第2章 控制工程的数学基础1

第2章 控制工程的数学基础

拉普拉斯变换（简称拉氏变换或者L 变换）是研究控制系统的一种基本数学工具。它是一种积分变换，它可将时域中的微分方程变换成复域中的代数方程。利用拉氏变换求解微分方程时，初始条件将包含在微分方程的拉氏变换式中，使求解大为简化。

在控制工程中，使用微分变换的目的不仅仅是为了求解微分方程，更主要的是用它去直接分析系统及其组成的特性，基于拉氏变换和富利叶变换引进传递函数、频率特性之后，就可以不必求解微分方程，而是利用它们直接去分析、设计系统。

2.1 拉氏变换

2.1.1 拉氏变换的定义

设函数)(t f 当0≥t 时有定义，而且积分

⎰

+∞

-0

)(dt e t f st

在复参量s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为

dt e t f s F st

-+∞

⎰

=0

)()( （2.1）

则称（2.1）式为函数)(t f 的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）。记为)]([)(t f L s F =，)(s F 称为)(t f 的拉氏变换（或称为象函数）

。 在拉氏变换定义式中，积分的下限是指-

0。因为当)(t f 在原点包含有脉冲函数或其导数时，)(t f 在0=t 是无定义的，为了确保脉冲函数或其导数包含在积分限内，定

义式中积分下限约定为-

0，而不再声明。

实际工程中遇到的函数)(t f 一般都能使广义积分式（2.1）收敛，所以在此不加讨论，

可参见工程数学课程中的“拉氏变换的存在定理”。

2.1.2 几种常用函数的拉氏变换

1. 单位脉冲函数

单位脉冲函数又称δ函数，它是一个脉冲面积为1，在0=t 时出现无穷跳变的特殊函数，其数学表达式为

()⎩

⎨

⎧=∞≠=00

0t t t δ 并且 ()⎰∞

+∞

-=1dt t δ （2.2）

根据拉氏变换的定义（2.1）式，并利用性质：

⎰

+∞

∞

-=)0()()(f dt t t f δ，有

()[]()⎰

+∞

-=

dt e t t L st δδ

()()10

0=====-+∞

∞

--+∞

-⎰⎰

-

t st

st st e dt e t dt e t δδ

单位脉冲函数的拉氏变换为

()[]1=t L δ （2.3）

2. 单位阶跃函数

单位阶跃函数的数学表达式为

()()⎩⎨

⎧≥<==0

10

01t t t t f （2.4）

根据拉氏变换的定义（2.1）式，有

t

()[]s

s

e dt e t L st

st

1110

=

-

==+∞

-∞

+-⎰

这种函数的拉氏变换是

()[]s

t L 1

1=

（2.5） 3. 单位斜坡函数

单位斜坡函数的数学表达式为

()()⎩⎨

⎧≥<=⋅=0

01t t t t t t f （2.6）

根据拉氏变换的定义（2.1）式，有

()[]⎰⎰

∞+--∞

+-+∞+-==00

10dt e s e s

t dt te t f L st

st st

21s =

这种函数的拉氏变换是

()[]21

s

t f L =

（2.7） 4. 指数函数

指数函数的数学表达式为

()⎩⎨⎧≥<=-0

00

t e

t t f t

α （2.8）

其中α为常数。根据拉氏变换的定义（2.1）式，有

()[][]

()dt e dt e e e L t f L t s st t t ⎰⎰+∞

+--+∞--===0

ααα

()α

αα+=

∞++-=+-s e s t s 1

01 指数函数的拉氏变换是

()[][]

α

α+=

=-s e L t f L t 1

（2.9） 5. 正弦函数

正弦函数的数学表达式为

()⎩⎨

⎧≥<=0

sin 00

t t t t f ω （2.10）

其中，ω为常数。根据欧拉公式

()

t j t

j e e j

t ωωω--=

21sin 有

[]()

⎰∞+---=0

21sin dt e e e j t L st t j t

j ωωω

()(){}

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰⎰∞+∞++---ωωωωj s j s j dt e dt e j t

j s t j s 1121210

2

2

ω

ω

+=

s

正弦函数的拉氏变换是

()[][]2

2sin ωω

ω+=

=s t L t f L （2.11）

6. 余弦函数

余弦函数的数学表达式为

()⎩⎨

⎧≥<=0

cos 00

t t t t f ω （2.12）

其中，ω为常数。根据欧拉公式

()

t j t

j e e t ωωω-+=

2

1cos 有

[]()

⎰∞+--+=

02

1cos dt e e e t L st

t j t j ωωω ()(){}

2

20

0112121ωωωωω+=

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+--=+=⎰⎰∞

+∞++---s s j s j s dt

e dt e t j s t j s

余弦函数的拉氏变换是

[]2

2cos ωω+=

s s

t L （2.13）

为便于查阅，我们将控制工程中一些常用函数的拉氏变换列于书末的附表中。

2.1.2 拉氏变换的基本性质

下面介绍拉氏变换的几个基本性质。为方便起见，假定在这些性质中，凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件。

1．线性性质

设[])()(11s F t f L =，[])()(22s F t f L =，若α，β是常数，则有

[][][])()()()()()(212121s F s F t f L t f L t f t f L βαβαβα+=+=+ （2.14）

这个性质表明函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。其证明只须根据定义，利用积分性质就可推出。

2．微分性质

设()[]()s F t f L =，则有

()()0)(f s sF dt t df L -=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ （2.15） 式中()0f 是原函数()t f 在0=t 处的值。

对于()t x 的n 阶导数的拉氏变换有

[]

()()())0(00)()1(21)(----⋯-'--=n n n n n f f s f s s F s t f L （2.16）

式中，()()()()()()()0,,0,0,0121-n f f f f 分别为原函数()t f 及其各阶导数在0=t 处的值。