近世代数_第三章小结

第三章 环与域总结

第一节 加群、环的定义

定义：一个交换群叫做一个加群。

⑴一个加群的唯一的单位元叫做零元，记作0。

⑵元a 的唯一的逆元叫做a 的负元，记作-a ，简称负a 。

环的定义：（•+,,R ）

①（R +）是交换群（R 对+封闭）；

②· ：R R R →⨯满足结合律，即()()bc a c ab R c b a =∈∀,,,

③+和·都满足分配律：即对R c b a ∈∀,,满足

()ac ab c b a +=+

()ca ba a c b +=+

称R 在+和·运算下是环。①.R 是一个加群；

②.R 对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；

③.这个乘法适合结合律：

()()c ab bc a =，不管c b a ,,是R 的哪三个元；

④.两个分配律都成立：

()()bc ba a c b ac ab c b a +=++=+,，不管c b a ,,是R 的哪三个元。

环满足如下运算：

①00a a =,对R a ∈∀

②()ac ab c b a -=-

()bc ac c b a -=-

③()()()()ac c a ac c a c a =--=-=-,

④()()∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++++m i n

j j i n j j m i i n n b a b a b b b a a a 11

112121 定义：（•+,,R ），若对R b a ∈∀,,有ba ab =,即满足交换律的环是交换环。

（•+,,R ），若R e ∈∃,对a ae ea R a ==∈∀,则称e 为R 的一个单位元。一般地，一

个环不一定有单位元。

（•+,,R ），含有单位元e ，,R a ∈若R b ∈∃，使得e ba ab ==,则称b 是a 的逆

元。

（•+,,R ），0,≠≠b b a ，若0=ab ,则称a 为左零因子，b 为右零因子。

既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。在交换群中无左右零因子，

只有零因子。

定理：无零因子环里两个消去律都成立：

c b ac ab a =⇒=≠,0（左消去）

c b ca ba a =⇒=≠,0（右消去）

在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。

推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。

整环的定义：一个环R 叫做一个整环，假如满足：

①R 是交换环：ba ab =

②R 是单位环，有单位元1：a a a ==11

③R 是无零因子环（满足消去律）：000==⇒=b a ab 或

这里b a ,可以是R 中的任意元。

第二节 除环、域

除环的定义：一个环R 叫做一个除环，假如满足：

①R 中至少包含一个不等于零的元

②R 中有一个单位元

③R 的每一个不等于零的元都有一个逆元

域的定义：一个交换除环叫做一个域。

除环和域的几个重要性质：

⑴除环没有零因子（满足消去律）

⑵一个除环的不等于零的元对于乘法来说作成的群}{0-=''R R ，叫做R 的乘群。因为 ① 封闭性R ab b a ''∈≠≠≠∀0,0,0则

② 满足结合律

③ 有单位元R ''∈≠01

④ 有逆元R a a ''∈≠∃≠∀-0,01

第三节 环的特征

定理：在无零因子环中，所有非零元在加法运算下的阶是一致的，称此阶是环的特征。 定理：无零因子环的特征要么是无穷，要么是素数。

第四节 子环

子环的定义：一个环R 的一个子集S 叫做R 的一个子环，假如S 本身对于R 的代数运算来说

作成一个环。

一个环R 的一个子集S 叫做R 的一个子除环，假如S 本身对于R 的代数运算来

说作成一个除环。

第五节、同态

同态的定义：（•+,,R ）（•+,,R ）环，f ：R R →映射，若满足下列条件：

①()()()b f a f b a f R b a =+∈∀,,

②()()()b f a f ab f R b a •=∈∀,,

若f 是同态满射，则称R 和R 同态。

定理：（•+,,R ），（•+,,R ）,R R 与同态，则()()()()

()11,,00--=-=-=a f a f a f a f f 。 若R 是交换环，则R 是交换环。

定理：如果环R 与R 同构，则有：若R 是整环，则R 是整环；若R 是除环，则R 是除环；

若R 是域，则R 是域。

定理：假定R 和R 是两个环，且同态。那么R 的零元的象是R 的零元，R 的元a 的负元的

象是a 的象的负元。并且，假如R 是交换环，那么R 也是交换环；假如R 有

单位元1，那么R 也有单位元1，而且1是1的象。

定理：假定S 是环R 的一个子环，S 在R 里的补足集合（这就是所有不属于S 的R 的元作

成的集合）与另一个环S 没有公共元，并且S S ≅,那么存在一个与R 同构的环R ，并且S 是R 的子环。

第六节 多项式环

多项式定义：一个可以写成()的数是0,10≥∈∂++∂+n R a a a a i n n 形式的0R 的元叫做

R 上的∂的一个多项式，i a 叫做多项式的系数。

多项式环的定义：[]∂R 叫做R 上的∂的多项式环。

未定元的定义：0R 的一个元x 叫做R 上的一个未定元，假如在R 里找不到不都等于零的元

n a a a ,,,10 ，使得010=+++n n x a x a a

多项式次数的定义：令0,10≠+++n n n a x a x a a 是环R 上一个一元多项式。那么非负整

数n 叫做这个多项式的次数。多项式0没有次数。

对于给定的0R 来说，0R 未必含有R 上的未定元。

定理1：给了一个有单位元的交换环R ，一定有R 上的未定元x 存在，因此也就有R 上的