动点问题最值
动点问题最值
动点问题（最值）1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．2.如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜103）秒．解答如下问题：（1）当t为何值时，PQ∥BO？（2）设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．3.如图，在O A B C中，点A在x轴上，∠A O C=60o，O C=4c m．O A=8c m．动点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时．．从点O出发，以acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?* (3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P 为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．4.如图，⊙C 的内接△AOB 中，AB=AO=4,tan∠AOB=43,抛物线2y ax bx =+经过点A(4，0)与点（-2，6）（1）求抛物线的函数解析式． （2）直线m 与⊙C 相切于点A 交y 轴于点D ，动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运动;同时动点Q 在线段DA 上，从点D 出发向点A 运动，点P 的速度为每秒1个单位长，点Q 的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD 时,求运动时间t 的值（3）点R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当△ROB 面积最大时，求点R 的坐标.。
与最值有关的几何动点问题
与最值有关的几何动点问题一、引言几何动点问题是数学中的一个重要分支，它研究的是在几何图形中，随着某个点的移动，某些量的变化情况。
其中，与最值有关的几何动点问题是其中的一个重要问题，它涉及到了最大值、最小值等数学概念，具有一定的难度和深度。
本文将从不同的角度出发，探讨与最值有关的几何动点问题。
二、与最值有关的几何动点问题1. 最大面积问题在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个定点，求以该点为顶点，该直线为一条边的三角形面积的最大值。
解法：设该点坐标为$(x_0,y_0)$，直线方程为$y=kx+b$，则三角形面积为$S=\frac{1}{2}|kx_0-y_0+b|\sqrt{1+k^2}$。
由于$\sqrt{1+k^2}$为常数，因此问题转化为求$|kx_0-y_0+b|$的最大值。
根据绝对值的性质，$|kx_0-y_0+b|$的最大值为该点到直线的距离，即$|kx_0-y_0+b|=\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{k^2+1}}\cdot\sqrt{k^2+1}$。
因此，问题转化为求该点到直线的距离的最大值，即该点到直线的垂线段的长度的最大值。
由于垂线段的长度为$\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{k^2+1}}$，因此问题转化为求该点到直线的垂线段长度的最大值。
根据数学知识可知，该垂线段长度的最大值为该点到直线的垂线段的中点的距离，即$\frac{|kx_0-y_0+b|}{2\sqrt{k^2+1}}$。
因此，三角形面积的最大值为$\frac{1}{2}\cdot\frac{|kx_0-y_0+b|}{2\sqrt{k^2+1}}\cdot\sqrt{1+k^2}=\frac{|kx_0-y_0+b|}{4}$。
2. 最小距离问题在平面直角坐标系中，给定两条不平行的直线，求它们之间的最短距离。
解法：设两条直线的方程分别为$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$，则它们之间的距离为$\frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{k_1^2+1}\sqrt{k_2^2+1}}$。
动点问题进阶最值微积分
动点问题进阶最值微积分1. 引言动点问题是微积分中的重要内容之一。
最简单的动点问题可以描述为一个物体在直线上的运动，而进阶的动点问题则涉及到曲线、平面或者空间中的运动。
本文将介绍动点问题的一些基本概念和方法，并探讨如何利用微积分求解动点问题中的最值。
2. 动点问题基础知识回顾在解决动点问题之前，我们先回顾一下基础知识。
动点是指在一定时间内在空间中运动的一个物体。
我们通常可以用函数来描述动点的位置，该函数称为位置函数。
对于一维情况下的动点，位置函数通常是关于时间的函数，记作x(t)；对于二维或三维情况下的动点，位置函数通常是关于时间的向量函数，记作r(t)。
位置函数的一阶导数表示动点的速度，即v(t)=ddt x(t)或v(t)=ddtr(t)；位置函数的二阶导数表示动点的加速度，即a(t)=d 2dt2x(t)或a(t)=d2dt2r(t)。
3. 动点问题的最值求解方法在动点问题中，我们通常会遇到求解动点轨迹上某一点的最大值或最小值的情况。
这可能涉及到动点的速度、加速度、距离等多个因素。
下面将介绍一些常用的方法来求解这类问题。
3.1 静态分析法静态分析法是最基本的求解最值问题的方法之一。
它通过对位置函数直接进行分析，寻找极值点，并利用极值点附近的性质得出最值点。
静态分析法的基本步骤如下： 1. 找出位置函数在定义域内的导数。
2. 求解导数为零的方程，得到极值点的横坐标。
3. 利用极值点附近的性质判定最值点。
3.2 最值定理最值定理是微积分中的重要定理之一，它给出了连续函数在闭区间上必定存在最值点的条件。
对于动点问题，我们可以利用最值定理来求解最值点的横坐标，然后再通过位置函数得到纵坐标。
最值定理主要有两个版本：费马定理和罗尔定理。
费马定理指出，如果函数f(x)在x=a处取得最值点，则f′(a)=0。
罗尔定理指出，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0。
中考数学动点最值问题归纳及解法
中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。
①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
动点问题求最小值的做法思路
动点问题求最小值的做法思路
1、化动为静：将动点问题转化为静态的几何问题，简化问题，使解题过程更加直观和易于操作。
这种方法适用于多种动点问题，包括但不限于求最值问题。
2、构造比例线段：在某些特定的动点问题中，通过构造比例线段来求解是最直接有效的方法。
这种方法在解决阿氏圆最值模型等题目时尤为常见。
3、利用轴对称性质：初中数学中，利用轴对称的性质可以实现“搬点移线”，从而求解几何图形中的最值问题。
这种方法依赖于基本定理，如两点之间线段最短、三角形任意两边之和大于第三边等。
4、寻找线段的“替身”或“等比替身”：在解决双动点线段问题时，找到一个与原线段长度相等或成比例的线段作为替代，是解题的关键。
这种方法有助于简化问题，找到解决问题的突破口。
5、分类讨论：当动点问题存在多种可能性时，需要进行分类讨论，以确保不遗漏任何可能的情况。
这种方法适用于那些情况复杂、可能存在多种解法的问题。
6、建立直角三角形模型：在某些情况下，通过建立直角三角形模型并利用其性质（如勾股定理）来求解是最有效的策略之一。
这种方法特别适用于涉及圆和直线的问题。
7、动态规划：虽然动态规划主要用于解决算法问题，但其思想也可以应用于某些特定的动点最值问题中。
通过定义状态、计算转移方程和确定终止条件，可以有效地求解这类问题。
专题动点问题——线段最值(含答案)
动点问题——线段最值动点问题中，经常要求线段的最值。
首先要弄清动点的运动轨迹，从哪里到哪里，是直线还是曲线，有没有特殊位置；然后根据图形特征找解决问题途径。
一般来说，能找到图中求最值的位置，就按特殊位置的特征求最值；若找不到图中最值的特殊位置，最好建立函数，用函数思想解决最值问题。
一、找到特殊位置，求线段最值（或动点路程）1、(2019泰安)如图，矩形ABCD 中，AB =4,AD =2,E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是。
分析：取DE ,DC 中点分别为M ,N .点F 从E 运动到点C ，则点P 从点M 运动到点N .根据“垂线段最短”，当BP 垂直于MN 时，PB 最小。
作BH ⊥MN 垂足为H .当点P 与点H 重合时，PB 最小。
PB =BH∠CEB =∠EBH =045 122PB DE =+ 12222=⨯+ 22=说明：从起点到终点，先找出点P 的运动轨迹，再分析最值。
2、(2019宿迁)如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1,F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边三角形EFG ，连接CG ,则CG 的最小值为 分析：点F 在起点B 处时，作等边'EBB ∆,连接'B G ，得射线''B F ,点G 在其上运动。
∵ 'BE B E =,'''BEB B EF FEG B EF ∠+∠=∠+∠,EF EG =∴△EBF ≌△'EB G∴∠'GB E =∠FBE =090. 当点'B 在EF 上时，CG ⊥'B G ，CG 最小。
（根据“垂线段最短”） 35122CG =+= 3、（2019桂林）如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =3，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，作点A 关于直线BP 的对称点1A ，连接1A C ,设1A C 的中点为Q ，当点P 从点A 出发，沿边AD 运动到点D 时停止运动，点Q 的运动路径长为。
动点与最值问题解题技巧
动点与最值问题解题技巧【实用版4篇】篇1 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇1正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的一类常见问题，主要涉及到点在平面直角坐标系中的运动以及函数的最值求解。
这类问题通常需要结合几何知识、函数知识以及代数知识进行求解。
二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题：仔细阅读题目，理解问题的含义和限制条件，明确求解的目标。
2.建立模型：根据问题建立合适的数学模型，可以使用函数、方程、几何图形等方法。
3.求解模型：使用数学工具和方法求解模型，得到结果。
4.验证结果：验证所得结果是否符合问题要求，是否具有实际意义。
三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在生活和工程中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计、桥梁设计、道路设计等领域中，需要考虑动点的运动和最值问题，以保证设计的合理性和可行性。
篇2 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇2正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的常见问题，涉及到的知识点包括几何、函数、导数等。
这类问题具有综合性强、难度较大的特点，需要学生具备扎实的基础知识和灵活的解题技巧。
二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题本质：首先需要仔细阅读题目，理解问题的本质，确定动点的运动方式和约束条件。
2.建立数学模型：根据题目中的几何关系和函数关系，建立数学模型，使用几何或函数的方法描述问题。
3.寻找解题方法：根据具体问题选择合适的方法，如代数方法、几何方法、微积分方法等。
4.优化解题过程：在解题过程中，要善于利用各种技巧，如配方、拆项、代入数值等，使解题过程更加简洁。
三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在日常生活和工程中都有广泛的应用，如建筑工程中的最短路径问题、交通规划中的最优路径问题等。
篇3 目录1.动点与最值问题的联系与区别2.动点问题的解题技巧3.最值问题的解题技巧篇3正文一、动点与最值问题的联系与区别动点问题与最值问题都是中学数学中常见的几何问题，它们在解题思路上有许多相似之处，但也有一些区别。
中考数学复习：专题三：动点或最值问题
点拨：在 Rt△AOB 中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO ＝ 22－12＝ 3，①当点 P 从 O→B 时，如图 1、图 2 所示，点 Q 运动的 路程为 3；②当点 P 从 B→C 时，如图 3 所示，这时 QC⊥AB，则∠ACQ ＝90°，∵∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∴∠OQD＝90°－60°＝ 30°，∴cos30°＝ACQQ，∴AQ＝cosC3Q0°＝2，∴OQ＝2－1＝1，则点 Q 运动的路程为 QO＝1；③当点 P 从 C→A 时，如图 3 所示，点 Q 运动的 路程为 QQ′＝2－ 3；④当点 P 从 A→O 时，点 Q 运动的路程为 AO＝1， ∴点 Q 运动的总路程为 3＋1＋2－ 3＋1＝4，故答案为 4
【点评】 本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定 出点A的对称点，从而确定出AP＋PQ的最小值的位置是解题的关键，利 用条件证明△AA′D是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的 计算．
[对应训练] 2．(1)(2016·贵港)如图，抛物线 y＝－112x2＋32x＋53与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C.若点 P 是线段 AC 上方的抛物线上一动点，当 △ACP 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是( B ) A．(4，3) B．(5，3152) C．(4，3152) D．(5，3)
解决最值问题的两种方法： (1)应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆的所有弦中，直径最长. (2)运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式．
【例 2】 (2016·雅安)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，AE⊥BD， 垂足为 E，ED＝3BE，点 P，Q 分别在 BD，AD 上，则 AP＋PQ 的最小 值为( D )
动点问题最值
v1.0 可编辑可修改动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。
方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。
1．如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．33-2-B．13+C．2D．1提示：点M在以AC为直径的圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD 于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是②③．（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G在以AB为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm，如果正方形AEFG绕点AAB 旋转，那么C、F两点之间的最小距离为4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD；（3）∠PBC= 时，BD∠PBC= 时，BD分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°CABAACCBD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 在线段AB 上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1， ，F 为BE 中点. （1）求CF 的长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围.提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且227、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，以点P 为直角顶点的B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC提示：发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE ，从而得到相似。
中考数学复习：专题9-9 探究动点背景下的线段最值问题
探究动点背景下的线段最值问题【专题综述】图形运动问题是中考数学命题的热点题型，其中有一类动点背景下线段长度的最值问题，常常使学生感到比较为难.本文谈谈破解这类问题的方法. 动点背景下线段长度的最值问题一般有两种解法:1、代数解法.通过设未知量，建立函数关系或列方程列不等式等，用函数最值、二次方程判别式、解不等式来求解.2、几何方法.常通取特殊点，如线段中点、端点;与动点的特殊位置相关的特殊线段，如三角形的高、中线、圆的直径等;特殊图形，如直角三角形、等边三角形、矩形等，用几何公理、定理来求解. 一般而言，用几何方法抓住特殊情形处理，比代数方法更有独特魅力. 【方法解读】一、从动点所在特殊位置入手图形中动点的运动有一定的范围，其较为特殊的位置有:线段上动点的两端点、线段中点等;若点在线段外运动，则与某线段共线就是特殊位置.这些特殊位置正是产生最值的关键点.例1 如图1，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，33AB =，3AD =，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为. 分析 DM ，MN 的长度随点M ，N 分别在线段BC ，AB 上运动而变化，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点却保持不变.题设中EF 与不变量A ∠，AB ，AD 无直接数量关系，但连结DN ，则由三角形的中位线定理可知12EF DN =，如图1所示，从而可知DN 最大时，EF 最大.因为N 在线段AB 上，当点N 与其端点B 重合时DN 最大，如图2所示.此时，由勾股定理知6BD =，所以EF 长度的最大值为3.例2 如图3，在⊙O 中，直径6AB =，BC 是弦，30ABC ∠=︒，点P 是BC 上的一个动点，点Q 在⊙O 上，且OP PQ ⊥.求PQ 长的最大值.分析 点P 在BC 运动时，OP ，PQ 的位置和大小都变化，但OP PQ ⊥，圆的半径不变，连结OQ ，则OPQ ∆保持直角三角形不变.在Rt OPQ ∆中，22223PQ OQ OP OP =-=-,所以OP 最小时PQ 的长的最大.由垂径定理知，此时点P 正好是CB 的中点，如图4所示，Q 点与C 点重合.分析 连结OQ . ∵OP PQ ⊥，∴OPQ ∆为直角三角形. 又∵OP CB ⊥，132OB AB ==，30ABC ∠=︒， ∴32OP =由勾股定理，得223333()22PQ =-=即PQ 长的最大值332. 二、从动点产生的特殊线段入手在图形中，点的运动会引起相应线段位置和长度大小的变化，位置的变化会使线段成为具有某种特殊性质抓住这些线段变化的特殊性:如三角形的高、中线、圆的直径等，往往会找到最值的答案.例3 如图5，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为AB 上(不与AB 重合)一动点，过点P 分别作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，则EF 的最小值 .分析 因为点P 在AB 上运动时，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，90C ∠=︒，所以四边形CFDE 是矩形，且这些关系不变.连结PC ，则EF CP =，要求EF 的最小值，就是求CP 的最小值.显然当CD AB ⊥，即CD 是斜边AB 的高时，CD 最小.又由勾股定理，得5AB =，根据三角形面积不变，得AC BC CD AB ⨯=⨯，解得125CP =，所以EF 的最小值为125. 例4 如图6，在圆O 上有定点C 和动点P 位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点G .已知:圆O 半径为52，4tan 3ABC ∠=，则CG 的最大值是(). (A)5 (B)154(C)253(D)203分析 点P 在AB 上运动时，PC 的位置和大小会随之变化，但CAB CPG ∠=∠，90ACB PCG ∠=∠=︒保持不变，故有ABCPGC ∆∆，∴BC AC CG PC =，即BC CG PC AC=，由3tan 4AC ABC PC ∠==，知43CG PC =，当PC 最大时，CQ 取到最大值易知，当PC 经过圆心，即PC 为圆O 的直径时，PC 最大(此时CG 是圆O 的切线). ∵圆O 半径为52， ∴PC 的最大值为5,∴315544CG =⨯=. ∴CG 的最大值154，故选B.三、抓住动点问题的特性，从构造特殊图形入手某些动点问题中，难以找到图形变化时与相关线段最值的特殊情形若要用几何解法，应联系整个问题所含条件添加辅助线，构造特殊图形，然后借助特殊图形的性质将问题进行有效转化.例5 如图7，ABC ∆中，45B ∠=︒，60BAC ∠=︒，22AB =. D 是BC 上的一个动点以AD 为直径画圆与AB ，AC 相交于E ，F 两点，求EF 的最小值.分析 点D 在BC 上运动，AD 的位置改变引起圆O 的位置和大小变化，而所求EF 的 值与不变量B ∠，BAC ∠以及AB 的关系不明显.连结OE ，OF ，构造含120︒角的特殊等腰三角形，如图8所示，过O 点作OH EF ⊥垂足为H ，由圆周角定理可知1602EOH EOF BAC ∠=∠=∠=︒.在Rt EOH ∆中，由垂径定理可知23EF EH OE ==.所以当OE 最小时，EF 的值最小，而12OE AD =，由垂线段的性质可知，当AD 为ABC ∆的边BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF 最小.在Rt ADB ∆中，45ABC ∠=︒，22AB =∴2AD BD ==，即此时圆的直径为2. 在Rt EOH ∆中，33sin 122EH OE EOH =∠=⨯= ∴23EF EH ==， 即EF 的最小值为3.四、从图形运动中相对保持不动的点入手若图形中的动点不止一个，这种情形相对单一动点问题要复杂一般会引起变化的量增加或整个图形发生运动，难以找到原图中保存不变的量，这时可着眼于图中的相对不变量.相对不变量是指在整个图形运动变化中，保持某种特性不变的量与动点下线段最值所对应的仍是图中特殊相对不变量透过图形运动的整体，抓住特殊相对不变量才是解题的关键.例6 如图9，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，8AC =，点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上.当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动中OB 的最大值是多少?分析 当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，这样改变了ABC ∆的位置，点B 的位置也随之改变，OB 的长度随之发生变化.虽然BC 、AC 的长度不变，但些相对不变的量与OB 没有直接的关系. 仔细观察图9，AC 是Rt COA ∆的斜边，AC 长度不变，则点O 与其中点D 的连线段OD 的长度保持不变，这个隐含的相对不变的特殊量与OB 有关. 于是，连结DB ，则OB DB OD <+,所以，当O 、D 、B 三点共线时OB 值最大，即BO OD DB =+. 在Rt BCA ∆中，4CD =，3CB =，5DB =. 则OB 的最大值为549+=:.综上可知，解决动点背景下线段长度的最值问题时，一般可用几何方法从特殊情形出发考虑.1、在分析动点位置变化的同时，重点抓住图形中不变的量，不变的关系和性质，以不变应万变，动中求静.2、线段的最大值和最小值，常与下列知识相关:两点之间线段最短，垂线段最短，直径是圆中最大的弦，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边等等.所以要抓住特殊情形，联系与问题相关的结论进行有效转化.【强化训练】1.（2017四川省内江市）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=430，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且P A+AB+BQ 最小，此时P A+BQ= ．2.（2017山东省东营市）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为．3．（2017山东省威海市）如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4. （2017甘肃省天水市）如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是．5．（2017贵州省贵阳市）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =2，AD =3，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A ′EF ，则A ′C 的长的最小值是 ．6.（2016山东省枣庄市）如图，把△EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上，已知EP =FP =6，EF =63，∠BAD =60°，且AB ＞63． （1）求∠EPF 的大小；（2）若AP =10，求AE +AF 的值；（3）若△E FP 的三个顶点E 、F 、P 分别在线段AB 、AD 、AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．7．（2016山东省枣庄市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y =mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x =﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．8.（2017山东省烟台市）如图1，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB =4，矩形OBDC 的边CD =1，延长DC 交抛物线于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9.（2016四川省眉山市）已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 分别为坐标轴上上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM ﹣AM |的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM ﹣AM |的最大值．10. （2016广西梧州市）如图，抛物线24y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于A （4，0）、B （﹣1，0）两点，过点A 的直线y =﹣x +4交抛物线于点C ． （1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC 上有一动点E ，当点E 在某个位置时，使△BDE 的周长最小，求此时E 点坐标； （3）当动点E 在直线AC 与抛物线围成的封闭线A →C →B →D →A 上运动时，是否存在使△BDE 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E 点的坐标；若不存在，请说明理由．。
初中动点最值问题题型
初中动点最值问题题型1. 引言初中数学中的动点最值问题题型是一类常见且重要的题型。
在这类题目中，我们需要通过数学方法找到动点在某个过程中取得的最大值或最小值。
这类问题既考察了学生对函数、方程以及图形的理解与运用，也培养了学生解决实际问题的能力。
2. 常见类型初中动点最值问题题型主要包括以下几种类型：2.1 直线上的动点问题在直线上给定两个固定点A和B，求动点P到A、B两点距离之和的最小值或最大值。
这类问题需要运用到距离公式和函数极值的概念。
例题：已知直线上有两个固定点A(3, 0)和B(9, 0)，求动点P到A、B两点距离之和的最小值。
解答：设动点P的坐标为(x, 0)，则AP = |x - 3|，BP = |x - 9|。
所以P到A、B两点距离之和为：S = AP + BP = |x - 3| + |x - 9|。
对于任意实数x，有：- 当x ≤ 3时，S = (3 - x) + (9 - x) = 12 - 2x； - 当3 < x ≤ 9时，S = (x - 3) + (9 - x) = 6； - 当x > 9时，S = (x - 3) + (x - 9) = 2x - 12。
因此，当3 < x ≤ 9时，P到A、B两点距离之和的最小值为6。
2.2 平面内的动点问题在平面内给定两个固定点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，求动点P(x, y)到A、B两点距离之和的最小值或最大值。
这类问题需要运用到距离公式和函数极值的概念。
例题：已知平面上有两个固定点A(1, 2)和B(4, -1)，求动点P到A、B两点距离之和的最小值。
解答：设动点P的坐标为(x, y)，则AP = √((x - 1)² + (y - 2)²)，BP =√((x - 4)² + (y + 1)²)。
所以P到A、B两点距离之和为：S = AP + BP。
根据三角不等式可得：S ≥ |AP - BP|。
初中数学动点最值问题解题技巧总结
初中数学动点最值问题解题技巧总结示例文章篇一：哎呀呀，同学们，你们有没有被初中数学里的动点最值问题难倒过呀？反正我之前是被搞得晕头转向的！不过呢，经过我一番苦苦摸索，还真总结出了一些超有用的解题技巧，今天就来和大家分享分享。
咱们先来说说啥是动点最值问题。
就好比有个小调皮的点，在图形里到处乱跑，然后让咱们找它跑到啥位置的时候能得到最大或者最小的值。
这可不像找藏起来的糖果那么简单哟！那怎么解决呢？首先，咱们得学会用“两点之间线段最短”这个宝贝定理。
比如说，有A、B 两个点，那连接这两个点的线段AB 不就是最短的距离嘛。
这就像从家到学校，咱们走直线肯定是最近的路呀，难道还能绕个大圈子？再说说“垂线段最短”。
假如有一条直线l，还有一个点P，那从点P 向直线l 作垂线，垂足为Q，线段PQ 就是点P 到直线l 最短的距离。
这就好比你站在河边，要到河里打水，肯定是垂直下去打水最近，要是斜着走，那不是多走冤枉路嘛！还有一种常见的方法是利用三角形的三边关系。
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
比如说有三角形ABC，AB 边长是5，AC 边长是3，那BC 的长度就在2 到8 之间。
这就好像三个人手拉手，两边的人胳膊加起来肯定要比中间那个人的胳膊长呀！有一次，我和同桌一起做一道动点最值问题。
题目说在一个直角三角形里，有一个动点P，让咱们找P 点在啥位置的时候，PA + PB 的值最小。
我一开始毫无头绪，急得直抓脑袋，嘴里嘟囔着：“这可咋办呀？”同桌倒是挺冷静，他说：“咱们想想刚刚学的那些方法呀！”然后我俩就一起琢磨，突然我灵光一闪：“哎呀，这不就可以用两点之间线段最短嘛！”最后我们成功解出了这道题，那种喜悦，简直没法形容！还有一次，数学老师在课堂上讲一道特别难的动点最值问题，好多同学都听得云里雾里的。
老师就耐心地一遍又一遍解释，还说：“同学们，别着急，咱们慢慢理清楚思路。
”最后大家终于明白了，都忍不住欢呼起来。
所以呀，同学们，动点最值问题虽然看起来很难很可怕，但只要咱们掌握了这些解题技巧，再加上多做练习，多和同学老师讨论，就一定能把它拿下！你们说是不是呀？我相信，只要咱们肯努力，就没有解决不了的数学难题！示例文章篇二：哎呀呀，同学们，你们是不是一碰到初中数学里的动点最值问题就头疼得要命呀？反正我之前是这样的！但是后来我发现，只要掌握了一些小技巧，这类题也没那么可怕啦！就拿那种在三角形里找动点最值的题来说吧。
动点问题中的最值问题
动点问题中的最值问题动点问题中的最值问题，听起来是不是有点学术范儿？不过，别担心，今天咱们就像聊家常一样，轻松聊聊这个话题。
想象一下，一个小球在一个平面上自由地滚动，嘿，它的轨迹可能像一条蛇，弯弯曲曲的。
这小球一会儿高一会儿低，正是我们要寻找的“最值”。
说到最值，就是在这条曲线上，哪一点是最高的，哪一点又是最低的。
这就像咱们生活中的起起伏伏，有时候高兴得像个小鸟，有时候又低落得像被压扁的饼干。
我们来看看这个“动点”的概念。
动点就像是你我，都是在不断变化的，瞬息万变。
想象一下，你在操场上奔跑，身边的小伙伴们也是四处跑动，谁快谁慢，谁高谁低，哎，动点问题就是要把这种变化给抓住。
这其中有趣的是，动点的位置和速度总是有关系的。
速度快了，位置就变了，正如我们生活中，抓住机遇的时刻总是稍纵即逝。
所以，要想找到最值，就得对这个动点的路径进行深度剖析，像侦探一样，追踪它的每一个动作。
接着咱们聊聊这个最值问题。
最值就像是人生的巅峰，做的每一个选择都可能导致不同的结果。
有时候我们要爬上高峰，想要达到理想的状态；而嘿，低谷也未必是坏事。
回想一下，考试的时候，复习得特别认真，结果出来后，发现自己意外地得了高分，爽呆了。
但有时候明明准备得很充分，却还是不尽如人意。
最值问题在这里就像一根红线，把我们的经历串联起来，让我们明白如何在这条曲线中找到那个闪光点。
不过，要想在这条动点的曲线上找到最值，得掌握一些小窍门。
得会画图。
对，就是简单的画图。
用纸和笔把动点的轨迹给勾勒出来，像艺术家一样把心中的画卷展现出来。
你会发现，有些地方高得让人咋舌，有些地方则低得令人心痛。
就像在生活中，有些事情让人欢喜，另一些则让人唏嘘。
通过这种方式，我们就能在这幅图中，找出那个“最值”所在。
公式也是不可或缺的。
是的，公式听上去有点乏味，但它们就像调味料，给我们的分析添了不少风味。
比如说，导数的概念，简单来说，就是观察动点在某一点的变化率。
利用导数，我们就能找到那些极值点，找到动点在什么时候达到最高或最低的状态。
初二动点最值问题的常用解法
初二动点最值问题的常用解法
初二动点最值问题是数学中常见的一类问题，常用的解法包括
几何法、代数法和微积分法。
首先，我们来看看几何法。
对于动点最值问题，我们可以通过
几何方法来解决。
例如，如果问题涉及到平面几何中的最短路径或
最大面积等问题，我们可以通过画图、利用几何性质和相似三角形
等方法来求解动点的最值问题。
这种方法相对直观，适用于一些简
单的动点最值问题。
其次，代数法也是常用的解法之一。
对于一些动点问题，我们
可以建立坐标系，引入变量，列方程，然后通过代数运算来求解动
点的最值问题。
例如，对于直线上的动点问题，我们可以设定动点
的坐标，列出相关方程，然后通过代数运算来求解最值。
这种方法
适用于一些需要进行坐标计算的动点最值问题。
最后，微积分法也是解决动点最值问题的常用方法。
通过对动
点轨迹的函数进行微分，找到函数的极值点，可以求得动点的最值。
这种方法适用于一些需要利用导数性质和极值定理的动点最值问题。
综上所述，初二动点最值问题的常用解法包括几何法、代数法和微积分法。
针对不同的问题，我们可以灵活运用这些方法来求解动点的最值问题。
希望这些解法对你有所帮助。
动点求最值方法总结
动点求最值方法总结一、引言动点求最值是一类经典数学问题，在各个学科领域中都有广泛的应用。
它可以通过将问题转化为数学模型，通过解析方法或数值计算方法求解。
本文将对动点求最值的方法进行总结和探讨，深入探究这类问题的解决思路和技巧。
二、常见的动点求最值问题2.1 直线上的动点问题在一条直线上，给定两个固定点A和B，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值或最大值。
这类问题可以通过求解P点的坐标来实现。
2.2 平面内的动点问题在平面内，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。
这类问题涉及到平面几何和三角函数的运用。
2.3 空间内的动点问题在三维空间中，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。
这类问题需要运用空间几何和向量的知识。
三、解决动点求最值问题的方法3.1 几何解法几何解法是通过绘制几何图形，利用几何性质和定理来解决问题。
在直线上的动点问题中，可以通过绘制线段和圆等图形来分析，确定最值点的位置。
在平面内和空间内的动点问题中，可以借助几何图形的相似性和对称性来求解。
3.2 代数解法代数解法是通过建立方程或运用代数方法来求解问题。
在直线上的动点问题中，可以通过设定P点的坐标，利用距离公式建立相应的方程，并通过求导或配方法求解。
在平面内和空间内的动点问题中，可以利用向量运算和三角函数关系建立方程，然后通过求解方程组来得到最值点的坐标。
3.3 数值计算方法如果问题比较复杂，无法通过几何或代数的方法得到解析解，可以使用数值计算方法进行近似求解。
常用的数值计算方法包括最优化算法、数值优化算法和遗传算法等。
这些方法通过迭代计算，逐步逼近最值点的位置。
四、案例分析4.1 直线上的动点问题案例假设直线上有两个点A(1, 2)和B(3, 4)，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值。
通过建立P点的坐标(x, y)，利用距离公式可得：d=√(x−1)2+(y−2)2+√(x−3)2+(y−4)2通过求导可以得到最小值点的坐标：∂d=0∂x∂d=0∂y解得最小值点为P(2, 3)。
动点问题最值
GFD ABCEA'MCDABNPCB动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点得最值，动点在圆上或直线上，就就是点到圆得最近距离，与点到直线得最近距离；三角形两边之与大于第三边得问题，当两边成一直线最大；几条线段之与构成一条线段最小；还有就就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆得最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质就是圆外一点到圆得最大或最小距离，就就是定点与圆心所在直线与圆得交点得两个距离。
方法：证明动点在圆上或者去找不变得特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边得值。
1．如图，△ABC 、△EFG 均就是边长为2得等边三角形，点D 就是边BC 、EF 得中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长得最小值就是（ ） A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径得圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD 得边长为2，E 就是边BC 上得动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动得路径长为π；④CG 得最小值为﹣1．其中正确得说法就是 ②③ ．（把您认为正确得说法得序号都填上）提示：G 在以AB 为直径得圆上：正确答案就是：②④3、如图，正方形ABCD 得边长为4cm,正方形AEFG 得边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间得最小距离为 4、如图，在边长为2得菱形ABCD 中，∠A=60°,M 就是AD 边得中点，N 就是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度得最小值就是5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2，将△CDP 绕C 点旋转、CABAAA GDDA E（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD ；（3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明、PBC=∠AB 上，6、如图，△ABC 与△ADE °,AD=1，，F 为BE 中点、（1）求CF 得长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动得路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 得范围、提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且7、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 得半径为1，点P 得等腰△PBC （点P ，B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC AOC 中，AE-CE ≤AC AE ∥BC 交⊙O 于E ADE9、AB=4，E 为形外一点，且∠点，求BF 连AC,取DC 中点中点H ，则△FGH ∽△∴12GH AD ==∠DEA=90°，∴点F 在以GH 小距离。
动点最值问题
两条线段求最值PA+K*PB型1.PA+PB型1.1 两定一动（将军饮马）此类在学生学完对称后就可以适当进行讲解了出现一个动点的解题方法这类试题的解决方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧。
当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之问线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。
引：如图在直线 l 上找一点 P 使 AP＋BP 最短。
解：（1）如果两点在直线异侧，如图（1），连接 AB 交直线 l 于点 P,则点 P 为所示作的点；（2）如果两点在直线同侧，如图（2），可通过轴对称把问题转化为两点在直线异侧的情况。
证明：如下图所示，从 B 出发向河岸引垂线，垂足为 D，在 BD 的延长线上，取 B 关于河岸的对称点 B'，连结 AB'，与河岸线相交于 P，则 P 点就是所求作的点，只要从 A 出发，沿直线到 P,再由 P 沿直线走到 B，所走的路程就是最短的。
如果在河边的另外任一点 C, 则CB=CB’，但是，AC+CB=AC+CB'>AB'=AP+PB'=AP+PB。
可见，在 P 点外任何一点 C，它与 A、B两点的距离和都比 AP＋PB 都长。
本质：两点之间，线段最短。
【牛刀小试】1．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点．则PB＋PE 的最小值是____________．2．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为__________．3．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为AN 弧的中点， P 是直径MN 上一动点，则 PA ＋ PB 的最小值为_________．4．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝8，点 M 在⊙O 上，∠MAB＝20°，N 是弧 MB的中点，P 是直径 AB 上的一动点．若 MN＝1，则△PMN 周长的最小值为________．5．已知 A(－2，3)，B(3，1)，P 点在 x 轴上，若 PA＋PB 长度最小，则最小值为____________．6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，点 D 是 BC 边上的点，CD＝1，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是__________。
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GFD AEA C BD FBACDB动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。
方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。
1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径的圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2，将△CDP 绕C 点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD ；（3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明.分析：在△ABD 中有：BD ≤AB+AD ，当BD=AB+AD 时BD 最大，此时AB 与AD 在一条直线上，且AD 在BA 的延长线上，又△ACB 是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135° BD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1，2，F 为BE 中点.（1）求CF 的长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围.CO ABPE ABC DFD A BC EHGF DAEH G FDA Exy MCM 1M 2A PO B A提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且122OF AE == 7、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，以点P 为直角顶点的等腰△PBC （点P ，B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC 的取值范围 2≤AP ≤32 提示：发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE ，从而得到相似。
△BOP ∽△BEC CE=2 AE=22在△ACE 中，AE-CE ≤AC ≤AE+CE8、如图，△ABC 是等边三角形，边长为2，D 是AC 边上一动点，连接BD ，⊙O 为△ABD 外接圆，过点A 作AE ∥BC 交⊙O 于E ，连接DE ，BE.则△ADE 的周长的最小值为 2+3 9、如图，正方形ABCD ，AB=4，E 为形外一点，且∠AED=900点，求BF 得最大值。
连AC,取DC 中点G ，取AC 中点H ，则△FGH ∽△EDA,又AD=4∴122GH AD ==，∠GFH=∠DEA=90°，∴点F 在以GH 为直径的圆上，∴BF 的最大值为131+ 二、定点到动点所在定直线的最小值，动点在一条直线上运动，其实质是点到直线的最小距离。
方法：1．在平面直角坐标系中，已知A (2，4)、P (1，0)，B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC ，使点C 在x 轴上，∠BAC ＝90°．M 为的中点，则PM 的最小值为__________ 取特殊位置考虑：当B 在原点时，25OA =，OC=10，此时M （5,0） 当C 在原点时，B （0,5），此时M （0，52），所以点M 在直线1522y x =-+上运动 △PM 1M ∽△21M OM ∴PM=455∵OM=AM ，∴点M 在OA 的垂直平分线上。
2、在平面直角坐标系中，A （-3,0），B （3,0），C （0，-33，E 为y 轴上一动点，以BE 为边向左侧作正△BEF ，则OF 的最小值为 提示：点F 在如图所示的直线AF 上运动。
那两个涂色的三角形始终是全等的 ∠FAO=30°∴33223OF ==3、如图，点D 在等边△ABC 的边BC 的延长线上，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且AF=BE ，连接EF ，以EF 为边构造等边△EFG ，连接DG ，若BD=2，则DG 的最小值是 3AABD考虑特殊位置：当当E 与B 重合时，F 与A 重合，此时BG ∥AC ，当E 与C 重合时，F 与B 重合，FG ∥AC ，所有点G 在过点B 且与AC 平行的直线上，∴∠DBG=60°，当DG 垂直于过B 与AC 平行的直线垂直时，DG过E 作EH ∥AC ，则有△EFH ≌△EGB ∴∠EBG=∠EHF=60° ∴点G 在平行于AC 的直线GB 上运动。
4、如图，OA=3，∠OAB=60°，P 为射线BO 上一动点，E 为OB 中点，以AP 为边作等边△APC,则点P 运动过程中CE 的最小值为3∴点C 1、15则BD ，则有12BD CD AE CE == ∴BD 2P 为直角顶点的等腰△PBC （点P ，B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC 提示：发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE AE=在△ACE 中，AE-CE ≤AC ≤AE+CE5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD ；（3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明.分析：在△ABD 中有：BD ≤AB+AD ，当BD=AB+AD 时BD 最大，此时且AD 在BA 的延长线上，又△ACB 是等腰直角三角形，∠CAB=45CAD=180°-45°=135° BD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°四、由三角形第三边小于两边之和推广可以得到，最小值问题，就是要两条线段的和或多条线段的和构成一条线段，理由是两点之间线段最短。
1、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连AM 、CM 、EN.（1）求证：△ABM ≌△ENB ；yxOBA第24题（2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小？②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小？并说明理由. （3）当AM+BM+CM 的值最小值为13+时，求正方形的边长.2．（2015•天津）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A ，B ，D 均在格点上，点E 、F 分别为线段BC 、DB 上的动点，且BE =DF ． （Ⅰ）如图①，当BE =时，计算AE +AF 的值等于（Ⅱ）当AE +AF 取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE ，AF ，并简要说明点E 和点F 的位置如何找到的（不要求证明） 取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF 即为所求． ． 3、已知抛物线n n nx x y +-+-=222的顶点为P ，直线3494+=x y 分别交x ，y 轴于点M ，N ．（1）若点P 在直线MN 上，求n 的值；（2）是否存在过（0，－2）的直线与抛物线交于A ，B 两点（A 点在B 点的下方），使AB 为定长，若存在，求出AB 的长；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当四边形MABN 的周长最小时，求n 的值． 【意图】本题综合考查运用初中数学核心内容和重要的思想方法解决问题的能力． 【考点】抛物线的解析式求法，坐标的方法，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等,坐标系中定值和最值问题． 【解析】(1)配方P （n ，n ）代入3494+=x y ， 得n =512． (2)如图1，设过（0，－2）的直线为2-=kx y ， 设A (11,y x )，B (22,y x )联立⎩⎨⎧+--=-=n n x y kx y 2)(,2， 消元得02)2(22=--+-+n n x n k x ∴2,222121--=-=+n n x x k n x x ,∴n k k x x x x x x )44(84)()(221221221-++=-+=- ∴)1(22k AB +=[n k k )44(82-++]∵要使AB 为定长，则2AB 的值与n 的取值无关，∴4－4k =0．∴k =1yxROBAH MG N第24题图2yxOBA第24题∴存在直线y =x －2，使AB 为定长，且AB =23． (3)如图2，易求M (－3，0)，N (0，34)，平移AB ，使A 点于M 点重合，则B 的对应点G 刚好落在y 轴上，因为AB =23，所以G （0，3）．作点G 关于直线y =x －2的对称点H (5，－2)．过G 作GF ⊥y 轴，交直线AB 于F ，连FH ，所以FH=FG=5，又∠FGA=∠AFH=45°,连接NH 交直线y =x －2为点R （2，0）．可证明当点B 与R 重合时，四边形MABN 的周长最小． 将 R （2，0）代入n n x y +--=2)(中， 得1214n n ==，（舍去）． ∴n =1．五、利用对称求最值1．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________2、已知抛物线n n nx x y +-+-=222的顶点为P ，直线3494+=x y 分别交x ，y 轴于点M ，N ．（1）若点P 在直线MN 上，求n 的值；（2）是否存在过（0，－2）的直线与抛物线交于A ，B 两点（A 点在B 点的下方），使AB 为定长，若存在，求出AB 的长；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当四边形MABN 的周长最小时，求n 的值． 【意图】本题综合考查运用初中数学核心内容和重要的思想方法解决问题的能力． 【考点】抛物线的解析式求法，坐标的方法，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等,坐标系中定值和最值问题． 【解析】(1)配方P （n ，n ）代入3494+=x y ， 得n =512． (2)如图1，设过（0，－2）的直线为2-=kx y ， 设A (11,y x )，B (22,y x )联立⎩⎨⎧+--=-=nn x y kx y 2)(,2， 消元得02)2(22=--+-+n n x n k x ∴2,222121--=-=+n n x x k n x x ,∴n k k x x x x x x )44(84)()(221221221-++=-+=-DF O B CEDF O BCECAO BPPE D B CAyxROBAHMG N第24题图2∴)1(22k AB +=[n k k )44(82-++]∵要使AB 为定长，则2AB 的值与n 的取值无关，∴4－4k =0．∴k =1 ∴存在直线y =x －2，使AB 为定长，且AB =23． (3)如图2，易求M (－3，0)，N (0，34)，平移AB ，使A 点于M 点重合，则B 的对应点G 刚好落在y 轴上，因为AB =23，所以G （0，3）．作点G 关于直线y =x －2的对称点H (5，－2)．过G 作GF ⊥y 轴，交直线AB 于F ，连FH ，所以FH=FG=5，又∠FGA=∠AFH=45°,连接NH 交直线y =x －2为点R （2，0）．可证明当点B 与R 重合时，四边形MABN 的周长最小． 将 R （2，0）代入n n x y +--=2)(中， 得1214n n ==，（舍去）． ∴n =1．六、其他类最值1、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是BC 边上一动点，过点B 作BE ⊥AD 交AD 的延长线于E ．若 AC ＝6，BC ＝8，则ADDE的最大值为( B ) A ．21 B ．31C ．43D ．22提示：比值构造相似三角形，于是过E 作EF ⊥BC 于F ，则有△ACD ∽△EFD∴DE EFAD AC=，而AC=6，所以只要EF 最大就比值最大，当E 在以AB 为直径的半圆弧中点时，EF 最大是22．如图，在⊙O 中，BC 是弦，AD 过圆心O ，AD ⊥BC ．E 是⊙O 上一点．F 是AE 延长线上一点，EF =AE ．若AD =9，BC =6．设线段CF 长度的最小值和最大值分别为m ，n ，则mn =( )A ．100B ．90C ．80D ．70 3．如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ B ）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+4、△ABC 中BC=36，∠BAC=600，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，延长CE 交AB 于P,则PBDS ∆的最大值为过D 作DH ∥CP 交AB 于H ，则有BH=HP=AP∴23BP AB =，当BC 边上的高最大时，此时在优弧BC 中点，其值为9，P 到BD 的高也最大，此时为6，故S⊿PBD最大值为3963321=••反比例函数问题：1、如图，矩形OABC的边OA在x轴上，双曲线kyx=与BC交于点D，与AB交于点E，12DE OB=，矩形OABC的面积为4，则k的值为提示：连接AC，设坐标证明DE∥AC，又12DE OB=从而得到D、E为中点，所有k=12二次函数问题：如图，抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A（-1,0）、B（3,0），与y轴交于点C（0，32-）（1）求抛物线的解析式；（2）点T为y轴正半轴上一点，直线AT与抛物线的另一个交点为点D，点P为直线AT下方的抛物线上一动点.①若AD=5AT，求点T的坐标；②当△ATP的面积的最大值为94，求点T的坐标.提示：方法一：S∆方法二：以AT PF相切时△ATPATFS∆=。