2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总--将军饮马问题及其11种变形汇总

2020 年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总

---- 将军饮马专题古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归问题”，“阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：

1. 定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题．

2．确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．

3. 定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．

4．全局最短路径问题：求图中所有的最短路径．

问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”。

涉及知识】“两点之间线段最短” ，“垂线段

最短”

，“三角形三边关系” ，“轴

对称”

平移”．

出题背景】直线、角、三角形、菱形、矩形、正

方形、

圆、坐标轴、抛物线等．

解题思

路】

“化曲为直”

题型一：两定一动，偷过敌营。

例1：如图， AM⊥ EF， BN⊥EF，垂足为 M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝ 4m， P 是 EF 上任

意一点，则 PA＋ PB的最小值是 m．

分析：

这是最基本的将军饮马问题， A， B是定点， P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点 A关于 EF的对称点 A'，根据两点之间，线段最短，连接A'B，此时A'P＋PB即为 A'B，最短．而要求 A'B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．

解答：

作点 A关于 EF的对称点 A'，过点 A'作A'C⊥BN的延长线于 C．易知A'M＝AM＝NC ＝5m，BC＝9m，A'C ＝MN＝ 12m，在 Rt△A'BC中， A'B＝15m，即PA＋PB的最小值是 15m．

例2：如图，在等边△ ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC，E是AC 上的一点， M是AD 上的一点，

且 AE = 2 ，求 EM+EC 的最小值

解：点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，连接 BE，交 AD 于点 M ，则 ME+MD 最小，过点 B 作 BH ⊥AC 于点 H，

则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3 在直角△ BHE 中，BE = BH2 + HE2 = (3 3)2 + 12 = 2 7

对应练习题

1．如图，在△ ABC 中， AC=BC=2，∠ ACB=90°， D 是 BC 边的中点， E 是 AB 边 上一动点，则 EC+ED 的最小值是 。

2.在菱形 ABCD 中，对角线 AC=6 ，BD=8 ，点 E 、F 分别是边 AB 、BC 的中点，点 P 在 AC 上运动，在运动过程中，存在 PE+PF 的最小值，则这个最小值是 .

3．如图，点 C 的坐标为（ 3， y ），当△ ABC 的周长最短时，求 y 的值。

A （3，0）

B （2，0）

4．如图，正方形 ABCD 的面积是 12，△ ABE 是等边三角形，点

线 AC 上有一点 P ，则 PD+PE 的最小值为

E 在正方形 ABCD 内，在对角

B

题型三：两动一定，无路可逃。

例1: P 为∠ AOB内一定点， M，N 分别为射线 OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠ MPN ＝80°．

（1）∠ AOB＝。

（2）求证： OP平分∠ MPN

分析：

这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M， N的位置找到，再来思考∠ AOB 的度数，

显然作点 P关于 OA的对称点 P'，关于 OB的对称点 P'，'连接 P'P'，'其与 OA交点即为 M， OB交点即为N，如下图，易知∠ DPC与∠ AOB互补，则求出∠ DPC的度数即可．

解答：

（1）法1：如图，∠ 1＋∠ 2＝100°，∠ 1＝∠ P'＋∠ 3＝2∠3，∠2＝∠P'＋

'∠4＝2∠4，则

∠3＋∠ 4＝50°，∠ DPC＝130°，∠ AOB＝ 50°．

再分析：

考虑到第二小问要证明 OP平分∠ MPN，我们就连接 OP，则要证∠ 5＝∠ 6，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接 OP'，OP'，'则∠ 5＝∠ 7，∠ 6＝∠ 8，问题迎刃而解．

解答：

（1）法2：易知 OP'＝OP'，'∠ 7＋∠ 8＝∠ 5＋∠ 6＝80°，∠ P'OP'＝

'100°，由对称性知，∠ 9

＝∠11，∠10＝∠ 12，∠ AOB＝∠ 9＋∠ 10＝50°

2）由 OP'＝ OP'，'∠ P'OP'＝'100°知，∠ 7＝∠ 8＝ 40°，∠ 5＝∠ 6＝

40°， OP平分∠ MPN．

例2：如图，在五边形 ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠ E＝90°，在BC、DE上分别找一点 M、N，使得△ AMN的周长最小时，则∠ AMN＋∠ ANM的度数为．

分析：

这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作 A点关于 BC、DE的对称点 A′、A″，连接 A′A″，

与BC、 DE的交点即为△AMN周长最小时 M、 N的位置．

解答：

如图，∵∠ BAE＝136°，∴∠ MA′A＋∠ NA″A＝ 44°由对称性知，∠MAA′＝∠ MA′A，∠ NAA″＝∠ NA″A，∠ AMN＋∠ ANM＝ 2∠ MA′A＋ 2∠ NA″A＝88

对应练习题

1. 如图，∠ AOB=30°，∠ AOB内有一定点 P，且 OP=10，在 OA上有一点 Q，OB上有一点 R。

若△ PQR周长最小，则最小周长是多少？