上海交通大学线性代数期末考试题0708-1线代(B)-A卷
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一 单项选择题（每题3分，共18分）
1． 设33)(⨯=j i a A 的特征值为1，2，3，j i A 是行列式 ||A 中元素j i a 的代数余子式，
则 1112233||()A A A A ++－＝ （ ） a.
6
21
； b. 611； c. 311； d. 6。
2．已知A AP P a a a a a a a a a A P n m =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=若，，
3332
31
232221131211
001010100，则以下选项中正确的是 （ ） a. 45==n m ，； b. 55==n m ，； c. 54==n m ，； d. 44==n m ，。 3．n 维向量)3(,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ ） a ．存在不全为零的数s k k k ,,21，使02211≠+++s s k k k ααα ； b ．s ααα ,,21中任意两个向量都线性无关；
c ．s ααα ,,21中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；
d ．s ααα ,,21中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。
4．设B A ，是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中21k k ，
为任意常数） （ ） a. *
*
B A ＋； b. **-B A ； c. **B A ； d. **B k A k 21＋。
5．已知矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=222222a a a A ，伴随矩阵0≠*
A ，且0=*x A 有非零解，则 （ ）
a. 2=a ；
b. 2=a 或4=a ；
c. 4=a ；
d. 2≠a 且4≠a 。
6．设βα，
是非齐次线性方程组b x A E =-)(λ的两个不同的解，则以下选项中一定是A 对应 特征值λ的特征向量为 （ ）
线性代数考试题及答案
a.
βα+； b ．βα-； c ．α； d ．β。
二 填空题（每题3分，共18分）
7．设行列式 3
00002
10=D ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则∑∑==313
1
i j j i A ＝ 。
8．设A 是实对称可逆矩阵，则将AX X f T
=化为Y A Y f T
1
-=的线性变换为____________________。
9．设矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=53342
111x A 有特征值6，2，2，且A 能相似于对角阵，则x ＝______ _____。 10．已知0≠α是n 维实列向量，矩阵T
k E A αα-=，k 为非零常数，则A 为正交矩阵的充分必要
条件为=k 。
11. 设⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=2322
21
32
1
111a a a a a a A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=111b ，其中i a 互不相同，3,2,1=i ，
则线性方程组b x A T
=的解是____ _______。
12．若实二次型2
3222121321422),,(x x x x x x x x f ++=＋λ 为正定二次型,
则λ的取值范围为 。
三 计算题（每题8分，共48分）
13．计算n 阶行列式： n
n n n n
n n n x x x y
x x x y x x x y x x x y
x x x x D 121121121
121----++++=
。
14．已知线性方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=-=+b
x ax x x x x x 321
31
2
111， （1）试问：常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？ （2）当方程组有无穷多解时，求出其通解。
15．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111a a a A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=211β，已知线性方程组β=Ax 有解但不唯一。试求：
（1）a 的值； （2）正交矩阵AQ Q Q T
使得，
为对角矩阵。
16．设矩阵A 的伴随矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=8030010100100001*
A ，且E BA ABA 31
1+=--。求矩阵B 。
17．已知线性空间3
R 的基321ααα，，
到基321βββ，，的过渡矩阵为P ，且 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2213α；⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=034223122P
试求：(1) 基321βββ，，
；(2) 在基 321321,,,,βββααα与
下有相同坐标的全体向量。
18．设A 为三阶实对称矩阵，且满足022
=-+E A A 已知A 对应特征值1=λ的特征向量有
()T
0101，，=α, ()2101T
α=，，。 试求：矩阵A ，n A 。其中n 为自然数。
四 证明题（每题8分，共16分）
19．设A 为n 阶矩阵，已知秩)()(2
A r A r =。试证：
(1) 线性方程组002==x A Ax ，
同解； (2) )()(3
A r A r =。