直线与圆方程例题(总结版)

直线与圆方程例题(总结版)标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

【考试大纲要求】

1．理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．

2．掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．

4．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．

5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程. 6．掌握直线与圆的位置关系的判断方法，能利用直线和圆的位置关系解决相关问题.

直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程．

【基础知识归纳】 1．直线方程

（1）直线的倾斜角 直线倾斜角的取值范围是：0180α︒

︒

≤<. （2）直线的斜率)90(tan ︒≠=ααk .

倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，斜率的取值范围是（－∞，+∞）.

(3)直线的方向向量

设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量21F F =（x 2－x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量

向量

121

x x -21F F =（1，1

212x x y y --）=（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率.特别

地，垂直于x 轴的直线的一个方向向量为a ＝(0,1) .

说明：直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程度的．

每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系．

（4）直线方程的五种形式

点斜式：)(00x x k y y -=-，(斜率存在) 斜截式：b kx y += (斜率存在) 两点式：121121x x x x y y y y --=--，(不垂直坐标轴) 截距式：1=+b

y

a x (不垂直坐标轴,不

过原点)

一般式：0=++C By Ax .

引申：过直线1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=交点的直线系方程为：

111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（λ∈R ）(除l 2外)． 2．两条直线的位置关系

（1）直线与直线的位置关系

存在斜率的两直线111:l y k x b =+；222:l y k x b =+.有： ①12l l ⇔12k k =且12b b ≠； ②12l l ⊥⇔121k k ⋅=-； ③1l 与2l 相交⇔12k k ≠； 0④1l 与2l 重合⇔12k k = 且12b b =. 一般式的直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=.

有①12l l ⇔12210A B A B -=；且12210B C C B -≠; ②12l l ⊥⇔12120A A B B +=; ③1l 与2l 相交⇔12210A B A B -≠;④1l 与2l 重合⇔12210A B A B -=；且

12210B C C B -=

（2）点与直线的位置关系

若点00(,)P x y 在直线0=++C By Ax 上，则有000Ax By C ++=；

若点00(,)P x y 不在直0=++C By Ax 上，则有000Ax By C ++≠，此时点00(,)P x y 到直线0=++C By Ax 的距离为2

2

00B

A C

By Ax d +++=

．

平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=之间的距离为 2

2

21B

A C C d +-=．

（3）两条直线的交点

直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的公共点的坐标是方程

111222

0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨

++=⎩ 的解 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解. 重合⇔方程组有无数解.

3．曲线与方程 4. 圆的方程

(1)圆的定义 (2)圆的方程

标准式：222()()x a y b r -+-=，其中r 为圆的半径，(,)a b 为圆心． 一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）.其中圆心为

,2

2D E ⎛⎫-- ⎪

⎝⎭

参数方程:cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，cos (sin x a r y b r ααα

=+⎧⎨

=+⎩是参数）. 消去θ可得普通方程

5. 点与圆的位置关系

判断点(,)P x y 与圆2()x a -+22()y b r -=的位置关系代入方程看符号. 6.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.

有两种判断方法： （1）代数法：（判别式法）0,0,0∆>∆=∆<时分别相离、相交、

相切. （2）几何法：圆心到直线的距离 ,,d r d r d r >=<时相离、相交、相切.

7．弦长求法

（1）几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则2

222l d r ⎛⎫

+= ⎪⎝⎭ ．

（2）解析法：用韦达定理，弦长公式. 8．圆与圆的位置关系

题型1：直线的倾斜角

1．（07·上海）直线014=-+y x 的倾斜角=θ ． 答案：4arctan π-

解析： 直线014=-+y x 可化为14-=x y ，

∴）

，（　ππ

θθ2,4tan ∈-==k

∴4arctan π-=θ．

题型2 ：直线的斜率

2．（08·安徽卷）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线

22

(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 （ ）

A ．

[3,3] B ．(3,3) C ．33⎡⎢⎣⎦ D ．

33⎛ ⎝⎭ 答案：C

解析：记圆心为(2,0)D ,记上、下两切点分别记为B C 、，则

30BAD CAD ︒∠==∠，∴l 的斜率00

tan150,tan 30,k ⎡

⎤∈⎣⎦ 即

3333k ⎡∈-⎢⎣⎦.