高中数学选修2-1第三章-本章小结

【例2】 如图2，在矩形ABCD中AB＝2BC，P、 Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.
(1)求证：AQ∥平面CEP； (2)求证：平wenku.baidu.comAEQ⊥平面DEP.
图2
【分析】 证明线面平行问题，可以利用与平面 内的直线平行进行判定，也可以利用直线与平面的法 向量垂直，也可用传统方法求证．面面垂直可以利用 面面垂直的判定定理求证，也可用向量法求证．同时， 也可用两平面的法向量垂直求证．
【例 1】 如图 1 所示，平行六面体 A1B1C1D1—ABCD，M 分A→C成的比为12，N 分A→1D成 的比为 2，设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，试用 a、b、 c 表示M→N.
图1
【分析】 要用 a、b、c 表示M→N，只需 结合图形，充分运用空间向量加法和数乘向量 的运算律即可．
与平面
AMN
所成角为π2 － arccos2
5
5 .
(3)∵平面 ANM 的法向量是A→1D＝(0,8，－4)， 平面 ABCD 的法向量是 a＝(0,0,1)，
∴cos〈A→1D，a〉＝ －4＝－ 45
5 5.
∴平面
ANM 与平面
ABCD
所成角的大小为
arccos
5 5.
【例4】 如图6，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，平 面A1BC⊥侧面A1ABB1.
选修2-1第三章
空间向量与立体几何
本章小结（1）
复习目标：
1、回顾本章知识，了解本章知识结构，各知识点之间联系 2、能利用向量方法解决必修2中常见题型，比较两种方法的优劣 3、归纳总结本章常见题型的解题方法和策略
知识网络建构
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一、空间向量的线性运算 选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们 表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基 本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相 关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照 目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反 复，直到所有向量都符合目标要求．
【证法一】 (1)∵EP⊥矩形ABCD所在的平面， 且P、Q均为AB，DC的中点，∴PQ⊥AB，故以P为坐 标原点，以PA，PQ，PE分别为x轴，y轴，z轴建系如 右图3.
令AB＝2，PE＝a，则 A(1,0,0)，Q(0,1,0)，E(0,0，a)， C(－1,1,0)．
图3
∵A→Q＝(－1,1,0)，P→C＝(－1,1,0)， ∴A→Q＝P→C，∴A→Q∥P→C，∴AQ∥PC. ∵AQ⊄面 EPC，PC⊂面 EPC， ∴AQ∥面 EPC.
(2)∵D(1,1,0)，E(0,0，a) ∴P→D＝ (1,1,0)，P→E＝(0,0， a)， ∴A→Q·P→D＝(－ 1,1,0)·(1,1,0)＝－ 1＋ 1＝ 0， A→Q·P→E＝(－1,1,0)·(0,0，a)＝0. ∴A→Q⊥P→D，A→Q⊥P→E，
即AQ⊥PD，AQ⊥PE， ∴AQ⊥面EPD，AQ⊂面AEQ， ∴面AEQ⊥面DEP.
【解】 如图 1，连结 AN，则M→N＝M→A＋A→N， 由已知 ABCD 是平行四边形， 故A→C＝A→B＋A→D＝a＋b， 又M→A＝－13A→C＝－13(a＋b)．
由已知，N 分A→1D成的比为 2， 故A→N＝A→D＋D→N＝A→D－N→D＝ A→D－13A→1 D＝13(c＋ 2b)． 于是M→N＝M→A＋A→N＝ －13(a＋b)＋13(c＋2b)＝13 (－a＋b＋c)．
【证法二】 传统法． (1)在矩形ABCD中， AP＝PB，DQ＝QC，∴AP綊QC， ∴四边形AQCP为平行四边形， ∴CP∥AQ. ∵CP⊂平面CEP， AQ⊄平面CEP，∴AQ∥平面CEP.
(2)∵EP⊥平面ABCD，AQ⊂平面ABCD， ∴AQ⊥EP. ∵AB＝2BC，P为AB中点， ∴AP＝AD. 连结PQ，则ADQP为正方形， ∴AQ⊥DP. ∵EP∩DP＝P，∴AQ⊥平面DEP. ∵AQ⊂面AEQ，∴面AEQ⊥面DEP.
图4
(1)求 cos〈A→1D，A→M〉； (2)求直线 AD 与平面 ANM 所成角的大小； (3)求平面 ANM 与平面 ABCD 所成角的大小．
【解】 (1)建立空间直角坐标系(如图5)．
图5
∵A→M ＝ (5,2,4)， A→1D＝ (0,8，－ 4)． ∴A→M ·A→1D＝ 0＋ 16－ 16＝ 0， ∴A→M⊥A→1D. ∴ cos〈A→1D，A→M 〉＝ 0.
三、空间向量与空间角 1．纵观近几年高考发现，对于空间角的考查，每 年都有．不论在选择，还是填空中均有考查，而解答 题中更是考查重点，因此空间角必是高考的一个生长 点． 2.对于空间角中线线角、线面角及二面角，一是 利用传统解法，如平移法，利用定义求解等，但向量 法求解更能体现解题的优越性．
【例3】 如图4所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且 B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.
(2)A1 D⊥ AM， A1 D⊥ AN， ∴A→1D⊥平面 AMN， ∴A→1D＝(0,8，－4)是平面 ANM 的一个法向量．
又A→D＝(0,8,0)，
|A→1D|＝4 5，|A→D|＝8，A→1D·A→D＝64，
∴ cos〈A→1 D，A→D〉＝ 4
64 ＝ 5×8
2 ＝2 5
5
5 .
∴ AD
(1)求证：AB⊥BC； (2)若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角 A1—BC—A的大小为φ，试判断θ与φ的 大小关系，并予以证明．
图6
【解】 (1)证明：如图6，过点A在平面A1ABB1内 作AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平 面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，得AD⊥平面A1BC.又 BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC.
【评析】 用已知向量表示未知向量，一定要结 合图形，以图形为指导是解题的关键．
二、空间向量与线面位置关系 证明平行问题，除了应用传统的线面平行的判定 定理外，还可以利用向量共线及平面的法向量进行证 明．
证明垂直问题，除了应用传统的垂直问题的判定 定理外，还可利用向量数量积进行判断，是非常有效 的方法．