求一个自然数的约数的个数和所有约数的和

求一个自然数的约数的个数，和所有约数的和6=2·3=(2^1)·(3^1)，

所以6的约数的个数：1,2,3,6共4个，

也可如此算:（1+1)(1+1)=4

所有约数的和1+3+2+6 ,也可如此算:（2^0+2^1)(3^0+3^1)

因为（2^0+2^1)(3^0+3^1)=（1+2)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3=1+3+2+6 12=2×2×3=(2^2) ×(3^1)，

所以12的约数的个数：1,2,3,4,6,12共6个，也可如此算:（1+2)(1+1)=6 所有约数的和1+3+2+6+4+12 ,也可如此算:（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1) 因为（2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1)=

（1+2+4)(1+3)=1×1+1×3+2×1+2×3+4×1+4×3=1+3+2+6+4+12…………

72=2×2×2×3×3=(2^3)·(3^2)

所以72约数的个数:（1+3)(1+2)=12

所有约数的和:

（2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)=(1+2+4+8)(1+3+9)=195

240=2·2·2·2·3·5=（2^4 ）·3·5

所以240约数的个数:（1+4)(1+1)(1+1)=20

所有约数的和:

（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)(3^0+3^1)(5^0+5^1)=(1+2+4+8+16)(1+3)(1+ 5)=744

【这里解释一下：240的质因数有2，3和5 ，即240的约数由质因数2，3，5构成，其中因数2可能出现0个，1个，2个，3个，4个，共5

种情况；因数3可能出现0个，1个，共2种情况；因数5可能出现0个，1个，共2种情况。所以，240的约数个数为5×2×2=20个】

练习

1、1998的所有约数的和是多少？

解：1998=2×3×3×3×37 =2^1×3^3×37

约数有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个

约数和：（2^0+2^1)(3^0+3^1+3^2+3^3)(37^0+37^1)=4560

2、720的所有约数的倒数之和是多少？

解：因为720=2×2×2×2×3×3×5=2^4×3^2×5^1

所以720的约数之和为（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）×（5^0+5^1）=31×13×6

所以720的所有约数的倒数之和是31×13×6/720=403/120

3、有一个只含质因数2和3的自然数，且它的所有因数之和是403，求这个自然数是多少？

解：403=13×31 =（1+2+4+8+16）×（1+3+9）=（2^0+2^1+2^2+2^3+2^4）×（3^0+3^1+3^2）

所以这个自然数是：2^4 ×3^2=144