近世代数_第三章小结

第三章 环与域总结第一节 加群、环的定义定义：一个交换群叫做一个加群。

⑴一个加群的唯一的单位元叫做零元，记作0。

⑵元a 的唯一的逆元叫做a 的负元，记作-a ，简称负a 。

环的定义：（•+,,R ）①（R +）是交换群（R 对+封闭）；②· ：R R R →⨯满足结合律，即()()bc a c ab R c b a =∈∀,,,③+和·都满足分配律：即对R c b a ∈∀,,满足()ac ab c b a +=+()ca ba a c b +=+称R 在+和·运算下是环。

①.R 是一个加群；②.R 对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；③.这个乘法适合结合律：()()c ab bc a =，不管c b a ,,是R 的哪三个元；④.两个分配律都成立：()()bc ba a c b ac ab c b a +=++=+,，不管c b a ,,是R 的哪三个元。

环满足如下运算：①00a a =,对R a ∈∀②()ac ab c b a -=-()bc ac c b a -=-③()()()()ac c a ac c a c a =--=-=-,④()()∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++++m i nj j i n j j m i i n n b a b a b b b a a a 11112121 定义：（•+,,R ），若对R b a ∈∀,,有ba ab =,即满足交换律的环是交换环。

（•+,,R ），若R e ∈∃,对a ae ea R a ==∈∀,则称e 为R 的一个单位元。

一般地，一个环不一定有单位元。

（•+,,R ），含有单位元e ，,R a ∈若R b ∈∃，使得e ba ab ==,则称b 是a 的逆元。

（•+,,R ），0,≠≠b b a ，若0=ab ,则称a 为左零因子，b 为右零因子。

既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。

在交换群中无左右零因子，只有零因子。

定理：无零因子环里两个消去律都成立：c b ac ab a =⇒=≠,0（左消去）c b ca ba a =⇒=≠,0（右消去）在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。

推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。

整环的定义：一个环R 叫做一个整环，假如满足：①R 是交换环：ba ab =②R 是单位环，有单位元1：a a a ==11③R 是无零因子环（满足消去律）：000==⇒=b a ab 或这里b a ,可以是R 中的任意元。

第二节 除环、域除环的定义：一个环R 叫做一个除环，假如满足：①R 中至少包含一个不等于零的元②R 中有一个单位元③R 的每一个不等于零的元都有一个逆元域的定义：一个交换除环叫做一个域。

除环和域的几个重要性质：⑴除环没有零因子（满足消去律）⑵一个除环的不等于零的元对于乘法来说作成的群}{0-=''R R ，叫做R 的乘群。

因为 ① 封闭性R ab b a ''∈≠≠≠∀0,0,0则② 满足结合律③ 有单位元R ''∈≠01④ 有逆元R a a ''∈≠∃≠∀-0,01第三节 环的特征定理：在无零因子环中，所有非零元在加法运算下的阶是一致的，称此阶是环的特征。

定理：无零因子环的特征要么是无穷，要么是素数。

第四节 子环子环的定义：一个环R 的一个子集S 叫做R 的一个子环，假如S 本身对于R 的代数运算来说作成一个环。

一个环R 的一个子集S 叫做R 的一个子除环，假如S 本身对于R 的代数运算来说作成一个除环。

第五节、同态同态的定义：（•+,,R ）（•+,,R ）环，f ：R R →映射，若满足下列条件：①()()()b f a f b a f R b a =+∈∀,,②()()()b f a f ab f R b a •=∈∀,,若f 是同态满射，则称R 和R 同态。

定理：（•+,,R ），（•+,,R ）,R R 与同态，则()()()()()11,,00--=-=-=a f a f a f a f f 。

若R 是交换环，则R 是交换环。

定理：如果环R 与R 同构，则有：若R 是整环，则R 是整环；若R 是除环，则R 是除环；若R 是域，则R 是域。

定理：假定R 和R 是两个环，且同态。

那么R 的零元的象是R 的零元，R 的元a 的负元的象是a 的象的负元。

并且，假如R 是交换环，那么R 也是交换环；假如R 有单位元1，那么R 也有单位元1，而且1是1的象。

定理：假定S 是环R 的一个子环，S 在R 里的补足集合（这就是所有不属于S 的R 的元作成的集合）与另一个环S 没有公共元，并且S S ≅,那么存在一个与R 同构的环R ，并且S 是R 的子环。

第六节 多项式环多项式定义：一个可以写成()的数是0,10≥∈∂++∂+n R a a a a i n n 形式的0R 的元叫做R 上的∂的一个多项式，i a 叫做多项式的系数。

多项式环的定义：[]∂R 叫做R 上的∂的多项式环。

未定元的定义：0R 的一个元x 叫做R 上的一个未定元，假如在R 里找不到不都等于零的元n a a a ,,,10 ，使得010=+++n n x a x a a多项式次数的定义：令0,10≠+++n n n a x a x a a 是环R 上一个一元多项式。

那么非负整数n 叫做这个多项式的次数。

多项式0没有次数。

对于给定的0R 来说，0R 未必含有R 上的未定元。

定理1：给了一个有单位元的交换环R ，一定有R 上的未定元x 存在，因此也就有R 上的多项式环[]x R 存在。

无关未定元的定义：0R 的n 个元n x x x ,,,21 叫做R 上的无关未定元，假如任何一个R 上的n x x x ,,,21 的多项式都不会等于零，除非这个多项式的所有系数都等于零。

定理2：给了一个有单位元的交换环R 同一个正整数n ，一定有R 上的无关未定元n x x x ,,,21 存在，因此也就有R 上的多项式环R []n x x x ,,,21 存在。

定理3：假如R []n x x x ,,,21 和R []n ∂∂∂,,,21 都是有单位元的交换环R 上的多项式环，n x x x ,,,21 是R 上的无关未定元，n ∂∂∂,,,21 是R 上的任意元，那么R []n x x x ,,,21 与R []n ∂∂∂,,,21 同态。

第七节 理想理想的定义：环R 的一个非空子集 叫做一个理想子环，简称理想。

假如① ∈-∈∀b a b a 则,,② ∈∈∀∈∀ar ra R r a ,,,注：理想是子环，但子环不一定是理想。

一个环至少有两个理想：①只包含零元的集合，这个理想叫做R 的零理想②R 本身，称单位理想。

定理1：除环只有两个理想，即零理想和单位理想。

主理想的定义：R a ∈，由a 生成的理想（即包含a 的所有理想的交或包含a 的最小理想）称为主理想，记为（a ）。

第八节 剩余类环剩余类的定义：对于给定的环R 及其一个理想 ，若只就加法来看，R 作成一个群， 作成R 的一个不变子群。

这样 的陪集[][][] ,,,c b a 作成R 的一个分类。

我们把这些类叫做模 的剩余类。

定理1：假定R 是一个环， 是它的一个理想，R 是所有模 的剩余类作成的集合，那么R本身也是一个环，并且R 与R 同态。

剩余类环的定义：R 叫做环R 的模 的剩余类环，用符号R / 来表示。

定理2：假定R 和R 是两个环，并且R 和R 同态，那么这个同态满射的核 是R 的一个理想，并且R R ≅ /。

定理3：在环R 到环R 的一个同态满射下，有①R 的一个子环S 的象S 是R 的一个子环；②R 的一个理想 的象 是R 的一个理想； ③R 的一个子环S 的逆象S 是R 的一个子环； ④R 的一个理想 的逆象 是R 的一个理想。

第九节 最想最想的定义：一个环R 的一个不等于R 的理想 叫作一个最想，假如除了R 同 自己以外，没有包含 的理想。

注：除环的最想是零理想（除环包括域）定理： 是R 的理想（ ≠R ）， /R 只有平凡理想⇔ 是R 的最想。

引理：R 是含有单位元的交换环，若R 只有平凡理想，则R 是域。

定理：R 是有单位元的交换环， 是环R 的理想，则 /R 是域⇔ 是最想。

第十节 商域定理1：每一个没有零因子的交换环R 都是一个域Q 的子环。

定理2：Q 是所有元()0,,≠∈b R b a b a 所作成的，这里a b ab ba 11--== 商域的定义：一个域Q 叫做环R 的一个商域，假如Q 包含R ，并且Q 刚好是由所有元()0,,≠∈b R b a ba 所作成的。

定理3：假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域，那么F 包含R 的一个商域。

定理4：同构的环的商域也同构。

一个环最多只有一个商域。

总结：本章定理，推理及引理：⒈在一个没有零因子的环里两个消去律都成立：c b ca ba a c b ac ab a =⇒=≠=⇒=≠,0,0反过来，在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。

推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。

2.在一个没有零因子的环R 里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。

3.如果无零因子环R 的特征是有限整数n ，那么n 是一个素数。

推论：整环，除环以及域的特征或是无限大，或是一个素数p 。

4.若是存在一个R 到R 的满射，使得R 与R 对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么R 也是一个环。

5.假如R 和R 是两个环，并且R 和R 同态。

那么R 的零元的象是R 的零元，R 的元a 的负元的象是a 的象的负元。

并且，假如R 是交换环，那么R 也是交换环；假如R 有单位元1，那么R 也有单位元1，并且1是1的象。

6.假定R 同R 是两个环，并且R R ≅。

那么，若R 是整环，R 也是整环；R 是除环，R也是除环；R 是域，R 也是域。

7.假定S 是环R 的一个子环，S 在R 里的补足集合与另一个环S 没有共同元，并且S S ≅。

那么存在一个与R 同构的环R ，并且S 是R 的子环。

8.给了一个有单位元的交换环R ，一定有R 上的未定元x 存在，因此也就有R 上的多项式环[]x R 存在。

9.给了一个有单位元的交换环R 同一个正整数n ，一定有R 上的无关未定元nx x x ,,,21 存在，因此也就有R 上的多项式环[]n x x x R ,,,21 存在。

10.假如[]n x x x R ,,,21 和[]n R ααα,,,21 都是有单位元的交换环R 上的多项式环，n x x x ,,,21 是R 上的无关未定元，n ααα,,,21 是R 上的任意元，那么[]n x x x R ,,,21 与[]n R ααα,,,21 同态。