2.2《三角形中的几何计算》课件(北师大版必修5)

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高中数学第二章《解三角形》三角形中的几何运算课件北师大版必修5

2、三角函数式的化简；例2：在△ABC中，化简bcosC+ccosB. 小结二：具体问题具体分析，一般来说也有两个方向，边转化为角或角转化为边，再进行化简。

3、证明三角恒等式；例3：在△ABC中, 求证 a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
：

小结三：由边向角转化后，要熟练运用三角函数公式，有时又要由角转化为边；三角形中的有关证明问题，主要围绕边与角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类证明问题就是有了目标的含边与角的式子的化简问题。
四、练习 I. 课内练习：在△ABC中，证明下列各式： ①(a2-b2-c2)tanA+(a2-b2+c2)tanB=0 cos 2 A cos 2 B 1 1 2 2 2 2 a b a b II. 课外练习： 1、在△ABC中，BD为∠B的平分线，求证：AB:BC=AD:DC 2 、在 △ ABC 中已知 (sinA+sinB)2sin2C=3sinAsinB， sin A sin( A B) 求证：A+B=120°
北师大版高中数学必修 5第二章《解三角形》
课题：三角形中的几何运算
知识目标：1、三角形形状的判断依据； 2、利用正弦、余弦定理进行边角互换。能力目标：1、进一步熟悉正、余弦定理； 2、边角互化； 3、判断三角形的形状；

4 、证明三角形中的三角恒等式。

教学重点：利用正弦、余弦定理进行边角互换。教学难点：1、利用正弦、余弦定理进行边角互换时的转化方向； 2、三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系。

高中数学第二章解三角形 2 三角形中的几何计算课件北师大版必修5.pptx

15
类型二利用正弦、余弦定理求角度问题例 2 在△ABC 中，已知 AB＝436，cos∠ABC＝ 66，AC 边上的中线 BD ＝ 5，求 sin A 的值. 解答
18
反思与感悟
运用正弦、余弦定理解决有关问题时，需根据需要作出辅助线构造三角形，再在三角形中运用定理求解.
21
跟踪训练 2 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c.设 a， b，c 满足条件 b2＋c2－bc＝a2 和bc＝12＋ 3，求 A 和 tan B 的值. 解答
①画出图形
；
②理清已知条件，要求的目标；
③根据条件目标寻求通过解三角形凑齐缺失条件.
5
梳理
对于平面图形的长度、角度、面积等计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.6Biblioteka 知识点二平面图形中的最值问题
30
当堂训练
31
1.三角形的两边长为3 cm、5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝
0的根，则此三角形的面积是答案解析
√A.6 cm2
B.125 cm2
C.8 cm2
D.10 cm2
1 2 3 432 5
2.在△ABC中，周长为7.5 cm，且sin A∶sin B∶sin C＝4∶ 5∶6，下列
27
反思与感悟
解本题的关键是灵活运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，并能熟练地运用公式进行求值.
28
跟踪训练3 (1)在△ABC中，若已知三边为连续整数，最大角为钝角，求最大角的余弦值；解答
设三边长分别为a－1，a，a＋1，由于最大角是钝角，所以(a－1) 2＋a2－(a＋1) 2<0，解得0<a<4.又因为a为整数，所以a＝1或2或3. 当a＝1时，a－1＝0，不合题意舍去；当a＝2时，三边长为1,2,3，不能构成三角形；当a＝3时，三边长为2,3,4，设最大角为θ，则

高中数学第一部分第二章 §2 三角形中的几何计算课件北师大版必修5

[例 2] 如图，在△ABC 中，BC＝5， 31 AC＝4，cos ∠CAD＝且 AD＝BD，求 32 △ABC 的面积．
[思路点拨] 先由余弦定理求出 CD 长，再利用正弦 1 定理求角 C 的正弦值，最后根据 S＝ BC· AC· sin C 求△ABC 2 的面积．
[精解详析] 设 CD＝x，则 AD＝BD＝5－x，在△CAD 中，由余弦定理可知： 5－x2＋42－x2 31 cos ∠CAD＝＝ . 2×4×5－x 32 解得 x＝1. AD CD 在△CAD 中，由正弦定理可知：＝， sin C sin ∠CAD
(2)由(1)知∠ADB＝60° ，在△ABD 中，AD＝10，B＝30° ，∠ADB＝60° ， AB AD 由正弦定理得＝， sin ∠ADB sin B 3 ADsin ∠ADB 10sin 60° 10× 2 ∴AB＝＝＝＝10 3. sin B sin 30° 1 2
[一点通]
3 (2)由 BA · BC ＝3，得 accos B＝3，ac＝cos B＝5，
3 6 2 2 由余弦定理：b ＝a ＋c －2ac× 得 ac＝a ＋c － ac， 5 5
2 2 2
21 a ＋c ＋2ac＝ ac＝21， 5
2 2
∴(a＋c)2＝21. ∴a＋c＝ 21.
(2)设 BA · BC ＝3，求 a＋c 的值．
解：(1)由已知 b2＝ac，及正弦定理得 sin2B＝sin Asin C 3 4 由 cos B＝，则 sin B＝ . 5 5 sin Ccos A＋cos Csin A sin A＋C cos A cos C ＋＝＝＝ sin A sin C sin Asin C sin Asin C sin B 1 5 ＝＝ . sin Asin C sin B 4

高中数学第二章解三角形第2节三角形中的几何计算课件北师大版必修5

阶
阶
段
段
一
三
§2 三角形中的几何计算
学
阶段二
业分层测
评
1．进一步理解正、余弦定理中所蕴含的边角之间的关系．(易混点) 2．掌握通过正、余弦定理进行边角转化的方法，以及解决有关三角形中的几何度量问题．(重点) 3．深刻体会数形结合思想、方程思想以及转化与化归思想在三角形度量问题中的作用．(难点) 4．了解正弦定理与余弦定理在三角形中的重要作用，培养学生灵活运用知识的能力．
[基础·初探]
教材整理三角形中的几何计算
阅读教材 P54～P55“练习”以上部分完成下列问题．三角形中的几何计算主要涉及长度、角度、面积问题．
(1)在△ABC 中，a＝2 2，A＝45°，则△ABC 外接圆的半径 R 等于________．
(2)在△ABC 中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，则 S△ABC＝________. 【解析】 (1)2R＝sina A＝2 22＝4，∴R＝2.
【解】 (1)设三角形三内角 A，B，C 对应的三边分别为 a，b，c， ∵sin B＝cos Asin C， ∴cos A＝ssiinn CB，由正弦定理有 cos A＝bc，又由余弦定理有 cos A＝b2＋2cb2c－a2， ∴bc＝b2＋2cb2c－a2，即 a2＋b2＝c2. 所以△ABC 为直角三角形，且 C＝90°.
本题体现了正弦定理和余弦定理的综合应用，先是由正弦定理求 a、c，再由余弦定理求 b.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系都是解三角形的重要工具，解三角形时要注意根据题目的条件合理选择．
[再练一题] 2．在△ABC 中，已知 sin B＝cos A sin C，A→B·A→C＝9，△ABC 的面积等于 6. 【导学号：67940039】 (1)求 C； (2)求△ABC 的三边之长．

2.2三角形中的几何计算课件(2013-2014年北师大版必修五)

课前探究学习课堂讲练互动
题型三
三角形中的综合问题
【例3】(本题满分 12 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别 3 为 a，b，c，设 S 为△ABC 的面积，满足 S＝ (a2＋b2－c2)． 4 (1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的最大值．审题指导本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．
π C.A，B，C≠ 2
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一
计算三角形的面积
B，且其对边分别为 a，【例1】已知角 A， C 为△ABC 的三个内角， 1 b，c，若 cos Bcos C－sin Bsin C＝ . 2 (1)求角 A； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
由 sin 2A＝sin 2B 得到 2A＝2B，而忘证了 2A＝π －2B，造成错选 A；由 sin 2A＝sin 2B 得 2A＝2B 或 2A＝π π －2B，即 A＝B 或 A＋B＝，但看成了等腰直角三角形，错 2 选 B.前者是正弦函数值相等两角关系不清；后者是对“或” 的理解不深入或读题不认真．
3 1 ＝sin A＋ cos A＋ sin A 2 2 ＝
π 3sinA＋ ≤ 6 2π 30<A< (9 3
分)
课前探究学习
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π 当 A＝时，即△ABC 为等边三角形时取等号(11 分) 3 所以 sin A＋sin B 的最大值为 3.(12 分)
课前探究学习课堂讲练互动
2 2 2 1 × ＋ 3 2 3
题型二计算线段的长度
【例2】如图，在△ABC中，已知， B＝45°，D是BC边上的一点， AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB 的长． [思路探索] 解答本题可先由余弦定理求cos C，然后由同角三角关系求出sin C，最后由正弦定理求出AB的长．

北师大版高中数学必修五2.2 三角形中的几何计算课件(共44张PPT)

知识点三
几个常用结论
在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边 π (1)若sin 2A＝sin 2B，则 A＝B或A＋B＝ 2 ； (2)若cos A＝cos B，则 A＝B ；
(3)若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；
(4)若a2＝b2＋c2，则△ABC为直角三角形；
(5)若a2<b2＋c2且b2<a2＋c2且c2<a2＋b2，则△ABC为锐角三角形 .
解 1 3 由题意可知2absin C＝ 4 ×2abcos C.
π 所以 tan C＝ 3，因为 0<C<π，所以 C＝3.
解析答案
(2)求sin A＋sin B的最大值.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练4
已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m
＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2). (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
1 bcsin A 上的高CD＝bsin A ，△ABC的面积S＝ 2 .
答案
(2)三角形的面积与内切圆已知△ABC内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则△ABC的面积为
1 r ( a ＋ b ＋ c ) S＝ 2
.
如图，设△ABC内切圆圆心为O，连接OA，OB，OC，
1 1 1 1 则 S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC＝2cr＋2br＋2ar＝2(a＋b＋c)r.
答案
60°或120°
解析 1 3 S＝2bcsin A＝2，
1 3 3 ∴2· 2· 3· sin A＝2，∴sin A＝ 2 ，
又∵A∈(0°，180°)，∴A＝60°或120°.

高中数学北师大版必修五《2.2三角形中的几何计算》课件

斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”用
今天的符号来表示即是 S＝学的知识证明这个结论吗？
14[a2c2－c2＋a22－b22]，你能用所
4
单击此处编辑母版标题样式
• 单击•此三处角形编中辑的母常版用文结本论样式
• 二级 •• (1三)级A＋B＋C＝__1_8_0_°___；
• 四级
• 三级
• 四[解级析] bccosA＋cacosB＋abcosC ＝• b五c·级b2＋2cb2c－a2＋ca·c2＋2ac2a－b2＋ab·a2＋2ba2b－c2 ＝a2＋b22＋c2＝32＋422＋62＝621.
13
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二级
• 三级
• 四级 • 五级
• 单击此条处件，编取辑B母C版的文中本点样E，式连结 DE，则 DE∥AB，所以∠ABE＋
•
二级∠BED＝180°，根据题目中的条件
• 三级
cos∠ABC＝
66，进而求得
• 四级
cos∠B• E五D级＝－
66.又由
DE
綊12AB，得
DE＝12×4 3 6＝2 3 6.在△
BDE 中，利用余弦定理可求出 BE，从而 BC 可求．再在△ABC 中，利用余弦定理可求出 AC，再利用正弦定理即可求出 sinA 的值．
• 二级由正弦定理，得 • 三•级四12＋级 3＝bc＝ssiinnCB＝sin1s2in0B°－B
• 五级
＝sin120°cosBsi－nBcos120°sinB＝ 23ta1nB＋12，从而 tanB＝12.
26
单击此处编辑母版标题样式解法二：由余弦定理，得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12.

高中数学北师大版必修五2.2【教学课件】《三角形中的几何计算》

同理，在△ABD 中，AB＝5，sin ∠BAD ＝
，∠ADB ＝45°，
解得 BD＝
9 2 2
北京师范大学出版社 | 必修五
变式训练 1：
在△ABC 中，已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求 AB 的长。
解在△ADC 中， AD=10,AC=14,DC=6,
0 ，由ABP CBP 90 90°得：得：
2 2 x 3 x 5 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 cos ABP cos CBP 1 即有： 4x 4x
（*）
解*得所求的边长为
52 2 。
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例 3 在 ABC 中，求证：
(3)已知两角和一边 (4)已知两边及其中一边的对角
类型(3)在有解时只有一解，类型(4)可有两解、一解或无解
1 ＝ ac sin B 2 1 ＝ ab sin C 2
(5)已知两边及其夹角
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例题解析
例1 如图 1 所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求 BD 的长。
（2）根据余弦定理的推论，
显然 k 0，所以
b2 c 2 a 2 c 2 a 2 b2 a 2 b2 c2 右边=2 bc ca ab 2 bc 2 ca 2 ab
a 2 b2 k 2 sin 2 A k 2 sin 2 B 左边 2 c k 2 sin 2 C sin 2 A sin 2 B = =右边 2 sin C
且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧。

2.2 三角形中的几何计算课件(北师大版必修五)

解三角形综合问题的方法
（1）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起. （2）此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理，三角形面积公式为工具综合考查，解题时要正确“翻译”题目条件，选择合适的公式或定理.
【例3】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝ 3 (a2+b2-c2).
1.用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些三角形几何计算问题.(重点) 2.在理解题意的基础上将实际问题数学化.(难点)
3.利用正、余弦定理进行边角互化及正、余弦定理与有关
性质的综合应用是本节课的难点.（难点、易混点）
一、正、余弦定理可解决的问题
1.正弦定理可解决的两类问题：
（1）已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形.
3
c bsinC sinB 3 6 2 2 3 8. 3 2
2
2
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC.
3 1 1 2 2 32 2 . 2 3 2 3 6
1 bcsinA 6 2 8 3. 2
故所求面积 S△ABC=
三角形中的综合问题
的高) 2.S= 1 absinC= 1 bcsinA= 1 acsinB
2 2 2 3.S= 1 r(a+b+c)（r为内切圆半径） 2 4.S= p p a p b (p c) （p= a b c 为三角形的半周长） 2

三角形中与长度有关的问题
三角形中与长度有关的问题的求解思路
2 2 2
又∠ADB＋∠ADC=180°

北师大版高中数学必修五课件§2三角形中的几何计算

由正弦定 (1) m∥n ―→ asin A＝bsin B ―→ 理得a＝b ―→ △ABC为等腰三角形
由余弦定 (2) m⊥p ―→ a＋b＝ab ―→ 理求出ab ―→ S△ABC
[解题过程] (1)∵m∥n， ∴asin A＝bsin B，即 a·2aR＝b·2bR，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径， ∴a2＝b2，a＝b， ∴△ABC 为等腰三角形．
2.三角形内角和定理
在△ABC 中
(1)A＋B＋C＝ π ； (2)sin (A＋B)＝ sin C，cos(A＋B)＝－cos C ， cos
A＋2 B＝ sin C2，
sin
A2＋B＝ cos
C 2.
3．三角形的面积公式
(1)用边 a 及 a 上的高 ha 表示为 S＝21aha； 1
(2)用两边 a，b 及夹角 c 表示为 S＝ 2absin C； (3)用三边 a，b，c 及内切圆半径 r 表示为 S＝
ab＝(a＋b)2－ab＝(2 3)2－2＝10，
∴AB＝ 10.
(3)S△ABC＝12absin
C＝21absin
120°＝12×2×
23＝
3 2.
已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若 m∥n，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若 m⊥p，边长 c＝2，角 C＝π3，求△ABC 的面积．
即 142＝x2＋102－20xcos 60°，∴x2－10x－96＝0，
∴x＝16(x＝－6 舍去)，即 BD＝16.
在△BCD
中，由正弦定理 sin
∠BCCDB＝sin∠BDBCD，

高中数学北师大版必修5《第2章2三角形中的几何计算》课件

所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.
故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为
1
π
2A1B·AD·sin6＝1.
2AC·AD
又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC＝2 3，
所以△ABD 的面积为 3.
16
三角形面积公式的应用 (1)三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角已知或可求，或三角形中哪个角的正弦值可求． (2)在解决三角形问题时，面积公式 S＝12absin C＝12acsin B＝12 bcsin A 最常用，因为公式中既有角又有边，容易和正弦定理、余弦定理联系起来应用．
[提示] π3≤A＜π. (2)在△ABC 中，若 A＝π3，则角 B 的取值范围是什么？ [提示] 0＜B＜23π.
5
1．在△ABC 中，a＝2，A＝30°，则△ABC 外接圆的半径为( )
A．4
B．2
C．2 3
D． 3
B [由正弦定理得 2R＝sina A＝21＝4，故 R＝2.] 2
6
2．在△ABC 中，若 a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC 的面积等于( )
26
(2)因为 b≥a，所以 A＝π3. 由正弦定理得sinb B＝sinc C＝sina A＝2，得 b＝2sin B，c＝2sin C，故 2b－c＝4sin B－2sin C ＝4sin B－2sin23π－B＝3sin B－ 3cos B＝2 3sinB－π6. 因为 b≥a，所以3π≤B＜23π，则6π≤B－π6＜π2，所以 2b－c＝2 3sinB－π6∈[ 3，2 3)．
20
【例 3】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，
且coas
A＋cobs

高中数学第2章解三角形22三角形中的几何计算课件北师大版必修5

第2页
1．与传统的三角形面积的计算方法相比，用两边及其夹角正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势？
第3页
答：主要优势是不必计算三角形的高，只要知道三角形的 “基本量”就可以求其面积．
第4页
2．求三角形面积的常用公式．答：(1)S＝21aha(a 为 BC 的边长，ha 为 BC 边上的高)． (2)S＝a4bRc(R 是三角形外接圆的半径)． (3)S＝2R2sinAsinBsinC(R 是三角形外接圆的半径)．
第8页
【解析】 ∵tanB＝12，∴0<B<π2 .
∴sinB＝
55，cosB＝2 5
5 .
又∵tanC＝－2，∴π2 <C<π.
∴sinC＝2
5 5，cosC＝－
5 5.
第9页
则 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝ 55×(－ 55)＋255×255＝35.
∵sinaA＝sibnB，∴a＝bssiinnBA＝
∴S＝12absinC＝2
3 3.
第15页
题型二正、余弦定理的综合问题与方程思想例 2 在四边形 ABCD 中，已知 AD⊥CD，AD＝10，AB＝ 14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求 BC 的长．
第16页
【思路分析】欲求 BC，在△BCD 中，已知∠BCD，∠BDC 可求，故需再知一条边；而已知∠BDA 和 AB，AD，故可在△ABD 中，用正弦定理或余弦定理求得 BD.这样在△BCD 中，由正弦定理可求 BC.
第31页
2．等腰三角形的周长为 8，底边为 2，则底角的余弦值等于
()
2 A. 4
B．2 2
1

2021-2022学年北师大版必修五第二章 2 三角形中的几何计算课件(95张)

【解析】选C.设△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,作AD⊥BC于D,令 ∠DAC=θ,如图所示:
在△ABC中,B= ,AD⊥BC,则△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形,BC边上的
4
高为AD=1 BC=a ,
3
3
a
所以BD=ADa= ,CD2=a ,在Rt△ACD中cos θ= AD
cos
x2
A=
x2
4 x2
3,
1
2x 2
3
则sin A= 2 2.
3
在△ABC中,由正弦定理得
x
BC
,
43 3
x
sin C sin A 2 2
解得sin C= 6.
3
6
答案: 6
6
类型三平面几何中的面积及最值问题(数学运算、逻辑推理)
角度1 三角形面积求解问题
【典例】(2020·启东高一检测)在△ABC中,AB=1,AC= 3 ,BC=2,D为△ABC所在
平面内一点,且 BD 2AB AC ,则△BCD的面积为
()
A.2 3 B. 3 C. 3 D. 3 3
2
2
【思路导引】由题意作图得矩形,利用三角形面积公式求解即可.
【解析】选D.由题可作如图所示的矩形,则易知∠BCA= ,则∠BCD= ,则
6
3
sin∠BCD= 3,所以S△BCD=
2
1×BC×DC×sin∠BCD=
所以BC= 16 ·sin 30°=
sin 135
.8 2
【解题策略】 1.三角形的高的计算公式在△ABC中,边BC,CA,AB对应的边长分别为a,b,c,边上的高分别记为ha,hb,hc,则 ha=bsin C=csin B,hb=csin A=asin C,hc=asin B=bsin A.

2.2《三角形中的几何计算》课件(北师大版必修5)

高中数学 第二章《解三角形》三角形中的几何运算课件 北师大版必修5

高中数学 第二章 解三角形 2 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5.pptx

高中数学 第一部分 第二章 §2 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5

高中数学 第二章 解三角形 第2节 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5