有效数字的运算规则
有效数字的计算法则
有效数字的计算法则
有效数字是指在最后一个数字后面的数字都是不确定的数字。
有效数字的计算法则是指在进行数学计算时，应当根据有效数字的规则进行计算以保证结果的准确性。
以下是一些有效数字的计算法则： 1. 加减法：在进行加减法运算时，结果的有效数字应当与被加数或被减数中有效数字最少的那个数相同。
2. 乘法：在进行乘法运算时，结果的有效数字应当与被乘数和乘数中有效数字的总和相同。
3. 除法：在进行除法运算时，结果的有效数字应当与被除数中有效数字的总数相同。
4. 幂运算：在进行幂运算时，结果的有效数字应当与底数中有效数字的总数相同。
5. 对数运算：在进行对数运算时，结果的有效数字应当与真数中有效数字的总数相同。
在进行数学计算时，应当注意有效数字的规则，以保证计算结果的准确性。
同时，应当注意四舍五入的规则，以便得到正确的有效数字。
- 1 -。
有效数字的运算规则
化验分析中，试样的组分含量，由一系列测得的原始数据经一定计算公式的算求得的。
在数的运算中，一般地说，两数相加或相减，应该使它们有相同的确度；两数相乘或相除，应使它们有相同的准确度，即每一个数都保留同样位的有效数字，计算结果也是如此-
似运算中应注意以下几点。
(l)几个数相加或相减时，它们的和或差的有效数字保留的位数应以小数点位数最少的那个数字为依据。
如：O．0312十23. 34十2.50381，以23. 34为依据，将其他数字按数字修约到小数点后第二位，然后相加(2)在做乘除运算的时候，有效数字的位数取决于相对误【电镀设备厂】差最大的碘／<数字位数最小的那个数。
如：(0. 0234十4. 303 X 71. 07)/127. 5=0. 0561259
计算结果应取O．056 1，即与O．0234（有效数字位数最少的数的位数相同）。
在运算过程中，每步运算的结果可比有效数字位数最少的那个数多保留一位。
例如：O．0234 X 4.303 = O．1006702，这时可取O．1007，继续运算（比多一位有效数字）。
在使用电子计算器时，有人错误地认为取值位数越多据越精确，其实这会人为地制造假象而有害无益。
当然，也不可少取位数而丢了能够获得的准确度。
加减乘除有效数字运算规则
加减乘除有效数字运算规则有效数字是指测量结果中最可靠的数字，也就是测量结果中所含的数字中，最后一个数字后面的所有数字都是不确定的。
例如，测量结果为1.2345，那么有效数字为1.23或1.234或1.2345，取决于测量时的精度。
二、加减乘除有效数字运算规则1、加减法：在加减法中，结果的小数点位数以参与运算的数中小数点位数最少的数为准，并且结果保留相同的小数位数。
例如：1.2345+2.12=3.3545，保留小数点后两位，结果为3.35。
2、乘法：在乘法中，结果的有效数字个数以参与运算的数中有效数字个数最少的数为准，并且结果保留相同的有效数字个数。
例如：1.2×3.456=4.15，保留有效数字为2个，结果为4.2。
3、除法：在除法中，结果的有效数字个数以被除数中有效数字个数最少的数为准，并且结果保留相同的有效数字个数。
例如：10.5÷2.31=4.55，保留有效数字为3个，结果为4.55。
三、注意事项1、当参与运算的数中包含有“0”时，应特别注意。
如果“0”是有效数字中的一位，则要保留。
如果“0”不是有效数字中的一位，则可以省略。
例如：0.002+0.001=0.003，保留小数点后三位，结果为0.003。
2、当使用科学计数法表示数字时，应先将科学计数法转换成普通形式，再进行运算。
例如：1.23×10^(-4)与0.00345×10^3的乘法运算，应先将两个数转换成普通形式，再进行运算。
3、在实际问题中，应根据精度要求决定结果的保留位数，不要盲目地套用加减乘除有效数字运算规则。
四、总结加减乘除有效数字运算规则是数学中的基本规则之一，掌握这些规则对于正确进行数字运算具有重要的意义。
在运用这些规则时，应特别注意被运算数中的有效数字个数和小数点位数，避免出现错误结果。
有效数字及其运算规则
有效数字及其运算规则有效数字是科学计数法和普通计数法中最为重要的概念之一，它们在各个领域的数学运算和实际应用中都起着至关重要的作用。
本文将介绍有效数字的概念、计算规则以及其在科学与工程领域中的实际应用。
1. 有效数字的概念有效数字是指测量或表达数据时所能表达的最可靠的数字。
它们通常由测量精度和测量仪器的精确度决定。
有效数字的数量表示了测量值的精度与可靠性。
2. 有效数字的计算规则有效数字的计算规则基于四则运算原理，即加法、减法、乘法和除法。
下面将介绍每种运算的规则：2.1 加法和减法运算规则在加法和减法运算中，有效数字的结果取决于被操作数中最不精确的数字。
具体规则如下：- 保留小数点后面最少的位数。
- 结果中小数点的位置与被操作数中小数点位置对齐。
2.2 乘法和除法运算规则在乘法和除法运算中，有效数字的结果取决于被操作数中最少的有效数字位数。
具体规则如下：- 保留最少有效数字的位数。
- 结果小数点的位置取决于被操作数中小数点的位置及有效数字的位数。
3. 有效数字的应用有效数字在科学和工程领域中有广泛的应用。
以下是几个常见领域的例子：3.1 物理学中的有效数字在物理学中，实验数据的精度对研究结果的可靠性至关重要。
通过使用有效数字，我们可以准确地表达测量结果的误差范围，并对实验数据进行分析和比较。
3.2 工程学中的有效数字在工程学中，有效数字对于设计和制造过程中的精确度至关重要。
例如，在计算结构材料的强度和稳定性时，使用有效数字可以有效地确定其可靠性和安全性。
3.3 金融学中的有效数字在金融学中，有效数字可以帮助我们计算和分析财务数据，如收入、支出、利润等。
使用有效数字可以更加准确地评估投资风险和决策效果。
4. 总结有效数字是数学和实际应用中至关重要的概念之一。
它们通过运算规则可以帮助我们准确地表达、计算和分析数据。
有效数字的应用涵盖了物理学、工程学、金融学等多个领域。
我们应该在各个领域中灵活运用有效数字的概念，并重视数据的精确性和可靠性。
有效数字及运算法则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜ 当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜ 24 24.0
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数 ——如何读数
读数的一般规则： 读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度 （2）用0.1级量程为100mA电流表测电流 0.1级量程为100mA电流表测电流 级量程为100mA
2 2 2
≈
2 65
2 σ N = × 0.957 = 0.03cm 65
（3）根据误差（不确定度）决定有效数字，有： ）根据误差（不确定度）决定有效数字，
N = 0.96 ± 0.03cm
结果的有效数字与其底或被开 运算规则： 运算规则： 方数的有效数字位数相同。 方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100×102 ×
(3)用分度值为0.01㎜的螺旋测微计测物体长度： (3)用分度值为0.01㎜的螺旋测微计测物体长度： 用分度值为0.01 0.50㎜ 0.5㎜ 0.500㎜ 0.324㎜ 0.50㎜；0.5㎜；0.500㎜；0.324㎜。
找出下列正确的数据记录： 找出下列正确的数据记录：
— — — — — —
(1)用分度值为0.05㎜的游标卡尺测物体长度： (1)用分度值为0.05㎜的游标卡尺测物体长度： 用分度值为0.05 32.50㎜ 32.48㎜ 43.25㎜ 32.5㎜ 32.500㎜ 32.50㎜；32.48㎜；43.25㎜；32.5㎜；32.500㎜。 (2)用分度值为0.02㎜的游标卡尺测物体长度： (2)用分度值为0.02㎜的游标卡尺测物体长度： 用分度值为0.02 45.22㎜ 52.78㎜ 64.05㎜ 84㎜ 73.464㎜ 45.22㎜；52.78㎜；64.05㎜；84㎜；73.464㎜。
有效数字的规则
§1.4有效数字及其运算规则一、有效数字的一般概念1.有效数字任何一个物理量，其测量结果必然存在误差。
因此，表示一个物理量测量结果的数字取值是有限的。
我们把测量结果中可靠的几位数字，加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。
例如，2.78的有效数字是三位，2.7是可靠数字，尾位“8”是可疑数字。
这一位数字虽然是可疑的，但它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的。
2.确定测量结果有效数字的基本方法(1)仪器的正确测读仪器正确测读的原则是：读出有效数字中可靠数部分是由被测量的大小与所用仪器的最小分度来决定。
可疑数字由介于两个最小分度之间的数值进行估读，估读取数一位(这一位是有误差的)。
例如，用分度值为1mm的米尺测量一物体的长度，物体的一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图1-1。
此时物体长度的测量值应记为L=83.87cm。
其中，83.8是可靠数，尾数“7”是可疑数，有效数字为四位。
(2)对于标明误差的仪器，应根据仪器的误差来确定测量值中可疑数所以用该电压表测量时，其电压值只需读到小数点后第一位。
如某测量值为12.3V，若读出：12.32V，则尾数“2”无意义，因为它前面一位“3”本身就是可疑数字。
(3)测量结果的有效数字由误差确定。
不论是直接测量还是间接测量，其结果的误差一般只取一位。
测量结果有效数字的最后一位与误差所在的一位对齐。
如L=(83.87±0.02)cm是正确的，而L=(83.868±0.02)cm和L=(83.9±0.02)cm 都是错误的。
3.关于“0”的问题有效数字的位数与十进制的单位变换无关。
末位“0”和数字中间的“0”均属于有效数字。
如23. 20cm；10.2V等，其中出现的“0”都是有效数字。
小数点前面出现的“0”和它之后紧接着的“0”都不是有效数字。
如0.25cm或0.045kg中的“0”都不是有效数字，这两个数值都只有两位有效数字。
有效数字及其运算规则
有效数字及其运算规则一、测量结果的有效数字1．有效数字的定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位的可疑数字统称为测量结果的有效数字。
有效数字具有以下基本特性：有效数字具有以下基本特性：（1）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。
）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。
对于同一被测量量，如果使用不同精度的仪器进行测量，则测得的有效数字的位数是不同的。
例如用千分尺（最小分度值00.011m m ，0.004m mD =仪）测量某物体的长度读数为84.8334m m 。
其中前三位数字“483”是最小分度值的整数部分，是可靠数字；末位“4”是在最小分度值内估读的数字，为可疑数字；它与千分尺的D 仪在同一数位上，所以该测量值有四位数字。
如果改用最小分度值（游标精度）为00.022m m 的游标卡尺来测量，其读数为84.844m m ，测量值就只有三位有效数字。
游标卡尺没有估读数字，其末位数字“4”为可疑数字，它与游标卡尺的0.02m m D 仪＝也是在同一数位上。
也是在同一数位上。
（2）有效数字的位数与小数点的位置无关，单位换算时有效数字的位数不应发生改变。
2．有效数字与不确定度的关系在我们规定不确定度的有效数字只取一位时，任何测量结果，其数值的最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。
如39(8.922700.0005)/g c m r =±，测量值的末位“7”刚好与不确定度00.0005的“5”对齐。
”对齐。
由于有效数字的最后一位是不确定度所在位，因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。
测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。
越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。
3．数值的科学表示法二、有效数字的运算规则1．数值的舍入修约原则测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以222()()()A B C D +D +D 2222()()0.300.088A C D +D +2222()()0.0402483.751.2R T RTD D æöæöæöæ+´=+´ç÷ç÷ç÷çèøèøèøè2。
有效数字及运算法则
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
62 . 5–+ 1. 234 =– 63 . 7 –
+
62.5– 1.234
–
——6—3.7—–3—4– 结果为 63.7–
（3）用误差（估计误差范围的不确定度）决定 结果的有效数字
N5.8 30.1cm 2
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
运算规则：
加减法运算后的有效数字，取到参与运算各 数中 最靠前出现可疑数的那一位。
例
19.68–- 5.848 =– 13.83 – - 159.8.6488–– ——1—3.—83–—2– 结果为 13.8–3
(2)指数函数 10x或ex的位数和x小数点后的 位数相同（包括紧接小数点后 面的0）
例8
106.25=1778279.41 1.8106
100.0035=1.00809611.008
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法 2.乘除法 3.乘方与开方 4.函数运算
5.自然数与常量
综合运算举例
50.00 ( 18.30 16.3 ) ( 103 3.0 ) ( 1.00 + 0.001 )
=
50.00 2.0 100 1.00
=
1.0102 100
= 1.0
10.02 lg100.0 35 27.3211 27.31 = 100 2.0000 35
有效数字及运算法则
指针正好在82mA上：读为82.0mA
可修改
12
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
可修改
13
例1
62 .
–5
+
1.
23–4
=
63
.
7–
0.326 9.674 __1_0_.0_0_0_，
100.00 __1_._00_0_0_。
0.326 9.674可修改
28
在表达式 100.00 0.100cm 中的
100.00的有效数字是_4__位;
100.00 0.10cm 中的
100.00的有效数字是__4__ 位;
100.0 0.1cm 中的有效数字
注意：进行单位换算时，
有效数字的位数不变。
可修改
4
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104
又 如 数 据 为 0.0000325m ， 使 用 科 学 记 数 法写成3.2510-5m
可修改
5
3.有效数字与仪器的关系
N 0.96 0.0可3修cm改
18
运算规则：结果的有效数字与其底或被开
方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100102
100=10.0
49 = 7.0
4.02=16
正确
49 = 7
4.02=16.0 错误
可修改
19
(1)对数函数 lgx的尾数与x的位数相同
有效数字的运算法则
有效数字的运算法则
有效数字运算规则是：加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。
乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。
1、加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
2、乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。
3、乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。
4、对数计算：所取对数的小数点后的位数（不包括整数部分）应与原数据的有效数字的位数相等。
5、在计算中常遇到分数、倍数等，可视为多位有效数字。
— 1 —
6、在乘除运算过程中，首位数为"8"或"9"的数据，有效数字位数可多取1位。
7、在混合计算中，有效数字的保留以最后一步计算的规则执行。
8、表示分析方法的精密度和准确度时，大多数取1～2位有效数字。
— 2 —。
有效数字运算规则
加减法则 乘除法则
一、加减法则
加减法：当几个数据相加减时，它们和或差的有效数字位数，应 以小数点后位数最少的数据为依据，因小数点后位数最少的数据 的绝对误差最大。例：
0.0121+25.64+1.05782=？
绝对误差 ±0.0001 ±0.01 ±0.00001 在加合的结果中总的绝对误差值取决于25.64。
0.01+25.64+1.06=26.71
二、乘除法则
乘除法：当几个数据相乘除时，它们积或商的有效数字位数，应 以有效数字位数最少的数据为依据，因有效数字位数最少的数据 的相对误差最大。
例： 0.0121 × 25.64 × 1.05782=？ 相对误差 ±0.8% ±0.4% ±0.009%
结果的相对误差取决于 0.0121，因它的相对误差最大，所以， 0.0121×25.6×1.06=0.328 用计算器运算时，正确保留最后结果的有效数字。
谢 谢 大 家！
(完整)实验数据处理之有效数字运算规则
有效数字运算规则间接测量的计算过程即为有效数字的运算过程，存在不确定度的传递问题.严格说来,应根据间接测量的不确定度合成结果来确定运算结果的有效数字。
但是在没有进行不确定度估算时，可根据下列的有效数字运算法则粗略地算出结果。
有效数字运算总的原则是：运算结果只保留一位（最多两位）欠准确数字.1．加减运算根据不确定度合成理论，加减运算结果的不确定度,等于参与运算的各量不确定度平方和的开方，其结果大于参与运算各量中的最大不确定度。
如：y x N +=x y x N U U U U >+=22（或y U )因此，加减运算结果的有效数字的末位应与参与运算的各数据中不确定度最大的末位对齐,或根据有效数字与不确定度的关系,计算结果的欠准确数字与参与运算的各数值中最先出现的欠准确数字对齐。
下面例题中在数字上加一短线的为欠准确数字。
【例3】235.31.32+和652.19.116-的计算结果各应保留几位数字?【解】先观察一下具体计算过程：533.35523.31.32+ 842.115265.19.116-可见，一个数字与一个欠准确数字相加或相减,其结果必然是欠准确数字。
例3中各数值最先出现欠准确数字的位置在小数点后第一位，按照运算结果保留一位欠准确数字的原则3.35235.31.32=+ 2.115652.19.116=-分别为三位有效数字和四位有效数字，2．乘除运算乘除运算结果的相对不确定度，等于参与运算各量的相对不确定度平方和的开方,因此运算结果的相对不确定度大于参与运算各量中的最大相对不确定度。
我们知道，有效数字位数越少,其相对不确定度越大。
所以，乘除运算结果的有效数字位数,与参与运算各量中有效数字位数最少的相同。
【例4】11.11111.1⨯的计算结果应保留几位数字？【解】计算过程如下：因为一个数字与一个欠准确数字相乘，其结果必然是欠准确数字。
所以，由上面的运算过程可见，小数点后面第二位的“3”及其后的数字都是欠准确数字。
有效数字及运算法则
找出下列正确的数据记录：
(4)用量程为100 mA，刻有100小格的0.1级表测量 电流，指针指在80小格上；用量程为100V，刻 有50小格的1.0级表测量电压，指针指在40小格 上，数据如下：
— 电流：80mA; 80.0mA; 80.00mA; — 电压：80V; 80.0V; 80.00V
等中的0均有效。
注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减 “0”
数学上：2.85 2.850 2.8500
物理上：2.85 2.850 2.8500
②.小数点前面的“0”和紧接小 数点后面的“0”不算作有效数 字如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m
均是3位有效数字。
有效数字的位数
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字）
20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）
4.不确定度的表达
N N (单位)
σ取一个有效数字， σ决定N的有效位
a 10.0 0.1cm2 b 20.02 0.01cm
被测物体
当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度
（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流
对于0.1级表：
△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA
指针正好在82mA上：读为82.0mA
100 0.1 __0_.1_×__1_02__,
式子的前一项 100 0.1 __1___。
有效数字及运算法则
例6
_ _ _ 21÷21.843=0.96 ÷ _
0.961 21843 210000 196587 134130 131058 30720 21843
8877
结果为 0.96
_
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则 ——有效数字的运算法则
1.加减法 1.加减法 2.乘除法 2.乘除法 3.乘方与开方 3.乘方与开方
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数 ——如何读数
读数的一般规则： 读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度 （2）用0.1级量程为100mA电流表测电流 0.1级量程为100mA电流表测电流 级量程为100mA
级表： 对于0.1级表：
100mA× △仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
第四节
有效数字及运算法则
一、有效数字的一般概念 例：用米尺测量物体的长度
L1= 3.4 5 L2= 3.4 6
一、有效数字的一般概念
定义： 定义 ： 在测量结果的数字表示 中 ， 由若干位可靠数字加一位 可疑数字， 便组成了有效数字。 可疑数字 ， 便组成了有效数字 。 上述例子中的测量结果均为三 位有效数字
例 10 L=2πR 其中 π 其中R=2.35×10-2m ×
π就应取3.14(或3.142) 就应取 或 即L=2×3.142×2.35×10-2=0.148(m) × × ×
综合运算举例
50.00 × ( 18.30 − 16.3 ) ( 103 − 3.0 ) × ( 1.00 + 0.001 ) 50.00 × 2.0 = 100 × 1.00 2 1.0×10− × = 100 = 1.0
2.数值的科学记数法
乘除法的有效数字运算规则
乘除法的有效数字运算规则有效数字是指一个数中能够表示真实数字的位数，包括第一位非零数字及其后面所有数字。
例如：123.45中的有效数字有5位，而0.045有2位有效数字。
二、乘法的有效数字运算规则1. 乘法运算时，应首先按照精度要求确定每个因数的有效数字位数。
2. 乘法运算的结果应按照最少有效数字的原则确定，即结果小数点后的位数等于参与运算的数中最少有效数字的位数之和。
例如：2.34 × 5.678 = 13.26752，因为2.34和5.678中最少有效数字为2位，所以结果应保留2位有效数字，即13.27。
3. 在使用科学计数法表示乘法运算结果时，应将结果保留到有效数字的位数，再根据科学计数法的规则确定指数。
例如：(2.34 × 10) × (5.678 × 10) = 1.327 × 10，因为2.34和5.678中最少有效数字为2位，所以结果应保留2位有效数字，即1.3 × 10。
三、除法的有效数字运算规则1. 除法运算时，应首先按照精度要求确定被除数和除数的有效数字位数。
2. 除法运算的结果应按照最少有效数字的原则确定，即结果小数点后的位数等于被除数和除数中最少有效数字的位数之差。
例如：6.543 ÷ 2.1 = 3.11，因为6.543和2.1中最少有效数字为2位和1位，所以结果应保留1位有效数字，即3.1。
3. 在使用科学计数法表示除法运算结果时，应将结果保留到有效数字的位数，再根据科学计数法的规则确定指数。
例如：(6.543 × 10) ÷ (2.1 × 10) = 3.11 × 10，因为6.543和2.1中最少有效数字为2位和1位，所以结果应保留1位有效数字，即3.1 × 10。
四、总结乘除法的有效数字运算规则是根据有效数字的概念和精度要求而确定的。
在进行乘除法运算时，应根据这些规则确定结果的有效数字位数，以保证结果的准确性和可靠性。
有效数字及运算法则
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字）
20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）
4.不确定度的表达
N N (单位)
σ取一个有效数字， σ决定N的有效位
a 10.0 0.1cm2 b 20.02 0.01cm
100.0035=1.00809611.008
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法 2.乘除法 3.乘方与开方 4.函数运算
5.自然数与常量
①自然数不是测量值，不存在误差， 故有效数字是无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位
②常数、e等的位数可与参加运算的 量中有效数字位数最少的位数相同 或多取一位。
例 9 L=2R 其中R=2.3510-2m
就应取3.14(或3.142)
即L=23.1422.3510-2=0.148(m)
综合运算举例
50.00 ( 18.30 16.3 ) ( 103 3.0 ) ( 1.00 + 0.001 )
=
50.00 2.0 100 1.00
=
1.0102 100
= 1.0
10.02 lg100.0 35 27.3211 27.31 = 100 2.0000 35
0.01 = 2104 35 = 2104
试用有效数字计算结果： （1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00
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由于万分之一的分析天平能称准至±0.0001克，滴定 管的读数能读准至±0.01毫升，故上述坩埚重应是 18.5734±0.0001克，标准溶液的体积应是 24.41±0.01毫升，因此这些数值的最后一位都是可 疑的，这一位数字称为“不定数字”。在分析工作中 应当使测定的数值，只有最后一位是可疑的。
99.5%
127.32 14.98 7.45 5.60 4.77 4.32 4.03 3.83 3.69 3.58 3.15 (3.01) (2.87) 2.81 2.81
３、可疑测定值的取舍
（１） Q检验法 检验步骤 ① 将测定值由小至大按顺序排列，其中可疑值为x1或xn： x1 ＜x2 ＜x3 ＜…＜xn ② 求舍弃商值 可疑值 －临近值 Q计 =
分 析
第 六 讲 数 据 与 处 理
荆州职业技术学院纺织服装系 邹筠
一、有效数字及其应用
１、有效数字的意义及位数
２、数字修约规则
３、有效数字的运算规则 ４、有效数字运算规则在分析化学实验中的应用
１、有效数字的意义及位数
例如： 坩埚重18.5734克
标准溶液体积1毫升
六位有效数字
四位有效数字
疑数字。
2．在计算结果之前，先根据运算方法
确定欲保留的位数，然后按照数字修约规
则对各测定值进行修约，先修约，后计算。
二、有限实验数据的统计处理
１、测定结果的表示
２、置信度与置信区间 ３、可疑数据的取舍
１、测定结果的表示
（１）算术平均值：数据的集中趋势
x
Ｓ
（２）标准偏差：数据的分散程度
（３）变异系数：ＣＶ
２、置信度与置信度区间
t值 P f(n-1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 60 120 ∞
表７-４ t 分布值表 90% 95% 99%
6.31 2.92 2.35 2.13 2.02 1.94 1.90 1.86 1.83 1.81 1.72 1.70 1.67 1.66 1.64 12.71 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 2.23 2.09 2.04 2.00 1.98 1.96 63.66 9.92 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.35 3.25 3.17 2.84 2.75 2.66 2.62 2.58
哪些数据中的“0”不是有效数字？
1.0005 五位有效数字
0.5000；31.05% ；6.023×1023 四位有效数字 0.0540；1.86×10-5 0.0054；0.40% 0.5 ； 0.002% 三位有效数字 两位有效数字
一位有效数字
在记录测量数据和计算结果时，应根据 所使用的仪器的准确度，必须使所保留 的有效数字中，只有最后一位数是“不 定数字”。
四舍六入五留双
例
0.53664→0.5366 10.2750→10.28 27.1850→27.18 0.58346→0.5835 16.4050→16.40 18.06501→18.07
３、有效数字的运算规则
(一)加减法
(二)乘除法
(１)加减法
当几个数据相加或相减时、它们的和或差的 有效数字的保留，应以小数点后位数最少， 即绝对误差最大的的数据为依据。
例如
用感量为百分之一克的台秤称物体的重量， 由于仪器本身能准确称到±0.0l 克，所以 物体的重量如果是10.4克，就应写成10.40 克，不能写成10.4克。
遇到pH、pC、lgK等对数值，其有效 数字的位数怎么算？
有效数字的位数仅取决于小数部分数字的位数， 因整数部分只说明该数的方次
例
pH＝12.68， 即[H+]＝2.1×l0-13mol/L， 其有效数字为两位，而不是四位。
(２)乘除法
几个数据相乘除时，积或商的有效数字的 保留，应以其中相对误差最大的那个数，即 有效数字位数最少的那个数为依据。
0.0121 × 0.0121 ×
25.64 × 25.6 ×
1.05782 1.06
＝ ＝ 0.328
４、有效数字的运算规则在分析化学 实验中的应用
1．根据分析仪器和分析方法的准确度 正确读出和记录测定值，且只保留一位可
最大值 －最小值
③查Ｑ表。表７－５为两种置信度下的Ｑ表。 若Ｑ计＞Ｑ表，则舍去可疑值；若Ｑ计≤Ｑ表，则可疑值应保留。
x 2－x 1 Q = x n－x 1
Ｑ 值 计 算 式
Q值越大，说明离群越远，远至一定程度时则 应将其舍去。故Q称为舍弃商。
还有什么特例？
对于非测量所得的 数字，如倍数、 分数、π、e等 等，它们没有不 确定性，其有效 数字可视为无限 多位，根据具体 情况来确定。 如果有效数字 位数最少的因 数的首位数是 “ 8” 或 “ 9” ， 则有效数字可 认为比这个因 数多取一位。
２、数字修约规则
当尾数≤4时将其舍去， 尾数≥6时就进一位； 如果尾数为5而后面的数 为0时则看前方：前方为 奇数就进位，前方为偶 数则舍去； 当“5”后面还有不是0的 任何数时，都须向前进 一位，无论前方是奇还 是偶数，“0”则以偶数 论
例
0.0121＋ 0.01 ＋ 25.64 ＋ 25.64 ＋ 1.05782 ＝ 1.06 ＝26.71
什么叫安全数？
在大量数据的运算中。为使误差不迅速积累， 对参加运算的所有数据，可以多保留一位可疑数字 (多保留的这一位数字叫“安全数字”)。如计算 5.2727、0.075、3.7及2.12的总和时，根据上述规 则，只应保留一位小数。但在运算中可以多保留一 位，故5.2727应写成5.27；0.075应写成0.08； 2.12应写成2.12。因此其和为： 5.27+0.08+3.7+2.12＝11.17 然后、再根据修约规则把11.17整化成11.2。
有效数字的位数，直接与测定的 相对误差有关
例
称得某物重为0.5180克，它表示该物实际重量 是0.5180±0.0001克，其相对误差为： (±0.0001/0.5180)×100%＝±0.02%
在测量准确度的范围内，有效数 字位数越多，测量也越准确
如果少取一位有效数字，则表示该物实际 重量是0.518±0.001克，其相对误差为： (±0.001/0.518)×100%＝±0.2%