机械优化设计方法第七章 多目标函数的优化设计方法
第七章多目标函数的优化设计
第七章多目标函数的优化设计在实际问题的解决过程中，往往会面临多个目标的优化设计。
传统的优化方法常常只关注单一目标的优化，无法同时兼顾多个目标的需求。
因此，多目标函数的优化设计成为了一个重要的研究领域。
多目标函数的优化设计涉及到多个目标函数的最优化问题，称为多目标优化问题。
多目标优化问题的解决方法有两类：一类是将多目标优化问题转化为单目标优化问题，另一类是直接解决多目标优化问题。
第一种方法是将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
这种方法通常会使用一些合成目标函数或加权目标函数的方式来将多个目标函数合并为一个单目标函数。
常用的方法有加权和法、Tchebycheff法、罚函数法等。
但是这种方法不仅涉及到目标函数之间的比重问题，而且通常只能得到近似解，并不能完全解决多目标优化问题。
第二种方法是直接解决多目标优化问题。
这种方法通常会利用一些优化算法来求解多目标优化问题，如遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等。
这些算法通常是基于群体智能的思想，通过不断的迭代来寻找最优解的近似解。
这些算法通常会生成一组近似最优解，即所谓的帕累托解集。
帕累托解集是多目标优化问题的解集，其中的解称为帕累托解。
帕累托解的定义是指在解集中没有其他解能够改进一个解的一些目标函数值而不损害其他目标函数值的解。
帕累托解集的大小和分布会影响多目标优化问题的解决质量。
因此，如何有效地生成帕累托解集成为了多目标优化问题研究的一个重要方向。
除了解决多目标优化问题的方法外，还需要考虑如何对多目标优化问题的解进行评价。
常用的评价指标有全局评价指标和局部评价指标。
全局评价指标能够反映整个帕累托解集的性能，常用的指标有最小距离、全局适应度值、发散度等。
局部评价指标用于评价帕累托解集中的个体解的性能，常用的指标有支配关系、可行性等。
总结起来，多目标函数的优化设计是一个重要的研究领域，涉及到多个目标函数的最优化问题。
解决多目标函数的优化设计可以采用将多目标优化问题转化为单目标优化问题的方法或者直接解决多目标优化问题的方法。
机械设计中的多目标优化方法研究
机械设计中的多目标优化方法研究引言：机械工程是一门应用科学，旨在设计、制造和维护机械系统。
在机械设计中，多目标优化方法是一种重要的研究领域。
通过同时考虑多个设计目标，如性能、成本、可靠性和环境影响等因素，多目标优化方法可以帮助工程师在设计过程中做出更好的决策，提高机械系统的整体性能。
1. 多目标优化方法的背景和意义随着科技的发展和社会的进步，人们对机械系统的要求越来越高。
传统的单目标优化方法只能考虑一个设计目标，无法兼顾多个目标之间的矛盾和权衡。
而多目标优化方法通过建立数学模型，将多个目标函数进行综合评估，从而找到一组最优解，使得系统在多个方面都能达到最佳性能。
这种方法能够提高机械系统的效率、可靠性和可持续性，具有重要的理论和实际意义。
2. 多目标优化方法的应用领域多目标优化方法在机械工程领域有广泛的应用。
例如，在汽车工业中，工程师可以利用多目标优化方法来平衡车辆的性能、安全性和燃油经济性。
在航空航天领域，多目标优化方法可以用于飞机结构的优化设计，以提高飞行性能和降低材料消耗。
在机器人技术中，多目标优化方法可以用于机器人路径规划和控制，使得机器人能够在复杂环境中高效地完成任务。
3. 多目标优化方法的研究内容和方法多目标优化方法的研究内容包括目标函数的建立、约束条件的处理、优化算法的选择等方面。
首先，需要确定设计目标，并将其转化为数学模型。
然后，需要考虑约束条件，如材料强度、成本限制等。
接下来，需要选择合适的优化算法，如遗传算法、粒子群算法等，以搜索最优解。
最后，需要对优化结果进行评估和验证，以确保系统的性能和可行性。
4. 多目标优化方法的挑战和发展方向尽管多目标优化方法在机械设计中有广泛的应用，但仍面临一些挑战。
首先，多目标优化方法需要考虑多个冲突的设计目标，如性能和成本之间的权衡。
其次，多目标优化方法需要处理大量的设计变量和约束条件，增加了计算复杂性。
此外，多目标优化方法还需要考虑不确定性和风险，以应对实际工程中的不确定因素。
机械优化设计第7章多目标及离散变量优化
第七章
多目标和离散变量优化方法
第一节 第二节 第三节 第四节 多目标优化问题 多目标优化方法 离散变量优化问题 离散变量优化方法
第一节 多目标优化问题
机械设计中，同时要求几项设计指标达到最优的问题 ——多目标优化设计问题
T .. ( x ) [ f ( x ), f ( x ) f ( x )] F 2 l min min 1 n
xR n
min F ( x) wi fi ( x)
i 1
l
wi——加权因子 (wi≥0，i=1,2,…，l ) 加权因子取值对计算结果的正确性影响较大。
加权因子wi确定的方法: ①将各分目标转化后加权 为消除各分目标在量级上的差别，先将分目标函数fi(x) 转化为无量纲等量级目标函数 f i ( x) (i 1,2,...,l ) ( f i ( x) 1) 再组成统一目标函数。 l F ( x) wi f i ( x)
f i ( x) i f i ( x) (i 1,2,...,l ) i i
* ② wi 1 f i (i 1,2,..., l )
f i* min f i ( x)
xD
(i 1,2,..., l )
即将各单目标函数的最优值的倒数作为权系数， 它反映了各单目标函数离开各自最优值的程度。另 外相当于各分目标函数进行了无量纲的处理，而消 除了各分目标在数量级上的差别。
s.t. g j ( x) 0 ( j 1,2,...,m)
x R
x R n
hk ( x) 0 (k 1,2,..., p n)
多目标优化问题的类型： (1)整体多目标优化 (2)分层(步)多目标优化 多目标优化问题与单目标优化问题有根本性区别: ①单目标问题可以得到最优解，而多目标问题往 往得不到最优解，而只能得到非劣解（有效解） ②多目标优化问题的任意两个设计方案，往往不 易于比较其即可
第七章多目标函数的优化设计方法7.1多目标最优化数学模型-Read
s.t. g u ( X ) 0 hv ( X ) 0
也可以用向量形式表示成
V min F ( X ) F1 ( X ), F2 ( X ),, Ft ( X )
u 1, 2, , m s.t. g u ( X ) 0
上式中，Ps(s=1,2,….L)是优先层次的记号，表 示后面括号中的目标函数属于第s优先层次。 3. 目标规划模型
图7.1两目标最优解的解集
7.3 多目标优化问题的求解方法
7.3.1 评价函数法
评价函数法的主要思想是根据优化问题的特点和决策者的意图，构造一个把m个目标 转化为一个总目标的评价函数。通过对m个目标的“评价”，把求解多目标极小化问题归 结为求解与之相关的单目标极小化问题。
1. 线性加权和法 这是一种最简单也是最基本的评价函数法。它根据各个目标在问题中的重要程度，分别赋 予一个系数，然后相加起来构造评价函数 t 对于一组目标函数F1,F2,…,Ft，分别赋予系数 W1,W2,…,Wt 例7-4 用例7-2来说明线性加权和法的求解过程。 解：由问题可知，钢梁设计问题归结为下面评价函数(约束条件略)
静强度约束
• 7.1.2 多目标最优化数学模型
1. 多目标极小化模型 归纳其共性，可以得到如下数学模型
min F1 ( X ) min F2 ( X ) min Ft ( X )
按其重要性分成如下的L>1个优先层次
1 1 第一优先层—— F1 ( X ), , Fl ( X );
1
2 2 第二优先层—— F1 ( X ),Fl2 ( X );
V ( / 4)(D d ) 2 H 0 0.785( x1 x2 ) 2 (0.35x3 x2 1.5x1 ) 105
第七章多目标函数的优化设计
s.t.
x 1 0
0 x 0
用误差容限法求：w j
Q x = 0时， f1 (0) = 1, f 2 (0) = 3
x = 1时， f1 (1) = 2 , f 2 (1) = 1 根据 j f j (x ) j 1 = 1, 1 = 2； 2 = 1， 2 = 3
f1 = 1
1 = 1；
分目标函数：f1 (x) = x 2 + 1 min .
f 2 (x ) = 2 x + 3 min .
约束区域： D = {x 0 x 1}
( ) 解： min . F (x ) = w1 f1 (x ) + w2 f 2 (x ) = w1 x 2 + 1 + w2 ( 2 Xx + 3R)1
显然，多目标优化问题只有当求得的解是非劣解时才 有意义，劣解是没有意义的，而绝对最优解存在的可能性 很小。
第七章多目标函数的优化设计
例7.1一个二维分目标（n=1，m=2） 的多目标优化问题为：
V min F ( x) = [ f1 ( x) f 2 ( x)]T f1 ( x) = x 2 2 x f 2 ( x) = x
第七章多目标函数的优化设计
在实际的设计中，也常常按照设计者的经验与期望制定出 一个合理的各分目标函数值构成理想解
F 0 = [ f10 f 20 L f m0 ]T
*
0
解之间的离差函数 f ( x) 函数可取以下形式
相对离差
m f j ( x) f j 2
f ( x) = [
]
j =1
fj
加权相对离差
若决策者希望把所考虑的两个目标函数按其重要性 分成以下两个优先层次：第一优先层次——工厂获得最 大利润．第二优先层次——工人加班时间尽可能地少。 那么，这种先在第一优先层次极大化总利润，然后在此 基础上再在第二优先层次同等地极小化工人加班时间的 问题就是分层多目标优化问题。
机械结构优化设计的方法与技巧
机械结构优化设计的方法与技巧随着科技的进步和工程领域的发展，机械结构优化设计在产品开发过程中扮演着重要的角色。
通过优化设计，可以提高产品的性能、降低成本，并且使产品更加可靠和耐久。
本文将介绍一些机械结构优化设计的方法与技巧。
一、目标函数的设定在进行机械结构优化设计时，首先需要明确设计的目标。
目标函数是评价设计质量的重要指标，通常包括结构的重量、尺寸、强度、刚度等。
根据具体的设计需求，可以选择不同的目标函数。
二、约束条件的定义除了目标函数外，还需要定义一些约束条件来限制设计的自由度。
约束条件一般包括材料的强度、公差要求、装配性等。
合理设置约束条件可以确保设计方案符合实际应用需求。
三、参数化建模在进行结构优化设计时，通常需要对设计参数进行合理的选择和设置。
参数化建模可以有效地优化设计过程，并且方便后续的仿真和分析。
通过建立参数化模型，可以灵活地调整设计参数，进而获得最佳的设计方案。
四、多目标优化方法在实际的工程设计中，往往存在多个相互矛盾的目标。
传统的单目标优化方法无法满足多目标的需求，因此需要采用多目标优化方法来求解最优解。
多目标优化方法包括遗传算法、粒子群优化算法等，能够在设计空间中搜索最佳的解集，为设计提供多个最优解。
五、参数优化方法除了优化设计变量外，还需要考虑一些参数的优化。
参数优化方法可以通过对一些特定参数进行调整，以进一步优化设计效果。
参数优化方法可以是构造合理的试验计划，也可以是建立响应面模型进行拟合和优化。
六、设计灵敏度分析设计灵敏度分析是指通过对设计参数的微小变化，分析目标函数的响应情况，以评估设计方案的稳定性和鲁棒性。
通过设计灵敏度分析，可以确定影响目标函数的主要参数，为进一步的优化提供指导。
七、结构优化软件的应用随着计算机技术的发展，结构优化软件在机械结构设计中得到了广泛的应用。
结构优化软件能够通过数值方法对设计进行优化，并且能够自动生成最佳设计方案。
常用的结构优化软件包括ANSYS、ADAMS、ABAQUS等，它们提供了丰富的优化算法和分析工具，能够有效地辅助设计师进行结构优化设计。
机械设计中的多目标多约束优化方法研究
机械设计中的多目标多约束优化方法研究引言机械设计中的优化问题一直是研究者们关注的焦点之一。
在实际应用中，我们常常面临多个相互矛盾的目标和多个约束条件。
如何找到一个满足多个目标和约束条件的最优设计方案是一项具有挑战性的任务。
本文将就机械设计中的多目标多约束优化方法进行研究和探讨。
一、传统的多目标优化方法1. 单目标优化方法的问题在传统的机械设计中，通常采用单目标优化方法来求解设计问题。
但是，这种方法只能得到一个最优解，在多目标问题中显得力不从心。
由于多个目标之间可能存在着冲突和矛盾，通过单目标优化方法很难找到一个满足所有目标的解。
因此，我们需要引入多目标优化方法来解决这个问题。
2. 多目标优化方法的发展多目标优化方法主要有三大类：加权法、约束法和演化算法。
加权法是指将多个目标函数通过加权求和的方式转化为单目标问题，再进行优化求解。
约束法是指将多个目标函数通过加权和约束的方式转化为单目标问题，再进行优化求解。
演化算法是指通过模拟自然进化过程，生成一组可能的解，然后再进行选择和进化，最终得到一组近似最优解。
二、多目标多约束优化方法的研究1. 多目标进化算法多目标进化算法是一种较为常用的方法，它主要包括非支配排序遗传算法（NSGA）、非支配排序遗传算法II（NSGA-II）、多目标粒子群优化算法（MOPSO）等。
这些算法能够有效地寻找到一组近似最优解，并提供给决策者进行选择。
例如，在机械设计中，我们可以通过一组近似最优解来选取满足多个目标的设计方案。
2. 多目标约束方法多目标约束方法是指在满足多个约束条件的前提下，寻找到一个满足多个目标的最优解。
常见的方法有加权函数法、约束法以及置换法等。
这些方法可以将多个目标函数和约束条件一起考虑，通过一系列的优化算法得到一个相对最优的设计方案。
例如，在机械设计中，我们需要考虑多个目标，如材料的强度、成本的最小化以及重量的减少，同时还需要满足制造工艺的要求等。
三、案例分析以某工程机械设计为例，我们希望设计一款满足多个目标和约束条件的挖掘机。
机械优化设计_第七章多目标及离散变量优化方法
i m in w i f i X X D i 1
的最优解，
它就是原多目标优化问题的解。
机械优化设计 难点：如何找到合理的权系数 解决方法：将各单目标最优化值的倒数取作权系数
wi
1 fi
( i 1, 2 , , l )
f i m in f i X ( i 1, 2 , , l )
i i
适用于要求目标函数越小越好。 ③当 f i 取得的值越靠近预先确定的适当值时，
c i 越大；否则 c i 越小。
机械优化设计
3）功效系数的确定方法
①直线法
机械优化设计 ②折线法
③指数法
机械优化设计 4）功效系数的特点 A．优点： 直观，计算后调整方便， 避免某一目标函数值不可接受而评价函数值较好。 可以处理希望目标函数值取某一适当值的情况。 B．事先要求明确函数值的取值范围 C. 有一个单目标不能接受,则总方案不能接受。
机械优化设计 3．协调曲线法
基本思想：在多目标优化设计中，当各分目
标函数的最优值出现矛盾时，先求出一组非
劣解，以其集合得出协调曲线，再根据恰当 的匹配关系得到满意曲线，沿着满意程度的 增加的方向，各分目标值下降，直至获得选 好解。 主要用来解决设计目标互相矛盾的多目标 优化设计问题。
机械优化设计 说明： 1）若一个目标函数值已确定，则另一目 标函数值也由此曲线确定。 2）若认为R点是一个满意的设计方案， 则曲线中QS间所有设计点都是满意的，且比 R更好。
X D
1）可反映各个单目标对整个多目标问题的重要程度； 2）对各个分目标函数作统一量纲处理。
机械优化设计 （2）极大极小法
考虑对各个目标最不利情况下求出最有利的解。就是对 多目标极小化问题采用各个目标 f i ( i 1, 2, , l ) 中的最大值作为评价函数的函数值来构造它。 即取 或
机械设计中的多目标优化与决策方法
机械设计中的多目标优化与决策方法在机械设计领域，为了满足不断变化和日益复杂的市场需求，提高产品的性能、质量和降低成本等多方面的要求，多目标优化与决策方法逐渐成为了至关重要的工具。
这些方法能够帮助设计师在众多可能的设计方案中，找到最理想的解决方案，实现多个相互冲突的目标之间的平衡。
多目标优化问题的特点在于需要同时考虑多个目标函数，这些目标往往相互制约、相互影响。
例如，在设计一款汽车发动机时，既要追求更高的功率输出，又要降低燃油消耗，同时还要减少尾气排放和降低噪声。
这些目标之间并非完全独立，提高功率可能会导致燃油消耗增加，而降低噪声又可能会增加成本。
因此，多目标优化的关键在于找到一组最优的设计变量，使得各个目标函数都能达到相对满意的水平。
在解决多目标优化问题时，常用的方法包括加权法、目标规划法和Pareto 最优解方法等。
加权法是将多个目标函数通过赋予不同的权重转化为一个综合的目标函数，然后进行优化求解。
这种方法的优点是简单直观，但权重的确定往往具有一定的主观性，可能会影响最终的优化结果。
目标规划法则是通过设定各个目标的期望水平和偏差范围，将多目标问题转化为一个目标与期望水平偏差最小的规划问题。
这种方法能够较好地处理目标之间的优先级关系，但对于复杂的多目标问题，可能会出现计算量过大的问题。
Pareto 最优解方法是目前多目标优化中应用较为广泛的一种方法。
Pareto 最优解是指在一组解中，不存在任何一个解在不降低其他目标函数值的情况下，能够使得某一个目标函数值得到进一步的改善。
通过寻找 Pareto 最优解集，设计师可以根据实际需求从众多非劣解中选择一个最满意的解。
这种方法能够充分考虑多个目标之间的权衡关系，为设计师提供更多的选择。
然而，仅仅得到多目标优化的解集还不够，还需要进行决策以确定最终的设计方案。
决策过程需要综合考虑各种因素，如技术可行性、经济成本、市场需求和社会环境等。
常用的决策方法包括基于偏好的决策方法、基于多属性决策的方法和基于模糊理论的决策方法等。
多目标优化设计方法PPT39页
间接法
线性加权和法、主要目标函数法、理想点法、 平方和加权法、子目标乘除法、功效系数法
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题
分层序列法、宽容分层序列法
7.2 统一目标函数法（综合目标法）
一、基本思想 统一目标函数法就是设法将各分目标函数
f1(X),f2(X),…,fl(X)统一到一个新构成的总的目标函数 f(X), 这样就把原来的多目标问题转化为一个具有统— 目标函数的单目标问题来求解．
7.1 概述
一、多目标优化及数学模型 单目标最优化方法 多目标最优化方法
多目标优化的实例： 物美价廉
7.1 概述（续）
设计车床齿轮变速箱时，要求： 各齿轮体积总和 f1(X ) 尽可能小
降低成本
各传动轴间的中心距总和 f2 (X ) 尽可能小 使变速箱结构紧凑。
合理选用材料
使总成本 f3 (X ) 尽可能小。
hj ( X ) 0, ( j 1, 2,..., k)
向量形式的目标函数
设计变量应满足的所 有约束条件
7.1 概述（续）
二、几个基本概念
1、最优解 设 X* D (D为可行域）， 若对于任意 X D ，恒使
fi ( X*) fi ( X )(i 1, 2,..., m)
成立，则称X*为多目标优 化问题的绝对最优解，简称最优解。
对于多目标优化问题，任何两个解不一定能比较其 优劣；
多目标优化问题得到的可能只是非劣解（有效解）， 而非劣解往往不止一个，需要在多个非劣解中找出一个最 优解。
7.1 概述（续）
三、多目标优化问题的特点及解法（续) 2、解法：
直接法： 直接求出非劣解，然后再选择较好的解
将多目标优化问题转化为单目标优化问题
机械设计中的多目标设计优化技术
机械设计中的多目标设计优化技术随着科技的不断进步和发展，机械设计领域也在不断创新和改进。
多目标设计优化技术作为机械设计中的重要一环，被广泛应用于各种工程领域。
本文将探讨机械设计中的多目标设计优化技术，并介绍其在实际应用中的重要性和挑战。
一、多目标设计优化技术的概念和原理多目标设计优化技术是指在机械设计过程中，考虑多个目标函数和约束条件，通过寻找最优解的方法，使得设计方案在多个目标指标下达到最佳状态。
其基本原理是通过建立数学模型，利用优化算法搜索最优解。
常用的多目标优化算法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
二、多目标设计优化技术的应用多目标设计优化技术在机械设计中的应用非常广泛。
以汽车设计为例，传统的汽车设计中通常只考虑单一目标，如降低油耗或提高车速。
然而，在实际应用中，汽车设计需要综合考虑多个目标，如安全性、舒适性、燃油经济性等。
多目标设计优化技术可以帮助设计师在不同目标之间进行权衡和平衡，得到最优的设计方案。
除了汽车设计，多目标设计优化技术还广泛应用于飞机设计、机械设备设计、建筑设计等领域。
例如，在飞机设计中，需要考虑飞行速度、燃油消耗、载重能力等多个目标。
通过多目标设计优化技术，可以找到最佳的设计方案，提高飞机的性能和效率。
三、多目标设计优化技术的挑战虽然多目标设计优化技术在实际应用中具有重要的意义，但也面临着一些挑战。
首先，多目标设计优化问题通常具有高维度和复杂的搜索空间，导致计算量巨大。
其次，不同目标之间可能存在冲突和矛盾，需要进行权衡和平衡。
此外，多目标设计优化问题还可能受到不确定性和噪声的影响，使得优化结果不够稳定和可靠。
为了克服这些挑战，研究人员提出了许多改进和优化的方法。
例如，引入多目标决策方法，通过建立决策模型，帮助设计师进行权衡和决策。
另外，还可以结合机器学习和人工智能技术，提高优化算法的效率和准确性。
四、结语多目标设计优化技术在机械设计中具有重要的作用和价值。
它可以帮助设计师在多个目标之间进行权衡和平衡，找到最佳的设计方案。
第七章多目标函数的优化设计方法
第9章 多目标函数的优化设计方法Chapter 9 Multi-object Optimal Design在实际的机械设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最优，这类问题称为多目标优化设计问题。
与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设计有着多种提法和模式，即数学模型。
因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。
9.1 多目标最优化模型9.1.1 问题举例例9-1 生产计划问题 某工厂生产n （2≥n ）种产品：1号品、2号品、...、n 号品。
已知：该厂生产)...,,2,1(n i i =号品的生产能力是i a 吨/小时； 生产一吨)...,,2,1(n i i =号品可获利润i α元；根据市场预测，下月i 号品的最大销售量为)...,,2(n i b i =吨； 工厂下月的开工能力为T 小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。
问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少；工厂获得最大利润；满足市场对1号品尽可能多地要求。
为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i 号品的时间为)...,,1(n i x i =小时。
9.1.2 基本概念如图9.1所示，两个目标函数f 1,f 2中的若干个设计中，3，4称为非劣解，若)(min{)(*x f x f j j ≤S.t ．0)(≤x g u u=1,2,………….m成立，则称*x 为非劣解。
若不存在一个方向，同时满足：0)(*≤*∇s x f (目标函数值下降0)(*≤*∇s x g (不破坏约束)图9.1则称*x 为约束多目标优化设计问题的K-T 非劣解。
这样，多目标优化设计问题的求解过程为：先求出满足K-T 条件的非劣解，再从众多的非劣解确定一个选好解。
多目标优化的数学模型：T r x f x f x f X F V )](),........(),([)(min 21=--S.t ．0)(≤x g u u=1,2,………….m0)(=x h v v=1,2,……….p式中：)(X F 是向量目标函数。
7、多目标优化设计方法
权因子的确定方法： 权因子的确定方法： 在确定权因子前， 在确定权因子前 ， 应先将各子目标函数进行 无量纲化，处理的方法是： 无量纲化，处理的方法是：
fi ' ( X ) fi ( X ) = min fi ' ( X )
X∈D
是多目标问题中某个带量纲的子目标； fi ' ( X ) 是多目标问题中某个带量纲的子目标； 是作了无量纲处理后的第i个子目标函数 fi ( X ) 是作了无量纲处理后的第 个子目标函数 (1) 专家评判法（老手法） 专家评判法（老手法） 凭经验评估，并结合统计处理来确定权数的方法。 凭经验评估 ， 并结合统计处理来确定权数的方法 。 特点：方法实用，但要求专家人数不能太少。 特点：方法实用，但要求专家人数不能太少。
成立，则称X*为多目标优 成立，则称 为多目标优 化问题的弱非劣解或弱有 效解。 效解。 所有弱有效解组成的集合称为弱有效解集 弱有效解集,用 * 表示。 所有弱有效解组成的集合称为弱有效解集 用 Dwp 表示。 三者之间关系： 三者之间关系：
* * Dab ⊆ D* ⊆ Dwp ⊆ D pa
在多目标优化设计中， 在多目标优化设计中，如果一个解使每个分目标函数 值都比另一个解为劣，则这个解称为劣解。 值都比另一个解为劣，则这个解称为劣解。
（2）容限法 ） 若已知子目标函数f 的变动范围为： 若已知子目标函数 i(X)的变动范围为： 的变动范围为
αi ≤ fi ( X) ≤ βi , i =1,2,..., L
则称
∆fi ( X ) =
βi −αi
2
(i = 1,2,..., L)
为该目标函数的容限
2
这时权数可取为： 这时权数可取为：ωi = 1 [ ∆fi ( X )] , i = 1,2,..., L 目的：在评价函数中使各子目标在数量级上达到 目的： 统一平衡。 统一平衡。
多目标优化
7.3.1多目标优化设计数学模型
优化设计中，若有m个设计指标表达的目标函数要求同时 达到最优，则表示为
m F ( x ) f 1 i ( x ) n f 2 ( x ) f m ( x ) T
7.2.1数学模型中的尺度变换
数学模型中的尺度变换问题，是指用过改变在设计空间中 个坐标分量的比例，以改善数学性态的一种办法。
7.2.1设计变量的尺度变换
7.2.2约束条件的尺度变换
7.2.3目标函数的尺度变换
7.3多目标函数优化问题
在设计中，优化设计方案的好坏仅依赖于一项设计指标， 即所建立的目标函数仅含一个目标的函数，这样的目标函数 称为单目标函数，属于单目标优化设计问题。
其中l4=a为已知，是设计常 量；又l1=l3，l3为非独立变
量，；l2是又l1与l2a的0函2l1 数c，o 故0ls 2也
为非独立变量。所以只有两 个参数是独立变量
x l1 0 T x 1x 2
设计变量愈多,维数愈高，设计的自由度越大，容易得到 较理想的优化结果；但维数越高，会使目标函数，约束函 数所包含的变量增多，导致计算量增大，并使优化过程更 为复杂及降低解题的效率。所以，在建立目标函数时，确 定设计变量的原则是在满足设计要求得前提下，将尽可能减 少设计变量的个数，即降低维数。
j
1
f
* j
（j=1，2，……m）
行其域中内，的f最j*优目m x标Di函fnj(数x)值（。j=1式，中2的…… j，反m映）了即各分分目目标标在函可数
机械设计的多目标优化研究
机械设计的多目标优化研究随着科技的发展和社会需求的提升，机械设计作为一门重要的工程学科，逐渐引起了人们的关注。
在机械设计中，如何实现多目标的优化成为了一个重要的研究方向。
本文将对机械设计的多目标优化进行探讨，并介绍其在实际中的应用。
一、多目标优化的概念1.1 传统的单目标优化传统的机械设计中，通常以单一的目标为导向进行优化，如提高产品的性能、降低成本、提高生产效率等。
这种方法虽然能够在某个特定目标上取得不错的结果，但在实际应用中往往难以满足综合要求。
1.2 多目标优化的出现为了解决传统设计方法难以综合多个目标的问题，多目标优化的概念应运而生。
多目标优化的目标是在设计过程中，同时考虑多个指标，并通过合理的建模和优化方法，得到一组最优解，从而实现设计的综合优化。
二、多目标优化方法2.1 目标规划法目标规划法是一种常用的多目标优化方法。
它通过将多个目标进行加权，将多个目标转化为单一的目标函数，从而实现优化设计。
目标规划法的关键在于确定不同目标之间的权重，以及权重的调整方法。
2.2 约束优化法约束优化法是另一种多目标优化方法。
它通过将约束条件作为优化的一部分，同时考虑多个目标和约束条件，实现多目标优化。
约束优化法的关键在于确定约束条件的形式和权重，以及约束条件与目标之间的关系。
2.3 进化算法进化算法是一类基于生物进化原理的优化方法，如遗传算法、粒子群算法等。
进化算法通过模拟生物进化的过程，通过选择、交叉、变异等操作，逐代演化出优良的解。
进化算法非常适合处理多目标优化问题，可以得到一组近似最优解。
三、多目标优化在实际中的应用3.1 汽车设计中的多目标优化汽车设计中的目标通常包括车辆的速度、燃油经济性、舒适性等。
通过多目标优化方法，可以得到既能保证车辆性能，又能降低燃油消耗的设计方案。
同时，多目标优化还可以考虑车辆的安全性、空气动力学性能等因素，实现更全面的设计优化。
3.2 机械零件设计中的多目标优化在机械零件设计中，一般需要考虑零件的轻量化、强度、刚度等多个目标。
机械优化设计课件prt7
第一节 多目标优化问题
在实际问题中，对于大量的工程设计方案要评价其优劣， 往往要同时考虑多个目标。例如 减速箱的设计提出下列要求： 1.各齿轮体积之和f1(X)尽可能小，用料少，成本低。 2.各传动轴间的中心距总和f2(X)尽可能小，结构紧凑。 3.齿轮的最大圆周速度f3(x)尽可能低，运转噪声小。 4.传动效率尽可能高，机械损耗率f4(X)尽可能低，以节省能源。
W
i 1
i
i
1 Wi 0 (i 1,2,...,l )
评价函数为
min F ( x) min{ Wi f i ( x) }
i 1
l
使用这个方法的难处在于如何找到合理的权 系数Wi,以反映各个单目标对整个多目标问题中 的重要程度。使原多目标优化问题较为合理地 转化为单目标优化问题，且此单目标优化问题 的解又是原多目标优化问题的好的非劣解。 一种确定权系数的方法
i 1 lBiblioteka 三、分层序列法及宽容分层序列法
将目标函数，按重要程度排列，然后依次对各个目标求最优 解，不过后一个目标在前一目标最优解的集合域内寻找。
第三节 离散变量优化问题
整数变量 齿轮的齿数、加强筋的数量、行星轮的个数等。 离散变量 齿轮模数、型钢尺寸以及大量的标准表格，数据等。 整数可以视为是离散数的一种特殊形式 离散变量是指在规定的变量界限内，只能从有限个离散值或整数 值中取值的一种变量。 处理离散变量的一种简易方法是将其视为连续变量来处理，在得 到有化解后，圆整到最近的值。 问题： 1.圆整后出界 2.没有排他性
2.理想点法与平方和加权法
使各个目标尽可能接近各自的理想值，从而可以 求出较好的非劣解。理想点的评价函数为：
机械设计中基于多目标优化的设计方法研究
机械设计中基于多目标优化的设计方法研究随着现代机械制造技术的迅猛发展，越来越多的机械设计师开始意识到，传统的单一目标优化方法已经无法满足现代机械设计的需求。
于是，基于多目标优化的设计方法应运而生，并成为了机械设计的新趋势。
什么是多目标优化？多目标优化是一种通过最大化或最小化多个相互矛盾的目标函数来进行优化的方法。
与传统单一目标优化不同，多目标优化不仅考虑一个目标函数，而是考虑几个目标函数之间的平衡。
因此，多目标优化方法能够在一定程度上解决单目标优化方法无法解决的问题。
机械设计中的多目标优化在机械设计中，一个机械产品的性能往往需要考虑多个目标，例如重量、强度、刚度、成本等。
如果仅考虑单一目标进行优化，则无法得到最优解，有时甚至不可能得到任何可行解。
因此，机械设计师往往需要使用多目标优化方法来进行设计。
多目标优化的方法在机械设计中，多目标优化方法包括以下三种：1. 加权和法加权和法是最简单、最常用的多目标优化方法之一。
这种方法通过将各目标函数进行加权求和，将多个目标转化为一个综合目标函数，并通过求解这个综合目标函数的最小值或最大值来进行优化。
2. 约束法约束法是一种将多个目标函数结合成为一个优化问题的方法。
通过将每个目标函数的值限定在一个特定的范围内，使得多个目标函数或者目标函数与约束条件相结合形成一个统一的数学规划问题。
3. 非劣解法非劣解法是一种经常用于专家系统的方法，通过寻找潜在的非劣解，即那些在所有目标函数上都是优秀的设计方案，寻找一个比较平衡的设计方案。
多目标优化应用案例1. 航空发动机叶轮设计在航空发动机叶轮设计中，需要考虑减小叶轮质量、提高转动刚度、减小离心力等多个目标。
传统的单一目标算法很难得到满足所有要求的最优解。
而利用多目标优化方法，能够同时考虑各个目标，得到客观条件下的最优解。
2. 机床结构设计在机床结构设计中，需要考虑刚度与自重、成本等多个目标。
多目标优化方法能够采用不同的权重和权重的变化，以求得最优的性能解，使得机床结构达到最优。
机械结构优化设计的多目标算法研究
机械结构优化设计的多目标算法研究随着工业技术的飞速发展，机械结构的优化设计成为了提高产品性能与质量的关键之一。
传统的机械结构设计方法大多基于单一目标，往往忽视了整体性能的综合考虑。
而多目标优化设计方法的出现，可以在保证机械结构性能的前提下，满足多个冲突的设计要求。
一、多目标优化设计的思想和方法多目标优化设计是通过考虑多个性能因素的相互关系，通过寻找不同设计方案中的最优解集，以实现结构性能的综合优化。
其基本思想是建立一个目标函数空间，通过寻找Pareto最优解集，给出不同目标之间的最优权衡。
为了实现多目标优化设计，研究人员提出了许多不同的算法方法。
其中，基于遗传算法的多目标优化设计方法是最为常用的一种。
遗传算法通过模拟进化的过程，以优势个体为基础进行自然选择和交叉变异，从而得到最优解。
二、多目标优化设计的应用领域与挑战多目标优化设计方法在机械结构设计中具有广泛的应用前景。
例如，在汽车设计中，既要考虑车身的轻量化和强度的提高，又要满足车内空间的舒适性和安全性的要求。
而在航空航天领域，高强度和轻量化是首要目标，但同时还要考虑到空气动力学特性和结构的可靠性。
然而，多目标优化设计也面临着一些挑战。
首先，多目标优化的设计空间往往非常大，搜索算法需要在复杂的设计空间中找到最优解集。
其次，多目标优化设计算法需要解决目标之间的冲突和权衡问题，使得优化结果具有一定的可行性和稳定性。
此外，多目标优化设计方法还需要解决参数选择和结果评估等关键问题。
三、传统多目标优化设计方法的不足和发展趋势传统的多目标优化设计方法忽视了设计空间中的非线性和多样性，导致设计结果局限于局部最优解。
为了克服这些不足，研究人员对多目标优化设计方法进行了改进和发展。
首先，针对设计空间中的非线性问题，研究人员引入了拟合函数等方法，对设计空间进行建模和近似。
其次，为了提高多样性，研究人员采用了多种搜索算法的组合，如粒子群优化算法和模拟退火算法的混合方法。
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函数值在量级上较大的差别，可以先将各分目标
函数fj(X)转换为无量纲且等量级的目标函数 f j X (j=1,2,…, t)，然后用转换后的分目标函数 f j X来
组成一个统一目标函数
t
f X wj f j X
(7-3)
j 1
加权因子wj(j=1,2,…, t)是根据各项分目标在最优
化设计中所占的重要程度来确定。当各项分目标
t
f X wj f j X j 1
以f(X)作为单目标优化问题求解。
（7-2）
加权因子wj是一组大于零的数，其值决定于各项目标的 数量级及其重要程度。选择加权因子对计算结果的正确
性响较大。确定加权因子wj的方法是多种多样的，主 要有下列几种处理方法。
(一)将各分目标转化后加权
在采用线性加权组合法时，为了消除各个分目标
有相同的重要性时，取wj=1(j=1,2,…, t)，并称为 均匀计权；否则各项分目标的加权因子不等，可
取
t
wj
1或其他值。
j 1
分目标函数fj(X)可选择合适的函数 使其转换为无量纲等量级目标函数。
如，若能预计各分目标函数值的变动
范围为
αj≤fj(X)≤βj (j=1,2,…, t) 则可用如图所示的正弦函数
min
X D Rn
D : gu X 0
f1X
(u 1,2,, m)
gu1 X
f
0 2
f2X 0
用图表明其几何意义D为gu(X)≥0(u=1,2,3,4)构成的多目标优化问
题的可行域。X*(1)、X*(2)分别为
、 的最优点。现 min
X D R n
f1
X
min
X D R n
f2
X
将f2(X)转化为g5(X)= f20–f2(X)≥0(u=1,2,3,4)新的约束条件，这样原
多目标优化问题可视为f1(X)在由gu(X)≥0(u=1,2,3,4,5)构成的新的可
行域(阴影所示)中的单目标优化问题。显然X*即为原多目标优化
问题最优点。
对于一般情况，可把多目标最优化问题转为如下的单目标最优化 问题：
基f2(X本)，思…想，是f根t(X据)中总选体定技其术中条一件个，作在为求主最要优目解标的函各数分，目而标将函其数余f1((tX–)1，) 个分目标函数分别给一限制值后，使其转化为新的约束条件。这
样抓住主要目标，同时兼顾其它目标，从而构成一个新的单目标 最优问题进行求优。
以二维的具有两个分目标函数的多目标最优化问题为例，对主要 目标法进行说明
能接受，此时必有某项分目标函数的功效系数ηj＝0。
图给出了几种功效系数函数曲线，其中图(a)表示与fj(X)值成正比 的数功，效图系(c)数表η示j的fj(函X)数值，过图大(和b)表过示小与都f行j(X的)值功成效反系比数的函功数效。系在数具η体j的使函
用接为这受效些方果功案稍效的差系功但数效可函系接数数受时下的应限情作；况出；0.3相0＜.7应η≤jη≤的j0≤.规14为为定效较。果差例最情如好况规的；定情0η.4j况＝＜。0η.3j≤为0.可7
f
0 j
f
0 j
2
这意味着当各项分目标函数分别达到各自最合理值fj0时， 统一目标函数f(X)为最小。式中除以fj0是使之无量纲化。
在目标规划法中，关键是如何制定恰当的合理值fj0。
三、功效系数法
将每个分目标函数fj(X) (j=1,2,…, t)都用一个称为功效系 数ηj (j=1,2,…, t)来表示该项指标的好坏。
用总功效系数η作为统一目标函数f(X) f(X)＝η＝(η1 η2…ηt)1/t→max
比较直观且易调整，同时由于各个分目标最终都化为0~1间的数 值，各个分目标函数的量纲不会互相影响，而且一旦有一项分目 标函数不理想(ηj＝0)，其总功效系数必为零，表示该设计方案不 能接受。另外，这种方法易于处理，有的目标函数既不是愈大愈 好，也不是愈小愈好的情况。因而虽然计算较繁，但仍不失为一 种有效的多目标优化方法。
图7-5是在f1(X)–f2(X)坐标系内用图 7-4 AB线段上各点所对应函数值作出 的关系曲线，这是协调曲线的另一种 表现形式，在这里可以更情楚地看出 两目标函数极小化过程中相互矛盾关 系。
可将协调曲线作为相互矛盾的目标 函数取得相对优化解的主要依据。至 于要从协调曲线上选出最优方案，还 需要根据两个目标恰当的匹配要求、 实验数据、其他目标的好坏以及设计 者的经验综合确定。
V
min [
X D Rn
f1X
,
f2 X
]T
D : gu X 0 (u 1,2,, m)
假把定次经要分目析标后函数f1(X加)取上作一主个要约目束标f20函：数，f2(X)则为次要目标函数，
f2(X)≤f20 f就20为把一原事多先目给标定最的优限化制问值题(转显化然为它求不以能下小的于单f2(目X)标的最最优小化值问)。题这：样
min
X DRn
f1
X
D : gu X 0 u 1,2, , m)
hv X 0 v 1,2,, p n)
gm j1 X
f
0 2
f j X 0
( j 2,3,,t)
其中f1(X)为主要目标函数。
7-4协调曲线法
在一个多目标优化问题中，会出现当 一个分目标函数的优化将导致另一些 分目标函数的劣化，即所谓目标函数 相互矛盾的情况。为了使某个较差的 分目标也达到合理值，需要以增加其 它几个分目标函数值为代价，也就是 说各分目标函数值之间需要进行协调， 互相作出一些让步，以便得出一个较 合理的方案。
y x sin x (0 x （27)-5） 2
实现将各分目标函数都转换为在0~1的范围内取值。
令目标函数的下界值αj和上界值βj分别与式(7-5)正弦转换函数自变
量的下界值0和上界值2π相对应，则相应于fj(X)的转换函数的自变
值x为
x f j X j 2 ( j 1,2,,t)
常用的有线性加权组合法、目标规划法、功效 系数法和相乘除法。
一、线性加权组合法
线性加权组合法的基本思想是在多目标最优化问题中， 将其各个分目标函数f1(X)，f2(X)，…，ft(X)依其数量级 和在整体设计中的重要程度相应地给出一组加权因子w1， w2，…，wt，取fj(X)与wj(j=1,2,…, t)的线性组合，人为地 构成一个新的统一的目标函数，即
功效系数ηj是一个定义于0≤ηj≤1之间的函数，当ηj＝1时 表示第j个分目标的效果达到最好；ηj＝0时表示第j个分 目标的效果最坏，将这些系数的几何平均值称为总功效 系数η，即
η＝(η1 η2…ηt)1/t η的大小可表示该设计方案的好坏，显然，最优设计方
案应是
η＝(η1 η2…ηt)1/t→max 当η=1时表示取得最理想方案；当η=0时表明这个方案不
对于两个以上的目标函数，不难想 象可以构成协调曲面。
对于多目标优化问题，任何两个解不一定都可以评判出其优劣。
设X(0)、X(1)为满足多目标最优化问题约束条件的两个设计方案， 判别这两个方案的优劣需分别计算各自对应的分目标函数值 f1(X(0))，f2(X(0)),… ,ft(X(0))和f1(X(1)),f2(X(1)),…,ft(X(1))进行对照，若 fj(X(1))≤ fj(X(0)) (j=1,2,…t)
7-2统一目标函数法
统一目标函数法就是设法将各分目标函数f1(X)， f2(X)，…，ft(X)统一到一个新构成的总的目标函 数f(X)={ f1(X)，f2(X)，…，ft(X)}中，这样就把 原来的多目标问题转化为具有一个统一目标函 数的单目标问题来求解。
在求统一目标函数极小化过程中，可以按照不 同的方法来构成不同的统一目标函数
量级差别方面的影响。并在迭代过程中逐步加以校正。
考虑到设计变量对各分目标函数值随设计变量变化而不
同，若用目标函数值的梯度来刻画这种差别，其校正权 因子值相应可取
w2j=1/‖▽fj(X)‖2 (j=1,2,…, t)
这值意愈味大着 ，一 则个 加分 权目因标子函w2数j愈fj小(X)；的变化愈快，即‖▽fj(X)‖2
反之，其加校因子应取大些。这样可使变化快慢不同的 目标函数一起调整好。
二、目标规划法
基本思想是先定出各个分目标函数的最优值，根据多
目标优化设计的总体要求对这些最优值作适当调整，
定出各个分目标的最合理值fj0(j=1,2,…, t)，然后按平方 和法来构造统一目标函数
f X
t
j1
f j X
j j
转换后目标函数
f
j X
xj
2
sin
xj
( j 1,2,,t)
（二）直接加权
把加权因子分为二部分．即第j项分目标函数的加权因 子
wj= w1j·w2j (j=1,2,…, t) w1j—反映相对重要性的加权因子，称本征权。 w2j—第j项分目标的校正校因子,用于调整各分目标间在
第七章 多目标函数的优化设计方法
7-1 概 述
在机械优化设计中，某个设计往往并非只有一项设计指标要求最 优化。
如设计一台齿轮变速箱，常常同时希望它的重量尽可能轻，寿命 尽可能长，运转噪声尽可能小，制造成本尽可能低。
这种同时要求几项设计指标达到最优的问题，就称为多目标优化 设计问题。按照要求优化的各项指标可分别建立目标函数f1(X)， f2(X)，f3(X)，f4(X)，…，这些目标函数称分目标函数。
多目标优化设计中,如果一个解使每个分目标函数值都比另一个解 为劣,则这个解称为劣解。
实际上一个分目标的极小化会引起另一个或一些分目标的变化， 有时各个分目标的优化还互相矛盾，甚至完全对立
在各分目标函数f1(X),f2(X),…,ft(X)的最优值之间进行协调,互相作出 些“让步”,以便取得对各分目标函数值来说都算是比较好的方案。