机械优化设计方法第七章 多目标函数的优化设计方法
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第七章 多目标函数的优化设计方法
7-1 概 述
在机械优化设计中，某个设计往往并非只有一项设计指标要求最 优化。
如设计一台齿轮变速箱，常常同时希望它的重量尽可能轻，寿命 尽可能长，运转噪声尽可能小，制造成本尽可能低。
这种同时要求几项设计指标达到最优的问题，就称为多目标优化 设计问题。按照要求优化的各项指标可分别建立目标函数f1(X)， f2(X)，f3(X)，f4(X)，…，这些目标函数称分目标函数。
反之，其加校因子应取大些。这样可使变化快慢不同的 目标函数一起调整好。
二、目标规划法
基本思想是先定出各个分目标函数的最优值，根据多
目标优化设计的总体要求对这些最优值作适当调整，
定出各个分目标的最合理值fj0(j=1,2,…, t)，然后按平方 和法来构造统一目标函数
f X
t
j1
f j X
f2
X
将f2(X)转化为g5(X)= f20–f2(X)≥0(u=1,2,3,4)新的约束条件，这样原
多目标优化问题可视为f1(X)在由gu(X)≥0(u=1,2,3,4,5)构成的新的可
行域(阴影所示)中的单目标优化问题。显然X*即为原多目标优化
问题最优点。
对于一般情况，可把多目标最优化问题转为如下的单目标最优化 问题：
f
0 j
f
0 j
2
这意味着当各项分目标函数分别达到各自最合理值fj0时， 统一目标函数f(X)为最小。式中除以fj0是使之无量纲化。
在目标规划法中，关键是如何制定恰当的合理值fj0。
三、功效系数法
将每个分目标函数fj(X) (j=1,2,…, t)都用一个称为功效系 数ηj (j=1,2,…, t)来表示该项指标的好坏。
常用的有线性加权组合法、目标规划法、功效 系数法和相乘除法。
一、线性加权组合法
线性加权组合法的基本思想是在多目标最优化问题中， 将其各个分目标函数f1(X)，f2(X)，…，ft(X)依其数量级 和在整体设计中的重要程度相应地给出一组加权因子w1， w2，…，wt，取fj(X)与wj(j=1,2,…, t)的线性组合，人为地 构成一个新的统一的目标函数，即
对于多目标优化问题，任何两个解不一定都可以评判出其优劣。
设X(0)、X(1)为满足多目标最优化问题约束条件的两个设计方案， 判别这两个方案的优劣需分别计算各自对应的分目标函数值 f1(X(0))，f2(X(0)),… ,ft(X(0))和f1(X(1)),f2(X(1)),…,ft(X(1))进行对照，若 fj(X(1))≤ fj(X(0)) (j=1,2,…t)
功效系数ηj是一个定义于0≤ηj≤1之间的函数，当ηj＝1时 表示第j个分目标的效果达到最好；ηj＝0时表示第j个分 目标的效果最坏，将这些系数的几何平均值称为总功效 系数η，即
η＝(η1 η2…ηt)1/t η的大小可表示该设计方案的好坏，显然，最优设计方
案应是
η＝(η1 η2…ηt)1/t→max 当η=1时表示取得最理想方案；当η=0时表明这个方案不
这种矛盾关系可以通过协调曲线法来 形象化地说明。
以的无极约小束化二为维例双，目图标7-4函给数出f1了(X各)、自f2的(X等) 值线图，可以看到它们各自极小化的 趋势和相互关系。图上的任意一点代 表着一个具体的双目标函数的设计方 案极。小其值中点。A、B分别代表f1(X)及f2(X)的
C点为某一设计方案，该处f1(X)＝4，f2(X)＝9。 当取定f2(X)＝9时，极小化f1(X)，得D点(f1(X)＝ 1.5)为最佳设计方案。同样，当取定f1(X)＝4时， 极小化f2(X)，可得到E点为最佳设计方案。显然 D、E两点的设计方案均优于C点，实际上在阴影 区内的任一点的设计方案均优于C点。
线段DE的延长线AB即协调曲线，设计方案点 在该线段上移动，出现一个函数值减小必然导致 另一函数值增大、两目标函数相互矛盾现象。 AB线段形象地表达了两目标函数极小化过程中 的协调关系，其上任一点都可实现在一个目标函 数值给定时，获得另一目标函数的相对极小化值， 该值即可用作确定x1、x2的参考。
t
f X wj f j X j 1
以f(X)作为单目标优化问题求解。
（7-2）
加权因子wj是一组大于零的数，其值决定于各项目标的 数量级及其重要程度。选择加权因子对计算结果的正确
性影响较大。确定加权因子wj的方法是多种多样的，主 要有下列几种处理方法。
(一)将各分目标转化后加权
在采用线性加权组合法时，为了消除各个分目标
函数值在量级上较大的差别，可以先将各分目标
函数fj(X)转换为无量纲且等量级的目标函数 f j X (j=1,2,…, t)，然后用转换后的分目标函数 f j X来
组成一个统一目标函数
t
f X wj f j X
(7-3)
j 1
加权因子wj(j=1,2,…, t)是根据各项分目标在最优
化设计中所占的重要程度来确定。当各项分目标
j j
转换后目标函数
f
j X
xj
2
sin
xj
( j 1,2,,t)
（二）直接加权
把加权因子分为二部分．即第j项分目标函数的加权因 子
wj= w1j·w2j (j=1,2,…, t) w1j—反映相对重要性的加权因子，称本征权。 w2j—第j项分目标的校正校因子,用于调整各分目标间在
则方案X(1)肯定比方案X(0)好。然而绝大多数情况是X(1)所对应的某 些时fXj((X1)与(1))X小(0于)两X个(0)方所案对的应优的劣某一些般fj(X就(0难))，以而绝另对一比些较则了刚，好这相是反多，目这标 优化问题的特点。
在多目标优化设计中，使几项分目标同时都达到最优的解叫做绝 对最优解。
7-2统一目标函数法
统一目标函数法就是设法将各分目标函数f1(X)， f2(X)，…，ft(X)统一到一个新构成的总的目标函 数f(X)={ f1(X)，f2(X)，…，ft(X)}中，这样就把 原来的多目标问题转化为具有一个统一目标函 数的单目标问题来求解。
在求统一目标函数极小化过程中，可以按照不 同的方法来构成不同的统一目标函数
y x sin x (0 x （27)-5） 2
实现将各分目标函数都转换为在0~1的范围内取值。
令目标函数的下界值αj和上界值βj分别与式(7-5)正弦转换函数自变
量的下界值0和上界值2π相对应，则相应于fj(X)的转换函数的自变
值x为
x f j X j 2 ( j 1,2,,t)
能接受，此时必有某项分目标函数的功效系数ηj＝0。
图给出了几种功效系数函数曲线，其中图(a)表示与fj(X)值成正比 的数功，效图系(c)数表η示j的fj(函X)数值，过图大(和b)表过示小与都f行j(X的)值功成效反系比数的函功数效。系在数具η体j的使函
用接为这受效些方果功案稍效的差系功但数效可函系接数数受时下的应限情作；况出；0.3相0＜.7应η≤jη≤的j0≤.规14为为定效较。果差例最情如好况规的；定情0η.4j况＝＜。0η.3j≤为0.可7
多目标优化设计中,如果一个解使每个分目标函数值都比另一个解 为劣,则这个解称为劣解。
实际上一个分目标的极小化会引起另一个或一些分目标的变化， 有时各个分目标的优化还互相矛盾，甚至完全对立
在各分目标函数f1(X),f2(X),…,ft(X)的最优值之间进行协调,互相作出 些“让步”,以便取得对各分目标函数值来说都算是比较好的方案。
四、乘除法
乘除法是在全部t个分目标函数中，有s项函数值
希望愈小愈好(如材料、成本、工时、重量等)，
其余(t–s)项函数值希望愈大愈好(如产值、效率、
利润等)，则统一目标函数可取为
s
wj f j X
f X
j 1 t
wj f j X
j s1
min
这就是乘除法求解多目标优化问题。
7-3主要目标法
基f2(X本)，思…想，是f根t(X据)中总选体定技其术中条一件个，作在为求主最要优目解标的函各数分，目而标将函其数余f1((tX–)1，) 个分目标函数分别给一限制值后，使其转化为新的约束条件。这
样抓住主要目标，同时兼顾其它目标，从而构成一个新的单目标 最优问题进行求优。
以二维的具有两个分目标函数的多目标最优化问题为例，对主要 目标法进行说明
有相同的重要性时，取wj=1(j=1,2,…, t)，并称为 均匀计权；否则各项分目标的加权因子不等，可
取
t
wj
1或其他值。
j 1
分目标函数fj(X)可选择合适的函数 使其转换为无量纲等量级目标函数。
如，若能预计各分目标函数值的变动
范围为
αj≤fj(X)≤βj (j=1,2,…, t) 则可用如图所示的正弦函数
量级差别方面的影响。并在迭代过程中逐步加以校正。
考虑到设计变量对各分目标函数值随设计变量变化而不
同，若用目标函数值的梯度来刻画这种差别，其校正权 因子值相应可取
w2j=1/‖▽fj(X)‖2 (j=1,2,…, t)
这值意愈味大着 ，一 则个 加分 权目因标子函w2数j愈fj小(X)；的变化愈快，即‖▽fj(X)‖2
对于两个以上的目标函数，不难想 象可以构成协调曲面。
用总功效系数η作为统一目标函数f(X) f(X)＝η＝(η1 η2…ηt)1/t→max
比较直观且易调整，同时由于各个分目标最终都化为0~1间的数 值，各个分目标函数的量纲不会互相影响，而且一旦有一项分目 标函数不理想(ηj＝0)，其总功效系数必为零，表示该设计方案不 能接受。另外，这种方法易于处理，有的目标函数既不是愈大愈 好，也不是愈小愈好的情况。因而虽然计算较繁，但仍不失为一 种有效的多目标优化方法。
图7-5是在f1(X)–f2(X)坐标系内用图 7-4 AB线段上各点所对应函数值作出 的关系曲线，这是协调曲线的另一种 表现形式，在这里可以更情楚地看出 两目标函数极小化过程中相互矛盾关 系。
可将协调曲线作为相互矛盾的目标 函数取得相对优化解的主要依据。至 于要从协调曲线上选出最优方案，还 需要根据两个目标恰当的匹配要求、 实验数据、其他目标的好坏以及设计 者的经验综合确定。
min
X DRn
f1
X
D : gu X 0 u 1,2, , m)
hv X 0 v 1,2,, p n)
gm j1 X
f
0 2
f j X 0
( j 2,3,,t)
其中f1(X)为主要目标函数。
7-4协调曲线法
在一个多目标优化问题中，会出现当 一个分目标函数的优化将导致另一些 分目标函数的劣化，即所谓目标函数 相互矛盾的情况。为了使某个较差的 分目标也达到合理值，需要以增加其 它几个分目标函数值为代价，也就是 说各分目标函数值之间需要进行协调， 互相作出一些让步，以便得出一个较 合理的方案。
min
X D Rn
D : gu X 0
f1X
(u 1,2,, m)
gu1 X
f
Baidu Nhomakorabea0 2
f2X 0
用图表明其几何意义D为gu(X)≥0(u=1,2,3,4)构成的多目标优化问
题的可行域。X*(1)、X*(2)分别为
、 的最优点。现 min
X D R n
f1
X
min
X D R n
V
min [
X D Rn
f1X
,
f2 X
]T
D : gu X 0 (u 1,2,, m)
假把定次经要分目析标后函数f1(X加)取上作一主个要约目束标f20函：数，f2(X)则为次要目标函数，
f2(X)≤f20 f就20为把一原事多先目给标定最的优限化制问值题(转显化然为它求不以能下小的于单f2(目X)标的最最优小化值问)。题这：样
为区别于单目标最优化问题，将由t个分目标函数f1(X)，f2(X)，…， ft(X)构成的多目标最优化问题的数学模型一般表达为
V
: min [
X D R n
f1X
,
f2X
,,
ft
X
]T
D: gu X 0 (u 1,2,, m)
hv X 0 (v 1,2,, p n)
对于单目标优化问题，任何两个解都可以用其目标函数值比较方 案优劣
7-1 概 述
在机械优化设计中，某个设计往往并非只有一项设计指标要求最 优化。
如设计一台齿轮变速箱，常常同时希望它的重量尽可能轻，寿命 尽可能长，运转噪声尽可能小，制造成本尽可能低。
这种同时要求几项设计指标达到最优的问题，就称为多目标优化 设计问题。按照要求优化的各项指标可分别建立目标函数f1(X)， f2(X)，f3(X)，f4(X)，…，这些目标函数称分目标函数。
反之，其加校因子应取大些。这样可使变化快慢不同的 目标函数一起调整好。
二、目标规划法
基本思想是先定出各个分目标函数的最优值，根据多
目标优化设计的总体要求对这些最优值作适当调整，
定出各个分目标的最合理值fj0(j=1,2,…, t)，然后按平方 和法来构造统一目标函数
f X
t
j1
f j X
f2
X
将f2(X)转化为g5(X)= f20–f2(X)≥0(u=1,2,3,4)新的约束条件，这样原
多目标优化问题可视为f1(X)在由gu(X)≥0(u=1,2,3,4,5)构成的新的可
行域(阴影所示)中的单目标优化问题。显然X*即为原多目标优化
问题最优点。
对于一般情况，可把多目标最优化问题转为如下的单目标最优化 问题：
f
0 j
f
0 j
2
这意味着当各项分目标函数分别达到各自最合理值fj0时， 统一目标函数f(X)为最小。式中除以fj0是使之无量纲化。
在目标规划法中，关键是如何制定恰当的合理值fj0。
三、功效系数法
将每个分目标函数fj(X) (j=1,2,…, t)都用一个称为功效系 数ηj (j=1,2,…, t)来表示该项指标的好坏。
常用的有线性加权组合法、目标规划法、功效 系数法和相乘除法。
一、线性加权组合法
线性加权组合法的基本思想是在多目标最优化问题中， 将其各个分目标函数f1(X)，f2(X)，…，ft(X)依其数量级 和在整体设计中的重要程度相应地给出一组加权因子w1， w2，…，wt，取fj(X)与wj(j=1,2,…, t)的线性组合，人为地 构成一个新的统一的目标函数，即
对于多目标优化问题，任何两个解不一定都可以评判出其优劣。
设X(0)、X(1)为满足多目标最优化问题约束条件的两个设计方案， 判别这两个方案的优劣需分别计算各自对应的分目标函数值 f1(X(0))，f2(X(0)),… ,ft(X(0))和f1(X(1)),f2(X(1)),…,ft(X(1))进行对照，若 fj(X(1))≤ fj(X(0)) (j=1,2,…t)
功效系数ηj是一个定义于0≤ηj≤1之间的函数，当ηj＝1时 表示第j个分目标的效果达到最好；ηj＝0时表示第j个分 目标的效果最坏，将这些系数的几何平均值称为总功效 系数η，即
η＝(η1 η2…ηt)1/t η的大小可表示该设计方案的好坏，显然，最优设计方
案应是
η＝(η1 η2…ηt)1/t→max 当η=1时表示取得最理想方案；当η=0时表明这个方案不
这种矛盾关系可以通过协调曲线法来 形象化地说明。
以的无极约小束化二为维例双，目图标7-4函给数出f1了(X各)、自f2的(X等) 值线图，可以看到它们各自极小化的 趋势和相互关系。图上的任意一点代 表着一个具体的双目标函数的设计方 案极。小其值中点。A、B分别代表f1(X)及f2(X)的
C点为某一设计方案，该处f1(X)＝4，f2(X)＝9。 当取定f2(X)＝9时，极小化f1(X)，得D点(f1(X)＝ 1.5)为最佳设计方案。同样，当取定f1(X)＝4时， 极小化f2(X)，可得到E点为最佳设计方案。显然 D、E两点的设计方案均优于C点，实际上在阴影 区内的任一点的设计方案均优于C点。
线段DE的延长线AB即协调曲线，设计方案点 在该线段上移动，出现一个函数值减小必然导致 另一函数值增大、两目标函数相互矛盾现象。 AB线段形象地表达了两目标函数极小化过程中 的协调关系，其上任一点都可实现在一个目标函 数值给定时，获得另一目标函数的相对极小化值， 该值即可用作确定x1、x2的参考。
t
f X wj f j X j 1
以f(X)作为单目标优化问题求解。
（7-2）
加权因子wj是一组大于零的数，其值决定于各项目标的 数量级及其重要程度。选择加权因子对计算结果的正确
性影响较大。确定加权因子wj的方法是多种多样的，主 要有下列几种处理方法。
(一)将各分目标转化后加权
在采用线性加权组合法时，为了消除各个分目标
函数值在量级上较大的差别，可以先将各分目标
函数fj(X)转换为无量纲且等量级的目标函数 f j X (j=1,2,…, t)，然后用转换后的分目标函数 f j X来
组成一个统一目标函数
t
f X wj f j X
(7-3)
j 1
加权因子wj(j=1,2,…, t)是根据各项分目标在最优
化设计中所占的重要程度来确定。当各项分目标
j j
转换后目标函数
f
j X
xj
2
sin
xj
( j 1,2,,t)
（二）直接加权
把加权因子分为二部分．即第j项分目标函数的加权因 子
wj= w1j·w2j (j=1,2,…, t) w1j—反映相对重要性的加权因子，称本征权。 w2j—第j项分目标的校正校因子,用于调整各分目标间在
则方案X(1)肯定比方案X(0)好。然而绝大多数情况是X(1)所对应的某 些时fXj((X1)与(1))X小(0于)两X个(0)方所案对的应优的劣某一些般fj(X就(0难))，以而绝另对一比些较则了刚，好这相是反多，目这标 优化问题的特点。
在多目标优化设计中，使几项分目标同时都达到最优的解叫做绝 对最优解。
7-2统一目标函数法
统一目标函数法就是设法将各分目标函数f1(X)， f2(X)，…，ft(X)统一到一个新构成的总的目标函 数f(X)={ f1(X)，f2(X)，…，ft(X)}中，这样就把 原来的多目标问题转化为具有一个统一目标函 数的单目标问题来求解。
在求统一目标函数极小化过程中，可以按照不 同的方法来构成不同的统一目标函数
y x sin x (0 x （27)-5） 2
实现将各分目标函数都转换为在0~1的范围内取值。
令目标函数的下界值αj和上界值βj分别与式(7-5)正弦转换函数自变
量的下界值0和上界值2π相对应，则相应于fj(X)的转换函数的自变
值x为
x f j X j 2 ( j 1,2,,t)
能接受，此时必有某项分目标函数的功效系数ηj＝0。
图给出了几种功效系数函数曲线，其中图(a)表示与fj(X)值成正比 的数功，效图系(c)数表η示j的fj(函X)数值，过图大(和b)表过示小与都f行j(X的)值功成效反系比数的函功数效。系在数具η体j的使函
用接为这受效些方果功案稍效的差系功但数效可函系接数数受时下的应限情作；况出；0.3相0＜.7应η≤jη≤的j0≤.规14为为定效较。果差例最情如好况规的；定情0η.4j况＝＜。0η.3j≤为0.可7
多目标优化设计中,如果一个解使每个分目标函数值都比另一个解 为劣,则这个解称为劣解。
实际上一个分目标的极小化会引起另一个或一些分目标的变化， 有时各个分目标的优化还互相矛盾，甚至完全对立
在各分目标函数f1(X),f2(X),…,ft(X)的最优值之间进行协调,互相作出 些“让步”,以便取得对各分目标函数值来说都算是比较好的方案。
四、乘除法
乘除法是在全部t个分目标函数中，有s项函数值
希望愈小愈好(如材料、成本、工时、重量等)，
其余(t–s)项函数值希望愈大愈好(如产值、效率、
利润等)，则统一目标函数可取为
s
wj f j X
f X
j 1 t
wj f j X
j s1
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这就是乘除法求解多目标优化问题。
7-3主要目标法
基f2(X本)，思…想，是f根t(X据)中总选体定技其术中条一件个，作在为求主最要优目解标的函各数分，目而标将函其数余f1((tX–)1，) 个分目标函数分别给一限制值后，使其转化为新的约束条件。这
样抓住主要目标，同时兼顾其它目标，从而构成一个新的单目标 最优问题进行求优。
以二维的具有两个分目标函数的多目标最优化问题为例，对主要 目标法进行说明
有相同的重要性时，取wj=1(j=1,2,…, t)，并称为 均匀计权；否则各项分目标的加权因子不等，可
取
t
wj
1或其他值。
j 1
分目标函数fj(X)可选择合适的函数 使其转换为无量纲等量级目标函数。
如，若能预计各分目标函数值的变动
范围为
αj≤fj(X)≤βj (j=1,2,…, t) 则可用如图所示的正弦函数
量级差别方面的影响。并在迭代过程中逐步加以校正。
考虑到设计变量对各分目标函数值随设计变量变化而不
同，若用目标函数值的梯度来刻画这种差别，其校正权 因子值相应可取
w2j=1/‖▽fj(X)‖2 (j=1,2,…, t)
这值意愈味大着 ，一 则个 加分 权目因标子函w2数j愈fj小(X)；的变化愈快，即‖▽fj(X)‖2
对于两个以上的目标函数，不难想 象可以构成协调曲面。
用总功效系数η作为统一目标函数f(X) f(X)＝η＝(η1 η2…ηt)1/t→max
比较直观且易调整，同时由于各个分目标最终都化为0~1间的数 值，各个分目标函数的量纲不会互相影响，而且一旦有一项分目 标函数不理想(ηj＝0)，其总功效系数必为零，表示该设计方案不 能接受。另外，这种方法易于处理，有的目标函数既不是愈大愈 好，也不是愈小愈好的情况。因而虽然计算较繁，但仍不失为一 种有效的多目标优化方法。
图7-5是在f1(X)–f2(X)坐标系内用图 7-4 AB线段上各点所对应函数值作出 的关系曲线，这是协调曲线的另一种 表现形式，在这里可以更情楚地看出 两目标函数极小化过程中相互矛盾关 系。
可将协调曲线作为相互矛盾的目标 函数取得相对优化解的主要依据。至 于要从协调曲线上选出最优方案，还 需要根据两个目标恰当的匹配要求、 实验数据、其他目标的好坏以及设计 者的经验综合确定。
min
X DRn
f1
X
D : gu X 0 u 1,2, , m)
hv X 0 v 1,2,, p n)
gm j1 X
f
0 2
f j X 0
( j 2,3,,t)
其中f1(X)为主要目标函数。
7-4协调曲线法
在一个多目标优化问题中，会出现当 一个分目标函数的优化将导致另一些 分目标函数的劣化，即所谓目标函数 相互矛盾的情况。为了使某个较差的 分目标也达到合理值，需要以增加其 它几个分目标函数值为代价，也就是 说各分目标函数值之间需要进行协调， 互相作出一些让步，以便得出一个较 合理的方案。
min
X D Rn
D : gu X 0
f1X
(u 1,2,, m)
gu1 X
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Baidu Nhomakorabea0 2
f2X 0
用图表明其几何意义D为gu(X)≥0(u=1,2,3,4)构成的多目标优化问
题的可行域。X*(1)、X*(2)分别为
、 的最优点。现 min
X D R n
f1
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f1X
,
f2 X
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D : gu X 0 (u 1,2,, m)
假把定次经要分目析标后函数f1(X加)取上作一主个要约目束标f20函：数，f2(X)则为次要目标函数，
f2(X)≤f20 f就20为把一原事多先目给标定最的优限化制问值题(转显化然为它求不以能下小的于单f2(目X)标的最最优小化值问)。题这：样
为区别于单目标最优化问题，将由t个分目标函数f1(X)，f2(X)，…， ft(X)构成的多目标最优化问题的数学模型一般表达为
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对于单目标优化问题，任何两个解都可以用其目标函数值比较方 案优劣