听说“9”和“44”与错位排列更配哦-全错位排列问题

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全错位排列递推公式的简易推导(齐麟-晋级)

全错位排列递推公式的简易证明华图教育齐麟错位排列作为排列组合中的一类典型题目，自身难度较高，考生往往只是知其然而不知其所以然，即只了解全错位排列的递推公式，而不能理解其含义以及灵活的运用。

本文结合图示的方法，对全错位排列公式进行简易的证明。

首先，我们先来认识错位排列：1.部分错位排列：【例】5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。

用排除法：先考虑5个人的全排列，有55A 种不同的排法，然后除去甲排第一（有44A 种）与乙排第二（也有44A 种），但两种情况又有重复部分，因此多减了一部分，必须加上多减部分，这样得到共有：55A －244A ＋33A ＝78种。

2.全错位排列：【例】5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。

【分析】仿照以上解法，我们有51423324150555453525150D A C A C A C A C A C A 44=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=故5人的全错位排列方式共有44种。

因此我们可以由容斥原理得到n 个元素的全错位排列公式：n D =n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)错位排列的递推公式简单计算后我们有：1D 0=；2D 1=；3D 2=。

计算四元素全错位排列时我们可以这样考虑：假定元素为A 、B 、C 、D ；对应的位置为a 、b 、c 、d 。

对于元素A ，我们可将其放在b 、c 、d 三个位置，容易看出，这三个位置对于元素A 来说是等价的；假定A 现在放在了b 位置。

AB C D b a c d此时，元素B 有两种选择：①放在a 位置；②不放在a 位置；当元素B 放在a 位置时，我们会发现，之后的情形与2D 相同；而当B 不放在a 位置时，情况与3D 相同（因为B 不放在a 位置，我们可以认为a 位置就是b 位置）。

全错位排列——精选推荐

全错位排列以前接触过这样的题⽬，但是现在稍微系统点⾸先看⼀下百度百科对全错位排列的解释：基本简介全错位排列：即被著名数学家(Leonhard Euler，1707－1783)称为组合数论的⼀个妙题的“装错信封问题”。

“装错信封问题”是由当时最有名的数学家(Johann Bernoulli，1667－1748)的⼉⼦(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，⼤意如下：⼀个⼈写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？公式证明n个相异的元素排成⼀排a1，a2，...，an。

则ai(i=1，2，...，n)不在第i位的排列数为：公式证明：设1，2，...，n的全排列t1，t2，...，tn的集合为I,⽽使ti=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n)，则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.注意到|Ai|=(n-1)!，|Ai∩Aj|=(n-2)!，...，|A1∩A2∩...∩An|=0!=1。

由：Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)（可以举例试试，很好懂）应⽤：（1）简单排列1个元素没有全错位排列，2个元素的全错位排列有1种，3个元素的全错位排列有2种，4个元素的全错位排列有9种，5个元素的全错位排列有44种。

递推公式数学家欧拉按⼀般情况给出了⼀个递推公式：⽤A、B、C……表⽰写着n位友⼈名字的信封，a、b、c……表⽰n份相应的写好的信纸。

把错装的总数为记作f(n)。

假设把a错装进B⾥了，包含着这个错误的⼀切错装法分两类：（1）b装⼊A⾥，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b⽆关，应有f(n-2)种错装法。

错位重排题目

选择题设有n个元素进行错位重排，若其中没有一个元素出现在其原来位置上，则这种排列称为全错位排列（也称错排）。

对于n=4，全错位排列的个数是？A. 6B. 9C. 11D. 15（正确答案）在错位重排中，若5个元素进行排列，要求恰有2个元素处于其原位置，则这样的排列共有多少种？A. 20B. 40C. 60D. 90（正确答案）有n个不同的元素进行排列，若要求其中任意元素都不在其原来的位置上，对于n=5，满足条件的排列数为？A. 44B. 120C. 265D. 376（正确答案）在错位重排问题中，若6个元素进行排列，要求至少有1个元素不在其原位置上的排列数占总排列数的比例为？A. 5/6B. 31/32（正确答案）C. 1/2D. 2/3设有n个不同的元素，若对这些元素进行错位重排，使得恰有3个元素处于其原位置，当n=6时，这样的排列有多少个？A. 120B. 240C. 360（正确答案）D. 480在错位重排中，若对7个元素进行排列，要求至少有多少个元素不在其原来的位置上，才能使得这样的排列数占总排列数的比例大于0.5？A. 1B. 2C. 3D. 4（正确答案）有8个不同的元素，若要求其中任意3个元素都不在其原来的位置上，则满足条件的错位重排数有多少个？A. 14833B. 20160C. 32256D. 40320（正确答案）设n个元素进行错位重排，若要求其中至少有k个元素不在其原位置上，已知n=5，k=4，则满足条件的排列有多少个？A. 96B. 114C. 120D. 150（正确答案）在错位重排问题中，若对n个元素进行排列，要求恰有n-2个元素处于其原位置，当n=5时，这样的排列共有几种？A. 10B. 20（正确答案）C. 30D. 40。

全装错信问题即全错位排列问题及拓展

全装错信问题即全错位排列问题及拓展——龙城老欧全装错信问题又称全错位排列问题，最早由瑞士数学家伯努利提出，最后由伯努利与他的学生欧拉讨论解决，这个问题就是——我们将编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信都和信封的编号不同，即1不能装进1，2不能装进2，3不能装进3……问有多少种装法？看到这个问题时，我们的第一反应就是退到简单处入手研究，如果只有一封信，2封信，3封信，4封信，……，然后从中再思考，之间是否有共性，是否有关联，共性用归纳，关联构成递推，或者其他。

〖解法〗容易知道：a[1]=0,a[2]=1，a[3]=2，a[4]=6;依我们设a[i]为i封信的全错位排列数据递归推理那么有a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1)， (i>=3)。

为什么？为什么？为什么？大多数人看不明白。

不急，尽量先自己思考，不行的话，听我来解释：思考1：对于插入第i个元素，只可能有两种情况：第一种情况:插入第i个元素时，前i-1个已经错位排好，则选择其中任意一个与第i个互换一定满足要求,选择方法共i-1种，前i-1位错排f[i-1]种，记f[i-1]*(i-1),如下图：第二种情况:插入第i个元素时，前i-1个中恰有一个元素恰好在自己的位置上，即恰好只有一个元素不满足错位排列，其他i-2个错位排好，则将i与j交换，j在i-2位中的插入共i-1种，前i-2位错排a[i-2]种，记f[i-2]*(i-1)，如下图：以上两种情况求和可得: a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1) (i>=3)我们还可以这样思考：思考2：有(i-1)个人已经都坐在在自己的板凳上了，现在第i个人张三带着自己的板凳来了，下面我们来对这i个人进行全错位排排坐，方法1：前面(i-1)个人中的某一个带着板凳出来与第i个人张三互换板凳坐（有（i-1）种方法），其它(i-2)个人进行全错位排列（有a[i-2]种方法），这样就整体上都是全错位；方法2：第i 个人张三走进去与将(i-1)个人中的某一个人换出来（i-1种方法），换出来的人（不妨称是李四）坐张三的板凳，换出来的李四的板凳看作张三的新板凳，这样又面临了(i-1)个元素进行全错位排列问题（a[i-2]种方法），这样就整体上也都是全错位了。

错位重排专题

错位重排专题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（错位重排专题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为错位重排专题的全部内容。

错位重排问题专项错位重排1—6个元素的错位重排数分别为0,1,2,9，44，265递推公式：Dm=（m—1）＊［D （m—1）+D（m—2）]；错位重排模型：把编号为1—m的小球分别放入编号为1-n的箱子错位重排（即1号球不在1号箱子、2号球不在2号箱子…m号球不在m号箱子）,且每个箱子一个球，有多少种不同情况?楚香凝证明：假设总情况数为D（m）种,如果让1号球先选，有（m-1）种选择;假设1号球选的2号箱子，接下来让2号球选箱子，进行分类讨论：①如果2号球选的1号箱子，相当于剩下的（m-2)个球进行错位重排，有D（m—2）种;②如果2号球选的不是1号箱子，则题目可转化为把编号为2→m的小球分别放入编号为1、3→m的箱子错位重排(即2号球不在1号箱子、3号球不在3号箱子…m号球不在m号箱子）,相当于m-1个球错位重排,有D（m—1）种；所以可得D（m)=（m-1）*[D（m-1）+D（m—2)］，得证；例1:相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位,要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？【北京2014】A.9B.12C.14D.16楚香凝解析:解法一:四种元素错位重排有9种，选A解法二：ABCD四辆车分别停放在一二三四号位置，A先选有三种情况，假设A选了二号，那么B再选、有三种选择，剩下C和D都只有一种选择，共3*3=9种,选A例2：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位,要求有三辆车不能停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？A.2B.6C.8 D。

关于解决全错位排列问题若千方法的研究

述，为：如果集合｛１，２，… ｎ１的无重复排列
则有＝一．．，即，＋一．＝０．
所以Ｄ一，ｚ一．＝（一１）
进而可以推出
声波降解亲和层析克隆诱变分子纯化电泳磁珠
分离等检测所需要的运算结果。
我们令Ｓ＝Ｄ一，ｚ
全错位排列问题，也称为 “ 伯努利一欧拉
错装信封问题 ”等，问题的来源可以简单地描述为：一个人写了１１封信和ｎ个信封，而他把这１３封信全都装错了信封，那么这种错误的装法一共有多少种。将此问题用数学语言描
我们用Ｄ表示集合｛１，２，…ｎｌ的全错位排列个数，即错排数。错排问题是组合数学中非常重要的问题，也是应用十分广泛的问题。解决错排问题的方法有很多，比如利用递推关系、利用容斥原理等等。本文给出一些组合数学中常用的方法以及其他学科领域的方法来解决全错位排列问题。
计算机技术应用・ｔｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
关于解决全错位排列问题若千方法的研究
文／许斌龙
是ｌ就在第ｋ位，一种是１不在第ｋ位。当ｌ
ａｌ，ａ２，… ，ａｎ满足条件ａ． ≠ｉ（ｉ＝ｌ，２， …，ｎ），
则称其为ｆ１，２，… ｎ，的更列，即全错位排列。
确性，这里就不在一一验证。

全错位排列——精选推荐

全错位排列
【例1】有编号为1到10的10个球，放到编号为1到10的10个盒⼦⾥，球不能放到相当编号的盒⼦⾥，⼀共有多少种不同的放法？
【例2】1-5共5个数字组成⽆重复数字的五位数，要求数字不能在对应的位数上（⽐如2不能放在第2位），⼀共可以组成多少个不同的五位数？
【例3】10个⼈每⼈写⼀封信寄到这10个⼈中的任意⼀⼈，问每个⼈都没有收到⾃⼰的信的情况⼀共有多少种？
【解析】以上是典型的“全错位”排列问题。

所谓全排列，就是每个元素都不在⾃⼰对应编号的位置上。

假设对于n个元素的全错位排列共有f(n)种，现在有n+1个元素，对于第n+1个元素，假设它放在第k(1<=k<=n)位，对于第k位上的元素k，有两种情况：
1、k排在第n+1位，那么对于剩下的除k和n+1两个元素，共有n-1个元素，对应的位置也是n-1，所以共有f(n-1)种排列⽅式。

2、k不排在第n+1位，那么这个时候完全可以把第n+1个位置看成第k个位置（因为元素k不放在此位置，所以相当于这个位置是第k位），这时除了已经放好的第n+1个元素，剩下n个元素，对应的位置也是n，共有f(n)种排列⽅式。

上述中，对于第k个元素，共有n种选择⽅式，所以
f(n+1)=n*f(n-1)+n*f(n)，
也就是f(n)=(n-1)*[f(n-1)+f(n-2)]
显然，f(1)=0，f(2)=1，由此可以依此计算出f(n)。

全错位排列

全错位排列先看下面例子：例1 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。

这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一解法是用排除法：先考虑5个有的全排列，有A55种不同的排法，然后除去甲排第一（有A44种）与乙排第二（也有A44种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：A55－2A44＋A33＝78种。

现在考虑：例2 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。

仿上分析可得：A55－3A44＋3A33－A22＝64种这与全错位排列很相似。

全错位排列——即n 个元素全部都不在相应位置的排列。

看下面的问题例3 5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。

解析：上面例1，例2实际上可以看成n 个不同元素中有m （m≤n ）不排在相应位置。

公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素（m≤n ）不排在相应位置的排列种数共有：从而这个问题可能用上面的公式得出：()A C A C A C A m n m n m m m n n m n n m nn ------∙∙-++∙+∙-1 (222111)这个公式在n ＝m 时亦成立A55－C(5,1)?A44＋C(5,2)?A33－C(5,3)?A22＋C(5,4)?A11－C(5,5)?A00＝44种（注意A00＝0!＝1）再看1993年高考题：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。

然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。

则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种解析：由上面公式得：A44－C(4,1)?A33＋C(4,2)?A22－C(4,3)?A11＋C(4,4)?A00＝9种，∴选择B 答案因此可得到全错位排列的公式：n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为：()A C A C A C A n n n n n n n n n n n n n nn ------∙∙-++∙+∙-1 (222111)这实际上是公式一的特殊情况。

排列组合错位重排

排列组合错位重排 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】排列组合-错位重排题型概述：错位重排作为排列组合的一种模型，原理很复杂，但是应用上面很简答。

那我们就通过几个例题来学习下这种题型。

题型要点：错位题型最直接的就是记住公式：一个元素错位重排的时候情况为0（因为只有一个，不可能排错），两个元素错位重排情况为1，三个为2，四个为9，五个为44，…………。

从0,1,2,9,44可以看出后面的数为前面两数和的倍数，那我们后面的情况也就不难推导出来。

Dn =（n-1）（Dn-2+Dn-1），（D1=0，D 2=1，D3=2）。

如果从排列组合的角度展开，我们分别看下：三个错排：三个全排列−三个序排−一个序排=A33−1−A31=2四个错排：四个全排列−四个序排−两个序排−一个序排=四个全排列−四个序排−两个错排−三个错排=A44−1−A42×1−A41×2=9五个错排：五个全排列−五个序排−三个序排−两个序排−一个序排=五个全排列−五个序排−两个错排−三个错排−四个错排=A55−1−A52×1−A52×2−A54×9=44………………………………例题：1.四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜，现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜，问共有几种不同的尝法？（11年浙江）A.6种B.9种C.12种D.15种2.五个瓶子都贴有标签，其中恰好贴错了三个，则贴错的可能情况有多少种？（07年北京）A.60B.46C.40D.203.要把A、B、C、D四包不同的商品放到货架上，但是，A不能放在第一层，B不能放在第二层，C不能放在第三层，D不能放在第四层，那么，不同的放法共有（）种。

（09年云南）A.6B.7C.8D.9。

全错位排列

全错位排列先看下面例子：例1 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。

现在考虑：例2 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。

仿上分析可得：A55－3A44＋3A33－A22＝64种这与全错位排列很相似。

全错位排列——即n个元素全部都不在相应位置的排列。

看下面的问题例3 5个人站成一排，其中A不站第一位，B不站第二位，C不站第三位，D不站第四位，E不站第五位，共有多少种不同的站法。

解析：上面例1，例2实际上可以看成n个不同元素中有m（m≤n）不排在相应位置。

公式一：n个不同元素排成一排，有m个元素（m≤n）不排在相应位置的排列种数共有：Ann－C(m,1)?A(n-1,n-1)+C(m,2)?A(n-2,n-2)+……+(-1)^m?C(m,m)?A(n-m,n-m)这个公式在n＝m时亦成立从而这个问题可能用上面的公式得出：A55－C(5,1)?A44＋C(5,2)?A33－C(5,3)?A22＋C(5,4)?A11－C(5,5)?A00＝44种（注意A00＝0!＝1）再看1993年高考题：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。

然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。

则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种解析：由上面公式得：A44－C(4,1)?A33＋C(4,2)?A22－C(4,3)?A11＋C(4,4)?A00＝9种，∴选择B答案因此可得到全错位排列的公式：n个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n个元素不在第n位的排列数为：Ann-C(n,1)?A(n-1,n-1)+C(n,2)?A(n-2,n-2)+……+(-1)^n?C(n,n)?A(n-n,n-n)这实际上是公式一的特殊情况。

排列组合特殊题型之错位重排-于岩

排列组合特殊题型之错位重排中公教育研究与辅导专家于岩错位重排问题是排列组合中的一种特殊题型，如果不知道错位重排的关系，在遇到这类型的题目时就会很头疼，无从下手。

今天中公教育研究与辅导专家为大家带来了解决错位重排问题方法，我们一起来看一下。

错位重排问题也叫装错信封问题，比如编号为1、2、……、n的n封信，装入编号为1、2、……、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，有多少种装法？对于这种问题，有一个固定的递推公式，记n封信的错位重排数为Dn：Dn =(n-1)×(Dn-2 +Dn-1)，其中D1=0，D2=1。

简单阐述下公式的推导过程，先让编号为1的信封去装信，不能选编号1的信，只能从剩下的n-1封信中去选，假设信封1选了编号为2的信，下面让编号为2的信封再去选择的话，如果编号为2的信封不选编号1的信，那么加上其他的信封，可以理解为是n-1个信封的错位重排，记作Dn-1，如果编号为2的信封选择了编号为1的信，那么剩下的就是n-2个信封的错位重排，记作Dn-2，故为上面所列式子。

具体把错位重排的关系应用到解题时，我们需要记清楚一些小元素对应的错位重排数，比如D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265等，如果记不清楚，也可以根据刚才所给的公式推导出来。

例1.某校心理健康日，为拉近同学们彼此心灵之间的距离，设置了“抱抱团”游戏。

该游戏要求10人面对面而站，相对而站的两人彼此是朋友。

然后要求其中一排的人去拥抱对面的人，但不能拥抱自己的朋友，也不能出现拥抱同一个人，则共有多少种不同的拥抱方法？A.60B.54C.38D.44【中公解析】选D，题目可以理解为把两排的人在同一方向按顺序编号 1、2、3、4、5，其中一排的人去拥抱另一排的一个人，但不能拥抱与自己序号相同的人，且不能拥抱同一人，则共有多少种不同的拥抱方法？就是找5个元素对应的错位重排数的，由错位重排前面给的公式可得，D5=44，故选D。

错位排列问题

这是著名的信封问题,很多著名的数学家都研究过
瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：
用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。

把错装的总数为记作f(n)。

假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：
（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n-2)种错装法。

（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f(n-1)种。

总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。

a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此:
f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}
这是递推公式，令n＝1、2、3、4、5逐个推算就能解答蒙摩的问题。

f(1)=0 f(2)=1 f(3)=2 f(4)=9 f(5)=44
答案是44种。

全错位排列计算

全错位排列计算错位全排列问题什么是错位全排列问题？其实很简单，在生活中可能都会遇到：“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(Danid Bernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：一个人写了n 封不同的信及相应的n 个不同的信封，他把这n 封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？为了解决这个看似简单的问题，我们从数学的角度出发，尝试几个常用的方法。

记装错n 封信的种类为D_n ，并且有n 封信a_1,a_2,...,a_n（1）枚举法（Enumeration method）计算种数当n 的值较小时，可以利用枚举法：n=1 时，不可能装错信，则D_1=0 ；n=2 时，显然装错信时，只可能为两者调换位置，则D_2=1 ；n=3 时，有(a_2,a_3,a_1) ，(a_3,a_1,a_2) 两种装法，则D_3=2 ；n=4 时，装法如下：(a_2,a_1,a_4,a_3) ，(a_2,a_3,a_4,a_1) ，(a_2,a_4,a_1,a_3) ，(a_3,a_1,a_4,a_2) ，(a_3,a_4,a_1,a_2) ，(a_3,a_4,a_2,a_1) ，(a_4,a_1,a_2,a_3) ，(a_4,a_3,a_2,a_1) ，(a_4,a_3,a_1,a_2) ，则D_4=9 。

当n 的值越来越大时，枚举会变得异常复杂。

可以考虑用排列数（Permutation）和组合数（Combination），来得到错位全排列的计算公式。

（2）排列组合计算种数显然，n 封信的组合方式共有A_n^n=n! 种装法，接下来我们要做的就是扣掉其中重复的种类，保证计数“不重不漏”。

假设第一封信装对，即为剩下的n-1 个元素的一个全排列（All permutation），则有A_{n-1}^{n-1}=(n-1)! 种装法；并且当第二封信装对时，也有A_{n-1}^{n-1}=(n-1)! ，以此类推，每一封信装对时，都有(n-1)! 种装法。

错位排列

《全错位排列》研究一得理科实验班一、问题的引入课余，我们看排列组合问题时，常遇到受限元素，受限位置的简单问题。

如5个学生站成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾有多少种不同排法，或上午5节课，数学、体育、政治、语文、化学。

体育不排在第一节，数学不排在最后一节，有多少种不同排法。

对这类问题的解决，我们已很熟练。

甲、乙或体育、数学是受限元素，排头、排尾或第一节，第五节是受限位置，用排除法较简明，只须不考虑受限元素，受限位置时，5个人站成一排有P55种不同排法。

要除去甲在排头的P44种不同排法，此时已含乙站在排尾的P33种排法，然后再排除乙站在排尾的P44种不同排法。

再加上重复排除的P33种不同排法，故可得出结论：不同的排法有 P55-2P44+P33=78种二、课题的提出5个元素有2个元素受限，有2个位置受限，我们考虑若将此题深化，若5个元素都受限，都分别受限在不同的位置上。

即5个编号分别为1、2、3、4、5的学生排成一排，1不站在1号位，2不站在2号位… 5不站在5号位，即每人均不站在与其编号相对应的位置上，我们称符合这样限制条件的排列为全错位排列，那这样的全错位排列有多少种？如果有n个受限元素，又该如何解呢？我们用排除法去解，很难得出正确结论，重复的情况很复杂，很难理出头绪，我们三人决心研究《全错位排列》排列数计算问题。

带着这个问题我们请教了指导老师史立莉。

三、课题研究史老师指导我们学习排列、组合数学归纳法及数列有关知识，鼓励我们大胆探究。

课余我们在一块探讨研究，用不完全归纳法试图找出规律，经推理演绎，初步得出一个不成熟的结论，供大家探讨，以期抛砖引玉。

四、构建命题命题：设n个编号为1、2、3、… i… j…n的不同元素a1、a2、a3…a i…a j…a n，站在一排，且每个元素均不站在与其编号相对应的位置，这样的全错位排列数为T n。

则 T n= (n-1) ( T n-1+T n-2)说明：T n-1, T n-2分别表示n-1个或n-2个不同元素全错位排列数。

2019江西南昌公务员考试行测技巧：错位重排问题巧解

微信公众号：nc-offcn2019江西南昌公务员考试行测技巧：错位重排问题巧解南昌人事考试信息网提醒您江西省公务员考试公告预计三月份发布，江西南昌国家公务员考试特意为大家准备了2019江西南昌公务员考试行测技巧：错位重排问题巧解。

行测考试中我们会发现，排列组合问题成了省考必考知识点，每一年都有涉及。

而这个知识点也一直困扰着各位考生，原因就在于该知识点使用的方法比较多，若想牢固地掌握该知识点，就需要将所有方法进行分类总结，我们这次就来看一下排列组合中的错位重排问题。

定义是指把n个元素的位置重新排列，使每个元素都不在原来位置上的排列问题，说的直白点就是元素一一不对应的问题。

例：现在有编号是1、2的两封信，装入编号是①、②的两个信封，要求是每封信和信封的编号不同。

解析：我们可以列举出结果数：①--2，②--1，大家会发现只有一种方式。

例：现在有编号是1、2、3的三封信，装入编号为①、②、③的三个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法?解析：同样我们可以列举出具体方法数，①-2,②-3,③-1或者①-3,②-1,③-2，共两种。

但随着元素n的数目增多，分析过程也随之变得更加繁琐。

因此，对于这类问题有个固定的递推公式，大家只要熟记这个公式，就可以解决所有的类似问题。

即n个元素的错位重排数为Dn，则Dn=(n-1)(Dn-2+Dn-1)。

而根据出题考试，我们发现主要常考的是：D2=1,D3=2,D4=9,D5=44。

例1.学校组织年级期末考试，现有四个班主任去监考四个班级，为保证考试的公平公正性，体现考生的真实水平，要求每位班主任都不能去监考自己的班级，问共有几种不同的安排方法?A.6种B.9种C.12种D.15种解析：4位老师的错位重排数根据公式D4=9，即有9种不同的方法。

选B。

例2.五个瓶子都贴有标签,其中恰好贴错了三个,贴错的可能情况有多少种?A.9种B.12种C.18种D.20种微信公众号：nc-offcn解析：五个瓶子中恰好有三个瓶子的标签贴错了，我们首先得确定是哪三个错了，即10种，三个贴错了相当于是3个元素的错位重排，有2种情况，再利用分布相乘10×2=20种。

高中数学排列组合：全错位排列问题详解

利用此递推关系可以分别算出 T4=9，T5=44，所以题三的答案为 44+5×9+10×2=109.
3．关于全错位排列数的一个通项公式：Tn= n![ 1 1 (1) n 1 ] （n≥2）.
2! 3!
n!
(1).探索
规定 An0 =1（n∈N*），试计算以下各式的值：（1） A42 A41 A40 ；（2） A53 A52 A51 A50 ；（3） A64 A63 A62 A61 A60 .
2! 3!
k! 2! 3!
(k 1)!
= k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +k· (1)k 1 ]
2! 3!
( k 1)!
k!
=k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +（k+1）· (1)k 1 (1)k 1 ]
2! 3!
( k 1)!
k!
k!
= k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +（k+1）· (1)k 1 (1)k k 1 ]
全错位排列问题
每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题.
1．错位排列问题
例 1. 4 名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则
四张贺卡的不同分配方式共有
Hale Waihona Puke 种.例 2. 将编号为 1，2，3，4 的四个小球分别放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，
(k 1)!
k!
(k 1)!
∴n=k+1 时（*）式也成立.
由以上过程可知 n 个元素全错位排列的排列数为：
Tn=
aj 不排 i 位

错位排列

例1．五个编号为1、2、3、4、5的小球放进5个编号为1、2、3、4、5的小盒里面，全错位排列（即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，5不放5，也就是说5个全部放错）一共有多少种放法？解析：直接求5个小球的全错位排列不容易，我们先从简单的开始。

小球数/小盒数全错位排列1 02 1（即2、1）3 2（即3、1、2和2、3、1）4 95 446 265当小球数/小盒数为1~3时，比较简单，而当为4~6时，略显复杂，考友只需要记下这几个数字即可（其实0，1，2，9，44，265是一个有规律的数字推理题，请各位想想是什么？）由上述分析可得，5个小球的全错位排列为44种。

上述是最原始的全错位排列，但在实际公务员考题中，会有一些“变异”。

例2．五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？解析：做此类题目时通常分为两步：第一步，从五个瓶子中选出三个，共有种选法；第二步，将三个瓶子全部贴错，根据上表有2种贴法。

则恰好贴错三个瓶子的情况有种。

拓展：想这样一个问题：五个瓶子中，恰好贴错三个是不是就是恰好贴对两个呢？答案是肯定的，是。

那么能不能这样考虑呢？第一步，从五个瓶子中选出二个瓶子，共有种选法；第二步，将两个瓶子全部贴对，只有1种方法，那么恰好贴对两个瓶子的方法有种。

问题出来了，为什么从贴错的角度考虑是20种贴法，而从贴对的角度考虑是10种贴法呢。

在此明确告知，后者的解题过程是错误的，请考友想想为什么？【提示】：在处理错位排列问题时，无论问恰好贴错还是问恰好贴对，都要从贴错的角度去考虑，这样处理问题简单且不易出错。

数字推理题的难度在不断加大，命题者在通过各种复杂的变形希望能增大这部分题型的难度，建议考生在做题时，不要拘泥于数列规律本身，而应该着眼于观察数字本身的“组合”问题，从而轻松破解新题型。

例题：2008年广州市公务员考试行政真题(26) 1.03 ,3.04，3.05，9.06，5.07，27.08,( )A.7.09B.9.09C.34.00D.44.0l ，解析这是一道隔项数列题，我们先把奇数项列出来，组成新数列：1.03，3.05，5.07，( )这样，我们可以观察到，整数部分和分数部分各自形成一个新数列，所以我们应该将数列“拆分”开来，形成两个独立的数列。

(2021年整理)不错排列组合问题之全错位排列问题

不错排列组合问题之全错位排列问题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（不错排列组合问题之全错位排列问题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为不错排列组合问题之全错位排列问题的全部内容。

排列组合问题之全错位排列问题 (一个通项公式和两个递推关系)一、问题引入：问题1、4名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有多少种?问题2、将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有多少种不同的放法？这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题.问题3、五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有多少种？解析：可以分类解决：第一类，所有同学都不坐自己原来的位置；第二类,恰有一位同学坐自己原来的位置；第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置.对于第一类，就是全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置,其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题。

设n 个元素全错位排列的排列数为n T ，则对于问题3,第一类全错位排列的排列数为5T ；第二类先确定一个排原来位置的同学有5种可能,其余四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为45T ；第三类先确定两个排原位的同学，有2510C =种可能，其余三个同学全错位排列，所以第三类的排列数为310T ，因此问题3的答案为：543510109T T T ++=。

全错位排列问题的DNA计算模型

全错位排列问题的DNA计算模型
胡娟
【期刊名称】《科技视界》
【年(卷),期】2018(000)019
【摘要】组合数学中的一个很重要问题全错位排列问题其应用非常广,利用0-1规划可将此问题转化为可满足性问题,通过DNA分子之间产生的发夹结构,利用琼脂糖凝胶可得到满足问题的可行解,便于求解三元以上的全错位排列.
【总页数】2页(P101-102)
【作者】胡娟
【作者单位】淮南职业技术学院基础部,安徽淮南 232001
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
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5.全错位排列问题的基于芯片的DNA计算模型 [J], 孙侠;殷志祥;李勇;许峰
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