本科《工程数学》期末考试试卷及答案

本科《工程数学》考试试卷（A 卷、闭卷）

一、单项选择题 （每小题3分，共15分）

1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件 A=A1∪A2∪A3表示( )。

A. 全部击中.

B. 至少有一发击中.

C. 必然击中

D. 击中3发

2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。

A. X 和Y 独立。

B. X 和Y 不独立。

C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)

D. D(XY)=D(X)D(Y)

3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。

A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩

⎨⎧-=x x x f 。 B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x f

C. 0

021)(2

2

2)(<≥⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπ

σ D. 其它0

0)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，

4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , }5{2+≥=μY P P , 则有（ ）

A. 对于任意的μ, P 1=P 2

B. 对于任意的μ, P 1 < P 2

C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2

D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 5．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正 确的是（ ）

A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)

二、填空题 （每空3分，共15分）

1． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。

2．设A= ⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。

3．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正 常工作的概率为 。

4．设随机变量X 的概率密度函数为其它A

x x x f <<⎩

⎨⎧=002)(，则概率

=≥)2

1

(X P 。

5．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为

其它当0

,00),()43(>>⎩⎨⎧=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。

三、计算题 （每小题10分，共50分）

1．求函数t e t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β)，并由此证明：

t

e d t ββπωωβω-+∞

=+⎰2cos 0

22

2．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求 （1）收报台收到信号“1”的概率；

（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。

3．设二维随机变量),(Y X 的联合概率函数是其它0

,00),()42(>>⎩

⎨⎧=+-y x ce y x f y x

求：（1）常数c ；（2）概率P (X ≥Y )；（3）X 与Y 相互独立吗？请说出理

由。

4．将n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。

5．设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求

(1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX

四、证明题（10分）

设a=(a

1,a

2

,…,a

n

)T，a

1

≠0,其长度为║a║，又A=aa T,

(1)证明A2=║a║2A；

(2)证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值；

(3)A能相似于对角阵Λ吗？若能,写出对角阵Λ.

五、应用题（10分）

设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在[2000,4000]( 单位：吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。

本科《工程数学》考试答案（A 卷、闭卷）

一、单项选择题 （每小题3分，共15分）

1．B 2．C 3．D 4．A 5．A

二、填空题 （每空3分，共15分）

1. 9

2. 1 3 1–(1–P)3 4. 3/4 5. 12

三、计算题 （每小题10分，共50分） 1．解答：函数f(t)的付氏变换为：

F (w )=dt e dt e

dt e

e

e

t j t

j t

j t t ⎰⎰⎰+∞

--+∞

+--+∞

∞

---+==ℜ0

)(0

)(|||

|][ϖβϖβϖββ

=

2

2211ϖββ

ϖβϖβ+=-++j j

由付氏积分公式有

f(t)=[1

-ℜF(w )]=

ϖϖπ

ϖd e F t

j ⎰

+∞

∞

-)(21

=

ϖϖϖϖββ

π

d t j t ⎰+∞

∞

-++)sin (cos 221

22 ==

ϖϖ

βϖπβ

ϖϖϖ

ββπ

d t

d t ⎰⎰+∞

+∞∞-+=+0222

2cos 2cos 221

所以

t

e d t ββπωωβω-+∞

=+⎰2cos 0

22 2．解答: 设 A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1”

(1)由全概率公式 有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) =0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 (2)由贝叶斯公式 有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) =0.8x0.6/0.52=12/13 3．解答:（1）由联合概率密度的性质有