维纳滤波研究

维纳滤波研究

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摘要：滤波问题，指的就是从获得的信号与干扰中尽可能地滤除干扰，分离出所期望的信号。维纳滤波是基于最小均方误差的基础上的维纳滤波器设计，使其与输入信号滤波后的输出在最小平方意义下与期望输出最佳逼近，寻求最小均方误差的实质其实就是解维纳-霍夫方程。关键词：维纳滤波；最小平方准则；维纳-霍夫方程

Research of Wiener Filtering

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Abstract：Filtering issue is to dispose the signal that has been interfered with, to separate the anticipant signal. The dissertation designs a wiener filter basing upon minimum mean-square error. In fact, the essential of seeking minimum mean-square error is solving the Wiener-Hopf equation. Key words：Wiener Filtering; Minimum Mean-Square; Wiener-Hopf Equation

引言

滤波技术是信号分析、处理技术的重要分支，无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传递是至关重要的。信号分析检测与处理的一个十分重要的内容就是从噪声中提取信号，实现这种功能的有效手段之一是设计一种具有最佳线性过滤特性的滤波器，当伴有噪声的信号通过这种滤波器的时候，它可以将信号尽可能精确地重现或对信号作出尽可能精确的估计，而对所伴随噪声进行最大限度地抑制。维纳滤波器就是这种滤波器的典型代表之一。

1维纳滤波理论基础

1.1 维纳滤波背景介绍

维纳滤波理论是由数学家N∙维纳(Norbert Wiener, 1894~1964)于第二次世界大战期间提出的。这一科研成果是这一时期重大科学发现之一，他提出了线性滤波的理论和线性预测的理论，对通信工程理论和应用的发展起了重要的作用。维纳滤波就是为纪念他的重要贡献而命名的。

维纳是著名的数学家，后来被誉为信息理论家。维纳的著作不仅是一个很好的创见，而且具有结合工程的实际意义，是线性滤波理论研究的一个重要开端。

在第二次世界大战中，由于雷达的发明以及防空炮火控制的任务，把大量有修养的数学家和物理学家都动员到信息科学这个研究领域中来了，这个时候人们活跃于这个领域，并有许多重大的科学创造。数学家维纳对于滤波理论的研究成果，就是这时候重大的科学创见之一。

通讯与控制中的滤波问题，指的是从获得的信号与干扰中尽可能地滤除干扰，分离出所期望的信号，或者说，是通过对一系列带有误差的实际测量数据的处理，得出证明：在一定条件下，处在统计平衡的时间序列的时间平均等于相平均。维纳正是基于这点提出了他著名的滤波和预测理论。滤波问题就是尽可能地恢复一个被噪声干扰了的信号的问题。实质上，就是预测一个被噪声干扰了的时间序列的问题，因此，滤波问题也可以视为一个预测问题。数学上讲，预测就是从一个时间序列的过去的数据估算整个序列的统计参数。

工程上的滤波问题也是理论上的一类统计估计问题，最佳线形滤波是最佳线性估计的方法之一，在最佳估计中最小均方误差估计是最有现实意义的。估计理论的课题是众多的，最小均方误差估计只是估计理论的一个小的分支。然而，它却是最重要又最富有实际意义的一个分支，对系统所加的线性条件起初是为了简化理论分析，非线性滤波问题是在理论处理上比线性滤波问题要困难和复杂的多，但是后来证明：在一定条件下，在最小均方误差准则下得到的最佳线性系统是所有系统中的最佳者。

近代滤波理论的发展对于信息科学的发展是有重大贡献的，它概括了通讯与控制中信息过滤的统计本质。这是由于滤波理论与通讯和控制中的许多课题有密切的联系，从而赋予了滤波理论以极大的生命力，滤波理论本来是一个小的研究领域，但是它联系着许多大的广泛的研究领域，因此它的价值已经超出了它起源时自身的价值，也就是它能够继续活跃地向前发展的保证。

几十年来滤波理论已经发展成了一个广阔的研究领域，可以有许多不同的方法来介绍它的内容，有的可以选择不同的重点。本文主要是关于维纳滤波的，介绍维纳滤波的基本概念以及讲其维纳滤波的应用。

从数学的观点来说滤波理论是统计学中的估计理论的一个重要分支，从工程的观点来看它又是系统工程研究的一个重要组成部分[1]。

1.2 维纳滤波原理介绍

图1.1 维纳滤波器原理

在生产实践中，我们所观测到的信号都是受到噪声干扰的。如何最大限度的抑制噪声，并将有用信号分离出来，是信号处理中经常遇到的问题，信号处理的目的就是要得到不受干扰影响的真正信号。相应的处理系统称为滤波器。这里，我们只考虑加性噪声的影响。

我们的目的是为了得到不含噪声的信号是s(n)，也称为期望信号，若滤波系统的单位脉冲响应为h(n)，系统的期望输出用y d(n)表示，y d(n)应等于信号的真

值s(n)；系统的实际输出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或估计，用公式表示为y d(n)=s(n)， y(n)=ŝ(n)。因此，对信号x(n)进行处理，可以看成是对期望信号的估计，这样可以将h(n)看作是一个估计器，也就是说，信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。

若已知x(n),x(n−1),…,x(n−m)，要估计当前的信号值ŝ(n)，称为过滤或滤波，维纳(Wiener)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号的过滤问题，并以估计的结果与信号真值之间的均方误差最小作为最佳准则。

设计维纳滤波器的任务，实际上就是选择h(n)，使其输出信号y(n)与期望信

号d(n)误差的均方值为最小。根据维纳滤波器时域求解的方法，可以得到：

+∞

y(n)=h(n)∗x(n)=∑ℎ(m)x(n−m), n=0,1,2…

m=0

设期望信号为d(n)，误差信号为e(n)，则

e(n)=d(n)−y(n)=s(n)−y(n)

E[|e(n)|2]=E[|d(n)−y(n)|2]

要使均方误差最小，需满足

E[|e(n)|2]

=0

ðℎj

进一步导出维纳-霍夫方程为：

M−1

r xd(k)=∑ℎ(m)r x x(k−m)=ℎ(k)∗r x x(k), k=0,1,2…

m=0

将维纳-霍夫方程写成矩阵形式为：