现代控制理论基础第二章习题答案

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《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)

第一章习题答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：阿令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。

解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-3参考例子1-3（P19）.1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为（1）解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。

（2）A=解：第一种方法：令则，即。

求解得到，当时，特征矢量由，得即，可令当时，特征矢量由，得即，可令则，第二种方法，即拉氏反变换法：第三种方法，即凯莱—哈密顿定理由第一种方法可知，2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。

《现代控制理论》第三版第二章.习题答案

2－7. 证明 2－3 中，状态方程的解： 1. 即当u(t ) K (t )，x(0 ) x0时
x(t ) e At x0 e At BK , 式中K 与u(t )同维的常数矢量。
x e x0 e A( t ) BK ( )d
At 0 t
e x0 e A( t ) ( )d BK
得 1 0; 2 1.
1 0 据 1 I A P P 1 1 0 1 0
得到 P 1 0 1 ；
T
0 0 P2 0 得到根据 2 I A P2 1 1
1 0 1 1 1 于是T ， P2 ， T 1 1 1 1 于是 T 1 0 e 1 G (T ) e AT T T T T e 1 0 e t T T e 0 K At H (T ) e dtB dt 0 0 1 et 1 0 1 0
1
e At 0 (t ) I 1 (t ) A
1 2cos 2t 2 4sin 2t
sin 2t 2cos 2t
1 1 （2） A 4 1
1 22 1 33 A t A t 2! 3! 直接法： 7 3 t 2 13 3 2 1 5 , t t t t t 2! 6 6 2 28 3 t 13 3 2 4 4 , 1 5 t t t t t 6 2! 6 e At I At
y 2 x1 x2
1 1 0 x1 K x x 2 1 0 x2 0 即 x1 y 2 1 x2 0 u1 u 1 2

现代控制理论课后题及答案

第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。

图P2.1解此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。

也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。

这里采样机理分析法。

设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。

1图P2.2解这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。

令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量，选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1dy dt，24dyx dt =。

现代控制理论王金城第二章答案

第2章习题参考答案：2-1 （1）①⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--t t t3200e e eA ， ②待定系数法122303231123213t t t t t t e e e e e e αα--------⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦201300t At t ee (t )I (t )A e αα--⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦（2）①约当标准形：2220tt At t e te e e ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦②122111221020t t At t s e te e L (sI A )L s e -------+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦+⎣⎦⎣⎦（3）①约当标准形：233300000t Att t t e e e te e ----⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦②1211133320000031000300t At tt t s e e L (sI A )L s e te s e --------⎡⎤+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=-=+-=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦（4）①21201001Att t e t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦②222121012001Att t e I At A t .....t !⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2-2（1）113141I A ()()λλλλλ---==-+--1231,λλ==-313031131344111144t t tt t t e e e e e e αα----⎡⎤+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦330133111122441122t tt t At t t t t e e e e e (t )(t )A e e e e αα----⎡⎤+-⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦（2）1011236116I A ()()()λλλλλλλ--=-=++++123123,,λλλ=-=-=-2310223132231662211111245832139122t t t tt t t t t t t t(e e e )(t )e (t )e (e e e )(t )e (e e e )ααα-------------⎡⎤--+-⎢⎥⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥--+-⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+--+--+--+-+-+-+-=---------t t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tt t t3-2-3-2-3-2-3-2-3-2-3-2--3-2-3-2-3-2 4.540.513.5162.59123 1.520.54.582.53630.50.51.542.533e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e A 2-3 ①211012I A ()λλλλ--==+=+ 121λλ==-11010111P λ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 11011P -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 11101A P AP --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦ ②Laplace 变换法：1111112t t t At tt t s te e te e L (sI A )L s te e te -----------⎡⎤+⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦+--⎣⎦⎣⎦③待定系数法：1011101t t t t t(t )e e te (t )te te αα-------⎡⎤⎡⎤+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦01Ate (t )(t )A αα=+=t t t t t t te e te tee te ------⎡⎤+⎢⎥--⎣⎦ 2-4（1）1000001010()I ⎡⎤⎢⎥Φ=≠⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∴不满足条件; (2)10001()⎡⎤Φ=⎢⎥⎣⎦ ∴满足条件11(0)41A ⎡⎤=Φ=⎢⎥⎣⎦2-5 2211120t t (e )(t )e --⎡⎤-⎢⎥Φ=⎢⎥⎣⎦①自身性 10001()I ⎡⎤Φ==⎢⎥⎣⎦② 传递性1021102122211020221111112200(t t )(t t )(t t )(t t )(e (e (t t )(t t )(t t )e e --------⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥Φ-⋅Φ-=⋅=Φ-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦③可逆性0000122100221111112200(t t )(t t )(t t )(t t )(e )(e (t t )(t t )e e ----------⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥Φ-=⋅=Φ-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1(t )(t )-Φ=Φ- ∴满足2-6 （1）000t A(t )⎡⎤=⎢⎥⎣⎦202000t tA()d ττ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰，141202100080000000t t d d τττττ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 42t t 1000(t,0)82010000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥Φ=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()t t t ⎡⎤++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦241＋0，02801Φ （2）00t te A(t )e--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0010010t t t e e d eeτττ----⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎰ 1212121010100010t e e d d e eτττττττ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++++=-- 21＋00-00-021＋00，2--2tt tt t e e e e )(Φ 2-7 ∵1At 1111s 1cos 2t sin 2t e L (sI A )L 44s 2sin 2t cos 2t ----⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-==⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎣⎦∴1(t )(t )(0)-Φ=x x-1-2t -t 2t t 2t t 1-2t-t 2t t2t t 12e 2e e 2e 2e 2e (t )(t )(0)-1-1-e -e e e2e e ---------⎡⎤⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦Φ=x xt 2tt 2t t 0t 0t2tt 2t 42-2e -2e -2e -4e (t )13e -2e e -4e ----==-----⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A =Φ2-8 e e e e ()e e e e t t t t ttt t t tt (t )(t )t -=-⎡⎤+-=-==⎢⎥+-+⎣⎦ΦΦΦ221222222 2-9 （1）AttA(t )0(t )e (0)e Bu()d τττ-+⎰x x =At 222100t 01011t 11I At A t t 010********!2⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦e 2t 0t 11t 01t (t )d 2110011t ττ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰1t x =0（2）1t 2t t 2t At 111t 2tt 2t s 12e e e e e L (sI A )L 2s 32e 2e e 2e -------------⎡⎤--⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-+-+⎣⎦⎣⎦At t A(t )0(t )e x(0)e Bu()d τττ-=+⎰x22154()2245tt t t e e x t e e ----⎡⎤+-⎢⎥=⎢⎥-+⎣⎦2-10 Att A(t )0(t )e x(0)e Bu()d τττ-=+⎰x1At 1111s 1cos 2t sin 2t e L (sI A )L 44s 2sin 2t cos 2t ----⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-==⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎣⎦∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t t t 22220.52cos sin sin cos )(x 2-11 121det(I A)(3)(1),1,334λλλλλλλ--==--==-∴11P 13⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1311P 112--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ∴t 3tt 3t Att1t3tt 3t 3e e e e 1e Pe P 23e 3e e 3e Λ-⎡⎤--+==⎢⎥--+⎣⎦∵At(t )e (0)=x x ∴()t 3t At t 3t 0.5e 3.5e (0)e (t )0.5e 4.5e ⎡⎤+==⎢⎥+⎣⎦-1x x 2-1211i c U iR idt C U idtC=+=⎰⎰则 cc i dU RC U U dt+= 1,1R m C F μ=Ω=则()()()c c i U t U t U t +=()[1]c c i U t U U =-+[1][1][1]()At tA sI A s sI A s t e e -=-∴-=+-=+∴Φ==()()()()()01()0(1)0()010010--------=+=+⎡⎤=+-⎣⎦⎰⎰tAtA t c C i t t C t t tC u t e u e Bu d e u e d e u e e τττττ()323()0(3)(0)10()0(0)10(1)()10(1)------=+-=∴=-∴=-+⎰ c c c tt t c i u e u e e u e Vu t e e e u d τττ当t=0时，()c u t 10(1e)=- 当()tt(t )(t 1)c 00t 1,u t 10e (1e)10e|10(1e )---τ--<≤=-+=-当c t 1,u (t)0>=2-13 设()12x (kt )y(kt )x (kt )y k 1t =⎧⎪⎨=+⎡⎤⎪⎣⎦⎩∴ ()()()()12221x k 1T y k 1T x (kT )x k 1T y k 2T u(kT )0.5x (kT )0.1x (kT )⎧+=+=⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎨+=+=--⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎩ ∴状态空间表达式为：()010x k 1T x(kT )u(kT )0.10.51⎡⎤⎡⎤+=+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎣⎦⎣⎦()[]y k 1T 10x(kT )+=⎡⎤⎣⎦若初始值y(0)=1,y(T)=0逆推y(2T)+0.5y(T)+0.1y(0)=1∴y(2T)=0.9,y(3T)=0.55,y(4T)=0.635()()()()()()()()()()(0)=+-+-+-+-+-+-+-+-+-y kT δt δt T δt T δt T δt T δt T δt T δt T δt T δt T 0.920.5530.63540.627550.622760.625870.624780.625090.625012-14t 2tt 2t Att1t tt 2t 2e e e e (t )e Pe P 2e 2ee 2e ----Λ-----⎡⎤--===⎢⎥-+-+⎣⎦Φ 设x(k 1)x(k )u(k )+=+G H0.9670.148(T)0.2960.522⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦G Φt 2t T T 0t 2t 0.017e e (t )Bdt Bdt 0.148e 2e ----⎡⎤-⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰H Φ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，G H 0.96710.14840.0170.29680.52190.148离散化状态方程：()()()0.9670.1480.017k 1k u k 0.2960.5220.148⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦x x 1z 0.5220.148(z 0.82)(z 0.669)(z 0.82)(z 0.669)(z )0.269z 0.967(z 0.82)(z 0.669)(z 0.82)(z 0.669)--⎡⎤⎢⎥----⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦I G ()11(k)z z z --⎡⎤=-⎣⎦ΦI G∴k k 1kk k 1k k 1k k 1k 1k k 1(1)2(1)2(1)(1)2()(1)2(1)2(1)(1)2++++++⎡⎤-⋅+-⋅-+-⋅=⎢⎥-⋅+-⋅-+-⋅⎣⎦k Φ2-15（1）AT221T 1G eI AT A T 012⎡⎤==+++=⎢⎥⎣⎦2T T 00T 1t 0(t )Bdt dt 2011T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰H Φ 当T=1s 时，()()()110.5k 1k u k 011⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x []10(k )=y x （2）()2T 1AT 112T 1s 1T (T e )e L sI A L 20s 20e -----⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-==⎢⎥⎣⎦⎢⎥+⎣⎦⎣⎦G 22T 2tT T002t 2T 1T 111(e )(t e )2224(t )Bdt dt 211ee 22----⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥-⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰H Φ 当T=1时，222211e 1(1e )4(k )(k )u(k )2110e e 22----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦x x 1，)()(k k x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110 2-16 （1）211G(s )(s 1)(s 2)s 3s 2==++++ 状态空间描述为：010x u 231⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦x[]y 10=x将其离散化--------⎡⎤--==⎢⎥-+-+⎣⎦T 2TT 2T ATT 2T T 2T 2e e e e G e2e 2ee 2e T 2T t 2t T T00t 2t T 2T 11e e e e (t )dtB dt 22e 2e e e --------⎡⎤⎡⎤-++-⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦-⎣⎦⎰⎰H Φ ∴离散化状态方程为：------------⎡⎤⎡⎤-++--⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦-⎣⎦T 2T T 2TT 2T T 2TT 2T T 2T11e e 2e e e e x[(k 1)T ]x(kT )u(kT )222e 2ee 2e e e ()[]()y k T 10x k T= （2）2T T2T T T 2TT 2T 2111z e z e z e z e ()2221z e z e z e z e ---------⎡⎤--⎢⎥----=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥----⎣⎦Z I G 1-0.20.10.20.10.10.20.10.20.2k 0.1k 0.2k 0.1k0.1k0.2k0.1k 0.2k()[()]2zz z z z e z e z e z e =2z 2z 2z z z e z e z e z e 2(e )(e )(e )(e )2(e )2(e )2(e )(e )-------------------Φ=⋅⎡⎤--⎢⎥----⎢⎥⎢⎥--⎢⎥----⎣⎦⎡⎤--=⎢⎥--⎣⎦k Z Z ZZ 111-I G2-17 k=0时，10.510.3(1)(0)u(0)u(0)010.110.4⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x Gx Hk=1时，(2)(1)u(1)=+x Gx H 带入(1)x 得，1.50.3u(0)0.550.2u(0)0.3u(1)(2)01.50.03u(0)0.110.04u(0)0.4u(1)++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦x 解得 u (0)=5.35 u (1) =0.51。

现代控制理论第二章答案

et
2e 2t
4e2t 2et
4e2t
et
0 1
2 3
(4)
(t)(t)
1
2
(et
e3t
)
(et e3t )
141((eet tee33t t))
1 (et 2 (et
e3t ) e3t )
2
141((eet tee33t t)) I
2
(t)
d dt
1 2
(t)
et
e2t
2e2t 2et
2e2t
et
(4)
(t )
1
2
(et
e3t
)
(et e3t )
141((eet tee33t t))
2
【解】主要验证矢量不变性:
(t)(t) I
和组合性质: (t2 t1)(t1 ) (t2 )
(1)
1
(t)(t) 0
0
0 sin t cost
8
8
(
z
1 8
3)(z
5)
8
8
(
z
z1 2
3)(z
5)
8
8
x(z) (zI G) 1 zx(0) Hu(z)
(
z
z1 2
3)(z
5)
8
8
1 8
(
z
3)(z
5)
8
8
( (
z z
1 8
3)(z 8 z1
2 3)(z
5 8
5
) )
z
1
3
1 0
8
8
zT
(et
(et

《现代控制理论》第三版_.习题答案

或者
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程，写状态方程，画模拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1

《现代控制理论》课后习题答案2

( sI − A) −1 =
1 adj( sI − A) det( sI − A)
(1)
式（1）中的 adj( sI − A) 和 det( sI − A) 可分别写成以下形式：
adj( sI − A) = H n −1s n −1 + H n − 2 s n − 2 + " + H 0 det( sI − A) = s + an −1s
故
Φ (t ) = α 0 (t ) I + α1 (t ) A + α 2 (t ) A2
⎡ −2tet + e 2t ⎢ = ⎢ −2(1 + t )et + 2e 2t ⎢ −2(2 + t )et + 4e 2t ⎣
(3t + 2)et − 2e 2t (3t + 5)et − 4e 2t (3t + 8)et − 8e 2t
n n −1
(2) (3) (4)
+ " + a0
，可得将式（1）两边分别左乘 det( sI − A)( sI − A) ，并利用式（2）和（3）
Is n + an −1 Is n −1 + " + a0 I = H n −1s n + ( H n − 2 − AH n−1 ) s n − 2 + " + ( H 0 − AH1 )s − AH 0
e jt = a0 (t ) + a1 (t ) j ， e − jt = a0 (t ) − a1 (t ) j
而
e jt = cos t + j sin t ， e− jt = cos t − j sin t 因此， a0 (t ) = cos t ， a1 (t ) = sin t 。由此得到状态转移矩阵 ⎡ cos t sin t ⎤ Φ (t ) = e At = a0 (0) I + a1 (t ) A = ⎢ ⎥ ⎣ − sin t cos t ⎦

现代控制理论第二章答案舒欣梅

2-2 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211a a a a eAt，由状态转移矩阵的定义)0()()0()(x t x e t x AtΦ==得， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----12211222112112221121122a a a a e e a a a a e e t t t t 求解得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---==Φ--------t ttt tt t t Ate eee ee e e et 22222222)( 由状态转移矩阵的性质)0(Φ= A 得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+-==--------312042422202222t tttt tttt eeee ee e e A 复习状态转移矩阵的性质：(0)IΦ=；()()()t A t t A Φ=Φ=Φ ；121221()()()()()t t t t t t Φ±=ΦΦ±=Φ±Φ；11()(),()()t t t t --Φ=Φ-Φ-=Φ；2211()()()x t t t x t =Φ-；202110()()()t t t t t t Φ-=Φ-Φ-；[()]()kt kt Φ=Φ；若A B B A =则()A B tAt BtBt Atee ee e +==2-3（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-211s sA sI ()22122222222121(1)(1)()111(1)(1)(1)1111(1)(1)111(1)1(1)s s s s adj sI A sI A s s sI As s s s s s s s s -+⎡⎤⎢⎥+++⎡⎤-⎢⎥-===⎢⎥---+⎢⎥⎣⎦⎢⎥++⎣⎦⎡⎤+⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥+++⎣⎦11()()t t tt tt e te te t L sI A teete --------⎡⎤+⎡⎤Φ=-=⎢⎥⎣⎦--⎣⎦2-4（1）求系数矩阵的特征根3,121-==λλ将其带入式(2-24)得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----tt t t t te e e e e e a a 333110414141433111所以，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=+==Φ--ttttAteee eA a I a et 331004141)( 2-5（2）求系数矩阵的特征根2,1,0321===λλλ根据公式0)(=-i i P A I λ求相应的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-011得到⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-011011011Q P，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0212110002121P 因此，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+-+=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-===Φ-t t ttt tttA Ate e e ee e eP e P et 0002121212102121212102121100021210000101101101)(2222212-6（1）求特征根2321===λλλ，因为系数矩阵为约当标准型，因此直接写出⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Φtttt tt tJt ete ee t te e e t t t et 2222222220002110010211)(2-7（1）先求)(t Φ，采用拉式变换法，11111331411(1)(3)(1)(3)()[()]343(1)(3)(1)(3)3111311122221313222233133222221313t ttt t s ss s s s t L sI A L L s s s s s s e e e e s s s s L e s s s s -------⎡⎤⎢⎥⎡⎤-----⎡⎤⎢⎥Φ=-==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥----⎣⎦⎡⎤⎢⎥--+--+⎢⎥----⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥----⎣⎦33313222tt t ee e⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦再根据非齐次状态方程的解： 033()3()()3()033()3()()3()3()()(0)()131113111122222222(0)3313331312222222231122t t ttt t t t t t t t t t t t t t t t x t t x t B d e e e e e e e ex d e e e ee e eee e τττττττττττ--------=Φ+Φ-⋅⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--=⎰⎰3331122(0)331312222tt t t t t t t e e e x e e e e e⎡⎤+⎢⎥⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦2-8（1）先求)(t Φ，采用拉式变换法，1211112111112211()[()]222021002t tse t L sI A L L s s s s e s -----⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤--+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥Φ=-===⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦ 22111()()22TTeG T T e⎡⎤-+⎢⎥=Φ=⎢⎥⎣⎦2220222011111110124244()()2211110222TT T T T e T e eH T Bd d ee e ττττττττ⎡⎤⎡⎤-+-+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎡⎤⎢⎥=Φ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰当1.0=T 时，离散化方程为：10.11070.0054(1)()()01.22140.1107x k x k u k ⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦或者当采样周期T 很小时，可采用()()G T TA I H T TB=+=得到10.1(0.1)0 1.20()0.1G H T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦得到10.10(1)()()0 1.20.1x k x k u k ⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案(最完整版)

第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：uKK x KK x KK x X K x K x x x x J Kx J x J K x J Kx x J K x x x ppppn pb 1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙65432116543211111111265432100000100000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x xx x K K K K K K J K J J K J KJ K x x x x x xp p pp n pb1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x Cx Cx x L x L R x uL x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000010111010x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。

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第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CC L L R L L R x x x 。

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第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CC L L R L L R x x x 。

《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案(最完整版)

第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CC L L R L L R x x x 。

《现代控制理论》课后习题答案(完整版)

（1）
解法1：
解法2：
求T,使得得所以
1串联联结2并联联结1113版教材已知如图122所示的系统其中子系统的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数现代控制理论课后习题全部答111第版教材已知如图122所示的系统其中子系统的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数现代控制理论课后习题全部答112已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示并使驱动函数u的系数b即控制列阵为所以现代控制理论课后习题全部答所以状态空间表达式为现代控制理论课后习题全部答第二章习题答案现代控制理论课后习题全部答现代控制理论课后习题全部答现代控制理论课后习题全部答24用三种方法计算以下矩阵指数函数第二种方法即拉氏反变换法
第一章习题答案
1-1
解：系统的模拟结构图如下：
系统的状态方程如下：
阿
令，则
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2
解：由图，令，输出量
有电路原理可知：既得
写成两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
当时，
解之得令得
当时，
解之得令得
当时，
解之得令得
约旦标准型
1-10
试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结
（2）并联联结
1-11
求系统的闭环传递函数解：
求系统的闭环传递函数解：
1-12已知差分方程为
试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为
解：系统的状态空间表达式如下所示：
1-5
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令，则有
相应的模拟结构图如下：

现代控制理论第二章例题及答案

2.1 系统的动态特性由下列微分方程描述u u u y y y y 23375......++=+++写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡321321321001521573100010x x x y u x x x x x x 。

相应的模拟结构图如下：2.2 将下列状态空间表达式化成约旦标准型[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321021523311201214x x x y u x x x x x x解：1. 先求A 的特征值。

A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I A 的特征值1,332,1==λλ2. 求特征值所对应的特征向量。

当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p p 当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p p 当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p解之得 3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p p 3. 取A 的特征向量组成变换矩阵P 并求逆阵P -1,即有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101201011P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1102112101P4. 计算各矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1000300131012010113112012141102112101AP P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-3585231102112101B P[][]413101*********=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=CP5. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为[]xy u x x ~413358~100030013~=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 2.3 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W )1)(2)(3()3(2)3(2+++=+++=-s s s s s s A sI()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---++-+++++=--)2)(1(150)3()3(2033)1)(2)(3(1)(21s s s s s s s s s s s s A sI()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---++-+++++=--)3)(12()3()3()1)(2)(3(1210)2)(1(150)3()3(2033)1)(2)(3(1)(21s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s B A sI[])1)(2()12()1)(2)(3(1)3)(12()3()3(100)()(1+++=+++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=-=-s s s s s s s s s s s B A sI C s G 2.4 已知差分方程为)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++试将其用离散状态空间表达式表示。

现代控制理论基础第二章习题答案

第二章状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。

（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----)2(10)2(11}201{])[()(11111s s s s L s s L A sI L t ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-=---t t e e s s s s L 22105.05.01)2(10)2(5.05.01（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=Φ-----t tt ts s s s s sL s s L A sI L t 2cos 2sin 22sin 5.02cos 444414}41{])[()(222211111（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----222211111)1()1(1)1(1)1(2}211{])[()(s s s s s s L s s L A sI L t ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=Φ------t t tt tt te e te te e te t )(（4）特征值为：2,1321===λλλ。

由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-200010011~1AP P A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t tA e e te e e2~0000 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===Φ-1211321200000421211101)(21~t t t ttA At e te e eP Pe e t ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-----++-----++--=Φt t t tt t t t t t t t t t t tt t t t t t t t tt e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e te e t 34838424225342222322)(222222222 （5）为结构四重根的约旦标准型。

《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案

第一章习题答案1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1R2L2CU---------Uc ---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x C C L L R L L R x x x 。

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述u u u y y y y 23375)2(......++=+++列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡321321321132100573100010x x x y u x x x x x x 。

相应的模拟结构图如下：573⎰⎰⎰uy+++---31x 2x 3x 211-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡432143214321313310411100000020*********x x x x y u x x x x x x x x1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W )1)(2)(3()3(2)3(2+++=+++=-s s s s s s A sI()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---++-+++++=--)2)(1(150)3()3(2033)1)(2)(3(1)(21s s s s s s s s s s s s A sI ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---++-+++++=-=-)3)(12()3()3()1)(2)(3(1210)2)(1(150)3()3(2033)1)(2)(3(1)()(21s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s B A sI s W ux[])1)(2()12()1)(2)(3(1)3)(12()3()3(100)()(1+++=+++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=-=-s s s s s s s s s s s B A sI C s W uy 1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x （2）解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 1,332,1==λλ当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P 当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得 3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101201011T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1102112101T⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-4325183572131102112101B T⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=302413101201011110021CT约旦标准型x ~y ux ~x ~⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=302413432518100030013 1-12 已知差分方程为)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1：21112332)(2+++=+++=z z z z z z W)(11)(2001)1(k u k x k x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+ [])(11)(k x k y =解法2：)(2)(3)()(3)(2)1()()1(2121221k x k x k y u k x k x k x k x k x +=+--=+=+ [])(23)()(10)(3210)1(k x k y k u k x k x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+ 求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-15041011321010111AT T [][]13101123-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=CT 所以，状态空间表达式为[])(13)()(11)(1504)1(k z k y k u k z k z -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=+第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。

现代控制原理第二章课后答案

第二章被控对象的数学模型第一章自动控制系统基本概念1.简述被控对象、被控变量、操纵变量、扰动(干扰)量、设定(给定)值和偏差的含义？答:自动控制系统中常用的几个术语其含义是：被控对象自动控制系统中，工艺参数需要控制的生产过程、设备或机器等。

被控变量被控对象内要求保持设定数值的工艺参数。

操纵变量受控制器操纵的，用以克服干扰的影响，使被控变量保持设定值的物料量或能量。

扰动量：除操纵变量外，作用于被控对象并引起被控变量变化的因素。

设定值：被控变量的预定值。

偏差：被控变量的设定值与实际值之差。

2.自动控制系统按其基本结构形式可分为几类?其中闭环控制系统中按设定值的不同形式又可分为几种?简述每种形式的基本含义。

答:自动控制系统按其基本结构形式可分为闭环自动控制系统和开环自动控制系统。

闭环自动控制是指控制器与被控对象之间既有倾向控制又有反向联系的自动控制。

如图1—1(a)即是一个闭环自动控制。

图中控制器接受检测元件及变送器送来的测量信号，并与设定值相比较得到偏差信号，再根据偏差的大小和方向，调整蒸汽阀门的开度，改变蒸汽流量，使热物科出口温度回到设定值上。

从图l—1(b)所示的控制系统方块图可以清楚看出，操纵变量(蒸汽流量)通过被控对象去影响被控变量，而被控变量又通过自动控制装置去影响操纵变量。

从信号传递关系上看，构成了一个闭合回路。

在闭环控制系统中，按照没定值的不同形式又可分为：(1)定值控制系统定值控制系统是指设定值恒定不变的控制系统。

定值控制系统的作用是克服扰动对被控变量的影响，使被控变量最终回到设定值或其附近。

以后无特殊说明控制系统均指定值控制系统而言。

(2)随动控制系统随动控制系统的设定值是不断变化的。

随动控制系统的作用是使被控变量能够尽快地、准确无误地跟踪设定值的变化而变化。

(a)(b)图1-1闭环自动控制基本结构(3)程序控制系统程序控制系统的设定值也是变化的，但它是一个已知的时间函数,即设定值按一定的时间程序变化。

现代控制理论第2章答案

第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。

（2） A=1141⎛⎫⎪⎝⎭解：第一种方法：令0I A λ-=则11041λλ--=-- ，即()2140λ--=。

求解得到13λ=，21λ=- 当13λ=时，特征矢量11121p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由 111Ap p λ=，得11112121311341p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即112111112121343p p p p p p +=⎧⎨+=⎩，可令112p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当21λ=-时，特征矢量12222p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由222Ap p λ=，得121222221141p p p p -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即1222121222224p p p p p p +=-⎧⎨+=-⎩ ，可令212p ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则1122T ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，111241124T -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦3333311111111024224422111102422t tt t tAtt t tt t e ee e e e e e e e e-----⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦第二种方法，即拉氏反变换法：1141s sI A s --⎡⎤-=⎢⎥--⎣⎦[]()()11114131s sI A s s s --⎡⎤-=⎢⎥--+⎣⎦()()()()()()()()113131413131s s s s s s s s s s -⎡⎤⎢⎥-+-+⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-+-+⎣⎦1111112314311111131231s s s s s s s s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⎛⎫-+⎢⎥⎪-+-+⎝⎭⎣⎦()331133111122441122t tt t At t t t t e e e e e L sI A e e e e ------⎡⎤+-⎢⎥⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦第三种方法，即凯莱—哈密顿定理由第一种方法可知13λ=，21λ=-313303113131344441111114444t t t tt t t t e e e e e e e e -----⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥∂⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3333331111101113132244014111444422t tt t At t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e ------⎡⎤+-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。

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