22 2ma 2
n2
(n 1,2,3, )
2008.5
8
❖ 由波函数的归一性质定常数 B
a
(x) *(x)dx 1
0
a
B2sin 2kxdx 1
0

B 2 a
本征函数
n(x)
2 sin nπ x aa
( n 1,2,3,)
这组函数构成本征函数系。
2008.5
9
⑥定态波函数
n
n
2008.5
16
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E) 1
0
(1)

方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解?
2008.5
17
考虑到束缚态边界条件:| x | 时 0,有
Be
x
1(x)
Aex
A, B为待定常数.
0时, ' ' 0,
取极小值 向上弯曲
0时, ' ' 0,
取极大值 向下弯曲(见右图)

量子力学 一维无限深方势阱,线性谐振子,势垒贯穿

量子力学 一维无限深方势阱,线性谐振子,势垒贯穿
据归一化条件: n ( x) n ( x)dx nn
*
2 2
(10) (11)
可得归一化系数,
Nn

n!2
n

(12)
第二章 波函数和薛定谔方程 2.7、 线性谐振子
2.7.2、 线性谐振子的能量本征值问题
其中 H ( ) 正交性公式,



H n ( ) H n ( )e d 2n n! nn
第二章 波函数和薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程
第三部分、一维无限深方势阱,线性谐振子,势垒贯穿
第二章 波函数和薛定谔方程 引言
引言 这一部分,我们将薛定谔方程,应用到几个比较简单 的力学体系中(一维无限深方势阱,线性谐振子,势垒贯 穿),求出方程的解和阐明这些解的物理意义。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.6、 一维无限深方势阱
1 U ( x) U (a) U (a)( x a) U (a)( x a) 2 L , 2
取U (a) 0 ,令U (a) k ,
1 U ( x) U 0 k ( x a ) 2 L , 2 1 忽略高阶项, 取新坐标, 则U ( x) kx 2 2
2
/2
不满足有限性边值条件,故弃之。
因此,不妨取方程(4)的精确解的形式为,
y = e -x /2u(x )
将它代入方程(4)得:
d 2u du 2 x + [ l - 1]u = 0 dx dx 2
2
(6)
(7)
第二章 波函数和薛定谔方程 2.7、 线性谐振子
2.7.2、 线性谐振子的能量本征值问题
两原子间的势能曲线
第二章 波函数和薛定谔方程 2.7、 线性谐振子

第二章 -.6一维无限深势阱

第二章 -.6一维无限深势阱

可见, 取负整数与正整数描写同一状态。 可见,n取负整数与正整数描写同一状态。
(3)n = 0 , E = 0, ψ = 0,态不存在,无意义。 ) ,态不存在,无意义。 而n = ± k, k=1,2,...
(4)波函数宇称
ψ ψ n(−x) = − n(x) ψ ψ n(−x) = + n(x)
I
( − a ) = li m C 1 e − β a = 0
β → ∞
I
所 以
ψ
= 0
ψ ψ ψ
I II III
= C 1e
βx
+ C 2e − βx + B 2e − βx
ψI =0
ψ III = 0
=0。 B1=0。
− E )
= A sin( α x + δ ) = B 1e
βx
βx
+ C 2e − βx + B 2e − βx
= A sin( α x + δ ) = B 1e
βx
考虑波函数三个标准条件 1。单值 2。有限 3、连续
有限的条件, 当x → - ∞ , ψ 有限的条件,要求
=0。 C2=0。
ψ
I
= C 1e βx
2
又 由 于 β
=
2 µ (V h 2
ψ
− E )
U0 → ∞
边界条件
ψ 根据波函数连续、有限的条件。 = 0
证明见附录I, 令
x ≥a
2mE α= h2
d 2ψ ∴由(1) + α 2ψ = 0 dx 2 ψ = A sin αx + B cos αx
x <a x <a
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ϕ1 ( x) = Ae + r e
ikx
1
−ikx
,
x≥a
x≤0
0≤ x≤a
ϕ2 ( x) = Cek x + De−k x ,
1
ϕ 1 (0) = ϕ 2 (0)
ϕ3 ( x) = te ,
ikx
ϕ 2 (a ) = ϕ 3 (a )
dϕ 1 ( x ) dϕ 2 ( x ) |x=0 = |x=0 dx dx
例如,电子可逸出金属表面, 例如,电子可逸出金属表面, 在金属表面形成一层电子气。 在金属表面形成一层电子气。 7
怎样理解粒子通过势垒区? 怎样理解粒子通过势垒区 经典物理:粒子不能进入E 的区域(动能 经典物理:粒子不能进入 < U的区域 动能< 0)。 的区域 动能< 。 量子物理:粒子有波动性,遵从不确定关系, 量子物理:粒子有波动性,遵从不确定关系, 粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。 粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。 只要势垒区宽度∆ 不是无限大, 只要势垒区宽度∆ x = a 不是无限大, 粒子能量就有不确定量∆ 粒子能量就有不确定量∆E
U ( x)
U0
方程的解必处处为零,根据 方程的解必处处为零 根据 波函数的标准化条件, 波函数的标准化条件,在边界上
ϕ ( x) = 0
x≤0
E2 E1
o
a
x
2、在0<x<a 区域粒子势能为零,定态薛定谔方程 、 区域粒子势能为零,
− ℏ 2 d 2ϕ ( x ) = Eϕ ( x ) 2 2m dx 0< x<a
ℏ 2 d 2ϕ 3 ( x ) − = E ϕ 3 ( x ), 2 2 m dx
x≥a
9
2mE 令: k = 2 ℏ
2
2m(U 0 − E ) k = ℏ2
2 1
三个区间的薛定谔方程化为
U
d ϕ1 ( x ) 2 + k ϕ1 ( x) = 0, 2 dx
2
x≤0
U0
d 2ϕ3 ( x) 2 + k ϕ3 ( x) = 0, 2 dx
d 2ϕ ( x ) 2m = 2 (U 0 − E )ϕ ( x ) 2 dx ℏ d 2ϕ ( x) 即 = κ 2ϕ ( x) dx2 x≥a
−κx
x≥a
2
2m 式中 κ = 2 (U 0 − E ) ℏ
其通解为
ϕ( x) = Be
+ Ce ,
κx
x ≥a
4
其通解为
ϕ ( x ) = Be −κx + Ce κx ,
12
• 隧道效应的应用 隧道二极管,金属场致发射, 衰变, 隧道二极管,金属场致发射,核的α衰变,等… 隧道效应和扫描隧道显微镜STM *隧道效应和扫描隧道显微镜 Scanning tunneling microscopy 1986. Nob: 毕宁(G. Binning) : 毕宁( ) 罗尔(Rohrer) 罗尔( )
dϕ 1 ( x ) dϕ 2 ( x ) / ϕ1 ( x ) |x=a = / ϕ 2 ( x ) |x=a ∴ dx dx
2m κ = 2 (U 0 − E ) ℏ E 2 sin (ka) = U0
2
cos( ka ) k = −κ sin( ka )
cos 2 ( ka ) κ 2 U 0 = 2 = −1 2 sin ( ka ) k E
只要将原子线度的极细 探针以及被研究物质的 表面作为两个电极, 表面作为两个电极,当 样品与针尖的距离非常 接近时, 接近时,它们的表面电 子云就可能重叠。 子云就可能重叠。
14
若在样品与针尖之间加一微小电压U,电子 若在样品与针尖之间加一微小电压 电子 就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。 就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。 隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若 利用电子反馈电路,控制隧道电流不变, 利用电子反馈电路,控制隧道电流不变,则探 针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样 品表面的起伏。 品表面的起伏。
x ≤ 0, x ≥ a
n = 1, 2 ,3 , ⋯ 0≤ x≤a
一维无限深方势阱
ϕ n (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx ) = 0,
ϕ n ( x) =
2
2 nπx sin( ), a a
2
ℏ π En = n2 2 ma 2
n = 1, 2,3, ⋯
1
提纲
§5 一维势阱问题 分立谱 • 半无限深方势阱 §6 一维方势垒 • 势垒贯穿(隧道效应) 势垒贯穿(隧道效应) * 薛定谔方程、边界条件、结果讨论 薛定谔方程 边界条件、 方程、 • 隧道效应的应用 * 隧道效应和扫描隧道显微镜 隧道效应和扫描隧道显微镜STM * 核的α衰变
薛定谔方程
∂ ˆ iℏ ψ (r , t) = H ψ (r , t) ∂t
ℏ2 ˆ H = − ∇ 2 + U (r ) 2m ∂ ℏ2 2 iℏ ψ ( r , t ) = [ − ∇ + U ( r )]ψ ( r , t ) ∂t 2m
定态薛定谔方程
ℏ2 2 [− ∇ + U ( r )]ϕ ( r ) = E ϕ ( r ) 2m
空气隙 样品 STM工作示意图 工作示意图
16
d变~ 10nm 变
i 变几十倍,非常灵敏。 变几十倍,非常灵敏。
竖直分辨本领可达约百分之几 nm; ; 横向分辨本领与探针、样品材料及绝缘物有关, 横向分辨本领与探针、样品材料及绝缘物有关, 在真空中可达0.2nm 在真空中可达 技术关键: 技术关键: 1. 消震:多级弹簧,底部铜盘涡流阻尼。 消震:多级弹簧,底部铜盘涡流阻尼。 2. 探针尖加工:电化学腐蚀,强电场去污, 探针尖加工:电化学腐蚀,强电场去污, 针尖只有1~2个原子! 个原子! 针尖只有 个原子 3. 驱动和到位:利用压电效应的逆效应 驱动和到位: —— 电致伸缩,一步一步扫描。 电致伸缩,一步一步扫描。 扫描一步0.04nm, 扫描 µ2 ,用0.7s , 扫描1µ 扫描一步 4. 反馈:保持 不变 反馈:保持i不变 d不变(不撞坏针尖) 不变(不撞坏针尖) 不变
2
二、 半无限深方势阱
∞, U ( x) = 0, 已知粒子所处的势场为 U , 0
x < 0 0 < x < a x > a
1、在x<0粒子势能为无穷大 定态薛定谔方程 、 粒子势能为无穷大,定态薛定谔方程 粒子势能为无穷大
− ℏ 2 d 2ϕ ( x ) + ∞ ⋅ ϕ ( x ) = Eϕ ( x ) 2 2 m dx x<0
x≥a
I
II
III
d ϕ 2 ( x) 2 − k1 ϕ 2 ( x ) = 0, 2 dx
2
o
0≤ x≤a
a
10
x
区入射, 若考虑粒子是从 I 区入射,在 I 区中有入射波 反射波; 反射波;粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区, 区只有透射波。 在III区只有透射波。粒子在 x = 0 处的几率要大 于在 x = a 处出现的几率 其解为: 其解为: 根据边界条件: 根据边界条件
电子云重叠 U0 U0
A d B
隧道电流i 隧道电流 探针 U
E A d B
样品
由于电子的隧道效应, 由于电子的隧道效应,金 属中的电子并不完全局限 于表面边界之内, 于表面边界之内,电子密 度并不在表面边界处突变 为零, 为零,而是在表面以外呈 指数形式衰减, 指数形式衰减,衰减长度 越为1nm。 越为 。
发明STM 发明
鲁斯卡( 鲁斯卡(E.Ruska) 1932发明电 ) 发明电 子显微镜 STM是一项技术上的重大发明,用于观察 是一项技术上的重大发明, 是一项技术上的重大发明 表面的微观结构(不接触、不破坏样品)。 表面的微观结构(不接触、不破坏样品)。
原理: 原理:利用量子力学的隧道效应
13
U0
U ( x ) = 0, x < 0, x > a
U0
U (x) = U0,
0≤ x≤a
经 典
隧 道 效 应
I
o
II
a
III
x
在经典力学中,若 在经典力学中 若E<U0 粒子的动能 为正, 区中运动。 为正 它只能在 I 区中运动。
量 子
金属或半导体接触处 势能隆起,形成势垒。 势能隆起,形成势垒。
x≥a
→∞时波函数应有限 在x→∞时波函数应有限,所以 →∞时波函数应有限,所以C=0 ∴ϕ( x) = Be−κx , x ≥a
♣ 结果说明粒子仍有一定的概率进入 ≥a区域 结果说明粒子仍有一定的概率进入 粒子仍有一定的概率进入x≥ 区域
波函数标准化条件要求在边界上波函数的一阶导数连 波函数标准化条件要求在边界上波函数的一阶导数连 否则会导致二阶导数发散,薛定谔方程失去意义 续,否则会导致二阶导数发散,薛定谔方程失去意义
U
U0
U (x) = U 0,
0≤ x≤a
I
o
II
a
III
x
ℏ 2 d 2ϕ 1 ( x ) − = E ϕ 1 ( x ), 2 2m dx
x ≤ 0 定态薛定谔方程
的解又如何呢? 的解又如何呢?
0≤ x≤a
ℏ 2 d 2ϕ 2 ( x ) − + U 0ϕ 2 ( x ) = E ϕ 2 ( x ), 2 2 m dx
i ∝ Ue
−A φ d
A——常量 常量 垒高度( 垒高度(~eV) ) 。 d ~ 10A d变 变 i变, 变 反映表面情况。 反映表面情况。
15
样品表面平均势 φ ——样品表面平均势
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