北师大八年级下册数学2《提公因式法》
八年级下册数学课件(北师版)提公因式法
看你能否过关？
把下列各式分解因式： 3x+6y； 24xm²-16xm³； ③3x³-9x²+3x； ④-4a³b³+6a²b-2ab.
提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？
提公因式法与单项式乘多项式 互为逆运算关系
小结与反思
1.什么叫因式分解？
2.确定公因式的方法： 1)定系数 2)定字母 3)定指数
例: 找 2 x 2 + 6 x 3 的公因式.
2
定系数
x
2 定指数
定字母
所以，公因式是 2 x 2 . 2 x 2+ 6 x 3 = 2 x2 ×1+ 2x2 ×3x = 2x2 (1 +3x ).
2 x 2+ 6 x 3= 2 x 2(1 +3 x)
如果一个多项式的各项含有公因式，那么 就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的 方法叫作提公因式法.
例（3）把 9x2– 6xy+3xz 分解因式.
解： 9x2 – 6 x y + 3x z = 3x·3x - 3x·2y + 3x·z = 3x (3x-2y+z).
例(4) 把 -24x3 –12 x 2 +28 x 分解因式.
解：原式= (24x3 12x2 28x) ( 4x 6x2 4x 3x 4x 7) = 4x(6x2 3x 7) .
ma mb ma b
认真观察等式两边各有什么特点？
ma mb ma b
公因式
多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x +4x 呢？ 多项式mb +nb–b呢？
数学北师大版八年级下册公因式为多项式的提公因式法
2．提公因式法（二） 一、教学目标1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项 的公因式。
2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。
3.通过对公因式是多项式时因式分解的教学，进一步了解分解因式的意义，培养“换元”的意识，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。
二、教学重难点重点:用提公因式法把多项式分解因式难点:探索多项式因式分解方法的过程三、教学过程回顾与思考：复习提公因式法及注意事项把下列各式因式分解：(1) mn mn 282+ (2) ab b a 52-+9b(3) ma ma ma 126323-+- (4) x x x 84223-+-例题：因式分解：（1）a （x –3）+2b （x –3） （2）()()2211+++x y x y 练一练：1、x(a+b)+y(a+b)2、3a(x-y)-(x-y)3、6(p+q)2-12(q+p)4、a(m-2)+b(2-m)做一做：在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：（1）2–a= （a–2）（2）y–x= （x–y）（3）b+a= （a+b）（4）（b–a）2= （a–b）2（5）–m–n= （m+n）（6）–s2+t2= （s2–t2）此时由学生归纳所得规律：（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．例题：将下列各式因式分解：（1）a（x–y）+b（y–x）（2）3（m–n）3–6（n–m）2反馈练习2、把下列各式因式分解：（1）x （a+b ）+y （a+b ） （2）3a （x –y ）–（x –y ）（3）6（p+q ）2–12（q+p ） （4）a （m –2）+b （2–m ）（5）2（y –x ）2+3（x –y ） （6）mn （m –n ）–m （n –m ）2问题解决：某大学有三块草坪，第一块草坪面积为()22m b a +，第二块草坪面积为 ()2m b a a +，第三块草坪面积为()2bm b a +，求这三块草坪的总面积。
北师大版八年级数学下册课件：4.2(2)-提公因式法
=a(x-y)-b(x-y)
＝（ｘ－y）（ａ-ｂ）
例3. 把6(m-n)3-12(n-m)2分解因式.
分析：其中(m-n)与(n-m)互为相反数. 可将-12(n-m)2变为-12(m-n)2，则6(mn)3与-12(m-n)2 公因式为6(m-n)2
解：6(m-n)3-12(n-m)2 = 6(m-n)3-12(m-n)2 ＝ 6(m-n)2(m-n-2)
例1.把 a(x-3)+2b(x-3) 分解因式.
分析： 多项式可看成
a(x-3) 与 2b(x-3) 两项。
公因式为x-3
解： a(x-3)+2b(x-3) ＝（ｘ－３）（ａ＋２ｂ）
例2. 把a(x-y)+b(y-x)分解因式.
分析：多项式可看成a(x-y)与+b(y-x) 两项。其中X-y与y-x互为相反数，可 将+b(y-x)变为-b(x-y)，则a(x-y) 与-b(x-y) 公因式为 (x-y)
(5) (a+b) =_-__(-b-a); (6) (a+b)2 =__+_(-a-b)2.
(7) (a+b)5 =_+__(b+a)5; (8) (a+b)6 =_+__(b+a)6.
(9) (x+y)(x-2y)= _-__(y+x)(2y-x)
由此可知规律： (1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是Байду номын сангаас数） (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
a+b 与 -a-b 互为相反数. (-a-b)n = (a+b)n (n是偶数）
北师大版八年级数学下册课件：提公因式法
不解方程组
2x y 6 x 3y 1
，
求多项式 7 y(x 3y)2 2(3y x)3 的值。
利用提公因式法 求代数式的值。
公因式为多项式时，因 式分解的三种隐身招数：
1.打散自己
凑括号
a2(b 3) 2b 6 a2(b 3) 2(b 3) (b 3)(a2 2)
1、今天学到了什么知识和方法？ 2、有什么感受？ 3、还有什么疑问？
必做题：习题4.3：第1，2题 选做题：习题4.3：第3题
(a+b)n = (b+a)n (n是整数）
例2.把下列各式因式分解：
(1) a(x y) b( y x) (2) 6(m n)3 12(n m)2
解 (1) a(x-y)+b(y-x) ： =a(x-y)-b(x-y)
=(x-y)(a-b) (2) 6(m-n)3-12(n-m)2
＝ 6(m-n)3-12(m-n)2
2.扮成相反数
提负号
(x 2y)3 5(2y x) (x 2y)3 5(x 2y)
(x 2y) [(x 2y)2 5] (x 2y)(x2 4xy 4y2 5)
3.藏入倍数关系
提倍数
(2a 6b)2 (3b a)4 [2(a 3b)]2 [(a 3b)]4
=y(x+1)(xy+y+1)
1.把下列各式分解因式：
（1）3a(a-b)-(a-b) （2）6(p+q)2-12(q+p) （3）a(m-2)+b(2-m)
解：(1)原式=(a-b) (3a-1)
(2)原式=6(p+q)2-
=6(p+q)(p+q-2)
12(p+q) (3)原式=a(m-2)-b(m-2) =(m-2)(a-b)
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
北师大版八年级数学下册教学设计4.2提公因式法
1.教学活动：学生独立完成课堂练习题，巩固所学知识。
2.练习题设计：练习题分为基础题和提高题，分别针对不同层次的学生。
3.教师指导：对学生在解题过程中遇到的问题，给予个别指导，帮助他们掌握提公因式法。
（五）总结归纳，500字
1.教学活动：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结提公因式法的要点。
3.创设情境：生活中的许多问题都可以用数学模型来表示，提公因式法就是解决这些问题的一种方法。通过导入新课，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知，500字
1.教学内容：教师讲解提公因式法的概念、步骤和应用。
2.演示例题：以具体例题为例，演示如何寻找公因式，以及如何运用提公因式法进行因式分解。
3.知识拓展：介绍提公因式法在实际问题中的应用，如简化计算、解决方程等。
4.教学方法：采用讲解、演示、提问等方式，引导学生理解提公因式法的原理和步骤。
（三）学生小组讨论，500字
1.教学活动：学生分成小组，针对教师提供的例题或问题，进行讨论和交流。
2.讨论主题：如何寻找多项式中的公因式？提公因式法在解题过程中的关键步骤是什么？
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导他们发现和总结规律。
4.能够运用提公因式法解决实际问题，提高数学应用能力。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、合作交流的方式，让学生经历提公因式法的发现和运用过程，培养他们的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
2.引导学生运用提公因式法解决具体问题，培养他们从特殊到一般、从具体到抽象的思维方式。
3.通过典型例题的分析与讲解，让学生掌握提公因式法的步骤和技巧，提高解题效率。
三、教学重难点和教学设想
北师大八下第2章课件2.2 提公因式法
分两步： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式 ，即 用原多项式除以公因式所得 的商作为另一个因式.
小颖解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解： 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab =ab • 8a2 b-ab • 12 b2 c+ab • 1
探索多项式的公因式 为多项式时，应怎样 提取公因式？
谢谢各位参与， 再见！
想一想：
提公因式法分解因式与单项 式乘多项式有什么关系？
1、分解因式计算（-2）101+（-2）100 2、利用简便方法计算： 4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8 3、已知a+b=3,ab=2,求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2的值。 4、把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式.
3
ab
过关武器：
多项式中各项都含有的相同因式，叫 做这个多项式各项的公因式。
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是 什么？ 系数：1、公因式的系数是多项式各项系数
的最大公约数。
字母： 指数：
2、字母取多项式各项中都含有的相 同的字母。 3、相同字母的指数取各项中最小的 一个，即字母最低次幂
第二关： 提公因式法分解因式
如果一个多项式的各项含有公因式，那么 就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的 方法叫做提公因式法。
寻找过关武器
?
例1 把 9x2 –6 x y+3x z分解因式.
解： 9x2 –6 x y+3x z
北师大版数学八年级下册4.2《提公因式法》教学设计2
北师大版数学八年级下册4.2《提公因式法》教学设计2一. 教材分析《提公因式法》是北师大版数学八年级下册第4.2节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握提公因式法分解因式的技巧，并能够运用提公因式法解决一些实际问题。
教材通过具体的例子引导学生探究提公因式法的原理，并通过大量的练习让学生熟练掌握这一方法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了整式的乘法，对因式分解有一定的了解。
但由于年龄和认知特点，学生可能对提公因式法的理解不够深入，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.让学生理解提公因式法的概念，掌握提公因式法分解因式的技巧。
2.培养学生运用提公因式法解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力，培养学生的合作交流意识。
四. 教学重难点1.重点：提公因式法的概念和运用。
2.难点：提公因式法的灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过设置问题引导学生探究提公因式法的原理。
2.使用案例教学法，通过具体的例子让学生理解并掌握提公因式法。
3.采用小组合作交流的方式，让学生在讨论中加深对提公因式法的理解。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学课件，用于辅助教学。
3.准备黑板，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾因式分解的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）展示教材中的案例，引导学生观察和分析，让学生尝试找出其中的规律。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，教师巡回指导，及时纠正学生在练习中出现的问题。
4.巩固（10分钟）让学生进行一些典型的练习题，巩固提公因式法的应用。
5.拓展（10分钟）让学生运用提公因式法解决一些实际问题，提高学生的应用能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，加深学生对提公因式法的理解。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。
8.板书（5分钟）教师在黑板上板书本节课的主要知识点，方便学生复习。
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.2《提公因式法》课件
第四单元
第二课
导入新课
1、分解因式的概念： 把一个多项式化为几个整式乘积的形式，
叫做把这个多项式分解因式.
2、整式的乘法与因式分解有什么关系吗？
分解因式与整式乘法是互逆运算. 3、口答：
(1)x(x+1)=_x_2_+_x__
(3)x2+x=_x_(_x_+_1_)_
(2)2x(3x+7)=_6_x_2_-_1_4_x__ (4)6x2-14x=_2_x_(_3_x_+_7_)
注意：把(x-3)看成一个整体.
新课学习
（2）y(x+1)+y2(x+1)2． 分析：多项式可看成y(x+1)与+y2(x+1)两项.
相同的部分是y(x+1)， 则公因式为y(x+1)
解：y(x+1)+y2(x+1)2 =y(x+1)[1+y(x+1)] =y(x+1)(xy+y+1 )
新课学习
ma+mb+mc=m(a+b+c) 提公因式法一般步骤： 1、找到该多项式的公因式； 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式； 3、把它与公因式相乘．
新课学习
如何准确地找到多项式的公因式呢？
1、系数 所有项的系数的最大公因数； 2、字母 应提取每一项都有的字母，且字母的 ）a(x-y)+b(y-x) 分析：多项式可看成a(x-y)与+b(y-x)两项.
其中x-y与y-x互为相反数， 可将+b(y-x)变为-b(x-y)， 则a(x-y)与-b(x-y)的公因式为(x-y) 解：a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) =(x-y)(a-b) 注意：指数为奇数时，交换位置，要添加“-”
北师大版数学八年级下册4.2《提公因式法》教学设计1
北师大版数学八年级下册4.2《提公因式法》教学设计1一. 教材分析《提公因式法》是北师大版数学八年级下册第4章第2节的内容，本节课主要让学生掌握提公因式法分解因式的技巧，并能运用提公因式法分解因式。
教材通过引入实例，让学生观察、探索、发现提公因式法的步骤和规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了因式分解的基本方法，具备了一定的数学思维能力。
但部分学生对提公因式法的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习进一步巩固和提高。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握提公因式法，能运用提公因式法分解因式。
2.过程与方法：通过观察、探索、发现提公因式法的步骤和规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：掌握提公因式法，能运用提公因式法分解因式。
2.难点：发现提公因式法的步骤和规律，灵活运用提公因式法解决实际问题。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导、讨论等方式，激发学生的思维，引导学生主动探究。
2.案例分析法：通过分析具体实例，让学生观察、探索、发现提公因式法的步骤和规律。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示提公因式法的具体实例和步骤。
2.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习效果。
3.教学素材：收集一些与提公因式法相关的数学故事和实例，用于激发学生的学习兴趣。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用数学故事或实例，引出提公因式法的重要性，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示提公因式法的具体实例，引导学生观察、探索、发现提公因式法的步骤和规律。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用提公因式法分解因式。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验学生对提公因式法的掌握程度。
北师大版初二数学下册4.2提公因式法(2)
第四章因式分解2.提公因式法（二）总体说明本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生经历提取公因式从简单到复杂的过程，进一步培养学生的观察能力，体会数学的类比推理能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系.一、学生知识状况分析学生的技能基础：上一节课，学生学习了提取单项式公因式的基本方法，在这个基础上，学生基本上了解了提公因式法的基本步骤和方法，这为今天的深入学习提供了必要的基础.学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验.二、教学任务分析学生在初步感知提取公因式的魅力之后，并对数学的逆向思维能力和类比思想有了简单的认识，本课时让学生体会如何将这些简单的知识和能力进一步升华，使学生逐步从提取的单项式公因式过渡到提取的多项式公因式，三、教学目标1. 经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。
2. 会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。
3. 进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透类比、化归的思想方法。
四、教学重难点教学重点：用提公因式法把多项式分解因式教学难点：探索多项式因式分解方法的过程五、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：回顾与思考一一例题讲解一一练一练，做一做一一例题讲解一一反馈练习一一问题解决一一小结思考.第一环节回顾与思考：复习提公因式法注意事项及提公因式法步骤活动内容：把下列各式因式分解：把下列各式分解因式：⑴ 8mn2 2mn ⑵ a2b-5ab+9b3 2 3 2⑶ - 3ma 6ma - 12ma ⑷ - 2x 4x - 8x活动目的：回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础.以演板的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，使学生真正理解基本方法和步骤。
北师大版八年级下册数学《提公因式法》因式分解培优说课教学复习课件
(6)mn(m－n)－m(n－m)2
＝mn(m－n)－m(m－n)2
＝m(m－n)[n－(m－n)]
＝m(m－n)(n－m＋n)
＝m(m－n)(2n－m)．
课堂小结
确定公因式的方法：三定，
公因式为
多 项 式
因 式
分 解
注
意
即定系数；定字母；定指数
分两步：（整体思想）
第一步找公因式；第二步提
公因式
1.分解因式是一种恒等变形；
C．x＋y
D．x－y
导引：因为y－x＝－(x－y)，所以若将－b(y－x)转
化为＋b(x－y)，则多项式出现公因式x－y，
由此可确定剩余的因式．
归纳总结
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一
个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
练一练
把下列各式因式分解：
（1） x(a+b)+y(a+b)
(2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)．
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)．
(4)a(m－2)＋b(2－m)＝a(m－2)－b(m－2)
＝(m－2)(a－b)．
(5)2(y－x)2＋3(x－y)＝2(x－y)2＋3(x－y)
＝(x－y)[2(x－y)＋3]＝(x－y)(2x－2y＋3)．
(n是奇数）
(2) a+b与b+a 相等.
(a+b)n = (b+a)n
(n是整数）
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”
号，使等式成立：
－
(1) (a-b) =___(b-a);
北师大版八年级下册第二章§2.2 提公因式法
龙文教育个性化辅导教案提纲学生:日期: 年月日星期: 时段:§2.2 提公因式法教学目标1、让学生了解多项式公因式的意义，掌握用提公因式法分解因式的方法.2、通过找公因式，培养学生的观察能力和类比推理能力.3、让学生自己找公因式，使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来，并能合理地进行分解因式.教学难点：让学生识别多项式的公因式. 准确找出公因式，并能正确进行分解因式.教学过程一、公因式的概念.1、公因式：多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.2、找公因式的一般步骤（1）系数要取系数的最大公约数；（2）相同的字母要取最低次幂；（3）相同的多项式要取最低次幂；（4）所有这些因式的乘积即为公因式.二、提公因式法分解因式1、提公因式法：把多项式中各项的公因式从多项式中提出来，作为多项式一个因式，提出后形成的多项式作为多项式的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2、提公因式法分解因式的一般形式：ma+mb+mc=m（a+b+c）.这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.3、提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.公因式可以是单项式，也可以是多项式4、初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.5、公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.三、提公因式的一般步骤：（1）首项是“- ”的，负号要首先提出来（2）系数要提最大公约数；（3）相同的字母要取最低次幂；（4）多项式中同公因式完全相同的项，提取公因式后剩下1.（5）所有这些因式的乘积即为公因式.四、例题讲解（一）公因式是单项式例题一;将下列各式分解因式：（1）3x+6; （2）7x2－21x; （3）8a3b2－12ab3c+abc（4）－24x3－12x2+28x.分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;（3）8a3b2－12ab3c+abc=8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c=ab（8a2b－12b2c+c）（4）－24x3－12x2+28x=－4x（6x2+3x－7）课堂练习1.写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb（2）4kx－8ky（3）5y3+20y2（4）a2b－2ab2+ab2.把下列各式分解因式（1）8x－72 （2）a2b－5ab（3）4m3－6m2（4）a2b－5ab+9b（5）3x2－6xy+x（二）公因式是多项式例题二：分解因式. a（x－3）+2b（x－3）分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）课堂练习（三）公因式顺序改变符号改变例题三：把下列各式分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）; （2）6（m－n）3－12（n－m）2.分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.解：（1）（2）课堂练习1、请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:（1）2－a=__________（a－2）; （2）y－x=__________（x－y）;（3）b+a=__________（a+b）;（4）（b－a）2=_____ （a－b）2; （5）－m－n=_____－（m+n）;（6）－s2+t2=________（s2－t2）.2、把下列各式分解因式：（1）x（a+b）+y（a+b）（2）3a（x－y）－（x－y）（3）6（p+q）2－12（q+p）（4）a（m－2）+b（2－m）（5）2（y－x）2+3（x－y）（6）mn（m－n）－m（n－m）23、把下列各式分解因式（1）5（x －y ）3+10（y －x ）2 （2）m （a －b ）－n （b －a ）（3）m （m －n ）（p －q ）－n （n －m ）（p －q ） （4）（b －a ）2+a （a －b ）+b （b －a ）六.活动与探究利用分解因式计算：（1） 32004－32003; （2） （－2）101+（－2）100.解：把（a +b －c ）（a －b +c ）+（b －a +c ）·（b －a －c ）分解因式.解：原式=（a +b －c ）（a －b +c ）－（b －a +c ）（a －b +c ）=（a －b +c ）［（a +b －c ）－（b －a +c ）］=（a －b +c ）（a +b －c －b +a －c ）=（a －b +c ）（2a －2c ）=2（a －b +c ）（a －c ）提公因式法一、请你填一填(1)单项式-12x 12y 3与8x 10y 6的公因式是________．(2)-xy 2(x ＋y )3＋x (x ＋y )2的公因式是________．(3)把4ab 2-2ab ＋8a 分解因式得________．(4)5(m -n )4-(n -m )5可以写成________与________的乘积．二、认真选一选(1)多项式8x m y n -1-12x 3m y n 的公因式是( )A ．x m y nB ．x m y n-1C ．4x m y nD ．4x m y n-1(2)把多项式-4a 3＋4a 2-16a 分解因式( ) A ．-a (4a 2-4a ＋16) B ．a (-4a 2＋4a -16) C ．-4(a 3-a 2＋4a ) D ．-4a (a 2-a ＋4)A ．c -b ＋5acB ．c ＋b -5acC ．c -b ＋51acD ．c ＋b -51ac(4)用提取公因式法分解因式正确的是( )A ．12abc -9a 2b 2＝3abc (4-3ab )B ．3x 2y -3xy ＋6y ＝3y (x 2-x ＋2y )C ．-a 2＋ab -ac ＝-a (a -b ＋c )D ．x 2y ＋5xy -y ＝y (x 2＋5x )三、请分解因式(1)x (x -y )-y (y -x )(2)-12x 3＋12x 2y -3xy 2(3)(x ＋y )2＋mx ＋my (4)a (x -a )(x ＋y )2-b (x -a )2(x ＋y )四、好好想一想1．求满足下列等式的x的值．①5x2-15x＝0 ②5x(x-2)-4(2-x)＝02．若a＝-5，a＋b＋c＝-5.2，求代数式a2(-b-c)-3.2a(c＋b)的值．五、创新训练1．若x2＋3x－2＝0，求2x3＋6x2－4x的值。
北师大版八年级下册数学第4章第2节提公因式法课件
二 探索发现
因式分解：ma mb mc
解: ma mb mc m(a b c)
公因式
提公因式法
多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可 以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这
种因式分解的方法，叫做提取公因式法。
合作探究
用心观察，找到答案
多项式 8x+12y 8ax+12ay 8a3bx+12a2b2y
公因式
4 4a 4a2b
9x2-6xy+3x
3x
（2）多项式中的公因式是如何确定的？(合作交流探索）
例1: 找 3x2 – 6 x3y 的公因式。
3
定系数
x
定字母
2
定指数
所以，公因式是3x2 。
你知道吗？
药方：__7_a_b__1_4_a_b_x___49_a_b_y____7_a_b_(_1__2x 7y)
（4）4a2b 6ab2 8a 2ab(2a 3b) 8a
病因：提__取__部__分__公__因__式__后__，__式__子__不__是__乘积形式 药方：4_a_2_b___6_a_b_2 __8_a___2_a_(_2_a_b___3_b_2_ 4)
随堂练习
把下列各式因式分解： 1 (1)x(a＋b)＋y(a＋b)；
(2)3a(x－y)－(x－y)； (3)6(p＋q)2－12(q＋p)； (4)a(m－2)＋b(2－m)； (5)2(y－x)2＋3(x－y)； (6)mn(m－n)－m(n－m)2
解：(1)x(a＋b)＋y(a＋b)＝(a＋b)(x＋y)． (2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)． (3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)． (4)a(m－2)＋b(2－m)＝a(m－2)－b(m－2)＝(m－2)(a－b)． (5)2(y－x)2＋3(x－y)＝2(x－y)2＋3(x－y)＝(x－y)[2(x－y)＋ 3]＝(x－y)(2x－2y＋3)． (6)mn(m－n)－m(n－m)2＝mn(m－n)－m(m－n)2＝m(m－n) [n－(m－n)]＝m(m－n)(n－m＋n)＝m(m－n)(2n－m)．
北师大版八年级数学下册提公因式法课件(第2课时25张)
导入新知
4.2 提公因式法/
2.公因式的确定：定系数，定字母，定指数.
最大公约数
相同的字母 最低次幂
例如，多项式 − 的公因式为:
思考：
（1）提公因式时，公因式可以是多项式吗？
（2）若公因式为多项式，怎样运用提公因式法分解因式？
素养目标
4.2 提公因式法/
(4)( − ) = +
() − − =
− + ；(6)-s2+t2=
视察：以上各多项式有什么特点？
− ；
( − ) ；
− （s2-t2）.
只有符号不同
探究新知
结论1
4.2 提公因式法/
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下
判断方法：
(1)当相同字母前的符号相同时,两个多项式相等.
课堂检测
4.2 提公因式法/
基础巩固题
1. 下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是（ A ）
A. − +
B. ( − ) − ( − )
C. −
D. + − ( + )
2. 把多项式 ( − ) +( − ) 分解因式结果正确的是（ B ）
(3)( + ) −( + )；
(4) − + − ；
(5)( − ) +( − )；
(6) − − ( − ) .
解：
(3)( + ) − + = ( + )( + − )；
(4) − + − = ( − )( − )；
如: − 和− + ，即 − = − + ；
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2 提公因式法
第1课时直接提公因式因式分解
总体说明:
本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．(1)学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本上解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．（2）学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．
一、教学目标
1．学会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解．
2．通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想．
3．通过对因式分解的教学，培养学生“换元”的意识．
二、教学重难点
1．教学重点：直接提公因式因式分解．
2．教学难点：正确找出多项式中各项的公因式．
三、教学过程
环节1自学提纲，生成问题
阅读教材P95～P96的内容，完成下面练习．
1．多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
2．如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．
3．当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数．在提出“－”号时，多项式的各项要变号．
4．把多项式6a2b＋10ab2分解因式时，应提取的公因式是2ab.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论
例1多项式6ab2c－3a2bc＋18a2b2中各项的公因式是()
A．abc B．3a2b2
C．3ab D．3a2b2c
互动探索：(引发学生思考)如何确定一个多项式各项的公因式？
分析：多项式中各项的公因式为3ab.
答案：c
互动总结：(学生总结，老师点评)确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．例2因式分解：
(1)8a3b2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
互动探索:(引发学生思考)如何用提公因式法进行因式分解？
解:(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)．
(2)原式＝(2a－3)(b＋c)．
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．
互动总结：(学生总结，老师点评)提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．
活动2巩固练习
1．多项式－6ab2＋18a2b2－12a3b2c的公因式是(C)
A．－6ab2c B．－ab2
C．－6ab2D．－6a3b2c
2．下列用提公因式法分解因式正确的是(C)
A．12abc－9a2b2＝3abc(4－3ab)
B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2y)
C．－a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c)
D．x2y＋5xy－y＝y(x2＋5x)
3．下列多项式中应提取的公因式为5a2b的是(A) A．15a2b－20a2b2
B．30a2b3－15ab4－10a3b2
C．10a2b－20a2b3＋50a4b
D．5a2b4－10a3b3＋15a4b2
4．填空．
(1)5a3＋4a2b－12abc＝a(5a2＋4ab－12bc)；
(2)多项式32p2q3－8pq4m的公因式是8pq3；
(3)3a2－6ab＋a＝a(3a－6b＋1)；
(4)因式分解：km＋kn＝k(m＋n)；
(5)－15a2＋5a＝－5a(3a－1)；
(6)计算：21×3.14－31×3.14＝－31.4.
5．用提公因式法分解因式．
(1)8ab2－16a3b3；
(2)－15xy－5x2；
(3)a3b3＋a2b2－ab；
(4)－3a3m－6a2m＋12am.
解：(1)8ab2(1－2a2b)．
(2)－5x(3y＋x)．
(3)ab(a2b2＋ab－1)．
(4)－3am(a2＋2a－4)．
活动3拓展延伸
例3△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由．
分析：要判断△ABC的形状→化简已知等式，找出边a、b、c之间的关系→确定△ABC的形状
解：△ABC是等腰三角形．理由如下：
由a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab－c－2bc＝0，则(a－c)＋2b(a－c)
＝0，即(a－c)(1＋2b)＝0，∴a－c＝0或1＋2b＝0，即a＝c或b＝－1
2 (舍去)，∴△ABC是等腰三角形．
(学生总结，老师点评)通过提公因式分解因式，从而找出三边的关系来判定三角形的形状．
环节3课堂小结并板书。
1．公因式
多项式各项都含有的相同因式叫这个多项式各项的公因式．
2．提公因式法
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种因式分解的方法叫做提公因式法．
四、课后练习
请完成p96第一题，p97第二题。
五、教学反思
由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简，比如在以后将要学习的分式运算、
解分式方程、二次根式化简等中都要用到因式分解的知识。
因此应该注重因式分解的概念和方法的教学。
本节运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由提公因数到找公因式，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解。