环形跑道问题
行程之相遇问题(六)环形跑道相遇问题【精选文档】
六、环形跑道相遇问题例1。
在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行,8分钟后两人相遇,再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要多久？解析：设跑到全长为S，甲乙第一次相遇共同走了AB，第二次相遇走了S+AB,第一次相遇两人走了8分钟，第二次相遇又走了6+10=16分钟，故两人共同走AB时间是走全长S时间的一半,根据速度和不变情况下，时间与路程成正比，故AB=0.5S，甲走AB用时6+8=14分钟，故甲环形一周用时28分钟。
（16+6)÷8=2 （全程是AB的2倍）（6+8)×2=28（分钟）答：甲环行一周需要28分钟。
2.甲、乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端。
如果他们同时出发,并在甲跑完60米时第一次相遇，在乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，求跑道的长度?解析,由上题的方法可知，甲乙二人第二次相遇共跑了一圈半，而此时甲跑了60*3=180米,已跑了全长减去80米,故1.5S=S-80+180,解得全长S等于200米。
解:设全长为x米.1.5x=x-80+60×3X=200答：跑道的长度为200米.例3。
甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒钟2米。
如果他们同时分别从直路的两端出发，10分钟内共相遇了几次？分析：第一次相遇时行一个全程,用时:90÷（2+3）=18S；此后每次相遇都行两个全程，都用时18×2=36秒，（600-18）÷36=16……4，故10分钟内二者相遇了16+1=17次。
90÷(2+3)=18(秒）(10×60—18）÷(18×2）=16 (4)16+1=17（次）答：10分钟内共相遇了17次例4.甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈.跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的2/3，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了1/3，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了1/5,已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，这条椭圆形跑道多长?解析：如下图所示，A点为出发点，因跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的2/3，故第一次相遇点B距A为全程的3/5，当甲跑完一圈到达A点时,乙到达C点,距离A点为1/3,此时甲加速1/3，甲乙速度比变为2:1，故当乙跑完一圈到达A点时甲到达了C点，二者距离为全程的1/3，此时乙加速1/5，甲乙速度比变为4：12/5=5：3，此时变为路程为全长1/3的相遇问题，当甲乙第二次相遇时，乙走了全长1/3的3/8，也就是全长的1/8，所以两次相遇点之间距离BD为全长的3/5-1/8=19/40，故椭圆形跑道全长为190÷19/40=400米。
《环形跑道问题》课件
确定相遇的地点和时间
确定环形跑道的 长度
计算两个运动员 的速度
计算两个运动员 相遇的时间
确定两个运动员 相遇的地点
计算相对速度和相对距离
相对速度：两 个物体在同一 直线上，以同 一方向运动， 速度之差即为
相对速度
相对距离：两 个物体在同一 直线上，以同 一方向运动， 距离之差即为
相对距离
计算方法：利 用速度公式和 距离公式，结 合实际情况进
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汇报人：PPT
目录
环形跑道的含义
环形跑道是一种封闭的、圆形的跑道，通常用于田径比赛和训练。
环形跑道的直径和周长通常为400米，但也有其他尺寸的环形跑道。
环形跑道的表面通常由塑胶、煤渣、草地等材料构成，以提供良好的摩擦力和缓 冲性能。 环形跑道的弯道部分通常有一定的倾斜角度，以帮助运动员在转弯时保持平衡和 速度。
加强管理： 定期检查 跑道状况， 及时维修 和维护
提高运动员 素质：加强 运动员的体 能训练和技 巧训练，提 高应对挑战 的能力
加强科研投 入：研究新 的跑道材料 和技术，提 高跑道性能 和运动员表 现
未来环形跑道问题的发展趋势和展望
技术进步：随着科技的发展，环形跑道的设计和建造技术将不断提高，提高跑道 的性能和寿命。
本
优点：可以提 高运动员的成 绩和表现，提 高赛事的观赏
性
缺点：可能会 对运动员的身 体健康产生一 定的影响，需 要做好防护措
施
解决环形跑道问题中的挑战的方法
加强安全 措施：设 置安全护 栏、警示 标志等
提高跑道 质量：使 用高质量 的材料和 施工工艺
优化跑道 设计：合 理规划跑 道布局， 避免弯 过急或过 缓
环形跑道相遇追及公式
环形跑道相遇或追及的问题可以是数学中的一个经典问题。
当两个人或物体在一个环形跑道上以不同的速度出发时，我们可以使用一些基本的数学概念来找到它们相遇或追及的条件。
设想一个环形跑道，其总长度为\(L\)。
现在，两个人（或物体）从不同的起点开始，速度分别为\(v_1\) 和\(v_2\)。
我们想知道它们何时会相遇或者其中一个追及另一个。
当然，这个问题的答案取决于两个人（或物体）是在相反的方向跑，还是在相同的方向跑。
1. 相反方向的追及：
如果两个人从相反的方向出发，并希望一个追上另一个，那么它们的相遇时间可以用以下的公式来表示：
\[ \text{相遇时间} = \frac{L}{v_1 + v_2} \]
其中，\( L \) 是环形跑道的总长度，\( v_1 \) 和\( v_2 \) 是两个人（或物体）的速度。
2. 相同方向的追及：
如果两个人从相同的方向出发，并希望一个追上另一个，那么它们的相遇时间可以用以下的公式来表示：
\[ \text{相遇时间} = \frac{L}{|v_1 - v_2|} \]
其中，\( L \) 是环形跑道的总长度，\( v_1 \) 和\( v_2 \) 是两个人（或物体）的速度。
这两个公式可以帮助你解决环形跑道上相遇或追及的问题。
环形跑道问题含答案
环形跑道知识框架本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。
是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。
一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间×速度和路程差=追及时间×速度差二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
例题精讲【例 1】一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟才能相遇?【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆【题型】解答【解析】黄莺和麻雀每分钟共行6659125+=（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即÷+=÷=（分钟）．500(6659)5001254【答案】4分钟【巩固】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。
已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。
在他们第10次相遇后，王老师再走米就回到出发点。
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆【题型】填空【解析】几分钟相遇一次：480÷（55＋65）=4（分钟）10次相遇共用：4×10=40（分钟）王老师40分钟行了：55×40=2200（米）2200÷480=4（圈）……280（米）所以正好走了4圈还多280米，480－280=200（米）答：再走200米回到出发点。
【答案】200米【例 2】上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？(2)小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要300(64)150÷-=秒，小亚跑了6150900⨯=（米）。
环形跑道问题
环形跑道问题令狐采学经典公式：路程＝速度×时间同一地址出发：反向每相遇一次，合走一圈路程和＝速度和×相遇时间同向每追上一次，多走一圈路程差＝速度差×追及时间一、基础环形跑道例1佳佳和海海在周长为400米的环形跑道上进行万米长跑。
佳佳的速度是40米/分，海海的速度是60米/分。
⑴佳和海海同时从同一地址出发反向跑步，两人几分钟后第一次相遇？再过几分钟后两人第二次相遇？⑵佳佳和海海同时从同一地址出发，同一标的目的跑步，海海跑几分钟能第一次追上佳佳？再过几分钟能第二次追上佳佳？佳佳、海海两人骑自行车从环形公路上同一地址同时出发，背向而行。
这条公路长2400米，佳佳骑一圈需要10分钟。
如果第一次相遇时佳佳骑了1440米。
请问：⑴佳佳的速度是几多米/分？⑵出发到第一次相遇用时几多分钟？⑶海海骑一圈需要几多分钟？⑷再过多久他们第二次相遇？在周长为220米的圆形跑道的一条直径的两端，海海、佳佳二人骑自行车辨别以6米/秒和5米/秒的速度同时反向出发(即一个顺时针一个逆时针)，沿跑道行驶，则210秒内海海佳佳相遇几次？佳佳和海海在操场上角逐跑步，海海每分钟跑26米，佳佳每分钟跑21米，一圈跑道长50米，他们同时从起跑点出发，那么海海第四次超出佳佳需要几多分钟？佳佳、海海两人在400米的环形跑道上跑步，海海以300米/分钟的速度从起点跑出，1分钟后，佳佳从起点同向跑出。
又过了5分钟，海海追上佳佳。
请问：佳佳每分钟跑几多米？如果他们的速度坚持不变，海海需要再过几多分钟才干第二次追上佳佳？在400米的环形跑道上，佳佳、海海两人辨别从A、B两地同时出发，同向而行。
4分钟后，海海第一次追上佳佳，又经过10分钟海海第二次追上佳佳。
已知海海的速度是每分钟180米，那么佳佳的速度是几多？A、B两地相距几多米？在300米的环形跑道上，佳佳和海海同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是几多？海海、佳佳在湖的周围环形道上练习长跑，海海每分钟跑250米，佳佳每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟海海追上佳佳；如果两人同时同地反向出发，经过几多分钟两人相遇？二、屡次相遇佳佳和海海辨别从佳园和海堡坐车同时出发相向而行。
【小升初专项训练】06 环形跑道问题
第6讲环形跑道问题第一关求速度【知识点】1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈．环形跑道：同向而行的等量关系：乙程﹣甲程=跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程=跑道长．2．解题方法：（1）审题：看题目有几个人或物参与；看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多．看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断．追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差（2）简单题利用公式（3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差．【例1】一圆形跑道周长300米，甲、乙两人分别从直径两端同时出发，若反向而行1分钟相遇，若同向而行5分钟甲可以追上乙，求甲、乙两人的速度？【答案】甲、乙的速度分别是180米/分，120米/分【例2】甲乙两人环绕周长是400米的跑道跑步，两人若从同一地点背向而行，经2分钟迎面相遇，两人若从同一地点同向而行，经20分钟追及相遇，求甲乙各自的速度．【答案】甲每分钟跑110米，乙每分钟跑90米【例3】甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们的速度均保持不变，如果两人同时从两地出发相背而跑，4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需多少分钟?【答案】12【例4】甲、乙两人在400米的环形跑道上跑步，他们从同一地点出发，若同向而行，甲10分钟追上乙，若背向而行，甲2分钟与乙相遇．乙跑完一圈要多少分钟？【答案】5【例5】在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？【答案】两人跑一圈快的需要6分钟，慢的需要12分钟【例6】甲、乙两人绕环形跑道同时同地背向而行，甲每秒跑5米，乙每秒跑6米，已知甲与乙相遇后又跑了72米才回到原来出发地，求甲绕跑道一周需要多少秒？【答案】26.4【例7】甲、乙二人骑车同时从环形公路的某点出发，背向而行，已知甲骑一圈需40分，出发后25分两人相遇．如果两人的速度每分钟相差20米，那么环形公路的长度是多少米，乙骑一圈需要多少分钟?【答案】2000；【例8】小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步．小王的速度是200米/分．（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？【答案】（1）300；（2）3【例9】甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步．甲以每分钟300米的速度从起点跑出1分钟时，乙从起点同向跑出，从这时起甲用5分钟赶上乙．乙每分钟跑多少米？【答案】280【例10】在一个环形跑道上有相距100米的甲、乙两个电动玩具车，两车同时出发同向而行，甲车在前，乙车在后，5分钟后乙车第一次追上甲车，又过了20分钟，乙车第二次追上甲车，此时甲车正好驶完一圈．那么乙车的速度为每分钟多少米？【答案】36【例11】有一个圆形跑道，甲、乙二人同时从一点出发，沿跑道向同一方向跑动，当甲跑完3圈到达出发点时恰好第一次追上乙，如果两人骑上自行车，每秒钟都快了6米，那么甲骑完6圈时恰好第一次追上乙，那么乙每秒钟跑多少米？【答案】4【例12】A与B沿着400米的圆形跑道跑步．A的速度是B速度的五分之三．他们同时从跑道上的同一点出发逆向而跑．200秒钟之后，他们第四次相遇．B的速度比A的速度每秒钟快多少米?【答案】2【例13】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去．相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地．求甲原来的速度．【答案】7米/秒【例14】一个圆的周长为70cm，甲、乙两只爬虫，从同一地点出发，同向爬行．甲爬虫以每秒4cm的速度不停地爬行，乙爬虫爬行15cm后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30cm处与甲爬虫相遇．求乙爬虫原来的速度。
环形跑道问题PPT课件
同样，我们可以把他们相遇的地点作为起点来看，第二次相遇的 时候，甲乙共同又跑了一圈，甲和乙总共跑了两圈，有：
甲总路程+乙总路程=跑道周长*2 ……从而我们可以发现，每相遇一次，甲乙就共同多跑了一圈， 因此，相遇的次数就等于共同跑的圈数。
甲总路程+乙总路程=跑道周长*N
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路程 速度 时间
小丽 120x 120
x
小杰 320x 320
x
小丽每分钟走120米， 两人同时由同一点同向 出发，问几分钟后，小
小杰 小丽
丽与小杰第一次相遇？
小杰跑的路程―小丽走的路程=环形跑道一周的长
解：设x分钟后，小丽与小杰第一次相遇. 320x―120x=400 解得：x=2
答：2分钟后，小丽与小杰第一次相遇。
（2）这次比赛后，小明疑惑的问爷爷：爷爷，要是我们向相 反的方向跑，没有表，你能知道我们跑了多长时间吗？爷爷笑 着说：我们就按照平时跑的速度，只要我知道我们相遇的次数， 我就知道我们能跑多少时间……你能帮小明解决这个疑惑么？
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环形跑道问题——习题巩固
解：（1）设小明第三次追上爷爷时，总共用的时间为X分钟 300X-200X=400×3 X=12
二、环形跑道上的相遇问题
背向而行，在跑道的某处相遇，以相同的方式在跑道上多 次与乙相遇。我们把这种问题称为环形跑道上的相遇问题
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例题 变招
分
析
例2、如下图：小杰、小 丽分别在400米环形跑 道上练习跑步与竞走， 小杰每分钟跑320米，
如果设x分钟后，小丽与小杰第一次相遇，请试着 完成下表：
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例题 变招
初中一年级环形跑道问题
练习：1、甲、乙二人在800米长的环形跑道上练习 长跑，甲1min跑300m，乙1min跑260m，两人同 时同地同向起跑，___________min后两人第一次相遇。
列方程得：
解方程得：x =2
1
2
育红学校七年级学生步行到郊外 旅行，1班的学生组成
前队，步行的速度为4千米/小时， 2班的学生组成后队，
速度为6千米/小时，前队出发１ 小时后，后队出发，
同时后队派一名联络员骑自行车 在两队之间不间断地
来回进行联络，他骑车的速度为 12千米 /小时。
3 6x = 4x + 4
解：设当后队追上前队时，他们已经行进了x千米， 由题意列方程得：
x 1 x
6
4
解得； x = 12
答：当后队追上前队时，他们已经行进12千米.
问题5：联络员在前队出发多少 时间后第一次追上前队？
解：设联络员在前队出发x小时 后第一次追上前队，
由题意列方程得；
4x = 12（x - 1）
1
2
3
4
5
6
育红学校七年级学生步行到郊外 旅行，1班的学生组成
前队，步行的速度为4千米/小时， 2班的学生组成后队，
速度为6千米/小时，前队出发１ 小时后，后队出发，
同时后队派一名联络员骑自行车 在两队之间不间断地
来回进行联络，他骑车的速度为 12千米 /小时。
答：联络员在前队出发后1.5 小 时后第一次追上前队.
4
5
6
答：后队追上前队时用了2小时。
问题2：后队追上前队时联络员行了
环形跑道问题
环形跑道问题一、知识点总结基本公式：路程 =速度×时间；路程÷时间 =速度；路程÷速度 =时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题（相向）：相遇时间 =路程和÷速度和追及问题（同向）：追及时间＝路程差÷速度差注：不只是追及问题中我们用路程差÷速度差 =追及时间，实际在很多两人同时行进一段时间，不同的速度必然会造成路程不同，我们都可以用这个公式：路程差÷速度差 =所行时间环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈。
这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
1、相遇问题题型特点：甲、乙两人同时从同地反向出发。
解题规律：两人相遇时一起走一圈（跑道周长）。
之后每见面一次，就一起走 1 圈;见面 n 次,两人一起走n 个周长。
2、追及问题题型特点：甲、乙两人同时从同地同向出发。
解题规律：开始出发时由于速度不同两人之间的距离会越来越远，之后快的会追上慢的，此时快的人比慢的人多走 1 圈（路程差为跑道周长）。
之后每追上一次，就多走 1 圈；追上 n 次，快的就比慢的多走 n 个周长。
二、做题方法：（ 1）审题：看题目有几个人或物参与；看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时看地点是指是同地还是两地甚至更多。
看方向是同向、背向还是相向看事件指的是结果是相遇还是追及相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断。
追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差。
比如“用 10 秒钟快比慢多跑 100米”我们立刻知道快慢的速度差。
奥数行程问题——环形跑道
行程问题—-环形跑道环形跑道问题就是封闭路线上的追及问题,关键是要掌握从并行到下次追及的路程差恰好是一圈的长度。
1、相遇问题：题型特点：甲、乙两人同时从同地反向出发.解题规律:两人相遇时一起走一圈(跑道周长）。
之后每见面一次，就一起走1圈;见面n次，两人一起走n个周长。
2、追及问题：题型特点：甲、乙两人同时从同地同向出发。
解题规律：开始出发时由于速度不同两人之间的距离会越来越远,之后快的会追上慢的，此时快的人比慢的人多走1圈（路程差为跑道周长).之后每追上一次，就多走1圈；追上n次，快的就比慢的多走n 个周长。
3、需要处理的问题：a、环形跑道中速度、时间、路程之间的关系处理。
b、多次追及问题的处理。
c、不同地点出发的追及问题。
1、一个圆形荷花池的周长为400米，甲、乙两人绕荷花池顺时针跑步。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，现在甲在乙后面50米,甲第二次追上乙需要多少分钟？2、一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑140米,两人同时反向出发，经过几分钟两人相遇？3、上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，小亚第一次追上小胖时，小胖跑了多少米？4、幸福村小学有一条200米长的环形跑道,冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米,晶晶每秒钟跑4米,问冬冬第2次追上晶晶时，冬冬跑了多少圈？5、甲、乙二人骑自行车从环形公路上的同一地点出发，背向而行。
现在已知甲走一圈的时间为75分钟，如果在出发后第50分钟甲、乙两人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?6、甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发,背向而行。
现在已知甲走一圈的时间是70 分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？7、两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑．甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过几分钟两人相遇？8、在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑,如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲的速度是多少米/秒？9、环形跑道的周长是800米,甲乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲的速度是每分钟400米，乙的速度是每分钟375米。
环形跑道问题
什么是环形跑道问题？环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
环形跑道问题的等量关系环形跑道:同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长,背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长。
环形跑道问题的例题讲解经典环形跑道问题例题详解环形跑道问题乙两车同时从同一点出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)解析：第一次是一个相遇过程，相遇时间为：6÷（65+55）=0.05 小时，相遇地点距离A点：55×0.05=2.75千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间为：6÷（65-55）=0.6 小时，乙车在此过程中走的路程为：55×0.6=33 千米，即5圈又3千米，那么这时距离A点3-2.75=0.25 千米．此时甲车调头，又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离A点0.25+2.75=3千米，然后乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要走5圈又3千米，所以此时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与最开始相同．所以，每4次相遇为一个周期，而11÷4=2…3，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，与A点的距离是3000米．圆形跑道问题例题解析有一个圆形跑道周长是600米,甲在乙前面240米处, 两人同时沿顺时针方向跑.已知甲每分钟跑120米,乙每分钟跑100米,问几分钟后甲追上乙?如果追上后继续跑,问多少分钟后,甲第二次追上乙?240÷(120-100)=12600÷（120-100)=30根据这个算式可以套用类型公式。
四年级数学下册《行程问题》环形跑道归纳!
时两人各跑了多少圈？解：①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：200÷（6－4）＝100（秒）②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6×100＝600（米）③晶晶第一次被追上时所跑的路程：4×100＝400（米）④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：（600×2）÷200＝6（圈）⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数：（400×2）÷200＝4（圈）3.成才小学有一条200米长的环形跑道，包包昊昊同时从起跑线起跑包包每秒钟跑6米，昊昊每秒钟跑4米，问包包第一次追上昊昊时两人各跑了多少米？第一次追上昊昊时两人各跑了多少圈？解：包包追上昊昊多跑一周200米，需用时200÷（6-4）=100（秒）因此，追上昊昊时包包跑了6×100=600米600÷200=3（圈）昊昊跑了4×100=400米400÷200=2（圈）4.一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行．这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米．它们每爬行1秒，3秒，5秒…（连续的奇数），就调头爬行。
那么，它们相遇时已爬行的时间是多少秒？解：它们相遇时应是行了半个圆周，半个圆周长为：1.26÷2=0.63（米）=63（厘米）如不调头，它们相遇时间为：63÷（3.5+5.5）=7（秒）根据它们调头再返回的规律可知：由于1-3+5-7+9-11+13=7（秒）所以13+11+9+7+5+3+1=49（秒）相遇答：它们相遇时已爬行的时间是49秒。
点评：完成本题关健是发现蚂蚁爬行方向的变化是有规律可循。
5.12 环形跑道问题
答：两人骑自行车的速度分别为27.5米/分和22.5米/分。
即学即练 环形跑道上，甲、乙两人从同一个位置出发赛跑，已知甲比
乙速度快，每分钟快20米，若两人反向而行则每8分钟相遇一次； 若两人同向而行则每40分钟甲追上乙一次。求甲、乙各自的速度 是多少？
20×40=800（米） 800÷8=100（米/分）
（100＋20）÷2=60（米/分） （100－20）÷2=40（米/分）
答：甲的速度为60米/分，乙的速度为40米/分。
例4：花山果园地形是个近似的圆，周长约180千米，两辆汽 车同时从同地背向出发绕果园行驶了2.5小时相遇，如果其中一辆 车先出发了72千米，那么在另一辆车出发几小时后，两车相遇？
答：他跑前一半路程用了22秒。
例7：如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A与C同时 出发，绕圆周相向爬行。他们第一次相遇在离A点8厘米处的B点， 第二次相遇在离A点16厘米处的D点。问：这个圆的周长是多少？
看作
直线上的两次相遇问题
例7：如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A与C同时 出发，绕圆周相向爬行。他们第一次相遇在离A点8厘米处的B点， 第二次相遇在离A点16厘米处的D点。问：这个圆的周长是多少？
例5：洋洋、泉泉两人在400米的环形跑道上跑步，两人 朝相反方向跑，两人第1次和第2次相遇间隔40秒，已知洋洋 每秒跑6米，泉泉每秒跑多少米？
相遇一次需要40秒
每次的相遇路程 是多少？
例5：洋洋、泉泉两人在400米的环形跑道上跑步，两人 朝相反方向跑，两人第1次和第2次相遇间隔40秒，已知洋洋 每秒跑6米，泉泉每秒跑多少米？
环形跑道问题练习题(附解析和详解)
环形跑道问题练习题（附解析和详解）1.在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米，。
甲、乙两人分别从A、B两点同时动身，按照逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。
那么，甲追上乙需要的时刻是多少秒？答案：假设没有休息那么100/（54）=100秒钟在100/5=20秒100/2 0-1=4（次）100+4*10=140秒2.小明在360米的环形跑道上跑一圈，已知他前半时刻每秒跑5米，后半时刻每秒跑4米，为他后半路程用了多少时刻？答案：x4=（360-x）5=160（3602-160）5＋1604＝44分3.林琳在450吗长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时刻每秒跑5米，后一半时刻每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒答案：设总时刻为X，则前一半的时刻为X/2，后一半时刻同样为X/2 X/2*5+X/2*4=360X=80总共跑了80秒前40秒每秒跑5米，40秒后跑了200米后40秒每秒跑4米，40秒后跑了160米后一半的路程为360/2=180米后一半的路程用的时刻为（200-180）/5+40=44秒4.小君在360米长的环形跑道上跑一圈。
已知他前一半时刻每秒跑5米，后一半时刻每秒跑4米。
那么小君后一半路程用了多少秒？答案：设时刻X秒5X=360-4X 9X=360 X=40 后一半时刻的路程=40 *4=160米后一半路程=360/2=180米后一半路程用每秒跑5米路程=180-1 60=20米后一半路程用每秒跑5米时刻=20/5=4秒后一半路程时刻=4+40 =44秒答：后一半路程用了44秒5.小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时刻每秒跑8米，后一半时刻每秒跑6米.求他后一半路程用了多少时刻？答案：设总用时X秒。
前一半时刻和后一半时刻差不多上X/2。
然后前一半跑8*(X/2)米，后一半跑6*(X/2)米，总共加起来等于420米。
因此列下方程8*(X/2)+6*(X/2)=420.解得X=60。
环形跑道问题
同一地点出发：反向同向一、基础环形跑道例1佳佳和海海在周长为 400米的环形跑道上进行万米长跑。
佳佳的速度是40米/分，海海的速度是 60米/分。
⑴佳和海海同时从同一地点出发反向跑步，两人几分钟后第一次相遇？再过几分钟后两人第二次相遇？ ⑵佳佳和海海同时从同一地点出发，同一方向跑步，海海跑几分钟能第一次追上佳佳？再过几分钟能第二次追上 佳佳？佳佳、海海两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。
这条公路长 2400米，佳佳骑一圈需要 10分钟。
如果第一次相遇时佳佳骑了1440米。
请问：⑴佳佳的速度是多少米 /分? ⑵出发到第一次相遇用时多少分钟？ ⑶海海骑一圈需要多少分钟？⑷再过多久他们第二次相遇？在周长为220米的圆形跑道的一条直径的两端，海海、佳佳二人骑自行车分别以 6米/秒和5米/秒的速度同时反向出发（即一个顺时针一个逆时针 ），沿跑道行驶，则 210秒内海海佳佳相遇几次？佳佳和海海在操场上比赛跑步，海海每分钟跑 26米，佳佳每分钟跑 21米，一圈跑道长 50米，他们同时从起跑点出发，那么海海第四次超过佳佳需要多少分钟？佳佳、海海两人在 400米的环形跑道上跑步，海海以 300米/分钟的速度从起点跑出，1分钟后，佳佳从起点同向 跑出。
又过了 5分钟，海海追上佳佳。
请问：佳佳每分钟跑多少米？如果他们的速度保持不变，海海需要再过多 少分钟才能第二次追上佳佳？在400米的环形跑道上，佳佳、海海两人分别从 A 、B 两地同时出发，同向而行。
4分钟后，海海第一次追上佳佳，又经过10分钟海海第二次追上佳佳。
已知海海的速度是每分钟 180米，那么佳佳的速度是多少？A 、B 两地相距多少米？在300米的环形跑道上，佳佳和海海同时同地起跑，如果同向而跑 求两人的速度各是多少？经典公式：路程=速度 ×寸间路程和=速度和 ×相遇时间路程差=速度差 为追及时间 每相遇一次，合走一圈 每追上一次，多走一圈2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇,海海、佳佳在湖的周围环形道上练习长跑， 海海每分钟跑250米，佳佳每分钟跑 200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟海海追上佳佳；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？二、多次相遇佳佳和海海分别从佳园和海堡坐车同时出发相向而行。
用行程问题环形跑道
运动场一圈为400米，张森和丁烁一同参加学校运动 会的长跑比赛。已知丁烁然平均每分钟跑230米，张森每 分钟跑150米。
（1）若两人从同一处同时同向起跑，问经过多长时间两 人可以首次相遇？
（2）若两人从同一处同向起跑，且张森先跑2分钟。问经 过多长时间两人可以首次相遇？
（3）若两人从同一处同时反向起跑，问经过多长时间两 人可以首次相遇？
分析：圆形跑道中的规律：
(第1次相遇：)快者跑的路程+慢者跑的路程＝1圈的长度 (第2次相遇：)快者跑的路程+慢者跑的路程＝2圈的长度 (第3次相遇：)快者跑的路程+慢者跑的路程＝3圈的长度
………. (第n次相遇：)快者跑的路程+慢者跑的路程＝n圈的长度
解：设经过x分钟首次相遇，则依题意可得 350x+250x=400 解得：x= 2
行程问题
路程=速度×时间
时间
路程 速度
速度
路程 时间
例1、 运动场的跑道一圈长400m，甲练习骑自行车， 平均每分骑350m，乙练习跑步，平均每分250m．两 人从同一处同时同向出发，经过多少时间首次相遇？
分析：圆形跑道中的规律：
(第1次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝1圈的长度 (第2次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝2圈的长度 (第3次相遇：)快者跑的路程－慢者跑的路程＝3圈的长度
（4）若两人从同一处反向起跑，且张森先跑2分钟。问经 过多长时间两人可以首次相遇？
错车问题
• 甲、乙两列火车的长为144m和180m， 甲车比乙车每秒多行4m．两列火车相 向而行，从相遇到全部错开需9s，问 两车的速度各是多少
超车问题
• 高速公路上，一辆长4m，速度为110km/h 的轿车准备超越一辆长12m，速度为 90km/h的卡车．估计轿车从开始追及到完 全超越卡车，大约需要多少秒？
小升初数学思维拓展专项训练 专题5环形跑道问题
专题5-环形跑道问题小升初数学思维拓展行程问题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、环形跑道问题。
从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈．环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程-甲程=跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程=跑道长．2、解题方法。
（1）审题：看题目有几个人或物参与；看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多．看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断．追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差（2）简单题利用公式（3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差。
【典例一】甲，乙，丙三个同学绕圆形跑道赛跑，甲跑完一圈用1分钟，乙跑完一圈要1分30秒，丙跑完一圈要1分15秒，现三人同时从同地出发多少分钟后三人又同时回到出发地？他们再次相遇时各跑了几圈？【分析】甲跑1圈要1分钟即60秒，乙跑1圈要1分30秒即90秒，丙跑1圈要1分15秒即75秒，当三人跑到各跑一周所用时间的最小公倍数的时间时，三人就会从起点出发后第一次在起点汇合．用三人跑到各跑一周所用时间的最小公倍数的时间除以三人跑到各跑一周所用时间，即可得他们再次相遇时各跑了几圈．【解答】解：1分钟60=秒，=秒，1分15秒75=秒，1分30秒90=⨯⨯⨯，602235=⨯⨯，75553=⨯⨯⨯．902335所以60，75，90的最小公倍数为：223355900⨯⨯⨯⨯⨯=．900秒15=分钟．即至少经过15分钟三人又在原出发点汇合．9006015÷=（圈)，9007512÷=（圈)，9009010÷=（圈)，答：现三人同时从同地出发15分钟后三人又同时回到出发地，他们再次相遇时甲跑了15圈，乙跑了10圈，丙跑了12圈．【点评】本题考查了环形跑道问题，明确三人各跑一周所用时间的最小公倍数即是从出发到第一次在起点汇合所用的时间是完成本题的关键．【典例二】小明和小军在学校环形跑道上跑步，两人从同一点出发，反向而行，小明每秒跑4米，小军每秒跑6米，经过40秒两人相遇，跑道的周长是多少米？【分析】直接根据数量关系式：路程=速度和⨯相遇的时间，列式解答即可．【解答】解：(46)40+⨯1040=⨯400=（米)；答：跑道的周长是400米．【点评】此题主要考查速度、时间、路程三者之间的关系解决实际问题．【典例三】如图所示为含有一端直路和一圈组成的封闭环形路，有甲、乙两辆汽车同时从点A同向出发（走到圆形环路后，都按逆时针方向走），连续行驶．A、B长5千米，圆周长30千米，每辆汽车总是沿A B→（转圆周走）B A B→→→⋯走，已知甲车速度是乙车速度的711，求甲、乙两车第一次迎面相遇的位置与点A的距离．【分析】因为走到圆形环路后，都按逆时针方向走，所以甲、乙两车第一次迎面相遇的地方应该在AB之间，走一个全程应该为302540+⨯=千米，由于已知甲车速度是乙车速度的711，所以乙车走一个全程，甲车走711个全程，乙车走2个全程，甲车走1411个全程，乙车走3个全程，甲车走2111个全程，即将相遇，即相遇时应该共同走32+个全程，据此列式解答即可．【解答】解：7 (3052)5(1)11 +⨯⨯÷+18 40511=⨯÷1120018=⨯21229=（千米）21224039-⨯2 1221209=-229=（千米）答：甲、乙两车第一次迎面相遇的位置在AB之间，到点A的距离为229千米．【点评】本题主要考查环形跑道问题，解答此题的关键是求出乙共跑了几圈才相遇，考查了学生对问题的分析判定能力．一．选择题（共3小题）1．小红和爷爷在圆形街心花园散步。
《环形跑道问题》课件
THANKS
算法改进
研究更高效的算法来解决环形跑 道问题，例如使用启发式算法或
优化算法来减少计算时间。
动态规划
将动态规划应用于环形跑道问题， 以处理更复杂的情况，例如多个运 动员同时比赛或存在障碍物的情况 。
人工智能
利用人工智能技术，例如机器学习 和深度学习，来自动识别和解决环 形跑道问题，提高解决方案的准确 性和效率。
01
02
03
交通规划
环形跑道问题可以应用于 交通规划中，例如分析道 路网络中的最短路径和交 通流优化。
物流配送
在物流配送中，环形跑道 问题可以应用于最优路径 规划，以减少运输时间和 成本。
运动训练
在运动训练中，环形跑道 问题可以帮助教练制定训 练计划，以提高运动员的 速度和耐力。
如何进一步优化环形跑道问题的解决方案
《环形跑道问题》ppt 课件
目录
Contents
• 环形跑道问题的定义 • 环形跑道问题的基本解法 • 环形跑道问题的变种及解法 • 环形跑道问题的实际案例 • 环形跑道问题的扩展思考
01 环形跑道问题的定义
什么是环形跑道问题
01
环形跑道问题是一种经典的数学 问题，涉及到在圆形跑道上两人 相遇的次数和时间计算。
04 环形跑道问题的实际案例
体育比赛中的环形跑道问题
总结词
体育比赛中的环形跑道问题主要涉及到 赛道的长度、运动员的速度和起跑线的 设置。
VS
详细描述
在体育比赛中，环形跑道问题主要涉及到 如何确定运动员的起跑线位置，以保证比 赛的公平性。这需要考虑赛道长度、运动 员的速度以及比赛规则，确保每位运动员 都从相同的起点起跑。
02 环形跑道问题的基本解法
小学数学 环形跑道问题教案 例题+练习+作业 带答案
环形跑到问题1、知识点总结（1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次（2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题【例题1】一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟才能相遇?黄莺和麻雀每分钟共行66+59=125（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即500÷（66+59）=4（分钟）．【巩固】小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步．小王的速度是200米/分．⑴小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？⑵小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？⑴两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程．小张的速度是500÷1-200=300（米/分）．⑵在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：500÷（300-200）=5（分）．300×5÷500=3（圈）．【例题2】上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，（1）小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？（2）小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要300÷（6-4）=150秒，小亚跑了6×150=900（米）。
小胖跑了4×150=600（米）；第一次追上时，小胖跑了2圈，小亚跑了3圈，所以第二次追上时，小胖跑4圈，小亚跑6圈。
【巩固】一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？400÷（450-250）=2(分钟)．【例题3】在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？同向而跑，这实质是快追慢．起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大．接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈．背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和÷速度和=相遇时间．同向而行2分30秒相遇，2分30秒＝150秒，两个人的速度和为：300÷150=2（米/秒），背向而跑则半分钟即30秒相遇，所以两个人的速度差为：300÷30=10（米/秒）.两人的速度分别为：（10-2）÷2=4(米/秒)， 10-4=6(米/秒)【巩固】在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？甲乙的速度和为：400÷40=10(米/秒)，甲乙的速度差为：400÷200=2(米/秒)，甲的速度为：（10+2）÷2=6(米/秒)，乙的速度为：（10-2）÷2=4(米/秒)．【例题4】两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。
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同向而行，双方的速度不同（假设甲快，乙慢），甲追上 乙后，以相同的方式在跑道上多次追上乙。我们把这种问 题称为环形跑道上的追及问题
二、环形跑道上的相遇问题
背向而行，在跑道的某处相遇，以相同的方式在跑道上多 次与乙相遇。我们把这种问题称为环形跑道上的相遇问题
（1）他们从同一地点同时同向起跑，当小明第三次追上爷爷 的时候，小明笑着对爷爷说：爷爷，我都追上了你三次了，爷 爷笑着说：我知道我们跑了多长时间了！聪明的你，知道从起 跑的时候算起，到小明第三次追上爷爷后，一共用了多长时间 吗？
（2）这次比赛后，小明疑惑的问爷爷：爷爷，要是我们向相 反的方向跑，没有表，你能知道我们跑了多长时间吗？爷爷笑 着说：我们就按照平时跑的速度，只要我知道我们相遇的次数， 我就知道我们能跑多少时间……你能帮小明解决这个疑惑么？
环形跑道问题——追及问题
理论依据
甲
乙
甲乙在同一地点出发，同向而行（甲快，乙慢），当甲追上乙时， 肯定比乙多跑了一圈。（第一次甲追上乙）
甲总路程-乙总路程=跑道周长
这时，我们可以看做甲乙在同一地点出发，同向而行，当甲再次 追上乙时，肯定又比乙多跑了一圈。（第二次追上时）
甲总路程-乙总路程=跑道周长+ 1圈周长 ……从而我们可以发现，每追上一次，甲就比乙多跑一圈，因此， 追上的次数就等于多跑的圈数。
甲总路程-乙总路程=跑道周长*N
环形跑道问题——相遇问题
理论依据
甲
乙
甲乙在同一地点出发，背向而行（甲快，乙慢），当甲与乙第一 次相遇时，甲乙共同跑了一圈。由相遇问题，我们有
甲总路程+乙总路程=跑道周长
同样，我们可以把他们相遇的地点作为起点来看，第二次相遇的 时候，甲乙共同又跑了一圈，甲和乙总共跑了两圈，有：
环形跑道问题——习题巩固
解：（1）设小明第三次追上爷爷时，总共用的时间为X分钟 300X-200X=400×3 X=12
答：小明第三次追上爷爷，总共用的时间为12分钟
解：（2）假设第三次相遇，设小明与爷爷第相遇的时间为X分钟 300X+200X=400×3 X=2.4
答：小明和爷爷首次相遇，相遇时间为2.4分钟 当然，我们也可以利用多次相遇公式甲总路程+乙总路程=跑道周长*N 来求相遇的时间。
甲总路程+乙总路程=跑道周长*2 ……从而我们可以发现，每相遇一次，甲乙就共同多跑了一圈， 因此，相遇的次数就等于共同跑的圈数。
甲总路程+乙总路程=跑道周长*N
环形跑道问题——习题巩固
例：小明和爷爷在学校环形跑道上晨练，环形跑道的周长是 400米，小明的速度是300米/分钟,爷爷的速度是200米/分钟， 有天，小明心里在想要和爷爷赛跑。