上海交通大学线性代数期末考试题0708-1线代(B)-A卷
线性代数07-08第一学期期末(A卷)答案
北京师范大学珠海分校2007-2008学年第一学期期末考试（A ）答案开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__李兴斯 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空（每空3分，共30分）1、行列式123456____0_____789=2、行列式sin cos cos sin _______+-=-32323302xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则+=21232A A 04、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==65，则||______=30AB5、设A 为3阶方阵，且A =3，则A -=13 96、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11111101101，则A 的秩()R A = 3 7、已知4阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式8=*A ，则=A 28、向量组,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111110221002αααα线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1212369线性相关，则___3____=x10、设4元方程组=0Ax 的系数矩阵A 的秩为2，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式197621962394180第3行第2列元素的代数余子式A =32（ D ）（A ）3； （B ）6； （C ）9； （D ）12。
2、若1112131112131212223221222331323331323323,2323a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a ==，则()21=D C D（A ）2； （B ）4； （C ）6； （D ）8。
上海商学院 2008—2009学年第1学期 《线性代数》期末考试 (习题)
上 海 商 学 院2008 ~ 2009 学年第一学期《线性代数》期末考试试卷A 卷适用年级：2008 级 本科适用专业： 全院相关专业考试时间： 120 分钟一、选择题（每小题3分，共24分）1.设,A B 为n 阶(2)n ³方阵，则必有( )(A) ||||||A B A B +=+ ; (B) ||||AB BA =; (C) ||||||||A B A B = ; (D) ||||A B B A -=-. 2.设3阶方阵123(,,)A a a a =，则||A =( )(A) 321|,,|a a a ; (B) 321|,,|a a a ---; (C) 122331|,,|a a a a a a +++; (D) 112123|,2,3|a a a a a a +++. 3. 设A 为n 阶方阵，如果A 经过若干次初等变换变换成矩阵B ，则成立( ) (A) ||||A B = ; (B) ||||A B ¹ ; (C) 若||0A =，则必有||0B =; (D) 若||0A >，则必有||0B >. 4.设,A B 均为n 阶方阵，下列结论正确的是( )(A) 若,A B 均可逆，则A B +可逆 ; (B) 若,A B 均可逆，则BA 可逆; (C) 若A B +可逆，则A B -可逆; (D) 若A B +可逆，则,A B 均可逆 5.设,,A B C 均为n 阶方阵，且ABC E =，则必有( ) (A) CAB E = ; (B) CBA E =; (C) BAC E = ; (D) ACB E =.6.设向量组123,,a a a 线性无关，则下列向量组线性相关的是( ) (A) 122331,,a a a a a a +++ ; (B) 112123,,a a a a a a +++; (C) 122331,,a a a a a a ---; (D) 121331,2,3a a a a a a +++7.n 阶方阵A 可逆的充要条件是( )(A) A 的所有行向量都不是零向量 ; (B) A 所有列向量都不是零向量; (C) 只有0x =时，0Ax =成立; (D) Ax b =有解.8.如果n 元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩小于n ，则( ) (A) 方程组有无穷多解; (B) 方程组有唯一解; (C) 方程组无解; (D) 不能断定解的情况二、填空题（每空3分，共18分）1.二阶行列式2a ab bb-=- 。
(完整)上海交通大学_2007-2008学年_高等数学(高数)_期末考试_解答
1、解 22()()()0xy xx yy B AC f ab f ab f ab -=-≥，排除A 、B.(,)f x b 在点x a =处取得极小值：(,)0xx f a b ≥，同理：(,)0yy f a b ≥.答案：C2、解 0[()()()]C W F dr yzx t xzy t zz t dt π'''=⋅=-++⎰⎰u r r22200[sin cos ]2t t t t t dt tdt πππ=++==⎰⎰答案：B3、解 22:1(1)S z x y =+≤，方向为下侧，[221]S S S I y y dv dxdy -++Ω∑+=+=--+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò32251133πππ=-⋅-⋅=-答案：A4、解1|(1)|nn n n a ∞∞==-=∑∑――A 错11||n n n n n a a ∞∞∞+====≥∑∑∑，发散 ――B 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===-=-≥∑∑∑，发散 ――C 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===+=+=∑∑∑n n ∞∞===≈∑∑，收敛 ――D 对答案：D5、解 (0)(0)(3)()02S S S S ππππ-+-+===答案：D6、解1 2{(,)|cos 2}D r r θθ=≤，2.......Dxy dxdy =⎰⎰解2 ***22***Dxy dxdy dy xy dx +-==⎰⎰⎰⎰07、解()()()222222552323222cc c x xy y ds x y ds x y ds π-+=+=+=⋅=⎰⎰⎰蜒?5π8、2cos x P Qx e y y x∂∂=+=∂∂ 解1 2(2sin )(cos )0x x xy e y dx x e y dy +++= ⇒ 2(2)(sin cos )0x x xydx x dy e ydx e ydy +++= ⇒ 2()(sin )0x d x y d e y += 通解为：2sin x x y e y C +=解2 (,)2(0,0)(2sin )(cos )x y x x u xy e y dx x e y dy =+++⎰220(cos )sin y x x x e y dy x y e y =+=+⎰通解为：2sin x x y e y C +=9、()()div rot F F =∇⋅∇⨯u r u r ()5(2)(3)23xy zx y z x y z x y z yzxz xy∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂-==++=∂∂∂∂∂∂-010、解1(1)n n n a x ∞=+∑的收敛半径2R =111(1)(1)(1)n n n n n n na x n a x ∞∞-+==⇒+=++∑∑的收敛半径2R =，11(1)n n n n a x ∞+=⇒+∑的收敛半径R =211、32332x x u z e yz e yz x x∂∂=+∂∂ 323232()3x x zyze yz e yz e xy+=+--+ (0,1,1)u x -∂⇒∂121232()333e e--=--=--12、解 12112xy yI dy ye dx =⎰⎰1212()y e e dy =-⎰21(2)2e e =-13、解 1C : 0y =（:15x →），11CC C C +=-⎰⎰⎰Ñ51[(2Dy dxdy xdx =+⋅--⎰⎰⎰512Ddxdy xdx =-⎰⎰⎰12512222π-=⋅⋅-212π=-14、解1(1) xzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰(2) yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰ √yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰（yz D ：0z =,z y =和1y =所围成的三角形区域）100dy =⎰⎰10==⎰ 解2:(01)C y x =≤≤c c S zds yds ==⎰⎰0=⎰012==⎰z 11Oz15、合一投影法：{}{}{}(cos cos cos ),,cos ,cos ,cos ,,xyD Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dSP Q R dS P Q R ndxdyαβγαβγ∑∑∑++=++=⋅=±⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰v其中 {}(,),,,1x y z z x y n z z ==--v解1 合一投影法：原式{}{}2223,,22,2,1x y yx y z x y dxdy +≤=--⋅-⎰⎰2222(1)1(622)x y x y z dxdy +-≤=-+⎰⎰222(1)18x y x dxdy +-≤=⎰⎰22222221184()u v u v u dudv u v dudv +≤+≤==+⎰⎰⎰⎰14224ππ=⋅⋅= 解2 Gauss 公式设22:2()z y x y z ∑=+≤，取上侧，则原式SS +∑∑==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò()31232dV xdydz ydzdx zdxdy Ω∑=-----⎰⎰⎰⎰⎰22222442z x y yx z zdxdz ydxdy +≤+≤=-+⎰⎰⎰⎰ 22222(1)1()122(1)[4(1)4]2z x y x z dxdz y dxdy -+-≤+≤-=-++-+⎰⎰⎰⎰ 2222112(1)4[1]u v u v v dudv v dudv +≤+≤=-+++⎰⎰⎰⎰22122u v dudv π+≤==⎰⎰16、解 对级数10(1)321n n nn yn +∞=-+∑，1233321n n u n u n ++=⋅→+，13R =,13y =-时，100(1)313()21321n n n n n n n +∞∞==--=++∑∑发散， 13y =时，100(1)31(1)3()21321n n n nn n n n +∞∞==--=++∑∑收敛， 得10(1)321n n nn y n +∞=-+∑的收敛域为：11(,]33-，故原级数的收敛域为：22211,332x x -⎛⎤∈- ⎥+⎝⎦， 即 (][)2,11,2x ∈--⋃.17、解()()()2111(1)11()1913nnn n n nn n n ∞∞==-+-=-++∑∑11111919nnn n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 11911|101n x n x n ∞=-==--+∑()101111111()11x n n n n n n S x x x x dx n x n x ∞∞∞+======++∑∑∑⎰011()[ln(1)]1x x dx x x x x x==----⎰ ()()21113n n n nn ∞=-⇒+∑1111109109(ln )9ln 1091099109S ⎛⎫=---=-+-=- ⎪⎝⎭18、证 (1)22343232,22.2n n a a a a a a -==+<=<假设， 121122,3:2n n n n n n n a a a a n a --+-=+<<∀><则故.(2) 11211222n n n n n a x x x ----<=,故当12x <时，级数 11n n n a x ∞-=∑（绝对）收敛.111212231()n n n n n n S x a a x a xa a x a x ∞∞-++===++=++∑∑111111n n n n n n x a xa x ∞∞+++===+++∑∑211121n n n n n n x x a xx a x ∞∞--===+++∑∑21()[()1]x x S x x S x =+++-211x x=--。
上海交通大学线性代数期末试卷合集
目录线性代数试卷（A）2004-06-16 (2)线性代数03－04学年第2学期期末考试参考答案 (8)线性代数试卷(A) 2003-12-31 (11)线性代数2003－2004学年度第1学期期末考试参考答案 (17)线性代数试卷(A) 2005-06-22 (20)线性代数（04－05－2）期末试卷（A）参考答案 (26)线性代数试卷(A) 2004-12-29 (30)线性代数（04－05－1）期末试卷（A）参考答案 (36)线性代数试卷（A卷）2006－06－21 (39)线性代数参考答案 (45)线性代数(B)试卷----A卷2006-1-4 (48)线性代数（B）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 (54)线性代数(C) 试卷----A卷2006-1-4 (57)线性代数（C）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 (63)上海交通大学线 性 代 数 试 卷（A ） 2004-06-16姓名____________班级___ _______学号______________得分一、选择题（每题3分，共15分） 1. 设n 阶行列式D =nija ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是 (A) 01=∑=ni ij ij A a ；(B) 01=∑=nj ij ij A a ；(C) D A a nj ij ij =∑=1；(D) D A a ni i i =∑=1212. n 阶实对称矩阵A 和B 相似的充分必要条件是(A) A 与B 都有n 个线性无关的特征向量； (B) )()(B r A r =；(C) A 和B 的主对角线上的元素的和相等； (D) A 与B 的n 个特征值都相等3. 设1α,2α,3α,4α是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列向量组 中不再是0=Ax 的基础解系的为________________ (A) 1α,1α+2α,1α+2α+3α,1α+2α+3α+4α； (B) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α-1α； (C) 1α+2α,2α-3α,3α+4α,4α+1α； (D) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α+1α4. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=++222513321321321x x x b x x x x x x 有无穷多组解，则必有_______________(A) b ＝1 (B) b ＝－1 (C) b ＝2 (D) b ＝－2 5. 设向量组[Ⅰ]是向量组[Ⅱ]的线性无关的部分向量组，则____ ___(A) 向量组[Ⅰ]是[Ⅱ]的极大线性无关组 (B) 向量组[Ⅰ]与[Ⅱ]的秩相等(C) 当[Ⅰ]中向量均可由[Ⅱ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 (D) 当[Ⅱ]中向量均可由[Ⅰ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 二、填空题（每题3分，共15分）1．设 1-，5，λ 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=120222023A 的特征值，则λ= ，A 对应三个特征值的特征向量是 ,且（选填；线性无关，线性相关，相互正交，相互不正交）2．设A 为n 阶可对角化矩阵,且n E A r <-)(,则A 必有特征值λ＝ ； 且其重数为 ，其对应的线性无关的特征向量有 个 3．已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型， 则参数λ的取值范围为4．设23A ⨯为矩阵，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1032ξ都是齐次线性方程组0=AX 的解，则矩阵A ＝ （答案不唯一） 5．设A 为n 阶可逆阵，且E A A ||2=，则*A =三、计算题（每题9分，共54分）1. 试求行列式 ||A ，||B ，||C ，其中，A ，B 为 n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=x x xA 111111111 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B00020001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C2. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+bx ax x x x x x 321312111，（1）常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．3．设4阶方阵C B A ，，满足方程 11)2(--=-C A B C E T ，试求矩阵A ，其中1232120101230120,0012001200010001B C --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．求正交变换y Q x =，用此正交变换将以下实二次型化为标准形),,(321x x x f =121323222x x x x x x ++5．设34()2,A r A ⨯=为矩阵，且已知非齐次线性方程组 Ax b = 的三个解为1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2011， 2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4112， 3η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11354，求：(1) 齐次线性方程组0Ax =的通解；(2) 非齐次线性方程组Ax b =的通解6．设线性空间3R 中的向量组为1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-031，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-601，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-283，1β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210，2β=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--652（1）求由1α,2α,3α,4α生成的子空间L(1α,2α,3α,4α)的维数与一个基； （2）从1β,2β中选出属于L(1α,2α,3α,4α)的向量，并求出它们在（1）中所选的基下的坐标。
《线性代数(B)》期末考试试题(A卷)及答案
， ， .
1.用施密特法把 正交化为 .
2.把 单位化为 .（9分）
八、求下面矩阵的特征值和特征向量：
.（9分）
九、设矩阵 为正交阵证明 也是正交阵，且 或（-1）（7分）
十、设 ，且向量组 线性无关，证明向量组 线性无关。（9分）
2007-2008学年第一学期《线性代数(B)》期末考试试题(A卷)
……a5＝2a1+3a2－3a3
七、类似于课本114页例2
（1）b1＝(1，1，1)Tb2＝(－1，0，1)Tb3＝(1/3，－2/3，1/3)T
（2）r1＝(1/√3)(1，1，1)Tr2＝(1/√2)(－1，0，1)Tr3＝(1/√6)(1，－2，1)T
八、课本119页例7
九、AAT=E，AA-1=E A-1= AT
一、单项选择题：
1~5：CBBCD
二、填空题：
1. 2，4，3
2. 0
3. 3，35
4.≠4
5. x2+3y2+4xy-10yz
三、计算n阶行列式：
[x+2(n-1)](x-2)n-1类似课本27页8题（2）
四、解线性方程组：
课本79页14（1）
五、课本56页15题
六、类似于课本93页例11
把A化为行阶梯矩阵，R（A）＝4；再化为行最简形，得最大无关组（a1，a2，a4）；
A.存在不全为零的数 ，使 ；
B.所给向量组中任意两个向量都线性无关；
C.所给向量组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；
D.所给向量组中任意一个向量都不能用其余向量线性表示.()
共6页第1页
二、填空题：（每小题3分，共15分.）
1.已知 是五阶行列式中的一项且带正号，其中 ，则
线代期末考试A卷及答案
2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷 （A ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。
(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．设1111011x x x xx x++=+，则实数x =A ．1 ；B ．-1；C ．0；D ．4. 2.设A 为n 阶方阵，则kA =A ．A k n； B. A k ； C. A k ； D. nA k )(. 3.设B A ,均为n 阶矩阵，且AB =O ，则下列命题中一定成立的是( ) A. A =O 或B =O ； B. A ,B 都不可逆；C. A +B =O ；D. A ,B 至少有一个不可逆.4.下列矩阵中与矩阵123218001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭同秩的矩阵是 A ．()456； B.123456⎛⎫⎪⎝⎭； C.12111011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； D.122101402⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 5.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A. A 2必为1； B. A 必为1； C. T A A=-1； D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组.6．设非齐次线性方程组Ax =b 的导出组为Ax =0，则下列结论中正确的是（ ）A.若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解；B.若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解；C.若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解；D.若Ax =b 有唯一解，则Ax =0仅有零解。
__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………27．已知λ=3是可逆矩阵A 的一个特征值，则1-A 有一特征值是（ ）A.49； B. 94； C. 13； D. 19 .8．设n 维向量α与β满足α,β()=0，则有（ ）A. α,β 全为零向量；B. α,β中至少有一个是零向量；C. α与β的对应分量成比例；D. α与β 正交. 9.设向量组A 与向量组B 等价，则有（ ）A. B A R R <B. B A R R >C. B A R R =D. 不能确定A R 和B R 的大小.10.设齐次线性方程组0AX =的系数矩阵A 为m n ⨯矩阵，()()R A s s n =<，则此方程组基础解系的秩为A ．m s - ； B. s n - ； C. n s - ； D. m n -.二、填空题。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的秩为r(A)，则下列结论正确的是（）A. r(A) ≤ n，其中n是矩阵A的列数B. r(A) ≤ m，其中m是矩阵A的行数C. r(A) ≤ min(m, n)D. r(A) = max(m, n)答案：C2. 下列矩阵中，哪一个不是对称矩阵？（）A. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 &5 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 &9 \end{pmatrix}\)答案：D3. 若向量组α1, α2, α3线性无关，则向量组（）A. α1 + α2, α2 +α3, α3 + α1 线性无关B. α1 - α2, α2 - α3, α3 - α1 线性无关C. α1 + 2α2, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关D. α1 + α2 + α3, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关答案：B4. 设矩阵A是n阶可逆矩阵，则下列结论正确的是（）A. A的伴随矩阵A也是可逆矩阵B. A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵C. A的转置矩阵AT也是可逆矩阵D. A的n次幂An也是可逆矩阵答案：D5. 若行列式D = |A|的值为0，则下列结论正确的是（）A. 方程组Ax = b有唯一解B. 方程组Ax = b无解C. 方程组Ax = 0有非零解D. 方程组Ax = b有无穷多解答案：C6. 若矩阵A是正交矩阵，则下列结论正确的是（）A. A的行列式值为1B. A的行列式值为-1C. A的转置矩阵AT等于A的逆矩阵A-1D. A的平方等于单位矩阵E答案：CD二、填空题（每题5分，共30分）7. 若矩阵A的行列式值为3，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式值为________。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案第一节：选择题1. 下列哪个向量不是矩阵A的特征向量？A. [2, 1, 0]B. [0, 1, 0]C. [1, 1, 1]D. [0, 0, 0]答案：D2. 线性变换T：R^n -> R^m 可逆的充分必要条件是？A. T是一个单射B. T是一个满射C. T是一个双射D. T是一个线性变换答案：C3. 设线性空间V的维数为n，下列哪个陈述是正确的？A. V中的任意n个线性无关的向量都可以作为V的基B. V中的任意n - 1个非零向量都可以扩充为V的基C. V中的任意n个非零向量都可以扩充为V的基D. V中的任意n - 1个非零向量都可以作为V的基答案：A4. 设A和B是n阶方阵，并且AB = 0，则下列哪个陈述是正确的？A. A = 0 或 B = 0B. A = 0 且 B = 0C. A ≠ 0 且 B = 0D. A = 0 且B ≠ 0答案：C第二节：计算题1. 计算矩阵乘法A = [1, 2; 3, 4]B = [5, 6; 7, 8]答案：AB = [19, 22; 43, 50]2. 计算矩阵的逆A = [1, 2; 3, 4]答案：A^(-1) = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]3. 计算向量的内积u = [1, 2, 3]v = [4, 5, 6]答案：u ∙ v = 32第三节：证明题证明：对于任意向量x和y，成立下列关系式：(x + y) ∙ (x - y) = x ∙ x - y ∙ y证明：设x = [x1, x2, ..., xn]，y = [y1, y2, ..., yn]。
左边：(x + y) ∙ (x - y) = [x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn] ∙ [x1 - y1, x2 - y2, ..., xn - yn]= (x1 + y1)(x1 - y1) + (x2 + y2)(x2 - y2) + ... + (xn + yn)(xn - yn)= x1^2 - y1^2 + x2^2 - y2^2 + ... + xn^2 - yn^2= (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)= x ∙ x - y ∙ y右边，由向量的内积定义可得：x ∙ x - y ∙ y = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)综上，左边等于右边，证毕。
上海交通大学2005至2006第二学期线代数A卷期末考试试题及答案
上海交通大学2005至2006第二学期线代数A卷期末考试试题及答案线性代数试卷（A卷） 2006－06－21姓名学号得分题号一二三四总分得分一单项选择题（每题3分，共18分）1．已知矩阵，，且，则a. 当时，必有秩；b. 当时，必有秩；c. 当时，必有秩；d. 当时，必有秩。
2．已知为3维列向量组，行列式，，则行列式a. －6；b. 6；c. －18；d. 18。
3. 设线性空间中向量组线性无关，则的下列生成子空间中，维数为3的生成子空间是a. L；b. L；c. L；d. L。
4．设为维列向量组，矩阵，下列选项中正确的是a. 若线性相关，则线性无关；b. 若线性相关，则线性相关；c. 若线性无关，则线性无关；d. 若线性无关，则线性相关。
5. 设为非零实矩阵，，是行列式中元素的代数余子式，则矩阵必为a. 不可逆矩阵；b. 对称矩阵；c. 正交矩阵；d. 正定矩阵。
6．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则a. ；b. ；c. ；d. 。
二填空题（每题3分，共18分）1. 设3阶方阵有特征值，则的相似对角阵为；2. 设,，其中是非齐次线性方程组的解,为矩阵,且, 则线性方程组的通解为；3. 设实对称矩阵满足，则二次型经正交变换可化为标准形；4．已知矩阵满足，且，则行列式；5．设4阶矩阵满足行列式，，，则其伴随矩阵必有一个特征值为；6．已知4阶矩阵的秩，则齐次线性方程组的基础解系含个线性无关的解向量。
二计算题（每题8分，共48分）1．已知阶矩阵且满足方程，其中，求矩阵。
2. 已知非齐次线性方程组，其系数矩阵的秩试求：常数的值，以及该方程组的通解。
3. 求正交变换,将实二次型化为标准型,并写出正交变换。
4. 设为4阶方阵，其中是4维列向量，且线性无关，。
已知向量，试求线性方程组的通解。
5. 已知是3维线性空间的一个基，且，，。
（1）求由基到基的过渡矩阵；（2）设向量，求在基下的坐标6. 设列向量是矩阵的对应特征值的一个特征向量.（1）求常数；（2）试问：矩阵能否相似于对角矩阵？为什么？四证明题（每题8分，共16分）1. 已知矩阵为阶正定矩阵,证明:（1）矩阵的特征值都大于零；（2）若，则为正定矩阵。
线性代数期末测试题及其答案
线性代数期末测试题及其答案一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵ns ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、选择题 （每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ）A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t7．已知矩阵BA xB A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B.1≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ）A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y xC.14322+=+=-z y xD.24322+=+=z y x10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ三、解答题 （每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式E X B C T =-)(， 求X 。
线性代数期末考试考核试卷
4.以下哪个向量组构成一个基？
A. (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)
B. (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)
C. (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1)
D. (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
二、多选题
1. BCD
2. ABCD
3. ABC
4. AB
5. ABC
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
三、填题
1. 1
2.线性无关
3.主
...
10.（根据实际题目内容填写答案）
四、判断题
1. √
2. √
3. √
...
10. ×
五、主观题（参考）
1.向量组线性无关，可以通过计算行列式不为零来证明。一个可以由给定向量组线性表示的向量可以是它们的线性组合，例如\(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3\)，其中\(a, b, c\)是适当的系数。
D. (1, 1), (1, -1)
（答题括号：________）
5.在求解线性方程组时，以下哪些情况下可以使用高斯消元法？
A.系数矩阵是方阵
B.系数矩阵是非奇异的
C.方程组中方程的个数等于未知数的个数
D.方程组可能有无穷多解
（答题括号：________）
（以下题目类似，省略以节约空间）
6. ...
A.若A为m×n矩阵，则A的转置为n×m矩阵
B.若A为m×n矩阵，则A的转置为m×n矩阵
线代复习题
上 海 交 通 大 学线 性 代 数(B)试 卷----A 卷1．设A 是3阶方阵，且|A |=-21，则|A -1|=（ ） A ．-2 B ．-21 C ．21D ．22．．设A 为n 阶方阵，令方阵B =A +A T，则必有（ ）A ．B T =B B ．B =2AC ．B T =-BD ．B =03．设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ ） A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 B. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111 C. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111 D. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333222111 4．矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111的伴随矩阵A *=（ ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 5．.向量组α1，α2…，αS （s>2）线性无关的充分必要条件是（ ）A. α1，α2，…，αS 均不为零向量B. α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例C. α1，α2，…，αS 中任意s-1个向量线性无关D. α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示6．设3元线性方程组Ax =b ，A 的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1+η2=(2,0,4)T ，η1+η3=（1，-2，1）T ，则对任意常数k ，方程组Ax =b 的通解为（ ）A.(1,0,2)T +k (1,-2,1)TB.(1,-2,1)T +k (2,0,4)TC.(2,0,4)T +k (1,-2,1)TD.(1,0,2)T +k (1,2,3)T7向量组s ααα，，， 21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示，则以下结论中不能成立的是 (A) 向量组s βββ，，， 21线性无关；(B) 对任一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，， 2线性相关； (C) 存在一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，， 2线性无关； (D) 向量组s ααα，，， 21与向量组s βββ，，， 21等价。
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【 】
A. a1 a2 0 b2 b3
B. a1 a2 0 b1 b2
C. a1 a2 a3 b1 b2 b3
9.方程组
2x1 x2 x3 1 x1 2x2 x3 1
3 x1 3x2 2x3 a 1
有解的充分必要的条件是
D. a1 a3 0 b1 b2
【 】
A. a=-3
25. -2 4
0
4 0 1
19. 16 23. 1、2、3
20. 2
三、计算题（每小题 6 分，共 30 分）
0345
345
3 4 1 0
26. D
3 2 2 - 2 …………4 分 96. …………8 分
0 2 2 2
69 2
0 692
27. 解:由于 A2 AB E ,因此 AB A2 E ,又 A 1 0 ,故 A 可逆, ……2 分
101
101 002
a1 (1, 0,1), a2 (1,1, 0), a3 (0,1,1) 为 R3 的一组基，…………4 分
又设
x
x11
x2 2
x3 3
，得线性方程组
x1
x2
x2 x3
2 2
《线性代数》试卷第 6页x1共7x3页 2
解之得向量 x (2, 2, 2) 在该组基下的坐标为 x (1,1,1) 。…………8 分
6 -2 7 2
1 1 1
26．设 A
0
1
1 ,且 A2 AB E ,其中 E 是三阶单位矩阵,求矩阵 B。
0 0 1
27．a
取何值时，方程组 4x1
x1 2x2 7x2 x3
3 10 有解？在有解时求出方程组的通解。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案：B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6)，则向量α和向量β的点积为：A. 32B. 22C. 14D. 0答案：A3. 设A为3×3矩阵，且A的秩为2，则A的行向量线性相关，下列说法正确的是：A. 正确B. 错误答案：A4. 若A为n阶方阵，且A^2=0，则A的秩为：A. nB. n-1C. 0D. 不确定答案：C5. 设A为3阶方阵，且A的特征值为1，2，3，则矩阵A的迹为：A. 6B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的转置为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]。
答案：\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]2. 设向量α=(2,3)，向量β=(4,6)，则向量α和向量β共线，其比例系数为2。
答案：23. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式为2。
答案：24. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\]，则矩阵B的逆矩阵为\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{bmatrix}\]。
答案：\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\]5. 设矩阵C=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵C的特征值为1和2。
上海交通大学线性代数期末考试题07081线代BA卷
一 单项选择题（每题3分，共18分）1． 设33)(⨯=j i a A 的特征值为1，2，3，j i A 是行列式 ||A 中元素j i a 的代数余子式，则 1112233||()A A A A ++－＝ （ ） a.621； b. 611； c. 311； d. 6。
2．已知A AP P a a a a a a a a a A P n m =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=若，，333231232221131211001010100，则以下选项中正确的是 （ ） a. 45==n m ，； b. 55==n m ，； c. 54==n m ，； d. 44==n m ，。
3．n 维向量)3(,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ ） a ．存在不全为零的数s k k k ,,21，使02211≠+++s s k k k ααα ； b ．s ααα ,,21中任意两个向量都线性无关；c ．s ααα ,,21中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；d ．s ααα ,,21中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。
4．设B A ，是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中21k k ，为任意常数） （ ） a. **B A ＋； b. **-B A ； c. **B A ； d. **B k A k 21＋。
5．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222222a a a A ，伴随矩阵0≠*A ，且0=*x A 有非零解，则 （ ）a. 2=a ；b. 2=a 或4=a ；c. 4=a ；d. 2≠a 且4≠a 。
6．设βα，是非齐次线性方程组b x A E =-)(λ的两个不同的解，则以下选项中一定是A 对应 特征值λ的特征向量为 （ ）线性代数考试题及答案a.βα+； b ．βα-； c ．α； d ．β。
二 填空题（每题3分，共18分）7．设行列式 30000210=D ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则∑∑==3131i j j i A ＝ 。
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一 单项选择题（每题3分，共18分）1． 设33)(⨯=j i a A 的特征值为1，2，3，j i A 是行列式 ||A 中元素j i a 的代数余子式，则 1112233||()A A A A ++－＝ （ ） a.621； b. 611； c. 311； d. 6。
2．已知A AP P a a a a a a a a a A P n m =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=若，，333231232221131211001010100，则以下选项中正确的是 （ ） a. 45==n m ，； b. 55==n m ，； c. 54==n m ，； d. 44==n m ，。
3．n 维向量)3(,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ ） a ．存在不全为零的数s k k k ,,21，使02211≠+++s s k k k ααα ； b ．s ααα ,,21中任意两个向量都线性无关；c ．s ααα ,,21中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；d ．s ααα ,,21中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。
4．设B A ，是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中21k k ，为任意常数） （ ） a. **B A ＋； b. **-B A ； c. **B A ； d. **B k A k 21＋。
5．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222222a a a A ，伴随矩阵0≠*A ，且0=*x A 有非零解，则 （ ）a. 2=a ；b. 2=a 或4=a ；c. 4=a ；d. 2≠a 且4≠a 。
6．设βα，是非齐次线性方程组b x A E =-)(λ的两个不同的解，则以下选项中一定是A 对应 特征值λ的特征向量为 （ ）线性代数考试题及答案a.βα+； b ．βα-； c ．α； d ．β。
二 填空题（每题3分，共18分）7．设行列式 30000210=D ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则∑∑==3131i j j i A ＝ 。
8．设A 是实对称可逆矩阵，则将AX X f T=化为Y A Y f T1-=的线性变换为____________________。
9．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=53342111x A 有特征值6，2，2，且A 能相似于对角阵，则x ＝______ _____。
10．已知0≠α是n 维实列向量，矩阵Tk E A αα-=，k 为非零常数，则A 为正交矩阵的充分必要条件为=k 。
11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232221321111a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b ，其中i a 互不相同，3,2,1=i ，则线性方程组b x A T=的解是____ _______。
12．若实二次型23222121321422),,(x x x x x x x x f ++=＋λ 为正定二次型,则λ的取值范围为 。
三 计算题（每题8分，共48分）13．计算n 阶行列式： nn n n nn n n x x x yx x x y x x x y x x x yx x x x D 121121121121----++++=。
14．已知线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+bx ax x x x x x 321312111， （1）试问：常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？ （2）当方程组有无穷多解时，求出其通解。
15．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=211β，已知线性方程组β=Ax 有解但不唯一。
试求：（1）a 的值； （2）正交矩阵AQ Q Q T使得，为对角矩阵。
16．设矩阵A 的伴随矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ，且E BA ABA 311+=--。
求矩阵B 。
17．已知线性空间3R 的基321ααα，，到基321βββ，，的过渡矩阵为P ，且 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2213α；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=034223122P试求：(1) 基321βββ，，；(2) 在基 321321,,,,βββααα与下有相同坐标的全体向量。
18．设A 为三阶实对称矩阵，且满足022=-+E A A 已知A 对应特征值1=λ的特征向量有()T0101，，=α, ()2101Tα=，，。
试求：矩阵A ，n A 。
其中n 为自然数。
四 证明题（每题8分，共16分）19．设A 为n 阶矩阵，已知秩)()(2A r A r =。
试证：(1) 线性方程组002==x A Ax ，同解； (2) )()(3A r A r =。
20．设321ααα，，是n 维非零实向量，2211ααβk k +=，21k k ，为使得0≠β的任意常数。
以下结论若正确，请证明；若不正确，请举出反例。
(1) 若3α与1α正交，且3α与2α也正交，则3α与β正交。
(2) 若3α与1α线性无关，且3α与2α也线性无关，则3α与β线性无关。
参 考 答 案（线代）一 选择题 b d c a d b二 填空题 7. －11； 8. Y A X 1-=； 9. 2-=x ；10．22||k α=； 11. ()T001； 12.)2,2(-∈λ。
三 计算题 13. )()1(112)1(∑=--+-=ni i n n n x y yD 。
14. （1）110101100201A a b ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭1,2==b a 无穷多解； 2≠a 唯一解； 1,2≠=b a 无解 （4分）（2）R k k x x x ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,111001321 （8分）15. 解：（1）方程组β=AX 有解但不唯一，所以3)()(<=A r A r ，故2-=a 。
（2分）（2） 特征值为31=λ，32-=λ，03=λ。
（4分）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=31612131620316121Q ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000030003AQ Q T。
（8分） 16．由1*||||-=n A A ，有8||3=A ，得2||=A 。
（2分）用*A ，A 左右乘方程的两端，得EB A E 6)2(*=- （4分）1*)2(6--=A E B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161（8分） 17．（1）设),,(321ααα=A ,),,(321βββ=B ,则AP B =，故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101161β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8852β，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1213－β； （2分）（2）设所求向量的坐标为x ，则APx Ax =，即0)(=-x E P A ，因为A 为可逆矩阵，得0)(=-x E P ，由 （4分）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000110101134213121)(E P得Tk x ），－，111(=， （6分） 故Tk k ），，312()(321=+-=αααα （8分）18．0)2)((=+-E A E A ，特征值=λ1、1、－2， （2分）2-=λ，特征向量(1,0,1)T α=-， （4分）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-103020301211100011102000100011100011101－－＝A （6分）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-----+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n nA )2(10)2(1020)2(10)2(121101101020)2(0001000111000111021 （8分） 四 证明题19．证：(1) 因为0)(2==Ax A x A ，所以0=Ax 的解都是02=x A 的解，又)()(2A r A r =，故它们的解空间相同，因此它们同解。
(2) 0)(23==x A A x A ，所以02=x A 的解都是03=x A 的解。
反之，若存在0≠α，使03=αA，但02≠αA 。
则由0)(23==Ax A x A ，知αA 是02=x A 的解；0)(2≠=ααA A A ，知αA 不是0=Ax 的解。
与(1)的结论矛盾。
故0032==x A x A ，同解，)()(32A r A r =。
故)()()(32A r A r A r ==。
20．证：(1) 因为0)()()(2321313=+=ααααβα，，，k k ，所以成立。
(2) 不成立。
如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102α，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=213α，3212αααβ=+=。