动点问题最值

G

F

D A

E

A C B

D F

B

A

C

D

B

动点问题最值

最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。

一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。

方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。

1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32-

B ．13+

C ．2

D ．13-

提示：点M 在以AC 为直径的圆上

2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序

号都填上）

提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④

3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A

旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将

△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2，将△CDP 绕C 点旋转.

（1）求证：AD=PB

（2）若∠CPB=135°，求BD ；

（3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明.

分析：在△ABD 中有：BD ≤AB+AD ，当BD=AB+AD 时BD 最大，此时AB 与AD 在一条直线上，且AD 在BA 的延长线上，又△ACB 是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135° BD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°

6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1，

2，F 为BE 中点.

（1）求CF 的长

（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围.

C

O A

B

P

E A

B

C D

F

D A B

C E

H

G

F D

A

E

H G F

D

A E

x

y M

C

M 1

M 2A P

O B A

提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且122OF AE =

= 7、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，以点P 为直角顶点的等腰△PBC （点P ，B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC 的取值范围 2≤AP ≤32 提示：发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE ，从而得到相似。△BOP ∽△BEC CE=2 AE=22在△ACE 中，AE-CE ≤AC ≤AE+CE

8、如图，△ABC 是等边三角形，边长为2，D 是AC 边上一动点，连接BD ，⊙O 为△ABD 外接圆，过点A 作AE ∥BC 交⊙O 于E ，连接DE ，BE.则△ADE 的周长的最小值为 2+3 9、如图，正方形ABCD ，AB=4，E 为形外一点，且∠AED=900

点，求BF 得最大值。

连AC,取DC 中点G ，取AC 中点H ，则△FGH ∽△EDA,又AD=4

∴1

22

GH AD ==，∠GFH=∠DEA=90°，

∴点F 在以GH 为直径的圆上，∴BF 的最大值为131+ 二、定点到动点所在定直线的最小值，动点在一条直线上运动，其实质是点到直线的最小距离。

方法：

1．在平面直角坐标系中，已知A (2，4)、P (1，0)，B 为y 轴上的动点，以

AB 为边构造△ABC ，使点C 在x 轴上，∠BAC ＝90°．M 为的中点，则PM 的最小值为__________ 取特殊位置考虑：

当B 在原点时，

25OA =，OC=10，此时M （5,0） 当C 在原点时，B （0,5），此时M （0，

52），所以点M 在直线15

22

y x =-+上运动 △PM 1M ∽△21M OM ∴PM=

455

∵OM=AM ，∴点M 在OA 的垂直平分线上。

2、在平面直角坐标系中，A （-3,0），B （3,0），C （0，-33，E 为y 轴上一动点，以BE 为边向左侧作正△BEF ，则OF 的最小值为 提示：点F 在如图所示的直线AF 上运动。 那两个涂色的三角形始终是全等的 ∠FAO=30°∴332

23

OF =

=

3、如图，点D 在等边△ABC 的边BC 的延长线上，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且AF=BE ，连接EF ，以EF 为边构造等边△EFG ，连接DG ，若BD=2，则DG 的最小值是 3