2 解二元一次方程组
解二元一次方程组常用的“消元”方法
数学篇解题指南将含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的两个方程联立起来，就构成了二元一次方程组.二元一次方程组的解就是组成这个方程组的两个方程的公共解.解二元一次方程组的基本思路是消元.下面就常用的“消元”方法进行分析说明.一、代入消元法代入消元法就是在解二元一次方程组时，把其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入到另一个方程中，进而达到消元的目的.基本步骤是：第一步，变形.即从二元一次方程组中选取一个系数较简单的方程，然后把它变为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式；第二步，代入.即将变形后的方程代入到另一方程中消去某个未知数，使方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，解出此方程，进而得到该未知数的值；第三步，回代.把所求得的未知数的值代回到变形后的方程中，得出另一未知数的值，再用大括号把两个未知数的值联立起来；第四步，检验.把所得的两个未知数的值代入另一方程中进行检验，若成立，则是原方程组的解.例1解下列方程组：（1）ìíîx -2y =4①，2x +3y =1②；（2）ìíîïï3(x +y )-2(2x -y )=3，2(x -y )3-x +y4=-112.分析：观察两个方程组的特点，可以看出在方程组（1）中，方程①中x 的系数为1，故可以直接利用代入消元法求解；方程组（2）并非一般形式，先要把它整理成一般形式，再利用代入消元法求解.解：（1）由方程①移项可得x =2y +4，把x =2y +4代入方程②中，可得2(2y +4)+3y =1，解得y =-1，把y =-1代入①中可得x =2，所以有{x =2,y =-1.经检验可知，原方程组的解为{x =2,y =-1.解二元一次方程组常用的“消元”方法19数学篇解题指南（2）通过整理，原方程组可以转化为ìíî5x -11y =-1③,-x +5y =3④,由方程④可知x =5y -3.把x =5y -3代入方程③中，可得5（5y -3）-11y =-1，即14y =14，解得y =1.把y =1代入x =5y -3中，可得x =2，所以有{x =2,y =1.经检验可知，原方程组的解为{x =2,y =1.评注：在解二元一次方程组时，若方程组中某一个未知数的系数是1或-1，或者是可以将某一项作为一个整体，便于代入另一个方程中时，常常借助代入消元法进行求解.二、加减消元法加减消元法即通过将方程组中的两个方程相加或相减消去某个未知数，从而将两个方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，进行求解.在运用加减消元法解二元一次方程组时，要注意仔细观察两个方程中的同一个未知数的系数，若发现系数互为相反数，则利用相加消元法求解；若发现系数相同，则利用相减消元法求解；若两个系数既不相等，也不互为相反数，则需要运用等式性质，把方程两边同乘以适当的数，使未知数的系数相同或互为相反数，再借助加减消元法求解.例2（1）ìíî3x -2y =9①,5x -2y =11②;（2）ìí4x +3y =3①,程中未知数y 的系数相同，这样只需要把两个方程相减，消去未知数y ，得到关于x 的一元一次方程即可解题.（2）观察方程组，很容易看出，两个方程中的未知数x 、y 的系数既不相同，也没有互为相反数，此时需要运用等式性质把同一未知数的系数转化为相同，因此需要将方程①两边同时乘以2，方程②两边同时乘以3，再两式相加，消去未知数y ，得到关于x 的一元一次方程即可解题.解：（1）由方程②-①可得2x =2，解得x =1.把x =1代入①中可得y =-3，所以有{x =1，y =-3.经检验可知，原方程组的解为{x =1，y =-3.（2）方程①×2可得8x +6y =6③；方程②×3可得9x -6y =45④，③+④可得17x =51，解得x =3.把x =3代入方程①中，可得y =-3，所以有{x =3，y =-3.经检验可知，原方程组的解为{x =3，y =-3.评注：在解二元一次方程组时，若两个方程的同一个未知数的系数相同，或系数互为相反数，或者成倍数关系，此时可利用加减消元法去破解.总之，代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组最基本、最常见的消元方法，两者既存在相通点，又具有不同点.同学们在解二元一次方程组时，一定要对方程中的各。
求解二元一次方程组公式
求解二元一次方程组公式二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解决这样的方程组需要使用一些基本的数学公式。
以下是一些公式和步骤，帮助你解决二元一次方程组。
1. 用消元法解决二元一次方程组消元法是解决二元一次方程组的最常用方法。
通过消去一个未知数，将两个方程转化为只包含一个未知数的方程，然后解决这个方程，最终得到两个未知数的解。
例如，考虑以下方程组：2x + 3y = 74x - 5y = 1首先，将第一个方程乘以2，得到：4x + 6y = 14然后将其与第二个方程相减，得到：11y = 13因此，y = 13/11。
将y的值代入第一个方程，得到：2x + 3(13/11) = 7解决这个方程得到x的值，最终解为：x = 17/11，y = 13/112. 用克莱姆法解决二元一次方程组克莱姆法是另一种解决二元一次方程组的方法，它使用行列式来计算未知数的值。
对于以下方程组：ax + by = ecx + dy = f计算行列式D和Dx，Dy如下：D = |a b||c d|Dx = |e b||f d|Dy = |a e||c f|然后，通过以下公式计算x和y的值： x = Dx/Dy = Dy/D例如，考虑以下方程组：2x + 3y = 74x - 5y = 1计算行列式D和Dx，Dy如下：D = |2 3||4 -5| = -22Dx = |7 3||1 -5| = -26Dy = |2 7||4 1| = -5通过公式计算x和y的值，得到：x = Dx/D = (-26)/(-22) = 13/11y = Dy/D = (-5)/(-22) = 1/11最终解为：x = 13/11，y = 1/11以上是求解二元一次方程组的公式和步骤。
通过这些方法，你可以解决任何二元一次方程组，并找到它们的解。
解二元一次方程组(2)
例1：解下面的二元一次方程组
3x+5y =21
①
2x–5y = –11
②
把②变形得：
5y－11
x=
代入①，Байду номын сангаас去
x
了！2
标准的 代入消
元法
3x +5y =21 2x –5y = –11
认真观察此方程组中各个未知数的系数有什么特点，并思考还 有没有其它的解法。
我们发现 y 的系数互为相反数 根据等式的性质我们可以将方程的左右两边 分别相加以达到消元的目的！
把y ＝－1代入①，得： 2x－5×（－1）＝7
解得:x＝1
所以原方程组的解是
x＝1 y＝－1
感悟规律 揭示本质
两个二元一次方程中同一未知数的系数相 反或相等时，将两个方程的两边分别相加或 相减，就能消去这个未知数，转化为一个一 元一次方程，达到消元的目的，相对于代入 消元法，有一定的优越性。
例3：解方程组
解二元一次方程组（2）
苏科版七年级下册 数学
1、用含x的代数式表示y ：
(1) x + y = 22 (2) 5x =2 y (3) 2x － y =5
y= 22－x
y = 25x
y = 2 x－5
2、用含y 的代数式表示 x ：2x － 7y = 8
7y+8 x= 2
代入法解二元一次方程组的步骤；
变为同一个未知数的系 数相同或互为相反数 消去一个元 分别求出两个未知数的值 写出方程组的解
3x+4y = 17 ②
解： ①×3得 6x+9y=36 ③ ②×2得 6x+8y=34 ④ ③－④得: y=2 把y ＝2代入①，
人教版七年级数学下册8.2 消元——代入法解二元一次方程组(课件20张PPT 教案)
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装 （500g）和小瓶装（250g）两种产品的销 售数量（按瓶计算）的比为2:5.某厂每天生产 这种消毒液 22.5吨，这些消毒液应该分装大、 小瓶两种产品各多少瓶？
问题中的条件 大瓶数：小瓶数=2:5 大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生 产量
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶. ① 5 x 2 y 由题意得 ② 500 x 250 y 22500000
x y 3 的解是（ 2x 4
x 5
D ）
x 3 A. y 0
x 1 B. y 2
x 2 C. y 2 D. y1
作业布置
１. 必做题：97页1.（2）（4）2.（3）（4 ２. 选做题：98页7.8
“即使能力有限，也要全力以赴，即使输了， 也要比从前更强，我一直都在与自己比，我要 把最美好的自己，留在这终于相逢的决赛赛 场。”
再见
•
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46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤
解2元一次方程组的方法
对于二元一次方程组的解法，我们用的方法是消元思想。
也就是把两个未知数转换为一个未知数，这也是我们初中数学中重要的思想。
知识点将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种基本解法，它们都是通过消元将方程组转化为一元一次方程，再求解.代入消元法1. 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤:①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用另一个未知数如x的代数式表示出来，即写成y=mx+n的形式；②代入消元：把y=mx+n代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x的值；④回代求解: 把求得的x的值代入y=mx+n中求出y的值，从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成{x=ay=b的形式.例: 解方程组①②{x−y=2 ① 2x+3y=9 ②解: 由①得y=x−2③把③代入②得2x+3(x−2)=9解得x=3把x=3代入③得y=1所以方程组的解是{x=3y=1总结：在使用代入消元法时，我们需要把握的一点就是当未知数的系数出现±1时，用代入消元法。
加减消元法1. 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.2. 用加减法解二元一次方程组的一般步骤:①变换系数: 把一个方程或者两个方程的两边都乘适当的数, 使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元: 把两个方程的两边分别相加或相减, 消去一个未知数, 得到一个一元一次方程③解这个一元一次方程, 求得一个未知数的值；④回代求解: 将求出的未知数的值代入原方程组的任一方程中, 求出另一个未知数的值；⑤把这个方程组的解写成{x=ay=b的形式.例:解方程组①②{3x−2y=1 ① 2x+y=3 ②解:②×2 得4x+2y=6③①+③得7x=7解得x=1把x=1代入①得3−2y=1即y=1所以方程组的解是{x=1y=1总结：（1）加减消元法是万能的，所有二元一次方程组都可以使用加减消元法。
解二元一次方程组的方法
解二元一次方程组的方法二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，通常形式为：ax + by = c。
dx + ey = f。
要解这样的方程组，我们可以使用多种方法，下面将介绍几种常用的解法。
方法一，代入法。
代入法是解二元一次方程组常用的一种方法。
我们可以通过将一个方程中的一个未知数表示成另一个方程中的未知数的形式，然后代入到另一个方程中，从而得到另一个未知数的值。
举个例子，对于方程组：2x + 3y = 8。
x y = 1。
我们可以将第二个方程中的x表示成x = 1 + y，然后代入到第一个方程中，得到：2(1 + y) + 3y = 8。
2 + 2y + 3y = 8。
5y = 6。
y = 6/5。
将y的值代入到x y = 1中，得到：x 6/5 = 1。
x = 11/5。
因此，方程组的解为x = 11/5，y = 6/5。
方法二，消元法。
消元法是解二元一次方程组的另一种常用方法。
通过将两个方程相减或相加，消去一个未知数，然后解得另一个未知数的值。
以方程组。
2x + 3y = 8。
x y = 1。
为例，我们可以将两个方程相加，得到：3x + 2y = 9。
然后将这个新得到的方程与原来的其中一个方程相减，消去一个未知数，得到另一个未知数的值。
方法三，克莱姆法则。
克莱姆法则是一种利用行列式来解二元一次方程组的方法。
对于方程组。
ax + by = e。
cx + dy = f。
如果ad bc ≠ 0，那么方程组有唯一解，且解为：x = (ed bf) / (ad bc)。
y = (af ec) / (ad bc)。
方法四，图解法。
图解法是通过在坐标系中画出两个方程的图像，从而找到它们的交点来求解方程组的方法。
通过观察图像的交点坐标，我们可以得到方程组的解。
总结。
解二元一次方程组的方法有很多种，上面介绍的只是其中的几种常用方法。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解方程组，以便高效地求得未知数的值。
二元一次方程组的解法全面版
把②变形得：x
5y 11 2
代入①，不就消去 x了！
把②变形得 5y2x11
可以直接代入①呀！
小
明
小丽
5 y和 5y
互为相反数…… 小彬
按照小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
思路
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
§4.3 二元一次方程组的解 法(二)
复习:
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤：
1. 变
2. 代3. 解 4.写解
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数
消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
问 题 怎样解下面的二元一次方程组呢？
试一试
用加减消元法解下列方程组.(你
可以选择你喜欢的一题解答)
7x-2y=3 9x+2y=-19
6x-5y=3 6x+y=-15
例4. 解方程组:
分析：
2x 3y 12 ① 当方程组中两方程未知数系数不
3x 4y 17 ②
具备相同或互为相反数的特点时 要建立一个未知数系数的绝对值
5x-6y=9 7x-4y=-5
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 变形 加减
同一个未知数的系
数相同或互为相反数 消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有: 代入法、加减法
解二元一次方程组的方法
解二元一次方程组的方法一、图形法解二元一次方程组可以使用图形法来进行求解。
图形法的基本思想是将方程组表示在坐标系中，通过观察图像的交点确定方程组的解。
具体步骤如下：1. 将两个方程分别表示在坐标系中，作出对应的直线。
2. 观察两条直线的交点，如果两条直线相交于一个点，则该点为方程组的解。
3. 如果两条直线平行，即不相交，则方程组无解。
4. 如果两条直线重合，即完全重合在一起，则方程组有无限多解。
二、代入法代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。
代入法的基本思想是将其中一个方程的变量表示为另一个方程的变量，然后代入到另一个方程中进行求解。
具体步骤如下：1. 选取其中一个方程，将其中一个变量表示为另一个方程的变量。
2. 将表示后的变量代入到另一个方程中，得到一个一元一次方程。
3. 求解一元一次方程得到一个变量的值。
4. 将求得的变量值代入到原方程中，得到另一个变量的值。
三、消元法消元法是解二元一次方程组常用的方法之一。
消元法的基本思想是通过消去一个变量，将方程组化简为只包含一个变量的方程，然后进行求解。
具体步骤如下：1. 确定一个目标，选择其中一个方程，通过变换使得其中一个方程的一个变量的系数和另一个方程的对应变量的系数相等或相反数。
2. 将选择的方程两边同乘以适当的数使得系数相等或相反数。
3. 将上述变换后的方程两方程对应的相应项相减，得到一个只包含一个变量的方程。
4. 求解一元一次方程得到一个变量的值。
5. 将求得的变量值代入到原方程中，得到另一个变量的值。
四、等价变形法等价变形法是解二元一次方程组常用的方法之一。
等价变形法的基本思想是通过对方程进行等价变形，将方程组化简成更容易求解的形式。
具体步骤如下：1. 对方程组的两个方程进行等式变形，使得方程组的形式更加简化。
2. 对方程组进行加减运算，使得一个未知数的系数相等或相反数。
3. 利用一次方程的等价性，解得一个未知数的值。
4. 将求得的未知数的值代入到方程组中，求得另一个未知数的值。
解二元一次方程组教案(优秀6篇)
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解二元一次方程组--浙教版
把 y = - 2 代入 ① ， 得
3x + 5 × ( - 2 ) = 5 解得 x = 5 x =5
所以，原方程组的解是
y = -2
归纳
从上面的解答过程中，你发现了二元 一次方程组的新解法了吗？
当两个方程的同一个未知数的系数相同或互为 相反数时，可通过将方程组中的两个方程相减 或相加，消去其中的一个未知数，转化为一元 一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫做 加减消元法（简称加减法）。 思考：用加减法解二元一次方程组将两方程 相加还是相减看什么？ 相同字母系数相同用减法 相同字母系数相反用加法
解：①+② 得(3x +2y )+( 3x -2y) =13 + 5 3x +2y +3x -2y =18 6 x=18
x=3
把 x=3代入①得：
9+2y=13 y=2
∴原方程组
的解是｛
x=3 y=2
探究
例2：解方程组
解：
把①-② 得
3x + 5y = 5 3x - 4y =23
①
②
(3x + 5y) – (3x – 4y ) = 5 - 23
巩固
x+3y=17
1.已知方程组 2x-3y=6 两个方程只要两边 分别相加 就可以消去未知数 y 25x-7y=16 两个方程只要两边 2.已知方程组 25x+6y=10 分别相减 就可以消去未知数 x
巩固
选择题
6x+7y=-19①
1. 用加减法解方程组
6x-5y=17②
二元一次方程组解法详解
二元一次方程组解法详解一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求出的未知数的值写成的形式.6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解；（2）当时，这个方程组无解；（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2）∵方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一次方程，∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中，如果是它的一个解，那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，晨旭教育培训中心所以只需将代入方程中，解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解，∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2，那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答：都是方程①的解．晨旭教育培训中心又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x 的值.（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.解：（1）将①化简得：3y=4x＋5③把③代入②得：2x－(4x＋5)=1解得x=－3将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5∴∴原方程组的解为.（2）原方程组整理为由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.将b=2代入③，得a=2.∴原方程组的解为.例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b的值.题设的已知条件是两个方程组有相同的解。
解二元一次方程组
解二元一次方程组课前回顾：1. 概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.（1）使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解;（2）一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值.2.二元一次方程组：由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.（1）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.（2）方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.（3）怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.一．用“代入法”解二元一次方程组例1.求方程组⎩⎨⎧=+=+1004239y x y x 由（1）可知，x y -=39 （3）把（3）代入（2），得2x+4(39-x)=100 （4）整理，得-2x=-56解得x=28.把x=28代入（3），得y=11.所以原方程组的解是⎩⎨⎧==1128y x . 1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.2）代入法解二元一次方程组的步骤1 选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；2 将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）；3 解这个一元一次方程，求出未知数的值；4 将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；5 最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.例2：解方程组⎩⎨⎧-=+=-23452y x y x 练习：用代入法解下列方程组(1) ⎩⎨⎧=+=522y x y x (2) ⎩⎨⎧=-=+54372y x y x (3)⎩⎨⎧=+-=+0113y x y x (4) ⎩⎨⎧=+=-3541832y x y x 二．用“加减消元法”解二元一次方程组例3. ⎩⎨⎧=+=-732132y x y x 解 （1）-（2），得 -6y=-6，所以y=1把y=1代入（1），得 2x-3=1，所以有x=2方程组的解为⎩⎨⎧==12y x 当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程求解例4.解方程组⎩⎨⎧=+=-16321123y x y x 分析 先通过方程的变形，使得某个未知数的系数的绝对值相同，就可以把两个方程的两边相加或相减来消元解 （1）⨯3，得9x-6y=33 （3）（2）⨯2，得 4x+6y=32 （4）（3）+（4），得 13x=65，所以 x=5.把x=5代入（1），得 3⨯5-2y=11，解得 y=2.所以 方程组的解是⎨⎧==25y x1）通过将方程组中的两个方程相加或相减，消去其中的一个未知数，转化为一元一次方程.这种解二元一次方程的方法叫做加减消元法，简称加减法。
解二元一次方程组的方法总结
解二元一次方程组的方法总结在数学中，二元一次方程组是由两个未知数的两个一次方程组成的方程组。
解二元一次方程组可以通过多种方法进行，本文将对常用的三种方法进行总结：代入法、消元法和Cramer法。
一、代入法代入法是解二元一次方程组中最基本的方法之一。
其基本思路是先解出其中一个方程中的一个未知数，然后将该未知数的值代入另一个方程中求解另一个未知数。
具体步骤如下：1. 选择一个方程，将其中一个未知数表示为另一个未知数的函数。
2. 将该表示式代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的一次方程。
3. 解出该未知数的值。
4. 将得到的未知数的值代入步骤1中找到的表示式中，求解另一个未知数。
二、消元法消元法是解二元一次方程组中常用的一种方法。
其基本思路是通过适当的运算将方程组中的一个未知数的系数相消，从而转化为只含有一个未知数的方程。
具体步骤如下：1. 比较两个方程中未知数的系数，选择一个系数相等的未知数，使其相加或相减后系数为0。
2. 将两个方程中选中的未知数相加或相减，消去该未知数的项，得到只含有一个未知数的一次方程。
3. 解出该未知数的值。
4. 将得到的未知数的值代入其中一个原始方程中，求解另一个未知数。
三、Cramer法Cramer法是解二元一次方程组的另一种常用方法，它利用了行列式的性质进行求解。
该方法的主要思路是构建一个系数行列式，通过计算行列式的值来求解未知数。
具体步骤如下：1. 根据方程组的系数，构建一个增广矩阵。
2. 计算增广矩阵的系数行列式和各个未知数对应的余子式。
3. 将系数行列式除以未知数对应的余子式，得到各个未知数的值。
总结：解二元一次方程组的方法有代入法、消元法和Cramer法三种常用方法。
对于不同的情况，选择合适的方法可以更高效地求解方程组。
在实际应用中，针对具体问题的特点和要求选择合适的方法进行解题，可以提高解题的效率和准确性。
通过本文对这三种方法的总结，相信读者能够更好地掌握解二元一次方程组的技巧，提高解题能力。
解二元一次方程组-完整版课件
解：由①，得3（x-2）=7+4（y-1）. ③
把③代入②，得3[7+4（y-1）]-10（y-1）=-25.
解得y=-22. 所以y-1=-23. 将y-1=-23代入③，
得 x 26 1 .
3
∴原方程组的解为
x
26
1 3
,
y 22.
注意点：用代入法解二元一次方程组往往考虑用 整体思想进行换元，使得方程组简单化后再求解.
例
用代入法解方程组
2x-y=5，①
3x+5y=27.②
错答：由①，得y=2x-5. ③ 把③代入①，得2x-（2x-5）=5，得5=5. 所以原方程
无解.
正答：由①，得y=2x-5. ③ 把③代入②，得3x+5（2x-5）=27，解得x=4. 把x=4
x 4,
代入③，得y=3.
所以原方程组的解是
中一个方程变形，并力求变形后的方程比较简单，
这样代入另一个方程后就比较容易化简.
利用整体思想解二元一次方程组
例2
求方程组
3（x-2）-4（y-1）=7，①
9（x-2）-10（y-1）=-25②
的解.
分析：发现方程中x，y都是以x-2，y-1的形式出 现的，若将x-2，y-1看成整体，看成新的未知数， 解关于x-2，y-1的方程组就比较简便.注意点：用“代入法”解方程组时，选择由哪一个
方程变形代入到另一个方程中要注意技巧. 若方程
组中某个未知数在一个方程中的系数是1或-1时，
应用移项法则，变形为此未知数等于另一个未知数
的代数式，往往会给解题带来方便；若方程组的两
个方程中都没有系数是1或-1的未知数，就应将其
第2章 二元一次方程组 2.3 解二元一次方程组（第1课时）
解二元一次方程组的方法和步骤
解二元一次方程组的方法和步骤在数学中，二元一次方程组是一种常见的方程形式，它由两个未知数和两个方程组成。
解二元一次方程组的方法有多种，下面将介绍其中的几种常见方法和步骤。
一、代入法代入法是解二元一次方程组的一种基本方法。
其基本思想是将一个方程中的一个未知数表示为另一个方程中的未知数的函数，然后代入另一个方程，从而得到一个只包含一个未知数的方程，进而求解该方程。
例如，考虑以下二元一次方程组：方程1：2x + 3y = 7方程2：4x - y = 1我们可以将方程2中的y表示为方程1中的未知数x的函数。
通过观察可以发现，方程2中的y可以表示为y = 4x - 1。
将这个表达式代入方程1中，得到2x +3(4x - 1) = 7。
化简后得到14x - 3 = 7，进一步化简为14x = 10，最终解得x = 10/14 = 5/7。
将x的值代入y = 4x - 1，得到y = 4(5/7) - 1 = 20/7 - 7/7 = 13/7。
因此，该二元一次方程组的解为x = 5/7，y = 13/7。
二、消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
其基本思想是通过适当的变换，使得方程组中的一个未知数的系数相等或相差一个整数倍，从而将两个方程相减或相加，消去该未知数，进而求解另一个未知数。
考虑以下二元一次方程组：方程1：3x + 2y = 8方程2：2x - 4y = -2我们可以通过适当的变换，使得方程组中y的系数相等或相差一个整数倍。
观察方程1和方程2，可以发现将方程2乘以2得到2(2x - 4y) = 2(-2)，即4x - 8y = -4。
现在我们可以将这个新的方程与方程1相减，得到(3x + 2y) - (4x - 8y) = 8 - (-4)，化简后得到-x + 10y = 12。
进一步化简为x = 10y - 12。
将这个表达式代入方程1中，得到3(10y - 12) + 2y = 8。
解二元一次方程组教案优秀9篇
解二元一次方程组教案优秀9篇课前预习：篇一一、阅读教材P96-P98的内容二、独立思考：1、满足方程组的x的值是-1，则方程组的解是_____________.2、用代入法解方程组比较容易的变形是()、A、由①得B、由①得C、由得D、则得3、用代入消元法解方程以下各式正确的是()A、B、C、D、4、如果是二元一次方程，则的值是多少？二元一次方程篇二数学七年级下册《二元一次方程》数学教案一、教学目标：1、认知目标：1）了解二元一次方程组的概念。
2）理解二元一次方程组的解的概念。
3）会用列表尝试的方法找二元一次方程组的解。
2、能力目标：1）渗透把实际问题抽象成数学模型的思想。
2）通过尝试求解，培养学生的探索能力。
3、情感目标：1）培养学生细致，认真的学习习惯。
2）在积极的教学评价中，促进师生的情感交流。
二、教学重难点重点：二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念。
难点：把一个二元一次方程形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程。
三、教学过程(一)创设情景，引入课题1、本班共有40人，请问能确定男女生各几人吗？为什么？（1）如果设本班男生x人，女生y人，用方程如何表示？(x+y=40)（2）这是什么方程？根据什么？2、男生比女生多了2人。
设男生x人，女生y人、方程如何表示？x，y的值是多少？3、本班男生比女生多2人且男女生共40人、设该班男生x人，女生y人。
方程如何表示？两个方程中的x表示什么？类似的两个方程中的y都表示？像这样，同一个未知数表示相同的量，我们就应用大括号把它们连起来组成一个方程组。
4、点明课题：二元一次方程组。
（设计意图：从学生身边取数据，让他们感受到生活中处处有数学）（二）探究新知，练习巩固1、二元一次方程组的概念（1）请同学们看课本，了解二元一次方程组的的概念，并找出关键词由教师板书。
[让学生看书，引起他们对教材重视。
找关键词，加深他们对概念的了解、]（2）练习：判断下列是不是二元一次方程组，学生作出判断并要说明理由。
(完整版)二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组的常见解法二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．2x+5y=－21①例1、解方程组x+3y=8 ②解由②得：x=8－3y ③把③代入①得2（8－3y）+5y=－21解得：y=37把y=37代入③得：x=8－3×37=－103x=－103所以这个方程组的解是y=37二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．3x－4y=9①例2、解方程组9x－10y=3②解由①得3x=4y+9 ③把③代入②得3(4y+9)－10y=3解得y=－12把y=－12代入③得3x=4×(－12)+9解得x=－13x=－13所以方程组的解是y=－12三、加减消元法即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．2x+3y=14 ①例3、解方程组4x－5y=6②解由①×2得4x+6y=28 ③③－②得：11y=22解得y=2把y=2代入②得4x－5×2=6解得x=4x=4所以方程组的解为y=2四、整体运用加减法即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．3(x+2)+(y－1)=4 ①例4 解方程组3(x+2)+(1－y)=2 ②解①－②得(y－1)－(1－y)＝4－2整理得2y=4解得y=2把y=2 代入①得3(x+2)+(2－1)=4整理得3x+7=4解得x=－1x=－1所以方程组的解为y=2解二元一次方程组的主要方法有代入法和消元法，因为方程的形式是多种多样的．所以在解方程中一定要仔细观察方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系的找到最简便的解题方法．。
二元一次方程组的解法步骤
二元一次方程组的解法步骤二元一次方程组的解法步骤第 1 篇代入消元法(1)等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数(例如y)，用另一个未知数(如x)的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b的形式;(2)代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程;(3)解这个一元一次方程，求出x的值;(4)回代：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解;(5)把这个方程组的解写成x=c y=d的形式。
换元法解一些复杂的问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化。
该方法在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面能起到独到作用。
加减消元法(1)变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等;(2)加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程;(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;(4)回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值;(5)把这个方程组的解写成x=c y=d的形式。
二元一次方程组的解法步骤第 2 篇教学目的1、使学生巩固等式与方程的概念。
2、使学生掌握等式的*质和灵活掌握一元一次方程的解法，培养学生求解方程的计算能力。
教学分析重点：熟练掌握一元一次方程的解法。
难点：灵活地运用一元一次方程的解法步骤，计算简化而准确。
突破：多练习，多比较，多思考。
教学过程一、复习1、什么是一元一次方程？一元一次方程的标准形式是什么？它的解是什么？2、等式的*质是什么？（要求说出应注意的两点）3、解一元一次方程的基本步骤是什么？以解方程－2x+=为例，说明解一元一次方程的基本步骤与注意点，并口头检验。
二、新授1、已知方程（n+1）x|n|=1是关于x的一元一次方程，求n 的值。
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解二元一次方程组
教学目标:
会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组
教学重点:
用代入法和加减消元法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元.
教学难点:
用代入法和加减消元法解二元一次方程组
知识点:
1·用代入法解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。
主要步骤是：
①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来
②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组
为一元一次方程式
③解这个一元一次方程
④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解。
2·用加减法解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。
主要步骤是：
观察求未各数的系数的绝对值是否相同，若互为相反数就用加，若相同，就用减，达到消元目的。
例题:
3x+ 2y=8 2x+3y=16
x=
23
y
x+4y=13
3x+5y=21 2x-5y=7 2x+3y=12
2x－5y= -11 2x+3y= -1 3x+4y=17
练习题： 一、选择题
1.四名学生解二元一次方程组⎩
⎨⎧=-=-325
43y x y x 提出四种不同的解法，其中解法
不正确的是（ ）
A.由①得x =
3
45y +,代入② B.由①得y =
4
53-x ,代入②
C.由②得y =－
2
3-x ,代入① D.由②得x =3+2y ,代入①
2.用代入法解方程组⎩
⎨⎧=-=+522
43y x y x
使得代入后化简比较容易的变形是（ ） A.由①得x =342y - B.由①得y =
4
32x -
C.由②得x =
2
5
+x
D.由②得y =2x －5
3.用加减法解方程组⎩
⎨⎧=-=+8231
32y x y x 时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相
反，有以下四种变形的结果：
①⎩⎨
⎧=-=+8
46196y x y x ②⎩⎨
⎧=-=+8
69164y x y x ③⎩⎨
⎧-=+-=+16
46396y x y x ④⎩⎨
⎧=-=+24
69264y x y x
其中变形正确的是（ ）
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
4.如果5x 3m －2n －2y n －m +11=0是二元一次方程，则（ ）
A.m =1,n =2
B.m =2,n =1
C.m =－1,n =2
D.m =3,n =4
5.已知
2
1x b +5y 3a
和－3x 2a y 2－4b 是同类项，那么a ,b 的值是（ ）
A.⎩
⎨⎧=-=21b a
B.⎩⎨
⎧==0
7
b a
C.⎪
⎩
⎪⎨⎧-==53
0b a
D.⎩⎨
⎧-==1
2b a
二、填空题
6.将x =－23
y －1代入4x －9y =8,可得到一元一次方程_______.
7.用代入法解方程组⎩⎨
⎧=-=+1
472y x y x 由②得y =______③,把③代入①，得 ①
② ①
② ①
②
________，解得x =________,再把求得的x 值代入②得，y =________.原方程组的解为_______. 8.关于x ,y 的方程组⎩⎨
⎧=-=+5
24y mx y mx 中，若x 的值为2
3
，则m =________,y =________.
9.若2a 7x －
y b 17与－3
1
a 2
b 2x +3y 是同类项，则x =________,y =________.
10.解关于x 的方程组⎩⎨⎧=-=+m
y x m y x 932得⎩⎨
⎧==.
________,y x 当m 满足方程5x +8y =38时，
m =________. 三、解答题
11.用代入法解下列方程组
（1）⎩⎨⎧=+=-74823x y y x (2)⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=
--=-359333
2y y x y
x
12.用加减法解方程组
(1)⎩⎨
⎧-=-=t
s t
s 41835276
(2)⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-=+74324
3y x y x
13.在公式S n =na 1+2
)1(-n n d 中，已知S 2=5，S 4=14，求S 6的值.
14.解方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+021
4143y x y x
15.解方程组⎪
⎩⎪
⎨⎧+=+=-41
3
2123y x x y
16.已知关于x 、y 的方程组⎩
⎨
⎧=+=+⎩⎨⎧-=+=-33211
2313
32by ax y x by ax y x 和的解相同，求a 、b 的值.
① ②
① ②。