蒙特卡洛模拟——【数学建模 蒙特卡罗算法】
蒙特卡洛模拟法
蒙特卡洛模拟法目录编辑本段蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。
具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。
这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。
蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。
编辑本段蒙特卡洛模拟法的应用领域蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有：1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统，得到某些参数或重要指标。
2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分，维数越高，积分效率越高。
3.MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广，该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。
编辑本段蒙特卡洛模拟法的概念（也叫随机模拟法）当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用则可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值。
随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于需要大量反复的计算，一般均用计算机来完成。
编辑本段蒙特卡洛模拟法求解步骤应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。
解题步骤如下：1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。
模拟和蒙特卡洛方法的基本步骤
模拟和蒙特卡洛方法的基本步骤模拟和蒙特卡洛方法是一种常用的数学建模和计算方法，广泛应用于各个领域，如物理、金融、生物学等。
本文将介绍模拟和蒙特卡洛方法的基本步骤，以及它们在实际问题中的应用。
模拟方法是通过建立数学模型，通过计算机模拟实验的方式来研究和解决问题。
它的基本步骤包括问题建模、模型验证、参数设定、实验设计、数据分析和结果解释。
首先，需要明确问题的背景和目标，确定需要建立的数学模型。
接着，对模型进行验证，比较模拟结果与实际观测数据的一致性，确保模型的可靠性。
然后，需要设定模型中的参数，这些参数可以是物理常数、初始条件等。
在设定参数之后，需要设计实验，确定模拟的时间范围、空间范围等。
进行模拟实验后，需要对模拟结果进行数据分析，比如计算平均值、方差等统计量。
最后，对结果进行解释，给出问题的答案或结论。
蒙特卡洛方法是一种基于概率统计的数值计算方法，其基本思想是通过随机抽样的方式来近似计算问题的解。
蒙特卡洛方法的基本步骤包括问题建模、随机抽样、计算统计量和结果解释。
首先，需要将问题转化为数学模型，并确定需要计算的统计量。
然后，通过随机抽样的方式生成样本，样本的生成可以是均匀分布的随机数、正态分布的随机数等。
接着，根据样本计算统计量，比如计算均值、方差等。
最后，对计算结果进行解释，给出问题的答案或结论。
模拟和蒙特卡洛方法在实际问题中有着广泛的应用。
在物理学中，模拟方法可以用来研究复杂的物理现象，比如粒子碰撞、流体流动等。
在金融学中，蒙特卡洛方法可以用来估计金融衍生品的价格，比如期权、债券等。
在生物学中，模拟方法可以用来研究生物分子的结构和功能，比如蛋白质的折叠过程、DNA的复制过程等。
总之，模拟和蒙特卡洛方法是一种常用的数学建模和计算方法，通过模拟实验和随机抽样的方式来研究和解决问题。
它们的基本步骤包括问题建模、模型验证、参数设定、实验设计、数据分析和结果解释。
模拟和蒙特卡洛方法在各个领域都有着广泛的应用，可以用来研究复杂的物理现象、估计金融衍生品的价格、研究生物分子的结构和功能等。
数学建模蒙特卡洛模拟方法详细案例
数学建模蒙特卡洛模拟方法详细案例
数学建模中的蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机数生成和概率统计的方法，可以用于求解各种复杂的问题。
下面是一个详细的案例，以帮助你更好地理解蒙特卡洛模拟方法的应用。
案例：估计圆周率
假设我们要求解圆周率（π）的值。
我们可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计π的值。
1. 定义问题的概率模型：在这个案例中，我们使用一个简单的概率模型，即在一个边长为1的正方形内随机生成点，并计算这些点到正方形中心的距离。
2. 生成随机数：使用随机数生成器生成一系列的随机数，这些随机数代表点在正方形内的坐标。
3. 计算点到中心的距离：对于每个生成的点，计算它到正方形中心的距离。
4. 计算落在圆内的点的比例：将落在半径为1的圆内的点的数量除以总的点数。
这个比例近似于圆的面积与正方形的面积之比，也就是π/4。
5. 通过比例求解π：将步骤4中的比例乘以4，即可得到π的近似值。
通过多次重复上述步骤并取平均值，可以进一步提高估计的准确性。
需要注意的是，蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机数生成和概率统计的方法，其结果具有一定的随机性和误差。
因此，在应用蒙特卡洛模拟方法时，需要选择合适的随机数生成器和概率模型，以确保结果的准确性和可靠性。
蒙特卡洛模拟
2013年9月2日
29
蒲丰投针问题
2013年9月2日
30
蒙特卡洛与21点
▪ 大多数赌场使用6副牌或8副牌玩这种游戏，以 防止“数牌点”，在你的模拟中使用两副牌(共 104张)。只有2位参与者，你和庄家。游戏开始 时每人得到两张牌，对于牌面为2~10的牌，点 数和面数相同；对于为人脸(J、Q、K)的牌， 点数为10；牌面为A的牌，点数为1或者11.游 戏的目的是得到总数尽量接近21点的牌，不得 超过(超过称“爆了”)，并使你得到的总点数 多于庄家。
2013年9月2日
3
Monte Carlo方法的发展历史
▪ 1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来好些 客人玩投针游戏（针长是线距之半），他事 先没有给客人讲与π有关的事。客人们虽然 不知道主人的用意，但是都参加了游戏。他 们共投针2212次，其中704次相交。蒲丰说， 2212/704=3.142，这就是π值。这着实让人 们惊喜不已。
39
误差具有概率性
▪ 由于蒙特卡罗方法的误差是在一定置信水平下 估计的，所以它的误差具有概率性，而不是一 般意义下的误差。
2013年9月2日
40
蒙特卡罗方法的主要应用范围
▪ 蒙特卡罗方法所特有的优点，使得它的应用范 围越来越广。它的主要应用范围包括：粒子输 运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术， 激光技术以及医学，生物，探矿等方面，特别 适用于在计算机上对大型项目、新产品项目和 其他含有大量不确定因素的复杂决策系统进行 风险模拟分析。随着科学技术的发展，其应用 范围将更加广泛。
1不满足相互独立的要求2不可避免的出现重复问题因此我们将计算机产生的随机数称为伪随机数大连大学数学建模工作室产生伪随机数的方法大连大学数学建模工作室matlab中生成随机数的函数大连大学数学建模工作室matlab中生成随机数的函数exprnd指数分布的随机数生成器geornd几何分布的随机数生成器poissrnd泊松分布的随机数生成器unidrnd离散均匀分布的随机数生成器unifrnd连续均匀分布的随机数生成器betarnd贝塔分布的随机数生成器binornd二项分布的随机数生成器matlab中生成随机数的函数大连大学数学建模工作室其它函数大连大学数学建模工作室蒙特卡洛方法的实例讲解计算圆周率在平面上画一个半径r的圆和边长为2r的正方形让他们的中心重合
蒙特卡洛模拟算法
蒙特卡洛模拟算法蒙特卡洛模拟算法是一种基于随机抽样的数值计算方法，常用于求解复杂的数学问题。
它的核心思想是通过生成大量的随机样本来近似计算某个问题的解。
蒙特卡洛模拟算法的应用领域非常广泛，包括金融、物理、工程、生物等多个领域。
蒙特卡洛模拟算法的基本步骤如下：1. 定义问题：首先需要明确要解决的问题是什么，例如计算一个复杂函数的积分、估计一个金融衍生品的价格等。
2. 确定随机变量：根据问题的特点，确定需要模拟的随机变量，这些随机变量通常是与问题相关的参数或输入。
3. 生成随机样本：根据所选的随机变量，生成一组符合其分布的随机样本。
这里的样本数目通常很大，以保证结果的精确性。
4. 计算问题的解：利用生成的随机样本，通过对样本进行某种运算或计算，得到问题的解。
这个运算方式根据问题的不同而不同，可以是简单的求和、平均值，也可以是复杂的模型拟合等。
5. 分析结果：最后，需要对得到的结果进行统计分析，包括计算均值、方差、置信区间等，以评估结果的可靠性和精确度。
蒙特卡洛模拟算法的优点在于它的灵活性和可扩展性。
通过增加样本数目，可以提高结果的精确性。
而且，蒙特卡洛模拟算法并不要求问题的解具有解析表达式，因此适用于各种复杂的问题。
下面以金融衍生品定价为例，来说明蒙特卡洛模拟算法的应用。
假设我们需要估计某个期权的价格，期权的价格受到多个因素的影响，包括标的资产价格、波动率、无风险利率等。
这些因素通常都是随机的，因此我们可以使用蒙特卡洛模拟算法来估计期权的价格。
我们需要确定模型的参数和随机变量。
假设期权的价格可以通过Black-Scholes模型来计算，我们需要确定标的资产价格的初始值、波动率、无风险利率等参数，并生成这些参数的随机样本。
然后，我们根据所选的参数，生成一组符合其分布的随机样本。
例如，可以使用正态分布来生成标的资产价格的随机样本，使用波动率的历史数据来估计波动率的分布。
接下来，我们利用生成的随机样本，通过Black-Scholes模型来计算期权的价格。
蒙特卡洛模拟 算法
蒙特卡洛模拟算法
1.确定模拟对象：首先要明确需要模拟的对象或系统。
比如，如果要
计算圆周率，可以考虑在一个单位正方形内随机生成大量的点，然后计算
落入单位圆内的点的比例。
2.随机抽样：根据需要模拟的对象特性，使用随机数生成器生成大量
的样本点。
这些样本点要符合特定的概率分布，以保证模拟的结果是准确的。
3.计算模拟结果：根据模拟对象的特性和目标，使用随机抽样得到的
样本点进行计算。
比如，对于计算圆周率的问题，可以计算出落入单位圆
内的点的比例，并根据面积比例得到近似的圆周率值。
4.重复模拟：由于蒙特卡洛模拟算法是基于随机抽样的，所以需要进
行多次模拟以减少误差。
通过重复上述步骤多次，并取多次模拟结果的平
均值，可以得到更准确的估计。
另外，蒙特卡洛模拟算法还可以通过优化技巧来提高计算效率。
例如，可以使用重要性抽样来增加重要样本点的比例，或者使用方差减少技术来
降低误差。
总结起来，蒙特卡洛模拟算法是一种基于随机抽样的数值计算方法，
适用于解决无法精确求解的问题。
它的基本思想是通过大量的随机抽样来
近似计算问题的解，并且可以通过重复模拟和优化技巧来提高计算的准确
性和效率。
该算法在实际应用中广泛使用，可以解决各种复杂的问题。
数学建模——蒙特卡洛简介
数学建模——蒙特卡洛方法（案例）蒙特卡罗方法是一种计算方法。
原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。
它非常强大和灵活，又相当简单易懂，很容易实现。
对于许多问题来说，它往往是最简单的计算方法，有时甚至是唯一可行的方法。
它诞生于上个世纪40年代美国的"曼哈顿计划"，名字来源于赌城蒙特卡罗，象征概率。
第一个例子是，如何用蒙特卡罗方法计算圆周率π。
正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。
现在，在这个正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对(x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。
如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。
通过R语言脚本随机模拟30000个点，π的估算值与真实值相差0.07%。
上面的方法加以推广，就可以计算任意一个积分的值。
比如，计算函数y = x2 在[0, 1] 区间的积分，就是求出下图红色部分的面积。
这个函数在(1,1) 点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。
在该正方形内部，产生大量随机点，可以计算出有多少点落在红色区域（判断条件y < x2）。
这个比重就是所要求的积分值。
用Matlab模拟100万个随机点，结果为0.3328。
四、交通堵塞蒙特卡罗方法不仅可以用于计算，还可以用于模拟系统内部的随机运动。
下面的例子模拟单车道的交通堵塞。
根据Nagel-Schreckenberg 模型，车辆的运动满足以下规则。
▪当前速度是 v 。
▪如果前面没车，它在下一秒的速度会提高到 v + 1 ，直到达到规定的最高限速。
▪如果前面有车，距离为d，且 d < v，那么它在下一秒的速度会降低到 d - 1 。
▪此外，司机还会以概率 p 随机减速，将下一秒的速度降低到 v - 1 。
在一条直线上，随机产生100个点，代表道路上的100辆车，另取概率p 为0.3 。
数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理编程及应用
数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理编程及应用蒙特卡罗方法是一种基于随机数的数学建模算法，它在估计和模拟复杂的数学问题时非常有用。
蒙特卡罗方法的原理是通过随机抽样来进行近似计算，然后使用统计学方法来分析和推断结果。
蒙特卡罗方法的核心思想是通过进行大量的随机样本实验，来估计问题的解或者概率。
它的基本过程如下：1.问题建模：将要解决的问题转化为数学模型，并明确需要估计的量。
2.随机抽样：根据问题的性质和要求，设计合适的随机抽样方法，生成大量的随机样本。
3.计算估计量：对每个样本，将其代入数学模型，计算得到估计量的值。
4.统计分析：对所有样本的估计量进行统计分析，包括计算均值、方差等。
5.结果解释：根据统计分析的结果，得出对问题的估计值和置信区间。
蒙特卡罗方法的一个重要特点是可以处理复杂的问题，因为需要进行大量的随机实验。
它广泛应用于科学研究、金融决策、工程设计等领域。
下面以两个实际应用为例介绍蒙特卡罗方法的具体编程和应用。
实例一：估计π的值蒙特卡罗方法可以用来估计π的值。
其基本思路是以原点为中心，边长为2的正方形内切一个以原点为圆心的半径为1的圆，通过生成大量的随机点，并统计落在圆内的点的个数来估计圆的面积，然后根据面积比例来估计π。
编程步骤如下：1.生成随机点：生成大量的随机点，均匀分布在正方形内。
2.判断点位置：判断每个点是否落在圆内，即判断点的横坐标和纵坐标的平方和是否小于13.统计结果：统计圆内的点的个数。
4.计算面积和π的估计值：根据圆内点的个数，计算圆的面积和π的估计值。
实例二：金融风险分析蒙特卡罗方法可以用于金融风险分析，例如估计一些投资组合的回报率和风险。
编程步骤如下：1.生成随机数：生成符合历史回报率的随机数序列，代表不同的投资回报率。
2.计算投资回报率：根据生成的随机数序列，计算投资组合的回报率。
3.重复实验：重复上述步骤多次，生成多个投资回报率的样本。
4.统计分析：对多个投资回报率样本进行统计分析，计算均值、方差等指标。
数学建模十大经典算法之蒙特卡罗原理及其应用
数学建模十大经典算法之蒙特卡罗原理及其应用
一、蒙特卡罗原理
蒙特卡罗原理又称模拟原理，是20世纪40年代初提出的一种统计学
原理，该原理可以用数量模拟技术，即使不知道具体方程，也能近似计算
系统的一些重要性质，如热力学量、电学量等。
蒙特卡罗原理要求使用随
机序列来近似的计算现实系统的一些量：求出给定的实际系统的概率分布，可以用概率理论；求出实际系统的热力学量，可以用热力学理论；求出实
际系统的电学量，可以用电磁学理论等，但如果知道了一个系统的三维几
何结构，就可以用数量模拟技术，全部用随机序列来模拟这个系统的物理
性质。
蒙特卡罗原理的思想是：如果一个实际操作中随机过程可以通过已知
的概率分布表示，那么它的平均值可以用一定的近似误差表示。
例如要求
一个整数百分位点的参数，若把它的概率分布看作一个均匀分布，这时可
以把它看作是一个随机变量，并求该随机变量的百分位点。
这是蒙特卡罗
原理的基本思想。
二、蒙特卡罗原理的应用
蒙特卡罗原理（模拟原理）在数学建模中有着重要的应用。
1、蒙特卡罗法可以用来模拟热力学量。
数学建模蒙特卡罗方法
• 求积分
b
f(x)dx 〔2.1〕 a
蒙特卡罗方法步骤如下：
• 1、在区间【a,b】上利用计算机均匀产生n个随 机数x1，x2·····xn，这个可以在MATLAB软件中 用unifrnd命令实现。
• 2、计算每一个随机数相应的被积函数值f〔x1〕，
z=16*data(:,3);
II=find(x>=y.^2&x<=y+2&z<=x.*(y.^2));
M=length(II);
V=192*M/10000
例5.15 用蒙特卡罗方法计算 (x2y2z2)dxdydz
其中,积分区域是由 z x2 y和2 z = 1 所围成。
被积函数在求积区域上的最大 值为2。所以有四维超立方体
蒙特卡洛计算方法具有随机性、不确定性.
N=10000; 递推公式和初始值确定后，整个随机数序列便被唯一确定。
V=8*M/10000
实验参考程序 蒙特卡罗方法计算体积
for k=1:L y=-1+3*data(:,2);
实验参考程序 蒙特卡罗方法计算体积
P=rand(N,3); 第二条语句实现了在积分区间上均匀产生N个随机数.
什么叫蒙特卡罗方法？
• 蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样 技术，是一种随机模拟方法，以概率和统 计理论方法为根底的一种计算方法，是使 用随机数〔或伪随机数〕来解决很多计算 问题的方法。将所求解的问题同一定的概 率模型相联系，用电子计算机实现统计模 拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征 性地说明这一方法的概率统计特征，故借 用赌城蒙特卡罗命名。
大小有关
• 所以在使用蒙特卡罗方法时，要 “扬长避短〞，只对问题中难以用解 析〔或数值〕方法处理的局部，使用
蒙特卡罗模拟
的估计式为
试验次数估计式的分析
1. n p(1 p )
2 2 z
n z 2 S 2 / 2 n0 2 1 2 S ( xi x ) n0 1 i 1
为估计概率p做 模拟,却又需要 用p去估计模拟 次数n.
如何计算S2 ？
解决方法：先做n0 次模拟（称为学习样本)， 根据学习样本. （1）先求出p的估计，再估计模拟次数n :
)
2(
令 2(
n np(1 p)
n np(1 p)
)1
)1 1
查得正态分布的临界值zα,可解得
p(1 p ) 2 n z 2
平均值法
在给定α和ε下所需的试验次数
n z 2 S 2 / 2 n0 2 1 2 S ( xi x ) n0 1 i 1
1％,模拟精度太低,应适当增大模拟次数.
总结： 模拟的意义？
1.模拟方法本质上是试验性的,模拟系统是
现实系统的仿真.
例中每模拟一次相当于对一个中子的运动做 一次“试验”或“观察”.
2. 是对思维结果的一种验证. 3. 模拟本质上是一种求解问题的试验方法, 需要进行较多次数的重复模拟,并且对试验结 果还需进行统计分析.
1.问题背景 假定屏蔽层是理想的均匀平板 一个中子进入屏蔽层后运动的物理过程:中 子以初速度v0和方向角α射入屏蔽层,运动一
段距离后与铅核发生碰撞，中子获得新的速度
及方向(v1,θ1). 再游动一段距离后,与铅核发生 第二次碰撞,并获得新的状态(v2,θ2),如此等等, 经过若干次碰撞后,出现下述情况之一时中子 终止运动过程
1. 精度提高，试验次数大幅提高； 2. 事件发生概率越接近0.5，试验次数越高；
数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理、编程及应用
数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理、编程及应用一、前言1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam和Nick Metropolis共同发明了蒙特卡罗方法。
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一。
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
二、蒙特卡罗方法的基本原理以及思想1、蒲丰投针实验其基本思想源于法国数学家蒲丰提出著名的蒲丰投针实验，并以该方法求圆周率。
为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2a（l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式：求出π值。
其中Ｎ为投针次数，n为针与平行线相交次数。
这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。
2、射击问题设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，ｇ(r)表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)为该运动员的弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。
则该运动员的射击成绩为用概率语言来说，<g>是随机变量ｇ(r)的数学期望，即当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。
蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。
数学建模十大经典算法之蒙特卡罗方法讲义课件
f(X)是X的分布密度函数。则
lim P N
N
X N E( X ) x
1 x et2 / 2dt
2 x
当N充分大时，有如下的近似式
P
XN
E(X )
N
2 et2 / 2dt 1 2 0
其中α称为置信度，1－α称为置信水平。
这表明，不等式
XN
E(X )
N
近似地以概率
1－α成立，且误差收敛速度的阶为 O(N 1/ 2 )。
5) 误差容易确定。
6) 程序结构简单，易于实现。
1) 能够比较逼真地描述具有随机性质 的事物的特点及物理实验过程
从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物 理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用 蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本 身出发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、 形象的特点。
1901 3408
3.1415929
例2. 射击问题（打靶游戏）
设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，ｇ(r)
表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)为该运动员的 弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。 该运动员的射击成绩为
g 0 g(r) f (r)dr
用概率语言来说，<g>是随机变量ｇ(r)的数学期
为数学期望<g>的估计值（积分近似值）。
➢ 基本思想
由以上两个例子可以看出，当所求问题的解是某 个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或 者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的 方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
➢ 作业
用蒙特卡罗法求解数学建模
用蒙特卡罗法求解数学建模大家好，今天咱们聊聊一个非常有意思的话题——蒙特卡罗法。
这可不是一个什么高级的数学术语，而是一个非常“接地气”的方法，尤其在数学建模中，常常能让我们事半功倍。
听起来是不是有点神秘？别急，接下来就跟着我一起，走进这个神奇的世界。
蒙特卡罗法的名字听起来就很“高大上”，有点像是某个高级的数学俱乐部的名字，实际上，它的背后原理简单得很。
假设你有一个问题，特别是那种你直接用公式根本解不开的问题，比如说，求一个复杂图形的面积、求某个概率、或者计算一个难度巨大的积分，反正就是那种看着让你头大得不得了的数学问题。
用传统的办法可能需要好几个小时的推导，甚至是几天几个月。
可是，蒙特卡罗法就是通过“猜”的方式来解决问题。
它的精髓就在于：“只要你敢猜，结果就有可能靠近真相。
”怎么说呢？你得有一个模型，也就是你想要解决的数学问题。
然后，你通过随机抽样的方式来逼近问题的解。
这就好比是在一个巨大的迷宫里，闭着眼睛乱走，只要多走几步，总有一天能撞到出口。
我们通过随机数生成器来随机地“投点”，然后看看这些“点”是怎么分布的，最后通过这些随机点的结果，去估算你要解的那个问题。
举个例子来说，假如你要计算一个圆的面积。
说实话，圆的面积公式大家都知道：πr²，对吧？但是要是我们不直接用这个公式，而是通过蒙特卡罗法来计算，怎么做呢？简单来说，你可以把圆放在一个正方形里面，然后随机地投一些点。
根据概率统计的原理，投到圆内的点和总投点数的比值，乘上正方形的面积，就能得出圆的面积。
是不是很神奇？你可能会觉得这方法看起来有点像在“碰运气”，不过，正是因为随机性和大数法则的作用，最终我们能得出一个接近真实结果的答案。
这种方法特别适合解决那些看似无解的复杂问题。
你可以想象一下，如果你想要计算一只蜗牛爬上一个斜坡的概率，这个斜坡又很复杂，不规则，甚至有些地方是悬崖，那你该如何用传统的数学工具来解呢？答案是：几乎不可能。
数学建模专题三 Monte Carlo模拟
2019/5/18
Lxy, China Jiliang Universty
16
结果比较
理论计算和模拟结果的比较
分类 项目
无效射击
有效射击
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
平均值
模拟 理论
０．６５ ０．７５
０．３５ ０．２５
０．５ ０．３３
虽然模拟结果与理论计算不完全一致，但它却能更加真实地表 达实际战斗动态过程．
x=randperm(6); y=x(1); switch y
Lxy, China Jiliang Universty
10
问题分析
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
需要模拟出以下两件事：
[1] 观察所对目标的指示正确与否 模拟试验有两种结果，每一种结果出现的概率都是1/2． 因此，可用投掷一枚硬币的方式予以确定，当硬币出现正面时为
指示正确，反之为不正确．
4
举例
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
Buffon投针实验
1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计的值
2019/5/18
L
d
p
2L d
Lxy, China Jiliang Universty
5
Solution
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
... ...
2019/5/18
Lxy, China Jiliang Universty
19
Matlab中的取整函数
数学建模专题三 -Monte Carlo模拟
fix(x) : 截尾取整，直接将小数部分舍去 floor(x) : 不超过 x 的最大整数 ceil(x) : 不小于 x 的最小整数 round(x) : 四舍五入取整
数学建模-蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法的特点 • 优点：
• 1、能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的 特点及物理实验过程 • 2、受几何条件限制小 • 3、收敛速度与问题的维数无关 • 4、具有同时计算多个方案与多个未知量的能力 • 5、误差容易确定 • 6、程序结构简单，易于实现
• 缺点：
• 1收敛速度慢 • 2误差具有概率性 • 3在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关
什么是随机数？
• 在连续型随机变量的分布中，最简单而且最基本的 分布是单位均匀分布。由该分布抽取的简单子样称 为随机数序列，其中每一个体称为随机数 • 符号： 1 2
，
• 两个特点：独立性，均匀性
产生随机数 • 随机数表方法 • 物理方法
随机数表
• 随机数表是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字 组成，每个数字以0.1的等概率出现，数字 之间相互独立，这些数字序列叫作随机数 字序列。 • （如果要得到n位有效数字的随机数，只需 将表中每n个相邻的随机数字合并在一起， 且在最高位的前边加上小数点即可。例如， 某随机数表的第一行数字为7 6 3 4 2 5 8 9 1...，要想得到三位有效数字的随机数一次 为0.763，0.425，0.891...）
基本思想
• 当所求问题的解是某个事件的概率，或者 是某个随机变量的数学期望，或者是与概 率，数学期望有关的量时，通过某种试验 的方法，得出该事件发生的概率，或者该 随机变量若干个具体观察值的算术平均值， 通过它得到问题的解。 • 当随机变量的取值仅为 1 或 0 时，它的数学 期望就是某个事件的概率。或者说，某种 事件的概率也是随机变量（仅取值为 1 或 0 ） 的数学期望。
蒙特卡罗方法实验
面积、体积计算问题
蒙特卡洛模型方法
在解决实际问题的时候应用蒙特·卡罗方法主要有两部分工作：
1．用蒙特·卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。
2．用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。
蒙特卡罗方法分子模拟计算的步骤
使用蒙特·卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的：
1．使用随机数发生器产生一个随机的分子构型。
通常蒙特·卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特·卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特·卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特·卡罗积分。
蒙特卡罗方法的应用领域
蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。
*若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子，则放弃这个构型，重新计算。
*若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子，则接受这个构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。
5．如此进行迭代计算，直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型结束。
蒙特卡罗模型的发展运用
从理论上来说，蒙特卡罗方法需要大量的实验。实验次数越多，所得到的结果才越精确。以上Buffon的投针实验为例、历史上的记录如下表1。
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢?MonteCarlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点，有M个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。
蒙特卡罗(Monte Carlo算法)算法
随机数的取得
• 如果你对随机数有更高的要求，需要自己 编辑“随机数生成器”
• 最简单、最基本、最重要的一个概率分布 是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）
• 例如在Matlab中，命令“rand()”将产生 一个(0,1)中均匀分布的随机数
• 你可以根据需要给随机数一个“种子”， 以求不同的数
Matlab 的随机数函数
• 大大改善了结果！
随机数的产生
• 随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 • 随机数的产生就是抽样问题。可以用物理方法
产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不 便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样 产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以 称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过 多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随 机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真 正的随机数来使用。
用Monte Carlo 计算定积分
• 考虑积分 • 假定随机变量具有密度函数 •则
用Monte Carlo 计算定积分-
• 抽取密度为e^{-x}的随机数X_1,…X_n • 构造统计数
•则
用Monte Carlo 计算定积分--
•且
•即
用Monte Carlo 计算定积分---
• 例如 α=1.9
Monte Carlo Simulation 简介
概述
• 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算 机随机模拟方法或随机抽样方法或统计 试验方法 ，属于计算数学的一个分支。 是一种基于“随机数”的rlo方法的基本思想很 以前就 被人们所发现和利用。 在17世纪，人 们就知道用事件发生的“频率”来决定 事件的“概率”。19世纪人们用投针试
• 它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所 描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题 的近似解。。
蒙特卡罗方法
其中 >0为常数，则称X服从参数为 的指数 分布。 •指数分布的期望值为
•排队服务系统中顾客到达间隔、质量与可靠性 中电子元件的寿命通常服从指数分布。
例 顾客到达某商店的间隔时间服从参数为 10(分钟)的指数分布(指数分布的均值为10)
指两个顾客到达商店的平均间隔时间 是10分钟.即平均10分钟到达1个顾客. 顾客到 达的间隔时间可用exprnd(10)模拟。
2．产生mm*nn阶离散均匀分布的随机数 矩阵： R = unidrnd(N) R = unidrnd(N,mm,nn)
3.产生 m n 阶均值为 ， 标准差为 的正态分布的随机数矩阵： normrnd ( , ,m, n)
产生一个均值为 ，标准差的正态分布的随机数： normrnd ( , )
•当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和， 且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以 认为该对象服从正态分布。
4．产生 m n 阶期望值为的指数分布的随机数矩阵： exprnd (,m, n )
•若连续型随机变量X的概率密度函数为
1 x / e f ( x ) 0 x0 x0
proguji = 0.5557
复杂概率模拟 例6 在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排 （含两门火炮）为单位对我方进行干扰和破 坏．为躲避我方打击，敌方对其阵地进行了伪装 并经常变换射击地点． 经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的 指示有50％是准确的，而我方火力单位，在指示 正确时，有1/3的概率能毁伤敌人一门火炮，有 1/6的概率能全部消灭敌人． 现在希望能用某种方式把我方将要对敌人实施 的1次打击结果显现出来，利用频率稳定性，确定 有效射击(毁伤一门炮或全部消灭)的概率.
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蒙特卡罗方法
为了验证蒙特卡罗方法，我们考虑一个简化的模型：通过一个冷涡轮叶片的热传递。
下图是叶片的横截面：
内部冷却通道沿着虚线一截，可以给出：
金属
注意：MM T 金属叶片热的一边的温度
MC T 金属叶片凉的一边的温度
对这个问题，一维热传导模型可以写为：
()()gas gas TBC TBC MH TBC TBC
q
h T T k q T T L =−=−
()()M MH MC M MC cool cool k q T T L q
h T T =−=−
在一个确定的问题里，有四个未知量：，TBC T MM T ，MC T 和q
，我们可以利用阻力求解。
同样我们也可以写出下列的线性方程组： 001010440010
01gas gas gas TBC TBC
TBC TBC TBC MH M M MC M M cool cool cool h h T T k k L L T k k T L L q h T h −−⎡⎤⎢⎥−⎡⎤⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇐×⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥−⎣⎦
的线性方程组 输入量是：gas h ，，TBC k M k ，
cool h gas T ，，TBC L M L ，
cool T 对于一个确定的模拟，我们通常使用标称设计的参数初始值，假设是如下数据：
23000gas W h m = 21000cool W h m =
1300gas T =℃ 200cool T =℃
1TBC k W m =K 21.5M k W mK =
0.0005TBC L m = 0.003M L m =
模拟的结果如下：
835MH T =℃ 1114TBC T =℃
758MC T =℃ 525.5810W q m =×。