八年级数学平行线间的距离及平行四边形判定与性质的综合

3.在▱ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想
要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条
件，这个条件不可以是（ B ）
A．AF=CE
B．AE=CF
C．∠BAE=∠FCD
D．∠BEA=∠FCE
4.如图，▱ABCD中，E，F分别为BC，AD边上的点， 要使四边形BEDF为平行四边形，需添加一个条件: __A_E_=_F_C_或__∠__A_B_E_=_∠__C_D_F_或__B_E_=_D_F_（__答__案_不_. 唯一）
第六章 平行四边形
6.2 平行四边形的判定
第3课时 平行线间的距离及平行四边形 判定与性质的综合
学习目标
1.掌握平行线间的距离的概念及性质； 2.运用平行四边形的性质计算和证明；（重点） 3.能够综合运用平行四边形的判定定理和性质. （难点）
导入新课
情境引入
在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木 是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流.
则图中平行四边形的个数是（ ） D A．13 B．14 C．15 D．18
【解析】根据平行四边形的定义：两组对边 分别平行的四边形是平行四边形， 如图，则图中的四边形AEOM、AGPM、 ABNM、EGPO、EBNO、GBNP、MOFD、 MPHD、MNCD、OPHF、ONCF、PNCH、 AEFD、AGHD、ABCD、EGHF、EBCF和 GBCH都是平行四边形，共18个． 故选D．
二 平行四边形性质与判定的综合运用 问题 四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证 四边形ABCD 是平行四边形.
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是
A
D
平行四边形，
E
B
C
F ∴AD =// EF，EF =// BC.
∴AD =// BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
提示:要由其中的一个或多个平行四边形，得出四边形 中边角的条件，判定其他四边形也是平行四边形
BD⊥b，垂足分别为C,D.求证：AC=BD.
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD， a
A
B
∴∠1=∠2=90°. ∴AC∥BD.
b
1
2
C
D
∴AB∥CD， ∴四边形ACDB是平行四边形.
∴AC=BD.
归纳总结
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任 意一点到另一条直线的距离都相等(如图：AC=BD), 这个距离称为平行线之间的距离.
例4 如图，在 ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于 F，连接AF，CE． 求证：AF=CE．
证明：∵四边形ABCD是平行四 边形
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF． 又∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，
在△ABE和△CDF中， ∠ABE＝∠CDF， ∠AEB＝∠CFD， AB＝CD ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）． ∴AE=CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=CE．
例2 已知，如图，在平Βιβλιοθήκη Baidu四边形ABCD中，BN=DM， BE=DF．求证：四边形MENF是平行四边形
证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠MDF=∠NBE． ∵DM=BN，DF=BE， ∴△MDF≌△NBE(SAS). ∴MF=NE，∠MFD=∠NEB． ∴∠MFE=∠NEF ∴FM∥EN． ∴四边形MENF是平行四边形.
讲授新课
一 平行线之间的距离
合作探究
如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其 中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的 垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．
经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等 (从图中也可以看到这一点)．
猜想：平行线间距离处处相等.
理论证明
如图，直线a//b，A,B是直线a上任意两点，AC⊥b，
5.如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点， 对角线AC分别交BE，DF于点G、H． 求证：AG=CH．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，
∵E、F分别为AD、BC边的中点，
∴AE=DE=
12 AD，CF=BF=
1 2
BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
夹在两条平行线间的平行 线段处处相等
例3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列 四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③ ∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定
四边形DEBF是平行四边形的有（ B）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】由平行四边形的判定方法可知：若是四 边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平 行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有① ③④可以，故选B．
(简记为：两条平行线间的距离处处相等）.
思考：两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、
点到线之间的距离有何区别与联系？
A
B
A
a
b B
点到直线的距离只有一条，即过直线外点作直 线的垂线段的长度；而平行线的距离有无数条即一 直线任一点都可以得到一条两平行直线的距离.
典例精析
例1 如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5， BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积 为 10 .
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF， ∴∠AEG=∠ADF， ∴∠AEG=∠CFH， 在△AEG和△CFH中，
∠EAG＝∠FCH AE＝CF ∠AEG＝∠CFH ， ∴△AEG≌△CFH（ASA）， ∴AG=CH．
课堂小结
性质
对边平行,对边相 等，对角相等
平行四 边形
判定
五种判定方法
【解析】∵四边形EBFD要为平行四边形． ∴∠BAE=∠DCF，AB=CD 在△AEB与△CFD中， AB＝CD ∠BAE＝∠DCF AE＝CF ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴AE=FC ∴DE=BF；
∴四边形EBFD为平行四边形． ∴可添加的条件是AE=FC，同理还可添加 ∠ABE=∠CDF． 故答案为：AE=FC或∠ABE=∠CDF或BE=DF （答案不唯一）
D 分析：根据平行线之间的距离处处相等. E
解析：设高为h,则S△ABD=
1 2
·BD·h=16,h=412 ,
1 2
C A
B
所以S △ACE= ·AE·h= ×5 ×4=10.
思考：若垂线段改为夹在两条线段间的平行线段呢？ 它们是否相等呢？
由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四 边形性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等.
当堂练习
1.(1)在□ABCD中，∠A=150°，AB=8cm,BC=10cm,
则S □ABCD= 40cm2 .
提示：过点A作AE⊥BC于E，然后利用 勾股定理求出AE的值.
(2)若点P是□ABCD上AD上任意一点，那么△PBC的
面积是 20cm2 .
提示：△PBC与□ABCD是同底等高.
2.如图，▱ABCD 中． EF∥GH∥BC，MN∥AB，