组合数学考试试题

第一部分：填空题。

题目1:求n 元布尔函数f (x1，x2，…，xn ）的数目，其中布尔函数是指含有与（∧）、或（∨）、非（－）等基本布尔运算的函数。

解答：设有n 个布尔变元x 1，x 2，…，x n ，其中x i ∈{0，1}，i =1，2，…，n ，根据乘法原理(x 1，x 2，…，x n )共有2n 种不同指派，对每个指派，布尔函数取值为{0，1}，故不同的布尔函数的数目为：22n。

（考试中会给定n 的具体数值，带入公式直接计算即可。

）题目2：n 对夫妻围一圆桌而坐，求每对夫妻相邻而坐的方案数。

解答：夫妻相邻而坐，可以将一对夫妻看成一个整体，其圆排列数为(n -1)!，由于每对夫妻可以交换位置，故所求方案数为(n -1)!×2n。

题目3：求多重集合M = {∞·a 1, ∞·a 2, …, ∞·a n }的r 排列数。

解答：在构造的M 的一个r 排列时，第一项有n 种选择，第二项有n 种选择，……， 第r 项有n 种选择，故M 的r 排列数为n r 。

(一般地，n 元多重集合表示为：M = {k 1·a 1, k 2·a 2, …, k n ·a n }其中：a i （i = 1, 2, …, n ）表示元素的种类，k i （i = 1, 2, …, n ）表示元素a i 的个数。

)题目4：求多重集合M = { k 1·a 1, k 2·a 2, …, k n ·a n }的全排列数。

解答：先把M 中的所有的k 1 + k 2 + … + k n 个元素看成是互不相同的，则它的全排列数为(k 1 + k 2 + … + k n )!。

但是这里k i !个a i 是相同的，所以k i !个a i 的位置相同并且同其他元素排列也相同的排列是同一个，故M 的全排列数为：!!!)!(2121n n k k k k k k +++。

题目5：确定1054321)(x x x x x ++++的展开式中x 13 x 2 x 34 x 52的系数。

解答：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,4,1,310224617310!2!4!1!3!10!0!2!2!2!4!6!6!1!7!7!3!10=⨯⨯⨯=（⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n 表示从n 中取r 个的组合，与rn C 的意义完全相同。

试题中可能会改变具体的数值，例如求1554321)(x x x x x ++++的展开式中x 15x 24 x 34 x 52的系数，只需按上述过程计算即可。

）题目6： 求正整数n 的有序k 分拆的个数，要求第i 个分部量大于等于p i 。

解答：分拆的个数为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+∑=111k p k n ki i ，其中（1≤i ≤k ）。

例如：9的有序3分拆，要求所有分部量都大于等于2，其个数为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+131639=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25=10。

题目7：一个抽屉里有20件衬衫，其中4件是兰色的，7件是灰色的，9件是红色的，问从中随意取多少件能保证有4件是同色的？抽取多少件能保证5，6，7，8，9件是同色的？ 解答：应用鸽笼原理即可，抽取的件数分别为：3 × 3 +1= 10；4 + 2×4 + 1 = 13；4 + 2×5 + 1 = 15；4 + 2×6 + 1 = 17；4 + 7 + 1×7 + 1 = 19；4 + 7 + 1×8 + 1 = 20。

题目8：有置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=421343211δ ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=123443212δ求21δδ∙和12δδ∙， 若令S n 是G ={1, 2, 3,4}上置换的全体，则S n 是否构成置换群？解答：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∙123443214213432121δδ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13424321。

即先作δ1置换，再作δ2置换，置换过程如下：23121−−→−−−→−δδ,41221−−→−−→−δδ，32321−−→−−→−δδ，14421−−→−−→−δδ 同理，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∙31244321421343211234432112δδ。

由运算“·”的定义可知，若1221δδδδ∙=∙，即先作δ1的置换再作δ2的置换，其结果与先作δ2的置换再作δ1的置换相同，则S n 对于元算“·”构成群，且称（S n ，·）为n 次对称群，（S n ，·）的任意子群称为置换群。

δ1·δ2 ≠ δ2·δ1，∴S n 不是置换群。

题目9：求n 元多重集合的r 组合数；求方程x 1 + x 2 + … + x n = r （n , r 为正整数）的非负整数解的个数；求r 个相同的球放入n 个有区别的盒子中，允许有空盒的放法；求rn x x x )(21 ++展开式的项数。

解答：以上问题的所求计数均为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+r r n 1。

题目10：求n 元多重集合的r -n 的组合数；求方程x 1 + x 2 + … + x n = r （n , r 为正整数）的正整数解的个数；求r 个相同的球放入n 个有区别的盒子中，不允许有空盒的放法；求rn x x x )(21 ++展开式中含n rn rrx x x 2121且r i ≥1（1≤i ≤n ）的项数。

解答：以上问题的所求计数均为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+11)()1(111)(n r n r r r n r r n r n r n 。

题目11：把r 只相同的球放到n 个不同的盒子里，每个盒子至少包含q 只球，问有多少种放法？解答：相当于求如下方程的解：x 1 + x 2 + … + x n = r （x i ≥q ） （式1）令 y i = x i -q ，则y i ≥0且方程y 1 + y 2 + … + y n = r – nq （式2）的解与式1的解一一对应，而方程2的非负整数解为：()1n r nq r nq +--⎛⎫⎪-⎝⎭，即为所求。

题目12：求n r x x x )(21+++ 展开式中(1)in i i x n ≥的项数。

解答：本题与n 个相同的球放进r 个有区别的盒子且不允许有空盒，即r 个盒子的球数依次为n 1, n 2,…, n r ，且n 1 + n 2 + … + n r = n （n i ≥1，1≤i ≤r ）的求解策略类似，方案数为11n r -⎛⎫⎪-⎝⎭。

题目13：在一个凸n 边形中，通过插入内部不相交对角线将其剖分成一些三角形区域，有多少种不同的分法？设有n 个元素n a a a ,,,21 ，在其前后次序不变的情况下，每次只对两个元素进行乘法，以括号决定乘的先后顺序，有多少种不同的相乘方式？ 解答：令h (n )表示所求数量，则∑-=-=11)()()(n k k n h k h n h ，补充定义h (1) = 1即可计算。

题目14：有2n 个人排成一行进入剧场，入场费50元，2n 个人中有n 个人有50元的纸币，n 个有100元的纸币，剧场售票处用一个空的现金收录机开始售票，有多少种排队方法使得只要有100元的人买票，售票处就有50元找零。

解答：根据Catalan 序列的定理：n 个+1和n 个-1构成的2n 项n a a a 221,,, ，其部分和满足：)21(021n k a a a k ≤≤≥+++ 的数列的个数等于第n 个Catalan 数)1(211≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n n C n 。

有50元的人用+1标识，有100元的人用-1标识，且这2n 个人是不可区分的，则方案数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n C n 211；如果这2n 个人是可区分的，则方案数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯⨯n n n n n 211!!。

题目15：求S = {3·a , 4·b , 5·c }的10组合数。

解答：S 中共有3+4+5=12个元素，由组合数的意义可知，10组合的数量与2组合的数量相等，而S 中的2组合为{aa ，bb ，cc ，ab ，ac ，bc }，故10组合数为6种。

（本题的出题形式未确定，也可能以解答题的形式出现，并改变具体的数值，通用的解题步骤会在下面解答题中详述。

） 题目16：求集合S 的不相邻的排列个数Q n ，集合S = {1, 2, …, n }的不相邻的排列是该集合上不出现12, 23, …, (n –1)n 这些模式的全排列。

解答：!111)1()!2(22)!1(11!⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n n n n n n Q n n （针对填空题，仅需记住公式带入具体数值即可，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11n 的意义与⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11n 的意义相同，例如：!171!262!553!444!535!626!717!88⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Q =14664；本知识点也可能以解答题的形式出现，详细的求解过程会在下面的解答题中详述。

）第二部分：解答题。

题目1：在一个凸n 边形中，通过插入内部不相交对角线将其剖分成一些三角形区域，有多少种不同的分法？设有n 个元素n a a a ,,,21 ，在其前后次序不变的情况下，每次只对两个元素进行乘法，以括号决定乘的先后顺序，有多少种不同的相乘方式？ 解答：在一个凸n 边形中，当n ≥4时，凸n +1边形的顶点用A 1, A 2,…, A n +1表示，取定多边形一条边A 1A n +1，任取多边形的一个顶点A k +1（2≤k + 1≤n 1≤k ≤n -1），将A k +1分别与A 1和A n +1连线得到三角形T ，则三角形T 将凸n +1边形分成T 、R 1和R 2三个部分，其中R 1为k +1边形，R 2为n -k +1边形，如图5所示。

因此，R 1有h (k )种剖分方法，R 2有h (n -k )种剖分方法。

所以：∑-=-=11)()()(n k k n h k h n h 。

n 个元素相乘，无论怎样结合（即画括号），总有一个时刻到达最后一次相乘，即)(1k a a |)(1n k a a +，设竖线左边有k 个元素竖线右边有n -k 个元素，则竖线左边有)(k h 种结合方式，竖线右边有)(k n h -种结合方式。

由乘法原理，共有)()(k n h k h -种结合方式。