人教版A数学必修二综合测试题(含答案)

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人教版A版27课标高中数学必修第二册第八章综合测试试题试卷含答案

第八章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A.若m ∥α，n ∥α，则m n ∥ B.若⊥αγ，⊥βγ，则∥αβ C.若m ∥α，m ⊥β，则⊥αβD.若m ∥α，⊥αβ，则m ⊥β2.如图，O A B ′′′△是水平放置的OAB △的直观图，6A O =′′，2B O =′′，则OAB △的面积是（）A.6B.C.D.123.BC 是Rt ABC △的斜边，PA ABC ⊥平面，PD BC D ⊥于点，则图8-7-37中直角三角形的个数是（）A.8B.7C.6D.54.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是线段1DB 和1A C 上不重合的两个动点，则下列结论正确的是（）A.1BC MN ⊥B.1B N CM ∥C.11ABN C MD 平面∥平面D.1111CDM A B C D 平面⊥平面5.已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为（） A.18B.12C.6D.12π6.如图8-7-39所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB AC ==，16BB BC ==，E ，F 为侧棱1AA 上的两点，且3EF =，则多面体11BB C CEF 的体积为（） A.30 B.18 C.15D.127.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）B.1D.2+8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（）A.AC BE ⊥B.EF ABCD ∥平面C.三棱锥A BEF -的体积为定值D.AEF △的面积与BEF △的面积相等9.如图8-7-42，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD AA =，则下列结论中不正确的是（）A.111A B CD BC D ⊥平面平面B.1111A B CD P D P BC D 在平面上存在一点使得∥平面C.111A C Q D Q BC D 在直线上存在一点，使得∥平面D.111A C R D R BC D ⊥在直线上存在一点，使得平面10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA AD ==，E 是1DD 的中点，114BF C K AB ==，设过点E ，F ，K 的平面与平面ABCD 的交线为l ，则直线l 与直线11A D 所成角的正切值为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上） 11.如图所示，正方形ABCD 的边长为a ，沿对角线AC 将ADC △折起，若°60DAB ∠=，则二面角D AC B --的平面角的大小为________.12.在正三棱锥S ABC -中，AB =，SA =，E ，F 分别为AC ，SB 的中点.平面α过点A ，SBC ∥平面α，ABC l α= 平面，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为________.13.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，若在中间竖直钻一个圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为________.14.如图8-7-46，直角梯形ABCD 中，°90DAB ∠=，AB CD ∥，CE AB ⊥于点E .已知22BE AE ==，°30BCE ∠=.若将直角梯形绕直线AD 旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为________.三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]如图所示，一个圆锥形的空杯子（只考虑杯身部分）上放着一个直径为8 cm 的半球形冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形冰淇淋的直径，杯壁厚度忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计才能使其所用材料面积最小？并求面积的最小值.16.[12分]在四面体ABCD 中，E ，H 分别是线段AB ，AD 的中点，F ，G 分别是线段CB ，CD 上的点，且12CF CG BF DG ==.求证：（1）四边形EFGH 是梯形；（2）AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点.17.[13分]在如图所示的多面体中，EF AEB ⊥平面，AE EB ⊥，AD EF ∥，EF BC ∥，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(60)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设某项试验成功的概率是失败的概率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X=0)等于( )A．0B．12C．13D．232.若∣a⃗∣=1，∣b⃗⃗∣=2，且(a⃗+b⃗⃗)⊥a⃗，则a⃗与b⃗⃗的夹角θ=( )A．π3B．−π3C．2π3D．2π3或−π33.已知i为虚数单位，若复数z满足z(1−i)=1+i，则z=( )A．i B．−12i C．1D．124.在复平面内，复数z1=3−i，z2=−1+2i对应的两点间的距离为( )A．2B．3C．4D．55.甲、乙两名同学在高考前的5次模拟考中的数学成绩如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均成绩分别为x，y，下列说法正确的是( )A．x<y，且乙比甲的成绩稳定B．x>y，且乙比甲的成绩稳定C．x<y，且甲比乙的成绩稳定D．x>y，且甲比乙的成绩稳定6.复数z(1−i)=i（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.设a⃗=(32,sinα)，b⃗⃗=(cosα,13)，且a⃗∥b⃗⃗，则锐角α为( )A．45∘B．30∘C．75∘D．60∘8.已知实数a∈[−3,3]，则复数z=a+i2−i在复平面内对应的点位于第二象限的概率为( )A．512B．12C．712D．349. 下列叙述中，错误的一项为 ( ) A ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B ．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C ．棱柱的两底面是全等的多边形 D ．棱柱的面中，至少有两个面相互平行10. 在 △ABC 中，a =5，b =3，则 sinA:sinB 的值是 ( ) A ． 53B ． 35C ． 37D ． 57二、填空题（共6题） 11. 思考辨析判断正误两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )12. 已知非零向量 a ⃗，b ⃗⃗ 满足 ∣a ⃗∣=∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣，则 (a ⃗−12b ⃗⃗)⋅b ⃗⃗= ．13. 设两个非零向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 不共线．若 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+kb ⃗⃗ 共线，则 k = ．14. 已知 (a −i )2=2i ，其中 i 是虚数单位，那么实数 a = ．15. 若复数 z 满足 2z +z =3−2i ，其中 i 为虚数单位，则 z = ．16. 已知 O 为 △ABC 内一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则 S△ABC S △AOC= ．三、解答题（共6题）17. 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上 1，2，3，⋯，10 这 10 个数字，现随机地抽取两个小球，如果：（1）小球是不放回的；（2）小球是有放回的．分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．18. 正六边形 ABCDEF 中，O 是其中心，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m ⃗⃗⃗，AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=n ⃗⃗，用 m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ 表示 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．19. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为 O ，钉尖为 A i （i =1,2,3,4）．(1) 设OA1=a（a>0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．(2) 若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为3√2cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数是1+2i，向量20.复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2+i，向量BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数是3−i，求点C在复平面内的坐标．BC21.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积．22.定义：对于两个非零向量p⃗和q⃗，如果存在不全为零的常数α，β，使αp⃗+βq⃗=0⃗⃗，那么称p⃗和q⃗是线性相关的，否则称p⃗和q⃗是线性无关的．已知a⃗=3i⃗−4j⃗，a⃗+b⃗⃗=4i⃗−3j⃗，试判断a⃗与b⃗⃗的线性关系（相关还是无关），并证明你的结论．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】C【解析】因为(a⃗+b⃗⃗)⊥a⃗，所以(a⃗+b⃗⃗)⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗⃗=1+2cosθ=0，解得cosθ=−12，又θ∈[0,π],所以θ=2π3．【知识点】平面向量的数量积与垂直3. 【答案】A【解析】由z(1−i)=1+i，得z=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i．【知识点】复数的乘除运算4. 【答案】D【解析】在复平面内，复数z1=3−i，z2=−1+2i对应的两点的坐标分别为(3,−1)，(−1,2)，则两点间的距离为∣z2−z1∣=√(−1−3)2+[2−(−1)]2=5．【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义5. 【答案】A【解析】由题，x=15×(101+102+105+114+138)=112，y=15×(108+118+117+124+123)=118，所以x<y，由茎叶图可知，乙的成绩更集中，故乙比甲的成绩稳定．【知识点】样本数据的数字特征6. 【答案】C【解析】因为z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+12i，所以z=−12−12i，对应点为(−12,−12)，在第三象限．【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算7. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义8. 【答案】A【解析】 z =a+i2−i =(a+i )(2+i )(2−i )(2+i )=2a+(a+2)i+i 24−i 2=2a−1+(a+2)i5，由于点位于第二象限，所以 {2a −1<0,a +z >0,则 −2<a <12， P =∣∣12−(−2)∣∣∣3−(−3)∣=512．【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义9. 【答案】A【解析】在A 中，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，例如正六棱柱的相对侧面互相平行，故A 错误；在B 中，由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B 正确；在C 中，由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故C 正确；在D 中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱，由此得到D 正确．【知识点】棱柱的结构特征10. 【答案】A【解析】根据正弦定理，得 sinAsinB =ab =53．【知识点】正弦定理二、填空题（共6题） 11. 【答案】 ×【知识点】直线与直线的位置关系12. 【答案】 0【知识点】平面向量的数量积与垂直13. 【答案】 ±1【解析】因为 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+kb⃗⃗ 共线，所以存在实数 λ，使 ka ⃗+b ⃗⃗=λ(a ⃗+kb ⃗⃗)，即 (k −λ)a ⃗=(λk −1)b⃗⃗．又 a ⃗，b ⃗⃗ 是两个不共线的非零向量，所以 k −λ=λk −1=0．消去 λ，得 k 2−1=0，所以 k =±1．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义14. 【答案】 −1【解析】 a 2−2ai −1=a 2−1−2ai =2i ，a =−1．【知识点】复数的乘除运算15. 【答案】 1−2i【解析】设 z =a +bi （a,b ∈R ），则 z =a −bi ，因为 2z +z =3−2i ，所以 2a +2bi +a −bi =3−2i ，所以 3a =3，b =−2，解得 a =1，b =−2，所以 z =1−2i ．【知识点】复数的加减运算16. 【答案】 3【解析】如图所示，取 BC 的中点 D ，AC 的中点 E ，连接 OD ，OE ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=2OE⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗,所以 OE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 D ，O ，E 三点共线，所以 DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=32OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，又 DE 为 △ABC 的中位线，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．设在 △ABC 和 △AOC 中，AC 边上的高分别为 ℎ1，ℎ2，则 ℎ1=3ℎ2，所以 S△ABC S △AOC=3．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义三、解答题（共6题）17. 【答案】从十个小球中随机抽取两个小球，记事件 A 为“两个小球上的数字为相邻整数”，其所有可能的结果为 (1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)，(9,8)，(10,9)，共 18 种．（1）如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果 (x,y )，则 x 有 10 种可能，y 有 9 种可能，共有 90 种可能的结果，因此，事件 A 的概率是 1890=15．（2）如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果 (x,y )，则 x 有 10 种可能，y 有 10 种可能，共有 100 种可能的结果，因此，事件 A 的概率是 18100=950．【知识点】古典概型18. 【答案】 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2(m ⃗⃗⃗+n ⃗⃗)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m ⃗⃗⃗+2n ⃗⃗．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义19. 【答案】(1) 根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，A 1，A 2，A 3，A 4 两两连接后得到的四面体 A 1A 2A 3A 4 为正四面体，延长 A 4O 交平面 A 1A 2A 3 于 B ，则 A 4B ⊥平面A 1A 2A 3，连接 A 1B ，则 A 1B 是 OA 1 在平面 A 1A 2A 3 上的射影，所以 ∠OA 1B 即为 OA 1 与平面 A 1A 2A 3 所成角．设 A 1A 4=l ，则 A 1B =√33l ．在 Rt △A 4A 1B 中，A 1A 42=A 1B 2+A 4B 2，即 l 2=(√33l)2+(a +√a 2−(√33l)2)2，所以 l =2√63a ，故 A 1B =√33×2√63a =2√23a ，cos∠OA 1B =A 1B OA 1=2√23（其中 0<∠OA 1B <π2），所以 ∠OA 1B =arccos2√23，故 OA 1 与平面 A 1A 2A 3 所成角的大小为 arccos 2√23．(2) 12A 1A 22⋅√32=3√2，根据（1）可得 A 1A 2=2√63a ，所以 a =√2724cm ，1100⋅100⋅(4a )=4a =2√2164m ．答：复制 100 枚这种“钉”，共需材料 2√2164米．【知识点】棱锥的结构特征、线面角20. 【答案】因为 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为 (3−i )−(1+2i )=2−3i ，设 C (x,y )，则 (x +yi )−(2+i )=2−3i ，所以 x +yi =(2+i )+(2−3i )=4−2i ，故 x =4，y =−2．所以点 C 在复平面内的坐标为 (4,−2)．【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义21. 【答案】如图设球心为 O ，球的半径为 R ，作 OO 1⊥平面ABC 于点 O 1，则 OA =OB =OC =R ，且 O 1 是 △ABC 的外心，设 M 是 AB 的中点，因为 AC =BC ，所以 O 1∈CM ，所以 O 1M ⊥AB ，设 O 1M =x ，则 O 1A =√22+x 2，O 1C =CM −O 1M =√62−22−x ．又 O 1A =O 1C ，所以 √22+x 2=√62−22−x ，解得 x =7√24．所以 O 1A =O 1B =O 1C =9√24．在 Rt △OO 1A 中，O 1O =R 2，∠OO 1A =90∘，OA =R ，由勾股定理得 (R 2)2+(9√24)2=R 2，解得 R =3√62，所以 S 球=4πR 2=54π，V 球=43πR 3=27√6π．【知识点】球的表面积与体积22. 【答案】线性无关．对照定义，可求得 α=β=0．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义。

人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第九章统计综合测试(附答案与解析)

第九章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某公司从代理的,,,A B C D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知,,,A B C D 四种产品的数量比是2:3:2:4，则该样本中D 类产品的数量为（） A .22件 B .33件 C .40件 D .55件2.已知总体容量为106，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号最方便的是（） A .1，2，…，106 B .0，1，2，…，105 C .00，01，…，105 D .000，001，…，1053.一个容量为200的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：则样本数据落在[20,60)内的频率为（） A .0.11 B .0.5 C .0.45 D .0.554.如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96,98)，[98,100)，100,[102)，102,[104)，104,[106]，则在区间[98,100)内的频数为（）A .10B .30C .20D .405.图甲和图乙分别表示某地区中小学生人数和近视情况.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取了2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为（）图甲图乙A .100，10B .100，20C .200，10D .200，206.某学校高一年级有1 802人，高二年级有1 600人，高三年级有1 499人，现采用分层随机抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（） A .33，33，30 B .36，32，30C .36，33，29D .35，32，31 7.若数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1235,35,,35n x x x +++的平均数和标准差分别为（）A . ,x sB .35,x s +C .35,3x s +D .3x +8.如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s 则（）ABA .,AB A B x x s s ＞＞B .,A B A B x x s s ＜＞C .A ,B A B x x s s ＞＜D .,A B A B x x s s ＜＜9.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg ），将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（）A .4:3:1B .5:3:1C .5:3:2D .3:2:110.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数为1234,,,x x x x ，且满足324123x x x x x x ==，后6组的频数123456,,,,,y y y y y y ，且后6组各频数之间差值相同，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则,a b 的值分别为（）A .0.27，78B .0.27，83C .2.7，78D .2.7，83二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A .成绩在[70,80)分的考生人数最多B .不及格的考生人数为1 000C .考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D .考生竞赛成绩的中位数为75分12.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（） A .平均数3x ≤B .平均数3x ≤且标准差2s ≤C .平均数3x ≤且极差小于或等于2D .众数等于1且极差小于或等于4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命（单位：年）跟踪调查结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：3，3，4，7，9，10，11，12.两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲：________，乙：________.（本题第一空2分，第二空3分）14.1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土.经考证，这些头盖骨的主人死于1665~1666年的大瘟疫.人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度（单位：mm ），数据如下：146 141 139 140 145 141 142 131 142 140 144 140 138 139 147 139 141 137 141 132 140 140 141 143 134 146 134 142 133 149 140 140 143 143 149 136 141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137 142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153 158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138 148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139 149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148 138 145 145 142 143 143 148 141 145 141则95%分位数是________mm.15.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组，单位：人）：16.从一堆苹果中任取20个称其重量，它们的质量（单位：克）数据分布如下：则这堆苹果中，质量不少于120克的苹果数约占苹果总数的________%.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某市化工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工人的可能性是0.15.（1）求x的值；（2）现用分层随机抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？18.（本小题满分12分）从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.试利用频率分布直方图估算：（结果保留小数点后一位）（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生的平均成绩.19.（本小题满分12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查.某中学,A B两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分分别为5，8，9，9，9；B班5名学生得分分别为6，7，8，9，10（单位：分）.请你估计A，B两个班中哪个班的预防知识的问卷得分要稳定一些。

【新教材】2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册全册综合检测试题 Word版含解析

全册综合检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1．下列命题为假命题的是( D ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|解析：A 中，任何复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，所以A 正确；B 中，由复数为零的条件z ＝0⇔⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；C 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，且z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|；反之，由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，故C 正确；D 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 1>z 2，则a 1>a 2，b 1＝b 2＝0，此时|z 1|>|z 2|；若|z 1|>|z 2|，z 1与z 2不肯定能比较大小，所以D 错误．2．随机调查某校50个同学在学校的午餐费，结果如表：餐费/元 6 7 8 人数102020这50个同学的午餐费的平均值和方差分别是( A )A ．7.2,0.56B ．7.2，0.56C ．7,0.6D ．7，0.6解析：依据题意，计算这50个同学午餐费的平均值是x ＝150×(6×10＋7×20＋8×20)＝7.2，方差是s 2＝150[10×(6－7.2)2＋20×(7－7.2)2＋20×(8－7.2)2]＝150(14.4＋0.8＋12.8)＝0.56.3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( B ) A ．α内有很多条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面解析：当α内有很多条直线与β平行，也可能两平面相交，故A 错．同样当α，β平行于同一条直线或α，β垂直于同一平面时，两平面也可能相交，故C ，D错．由面面平行的判定定理可得B 正确．4．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则CC 1与平面AB 1C 1所成的角为( A )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：如图，取B 1C 1中点为D ，连接AD ，A 1D ，由于侧棱垂直于底面，底边是边长为2的正三角形，所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，所以CC 1∥AA 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成的角即是CC 1与平面AB 1C 1所成的角，由于B 1C 1⊥A 1D ，B 1C 1⊥AA 1，所以B 1C 1⊥平面AA 1D ，所以平面AA 1D ⊥平面AB 1C 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成角为∠A 1AD ，由于AA 1＝3，A 1D ＝3，所以tan ∠A 1AD ＝A 1D AA 1＝33，所以∠A 1AD ＝π6，所以CC 1与平面AB 1C 1所成角为π6.5．正方形ABCD 的边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若AF →·AE →＝|AE →|2，则|AF →|＝( D )A ．3B ．5 C.32D.52解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立坐标系，如图所示，由于E 为BC 边的中点，所以E (2,1)，由于F 为CD 边上一点，所以可设F (t,2)(0≤t ≤2)，所以AF →＝(t,2)，AE →＝(2,1)，由AF →·AE →＝|AE →|2可得：2t ＋2＝22＋1＝5，所以t ＝32，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，所以|AF →|＝(32)2＋22＝52.6．已知点O 是△ABC 内部一点，并且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，△BOC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，则S 1S 2＝( A )A.16B.13C.23D.34 解析：由于OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，如图，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则 OA →＋OC →＝2OD →，OB →＋OC →＝2OE →，所以OD →＝－2OE →，即O ，D ，E 三点共线且|OD →|＝2|OE →|，则S △OBC ＝13S △DBC ，由于D 为AC 中点，所以S △DBC ＝12S △ABC ，所以S △OBC ＝16S △ABC ，即S 1S 2＝16.7．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为大事A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，大事A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝6P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.8．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值范围是( A )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CA →·CB →－2CD →·CP →＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos 〈CD →，CP →〉＋1＝7－6cos 〈CD →，CP →〉，所以当cos 〈CD →，CP →〉＝1时，AB →·BP →取得最小值为1；当cos 〈CD →，CP →〉＝－1时，AP →·BP →取得最大值为13，因此AP →·BP →的取值范围是[1,13]．二、多项选择题(每小题5分，共20分)9．为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的状况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与选购联合会和中储进展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2021年1月至2022年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图．依据该折线图，下列结论错误的是( ABC ) A ．2021年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2022年1月至7月的仓储指数的中位数约为55 C ．2022年1月与4月的仓储指数的平均数约为52D ．2021年1月至4月的仓储指数相对于2022年1月至4月，波动性更大解析：2021年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A 错误；由题图知，2022年1月至7月的仓储指数的中位数约为52，所以B 错误；2022年1月与4月的仓储指数的平均数约为51＋552＝53，所以C 错误；由题图可知，2021年1月至4月的仓储指数比2022年1月至4月的仓储指数波动更大．所以D 正确．10．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个一般职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，假如再加上世界首富的年收入x n ＋1，对于这(n ＋1)个数据，下列说法错误的是( ACD )A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数大大增大，中位数肯定变大，方差可能不变解析：∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个一般职工的年收入，而x n ＋1为世界首富的年收入，则x n ＋1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，∴对于这(n ＋1)个数据，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能略微变大，但由于数据的集中程度受到x n ＋1比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．故A 、C 、D 说法错误，符合题意．11．已知向量a ，e 满足a ≠e ，|e |＝1，且对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |成立，则( BC )A ．a ⊥eB ．a·e ＝1C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )解析：由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1，∴t 2－2t a ·e ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立，即Δ＝(－2a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立，∴(a ·e －1)2≤0恒成立，而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0，即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，A 1∉平面ABCD ，M 为A 1C 的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( ABC )A ．恒有BM ∥平面A 1DEB ．B 与M 两点间距离恒为定值C ．三棱锥A 1-DEM 的体积的最大值为212 D ．存在某个位置，使得平面A 1DE ⊥平面A 1CD解析：如图，取A 1D 的中点N ，连接MN ，EN ，可得四边形BMNE 是平行四边形，所以BM ∥EN ，所以BM ∥平面A 1DE ，故A 正确；(也可以延长DE ，CB 交于H ，可证明MB ∥A 1H ，从而证 BM ∥平面A 1DE ) 由于DN ＝12，DE ＝2，∠A 1DE ＝∠ADE ＝45°，依据余弦定理得EN 2＝14＋2－2×2×12×22，得EN ＝52，由于EN ＝BM ，故BM ＝52，故B 正确；由于M 为A 1C 的中点，所以三棱锥C -A 1DE 的体积是三棱锥M -A 1DE 的体积的两倍，故三棱锥C -A 1DE 的体积V C -A 1DE ＝V A 1-DEC ＝13S △CDE ·h ，其中h 表示A 1到底面ABCD 的距离，当平面A 1DE ⊥平面ABCD 时，h 达到最大值，此时V A 1-DEC 取到最大值26，所以三棱锥M -A 1DE 体积的最大值为212，即三棱锥A 1-DEM 体积的最大值为212，故C 正确；考察D 选项，假设平面A 1DE ⊥平面A 1C D ，由于平面A 1DE ∩平面A 1CD ＝A 1D ，A 1E ⊥A 1D ，故A 1E ⊥平面A 1CD ，所以A 1E ⊥A 1C ，则在△A 1CE 中，∠EA 1C ＝90°， A 1E ＝1，EC ＝2，所以A 1C ＝1，又由于A 1D ＝1，CD ＝2，所以A 1D ＋A 1C ＝CD ，故A 1，C ，D 三点共线．所以A 1∈CD ，得A 1∈平面ABCD ，与题干条件A 1∉平面ABCD 冲突，故D 不正确．故选ABC.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(每小题5分，共20分)13．随着社会的进展，食品平安问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高同学的食品平安意识，某学校组织全校同学参与食品平安学问竞赛，成果的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的同学总人数为3 000，则成果不超过60分的同学人数大约为900.解析：由题图知，成果不超过60分的同学的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成果不超过60分的同学人数大约为0.3×3 000＝900.14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710.解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，共有10种状况．若选出的2名同学恰有1名女生，有6种状况，若选出的2名同学都是女生，有1种状况，所以所求的概率为6＋110＝710.15．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝－3，b ＝－10. 解析：由于OC →＝2OA →＋OB →，所以1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎨⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ，所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－10.16．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，除平面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M ，则四棱锥M -EFGH 的体积为23.解析：由于底面EFGH 的对角线EG 与FH 相互垂直，所以S EFGH ＝12×EG ×FH ＝12×2×2＝2，又M 到底面EFGH 的距离等于棱长的一半，即h ＝12×2＝1，所以四棱锥M -EFGH 的体积： V M -EFGH ＝13×S EFGH×h ＝13×2×1＝23.四、解答题(写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，共70分)17．(10分)某市举方法律学问问答活动，随机从该市18～68岁的人群中抽取了一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18,28)，[28,38)，[38,48)，[48,58)，[58,68]，并绘制如图所示的频率分布直方图，再将其分别编号为第1组，第2组，…，第5组．该部门对回答问题的状况进行统计后，绘制了下表．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组 [18,28) 5 0.5 第2组 [28,38) 18 a 第3组[38,48) 27 0.9 第4组 [48,58) x 0.36 第5组[58,68]30.2(1)分别求出a ，x 的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组各应抽取多少人？(3)在(2)的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率．解：(1)第1组的人数为5÷0.5＝10，第1组的频率为0.010×10＝0.1，所以n ＝10÷0.1＝100.第2组的频率为0.020×10＝0.2，人数为100×0.2＝20，所以a ＝18÷20＝0.9.第4组的频率为0.025×10＝0.25，人数为100×0.25＝25，所以x ＝25×0.36＝9.(2)第2,3,4组回答正确的人数的比为18279＝231，所以第2,3,4组每组各应抽取2人、3人、1人．(3)记“第2组至少有1人获得幸运奖”为大事A ，设抽取的6人中，第2组的2人为a 1，a 2，第3组的3人为b 1，b 2，b 3，第4组的1人为c ，则从6人中任意抽取2人全部可能的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c )，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，c )，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c )，(b 2，b 3)，(b 2，c )，(b 3，c )，共15种．其中第2组至少有1人获得幸运奖的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c )，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，c )，共9种．故P (A )＝915＝35.所以抽取的6人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为35.18．(12分)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成果进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成果的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？ (2)在(1)中所述的优秀同学中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)由于样本量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.设抽取的5人分别为A ，B, C, D ，E ，其中A ，B 为男生，C, D ，E 为女生，从5人中任意选取2人，试验的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E ) }，共10个样本点．大事“至少有一名男生”包含的样本点有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，共7个样本点，故至少有一名男生的概率为P ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.19．(12分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B .(1)求角C 大小；(2)若c ＝2，求3a ＋b 的取值范围．解：(1)由于sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B ，所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32，由于C ∈(0，π)，所以C ＝5π6. (2)由正弦定理得2R ＝csin C ＝4，所以3a ＋b ＝2R (3sin A ＋sin B ) ＝4[3sin A ＋sin(π6－A )] ＝4(3sin A ＋12cos A －32sin A ) ＝4sin(A ＋π6)，由于A ∈(0，π6)，所以A ＋π6∈(π6，π3)，所以sin(A ＋π6)∈(12，32)，所以3a ＋b 的取值范围是(2,23)．20．(12分)如图，A ，C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛动身，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C 岛．(1)求A ，C 两岛之间的直线距离； (2)求∠BAC 的正弦值．解：(1)在△ABC 中，由已知，AB ＝10×5＝50，BC ＝10×3＝30，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°.依据余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4 900，所以AC ＝70. 故A ，C 两岛之间的直线距离是70海里．(2)在△ABC 中，据正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，所以sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ＝30sin120°70＝3314，故∠BAC 的正弦值是3314.21．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面P AC ⊥平面PCD ，P A ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面P AD ； (2)求证：P A ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值．解：(1)证明：连接BD ，如图，易知AC ∩BD ＝H ，BH ＝DH ，又BG ＝PG ，故GH ∥PD ，又由于GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以GH ∥平面P AD .(2)证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，如图，依题意，得DN ⊥PC ，又由于平面P AC ⊥平面PCD ，平面P AC ∩平面PCD ＝PC ，所以DN ⊥平面P AC ，又P A ⊂平面P AC ，故DN ⊥P A ，又由于P A ⊥CD ，CD ∩DN ＝D ，所以P A ⊥平面PCD .(3)连接AN ，如图，由(2)中DN ⊥平面P AC ，可知∠DAN 为直线AD 与平面P AC 所成的角．由于△PCD 为等边三角形，CD ＝2且N 为PC 的中点，所以DN ＝3，又DN ⊥AN ，在Rt △AND 中，sin ∠DAN ＝DN AD ＝33，所以直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值为33.22．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 为正三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ＝2AD ＝4.(1)求证：平面PCD ⊥平面P AD ； (2)求三棱锥P -ABC 的体积；(3)在棱PC 上是否存在点E ，使得BE ∥平面P AD ？若存在，请确定点E 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由于AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以CD ⊥AD .由于平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面P AD . 由于CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面P AD .(2)取AD 的中点O ，连接PO ，如图．由于△P AD 为正三角形，所以PO ⊥AD .由于平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO 为三棱锥P -ABC 的高．由于△P AD 为正三角形，CD ＝2AB ＝2AD ＝4，所以PO ＝3，所以V 三棱锥P -ABC ＝S △ABC ·PO ＝13×12×2×2×3＝233.(3)在棱PC 上存在点E ，当E 为PC 的中点时， BE ∥平面P AD .证明：如图，分别取CP ，CD 的中点E ，F ，连接BE ，BF ，EF ，所以EF ∥PD . 由于AB ∥CD ，CD ＝2AB ，所以AB ∥FD ，AB ＝FD ，所以四边形ABFD 为平行四边形，所以BF ∥AD . 由于BF ∩EF ＝F ，AD ∩PD ＝D ，所以平面BEF ∥平面P AD .由于BE ⊂平面BEF ，所以BE ∥平面P AD .。

【人教A版】高中数学必修二：全册作业与测评综合质量评估(附答案)

综合质量评估(第一至第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外【解析】选C.因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,故点P(3,2)在圆内.2.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相交且过圆心D.相离【解析】选D.圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,则圆心到直线的距离d=错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

>2,所以直线与圆相离.【补偿训练】(2015·郑州高一检测)对任意实数k,圆C:(x-3)2+(y-4)2=13与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.与k取值有关【解析】选 A.对任意实数k,直线l:kx-y-4k+3=0恒过定点(4,3),而(4-3)2+(3-4)2<13,故定点(4,3)在圆C内部,所以直线与圆相交.3.(2015·乌海高一检测)已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于( ) A.错误！未找到引用源。

B.3错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选A.错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.4.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切【解析】选C.将圆x2+y2-6x-8y+9=0,化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16.所以两圆的圆心距为错误！未找到引用源。

=5,又r1+r2=5,所以两圆外切.5.设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个结论:①若l⊥α,m⊥α,则l∥m;②若m⊂β,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n;③若m⊂α,m∥n,则n∥α;④若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β.其中正确的为( )A.①②B.①②③C.①②③④D.③④【解析】选A.①正确,②可用线面垂直证明,正确,③中,n可能在α内;④中,可能有α,β相交或平行,故选A.6.(2015·临汾高一检测)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )A.x+y-错误！未找到引用源。

高中数学人教A版必修二章末综合测评2 Word版含答案

点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．设a、b为两条直线α、β为两个平面则正确的命题是()【09960089】A．若a、b与α所成的角相等则a∥bB．若a∥αb∥βα∥β则a∥bC．若a⊂αb⊂βa∥b则α∥βD．若a⊥αb⊥βα⊥β则a⊥b【解析】A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行或异面；C中α、β可以平行或相交．【答案】 D2．(2016·山西山大附中高二检测)如图1在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】如图连接A1B、BC1、A1C1则A1B＝BC1＝A1C1且EF∥A1B、GH∥BC1所以异面直线EF与GH所成的角等于60°【答案】 B3．设l为直线αβ是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥αl∥β则α∥βB．若l⊥αl⊥β则α∥βC．若l⊥αl∥β则α∥βD．若α⊥βl∥α则l⊥β【解析】选项A平行于同一条直线的两个平面也可能相交故选项A错误；选项B垂直于同一直线的两个平面互相平行选项B正确；选项C由条件应得α⊥β故选项C错误；选项D l与β的位置不确定故选项D错误．故选B【答案】 B7．(2015·洛阳高一检测)如图2△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形且∠BAC＝60°下列说法中错误的是()图2A．AD⊥平面BDCB．BD⊥平面ADCC．DC⊥平面ABDD．BC⊥平面ABD【解析】由题可知AD⊥BDAD⊥DC所以AD⊥平面BDC又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形所以AB＝ACBD＝DC＝22AB又∠BAC＝60°所以△ABC为等边三角形故BC＝AB＝2BD所以∠BDC＝90°即BD⊥DC所以BD⊥平面ADC同理DC⊥平面ABD所以A、B、C项均正确．选D【答案】 D8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12底面对角线的长为26则侧面与底面所成的二面角为() A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为23高为3在底面正方形的任一边上取其中点连接棱锥的顶点及其在底面的射影根据二面角定义即可判定其平面角在直角三角形中因为tan θ＝3(设θ为所求平面角)所以二面角为60°选C【答案】 C9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角M为CD的中点则∠AMD 的大小是()A．45°B．30°C．60°D．90°【解析】如图设正方形边长为a 作AO ⊥BD 则AM ＝AO 2＋OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝32a又AD ＝aDM ＝a2∴AD 2＝DM 2＋AM 2∴∠AMD ＝90° 【答案】 D10．在矩形ABCD 中若AB ＝3BC ＝4P A ⊥平面AC 且P A ＝1则点P 到对角线BD 的距离为( )A 292B 135C 175D 1195【解析】如图过点A 作AE ⊥BD 于点E 连接PE∵P A ⊥平面ABCDBD ⊂平面ABCD ∴P A ⊥BD ∴BD ⊥平面P AE ∴BD ⊥PE∵AE ＝AB ·AD BD ＝125P A ＝1 ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135 【答案】 B11．(2016·大连高一检测)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直体积为94底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )【09960090】A．75°B．60°C．45°D．30°【解析】如图所示P为正三角形A1B1C1的中心设O为△ABC的中心由题意知：PO⊥平面ABC连接OA则∠P AO即为P A与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC中AB＝BC＝AC＝ 3则S＝34×(3)2＝334VABC-A1B1C1＝S×PO＝94∴PO＝ 3又AO＝33×3＝1∴tan ∠P AO＝POAO＝3∴∠P AO＝60°【答案】 B12．正方体ABCD-A1B1C1D1中过点A作平面A1BD的垂线垂足为点H以下结论中错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成的角为45°【解析】因为AH⊥平面A1BDBD⊂平面A1BD所以BD⊥AH又BD⊥AA1且AH∩AA1＝A所以BD⊥平面AA1H又A1H⊂平面AA1H所以A1H⊥BD同理可证BH⊥A1D所以点H是△A1BD的垂心A正确．因为平面A1BD∥平面CB1D1所以AH⊥平面CB1D1B正确．易证AC1⊥平面A1BD因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直所以AC1和AH重合．故C正确．因为AA1∥BB1所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．因为∠AA1H≠45°所以∠A1AH≠45°故D错误．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分将答案填在题中的横线上)13．设平面α∥平面βA、C∈αB、D∈β直线AB与CD交于点S 且点S位于平面αβ之间AS＝8BS＝6CS＝12则SD＝________【解析】由面面平行的性质得AC∥BD ASBS＝CSSD解得SD＝9【答案】914．如图3四棱锥S-ABCD中底面ABCD为平行四边形E是SA上一点当点E满足条件：________时SC∥平面EBD图3【解析】当E是SA的中点时连接EBEDAC设AC与BD的交点为O连接EO∵四边形ABCD是平行四边形∴点O是AC的中点．又E是SA的中点∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC∵SC⊄平面EBDOE⊂平面EBD∴SC∥平面EBD【答案】E是SA的中点15．如图4所示在正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是棱AA1和AB上的点若∠B1MN是直角则∠C1MN等于________．图4【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1MN⊂平面A1ABB1∴B1C1⊥MN又∠B1MN为直角∴B1M⊥MN而B1M∩B1C1＝B1∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1∴∠C 1MN ＝90° 【答案】 90°16．已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形P A ⊥底面ABCD 点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△P AB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 【解析】由条件可得AB ⊥平面P AD ∴AB ⊥PD 故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC得PB ⊥平面ABCD 从而P A ∥PB 这是不可能的故②错；S △PCD ＝12CD ·PDS △P AB ＝12AB ·P A由AB ＝CDPD >P A 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点可得EF ∥CD 又AB ∥CD∴EF ∥AB 故AE 与BF 共面④错．【答案】 ①③三、解答题(本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图5所示已知△ABC 中∠ACB ＝90°SA ⊥平面ABCAD ⊥SC 求证：AD ⊥平面SBC图5【证明】∵∠ACB＝90°∴BC⊥AC又∵SA⊥平面ABC∴SA⊥BC∵SA∩AC＝A∴BC⊥平面SAC∴BC⊥AD又∵SC⊥ADSC∩BC＝C∴AD⊥平面SBC18．(本小题满分12分)如图6三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直AC＝9BC＝12AB＝15AA1＝12点D是AB的中点．图6(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC∴C1C⊥AC∵AC＝9BC＝12AB＝15∴AC2＋BC2＝AB2∴AC⊥BC又BC∩C1C＝C∴AC⊥平面BCC1B1而B1C⊂平面BCC1B1∴AC⊥B1C(2)连接BC1交B1C于O点连接OD如图∵OD分别为BC1AB的中点∴OD∥AC1又OD⊂平面CDB1AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1 19．(本小题满分12分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示P是正方形ABCD对角线的交点G是PB的中点．(1)根据三视图画出该几何体的直观图；(2)在直观图中①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC图7【解】(1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：①连接ACBD交于点O连接OG因为G为PB的中点O为BD 的中点所以OG ∥PD②连接PO 由三视图知PO ⊥平面ABCD 所以AO ⊥PO又AO ⊥BO 所以AO ⊥平面PBD因为AO ⊂平面AGC所以平面PBD ⊥平面AGC20．(本小题满分12分)(2016·济宁高一检测)如图8正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直EF ∥ACAB ＝2CE ＝EF ＝1图8(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE【09960091】【证明】 (1)如图设AC 与BD 交于点G因为EF ∥AG 且EF ＝1AG ＝12AC ＝1所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG因为EG⊂平面BDEAF⊄平面BDE所以AF∥平面BDE(2)连接FG∵EF∥CGEF＝CG＝1∴四边形CEFG为平行四边形又∵CE＝EF＝1∴▱CEFG为菱形∴EG⊥CF在正方形ABCD中AC⊥BD∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直∴BD⊥平面CEFG∴BD⊥CF又∵EG∩BD＝G∴CF⊥平面BDE21．(本小题满分12分)(2015·山东高考)如图9三棱台DEF-ABC 中AB＝2DEGH分别为ACBC的中点．图9(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BCAB⊥BC求证：平面BCD⊥平面EGH【解】(1)证法一：连接DGCD设CD∩GF＝M连接MH在三棱台DEF-ABC中AB＝2DEG为AC的中点可得DF∥GCDF＝GC所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点．又H为BC的中点所以MH∥BD又MH⊂平面FGHBD⊄平面FGH所以BD∥平面FGH 证法二：在三棱台DEF-ABC中由BC＝2EFH为BC的中点可得BH∥EFBH＝EF所以四边形BHFE为平行四边形可得BE∥HF在△ABC中G为AC的中点H为BC的中点所以GH∥AB又GH∩HF＝H所以平面FGH∥平面ABED因为BD⊂平面ABED所以BD∥平面FGH(2)连接HE因为GH分别为ACBC的中点所以GH∥AB由AB⊥BC得GH⊥BC又H为BC的中点所以EF∥HCEF＝HC因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE又CF⊥BC所以HE⊥BC又HEGH⊂平面EGHHE∩GH＝H所以BC⊥平面EGH又BC⊂平面BCD所以平面BCD⊥平面EGH22．(本小题满分12分)(2016·重庆高一检测)如图10所示ABCD是正方形O是正方形的中心PO⊥底面ABCD底面边长为aE是PC的中点．图10(1)求证：P A∥平面BDE；平面P AC⊥平面BDE；(2)若二面角E-BD-C为30°求四棱锥P-ABCD的体积．【解】(1)证明：连接OE如图所示．∵O、E分别为AC、PC的中点∴OE∥P A∵OE⊂平面BDEP A⊄平面BDE∴P A∥平面BDE∵PO⊥平面ABCD∴PO⊥BD在正方形ABCD中BD⊥AC又∵PO∩AC＝O∴BD⊥平面P AC又∵BD⊂平面BDE∴平面P AC⊥平面BDE(2)取OC中点F连接EF∵E为PC中点∴EF为△POC的中位线∴EF∥PO又∵PO⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD∵OF ⊥BD ∴OE ⊥BD∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角 ∴∠EOF ＝30°在Rt △OEF 中OF ＝12OC ＝14AC ＝24a∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ∴OP ＝2EF ＝66a∴V P -ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3。

人教A版高中数学必修二综合检测(含答案)

模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．(2019年河南二模)已知复数z ＝2＋a i(a ∈R )，若|(1－i)z |＝4，则a 的值为( ) A ．2 B ．±2 C ．0D ．±1【答案】B 【解析】∵z ＝2＋a i ，∴(1－i)z ＝(1－i)(2＋a i)＝(2＋a )＋(a －2)i ，由|(1－i)z |＝4，得(2＋a )2＋(a －2)2＝4，解得a ＝±2.故选B ．2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则sin B ＝( ) A ．13B ．23C ．23D ．223【答案】A 【解析】由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13.3．(2019年淄博月考)样本量为100的样本数据被分为6组，如表：第5组的频率是(A ．0.15 B ．0.16 C ．0.18D ．0.20【答案】B 【解析】由图表可知，第5组的频数为100－14－17－18－20－15＝16，∴第5组的频率为16100＝0.16.故选B ．4．(2019年南昌期末)已知向量a ，b 满足|a|＝1，|a ＋b|＝7，|a －b|＝3，则|b|＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B 【解析】∵|a|＝1，|a ＋b|＝7，|a －b|＝3，∴(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)＝2＋2b 2＝10，∴b 2＝4，∴|b|＝2.故选B ．5．在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是( )A ．25B ．20C ．18D ．15【答案】D 【解析】根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4.∵频数是40，∴样本容量是400.4＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选D ．6．(2019年河南月考)市场调查发现，大约45的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为1720，而实体店里的家用小电器的合格率约为910.现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是( )A ．67B ．56C ．45D ．25【答案】A 【解析】由题意，网上购买的家用小电器被投诉的概率为45×⎝⎛⎭⎫1－1720＝12100，实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为⎝⎛⎭⎫1－45×⎝⎛⎭⎫1－910＝2100，故所求概率为p ＝1210012100＋2100＝67.故选A ．7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为( )A ．15平方千米B ．18平方千米C ．21平方千米D ．24平方千米【答案】C 【解析】设在△ABC 中，a ＝13里，b ＝14里，c ＝15里，∴由余弦定理得cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513，∴sin C ＝1213.故△ABC 的面积为12×13×14×1213×5002×11 0002＝21(平方千米)．故选C ．8．在三棱锥A -BCD 中，△ABC 与△BCD 都是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球的体积为2015π，则△ABC 边长为( )A ．332 B ．634 C ．633D ．6【答案】D 【解析】如图，取BC 中点M ，连接AM ，DM .设等边三角形ABC 与等边三角形BCD 的外心分别为N ，G ，三棱锥外接球的球心为O ，连接OA ，OD ，ON ，OG .由V ＝4π3R 3＝2015π，得外接球半径R ＝15.设△ABC 的边长为a ，则ON ＝GM ＝13DM ＝36a ，AN ＝23AM ＝33a .在Rt △ANO 中，由ON 2＋AN 2＝R 2，得a 212＋a 23＝15，解得a ＝6.故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列说法中错误的是( )A ．若事件A 与事件B 互斥，则P (A )＋P (B )＝1B ．若事件A 与事件B 满足P (A )＋P (B )＝1，则事件A 与事件B 为对立事件C ．“事件A 与事件B 互斥”是“事件A 与事件B 对立”的必要不充分条件D ．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件【答案】ABD 【解析】若事件A 与事件B 互斥，则有可能P (A )＋P (B )<1，故A 不正确；若事件A 与事件B 为同一事件，且P (A )＝0.5，则满足P (A )＋P (B )＝1，但事件A 与事件B 不是对立事件，B 不正确；互斥不一定对立，对立一定互斥，故C 正确；某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”既不互斥也不对立，D 错误．故选ABD ．10．如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【答案】ABC 【解析】由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，A 正确；深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，B 正确；条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，C 正确；平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，D 错误．故选ABC ．11．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．a ⊥bC ．b ∥BC →D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】ACD 【解析】由AB →＝2a ，得a ＝12AB →，又AB ＝2，所以|a|＝1，即a 是单位向量，A 正确；a ，b 的夹角为120°，B 错误；因为AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ，所以BC →＝b ，C 正确；(4a ＋b )·BC →＝4a·b ＋b 2＝4×1×2×cos 120°＋4＝－4＋4＝0，D 正确．故选ACD ．12．如图，点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则( )A ．三棱锥A -D 1PC 的体积不变B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．DP ⊥BC 1D ．平面PDB 1⊥平面ACD 1【答案】ABD 【解析】连接BD 交AC 于点O ，连接DC 1交D 1C 于点O 1，连接OO 1，则OO 1∥BC 1，所以BC 1∥平面AD 1C ，动点P 到平面AD 1C 的距离不变，所以三棱锥P -AD 1C 的体积不变，又因为V 三棱锥P -AD 1C ＝V 三棱锥A -D 1PC ，所以A 正确；因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ，A 1P ⊂平面A 1C 1B ，所以A 1P ∥平面ACD 1，B 正确；由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直BC 1，故C 不正确；由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1，所以DB 1⊥平面AD 1C ，又因为DB 1⊂平面PDB 1，所以平面PDB 1⊥平面ACD 1，D 正确．故选ABD ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．已知复数z ＝1＋3i1－i，z 为z 的共轭复数，则z 的虚部为________．【答案】－2 【解析】由z ＝1＋3i 1－i ＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i2＝－1＋2i ，得z ＝－1－2i ，∴复数z 的虚部为－2.14．(2019年郑州高一期末)水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，这5个班级中抽取的人数分别为5，a,7,7,10，若把每个班级抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，则样本数据中的方差是________．【答案】2.8 【解析】由15×(5＋a ＋7＋7＋10)＝7，得a ＝6.所以样本数据的方差s 2＝15×[(5－7)＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(10－7)2]＝2.8.15．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2，A ＝45°，a ＝2，则c ＝________.【答案】4105 【解析】由ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2，得cos(A －B )＝2·a 2＋b 2－c 22ab ＝2cosC ＝－2cos(A ＋B )，整理，得3cos A cos B ＝sin A sin B ，所以tan A tan B ＝3.又A ＝45°，所以tan A ＝1，tan B ＝3.由sin B cos B ＝3，sin 2B ＋cos 2B ＝1，得sin B ＝31010，cosB ＝1010.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝⎛⎭⎫31010＋1010＝255.由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝4105. 16．(2020年北京期末)在平行四边形ABCD 中，已知AB →·AC →＝AC →·AD →，|AC →|＝4，|BD →|＝2，则四边形ABCD 的面积是________．【答案】4 【解析】如图，∵AB →·AC →＝AC →·AD →，∴AB →·(AB →＋AD →)＝(AB →＋AD →)·AD →，∴AB →2＋AB →·AD →＝AD →2＋AB →·AD →，∴AB →2＝AD →2，∴|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 为菱形．又|AC →|＝4，|BD →|＝2，∴四边形ABCD 的面积为12×4×2＝4.四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知复数z ＝m 2－m i(m ∈R )，若|z |＝2，且z 在复平面内对应的点位于第四象限． (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解：(1)∵z ＝m 2－m i ，|z |＝2，∴m 4＋m 2＝2，得m 2＝1.又∵z 在复平面内对应的点位于第四象限，∴m ＝－1，即z ＝1－i.(2)由(1)得z ＝1－i ，∴z 2＋az ＋b ＝1＋i ⇒(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. ∴(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得a ＝－3，b ＝4.18．(2019年揭阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积S ＝3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解：(1)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即12＝a 2＋b 2－42ab，化简得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为12ab sin C ＝3，所以ab ＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＋sin B cos A －cos B sin A ＝2sin A cos A ，化简得sin B cos A ＝sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，△ABC 为直角三角形．当cos A ≠0时，得sin B ＝sin A ，即b ＝a ，△ABC 为等腰三角形．19．(2019年重庆期末)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥AB ，底面ABCD 是边长为3的正方形，E ，F ，G 分别是棱AB ，PB ，PC 的中点，P A ＝6，∠P AD ＝60°.(1)求证：平面EFG ∥平面P AD ； (2)求三棱锥B -EFG 的体积．解：(1)证明：∵E ，F ，G 分别是棱AB ，PB ，PC 的中点， ∴EF ∥P A ，FG ∥BC ．∵底面ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ．∴AD ∥FG . ∵AD ⊂平面P AD ，FG ⊄平面P AD ，∴FG ∥平面P AD ．同理可证EF ∥平面P AD ．又EF ∩FG ＝F ，∴平面EFG ∥平面P AD ．(2)∵底面ABCD 是正方形，∴AB ⊥AD ． ∵P A ⊥AB ，且AD ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AD ．由(1)知平面EFG ∥平面P AD ，∴BE ⊥平面EFG . ∴V B -EFG ＝13S △EFG ·BE .易知∠EFG ＝120°，EF ＝12P A ＝3，FG ＝12BC ＝32，BE ＝12AB ＝32.∴S △EFG ＝12·EF ·FG ·sin ∠EFG ＝938.∴V B -EFG ＝13×938×32＝9316.20．(2020年昆明月考)某冰糖橙为甜橙的一种，云南著名特产，以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)．某采购商打算采购一批该橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如表：(1)(2)按照分层抽样的方法，从这100箱橙子中抽取10箱，试计算各等级抽到的箱数； (3)若在(2)抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起，再从中抽取2箱，求抽取的2箱中两种等级均有的概率．解：(1)依题意可知，样本中的100箱不同等级橙子的平均价格为36×410＋30×310＋24×110＋18×210＝29.4(元/kg)．(2)依题意，珍品抽到110×40＝4(箱)，特级抽到110×30＝3(箱)，优级抽到110×10＝1(箱)，一级抽到110×20＝2(箱)．(3)抽到的特级有3箱，编号为A 1，A 2，A 3，抽到的一级有2箱，编号为B 1，B 2. 从中抽取2箱，有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)共10种可能，两种等级均有的有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)共6种可能，∴所求概率p ＝610＝35.21．已知向量a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，cos ωx )，其中ω＞0，记函数f (x )＝a·b . (1)若函数f (x )的最小正周期为π，求ω的值；(2)在(1)的条件下，已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝3，且a ＝4，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a·b ＝3cos 2ωx ＋sin ωx ·cos ωx ＝3(cos 2ωx ＋1)2＋sin 2ωx 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3＋32. ∵f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， ∴2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. ∵f ⎝⎛⎭⎫A 2＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝32. 由0＜A ＜π，得π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝2π3，解得A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－bc . 联立b ＋c ＝5，得bc ＝3.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝334.22．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户，五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5 组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5 组的成绩分别为93,98,94,95,90.(ⅰ)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；(ⅱ)以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05，∴6x ＝0.05，解得x ＝120.(2)设中位数为a ，则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5，∴a ＝953≈32，则中位数为32.(3)(ⅰ)5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.(ⅱ)从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定．。

(人教版A版)高中数学必修第二册第九章综合测试试卷03及答案

第九章综合测试一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．下面抽样方法是简单随机抽样的是（）A ．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B ．从仓库中的1 000箱饮料中一次性抽取20箱进行质量检查C ．从某连队200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D ．从l0个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）2．对某校1 200名学生的耐力进行调查，抽取其中120名学生，测试他们1 500 m 跑步的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指（）A ．l20名学生B ．1200名学生C ．120名学生的成绩D ．1200名学生的成绩3．简单随机抽样和分层随机抽样之间的共同点是（）A ．都是从总体中逐个抽取的B ．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取C ．抽样过程中每个个体被抽到的机会相等D ．将总体分成几层，然后各层按照比例抽取4．某市有大型、中型与小型商店共1 500家，它们的数量之比为l:5:9，用分层随机抽样的方法抽取其中的30家进行调查，则中型商店应抽取（）A ．10家B ．18家C ．2家D ．20家5．抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（）A ．88.5B ．89C ．91D ．89.56．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图9-4-1，甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x 甲，x 乙，标准差分别为s 甲，s 乙，则（）A ．x x 乙甲＜，s s 乙甲＜B ．x x 乙甲＜，s s 乙甲＞C ．x x 乙甲＞，s s 乙甲＜D ．x x 乙甲＞，s s 乙甲＞7．某校高中三个年级的人数扇形统计图如图9-4-2所示，按年级用分层随机抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本量为（）A ．24B ．30C ．32D ．358．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第6行至第9行的随机数表2635790033709160162038827757495032114919730649167677873399746732274861987164414870862888851916207477011l 163024042979799196835125A ．3B ．16C ．38D ．499．对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是（）甲：8121327243722202526乙：9141311181920212123A ．甲的极差是29B ．甲的中位数是25C ．乙的众数是21D ．甲的平均数比乙的大10．某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，高中生中男生、女生人数之比为3:7，初中生中男生、女生人数之比为6:4，为了解学生的学习状况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从初中生中抽取男生12人，则从高中生中抽取女生的人数是（）A ．12B ．15C ．20D ．2111．如果一组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s 1+2，…n + ）A ，2s B +，2sC +，23s D +212．在去年某地区的足球比赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差是1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4．下列说法：①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球，其中正确的有（）A．l个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．某种福利彩票的中奖号码是从1~36个号码中，选出7个号码来按规则确定中奖情况，从36个号码中选出7个号码，适宜的抽样方法是________．14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．15．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”、现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的相关记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2这三地肯定进入夏季的地区有________个．16．某校为了解本校中、老年教师的身体状况，采用分层随机抽样的方法，从中年教师中抽取20人，从老年教师中抽取10人参加体检，经医院反馈信息知某项体检指标：中年教师均值为90，方差为4，老年教师均值为96，方差为6．据此估计该校中、老年教师该项指标的方差为________．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）某电视台举行颁奖典礼，邀请来自三个地区的20名演员演出，其中从30名A地区演员中随机挑选10人，从18名B地区演员中随机挑选6人，从10名C地区演员中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的演员，并确定他们的表演顺序．18．（12分）某市组织了一次普法知识竞赛，从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，统计如下：甲单位职工的成绩（分）8788919193甲单位职工的成绩（分）8589919293根据表中的数据，分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位的职工对法律知识的掌握更为稳定．19．（12分）某大学共有“机器人”兴趣团队1 000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个．为挑选优秀团队，现用分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个．（1）应从大三中抽取多少个团队？（2）将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的成绩如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛．从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？20．（12分）某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护仍是百姓最为关心的问题，参与调查者中关注此问题的约占80%现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[]55,56，得到的频率分布直方图如图9-4-3所示。

新人教版(2019A版)高中数学必修第二册综合测试卷(含答案解析)

新人教版(2019A 版)高中数学必修第二册综合测试卷(时间:120分钟分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若复数z =2i3-i ,则z 的共轭复数z =( ) A.-15-35I B.-15+35I C.15+35I D.15-35i 答案:A2.某公司生产三种型号的轿车,其中型号Ⅰ的轿车的月产量为 1 200辆,型号Ⅱ的轿车的月产量为6 000辆,型号Ⅲ的轿车的月产量为2 000辆,现用分层抽样的方法抽取92辆车进行检验,则型号Ⅲ的轿车应抽取( )A.12辆B.36辆C.20辆D.60辆答案:C3.2010-2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示,根据折线图,下列结论正确的个数为 ( )①每年的营收额逐年增长;②营收额增长最快的一年为2013-2014年;③2010-2018年的营收额增长率约为40%;④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳.A.1B.2C.3D.4答案:C4.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为( )A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4答案:B5.盒子中有若干个大小和质地完全相同的红球和黄球,从中任意取出2个球,都是红球的概率为328,都是黄球的概率为514,则从盒子中任意取出2个球,恰好是同一颜色的概率为( )A.1328B.57C.1528D.37 答案:A6.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则后一球投进的概率为34;若他前一球投不进,则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第3球投进的概率为( ) A.34 B.58 C.116 D.916 答案:D7.已知数据x 1,x 2,x 3的中位数为k ,众数为m ,平均数为n ,方差为p ,下列说法中,错误的是( )A.数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB.数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC.数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD.数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为2p答案:D8.一个圆柱的轴截面是正方形,如果这个圆柱的侧面积与一个球的表面积相等,那么圆柱的体积与球的体积之比为( )A.1∶3B.3∶1C.2∶3D.3∶2答案:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.如图,已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心,下列结论中正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ -DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CB⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BC10.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合该标志的是( )甲地:中位数为2,极差为5;乙地:总体平均数为2,众数为2;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地答案:AD11.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以下四个选项正确的是( )A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1答案:AD12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=c cos A,A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=18,以下结论正确的是()A.AC=34B.AB=8C.CDBD =1 8D.△ABD的面积为3√74答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).14.从分别写有1,2,3,4,5的五张质地相同的卡片中,任取两张,这两.张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为2515.(本题第一空2分,第二空3分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照身高依次分成六组:[155,160),[160,165), [165,170),[170,175),[175,180),[180,185),并得到样本身高的频率分布直方图如图所示,则频率分布直方图中的x的值为0.06;若将身高区间[170,175),[175,180),[180,185)依次记为A,B,C三组,并用分层抽样的方法从这三组中抽取6人,则从A,B,C三组中依次抽取的人数为3,2,1.16.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形, PA⊥平面ABC,PA=2 AB.则下列命题中正确的有②④.(填序号)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD 与平面ABC所成的角为45°.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为A1B,AC的中点.(1)证明:EF∥平面A1C1D;(2)求三棱锥C-A1C1D的体积.(1)证明:如图,连接BD.因为四边形ABCD为正方形,所以BD交AC于点F,且F为BD的中点.因为E为A1B的中点,所以EF∥A1D.因为EF⊄平面A1C1D,A1D⊂平面A1C1D,所以EF∥平面A1C1D.(2)解:三棱锥C-A1C1D的体积V=V棱锥A1-CC1D =13S△CC1D·A1D1=13×12×2×2×2=43.18.(12分)从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出所有可能的结果组成的样本空间.(2)求取出的两件产品中,恰有一件次品的概率.解:(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其所有可能的结果有6个,即Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.(2)用A 表示事件“取出的两件产品中,恰好有一件次品”,则A ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},所以P (A )=46=23. 19.(12分)某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内读书者进行年龄调查, 随机抽取了一天中40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计在这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名,求这两名读书者年龄在区间[30,40)上的人数恰为1的概率.解:(1)由频率分布直方图知,年龄在区间[40,70)上的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75.所以40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数为40×0.75=30.(2)40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+ 65×0.25+75×0.1=54.设40名读书者年龄的中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在区间[20,30)上的读书者有2人,分别记为a,b,年龄在区间[30,40)上的读书者有4人,分别记为A,B,C,D.从上述6人中选出2人,有如下样本点:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B), (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15个,记选取的两名读书者中恰好有1人年龄在区间[30,40)上为事件A,则事件A包含8个样本点:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C), (b,D),故P(A)=8.1520.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知3c2=16S+3(b2-a2).(1)求tan B 的值;(2)若S =42,a =10,求b 的值.解:(1)因为3c 2=16S +3(b 2-a 2),所以3(c 2+a 2-b 2)=16S ,即3×2ac cos B =16×12ac sin B , 所以3cos B =4sin B ,即tan B =34. (2)由(1)可得sin B =35,cos B =45, 所以S =12ac sin B =12×10c ×35=3c =42, 所以c =14.由余弦定理可得,45=100+196-b 22×10×14,整理可得,b =6√2.21.(12分)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,|xa +b |=√3|a -xb |(x >0,x ∈R).(1)求a ·b 关于x 的解析式f (x );(2)求向量a 与b 夹角的最大值;(3)若a 与b 平行,且方向相同,试求x 的值. 解:(1)由题意得|xa +b |2=3|a -xb |2,即x 2a 2+2xa ·b +b 2=3a 2-6xa ·b +3x 2b 2. 因为|a |=|b |=1,所以8xa ·b =2x 2+2, 所以a ·b =x 2+14x (x >0),即f (x )=14(x +1x ) (x >0). (2)设向量a 与b 夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=f (x )=14[(√x -√x )2+2], 当√x =√x ,即x =1时,cos θ有最小值12.因为0≤θ≤π,所以θmax =π3. (3)因为a 与b 平行,且方向相同,|a |=|b |=1,所以a =b ,所以a ·b =14(x +1x )=1, 解得x =2±√3.22.(12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,AA 1⊥平面ABCD ,AC 与BD 交于点O ,∠BAD =60°,AB =2,AA 1=√6.(1)证明:平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1;(2)求二面角A -A 1C -B 的大小.(1)证明:由AA 1⊥平面ABCD ,得AA 1⊥BD ,AA 1⊥AC. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为AC ∩AA 1=A ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1.因为BD ⊂平面A 1BD ,所以平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)解:如图,过点O 作OE ⊥A 1C 于点E ,连接BE ,DE. 由(1)知BD ⊥平面ACC 1A 1,所以BD ⊥A 1C.因为OE ⊥A 1C ,OE ∩BD =O ,所以A 1C ⊥平面BDE ,所以A 1C ⊥BE. 因为OE ⊥A 1C ,BE ⊥A 1C ,所以∠OEB 为二面角A -A 1C -B 的平面角. 因为△ABD 为等边三角形且O 为BD 中点, 所以OB =12AB =1,OA =OC =√32AB =√3. 因为AA 1⊥AC ,所以A 1C =√AA 12+AC 2=3√2. 因为△A 1AC ∽△OEC ,所以OE AA 1=OC A 1C ,所以OE =OC ·AA 1A 1C =√3×√63√2=1. 在△OEB 中,OB ⊥OE ,所以tan ∠OEB =OBOE =1,即∠OEB =45°. 综上,二面角A -A 1C -B 的大小为45°.。

新教材人教A版高中数学必修第二册全册各章综合测验汇总(共五套,附解析)

高中数学必修第二册全册各章测验汇总章末质量检测(一) 平面向量及其应用 ............................................................................... 1 章末质量检测(二) 复数 ....................................................................................................... 8 章末质量检测(三) 立体几何初步 ..................................................................................... 14 章末质量检测(四) 统计 ..................................................................................................... 23 章末质量检测(五)概率 (32)章末质量检测(一) 平面向量及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由图可知OB →，OC →，AO →是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C2．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB →＋2BC →等于( ) A ．5 B ．(－1,5) C ．(6,1) D ．(－4,9)解析：AB →＝(2,3)，BC →＝(－3,3)，∴AB →＋2BC →＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)．答案：D3．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4解析：因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.答案：C4．若A (x ，－1)，B (1,3)，C (2,5)三点共线，则x 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：AB →∥BC →，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x )＝4，x ＝－1，故选B. 答案：B5．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( ) A ．(4,0)，(－2,6) B ．(－2,6)，(4,0) C ．(2,0)，(－1,3) D ．(－1,3)，(2,0)解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，3，a －b ＝3，－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，0，b ＝－1，3.答案：C6．若a ＝(5，x )，|a |＝13，则x ＝( ) A ．±5 B．±10 C ．±12 D．±13解析：由题意得|a |＝52＋x 2＝13，所以52＋x 2＝132，解得x ＝±12. 答案：C7．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522m解析：由正弦定理得AB ＝AC ·sin∠ACB sin B＝50×2212＝502(m)．答案：A8．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形解析：由题意知a －b ＝d －c ， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形，故选D. 答案：D9．某人在无风条件下骑自行车的速度为v 1，风速为v 2(|v 1|>|v 2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.v 1v 2解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v 1|－|v 2|.答案：C10．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)，向量AB →＝(－1,1)，则(OA →＋OB →)·(OA→－OB →)等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)，向量AB →＝(－1,1)，所以OB →＝OA →＋AB →＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)，所以(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝OA →2－OB →2＝(22＋12)－(12＋22) ＝5－5＝0.故选C. 答案：C11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．答案：C12．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC→|BC →|＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，∴m ＝0. 答案：014．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 解析：方法一：设OB →＝(x ，y )，由|OA →|＝|OB →|知x 2＋y 2＝10，又OA →·OB →＝x －3y＝0，所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB →|＝2 5.故|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，又|OA →|＝10，所以|AB →|＝10×2＝2 5.答案：2 515．给出以下命题：①若a ≠0，则对任一非零向量b 都有a·b ≠0； ②若a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0； ③a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2. 其中正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a |＝|b |＝1，所以a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，故a 2＝b 2.当非零向量a ，b 垂直时，有a·b ＝0，显然①②错误．答案：③16．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________N.解析：如图，由题意得，∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC →|＝10，则|OA →|＝|OB →|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解析：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ，所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b . (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ；(2)c ⊥d .解析：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. ∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， ∴k ＝－2914.19．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)，且(a －3b )⊥c . (1)求实数m 的值； (2)求向量a 与b 的夹角θ.解析：(1)因为a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)，所以a －3b ＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m ，－3)．因为(a －3b )⊥c ，所以(a －3b )·c ＝(1－3m ，－3)·(3,4) ＝3(1－3m )＋(－3)×4 ＝－9m －9＝0，解得m ＝－1.(2)由(1)知a ＝(1,3)，b ＝(－1,2)，所以a ·b ＝5，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.20．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝2a ＋b ，求(b －a )·c ； (2)求向量a 在b 方向上的投影．解析：(1)由a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)，可得c ＝(2,6)＋(2，－2)＝(4,4)，b －a＝(1，－5)，则(b －a )·c ＝4－20＝－16.(2)向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－422＝－ 2. 21．(12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC→＋CB →＝0，(1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．解析：(1)因为2AC →＋CB →＝0，所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →.(2)证明：如图， DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)．故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．22．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ，即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.章末质量检测(二) 复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i －i 2的实部为( ) A ．0 B ．1 C ．i D ．－2 解析：i －i 2＝1＋i. 答案：B2．用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) A ．C ＝R ∩I B ．R ∩I ＝{0}C ．R ＝C ∩ID ．R ∩I ＝∅解析：由复数的概念可知R ⊂C ，I ⊂C ，R ∩I ＝∅. 答案：D3．下列说法正确的是( )A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．a i 是纯虚数(a ∈R )C ．如果复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，那么x ＝0，y ＝0D ．复数a ＋b i(a ，b ∈R )不是实数解析：两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，所以A 正确；B 中，当a ＝0时，a i ＝0是实数，所以B 不正确；要使复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，则只需y ＝0，所以C 不正确；D 中，当b ＝0时，复数a ＋b i 是实数，所以D 不正确．答案：A4．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由题意得复数z 的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．答案：C5．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：z 1－z 2＝5－7i. 答案：D6．复数1－7i 1＋i 的虚部为( )A ．0 B. 2 C ．4 D ．－4 解析：∵1－7i1＋i＝1－7i 1－i 1＋i1－i ＝－6－8i2＝－3－4i ，∴复数1－7i1＋i 的虚部为－4，选D.答案：D7．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(a ＋1)i 为纯虚数，实数a 的值是( ) A ．－1 B ．3C ．1D ．－1或3解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a ＋1≠0，解得a ＝3.故选B.答案：B8．已知z－1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z －＝(1＋i)(2＋i)＝2－1＋3i ＝1＋3i ，从而z ＝1－3i ，选B. 答案：B9．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－3)解析：由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，且该点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.答案：A10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝32λ－μ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A11．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则|2x＋4y|的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．16解析：由|z －4i|＝|z ＋2|得x ＋2y ＝3. 则2x＋4y≥22x ＋2y＝2·23＝4 2.12．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个解析：f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0， f (3)＝i 3－i －3＝－2i.∴{f (n )}＝{0，－2i,2i}．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________．解析：由已知得2(m －1)－(m ＋2)＝0，∴m ＝4. 答案：414．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋1＋b i)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，所以a ＝1，b ＝3，复数z 的实部是1. 答案：115．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析：∵AB →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB →|＝2 2. 答案：2 216．设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________．解析：先利用复数的运算法则将复数化为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，再由纯虚数的定义求a .因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)实数m 为何值时，复数z ＝m ＋6m －1＋(m 2＋5m －6)i 是实数？解析：复数z 为实数，则虚部为0，由于实部是分式，因此要求分式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m －6＝0，m ≠1，解得m ＝－6.所以当m ＝－6时，复数z 是实数． 18．(12分)计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.19．(12分)复数z ＝(a 2＋1)＋a i(a ∈R )对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹方程是什么？解析：因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 对应的点为(a 2＋1，a )，所以z 对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1.20．(12分)设复数z 1＝(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ，a ∈R ，θ∈(0，π)，z 2在复平面内对应的点在第一象限，且z 22＝－3＋4i.(1)求z 2及|z 2|；(2)若z 1＝z 2，求θ与a 的值．解析：(1)设z 2＝m ＋n i(m ，n ∈R )，则z 22＝(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ＝－3＋4i ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝－3，2mn ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2，所以z 2＝1＋2i 或z 2＝－1－2i.又因为z 2在复平面内对应的点在第一象限，所以z 2＝－1－2i 应舍去，故z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5.(2)由(1)知(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ＝1＋2i ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4sin 2θ＝1，1＋2cos θ＝2，解得cos θ＝12，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3，所以a 2＝1＋4sin 2θ＝1＋4×34＝4，a ＝±2.综上，θ＝π3，a ＝±2.21．(12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z<0，求z .解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1.则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1＝0，x 2－y 2＋3x <0，①②又x 2＋y 2＝1.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.22．(12分)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解析：(1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|2－2i|＝22＋－22＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆的半径)＝22＋1.章末质量检测(三) 立体几何初步一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．答案：B3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( )A ．4SB ．4πSC ．πSD ．2πS解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ，则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS . 答案：C4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为( ) A ．18 3 cm 2B ．18 cm 2C ．12 3 cm 2D ．12 cm 2解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为34a 2 cm 2，易求得高为63a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34a 2＝183(cm 2)．答案：A5．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A ．16π B．32π C ．36π D．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋62＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr 2＝16π.答案：A6．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B 在平面β内，则在平面β内且过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：当直线a ⊂平面β，且点B 在直线a 上时，在平面β内且过点B 的所有直线中不存在与a 平行的直线．故选A.答案：A7．若α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，且AB ＋CD ＝28，AB 、CD 在β内的射影长分别为9和5，则AB 、CD 的长分别为( )A ．16和12B ．15和13C ．17和11D ．18和10解析：如图，作AM ⊥β，CN ⊥β，垂足分别为M 、N ，设AB ＝x ，则CD ＝28－x ，BM ＝9，ND ＝5，∴x 2－81＝(28－x )2－25， ∴x ＝15,28－x ＝13. 答案：B 8.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．5解析：V 多面体P －BCC 1B 1＝13S 正方形BCC 1B 1·PB 1＝13×42×1＝163.答案：B9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝BB 1＝2，AC ＝25，则异面直线BD 与AC 所成的角为( )A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故选C.答案：C10．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )A．30° B．60°C．90° D．120°解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝ 2.∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC ＝1，MC ＝AM ＝22，∴∠CMA ＝90°. 答案：C12．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292 B.135C.175D.1195 解析：如图，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接PE . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAE ，∴BD ⊥PE . ∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，PA ＝1， ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．正方形ABCD 绕对角线AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体14．若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________．解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以S 侧＝(1＋2＋3)×2＝2＋2＋6， S 底＝12×1×2＝22，故S 表＝2＋2＋6＋2×22＝2＋22＋ 6.答案：2＋22＋ 615．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点．故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 216．矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD所成的角是________．解析：tan∠PCA ＝PA AC＝13＝33，∴∠PCA ＝30°. 答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图是由正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．解析：(1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ，分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．18．(12分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析：(1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a 26a 2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的．故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a33.19．(12分)如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 都为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)设DF 与GN 交于点O ，连接AE ，则AE 必过点O ，且O 为AE 的中点，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO .因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为AD，EF的中点，四边形ADEF为平行四边形，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.20．(12分)S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.21．(12分)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE⊂平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝15，又OE＝1，所以tan∠EFO＝ 5.章末质量检测(四) 统计一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是( )A．500名学生是总体B．每个被抽查的学生是样本C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生是样本容量解析：A×总体应为500名学生的体重B×样本应为每个被抽查的学生的体重C√抽取的60名学生的体重构成了总体的一个样本D×样本容量为60，不能带有单位2．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按01,02,03，…，70进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第7个个体是( )(注：如表为随机数表的第8行和第9行)63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A ．07B ．44C ．15D ．51解析：找到第9行第9列数开始向右读，符合条件的是29,64,56,07,52,42,44，故选出的第7个个体是44.答案：B3．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论： ①这组数据的众数是3.②这组数据的众数与中位数的数值不等． ③这组数据的中位数与平均数的数值相等． ④这组数据的平均数与众数的数值相等．其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：由题意知，众数与中位数都是3，平均数为4.只有①正确，故选A. 答案：A4．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．10解析：若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x2＋300，所以有x＋x 2＋x 2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取的高一学生数为800100＝8.答案：A5．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A ．28B ．40C ．56D ．60解析：设中间一组的频数为x ，则其他8组的频数和为52x ，所以x ＋52x ＝140，解得x ＝40.答案：B6．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表所示：一年级二年级三年级女生373380y男生377370z现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A．24 B．18C．16 D．12解析：一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋370＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×642 000＝16.故选C.答案：C7．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是( )A．甲的极差是29 B．乙的众数是21C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是24解析：甲的极差是37－8＝29；乙的众数显然是21；甲的平均数显然高于乙，即C成立；甲的中位数应该是23.答案：D8．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．1B ．8C ．12D ．18解析：由图知，样本总数为N ＝200.16＋0.24＝50.设第三组中有疗效的人数为x ，则6＋x 50＝0.36，解得x ＝12. 答案：C9．一组数据的方差为s 2，平均数为x ，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )A.12s 2，12x B ．2s 2,2x C ．4s 2,2x D ．s 2，x解析：将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍．故答案选C.答案：C10.某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在12：00至13：00间的销售金额，并用茎叶图表示如图，则可估计有( )A ．甲城市销售额多，乙城市销售额不够稳定B ．甲城市销售额多，乙城市销售额稳定C ．乙城市销售额多，甲城市销售额稳定D ．乙城市销售额多，甲城市销售额不够稳定解析：十位数字是3,4,5时乙城市的销售额明显多于甲，估计乙城市销售额多，甲的数字过于分散，不够稳定，故选D.答案：D11．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加上2所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：设A 样本数据为x i ，根据题意可知B 样本数据为x i ＋2，则依据统计知识可知A ，B 两样本中的众数、平均数和中位数都相差2，只有方差相同，即标准差相同．答案：D12．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677解析：由题图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 13．将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m ＝________.解析：由题意知第一组的频率为 1－(0.15＋0.45)＝0.4，所以8m＝0.4，所以m ＝20.答案：2014．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为________．解析：由于样本容量与总体个体数之比为20100＝15，故各年龄段抽取的人数依次为45×15＝9(人)，25×15＝5(人)，20－9－5＝6(人)．答案：9,5,615．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．解析：由频率分布图知，设90～100分数段的人数为x ，则0.40x ＝0.0590，所以x＝720.答案：72016．设样本数据x 1，x 2，…，x 2017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2017的方差为________．解析：本题考查数据的方差．由题意得D (y i )＝D (2x i －1)＝D (2x i )＝4D (x i )＝4×4＝16.答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某总体共有60个个体，并且编号为00,01，…，59.现需从中抽取一个容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列的1开始．依次向下读数，到最后一行后向右，直到取足样本为止(大于59及与前面重复的数字跳过)，求抽取样本的号码．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79 20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30 71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60解析：由随机数表法可得依次的读数为：18,24,54,38,08,22,23,0118．(12分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%，为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解析：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x＝10%.解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人数为200×34×10%＝15.19．(12分)已知一组数据按从小到大的顺序排列为－1，0,4，x,7,14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．解析：由于数据－1,0,4，x,7,14的中位数为5，所以4＋x2＝5，x ＝6.设这组数据的平均数为x －，方差为s 2，由题意得 x －＝16×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，s 2＝16×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝743. 20．(12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．解析：(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2. (2)设参加这次测试的学生有x 人，则0.1x ＝5，所以x ＝50.即参加这次测试的学生有50人． (3)达标率为0.3＋0.4＋0.2＝90%，所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.21．(12分)市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？(3)若预测跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳过1.70 m才能得冠军呢？解析：(1)甲的平均成绩为：(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)÷8＝1.69 m，乙的平均成绩为：(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)÷8＝1.68 m；(2)根据方差公式可得：甲的方差为0.0006，乙的方差为0.00315∵0.0006＜0.00315∴甲的成绩更为稳定；(3)若跳过1.65 m就很可能获得冠军，甲成绩均过1.65米，乙3次未过1.65米，因此选甲；若预测跳过1.70 m才能得冠军，甲成绩过1.70米3次，乙过1.70米5次，因此选乙．22．(12分)某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高(单位：cm)情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：(1)(2)画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在[149.5,165.5]范围内的有多少人？解析：(1)由题意得M＝80.16＝50，落在区间[165.5,169.5]内的数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，。

2021-2022学年新教材人教A版高中数学必修第二册全册各章章末综合测验含答案解析

人教A 版必修第二册各章综合测验第六章平面向量及其应用 ............................................................................................... 1 第七章复数 ..................................................................................................................... 14 第八章立体几何初步 ..................................................................................................... 22 第九章统计 ..................................................................................................................... 36 第十章概率 (49)第六章平面向量及其应用(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB → ＝( ) A ．2CD → ＋CA → B ．CD → －2CA →C ．2CD → －CA → D ．CD → ＋2CA→ 【解析】选C.在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB → ＝CD → ＋DB → ＝CD → ＋AD → ＝CD → ＋(AC → ＋CD → )＝2CD → －CA → .2．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(0，2)，且λa ＋μb ＝(2，8)，则λ－μ＝( ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1 【解析】选D.因为a ＝(1，1)，b ＝(0，2)，所以λa ＋μb ＝(λ，λ＋2μ)，因为λa ＋μb ＝(2，8)，所以(λ，λ＋2μ)＝(2，8)，所以λ＝2，μ＝3，所以λ－μ＝－1.3．向量a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(x ，1)，若3a －b 与c 共线，则x ＝( ) A ．1 B ．－3 C ．－2 D ．－1【解析】选D.向量a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(x ，1)，则3a －b ＝(1，－1)，又3a －b 与c 共线，则1×1－(－1)·x＝0，解得x ＝－1.4．(2021·宁波高一检测)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A ． 3B ．2 3C ．4D ．12 【解析】选B.因为a ＝(2，0)，|b |＝1 所以|a |＝2，a·b ＝2×1×cos 60°＝1 所以|a ＋2b |＝a 2＋4a·b ＋4b 2 ＝2 35．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边长为( ) A ．62 B ．63 C ．12 D ．32【解析】选B.A ＝180°－(60°＋45°)＝75°，故最短边为b ，由正弦定理可得b sin B ＝csin C，即b ＝c sin B sin C ＝1×sin 45°sin 60° ＝63. 6．如图所示，下列结论正确的是( )①PQ → ＝32 a ＋32 b ；②PT → ＝32 a －b ；③PS → ＝32 a －12 b ；④PR → ＝32a ＋b .A ．①② B．③④ C．①③ D．②④【解析】选C.①根据向量的加法法则，得PQ → ＝32 a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT → ＝32 a －32 b ，故②错误；③PS → ＝PQ → ＋QS → ＝32 a ＋32 b －2b ＝32 a －12 b ，故③正确；④PR → ＝PQ → ＋QR →＝32 a ＋32 b －b ＝32 a ＋ 12b ，故④错误． 7．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个力f 4，则f 4＝( ) A ．(－2，－2) B ．(2，－2) C ．(－1，2)D ．(－2，2)【解析】选D.由物理知识，知物体平衡，则所受合力为H ，所以f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(－2，2).8．(2021·济宁高一检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若 tan C ＝7 ，cos A ＝528 ，b ＝3 2 ，则△ABC 的面积为( ) A ．37B ．372C ．374D ．378【解析】选B.因为tan C ＝sin C cos C ＝7 且sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝144，cos C ＝24 .又cos A ＝528 ，所以sin A ＝1－cos 2A ＝148 ，故sin B ＝sin [π－(A ＋C)]＝sin (A ＋C) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝378. 因为a sin A ＝b sin B ，b ＝3 2 ，故a ＝b sin A sin B ＝2，S △ABC ＝12 ×ab sin C＝12 ×2×3 2 ×144 ＝372.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．对于任意的平面向量a ，b ，c ，下列说法正确的是( ) A ．若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·cC ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝cD ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )【解析】选BD.a ∥b 且b ∥c ，当b 为零向量时，则a 与c 不一定共线，即A 错误；由向量乘法的分配律可得：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ，即B 正确；因为a ·b ＝a ·c ，则a·(b ＋c )＝0，又a ≠0，则b ＝c 或a ⊥(b ＋c )，即C 错误；向量加法满足结合律，即：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，即D 正确．10．(2021·青岛高一检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝12，则(a －b )·(2b －c )的值可能为( ) A ．－2 B ．3－ 3 C ．0D ．－ 2【解析】选ACD.|a|＝|b|＝|c|＝1，a ·b ＝12 ，则cos θ＝12 ，θ＝60°，所以|b －a|＝a 2＋b 2－2a·b ＝1，则(a －b )·(2b －c )＝2a·b －a·c －2b 2＋b·c ＝1－2＋c·(b －a )＝－1＋cos α，其中α为c 与b －a 的夹角，且α∈[0，π]，因为cos α∈[－1，1]，所以cos α－1∈[－2，0].11.(2021·南通高一检测)如图，B 是AC 的中点，BE → ＝2OB → ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP → ＝xOA → ＋yOB → ()x ，y∈R ，则下列结论正确的为( )A ．当x ＝0时，y∈[]2，3B ．当P 是线段CE 的中点时，x ＝－12 ，y ＝52C ．若x ＋y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x －y 的最大值为－1【解析】选BCD.当x ＝0时，OP → ＝yOB → ，则P 在线段BE 上，故1≤y≤3，故A错．当P 是线段CE 的中点时，OP → ＝OE → ＋EP → ＝3OB → ＋12 (EB → ＋BC → )＝3OB→ ＋12 (－2OB → ＋AB →) ＝－12 OA → ＋52OB →，故B 对．x ＋y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对．如图，过P 作PM∥AO，交OE 于M ，作PN∥OE，交AO 的延长线于N ，则：OP → ＝ON → ＋OM → ；又OP → ＝xOA → ＋yOB → ；所以x≤0，y≤1；由图形看出，当P 与B 重合时，OP →＝0·OA → ＋1·OB → ；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x －y 取最大值－1，故D 正确． 12．(2021·怀化高一检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，cos 2A－cos2B－cos2C＝cosA cos B＋cos C－cos 2B且c＝ 3 ，则下列结论中正确的是( )A．C＝π3B．C＝2π3C．△ABC面积的最大值为3 4D．△ABC面积的最大值为33 4【解析】选BC.因为cos2A－cos2B－cos2C＝cosAcos B＋cos C－cos 2B，所以(1－sin2A)－(1－sin2B)－(1－sin2C)＝cosA cos B－cos (A＋B)－(1－2sin2B)，所以sinA sin B＋sin2B＋sin2A－sin2C＝0，由正弦定理可得ab＋b2＋a2－c2＝0，可得cosC＝－12，可得C＝2π3，故A错误；B正确；又c＝ 3 ，可得3＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab，解得ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以S△ABC ＝12ab sin C≤12×1×32＝34，故C正确；D错误．三、填空题(每小题5分，共20分)13．已知a＝(2，－2)，b＝(x，2)，若a·b＝6，则x＝____________．【解析】因为a＝(2，－2)，b＝(x，2)，所以a·b＝2x－4，又因为a·b＝6，所以2x－4＝6，解得x＝5.答案：514．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若2a sin B ＝ 3 b ，b ＋c ＝5，bc ＝6，则a ＝__________．【解析】因为2a sin B ＝ 3 b ，所以2sin A sin B ＝ 3 sin B. 所以sin A ＝32，因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝12 ，因为bc ＝6，b ＋c ＝5，所以b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋32－2×6×12 ＝7，所以a ＝7 .答案：715．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD＝60°，E 为CD 的中点．若AD → ·EB → ＝2，则AB → 的模为__________．【解析】因为在平行四边形ABCD 中，EB → ＝EC → ＋CB → ＝12 DC → －BC → ，又DC → ＝AB → ，BC → ＝AD → ，所以EB → ＝12AB → －AD → ，所以AD → ·EB → ＝AD → ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AD → ＝12 AB → ·AD → －AD → 2＝12 |AB → ||AD→ |cos 60°－|AD → |2＝14 |AB → |－1＝2，所以|AB → |＝12. 答案：1216．(2021·天津高一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若m ＝()b －c ，a －b ，n ＝()sin C ，sin A ＋sin B ，且m ⊥n ，则A ＝________；若△ABC 的面积为2 3 ，则△ABC 的周长的最小值为____________．【解析】由条件可知m ·n ＝()b －c sin C ＋()a －b ()sin A ＋sin B ＝0，由正弦定理可得()b －c c ＋()a －b ()a ＋b ＝0，所以bc －c 2＋a 2－b 2＝0即bc ＝b 2＋c 2－a 2， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12 ，因为0<A<π，所以A ＝π3； S ＝12 bc sin A ＝34 bc ＝2 3 ，解得bc ＝8， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－bc≥2bc－bc ＝8即a≥2 2 ，当b ＝c ＝2 2 时，等号成立，b ＋c≥2bc ＝4 2 ，当b ＝c 时等号成立，所以a ＋b ＋c≥2 2 ＋4 2 ＝6 2 ，当b ＝c 时，a ＋b ＋c 时取得最小值6 2 . 答案：π3 6 2四、解答题(共70分)17．(10分)在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求： (1)2AB → ＋AC → 的模；(2)cos ∠BAC. 【解析】(1)如图，AB →＝(－1，1)，AC → ＝(1，5)，故2AB → ＋AC → ＝(－2，2)＋(1，5)＝(－1，7)，故|2AB → ＋AC → |＝（－1）2＋72＝5 2 ； (2)cos ∠BAC＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝（－1，1）·（1，5）1＋1 1＋52＝－1＋5 2×26＝2 1313. 18．(12分)如图所示，梯形ABCD 中，AB∥CD，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB → ＝a ，AD → ＝b ，试用a ，b 表示DC → ，BC → ，MN →.【解析】由题意知四边形ANCD 是平行四边形．则DC → ＝AN →＝12 AB → ＝12a ，BC →＝NC → －NB → ＝AD → －12 AB → ＝b －12 a ，MN → ＝CN → －CM → ＝－AD →－12 CD →＝－AD → －12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＝14a －b .19．(12分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．【解析】(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14(海里/时).(2)在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，所以sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.20．(12分)(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac＝ 3 ，②c sin A＝3，③c＝ 3 b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝ 3sin B，C＝π6，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】选条件①ac＝ 3 .在△ABC中，sin A＝ 3 sin B，即b＝33a，ac＝ 3 ，所以c＝3a，cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋a23－3a223a23＝32，所以a＝ 3 ，b＝1，c＝1. 选条件②c sin A＝3.在△ABC中，c sin A＝a sin C＝a sin π6＝3，所以a＝6.因为sin A＝ 3 sin B，即a＝ 3 b，所以b＝2 3 ，cos C＝a2＋b2－c22ab＝36＋12－c22×6×23＝32，所以c＝2 3 ，选条件③c＝ 3 b.由sin A＝ 3 sin B可得a＝ 3 b，又c＝ 3 b，所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝36≠cosπ6，与已知条件C＝π6相矛盾，所以问题中的三角形不存在．21．(12分)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a2＋c2－b2＝ 3 ac.(1)求角B的大小；(2)若2b cos A＝ 3 (c cos A＋a cos C)，BC边上的中线AM的长为7 ，求△ABC【解析】(1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32 ，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6. (2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，代入2b cos A ＝ 3 (c cos A ＋a cos C)，可得2sin B cos A ＝ 3 (sin C cos A ＋sin A cos C)，即2sin B cos A ＝ 3 sin B ，因为sin B≠0，所以cos A ＝32，所以A ＝π6，于是C ＝π－A －B ＝2π3.设AC ＝m ，则BC ＝m ，AB ＝ 3 m ，CM ＝12m ，由余弦定理可知AM 2＝CM 2＋AC 2－2CM·AC·cos 2π3，即(7 )2＝14 m 2＋m 2－2·12 m·m·(－12 )＝74m 2，解得m ＝2. 于是S △ABC ＝12 CA·CB sin 2π3 ＝12 ×2×2×32＝ 3 .22．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sinA ＋C2＝(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．【解析】(1)由题设及正弦定理得sin A sinA ＋C2＝sin B sin A. 因为sin A≠0，所以sinA ＋C2＝sin B. 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2 ＝cos B2，故cos B 2 ＝2sin B 2 cos B2.因为cos B 2 ≠0，故sin B 2 ＝12 ，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝12 ac sin B ＝34 a. 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C<90°，tan C ＞33 ，故12 <a<2，从而38 <S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32 .第七章复数(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分) 1．i 是虚数单位，则i1＋i的虚部是( ) A ．12 iB ．－12 iC ．12D ．－12【解析】选C.i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i 2 ＝12 ＋12i. 2．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y∈R ，则复数x ＋yi ＝( ) A ．－2＋i B ．1－2i C ．2＋iD ．1＋2i【解析】选C.(x －i)i ＝y ＋2i 即xi ＋1＝y ＋2i ，故y ＝1，x ＝2，所以复数x ＋yi ＝2＋i.3．设z 1＝－3＋4i ，z 2＝2－3i ，其中i 为虚数单位，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】选B.因为z 1＝－3＋4i ，z 2＝2－3i ，所以z 1＋z 2＝－3＋4i ＋2－3i ＝－1＋i ，所以z 1＋z 2在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限．4．(2021·舟山高一检测)已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i【解析】选B.由题意，复数z1＋i＝2＋i ，可得z ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i ，所以z ＝1－3i.5．如图，在复平面内，向量OP → 对应的复数是1－i ，将OP → 向左平移一个单位后得到00O P ，则P 0对应的复数为( )A.1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i【解析】选 D.要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP ，而0000OP OO O P ＝＋，从而可求P 0对应的复数．因为00O P ＝OP → ，0OO 对应的复数是－1，所以P 0对应的复数，即0OP 对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.6．已知a ，b∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋bi 互为共轭复数，则(a ＋bi)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4iD ．3＋4i【解析】选D.由a －i 与2＋bi 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1.所以(a ＋bi)2＝(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i.7．如果一个复数和它的模的和为5＋ 3 i ，那么这个复数是( ) A ．115B ． 3 iC ．115 ＋ 3 iD ．115＋2 3 i【解析】选C.设这个复数为a ＋bi(a ，b∈R ). 由题意得a ＋bi ＋a 2＋b 2 ＝5＋ 3 i ，即a ＋a 2＋b 2 ＋bi ＝5＋ 3 i ，由复数相等可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝5，b ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝115，b ＝3，所以复数为115＋ 3 i.8．设复数z ＝cos x ＋isin x ，则函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋1z 的部分图象可能是( )【解析】选A.f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x ＋isin x ＋1cos x ＋isin x ＝2|cos x|，所以f(x)的图象为A.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 9．已知复数z ＝21－i，则下列结论正确的是( ) A ．z 的虚部为iB ．|z|2＝2C ．z 2为纯虚数D ．z ＝－1＋i【解析】选BC.因为复数z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，则z 的虚部为1，A 不正确．|z|2＝2，B 正确．z 2＝(1＋i)2＝2i 为纯虚数，C 正确．z ＝1－i ，D 不正确．10．已知i 为虚数单位，复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a 的值不能为( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2【解析】选CD.因为复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，所以a 2＋4＝4＋1，解得a ＝±1.11．已知z 1与z 2是共轭虚数，有下列4个命题，其中一定正确的有( ) A ．z 21 <|z 2|2B ．z 1z 2＝|z 1z 2|C ．z 1＋z 2∈RD ．z 1z 2∈R 【解析】选BC.z 1与z 2是共轭虚数，设z 1＝a ＋bi ，z 2＝a －bi(a ，b∈R ，b≠0). A ．z 21 ＝a 2－b 2＋2abi ，|z 2|2＝a 2＋b 2，虚数不能比较大小，因此不正确； B ．z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，正确； C ．z 1＋z 2＝2a∈R ，正确；D ．z 1z 2 ＝a ＋bi a －bi ＝（a ＋bi ）2（a －bi ）（a ＋bi ）＝a 2－b 2a 2＋b 2 ＋2ab a 2＋b 2 i 不一定是实数，因此不一定正确．12．设i 为虚数单位，复数z ＝(a ＋i)(1＋2i)，则下列命题正确的是( ) A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2C ．实数a ＝－12 是z ＝z (z 为z 的共轭复数)的充要条件D ．若z ＋|z|＝x ＋5i(x∈R )，则实数a 的值为2 【解析】选ACD ．z ＝(a ＋i)(1＋2i)＝a －2＋(1＋2a)i ，所以选项A ：z 为纯虚数，有⎩⎨⎧a －2＝0，1＋2a≠0可得a ＝2，故正确；选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有⎩⎨⎧a －2<0，1＋2a<0 解得a<－12 ，故错误；选项C ：a ＝－12 时z ＝z ＝－52 ；z ＝z 时1＋2a ＝0即a ＝－12 ，它们互为充要条件，故正确；选项D ：z ＋|z|＝x ＋5i(x∈R )时，有1＋2a ＝5即a ＝2，故正确．三、填空题(每小题5分，共20分)13．i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________．【解析】6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝（6＋14）－5i 12－（2i ）2 ＝20－5i5 ＝4－i.答案：4－i 14．若1＋ai1－i＝2－i(其中i 是虚数单位)，则实数a ＝________. 【解析】因为1＋ai1－i＝2－i ，所以1＋ai ＝(1－i)(2－i)＝1－3i ，所以a ＝－3. 答案：－315．已知复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)的实部为2，其中a ，b 为正实数，则4a ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 1－b 的最小值为________．【解析】因为复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)＝2a ＋b ＋(1－2ab)i 的实部为2，其中a ，b 为正实数，所以2a ＋b ＝2，所以4a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 1－b ＝22a ＋2b －1≥222a ·2b －1 ＝222a ＋b －1 ＝2 2 .当且仅当a ＝14 ，b ＝32 时取等号．答案：2 216．已知2＋i ，2－i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0在复数范围内的两个根，则p ＝________，q ＝________．【解析】由题意得(2＋i)＋(2－i)＝－p ，(2＋i)(2－i)＝q ，所以p ＝－4，q ＝5.答案：－4 5 四、解答题(共70分)17．(10分)计算：(1)（2＋i ）（1－i ）21－2i；(2)4＋5i（5－4i ）（1－i ）. 【解析】(1)（2＋i ）（1－i ）21－2i ＝（2＋i ）（－2i ）1－2i＝2（1－2i ）1－2i＝2.(2)4＋5i （5－4i ）（1－i ）＝（5－4i ）i （5－4i ）（1－i ）＝i1－i ＝i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝i －12 ＝－12 ＋12i. 18．(12分)设复数z ＝(a 2＋a －2)＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a∈R ，当a 取何值时，(1)z∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 是零．【解析】(1)z∈R ，只需a 2－7a ＋6＝0，所以a ＝1或a ＝6.(2)z 是纯虚数，只需⎩⎨⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6≠0，所以a ＝－2.(3)因为z ＝0，所以⎩⎨⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6＝0，所以a ＝1.19．(12分)已知z 1＝m 2＋1m ＋1 i ，z 2＝(2m －3)＋12i ，m∈R ，i 为虚数单位，且z 1＋z 2是纯虚数． (1)求实数m 的值； (2)求z 1·z 2的值．【解析】(1)z 1＋z 2＝(m 2＋2m －3)＋(1m ＋1 ＋12)i ，因为z 1＋z 2是纯虚数所以⎩⎨⎧m 2＋2m －3＝01m ＋1＋12≠0解得m ＝1.(2)由(1)知z 1＝1＋12 i ，z 2＝－1＋12 i ，所以z 2＝－1－12i ，所以z 1·z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－12i＝－1－12 i －12 i ＋14 ＝－34－i.20．(12分)已知复数z 1＝m ＋(m 2－2m)i ，z 2＝1＋(－m 2＋3m －1)i ，其中x∈R . (1)若复数z 1为实数，求m 的值； (2)求|z 1＋z 2|的最小值．【解析】(1)由复数z 1为实数，则m 2－2m ＝0，解得m ＝2或m ＝0. (2)因为z 1＋z 2＝(m ＋1)＋(m －1)i ，所以|z 1＋z 2|＝（m ＋1）2＋（m －1）2 ＝2m 2＋2 ，当m ＝0时，故|z 1＋z 2|的最小值为 2 . 21．(12分)已知x 2－(3－2i)x －6i ＝0. (1)若x∈R ，求x 的值； (2)若x∈C ，求x 的值．【解析】(1)x∈R 时，由方程得(x 2－3x)＋(2x －6)i ＝0. 则⎩⎨⎧x 2－3x ＝0，2x －6＝0，得x ＝3. (2)x∈C 时，设x ＝a ＋bi(a ，b∈R )，代入方程整理，得(a 2－b 2－3a －2b)＋(2ab －3b ＋2a －6)i ＝0.则⎩⎨⎧a 2－b 2－3a －2b ＝0，2ab －3b ＋2a －6＝0，得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－2 或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝0.故x ＝3或x ＝－2i.22．(12分)若z∈C ，4z ＋2z ＝3 3 ＋i ，ω＝sin θ－icos θ(θ为实数)，i 为虚数单位． (1)求复数z ；(2)求|z －ω|的取值范围．【解析】(1)设z ＝a ＋bi(a ，b∈R )，则z ＝a －bi ，所以4(a ＋bi)＋2(a －bi)＝3 3 ＋i ，即6a ＋2bi ＝3 3 ＋i ，所以⎩⎨⎧6a ＝33，2b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12，所以z ＝32 ＋12i. (2)|z －ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋12i －（sin θ－icos θ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋cos θi＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－sin θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋cos θ2＝2－3sin θ＋cos θ ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6 .因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6 ≤1，所以0≤2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6 ≤4，所以0≤|z－ω|≤2，故|z －ω|的取值范围是[0，2].第八章立体几何初步(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( ) A ．23 B ．76 C ．45 D ．56【解析】选D.棱长为1的正方体的体积为1，8个三棱锥的体积为8×13 ×12 ×12×12 ×12 ＝16 ，所以剩下的几何体的体积为1－16 ＝56. 2．如图，α∩β＝l ，A ，B∈α，C∈β，C ∉l ，直线AB∩l＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不通过点MD ．点C 和点M【解析】选D.通过A ，B ，C 三点的平面γ，即通过直线AB 与点C 的平面，因为M∈AB，所以M∈γ，而C∈γ，又M∈β，C∈β，所以γ和β的交线必通过点C 和点M.3．已知水平放置的△ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A. 3 B ．2 2 C ．32 D ．34【解析】选A.由斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×3 2＝ 3 ，由图易得AO⊥BC，所以S△ABC ＝12×2× 3 ＝ 3 .4．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为5 －1和3，则此组合体的外接球的表面积是( )A．16π B．20π C．24π D．28π【解析】选B.设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为O1，则：OO21＋12＝R2，而OO1＝ 5 ＋2－R，故R2＝1＋( 5 ＋2－R)2，所以R＝ 5 ，所以S＝4πR2＝20π.5．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF 折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为( )A.22B． 3 C．12D．32【解析】选C.过点F作FH∥DC，交BC于H，过点A作AG⊥EF，交EF于G，连接GH，AH，则∠AFH为异面直线AF与BE所成的角．设正方形ABCD的边长为2，在△AGH中，AH＝52＋24＝ 3 ，在△AFH中，AF＝1，FH＝2，AH＝ 3 ，所以cos ∠AFH＝12 .6．用m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是( ) A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n【解析】选D.若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故排除A；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故排除B；若m⊥n，n⊂α，则不能得出m⊥α，例如，m⊥n，n⊂α，m⊂α，则m与α不垂直，故排除C.7．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解析】选B.作AE⊥BD，交BD于E，因为平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥面BCD，BC⊂面BCD.所以AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以DA⊥BC，又因为AE∩AD＝A，所以BC⊥面ABD，而AB⊂面ABD，所以BC⊥AB即△ABC为直角三角形．8．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝ 2 ，BD⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )A.A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′BCD的体积为1 3【解析】选B.若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确；由题设知：△BA′D为等腰Rt△，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，于是B正确；由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D＝45°知C不正确；VA′BCD ＝VCA′BD＝16，D不正确．二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积不可能是( )A． 2 π B．(1＋ 2 )πC．2 2 π D．(2＋ 2 π)【解析】选CD.若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长l＝ 2 ，这时表面积为12×2π·1·l＋π·12＝(1＋ 2 )π；若绕斜边旋转一周时，旋转体为两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为2 2，两个圆锥的母线长都为1，所以表面积S＝2×12×2π·22×1＝ 2 π，综上所述该几何体的表面积为 2 π或(1＋ 2 )π.故选项CD符合题意．10.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是( )A．A1M∥D1PB．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB1【解析】选ACD.连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以PMA1D1为平行四边形，所以A1M∥D1P.故A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，故B错误；由A知A1M∥D1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M即不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，故C，D正确．11．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则( )A.直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为9 8D．点C与点G到平面AEF的距离相等【解析】选BC.取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，因为AM与DD1不垂直，所以AF与DD1不垂直，故A选项错误；因为A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故B选项正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为98，故C选项正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立．故D选项错误．12．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是( )A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角PBCA的大小为45°D．BD⊥平面PAC【解析】选ABC.如图所示，A.取AD的中点M，连接PM，BM，连接对角线AC，BD 相交于点O.因为侧面PAD为正三角形，所以PM⊥AD.又底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，所以△ABD 是等边三角形．所以AD⊥BM.又PM∩BM＝M. 所以AD⊥平面PMB ，因此A 正确． B ．由A 可得：AD⊥平面PMB ，所以AD⊥PB，所以异面直线AD 与PB 所成的角为90°，正确． C ．因为平面PBC∩平面ABCD ＝BC ，BC∥AD，所以BC⊥平面PBM ，所以BC⊥PB，BC⊥BM. 所以∠PBM 是二面角PBCA 的平面角，设AB ＝1，则BM ＝32 ＝PM ，在Rt△PBM 中，tan ∠PBM＝PMBM＝1，所以∠PBM＝45°，因此正确． D ．因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，因此D 错误．三、填空题(每小题5分，共20分)13．在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC A 1B 1C 1与四棱锥PABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V 2V 1＝________．【解析】设AB ＝a ，在△ABC 中AB 边所对的高为b ，三棱柱ABC A 1B 1C 1的高为h ，则V 1＝12 abh ，V 2＝13 ×ah·b，所以V 2V 1 ＝13abh 12abh ＝23.答案：2314．如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为 1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为________cm.【解析】设上、下圆柱的半径分别是r cm ，R cm ，高分别是h cm ，H cm.由水的体积不变得πR 2H ＋πr 2(20－H)＝πr 2h ＋πR 2(28－h)，又r ＝1，R ＝3，故H ＋h ＝29.即这个简单几何体的总高度为29 cm. 答案：2915．如图所示，ABCDA 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1＝a ，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，则AB 与A 1C 1所成的角为________，AA 1与B 1C 所成的角为________．【解析】长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，因为AB∥A 1B 1，A 1B 1与A 1C 1所成的角，就是AB 与A 1C 1所成的角，所以AB 与A 1C 1所成的角为30°，因为AA 1∥BB 1，BB 1与B 1C 所成的角就是AA 1与B 1C 所成的角，连接AC ，则AC∥A 1C 1，所以∠BAC＝30°，因为AA 1＝a ，∠BAB 1＝30°，所以AB ＝ 3 a ，所以BC ＝a ，所以∠BB 1C ＝45°，所以AA 1与B 1C 所成的角为45°. 答案：30° 45°16．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1B1的中点，P在AD上，若平面CMN⊥平面A1BP，则ADAP＝________．【解析】因为M，N分别是AB，A1B1的中点，所以AA1∥MN.根据正方体的性质可得MN⊥面ABCD，即可得MN⊥PB.当P为AD中点时，CM⊥PB，又CM∩MN＝M.所以PB⊥面NMC，即可得平面CMN⊥平面A1BP.则ADAP＝2.答案：2四、解答题(共70分)17．(10分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.长方体的长、宽、高分别是40 cm、40 cm、20 cm，正四棱锥PEFGH的高为60 cm.(1)求该安全标识墩的体积；(2)求该安全标识墩的侧面积．【解析】(1)该安全标识墩的体积V＝VPEFGH ＋VABCDEFGH＝13×402×60＋402×20＝64000 cm3.(2)如图，连接EG，HF交于点O，连接PO，结合图象可知OP＝60 cm，OG＝12EG＝20 2 cm，可得PG＝602＋（202）2＝2011 cm.于是四棱锥PEFGH的侧面积S1＝4×12×40×（2011）2－202＝1 60010 cm2，四棱柱EFGHABCD的侧面积S2＝4×40×20＝3 200 cm2，故该安全标识墩的侧面积S＝S1＋S2＝1 600(10 ＋2) cm2.18．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝ 2 ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求这个四棱锥的体积．【解析】(1)在△PAD中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.(2)因为PA＝PD＝ 2 ，AO＝1，所以PO＝AP2－AO2＝2－1 ＝1所以V＝13×PO×S四边形ABCD＝13×1×⎝⎛⎭⎪⎫1＋22×1＝12.19．(12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.【解析】(1)因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，所以BO∥CD.又BC∥AD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC＝DO，而AD＝3BC，所以AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.20．(12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且P，E，F分别是AB，BC，A1B1的中点．(1)求证：BC1⊥平面A1C1CA；(2)求证：平面EFP⊥平面BCC1B1 .【证明】(1)因为平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，平面A1C1C A∩平面BCC1B1＝CC1，BC1⊥C1C，所以BC1⊥平面A1C1CA.(2)因为P，E，F分别是AB，BC，A1B1的中点．所以PF∥AA1，PE∥AC，因为PF∩PE＝P，AA1∩AC＝A，所以平面EFP∥平面A1C1 CA，因为平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，所以平面EFP⊥平面BCC1B1 .21．(12分)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36 2 ，求a的值．【解析】(1)在图①中因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC.即在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，又A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC.因为BC＝12AD＝ED，所以四边形BCDE为平行四边形，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.即A1O是四棱锥A1BCDE的高．由图①知，A1O＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1BCDE的体积为V＝13S·A1O＝13×a2×22a＝26a3.由26a3＝36 2 ，得a＝6.22．(12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝π3，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E在线段BC上，且EC＝14BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由．【解析】(1)连接PF，因为△PAD是等边三角形，所以PF⊥AD.因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝π3，所以BF⊥AD.又PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP，又PB⊂平面BFP，所以AD⊥PB.(2)能在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG⊥平面ABCD. 由(1)知AD⊥BF，因为PD⊥BF，AD∩PD＝D ，所以BF⊥平面PAD. 又BF ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD⊥平面PAD ，又平面ABCD∩平面PAD ＝AD ，且PF⊥AD，所以PF⊥平面ABCD.连接CF 交DE 于点H ，过H 作HG∥PF 交PC 于G ，所以GH⊥平面ABCD. 又GH ⊂平面DEG ，所以平面DEG⊥平面ABCD. 因为AD ∥BC，所以△DFH∽△ECH，所以CH HF ＝CE DF ＝12 ，所以CG GP ＝CH HF ＝12 ，所以GH ＝13 PF ＝33 ，所以V DCEG ＝V GCDE ＝13 S △CDE ·GH＝13 ×12 DC·CE·sin π3 ·GH＝112.第九章统计(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( ) A．9 B．10 C．12 D．13【解析】选D.n＝3＋120×360＋80×360＝13.2．某校有住宿的男生400人，住宿的女生600人，为了解住宿生每天运动时间，通过分层随机抽样的方法抽到100名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为100分钟、80分钟．结合此数据，请你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为( )A．98分钟 B．90分钟 C．88分钟 D．85分钟【解析】选 C.由分层抽样的性质可得抽取男生100×400400＋600＝40人，女生100×600400＋600＝60人，则样本中学生每天运动时间的平均值x＝40×100＋60×80100＝88(分钟)，故可估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为88分钟．3．若样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋2x1，2＋2x2，2＋2x3，…，2＋2xn，下列结论正确的是( )A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4 C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为8【解析】选D.样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，所以样本2＋2x1，2＋2x2，2＋2x3，…，2＋2xn的平均数为2×10＝20，方差为22×2＝8.4．某工厂12名工人的保底月薪如下表所示，第80百分位是( )工人保底月薪工人保底月薪1 2 890 7 2 8502 2 860 83 1303 3 050 9 2 8804 2 940 10 3 3255 2 755 11 2 9206 2 710 12 2 950A.3 050 B．2 950 C．3 130 D．3 325【解析】选A.把这组数据从小到大排序：2 710，2 755，2 850，2 860，2 880，2 890，2 920，2 940，2 950，3 050，3 130，3 325，所以i＝n×p%＝12×80%＝9.6，所以第80百分位是3 050.5．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为( )A.2 800 B．3 000 C．3 200 D．3 400【解析】选D.高一年级交稿2 000份，在总交稿数中占比80360＝29，所以总交稿数为2 000÷29＝9 000，高二年级交稿数占总交稿数的144360＝25，所以高三年级交稿数占总交稿数的1－2 9－25＝1745，所以高三年级交稿数为9 000×1745＝3 400.6．一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3，21，17，19，36，8，32，24，则该班学生总数最可能为( )A.39人B．49人C.59人D．超过59人【解析】选A.因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以1～10，11～20，21～30，31～40，…，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3，8，17，19，21，24，32，36，恰好使1～10，11～20，21～30，31～40四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右．7．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[10，15)和[25，30)为二等品，在区间[10，15)和[30，35)为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是( )A.0.03 B．0.05C.0.15 D．0.25【解析】选D.在区间[10，15)和[30，35)为三等品，由频率分布直方图得在区间[10，15)和[30，35)的频率为(0.02＋0.03)×5＝0.25，所以从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率是0.25.8．“一世”又叫“一代”．东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继曰世”．而当代中国学者测算“一代”平均为25年．另根据国际一家研究机构的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有26年，约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代甚至更久远(为了研究方便，超过四代的可忽略不计).根据该研究机构的研究报告，可以估计该机构所认为的“一代”大约为( )A.23年 B．22年 C．21年 D．20年【解析】选B.设“一代”为x年，由题意得：企业寿命的频率分布表为：又因为全球家族企业的平均寿命其实只有26年，所以家族企业的平均寿命为：0.54×0.5x＋0.28×1.5x＋0.14×2.5x＋0.04×3.5x＝26，解得x≈22.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．某旅行社调查了所在城市20户家庭2020年的旅行费用，汇总得到如下表格：则这20户家庭该年的旅行费用的( )A.众数是1.4 B．中位数是1.5C.中位数是1.6 D．众数是1.62【解析】选AB.依题意可得这组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；故众数为：1.4，中位数为：1.5.10．某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法不正确的是( )A.甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数B.甲班平均成绩高于乙班平均成绩C.甲班学生比乙班学生发挥稳定D.甲班不及格率高于乙班不及格率【解析】选ABC.A.因为每个班的总人数不确定，故无法比较；B.甲班及格人数占比80%，乙班及格人数占比90%，故甲班平均成绩显然高于乙班平均成绩；C.无法确定甲班和乙班学生成绩的方差，故错误；D.甲班不及格率为20%，乙班不及格率为10%，故D 正确．11．某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现有位同学的分数还未录入，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x ，s 2，新平均分和新方差分别为x 1，s 21 ，若此同学的得分恰好为x ，则( ) A.x ＝x 1 B ．s 2<s 21 C.s 2>s 21D ．s 2＝s 21【解析】选AC.设这个班有n 个同学，分数分别是a 1，a 2，a 3，…，a n ，假设第i 个同学的成绩没录入，这一次计算时，总分是()n －1 x ，方差为s 2＝1n －1。

新教材适用高中数学综合测评新人教A版选择性必修第二册

综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.对于数列1,37,314,321,…,398是这个数列的()A.不在此数列中B.第13项C.第14项D.第15项答案:D2.已知等差数列{a n},且a1+a2+a3+a4=10,a13+a14+a15+a16=70,则前16项的和等于()A.140B.160C.180D.200解析:∵a1+a2+a3+a4+a13+a14+a15+a16=4(a1+a16)=80,∴a1+a16=20.∴所求和为=160.答案:B3.若函数f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(3)的值为()A.0B.-1C.8D.-8解析:f'(x)=x2-2f'(1)·x-1,则f'(1)=12-2f'(1)·1-1,得f'(1)=0.故f'(x)=x2-1,从而f'(3)=8.答案:C4.设等比数列{a n}的前6项和S6=6,且1-为a1,a3的等差中项,则a7+a8+a9=()A.-2B.8C.10D.14解析:由题意得2-a2=a1+a3,∴a1+a2+a3=2,又S6=6,∴a4+a5+a6=4.又{a n}为等比数列,∴S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,∴42=2(S9-S6),∴S9-S6=8,即a7+a8+a9=8.答案:B5.两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n,T n,且,则=()A. B.C. D.解析:.答案:D6.若函数f(x)=x3-ax2+ax在区间(0,1)上有极大值,在区间(1,2)上有微小值,则实数a的取值范围是()A. B.C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.解析:f'(x)=x2-2ax+a,由题意知,f'(x)=0在区间(0,1),(1,2)上都有根,则f'(0)>0,f'(1)<0,f'(2)>0,即解得1<a<.故选A.答案:A7.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)解析:设F(x)=,x>0,则F'(x)=<0,∴F(x)=在区间(0,+∞)上单调递减.∵f(x)为奇函数,且f(-1)=0,∴f(1)=0,于是F(1)=0.∴在区间(0,1)上,F(x)>0;在区间(1,+∞)上,F(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A.答案:A8.已知函数f(x)=-1+ln x,若存在x0>0,使得f(x0)≤0有解,则实数a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(-∞,3)C.(-∞,1]D.[3,+∞)解析:函数f(x)的定义域是(0,+∞),不等式-1+ln x≤0有解,即a≤x-x ln x在区间(0,+∞)上有解.设h(x)=x-x ln x,则h'(x)=1-(ln x+1)=-ln x.令h'(x)=0,可得x=1.由h(x)的单调性可得,当x=1时,函数h(x)=x-x ln x取得最大值1.要使不等式a≤x-x ln x在(0,+∞)上有解,只要a小于等于h(x)的最大值,即a≤1.所以选C.答案:C二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且≤1.记b1=S2,b n+1=S2n+2-S2n,n∈N*,则下列等式肯定成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.=a2a8D.=b2b8解析:A.由等差数列的性质可知2a4=a2+a6,故A肯定成立;B.b4=S8-S6=a7+a8,b2=S4-S2=a3+a4,b6=S12-S10=a11+a12,又由题意可得2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12,所以2b4=b2+b6,故B肯定成立;C.=a2a8⇔(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),整理可得a1=d,故C可能成立;D.b8=S16-S14=a15+a16,当=b2b8时,(a7+a8)2=(a3+a4)(a15+a16),即(2a1+13d)2=(2a1+5d)·(2a1+29d),得2a1=3d,这与已知≤1冲突,故D不行能成立.答案:AB10.下列函数中,存在极值点的是()A.y=2|x|B.y=-2x3-xC.y=x ln xD.y=x sin x解析:对于A,x=0是函数的微小值点;对于B,y'=-6x2-1<0恒成立,函数在R上单调递减,所以函数无极值点;对于C,y'=1+ln x.令y'=0,解得x=.当x∈时,y'<0,函数单调递减;当x∈时,y'>0,函数单调递增.所以x=是函数的微小值点;对于D,y'=sin x+x cos x.当x∈时,y'<0,函数单调递减;当x∈时,y'>0,函数单调递增.又当x=0时,y'=0,所以x=0是函数的微小值点.故选ACD.答案:ACD11.已知函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,则实数m的取值可以是()A.-1B.1C.2D.3解析:设f(x)=m e x-x-2m,则f'(x)=m e x-1.要使函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,需f(x)有两个零点.当m≤0时,f'(x)=m e x-1<0,函数f(x)在R上单调递减,不行能有两个零点,不符合题意,舍去.当m>0时,由f'(x)=0得x=ln.当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,且f(0)=-m<0.所以f≤f(0)<0.又当x➝-∞,f(x)➝+∞,x➝+∞时,f(x)➝+∞,所以当m>0时,函数f(x)有两个零点,即函数y=m e x的图象与直线y=x+2m有两个交点,视察各选项,知m的取值可以是1,2,3.故选BCD.答案:BCD12.已知函数f(x)=,则下列说法正确的是()A.f(x)的定义域是(0,+∞)B.当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方C.f(x)存在单调递增区间D.f(x)有且仅有两个极值点解析:∵f(x)=,∴ln x≠0,∴x>0,且x≠1,即f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).故A错误;当x∈(0,1)时,ln x<0,∴f(x)<0.故B正确;由f(x)=,得f'(x)=.当0<x<1时,f'(x)<0,∴f(x)在区间(0,1)上单调递减.设g(x)=x ln x-1,则g'(x)=ln x+1.当x>1时,g'(x)>0,则g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.又g(1)=-1<0,g(2)=2ln2-1>0,∴存在x0∈(1,2)使g(x0)=0,即f'(x0)=0.∴当1<x<x0时,g(x)<0,即f'(x)<0,当x>x0时,g(x)>0,即f'(x)>0,∴f(x)在区间(0,1)和(1,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递增,x=x0为f(x)唯一的一个极值点.故C正确,D错误.故选BC.答案:BC三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.若等差数列{a n}满意a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时,{a n}的前n项和最大.解析:∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0.∴数列{a n}的前8项和最大.答案:814.已知周长为20 cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则该圆柱体积的最大值为cm3. 解析:设矩形相邻两边长分别为x(0<x<10)cm,(10-x)cm,绕长为(10-x)cm的一边旋转得到的圆柱的体积V(x)=πx2(10-x)=10πx2-πx3,则V'(x)=20πx-3πx2.令V'(x)=0,解得x=0(舍去)或x=.当x∈时,V'(x)>0,V(x)在区间上单调递增;当x∈时,V'(x)<0,V(x)在区间上单调递减,因此当x=时,V(x)取得最大值为cm3.答案:15.设直线y=m与曲线C:y=x(x-2)2的三个交点分别为A(a,m),B(b,m),C(c,m),其中a<b<c,则实数m 的取值范围是,a2+b2+c2的值为.解析:设f(x)=x(x-2)2,则f'(x)=3x2-8x+4.令f'(x)=0,解得x=或x=2.由f(x)的单调性,得f(x)的极大值为f,微小值为f(2)=0.若直线y=m与曲线C:y=x(x-2)2有三个交点,则0<m<,即m的取值范围为.设g(x)=f(x)-m=x(x-2)2-m=x3-4x2+4x-m.若直线y=m与曲线C:y=x(x-2)2有三个交点,且其坐标分别为A(a,m),B(b,m),C(c,m),则方程x3-4x2+4x-m=0有三个根,分别为a,b,c,即x3-4x2+4x-m=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc.故a+b+c=4,ab+bc+ac=4,于是a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=8.答案:816.数列{a n}满意:na n+2+(n+1)a n=(2n+1)·a n+1-1,a1=1,a2=6,令c n=a n cos ,数列{c n}的前n项和为S n,则S4n=.解析:∵na n+2+(n+1)a n=(2n+1)a n+1-1,∴na n+2-na n+1=(n+1)a n+1-(n+1)a n-1,∴.∴=1-,,,……(n≥2).上述n-1个式子相加得5-=1-,即a n+1-a n=4n+1(n≥2).又当n=1时,a2-a1=4×1+1=5也成立,∴a n+1-a n=4n+1.∴a2-a1=4×1+1,a3-a2=4×2+1,a4-a3=4×3+1,……a n-a n-1=4(n-1)+1(n≥2),上述n-1个式子相加得a n-1=(n-1)(2n+1),即a n=n(2n-1)(n≥2).又当n=1时,a1=1×(2×1-1)=1也成立,∴a n=n(2n-1).∵c n=a n cos,∴c4k-3+c4k-2+c4k-1+c4k=0-(4k-2)(8k-5)+0+4k(8k-1)=32k-10(k∈N*).∴S4n=(c1+c2+c3+c4)+(c5+c6+c7+c8)+…+(c4n-3+c4n-2+c4n-1+c4n)=(32×1-10)+(32×2-10)+…+(32n-10)=16n2+6n.答案:16n2+6n四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{a n}的通项公式;(2)记c n=a n+b n,求数列{c n}的前n项和.解:(1)设等比数列{b n}的公比为q.则q==3,于是b1==1,b4=b3q=9×3=27.设等差数列{a n}的公差为d.已知a1=b1=1,a14=b4=27,由a14=a1+13d,得d==2.∴a n=a1+(n-1)d=2n-1.(2)由(1)知a n=2n-1,b n=3n-1,∴c n=a n+b n=(2n-1)+3n-1.∴{c n}的前n项和S n=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1==n2+.18.(12分)已知在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解:由a1=-60,a17=-12知,等差数列{a n}的公差d==3.所以a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n≤0,即3n-63≤0,得n≤21,即{a n}中前20项是负数,从第21项起为非负数.设S n和S n'分别表示{a n}和{|a n|}的前n项和.当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n.当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+-2n2-n+1260.综上,S n'=19.(12分)已知函数f(x)=x3-2ax2+bx+c,(1)当c=0时,f(x)在点P(1,3)处的切线平行于直线y=x+2,求a,b的值;(2)若f(x)在点A(-1,8),B(3,-24)处有极值,求f(x)的解析式.解:(1)当c=0时,f(x)=x3-2ax2+bx,则f'(x)=3x2-4ax+b.由题意得f(1)=3,f'(1)=1,即解得(2)因为f(x)=x3-2ax2+bx+c,所以f'(x)=3x2-4ax+b.由题意知-1,3是方程3x2-4ax+b=0的两根,所以解得a=,b=-9.由f(-1)=-1-2a-b+c=8,a=,b=-9,可得c=3,所以f(x)=x3-3x2-9x+3.检验知,符合题意.20.(12分)已知成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n}中的b3,b4,b5.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列是等比数列.(1)解:设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以数列{b n}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意得(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故数列{b n}是第3项为5,公比为2的等比数列.所以其通项公式为b n=b3·q n-3=5·2n-3.(2)证明:数列{b n}的前n项和S n==5·2n-2-,即S n+=5·2n-2.所以S1+=2.因此是以为首项,2为公比的等比数列.21.(12分)设函数f(x)=a2ln x-x2+ax(a>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)求全部使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立的a的值.(注:e为自然对数的底数)解:(1)函数f(x)=a2ln x-x2+ax(a>0)的定义域为(0,+∞),导数f'(x)=-2x+a=-.由于a>0,故当x∈(0,a)时,f'(x)>0,于是f(x)的单调递增区间为(0,a);当x∈(a,+∞)时,f'(x)<0,于是f(x)的单调递减区间为(a,+∞).(2)由题意得f(1)=a-1≥e-1,则a≥e.由(1)知f(x)在区间[1,e]上单调递增,要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,只需解得a=e.因此当a=e时,e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.22.(12分)已知函数f(x)=ln x-f'(1)·x+ln ,g(x)=-f(x).(注:e为自然对数的底数)(1)求f(x)的单调区间;(2)设函数h(x)=x2-x+m,若存在x1∈(0,1],对随意的x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.解:(1)∵f'(x)=-f'(1),∴f'(1)=1-f'(1).∴f'(1)=.∴f(x)=ln x-x+ln.∴f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.∵当0<x<2时,f'(x)>0;当x>2时,f'(x)<0,∴函数f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞).(2)∵g(x)=2x--ln x-ln,∴g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=2-.∵2x2-x+2=2>0,∴当x∈(0,1]时,g'(x)>0,函数g(x)在区间(0,1]上单调递增.∴函数g(x)在区间(0,1]上的最大值为g(1)=ln2-1.∵h(x)=x2-x+m=+m-,∴h(x)在区间[1,2]上的最大值为h(2)=2+m.而“存在x1∈(0,1],对随意的x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立”等价于“g(x)在区间(0,1]上的最大值不小于h(x)在区间[1,2]上的最大值”.∴ln2-1≥2+m,解得m≤ln2-3.因此实数m的取值范围为(-∞,ln2-3].11。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(54)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是( )A．各月的利润保持不变B．各月的利润随营业收入的增加而增加C．各月的利润随成本支出的增加而增加D．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系2.设i是虚数单位，如果复数(a+1)+(−a+7)i(a∈R)的实部与虚部相等，那么实数a的值为( )A．4B．3C．2D．13.关于频率分布直方图中小长方形的高的说法，正确的是( )A．表示该组上的个体在样本中出现的频率B．表示取某数的频率C．表示该组上的个体数与组距的比值D．表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值4.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(2700,3000)内的频率为( )A．0.001B．0.1C．0.2D．0.35. 如果一组数据“x 1，x 2，x 3，x 4，x 5”的平均数是 2，方差是 13，那么另一组数据“3x 1−2，3x 2−2，3x 3−2，3x 4−2，3x 5−2”的平均数和方差分别为 ( ) A ． 2，13B ． 2，1C ． 4，23D ． 4，36. 在 △ABC 中，∠BAC =π2，AB =AC =2，P 为 △ABC 所在平面上任意一点，则 PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的最小值为 ( ) A ． 1B ． −12C ． −1D ． −27. 已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l ，若直线 m ，n 满足 m ∥α，n ⊥β，则 ( ) A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n8. 复数 i (2−i )= ( ) A ． 1+2iB ． 1−2iC ． −1+2iD ． −1−2i9. 若复数 z 满足 z (1+i )=2i ，其中 i 为虚数单位，则 z = ( ) A ． 1−iB ． 1+iC ． −1+iD ． −1−i10. 在 △ABC 中，B =30∘，AB =2√3，AC =2，则 △ABC 的面积是 ( )A ． √3B ． 2√3C ． √3 或 2√3D ． 2√3 或 4√3二、填空题（共6题） 11. 思考辨析，判断正误．在 △ABC 中，已知两边及夹角时，△ABC 不一定唯一．( )12. 根据党中央关于“精准脱贫”的要求，某市农业经济部门派甲、乙、丙 3 位专家对 A ，B 两个区进行调研，每个区至少派 1 位专家，则甲、乙两位专家均派遣至 A 区的概率为．13. 已知向量 a =(2,1)，b ⃗ =(−1,x )，若 (a +b ⃗ )∥(a −b ⃗ )，则实数 x 的值为．14. 半径为 3 的球体表面积为．15. 平面与平面垂直的性质定理：文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的，那么这条直线与另一个平面．符号语言：α⊥β，α∩β=l，，⇒a⊥β．图形语言：16.若复数z=2+i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应点的坐标为．1−2i三、解答题（共6题）17.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：(1) 球的表面积等于圆柱的侧面积；．(2) 球的表面积等于圆柱全面积的2318.在静水中划船的速度的大小是每分钟40m，水流速度的大小是每分钟20m，如果一小船从岸边某处出发，沿着垂直于水流的方向到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2−a2=2bcsin(B+C)．(1) 求角A的大小；，求△ABC的面积．(2) 若a=2，B=π320.应用面面平行判断定理应具备哪些条件？21.在北京市“危旧房改造”中，小强一家搬进了回龙观小区．这个小区冬季用家庭燃气炉取暖．为了估算冬季取暖第一个月使用天然气的开支情况，从11月15日起，小强连续八天每天晚上记录了天然气表显示的读数，如下表（注：天然气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用天然气的数量）：日期15日16日17日18日19日20日21日22日小强的天然气表显示读数(单位:m3)220229241249259270279290妈妈11月15日买了一张面值600元的天然气使用卡，已知每立方米天然气1.70元，请你估算这张卡够小强家用一个月（按30天计算）吗？为什么？22.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．(1) 结合平均数和方差分析谁更优秀；(2) 结合平均数和中位数分析谁的成绩好些；(3) 结合平均数和命中9环及以上的次数分析谁的成绩好些；(4) 从折线图上两人射击命中环数的走势分析谁更有潜力．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】频率分布直方图2. 【答案】B【解析】由题意得 a +1=−a +7，则 a =3．故选B ．【知识点】复数的乘除运算3. 【答案】D【解析】频率分布直方图中小长方形的高是频率组距，面积表示频率．【知识点】频率分布直方图4. 【答案】D【知识点】频率分布直方图5. 【答案】D【知识点】样本数据的数字特征6. 【答案】C【解析】如图，以直线 AB ，AC 分别为 x ，y 轴建立平面直角坐标系，则 A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，设 P (x,y )，则 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−y )，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,2−y )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2x,2−2y )，所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−x (2−2x )−y (2−2y )=2x 2−2x +2y 2−2y =2(x −12)2+2(y −12)2−1,当 x =12，y =12 时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ) 取得最小值，为 −1．故选C ．【知识点】平面向量数量积的坐标运算7. 【答案】C【解析】由题意知α∩β=l，所以l⊂β，因为n⊥β，所以n⊥l．【知识点】直线与直线的位置关系、点、线、面的位置关系8. 【答案】A【解析】i(2−i)=1+2i．【知识点】复数的乘除运算9. 【答案】B【解析】因为复数z满足z(1+i)=2i，所以z=2i1+i=1+i．【知识点】复数的乘除运算10. 【答案】C【解析】由AB=2√3，AC=2，B=30∘及正弦定理ACsinB =ABsinC得sinC=ABsinBAC=2√3×122=√32．由C为三角形的内角可知C=60∘或120∘．因此A=90∘或30∘．在△ABC中，由AB=2√3，AC=2，A=90∘或30∘，得面积S=12AC⋅AB⋅sinA=2√3或√3．【知识点】正弦定理二、填空题（共6题）11. 【答案】×【知识点】余弦定理12. 【答案】16【解析】该试验所有的样本点为(甲,乙丙)，(乙,甲丙)，(丙,甲乙)，(甲乙,丙)，(甲丙,乙)，(乙丙,甲)（其中每个样本点表示的都是“派往A区调研的专家、派往B区调研的专家”），共6个，其中甲、乙两位专家均被派遣至 A 区的样本点有 1 个，因此，所求事件的概率为 16．【知识点】古典概型13. 【答案】 −12【解析】因为 a =(2,1)，b⃗ =(−1,x )，所以 a +b ⃗ =(1,x +1)，a −b ⃗ =(3,1−x )，又 (a +b ⃗ )∥(a −b⃗ )，所以 1−x −3(x +1)=0，解得 x =−12．【知识点】平面向量数乘的坐标运算14. 【答案】 36π【知识点】球的表面积与体积15. 【答案】交线；垂直； a ⊂α ； a ⊥l【知识点】平面与平面垂直关系的性质16. 【答案】 (0,1)【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 略． (2) 略．【知识点】圆柱的表面积与体积、球的表面积与体积18. 【答案】如图所示，设向量 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形 OACB ，连接 OC ．依题意得 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=20，∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=40，所以 ∠BOC =30∘．故船应向上游且与河岸夹角为 60∘ 的方向行进．【知识点】平面向量的实际应用问题19. 【答案】(1) 因为 A +B +C =π，所以 sin (B +C )=sinA ，所以 b 2+c 2−a 2=2bcsinA ，所以b 2+c 2−a 22bc=sinA ，由余弦定理得 cosA =sinA ，可得 tanA =1，又因为 A ∈(0,π)，所以 A =π4．(2) 根据正弦定理得 b =a sinA ⋅sinB =√6，又 sinC =sin (A +B )=sin (π4+π3)=√6+√24，所以S △ABC =12absinC =12⋅2⋅√6⋅√6+√24=3+√32.【知识点】余弦定理、正弦定理20. 【答案】①平面 α 内两条相交直线 a ，b ，即 a ⊂α，b ⊂α，a ∩b =P ．②两条相交直线 a ，b 都与 β 平行，即 a ∥β，b ∥β．【知识点】平面与平面平行关系的判定21. 【答案】 300×1.70<600，够用．【知识点】样本数据的数字特征22. 【答案】(1) 根据题意作出统计表：平均数方差中位数命中9环及以上次数甲7 1.271乙75.47.53因为平均数相同，且 s 甲2<s 乙2，所以甲的成绩比乙稳定，甲更优秀．(2) 因为平均数相同，甲的中位数 < 乙的中位数，所以乙的成绩比甲好．(3) 因为平均数相同，且乙命中 9 环及以上的次数比甲多，所以乙的成绩比甲好．(4) 因为甲的成绩在平均线附近波动，而乙的成绩整体处于上升趋势，从第 4 次开始射靶的环数没有比甲少的情况发生，所以乙更有潜力．【知识点】样本数据的数字特征。

高中数学人教A版必修二章末综合测评2 Word版含答案.doc

章末综合测评(二) 点、直线、平面之间的位置关系(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．异面或相交【解析】根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交，但不可能平行．【答案】 D2．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解析】A、B、C显然正确．易知过一条直线有无数个平面与已知平面垂直．选D.【答案】 D3．(2015·太原高二检测)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【解析】对于A，通过常见的图形正方体判断，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，故A错；对于B，因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，故B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B.【答案】 B4．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，则正确的命题是()【导学号：09960089】A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b【解析】A中，a、b可以平行、相交或异面；B中，a、b可以平行或异面；C中，α、β可以平行或相交．【答案】 D5．(2016·山西山大附中高二检测)如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】如图，连接A1B、BC1、A1C1，则A1B＝BC1＝A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60°.【答案】 B6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得α⊥β，故选项C错误；选项D，l与β的位置不确定，故选项D错误．故选B.【答案】 B7．(2015·洛阳高一检测)如图2，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列说法中错误的是()图2A．AD⊥平面BDCB．BD⊥平面ADCC．DC⊥平面ABDD．BC⊥平面ABD【解析】由题可知，AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC，又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB＝AC，BD＝DC＝22AB.又∠BAC＝60°，所以△ABC为等边三角形，故BC＝AB＝2BD，所以∠BDC＝90°，即BD⊥DC.所以BD⊥平面ADC，同理DC⊥平面ABD.所以A、B、C项均正确．选D.【答案】 D8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为() A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为23，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan θ＝3 (设θ为所求平面角)，所以二面角为60°，选C.【答案】 C9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD 的大小是()A．45°B．30°C．60°D．90°【解析】如图，设正方形边长为a ，作AO ⊥BD ，则AM ＝AO 2＋OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝32a ，又AD ＝a ，DM ＝a 2，∴AD 2＝DM 2＋AM 2，∴∠AMD ＝90°.【答案】 D10．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292B.135C.175D.1195【解析】如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接PE .∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD ，∴BD ⊥平面P AE ，∴BD ⊥PE .∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，P A ＝1，∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135. 【答案】 B11．(2016·大连高一检测)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A与平面ABC所成角的大小为()【导学号：09960090】A．75°B．60°C．45°D．30°【解析】如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC 的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠P AO即为P A与平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝3，则S＝34×(3)2＝334，VABC-A1B1C1＝S×PO＝94，∴PO＝ 3.又AO＝33×3＝1，∴tan ∠P AO＝POAO＝3，∴∠P AO＝60°.【答案】 B12．正方体ABCD-A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成的角为45°【解析】因为AH ⊥平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ，所以BD ⊥AH .又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A .所以BD ⊥平面AA 1H .又A 1H ⊂平面AA 1H .所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ，所以点H 是△A 1BD 的垂心，A 正确．因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确．易证AC 1⊥平面A 1BD .因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故C 正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角．因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.【解析】由面面平行的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CS SD ，解得SD ＝9.【答案】 914．如图3，四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.图3【解析】当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.设AC与BD的交点为O，连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC.∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，∴SC∥平面EBD.【答案】E是SA的中点15．如图4所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．图4【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN⊂平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角，∴B1M⊥MN，而B1M∩B1C1＝B1.∴MN⊥平面MB1C1，又MC1⊂平面MB1C1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.【答案】90°16．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则①棱AB与PD所在直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△P AB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)【解析】由条件可得AB⊥平面P AD，∴AB⊥PD，故①正确；若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，得PB⊥平面ABCD，从而P A∥PB，这是不可能的，故②错；S△PCD＝12CD·PD，S△P AB＝12AB·P A，由AB＝CD，PD>P A知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错．【答案】①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图5所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥平面SBC.图5【证明】∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，∵SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC，∴BC⊥AD.又∵SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC.18．(本小题满分12分)如图6，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．图6(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.19．(本小题满分12分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC.图7【解】(1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD.②连接PO，由三视图知，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC.20．(本小题满分12分)(2016·济宁高一检测)如图8，正方形ABCD 和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.图8(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.【导学号：09960091】【证明】(1)如图，设AC与BD交于点G.因为EF ∥AG ，且EF ＝1， AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE . (2)连接FG ，∵EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1， ∴四边形CEFG 为平行四边形，又∵CE ＝EF ＝1，∴▱CEFG 为菱形， ∴EG ⊥CF .在正方形ABCD 中，AC ⊥BD .∵正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直， ∴BD ⊥平面CEFG .∴BD ⊥CF . 又∵EG ∩BD ＝G ，∴CF ⊥平面BDE .21．(本小题满分12分)(2015·山东高考)如图9，三棱台DEF -ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．图9(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.【解】(1)证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点．又H为BC的中点，所以MH∥BD.又MH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF-ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF ＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.22．(本小题满分12分)(2016·重庆高一检测)如图10所示，ABCD 是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．图10(1)求证：P A∥平面BDE；平面P AC⊥平面BDE；(2)若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．【解】(1)证明：连接OE，如图所示．∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥P A.∵OE⊂平面BDE，P A⊄平面BDE，∴P A∥平面BDE.∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面P AC.又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面P AC ⊥平面BDE . (2)取OC 中点F ，连接EF . ∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD . ∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角， ∴∠EOF ＝30°. 在Rt △OEF 中， OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a . ∴V P -ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.。

新教材人教A高中数学必修第二册全册各章测验及模块综合测验精选最新配套习题含解析

人教A 必修第二册各章综合测验1、平面向量及其应用............................................................................................................ - 1 -2、复数 ................................................................................................................................. - 11 -3、立体几何初步 ................................................................................................................. - 17 -4、统计 ................................................................................................................................. - 30 -5、概率 ................................................................................................................................. - 41 - 模块综合测验 ....................................................................................................................... - 52 -1、平面向量及其应用(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．6 B ．5 C ．1D ．－6A [由向量数量积公式知，(2a ＋b )·a ＝(3,0)·(2，－1)＝6.]2．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°B [设向量a ，b 夹角为θ， |c|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，则cos θ＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B ．]3．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，则a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 A [a ＋b ＝(3，k ＋2)，∵a ＋b 与a 共线， ∴3k －(k ＋2)＝0，解得k ＝1.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，则sin(B ＋C )的值为( )A ．－45B ．45C ．－35D ．35B [由b 2＋c 2－a 2＝65bc ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，则sin(B ＋C )＝sin A ＝45.]5．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是( )A ．－25B ．25C ．－24D ．24A [因为|AB →|2＋|BC →|2＝9＋16＝25＝|CA →|2，所以∠ABC ＝90°，所以原式＝AB →·BC →＋CA →(BC →＋AB →)＝0＋CA →·AC → ＝－AC →2＝－25.]6．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1C ．45D ．53A [设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )， ∵AC →＝2CB →，∴⎩⎨⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，∴C (3,3)，又∵C 在直线y ＝12ax 上，所以3＝12a ×3， ∴a ＝2.]7．如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．49B ．89C ．23D ．43 B [∵BP →＝13BD →， ∴AP →－AB →＝13(AD →－AB →)， ∴AP →＝23AB →＋13AD →，又AD →＝23AC →， ∴AP →＝23AB →＋29AC →＝λAB →＋μAC →， ∴λ＝23，μ＝29，∴λ＋μ＝89.]8．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内(含边界)一动点，则MA →·MB →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[－1,2]C ．[－1,3]D ．[－1,4]C [建立如图所示坐标系，设M (x ，y )，其中A (－1，－1)，B (1，－1)，易知x 2＋y 2≤1，而MA →·MB →＝(－1－x ，－1－y )·(1－x ，－1－y )＝x 2＋(y ＋1)2－1，若设E (0，－1)，则MA →·MB →＝|ME →|2－1，由于0≤|ME →|≤2，所以MA →·MB →＝|ME →|2－1的取值范围是[－1,3]，故选C ．] 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．对任意向量a ，b ，下列关系式中恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2ACD [|a ·b |＝|a |·|b |·|cos 〈a ，b 〉|≤|a |·|b |，故A 正确；由向量的运算法则知C ，D 正确；当b ＝－a ≠0时，|a －b |＞||a |－|b ||，故B 错误．故选ACD ．]10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π6，a ＝2，c ＝23，则角C 的大小是( )A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π3BD [由正弦定理可得a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c a sin A ＝32，而a ＜c ，所以A ＜C ，所以π6＜C ＜56π，故C ＝π3或23π.]11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足B ＝π3，a ＋c ＝3b ，则ac ＝( )A ．2B ．3C ．12D ．13AC [∵B ＝π3，a ＋c ＝3b ， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝3b 2，①由余弦定理可得，a 2＋c 2－2ac cos π3＝b 2，② 联立①②，可得2a 2－5ac ＋2c 2＝0，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋2＝0，解得a c ＝2或a c ＝12.故选AC ．]12．点P 是△ABC 所在平面内一点，满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0，则△ABC 的形状不可能是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形ACD [∵P 是△ABC 所在平面内一点，且 |PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0， ∴|CB →|－|(PB →－P A →)＋(PC →－P A →)|＝0，即|CB →|＝|AC →＋AB →|， ∴|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，两边平方并化简得AC →·AB →＝0，∴AC →⊥AB →，∴∠A ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形．故选ACD ．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．与向量a ＝(1,2)平行，且模等于5的向量为________．(1,2)或(－1，－2) [因为所求向量与向量a ＝(1,2)平行，所以可设所求向量为(x,2x )，又因为其模为5，所以x 2＋(2x )2＝5，解得x ＝±1.因此所求向量为(1,2)或(－1，－2)．]14．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(－1，n )(n ＞0)，且a ·b ＝0，点P (m ，n )在圆x 2＋y 2＝5上，则m ＋n ＝________，|2a ＋b |＝________.(本题第一空2分，第二空3分)334 [因为向量a ＝(m,2)，b ＝(－1，n )(n ＞0)，且a ·b ＝0，P (m ，n )在圆x 2＋y 2＝5上，∴⎩⎨⎧－m ＋2n ＝0，m 2＋n 2＝5，解得m ＝2，n ＝1，即m ＋n ＝2＋1＝3. ∴2a ＋b ＝(3,5)，∴|2a ＋b |＝34.]15．在△ABC 中，S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，b ＝1，a ＝2，则c ＝________.1 [∵S △ABC ＝12ab sin C ， ∴12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2)， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ．由余弦定理得，2ab cos C ＝2ab sin C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°，∴c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3－2＝1.]16．如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值是________．－12 [因为点O 是AB 的中点，所以P A →＋PB →＝2PO →，设|PC →|＝x ，则|PO →|＝1－x (0≤x ≤1)，所以(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x (1－x ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－12. 所以当x ＝12时，(P A →＋PB →)·PC →取到最小值－12.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影． [解] (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.因为|a |＝4，|b |＝3，所以a·b ＝－6，所以|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)因为a ·(a ＋b )＝|a |2＋a·b ＝42－6＝10，所以向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝1013＝101313.18．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，|OA →|＝2|AB →|＝2，∠OAB＝2π3，BC →＝(－1，3)．(1)求点B ，C 的坐标；(2)求证：四边形OABC 为等腰梯形．[解] (1)连接OB (图略)，设B (x B ，y B )，则x B ＝|OA →|＋|AB →|·cos(π－∠OAB )＝52， y B ＝|AB →|·sin(π－∠OAB )＝32，∴OC →＝OB →＋BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32＋(－1，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332. (2)证明：∵OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332， AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OC →＝3AB →，∴OC →∥AB →. 又易知OA 与BC 不平行， |OA →|＝|BC →|＝2，∴四边形OABC 为等腰梯形．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A ．(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . [解] (1)由c ＝3a sin C －c cos A ，及正弦定理得 3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.20．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β. 代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.21．(本小题满分12分)如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →.(1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB →的值． [解] (1)∵BP →＝P A →， ∴BO →＋OP →＝PO →＋OA →，即2OP →＝OB →＋OA →，∴OP →＝12OA →＋12OB →，即x ＝12，y ＝12. (2)∵BP →＝3P A →，∴BO →＋OP →＝3PO →＋3OA →，即4OP →＝OB →＋3OA →，∴OP →＝34O A →＋14OB →.∴x ＝34，y ＝14. OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34OA →＋14OB →·(OB →－OA →)＝14OB →·OB →－34OA →·OA →＋12OA →·OB →＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－9.22．(本小题满分12分)如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B 与小岛A 、小岛C 相距都为5 n mile ，与小岛D 相距为3 5 n mile.小岛A 对小岛B 与D 的视角为钝角，且sin A ＝35.(1)求小岛A 与小岛D 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积； (2)记小岛D 对小岛B 与C 的视角为α，小岛B 对小岛C 与D 的视角为β，求sin(2α＋β)的值．[解] (1)∵sin A ＝35，且角A 为钝角， ∴cos A ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45. 在△ABD 中，由余弦定理得：AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos A ＝BD 2. ∴AD 2＋52－2AD ·5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝(35)2⇒AD 2＋8AD －20＝0. 解得AD ＝2或AD ＝－10(舍)．∴小岛A 与小岛D 之间的距离为2 n mile. ∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴角A 与角C 互补．∴sin C ＝35，cos C ＝cos(180°－A )＝－cos A ＝45. 在△BDC 中，由余弦定理得： CD 2＋CB 2－2CD ·CB ·cos C ＝BD 2， ∴CD 2＋52－2CD ·5·45＝(35)2⇒CD 2－8CD －20＝0，解得CD ＝－2(舍)或CD ＝10. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·AD ·sin A ＋12CB ·CD ·sin C ＝12×5×2×35＋12×5×10×35＝3＋15＝18. ∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile.(2)在△BDC 中，由正弦定理得：BC sin α＝BD sin C ⇒5sin α＝3535⇒sin α＝55.∵DC 2＋DB 2＞BC 2， ∴α为锐角，∴cos α＝255.又∵sin(α＋β)＝sin(180°－C )＝sin C ＝35， cos(α＋β)＝cos(180°－C )＝－cos C ＝－45. ∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝55×⎝⎛⎭⎪⎫－45＋255×35＝2525.2、复数(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于()A．z－1B．z＋1C．－10＋18i D．10－18iC[1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i.]2.3＋i1＋i＝()A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－iD[3＋i1＋i＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3－3i＋i＋12＝2－i.故选D．]3．若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋iA[由已知得z＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A．]4．若复数z满足i z＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是() A．(2,4) B．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2)C [z ＝2＋4ii ＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，故选C ．] 5．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2B [∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i. ∴⎩⎨⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B ．] 6．若复数2－b i1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( ) A ． 2 B ．23 C ．－23 D ．2C [因为2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b 5－4＋b 5i ，又复数2－b i1＋2i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－23.]7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对C [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i.∵z 2为纯虚数，∴⎩⎨⎧x 2－y 2＝0，xy ≠0.∴y ＝±x (x ≠0)．] 8．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5)D ．(1，3)C [由已知，得|z |＝a 2＋1. 由0<a <2，得0<a 2<4， ∴1<a 2＋1<5.∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)．故选C ．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为()A．(3,1) B．(－2,0)C．(0,4) D．(－1，－5)ACD[易知选项A、B、C、D中的点对应的复数分别为3＋i、－2、4i、－1－5i，因此A、C、D中的点对应的复数为虚数．]10．已知复数z＝a＋b i(a，b∈R，i为虚数单位)，且a＋b＝1，下列命题正确的是()A．z不可能为纯虚数B．若z的共轭复数为z，且z＝z，则z是实数C．若z＝|z|，则z是实数D．|z|可以等于1 2BC[当a＝0时，b＝1，此时z＝i为纯虚数，A错误；若z的共轭复数为z，且z＝z，则a＋b i＝a－b i，因此b＝0，B正确；由|z|是实数，且z＝|z|知，z是实数，C正确；由|z|＝12得a2＋b2＝14，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，无解，即|z|不可以等于12，D错误．故选BC．]11．已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是()A．P0点的坐标为(1,2)B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为2 2ACD[复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋y i(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋y i|＝|x＋(y－1)i|，即(x－1)2＋y2＝x2＋(y－1)2，整理得，y＝x ，即Z 点在直线y ＝x 上，C 正确；易知点P 0到直线y ＝x 的垂线段的长度即为P 0、Z 之间距离的最小值，结合平面几何知识知D 正确．故选ACD ．]12．对任意z 1，z 2，z ∈C ，下列结论成立的是( ) A ．当m ，n ∈N *时，有z m z n ＝z m ＋nB ．当z 1，z 2∈C 时，若z 21＋z 22＝0，则z 1＝0且z 2＝0C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z |2＝|z |2＝z ·zD ．z 1＝z 2的充要条件是|z 1|＝|z 2| AC [由复数乘法的运算律知A 正确；取z 1＝1，z 2＝i ，满足z 21＋z 22＝0，但z 1＝0且z 2＝0不成立，B 错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由z 1＝z 2能推出|z 1|＝|z 2|，但|z 1|＝|z 2|推不出z 1＝z 2，因此z 1＝z 2的必要不充分条件是|z 1|＝|z 2|，D 错误．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 21 [复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21.]14．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝________. 3 [a ＋i i ＝(a ＋i )·(－i )i·(－i )＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3.] 15．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________． 8 [a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝25＋15i5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8.]16．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则|z |＝________，z－z ＝________(本题第一空2分，第二空3分)．22 ±i [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得， ⎩⎨⎧ x ＋y i ＋x －y i ＝4，(x ＋y i )(x －y i )＝8，⇒⎩⎨⎧ x ＝2，x 2＋y 2＝8，⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±2.∴|z |＝2 2.所以zz ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy ix 2＋y 2＝±i.]四、简答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，(1)z 是实数？ (2)z 是纯虚数？ [解] (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎨⎧ m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数． (2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎨⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2. [解] 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 1·z 2＝1＋i ，得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ，所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1，所以z 2＝i.19．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.20．(本小题满分12分)复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＜0，求纯虚数a .[解] 由z 2＋a z ＜0可知z 2＋az 是实数且为负数． z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝1－i.因为a 为纯虚数，所以设a ＝m i(m ∈R ，且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－2i ＜0，故⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m2－2＝0，所以m ＝4，即a ＝4i.21．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC ．求顶点C 所对应的复数z .[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，C (x ，y )，因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |，所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎨⎧ x 1＝－5，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－3，y 2＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x 2＝－3，y 2＝4(舍去)，故z ＝－5.22．(本小题满分12分)已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i. (1)求复数z ；(2)若复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． [解] (1)∵(1＋2i)z ＝4＋3i ， ∴z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i5＝2－i ， ∴z ＝2＋i.(2)由(1)知z ＝2＋i ，则(z ＋a i)2＝(2＋i ＋a i)2＝[2＋(a ＋1)i]2＝4－(a ＋1)2＋4(a ＋1)i ， ∵复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限， ∴⎩⎨⎧4－(a ＋1)2＞0，4(a ＋1)＞0，解得－1＜a ＜1，即实数a 的取值范围为(－1,1)．3、立体几何初步(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，能确定一个平面的条件有()A．3个B．2个C．1个D．0个D[①当空间三点共线时不能确定一个平面；②点在直线上时不能确定一个平面；③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面；④三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面. 故以上4个条件都不能确定一个平面．] 2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°D[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD ＝90°.]3．已知a，b，c是直线，则下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等．其中真命题的个数为()A．0 B．3C．2 D．1D[异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确．]4．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为()A．24 cm2B．36 cm2C．72 cm2D．84 cm2C[棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．]5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则四面体O-AEF的体积()A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关B[因为V O-AEF＝V E-OAF，考察△AOF的面积和点E到平面AOF的距离的值，因为BB1∥平面ACC1A1，所以点E到平面AOF的距离为定值，又AO∥A1C1，所以OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，即△AOF的面积是定值，所以四面体O-AEF的体积与x，y都无关，故选B．]6．如图，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分别是SC和AB 的中点，则EF的长是()A．1 B． 2C．22D．12B[取CB的中点D，连接ED，DF，则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角，即∠EDF＝90°.在△EDF中，ED＝12SB＝1，DF＝12AC＝1，所以EF＝ED2＋DF2＝ 2.]7．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为()A ．12B ．13C ．33D ．23C [取AC 的中点E ，CD 的中点F ，连接BE ，EF ，BF ，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，因为EF 2＋BE 2＝BF 2，所以△BEF 为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝33.]8．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6B [如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连接OA ，则∠P AO 即为P A 与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3，则S ＝34×(3)2＝334，VABC -A 1B 1C 1＝S ×PO ＝94， ∴PO ＝ 3. 又AO ＝33×3＝1， ∴tan ∠P AO ＝PO AO ＝3，∴∠P AO ＝π3.]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题为真命题的是( )A ．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直BD[A错，两个平面相交时，也有无数个公共点；C错，比如a⊥α，b⊂α，c⊂α，显然有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故选BD．]10.如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下列结论中正确的是()A．AE⊥CEB．BE⊥DEC．DE⊥平面CEBD．平面ADE⊥平面BCEABD[由AB是底面圆的直径，得∠AEB＝90°，即AE⊥EB．∵圆柱的轴截面是四边形ABCD，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB．∴BE⊥AD．又AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥DE.同理可得，AE⊥CE，易得平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正确．∵AD∥BC，∴∠ADE(或其补角)为DE与CB所成的角，显然∠ADE≠90°，∴DE⊥平面CEB不正确，即C错误．故选ABD．]11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面P AD 为正三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是()A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P-BC-A的大小为45°D．BD⊥平面P ACABC[如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM，∵侧面P AD为正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，PM，BM⊂平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正确．对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角，设AB＝1，则BM＝32，PM＝32，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝PMBM＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P-BC-A的大小为45°，故C正确．对于D，因为BD与P A不垂直，所以BD与平面P AC不垂直，故D错误．故选ABC．]12．如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为()AD[如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′.连接AC，BD．∵M、P分别为其所在棱的中点，∴MP∥AC．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC，∵AC⊥BD，BD∩BB′＝B，∴AC⊥平面DBB′，∵DB′⊂平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵MP∥AC，∴DB′⊥MP，同理，可证DB′⊥MN，DB′⊥NP，∵MP∩NP＝P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，∴DB′⊥平面MNP，即l垂直平面MNP，故A正确．故D中，由A中证明同理可证l⊥MP，l⊥MN，又∵MP∩MN＝M，∴l⊥平面MNP.故D正确．故选AD．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________．(本题第一空2分，第二空3分)3π33π[设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr＝2π，解得r＝1，根据勾股定理，得圆锥的高为22－12＝3，所以圆锥的表面积S＝12×π×22＋π×12＝3π，体积V＝13×π×12×3＝33π.]14.已知正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60°，则该四棱锥的高为________．3[如图，过点S作SO⊥平面ABCD，连接OC，则∠SCO＝60°，∴SO＝sin 60°·SC＝32×23＝3.]15．如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.1∶24[因为D，E分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ∶S△ABC＝1∶4. 又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍，即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍，所以V1∶V2＝13S△ADE·hS△ABC·H＝124＝1∶24.]16．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．36π[如图，连接OA，OB．由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC．由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB．设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱锥S-ABC的体积V＝13×⎝⎛⎭⎪⎫12SC·OB·OA＝r33，即r33＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10 cm，求圆锥的母线长.[解]如图，设圆锥的母线长为l，圆台上、下底面的半径分别为r、R.因为l－10l＝rR，所以l－10l＝14，所以l＝403cm.即圆锥的母线长为403cm.18．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.[证明](1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC．∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC．又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C．(2)连接BC1交B1C于点O，连接OD．如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.19．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥P-ABC，P A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，P A＝AC，M为PB的中点．(1)求证：PC⊥BC；(2)求二面角M-AC-B的大小．[解](1)证明：由P A⊥平面ABC，所以P A⊥BC，又因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC，所以PC⊥BC．(2)取AB中点O，连接MO，过O作HO⊥AC于H，连接MH，因为M是BP的中点，所以MO∥P A，又因为P A⊥平面ABC，所以MO⊥平面ABC，所以∠MHO为二面角M-AC-B的平面角，设AC＝2，则BC＝23，MO＝1，OH＝3，在Rt△MHO中，tan∠MHO＝MOHO＝33，所以二面角M-AC-B的大小为30°.20．(本小题满分12分)已知一个圆锥的底面半径为R，高为H, 在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？[解](1)设圆柱的底面半径为r, 则它的侧面积为S＝2πrx, rR＝H－xH，解得r＝R－RH x，所以S圆柱侧＝2πRx－2πRH x2.(2)由(1)知S圆柱侧＝2πRx－2πRH x2，在此表达式中，S圆柱侧为x的二次函数，因此，当x＝H2时，圆柱的侧面积最大．21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD⊥平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．[解](1)如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，所以cos∠DAP＝ADAP＝55.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.(2)因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB∩BC＝B，所以PD⊥平面PBC．(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝25，在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝PDDF＝55.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5.22．(本小题满分12分)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②.①②(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[解](1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC．∵DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC．而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，∵BE⊂平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C．又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.4、统计(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3D [在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为nN ，所以p 1＝p 2＝p 3，故选D ．]2．某公司从代理的A ，B ，C ，D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A ，B ，C ，D 四种产品的数量比是2∶3∶2∶4，则该样本中D 类产品的数量为( )A ．22B ．33C ．40D ．55C [根据分层随机抽样，总体中产品数量比与抽取的样本中产品数量比相等，∴样本中D 类产品的数量为110×42＋3＋2＋4＝40.]3．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b ]是其中的一组．已知该组的频率为m ，该组上的频率分布直方图的高为h ，则|a －b |等于( )A ．mhB ．h mC ．m hD ．m ＋hC [在频率分布直方图中小长方形的高等于频率组距，所以h ＝m |a －b |，|a －b |＝mh ，故选C ．]4．我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度(单位：km/h)如下表：上班时间182021262728303233353640下班时间161719222527283030323637A．28与28.5 B．29与28.5C．28与27.5 D．29与27.5D[上班时间行驶速度的中位数是28＋302＝29，下班时间行驶速度的中位数是27＋282＝27.5.]5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为x，则()A．m e＝m o＝x B．m e＝m o＜xC．m e＜m o＜x D．m o＜m e＜xD[由条形图可知，中位数为m e＝5.5，众数为m o＝5，平均值为x≈5.97，所以m o＜m e＜x.]6．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为()A．4∶3∶1 B．5∶3∶1C．5∶3∶2 D．3∶2∶1B[体重在[45,50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50,55)内的频率为0.06×5＝0.3，体重在[55,60]内的频率为0.02×5＝0.1，∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1，故选B．]7．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为()A．64 B．54C．48 D．27B[前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38.所以第三组频数为38－16＝22.又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54.故选B．]8．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是()A．85,85,85 B．87,85,86C．87,85,85 D．87,85,90C[∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，平均数为110(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是()A．建设后，种植收入减少B．建设后，其他收入增加了一倍以上C．建设后，养殖收入增加了一倍D．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半BCD[设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，由题图可知：种植收入第三产业收入养殖收入其他收入建设前经济收入0.6a 0.06a 0.3a 0.04a建设后经济收入0.74a 0.56a 0.6a 0.1a10．在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是()A ．成绩在[70,80)分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1 000C ．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分ABC [由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B 正确；由频率分布直方图可得，平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C 正确；因为成绩在[40,70)内的频率为0.45，[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×0.050.3≈71.67，故D 错误．故选ABC ．]11．甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均数甲 55 149 191 135 乙55151110135A ．甲、乙两班学生成绩的平均数相同B ．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大C ．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)D ．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数ABC [甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，∴A 正确；s 2甲＝191>110＝s 2乙，∴甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，∴B 正确；甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，∴C 正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，∴D错误．]12．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是()A．平均数x≤3B．平均数x≤3且标准差s≤2C．平均数x≤3且极差小于或等于2D．众数等于1且极差小于或等于4CD[A错，举反例：0,0,0,0,2,6,6，其平均数x＝2≤3，不符合指标．B错，举反例：0,3,3,3,3,3,6，其平均数x＝3，且标准差s＝187≤2，不符合指标．C对，若极差等于0或1，在x≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2且x≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指标．D对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标．故选CD．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．下列数据的70%分位数为________．20,14,26,18,28,30,24,26,33,12,35,22.28[把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得：12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35，因为有12个数据，所以12×70%＝8.4，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数28.]14．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：。

(人教版A版)高中数学必修第二册第七章综合测试试卷02及答案

第七章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设1234i,23i z z =-+=-其中i 为虚数单位，则12z z +在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知i 为虚数单位，复数122i,2i z a z =+=-，且21z z =，则实数a 的值为（）A .1B .1-C .1或1-D .1±或03.复数：满足31i z z +=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点的轨迹是（）A .直线B .正方形C .圆D .射线4.已知复数(12i)(23i)z =++（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.若复数z 满足(12i)5z +=，i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A 2i-B .2C .2-D .2i6.定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件1142i iz z -=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7.已知复数2349i+i +i +i ++i 1+iz =L （i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点为（）A .11,22æöç÷èøB .(1,1)C .11,22æö-ç÷èøD .(1,1)-8.设z 是纯虚数，i 是虚数单位，若21iz +-是实数，则z =（）A .2i -B .1i 2-C .1i 2D .2i9.对于复数,,,a b c d ，若集合{,,,}S a b c d =具有性质“对任意,x y S Î，必有xy S Î”，则当,,,a b c d 同时满足①1a =：②21b =；③2c b =时，b c d ++=（）A .1B .1-C .0D .i10.已知i 是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（）A .满足i i z z -=+的复数z 对应的点的轨迹是圆B .若2,i 1m Î=-Z ，则123i i i i 0m m m m ++++++=C .复数i z a b =+（其中,a b ÎR ）的虚部为iD .在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知复数z ，下列结论正确的是（）A .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C .“z z =”是“z 为实数”的充要条件D .“z z ÎR g ”是“z 为实数”的充分不必要条件12.设()()2225322i,z t t t t t =+-+++ÎR ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（）A .z 对应的点在第一象限B .z 一定不为纯虚数C .z 一定不为实数D .z 对应的点在实轴的下方三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知i 为虚数单位，若复数24(2)i()z a a a =-+-ÎR 是纯虚数，则1z +=________；z z =g ________.（本题第一空2分，第二空3分）14.如图所示，网格中的小正方形的边长是1，复平面内的点Z 对应复数z ，则复数12z i-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部是________.15.若34i z =-（i 为虚数单位），则z z=________.16.复数12,z z 分别对应复平面内的点12M M 、，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 为虚数单位），则2212z z +=________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知复数z 满足13z i z =+-，i 是虚数单位，化简22(1i)(34i)2z++.18.（本小题满分12分）（1）已知m ÎR ，i 是虚数单位，复数()()2245215i z m m m m =--+--是纯虚数，求m 的值；（2）已知复数z 满足方程(2)i 0z z +-=，i 是虚数单位，求z 及|2i |z +的值.19.（本小题满分12分）（1）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，,m n ÎR ，求+m n 的值；（2）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，,m n ÎR ，求+m n 的值.20.（本小题满分12分）已知复数()21223(25)i,10i 15z a z a a a =+-=+--+，其中a 为实数，i 为虚数单位.（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若12z z +是实数（2z 是2z 的共轭复数），求1z 的值.21.（本小题满分12分）欧拉公式cos sin ix e x i x =+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位，x ÎR ）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：（1）判断复数2i e 在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；（2）若0ix e ＜，求cos x 的值.22.（本小题满分12分）若,42i,sin icos z z z w q q Î+=+=-C （q 为实数），i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）求z w -的取值范围.第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】1234i,23i z z =-+=-Q ，1234i 23i 1i z z \+=-++-=-+，12z z \+在复平面内对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B .2.【答案】C【解析】因为复数12i z a =+，22i z =-，且12z z =，所以2441a +=+，解得1a =±，故选C .3.【答案】C【解析】设i(,)z x y x y =+ÎR ，则33i 1i i x y x y ++=+-，所以2222(31)9(1)x y x y ++=+-，即224430x y x y +++=.所以复数z 对应的点的轨迹为圆.故选C .4.【答案】B【解析】(12i)(23i)47i z =++=-+Q ，z \在复平面内对应的点的坐标为(4,7)-，位于第二象限，故选B .5.【答案】C 【解析】依题意得，512i 12iz ==-+，所以z 的虚部为2-，故选C .6.【答案】D【解析】依题意得，i 42i z z +=+，42i 3i 1iz +\==-+，对应的点的坐标为(3,1)-，位于第四象限，故选D .7.【答案】A 【解析】2349i i i i i i 1i 1i ==1i 1iz +++++--+++=++L L i (1i)i 11i 1i (1i)(1i)22-==+++-，所以复数z 在复平面呢对应的点的坐标为11,22æöç÷èø.8.【答案】A【解析】z Q 为纯虚数，\设i z b =（b ÎR 且0b ¹），则2i 2(i 2)(1i)21(2)i 1i 1i (1i)(1i)22z b b b b ++++-+===++---+，又21i z +-Q 为实数，1(2)02b \+=，即2b =-，2i z \=-.9.【答案】B【解析】由题意知1,i b c =-=±.当i c =时，满足性质“对任意,x y S Î，必有xy S Î”的d 为i -；同理，当i c =-时，i d =.综上可知，0c d +=，1b c d \++=-.10.【答案】B【解析】对于A ，满足i i z z -=+的复数：对应的点的轨迹是实轴，不是圆，A 错误；对于B ，若2,i 1m Î=-Z ，则123i i i i i (1i 1i)0m m m m n ++++++=+--=，B 正确；对于C ，复数i z a b =+（其中,a b ÎR ）的虚部为b ，i 是虚数单位，C 错误；对于D ，在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示虚数，D 错误.故选B .二、11.【答案】BC【解析】对于复数z ，若0z z +=，z 不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z 为纯虚数，则0z z +=，\“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件，A 错误，B 正确；“z z =”是“z 为实数”的充要条件，C 正确；若z z ×ÎR ，z 不一定为实数，也可以为虚数，反之，若z ÎR ，则z z ×ÎR .\“z z ×ÎR ”是“z 为实数”的必要不充分条件，D 错误.故选BC .12.【答案】CD【解析】对于A ，22549492532488t t t æö+-=+--ç÷èø＞，2222(1)10t t t ++=++＞，所以复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；对于B ，当222530,220,t t t t ì+-=ïí++¹ïî即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误；对于C ，因为2220t t ++＞恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；对于D ，由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确.故选CD .三、13.16【解析】Q 复数24(2)i()z a a a =-+-ÎR 是纯虚数，240,20,a a ì-=ï\í-¹ïî解得2a =-，4i z \=-，4i z =，114i z \+=-=，z z ×.14.【答案】1-【解析】由题图可知，点Z 的坐标为(2,1)，2i z \=+，2i (2i)(12i)i 12i 12i (12i)(12i)z +++\===---+，其共轭复数为i -，\其共轭复数的虚数是1-.15.【答案】34i 55+【解析】依题意得，34i 55z z ==+.16.【答案】100【解析】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段12,OM OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM Ð为直角，又M 是斜边12M M 的中点，5OM ==u u u r ，所以1210M M =u u u u u u r ，所以22222121212100z z OM OM M M +=+==u u u r u u u r u u u u u u r .四、17.【答案】解：设i(,)z a b a b =+ÎR ，则由13i z z =+-13i i 0a b -++=，10,30,a b +-=\-=ïî解得4,3,a b =-ìí=î43iz \=-+22(1i)(34i)2i(724i)247i (247i)(43i)34i 22(43i)43i (43i)(43i)z ++-++++\====+-+--+.18.【答案】（1）解：由复数z 是纯虚数，可得22450,2150,m m m m ì--=ïí--¹ïî即251,53,m k m m m ì==-ïí¹¹-ïî或且解得1m =-.（2）解：由题意可得，2i 2i(1i)1+i 1i (1i)(1i)z -===++-，从而1i z =-，所以2i (1i)z +=-+.19.【答案】（1）解：由已知得(2i 1)10m n -+-=，(1)2i 0n m m \--+=，10,20,n m m --=ì\í=î解得1,0,n m =ìí=î1m n \+=.（2）解：解法一：由已知得2(2i 1)(2i 1)10m n -+-+-=，(4)(24)i 0n m m \--+-=，40,240,n m m --=ì\í-=î解得6,2,n m =ìí=î8m n \+=.解法二：2i 1-Q 是实系数方程21=0x mx n ++-的根，\12i --也是此方程的根，因此，(12)(12),(12)(12)1,i i m i i n -++--=-ìí-+--=-î解得6,2,n m =ìí=î8m n \+=.20.【答案】（1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则20,1250.a a ìï-íï-î＜解得1,5,2a a ìïíïî＞＜即52a 1＜＜，故实数a 的取值范围是51,2æöç÷èø.（2）解：()22310i 5z a a =+-+Q ()22310i 5z a a \=--+()()22122332(25)i 10i (25)10i 1551z z a a a a a a a a éù\+=+-+--=++---ëû-++-.12z z +Q 是实数，()225100(15)a a a a \---=¹¹且.由()225100a a ---=得22150a a +-=，解得3a =或5a =-（舍）.12(25)i 1i 1z a a \=+-=-+-，1z \=.21.【答案】（1）解：位于第二象限.理由如下：2i cos 2isin 2e =+在复平面内对应的点的坐标为(cos 2,sin 2)，由于22pp ＜，因此cos2＜0，sin 20＞，\点(cos 2,sin 2)在第二象限，故复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限。

高中数学新人教A版：必修二综合测试卷(含答案)

必修二综合测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某几何体的正视图和侧视图均如图①所示(上面是一个圆，下面是个正方形)，则下面四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )图① (1) (2) (3) (4)A ．(1)(3)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(1)(2)(3)(4)解析：由该几何体的正视图和侧视图，可知该几何体可以为一个正方体上面放着一个球，也可以是一个圆柱上面放着一个球，则其俯视图可以为(1)(3)．答案：A2．已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 1经过点A (3，2)，B (－a ，1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：由题意知，直线l 的斜率为1，则直线l 1的斜率为－1，所以2－13＋a＝－1，所以a ＝－4，又l 1∥l 2，所以－2b ＝－1，所以b ＝2，所以a ＋b ＝－4＋2＝－2.答案：B3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体，所以体积为12π×22×4＋2×2×4＝16＋8π.答案：A4．已知点Q是点P(3，4，5)在平面xOy上的射影，则线段PQ 的长等于()A．2 B．3C．4 D．5解析：由题意，得Q(3，4，0)，故线段PQ的长为5.答案：D5．如图①所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图②所示，那么，在四面体A-EFH中必有()图①图②A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面解析：折成的四面体中有AH⊥EH，AH⊥FH，所以AH⊥面HEF.答案：A6．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2 B．4 2C．6 D．210解析：由题设得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，知圆C 的圆心为(2，1)，半径为2，因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB|＝6.答案：C7．一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为() A．27πB．18πC．9πD．54π解析：设正方体的棱长为a，球的半径为r，则6a2＝54，所以a＝3.又因为2r ＝3a所以r ＝32a ＝332，所以S 表＝4πr 2＝4π×274＝27π. 答案：A8.已知高为3的直棱柱ABC -A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B ′ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34解析：V B ′ABC ＝13·S △ABC ·h ＝13×34×3＝34. 答案：D9．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离为1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4，6)B ．[4，6)C ．(4，6]D ．[4，6]解析：因为圆心到直线的距离为|12＋15－2|42＋（－3）2＝5，所以半径r 的取值范围是(4，6)．答案：A10．直线x ＋ky ＝0，2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，则点(－1，－2)在直线x ＋ky ＝0上，得k ＝－12. 答案：B11．在四面体A -BCD 中，棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则顶点A 在底面BCD 上的投影H 为△BCD 的( )A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心解析：因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，因为AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥CD .因为AH ⊥平面BCD ，所以AH ⊥CD ，AB ∩AH ＝A ，所以CD ⊥平面ABH ，所以CD ⊥BH .同理可证CH ⊥BD ，DH ⊥BC ，则H 是△BCD 的垂心．答案：A12.如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，则PB 与AC 所成的角＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：将其还原成正方体ABCD -PQRS ，连接SC ，AS ，则PB ∥SC ，所以∠ACS (或其补角)是PB 与AC 所成的角．因为△ACS 为正三角形，所以∠ACS ＝60°，所以PB 与AC 所成的角是60°.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值是________．解析：|OP |的最小值即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离，d ＝|0＋0－4|1＋1＝2 2. 答案：2214．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________．解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以a ＋b ＝2.答案：215．圆x2＋(y＋1)2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为________．解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx－y－1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S＝4π(3)2＝12π.答案：12π16．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c;②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________________．解析：因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可以相交、平行、异面，故①错．因为a、b异面，b、c异面．则a、c可能导面、相交、平行，故②错．由a、b相交，b、c相交，则a、c可以异面、平行，故③错．同理④错，故真命题个数为0.答案：0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．解：因为CC1∥AA1.所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C＝30°. 在Rt△BCC1中，BC＝CC1·tan∠BC1C＝6×33＝23，从而S△ABC＝34BC2＝33，因此该三棱柱的体积V＝S△ABC·AA1＝33×6＝18 3.18．(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所处的位置为：P为三角形的顶点，Q为四边形的顶点，求在该几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长．解：(1)由三视图可知，此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧＝12(2πa)·(2a)＝2πa2，S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以此几何体的表面积S表＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S圆柱底＝2πa2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.(2)分别沿点P 与点Q 所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，如图所示，则|PQ |＝|AP |2＋|AQ |2＝（2a ）2＋（πa ）2＝a 4＋π2.所以P ，Q 两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为a 4＋π2.19．(本小题满分12分)如图，已知在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线方程为2x －y －2＝0，点C (2，0)．求：(1)直线CD 的方程；(2)AB 边上的高CE 所在直线的方程．解：(1)因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，所以k CD ＝k AB ＝2.故CD 的方程为y ＝2(x －2)，即2x －y －4＝0.(2)因为CE ⊥AB ，所以k CE ＝－1k AB ＝－12. 所以直线CE 的方程为y ＝－12(x －2)，即x ＋2y －2＝0.20．(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.21．(本小题满分12分)(2015·北京卷)如图所示，在三棱锥V-ABC 中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V-ABC的体积．(1)证明：因为O，M分别AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC.所以VB∥平面MOC(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解：在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于13OC·S△VAB＝3 3.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为3 3.22．(本小题满分12分)已知圆C过点A(1，2)和B(1，10)，且与直线x－2y－1＝0相切．(1)求圆C的方程；(2)设P为圆C上的任意一点，定点Q(－3，－6)，当点P在圆C 上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．解：(1)圆心显然在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a，6)，半径为r，则圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2，由点B在圆上得：(1－a)2＋(10－6)2＝r2，又圆C与直线x－2y－1＝0相切，则r＝|a－13|5.于是(a －1)2＋16＝（a －13）25，解得：a ＝3，r ＝25或a ＝－7，r ＝4 5.所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80.(2)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，由M 为PQ 的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 0－32，y ＝y 0－62，即：⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋3，y 0＝2y ＋6，又点P (x 0，y 0)在圆C 上，若圆C 的方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20，有：(x 0－3)2＋(y 0－6)2＝20，则(2x ＋3－3)2＋(2y ＋6－6)2＝20，整理得：x 2＋y 2＝5，此时点M 的轨迹方程为：x 2＋y 2＝5.若圆C 的方程为(x ＋7)2＋(y －6)2＝80，有：(x 0＋7)2＋(y 0－6)2＝80，则(2x ＋3＋7)2＋(2y ＋6－6)2＝80，整理得：(x ＋5)2＋y 2＝20，此时点M 的轨迹方程为：(x ＋5)2＋y 2＝20.综上所述：点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝5，或(x ＋5)2＋y 2＝20.。

人教A版(2019)高中数学必修第二册第六章、第七章检测试题及参考答案

高中数学必修第2册第六章、第七章综合测试一、单选题（共8小题）1. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )A. a2＝b2＋c2＋2bc cos AB. a2＝b2＋c2＋bc cos AC. a2＝b2＋c2－2bc cos AD. a2＝b2＋c2－bc cos A2. 如果将直角三角形的三边分别增加同样的长度，那么新三角形的形状是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 由增加的长度确定3. 已知复数z＝－i，则复平面内对应的点Z的坐标为( )A. (0，－1)B. (－1,0)C. (0,0)D. (－1，－1)4. 设复数z1＝，z2＝6，则z1z2为( )A. 3iB. 3C. －3iD. 35. “复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点位于第三象限”是“a≥0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若(1＋i)＝1－i，则z＝( )A. 1－iB. 1＋iC. －iD. i7. 在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则等于()A. B. C. D.8. 已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于( )A. (－1，－2)B. (1，－2)C. (－1,2)D. (1,2)二、多选题（共4小题）9. 如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是( )A. ||＝||B. 与共线C. 与共线D. ＝10. 已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的值可能是( )A. －2a2B. －a2C. －a2D. －a211. 下列各式中结果为零向量的是( )A. ＋＋＋B. ＋＋C. ＋＋＋D. －＋－12. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有( )A. sin(B＋C)＝sin AB. cos(B＋C)＝cos AC. 若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形D. 若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形三、填空题（共4小题）13. 已知|a|＝|b|＝1，且a⊥b，若|a＋b＋m|≤1恒成立，则|m|的取值范围是________．14. 方程x2－2x＋5的复数根为________．15. 设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是________.16. 小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则S△OAB＝|x1y2－x2y1|.试用上述成果解决问题：已知A(1，1)，B(2，3)，C(4，5)，则S△ABC＝______.四、解答题（共6小题）17. 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.18. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．19. 在△ABC中，已知A＝15°，B＝45°，c＝3＋，解这个三角形．20. 如图所示，四边形ABCD是矩形，点A和B对应的复数分别为－1＋2i,1＋i，并且|BA|∶|DA|＝1∶，求点C和点D分别对应的复数．21. 设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R；(2)z 是纯虚数；(3)z是零．22. 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)＋＋；(2)＋＋＋.参考答案1. 【答案】C【解析】由余弦定理的结构特征易知选C.2. 【答案】A【解析】设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三条边均增加同样的长度m，三边长度变为a＋m，b＋m，c＋m，此时最长边为c＋m，设该边所对角为θ，则由余弦定理，得cosθ＝＝.因为m2>0，a＋b－c>0，所以cosθ>0，所以θ为锐角，其他各角必为锐角，故新三角形是锐角三角形．3. 【答案】A【解析】由z＝－i可知，复平面内对应的点Z的坐标为(0，－1)．4. 【答案】A【解析】z1z2＝×6＝3＝3i.5. 【答案】A【解析】易得z＝＝－a－3i，则z在复平面内对应的点位于第三象限⇔a>0.又a>0⇒a≥0，a≥0D⇒/a>0，所以“a>0”是“a≥0”的充分不必要条件，即“z在复平面内对应的点位于第三象限”是“a≥0”的充分不必要条件．6. 【答案】D【解析】由(1＋i)＝1－i，得＝＝＝－i，故z＝i.7. 【答案】A【解析】=-=8. 【答案】D【解析】为使物体平衡，则合力为零，即F4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．9. 【答案】ABD【解析】由向量相等及共线的概念，由∠EDB与∠HED不一定相等可知C选项不一定正确．10. 【答案】BCD【解析】建立如图所示的平面直角坐标系．设P(x，y)，因为A(0，a)，B(－a,0)，C(a,0)，则＝(－x，a－y)，＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y)．所以·(＋)＝(－x，a－y)·[(－a－x，－y)＋(a－x，－y)]＝(－x，a－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y2－2ay＝2x2＋22－a2≥－a2，当且仅当x＝0，y＝a时取等．故选项B，C，D满足，故选BCD.11. 【答案】BD【解析】由向量加法的法则得A：＋＋＋＝＋＋＝，故结果不为零向量；B：＋＋＝＋＝0，结果为零向量；C：＋＋＋＝＋＝，结果不为零向量；D：－＋－＝＋－(＋)＝－＝0，结果为零向量．12. 【答案】AC【解析】依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B不正确；因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cos C＝＝0，而0<C<π，即有C＝，则△ABC为直角三角形，C正确；因为a2＋b2<c2，则cos C＝<0，而0<C<π，即有<C<π，则△ABC为钝角三角形，D不正确．13. 【答案】[－1，＋1]【解析】建立平面直角坐标系(图略)，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，a＋b＝(1,1)，m＝(x，y)，a＋b＋m＝(x＋1，y＋1)．由题意可知(x＋1)2＋(y＋1)2≤1，|m|表示以点(－1，－1)为圆心，1为半径的圆面(包括边界)上的动点与原点连线段的长度，易知|m|的最大值为＋1，最小值为－1.14. 【答案】1±2i【解析】由求根公式得x＝＝＝1±2i.15. 【答案】[0，3]【解析】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，d min＝0，当点A与点C(2，0)重合时，d max＝3，所以0≤|z＋1|≤3.16. 【答案】1【解析】因为A(1,1)，B(2,3)，C(4,5)，所以＝(1,2)，＝(3,4)，又当＝(x1，y1)，＝(x2，y2)时，S△OAB＝|x1y2－x2y1|，所以S△ABC＝×|1×4－3×2|＝1.17. 【答案】证明方法一设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE.方法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0，2)，E(1,0)，F(2,1)，则＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0.所以⊥，即AF⊥DE.18. 【答案】解(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴cos A＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝，∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，∴∴b＝c＝，又∵a＝，∴△ABC为等边三角形．19. 【答案】解由三角形内角和定理，得C＝180°－(A＋B)＝180°－(15°＋45°)＝120°.由正弦定理，得a＝＝＝＝＝，b＝＝＝＝＝＝＋.20. 【答案】解要求出点C对应的复数，即求出向量对应的复数，结合图形并注意到＝＋，可以先求向量对应的复数．向量可以看成向量的长度扩大为原来的倍，并绕点B按顺时针方向旋转90°后得到，又向量对应的复数为(－1＋2i)－(1＋i)＝－2＋i，故向量对应的复数为(－2＋i)··[cos(－90°)＋isin(－90°)]＝＋2i.于是点C对应的复数为(＋2i)＋(1＋i)＝(＋1)＋(2＋1)i.同理可得点D对应的复数是(－1)＋(2＋2)i.21. 【答案】解(1)z∈R，只需a2－7a＋6＝0，所以a＝1或a＝6.(2)z是纯虚数，只需所以a＝－2.(3)因为z＝0，所以所以a＝1.22. 【答案】解(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.。