运筹学图与网络(1)

v2
v4
v5
（a）的生 成子图
v1 e5
v2 e2
v3
e6
v4 e8
v5
（a）的导 出子图
v1 e5
v2 e1
e6
v5
定义（简单图）如果图中任意 两个顶点之间至多有一条边， 则称为简单图，否则称为多重 图。
定义（有向图）如果图中每一 条边都规定了方向，则称为有 向图。
定义（链）如果图中的某些点、 边可以排列成点和边的交错序 列，则称此为一条链。
1
7 2
6
5
4
1
7
2
6
3
5
4
假定第二次就座方案是 （1，3，5，7，2，4，6，1）， 那么第三次就座方案就不允许 这些顶点之间继续相邻，只能 从图中删去这些边。
1
7
2
6
3
5
4
1
7 2
6
3
5
4
假定第三次就座方案是 （1，4，7，3，6，2，5，1）， 那么第四次就座方案就不允许这 些顶点之间继续相邻，只能从图 中删去这些边，只留下7点孤立 点，所以该问题只有三个就座方 案。
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
避圈法
v1 23 v6 28 v5 36 25
v2 20
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
总造价=1+4+9+3+17+23=57
其他树——搜索树
一、-方法（是人工智能中常用 方法） 例9-8：有n根火柴，甲乙两个依 次可以从中任意取走1根或2根， 但不能不取，取走最后一根火柴 者为胜方，试讨论取胜策略。为 了便于理解，不妨假设n=7。
解：以每门课程为一个顶点，共同被选 修的课程之间用边相连，得图，按题意， 相邻顶点对应课程不能连续考试，不相 邻顶点对应课程允许连续考试，因此， 作图的补图，问题是在图中寻找一条哈 密顿道路，如C—E—A—F—D—B，就 是一个符合要求的考试课程表。
A
B
F
C
E
D
A
B
F
C
E
D
A
B
F
C
E
D
9.1 图的基本概念
e3
e5
v4
e4 e8
v3 e7 v5
V= （ v1， v2，…... v6） E= （ e1， e2，…... e8） （e1）= （v1， v2） （e2）= （v1， v2） （e7）= （v3， v5）
（e8）= （v4， v4）
(e8)= (v4， v4),称为自回路(环)；
v6是孤立点，v5为悬挂点，e7为 悬挂边，顶点v3的次为4，顶点 v2的次为3。
定理9-1：在一个图中，所有顶 点次的和等于边的两倍。 定理9-2：在任意一个图中，奇 顶点的个数必为偶数。 注意：一个图的形状并不唯一。 但它的三要素是不能变的。
定义：设G=（V，E，）和G1= （V1，E1，1）。 如果V1 V， E1 E则称G1为G 的子图； 如果G1=（V1，E1，1）是G= （V，E，）子图，并且V1= V， 则称G1为G的生成子图；
第九章
图与网络
引言 图论是专门研究图的理论的一门 数学分支，属于离散数学范畴，与 运筹学有交叉，它有200多年历史， 大体可划分为三个阶段： 第一阶段是从十八世纪中叶到十九 世纪中叶，处于萌芽阶段，多数问 题围游戏而产生，最有代表性的工 作是所谓的Euler七桥问题，即一笔 画问题。
第二阶段是从十九世纪中叶到二 十世纪中叶，这时，图论问题大 量出现，如Hamilton问题，地图 染色的四色问题以及可平面性问 题等，这时，也出现用图解决实 际问题，如Cayley把树应用于化 学领域，Kirchhoff用树去研究电 网络等.
3 在图中不相邻的两个顶点之间加一条 边，可得一个且仅得一个圈。 4 图中边数有ne=p-1（p为顶点数）
例9-6
g e d f
h
b a c
e d f
b
g
d
f
b
e d
b c
h
b a c
g
d
f
a
定义（生成树）
如果图T是G的一个生成子图，而且T 又是一棵树，则称图T为一棵生成树。 对于分离图，则称为生成森林。
如果V1 V， E1 是E中所有端 点属于V1的边组成的集合，则称 G1是G的关于V1的导出子图；
如果G1=（V1，E1，1）是G= （V，E，）子图，并且V1= V， 则称G1为G的生成子图。
v1 e5
v2 e1 e3 e2
v3
e6 e4 e7
v4 e8
v5
（a） 的子图 v1 e5 e1 e3
v2
1
v7
4
9 v3
3 v4
v1 23 v6 28
v2
1
v7
4
9 v3
3 v5 17 v4
v1 23 v6 28
v2
1
v7
4
9 v3
3 v5 17 v4
v1 23 v6
v2
1
v7
4
9 v3
3 v5 17 v4
总造价 =1+4+9+3+17+23=57
v1 23 v6 28 v5 36 25
v2 20
（2）E是一个不与V 中顶点相交的边集 合； （3）是关联函数。 V，E，称为图的三要素。
说明：
（1）V非空，即没有顶点的图不讨论；
（2）E无非空条件，即允许没有边；
（3）条件（2）是指点只在边的端点 处相交；
（4）任一条边必须与一对顶点关联，
反之不然。
例9-5
v1
e1 v2 v6
e2 e6
D
C
B
例9-2：有7个人围桌而坐，如果 要求每次相邻的人都与以前完全 不同，试问不同的就座方案共有 多少种？ 用顶点表示人，用边表示两者 相邻，因为最初任何两个人都允 许相邻，所以任何两点都可以有 边相连。
1
7 2
6
3
5
4
假定第一次就座方案是 （1，2，3，4，5，6，7，1）， 那么第二次就座方案就不允许这 些顶点之间继续相邻，只能从图 中删去这些边。
4
v2
3 2
v1
5
v3
6
4
v4
v1 v2 v3 v1 v2 v3 v4 0 2 5 6 2 4 3 5 3 0 4
v4 6 4 0
其中表示两点之间不能连接 。
3 弧长矩阵
对有向图的弧可以用弧长 矩阵来表示。其中表示两点 之间没有弧连接 。
v2 1 v1 4 2 3
2
v3
2 1
2
6
若甲方胜时得分+1，乙方胜 时甲方得分-1，无凝轮到甲方取 时一定选择能使他进入得分+1状 态。同理轮到乙方取时一定选择 能使甲方进入得分-1状态。
定义（圈）如一条链中起点和 终点重合，则称此为一条圈。
有向图 v1 e5 e6 e4 e7 v4 e8 v5 v2 e1 e3 e2 v3
v1
v2 e1 e3
e6
e7 v4 v5
圈 v1 v2 e1 e3
e6
e7 v4 v5
二、图的矩阵表示
一个图非常直观，但是不 容易计算，特别不容易在计算 机上进行计算，一个有效的解 决办法是将图表示成矩阵形式， 通常采用的矩阵是邻接矩阵、 边长邻接矩阵、弧长矩阵和关 联矩阵。
v1 v2
v5 v3
v4
v1
v2
v3
v4
v5
v1 v2 v3
0 1 0
0 0 1
0 0 1
1 1 0
1 0 0
v4
v5
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
二、边长邻接矩阵
在图的各边上一个数量指标，具体 表示这条边的权（距离，单价，通过能 力等）——赋权图或网络。
无向网络；有向网络；混合网络；边权 网络；点权网络； 以边长代替邻接矩阵中的元素得到边长 邻接矩阵。
1 邻接矩阵
邻接矩阵A表示图G的顶点之 间的邻接关系，它是一个nxn的矩 阵，如果两个顶点之间有边相联时， 记为1，否则为0。
4
v2
3 2
v1
5
v3
6
4
v4
v1 v1 v2 v3 v4 0 1 1 1
v2 1 1 1 0
v3 1 1 0 1
v4 1 0 1 0
无向图的邻接矩阵是对称矩阵。
也可以 对有向 图
定义（圈）如一条链中起点和终点 重合，则称此为一条圈。
定义（连通图）如果图中的任意 两点之间至少存在一条通路，则 称图为连通图，否则为不连通图。 定义（树）一个无圈的连通图称 为树。如果一个无圈的图中每一 个分支都是树，则称图为森林。
树的性质：
1 在图中任意两点之间必有一条而且只 有一条通路。 2 在图中划去一条边，则图不连通。
23 v6 28 v5
v1
v2 20
1
v7 36 25 17
4
9 16 v4
15 v3
3
破圈法
v1 23 v6 28 v5 36 25
v2 20
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
v1 23 v6 28 v5 25
v2 20
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
v1 23 v6 28 v5 25
A C
D
B
最后，数学家Euler在1736年巧 妙地给出了这个问题的答案，并因 此奠定了图论的基础，Euler把A、B、 C、D四块陆地分别收缩成四个顶点， 把桥表示成连接对应顶点之间的边， 问题转化为从任意一点出发，能不 能经过各边一次且仅一次，最后返 回该点。这就是著名的Euler问题。
A
一个子图与生成树的区别是：子图与 原图相比少弧又少点，生成树与原图 相比少弧不少点。
定理 图 G有生成树的充分必要条件为图是连 通图。 定义（最优树） 在赋权图G中，一棵生成树所有树柱上权 的和，称为生成树的权。具有最小权的 生成树，称为最优树（或最小树）。 求最小树的方法有破圈法和避圈法。
例9-7
e3
v2
v3
e7
e4
e5
e1 v1 v2 v3 v4 1 0 0 -1
e2 -1 0 1 0
e3 1 -1 0 0
e4 0 -1 1 0
e5 0 -1 0 1
e6 0 0 1 -1
e7 0 0 -1 1
对无向图不存在-1 元素 。
9-2
最优树问题
树是一类极其简单而很有用的图。 定义（链）如果图中的某些点、边 可以排列成点和边的交错序列，则 称此为一条链。
v5
v4
v1 v1 v2 0
v2 1 0
v3
v4
v5 2 4

2

1
0

v3
v4 v5


2
3
0
2

6 0


4 关联矩阵
关联矩阵B揭示了图G的顶点和 边之间的关联关系，它是一个 nxm矩阵。
1 （ vi，vk）=ej
Bij= -1 0
（ vk，vi）=ej 其他
v1
e1
v4 e6 e2
7
+1 6 +1 5 -1 4 3 +1 +1 3 +1 4 -1 2
+1 -1 5 +1 4 +1 3 -1 2 -1 2 -1 3 -1 1
-1 3 -1 2 1
+1 2 -1
+1 2
+1 1
+1 2
+1 1
+1 2
+1 1
在树形图中，圆圈中数字7 表示轮到甲方取时还有7根，方 框中数字6表示表示轮到乙方取 时还有6根，依次类推。显然， 一旦最后出现方框（1或2）状态 时乙方胜。反之，若最后出现圆 圈（1或2）状态时甲方胜。
1
7 2
6
3
5
4
1
7 2
6
3
5
4
例9-3：哈密顿（Hamilton）回 路是十九世纪英国数学家哈密顿 提出，给出一个正12面体图形， 共有20个顶点表示20个城市， 要求从某个城市出发沿着棱线寻 找一条经过每个城市一次而且仅 一次，最后回到原处的周游世界 线路（并不要求经过每条边）。
例9-4：一个班级的学生共计选修A、 B、C、D、E、F六门课程，其中一部 分人同时选修D、C、A，一部分人同 时选修B、C、F，一部分人同时选修B、 E，还有一部分人同时选修A、B，期 终考试要求每天考一门课，六天内考 完，为了减轻学生负担，要求每人都 不会连续参加考试，试设计一个考试 日程表。
第三阶段是二十世纪中叶以后，由 生产管理、军事、交通、运输、计 算机网络等方面提出实际问题，以 及大型计算机使大规模问题的求解 成 为 可 能 ， 特 别 是 以 Ford 和 Fulkerson建立的网络流理论，与线 性规划、动态规划等优化理论和方 法相互渗透，促进了图论对实际问 题的应用。
例9-1：哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是 欧洲一个城市，Pregei河把该城分 成两部分，河中有两个小岛，十八 世纪时，河两边及小岛之间共有七 座桥，当时人们提出这样的问题： 有没有办法从某处（如A）出发， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？
v2 20
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
v1 23 v6 28 v5 25 17 16
v2
1
v7
4
9
15 v3
3 v4
v1 23 v6 28 v5 25 17 16
v2
1
v7
4
9
15 v3
3 v4
v1 23 v6 28 v5 25 17
v2
1
v7
4
9 v3
3 v4
v1 23 v6 28 v5 25 17
图论是专门研究图的理论的 一门数学分支，主要研究点 和线之间的 几何关系。
定义：（图）
设G=（V，E，）
ห้องสมุดไป่ตู้
其中：V= （ v1， v2，…... vm）
是m个顶点集合；
E= （ e1， e2，…... en）
是n条边集合。 是描述边与顶点之间关系的函数
称G=（V，E，）为 一个图，如果它 满足： （1）V非空；