第8章 图的基本概念
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• 有向完全图Dn的边数 |E(Dn)| = n（n-1）
第四篇 图论基础
图论是拓扑学的一个分支，以图作为研究对象。 它最早起源于对一些数学游戏的难题研究，如哥 尼斯堡七桥问题、博弈问题、四色猜想问题等。
关于图论的第一篇论文是瑞士数学家欧拉发表於 1736年。1847年克希霍夫理论图论分析电路中的 电流问题，这是图论在工程的最早应用。近年来 随着科学技术的发展，图论的应用研究越来越广。 已经运用到运筹学、控制学、网络理论、博弈论、 社会学和计算机科学等各个领域。
解：用反证法，设G中各顶点的度数均不相同，则度数 列为0，1，2，…，n-1，说明图中有孤立顶点，这与 有n-1度顶点相矛盾（因为是简单图，其中的n-1度顶 点必与其它n-1个顶点均邻接），所以必有两个顶点的 度数相同。
无向完全图、有向完全图
•设G=<V,E>是n阶无向简单图,若G中任何 顶点都与其余的n－1个顶点相邻,则称G 为n阶无向完全图,记作Kn.
2
3.5
7.8
• 给每条边赋与权的图G=<V,E>称为加权图， • 记为G=<V,E,W>,其中W表示各边权的集合。
• 设ek＝(vi,vj)为无向图G＝<V,E>中的一条边, 称vi,vj为ek的端点, ek与vi(或vj)是彼此关联 的.
• 若ek＝<vi, vj>,除称vi, vj是ek的端点外, 还称vi是ek的起点, vj是ek的终点.
• 无边关联的顶点称为孤立点.若一条边所关联 的两个顶点重合,则称此边为环.
设G＝<V,E>为一无向图或有向图 (1)若V,E都是有穷集合,则称G是有限图. (2)若｜V｜＝n,则称G为n阶图． (3)若E＝,则称G为零图．特别是,若此
时又有｜V｜＝1,则称G为平凡图.
邻接点 邻接边
邻接点：同一条边的两个端点。 邻接边：关联同一个顶点的两条边。
本篇着重介绍图论的基本概念，图的基本性 质以及在实际问题中的一些应用。
第8章 图的基本概念 8.1 图的定义及相关术语 8.2 通路、回路、图的连通性 8.3 图的矩阵表示
8.1 图的定义及相关术语
设A,B为两集合,称 {{a,b}｜a∈A∧b∈B}
为A与B的无序积,记作A＆B． 将无序对{a,b}记作(a,b).
• 设图G＝<V,E>为无向图或有向图,V＝ {v1,v2,...,vn},|E|=m(m为边数),则
推论
• 任何图(无向的或有向的)中,度为奇数的 顶点个数为偶数.
定理
设有向图D＝<V,E>,V＝{v1,v2,...,vn}, ｜E｜＝m,则
度数序列
• 设V＝{v1,v2,...,vn}为图G的顶点集,称 (d(v1),d(v2),...,d(vn))为G的度数序列.
图的最大度和最小度
对于图G＝<V,E>,记 • Δ(G)＝max{d(v)｜
v∈V}, • (G)＝min{d(v)｜
v∈V},分别称为G的 最大度和最小度.
若D＝〈V,E〉是有向图,除了 Δ(D),(D)外,还有最大出度、最 大入度、最小出度、最小入度,分 别定义为
基本定理(握手定理)
例2 证明在n（n 2）个人的团体中，总有 两个人在此团体中恰好有相同个数的朋友。
分析：建立数学模型。以顶点代表人，二人如果是朋 友，则在代表他们的顶点间连上一条边，这样可得无 向简单图G，每个人的朋友数即图中代表他的顶点的度 数，于是问题转化为图中的命题：n阶无向简单图G中 必有两个顶点的度数相同。
例1：求解下列各题
• 1. 无向完全图Kn有36条边，则它的顶点数n为几？
• 2. 图G的度数列为2，2，3，5，6，则顶点数n =？边 数m = ？
• 3. 图G有12条边，度数为3的顶点有6个，余者度数均 小于3，问G至少有几个顶点？
4. (3,3,2,3),(5,2,3,1,4)能成为图的度数序列吗？为什么？
平行边、重数、多重图、简单图
平行边 关联一对顶点的m条边（m 2， 称重数，注意：有向平行边必须方向相 同）。 多重图 含有平行边（无环）的图。 简单图 不含平行边和环的图。 K-正则图 每个顶点的度数均为k的无向图
例Fra Baidu bibliotek
顶点的度 出度 入度
• 顶点的度数
顶点所关联的边数。顶
点 的度数记作： d（）
• 设D=<V,E>为n阶有向简单图,若对于任 意的顶点u,v∈V(u≠v),既有有向边 <u,v>,又有<v,u>,则称D是n阶有向完全 图. •Kn均指无向完全图.
图
在图7.2(1)中所示为K4,(2)所示为K5, (3)所示为3阶有向完全图.
• 由完全图的定义易知，无向完全图Kn的 边数 |E（Kn）| = n（n-1）/2
无向图
一个无向图G是一个二元组<V,E>,即 G＝<V,E>,其中,
(1)V是一个非空的集合,称为G的 顶点集,V中元素称为顶点或结点；
(2)E是无序积V＆V的一个多重子 集,称E为G的边集,E中元素称为无向 边或简称边.
有向图
一个有向图D是一个二元组<V,E>,即D＝ <V,E>,其中, (1)V同无向图中的顶点集； (2)E是卡氏积的多重子图,其元素 称为有向边,也简称边.
• 在有向图中，以顶点为起点的边数称顶 点 的出度，记作：d+（）
• 以顶点为终点的边数称顶点 的入度， 记作：d（）
称度数为1的顶点为悬挂顶点,它所对应的 边为悬挂边.
•d (v1)＝3，d+(v1)＝2，d-(v1)＝1； •d (v2)＝3，d+(v2)＝2，d-(v2)＝1； •d (v3)＝5，d+(v3)＝2，d-(v3)＝3； •d (v4)＝d+(v4)＝d-(v4)＝0； •d (v5)＝1，d+(v5)＝0，d-(v5)＝1； •其中，v5是悬挂结点，<v1，v5>为悬挂边。
图论中所讨论的图，是由顶点和带方向或不带方 向的弧线联结而成的线状图。我们在二元关系一 章中已见过，当我们研究的对象能被抽象为离散 的元素的集合和集合上的二元关系时，用关系图 表示和处理是很方便的。由于大量问题的研究需 要，图被作为一个抽象的数学系统加以研究，其 研究方法本身已成为一种新的科学方法，用于具 系统功能的模型的分析与设计中。
第四篇 图论基础
图论是拓扑学的一个分支，以图作为研究对象。 它最早起源于对一些数学游戏的难题研究，如哥 尼斯堡七桥问题、博弈问题、四色猜想问题等。
关于图论的第一篇论文是瑞士数学家欧拉发表於 1736年。1847年克希霍夫理论图论分析电路中的 电流问题，这是图论在工程的最早应用。近年来 随着科学技术的发展，图论的应用研究越来越广。 已经运用到运筹学、控制学、网络理论、博弈论、 社会学和计算机科学等各个领域。
解：用反证法，设G中各顶点的度数均不相同，则度数 列为0，1，2，…，n-1，说明图中有孤立顶点，这与 有n-1度顶点相矛盾（因为是简单图，其中的n-1度顶 点必与其它n-1个顶点均邻接），所以必有两个顶点的 度数相同。
无向完全图、有向完全图
•设G=<V,E>是n阶无向简单图,若G中任何 顶点都与其余的n－1个顶点相邻,则称G 为n阶无向完全图,记作Kn.
2
3.5
7.8
• 给每条边赋与权的图G=<V,E>称为加权图， • 记为G=<V,E,W>,其中W表示各边权的集合。
• 设ek＝(vi,vj)为无向图G＝<V,E>中的一条边, 称vi,vj为ek的端点, ek与vi(或vj)是彼此关联 的.
• 若ek＝<vi, vj>,除称vi, vj是ek的端点外, 还称vi是ek的起点, vj是ek的终点.
• 无边关联的顶点称为孤立点.若一条边所关联 的两个顶点重合,则称此边为环.
设G＝<V,E>为一无向图或有向图 (1)若V,E都是有穷集合,则称G是有限图. (2)若｜V｜＝n,则称G为n阶图． (3)若E＝,则称G为零图．特别是,若此
时又有｜V｜＝1,则称G为平凡图.
邻接点 邻接边
邻接点：同一条边的两个端点。 邻接边：关联同一个顶点的两条边。
本篇着重介绍图论的基本概念，图的基本性 质以及在实际问题中的一些应用。
第8章 图的基本概念 8.1 图的定义及相关术语 8.2 通路、回路、图的连通性 8.3 图的矩阵表示
8.1 图的定义及相关术语
设A,B为两集合,称 {{a,b}｜a∈A∧b∈B}
为A与B的无序积,记作A＆B． 将无序对{a,b}记作(a,b).
• 设图G＝<V,E>为无向图或有向图,V＝ {v1,v2,...,vn},|E|=m(m为边数),则
推论
• 任何图(无向的或有向的)中,度为奇数的 顶点个数为偶数.
定理
设有向图D＝<V,E>,V＝{v1,v2,...,vn}, ｜E｜＝m,则
度数序列
• 设V＝{v1,v2,...,vn}为图G的顶点集,称 (d(v1),d(v2),...,d(vn))为G的度数序列.
图的最大度和最小度
对于图G＝<V,E>,记 • Δ(G)＝max{d(v)｜
v∈V}, • (G)＝min{d(v)｜
v∈V},分别称为G的 最大度和最小度.
若D＝〈V,E〉是有向图,除了 Δ(D),(D)外,还有最大出度、最 大入度、最小出度、最小入度,分 别定义为
基本定理(握手定理)
例2 证明在n（n 2）个人的团体中，总有 两个人在此团体中恰好有相同个数的朋友。
分析：建立数学模型。以顶点代表人，二人如果是朋 友，则在代表他们的顶点间连上一条边，这样可得无 向简单图G，每个人的朋友数即图中代表他的顶点的度 数，于是问题转化为图中的命题：n阶无向简单图G中 必有两个顶点的度数相同。
例1：求解下列各题
• 1. 无向完全图Kn有36条边，则它的顶点数n为几？
• 2. 图G的度数列为2，2，3，5，6，则顶点数n =？边 数m = ？
• 3. 图G有12条边，度数为3的顶点有6个，余者度数均 小于3，问G至少有几个顶点？
4. (3,3,2,3),(5,2,3,1,4)能成为图的度数序列吗？为什么？
平行边、重数、多重图、简单图
平行边 关联一对顶点的m条边（m 2， 称重数，注意：有向平行边必须方向相 同）。 多重图 含有平行边（无环）的图。 简单图 不含平行边和环的图。 K-正则图 每个顶点的度数均为k的无向图
例Fra Baidu bibliotek
顶点的度 出度 入度
• 顶点的度数
顶点所关联的边数。顶
点 的度数记作： d（）
• 设D=<V,E>为n阶有向简单图,若对于任 意的顶点u,v∈V(u≠v),既有有向边 <u,v>,又有<v,u>,则称D是n阶有向完全 图. •Kn均指无向完全图.
图
在图7.2(1)中所示为K4,(2)所示为K5, (3)所示为3阶有向完全图.
• 由完全图的定义易知，无向完全图Kn的 边数 |E（Kn）| = n（n-1）/2
无向图
一个无向图G是一个二元组<V,E>,即 G＝<V,E>,其中,
(1)V是一个非空的集合,称为G的 顶点集,V中元素称为顶点或结点；
(2)E是无序积V＆V的一个多重子 集,称E为G的边集,E中元素称为无向 边或简称边.
有向图
一个有向图D是一个二元组<V,E>,即D＝ <V,E>,其中, (1)V同无向图中的顶点集； (2)E是卡氏积的多重子图,其元素 称为有向边,也简称边.
• 在有向图中，以顶点为起点的边数称顶 点 的出度，记作：d+（）
• 以顶点为终点的边数称顶点 的入度， 记作：d（）
称度数为1的顶点为悬挂顶点,它所对应的 边为悬挂边.
•d (v1)＝3，d+(v1)＝2，d-(v1)＝1； •d (v2)＝3，d+(v2)＝2，d-(v2)＝1； •d (v3)＝5，d+(v3)＝2，d-(v3)＝3； •d (v4)＝d+(v4)＝d-(v4)＝0； •d (v5)＝1，d+(v5)＝0，d-(v5)＝1； •其中，v5是悬挂结点，<v1，v5>为悬挂边。
图论中所讨论的图，是由顶点和带方向或不带方 向的弧线联结而成的线状图。我们在二元关系一 章中已见过，当我们研究的对象能被抽象为离散 的元素的集合和集合上的二元关系时，用关系图 表示和处理是很方便的。由于大量问题的研究需 要，图被作为一个抽象的数学系统加以研究，其 研究方法本身已成为一种新的科学方法，用于具 系统功能的模型的分析与设计中。