解三角形讲义(提高版)

解三角形讲义(提高版) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

必修5

第一章 解三角形

1、正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin .a b c A B C ⇔= 用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；

⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。

2、余弦定理：

⎪⎩⎪⎨⎧⋅-+=⋅-+=⋅-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222⇔⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c

b a C a

c b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222

22 用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；

⑵已知三角形三边，求其它元素。

3、三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆

4、三角形内角和定理： ()A B C C A B ππ++=⇔=-+

基础巩固:

1. 在ABC ∆中，3,5==b a ，则sinA ：sinB=_____________.

2. 在ABC ∆中，0060,75,3===B A c ,则b=_____________.

3. 在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B=___________.

5. 在ABC ∆中，060,22,2===C b a ,则c=__________ ,A=____________.

6. 在ABC ∆中，5,3,7===c b a ,则最大角为____________.

7. 在ABC ∆中,若ab c b a =-+222，则cosC=_____________.

8. 在ABC ∆中，sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，那么cos C ＝_________.

9.在ABC ∆中，060=A ，AB=2，且ABC ∆的面积为23，则BC=_____________. 10.在ABC ∆中,已知2,32,1200===AC AB A 则ABC ∆的面积为__________.

能力提升:

例1 在ABC ∆中，若bcosA=acosB,试判断ABC ∆的形状.

变式训练：

设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,判断△ABC 的形状.

例2 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

变式训练：

如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC＝

75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山

高MN＝________m.

例3已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.

(1)若a=b,求cos B;

(2)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.

变式训练：

在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的的边分别为c b a ,,.已知A b A c C a cos 2cos cos =+.

(1)求角A 的值； （2）若1=a ，求c b +的取值范围.

课后作业:

1.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,a=4,b=4,A=30°,则B 等于________

2.在△ABC 中,已知2sin Acos B=sin C,那么△ABC 一定是( )

A.直角三角形

B.等腰直角三角形

C.等腰三角形

D.正三角形

3.设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cos A=且b

D. 4.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为,则BC 的长为( ) A. B.

5.在△ABC 中,B=,AB=,BC=3,则sin A=__________.

6.在△ABC 中,设角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知角C=120°,c=4,三角形的面积S=

,则a+b= .

7.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.

(1)求B; (2)若b=2,求△ABC 面积的最大值.

8.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的的边分别为c b a ,,.已知2)4tan(=+A π

.

（1）求A

A A 2cos 2sin 2sin +的值； （2）若4π=

B ，AB

C ∆的面积为9，求边长a 的值.