教学效果综合评价
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图2
对于认识不清楚的东西，用关联度[3]代替权重集对模型进行改进，再进行模糊 综合评判更为合理。
关键词：模糊数学 评价指标 权重 层次分析法 教学效果
一、 问题重述
高等教育教学质量是一个全面的系统工程，教和学是最能决定教学质量的关键 因素，随着高等教育进一步深化发展，高等教学质量已成为社会关注的焦点之一， 在如何提高高等教育教学质量过程中，高校教学质量评价成了一个重要途径，其中 课程的教学效果评价是最核心的一个部分，为此，许多学校采用的最普遍的方法是 通过对教师（或课程）教学的效果评价，来促进教学质量的提升。课程教学效果评 价通常有学生评课、同行评课、专家评课和任课教师对所任课程的自我评价等方式， 其中最直接、最生动、最具有说服力的和最能体现课程教学效果（或教学质量）的 手段是学生评课。某校“学生评课”工作的开展时间是每学期的第 12 周至 14 周， 范围是全校学生对该学期的个人所选课程，方式是由学生在教务系统的网上评课专 区进行评价。学生根据评价课程指标体系（见表 1，表 2）给所学课程（含任课教师） 进行打分。然后系统计算平均分或截边平均分作为评价该课程（或教师）教学效果 的一个主要部分进行排序。这种方法在一定程度上促进了课程的建设与（或教师） 教学效果的提高，同时也给我们提出一些问题：这种方法对所有的参评课程（含教 师）公平吗？是否会因为学生类别（文、理、工等）、学生班级、学生选课人数、课 程类别、课程学时、课程的性质与教师的任课门数而给出“不公平”的结果，最终 影响课程教学效果的评价及排名？ 为此，请你根据提供的学评课数据，评价指标体系，建立数学模型研究以下问题： 1. 分析评价数据，提出可能发生“不公平”的可疑之处（或异常情况），并给出修正 方法； 2. 参评人数、学生类别（文科、理、工等）、学生班级、课程资源、课程教师教学效 果、课程内容、课程考核方式等这些考核维度都可能影响课程效果评价结果，根据 不同考核维度对课程效果的评价影响程度，建立一个你认为合理的学生评课评价指 标体系？ 3. 根据所给的数据与评价指标体系，设计一种公平、有效的方法，对课程教学效果 进行评价并排序； 4. 针对同一门课程有多位教师任课的情况，请对不同教师在该门课程教学中的教学 效果进行评价，并讨论你所提出方法的合理性、有效性与公平性。
对于第三问，分别求二级指标下的每个指标对于评语集的模糊矩阵和一级指标下的 模糊矩阵，用模糊矩阵与第二问求得的权重集做模糊运算可到综合评价矩阵。再与赋值 过后的评语集相乘可得到每门课程的教学效果评价分数，再排序。
对于第四问，由于每个教学班只对应于一个教师，虽然同一门课程下的几位教师在 整体中的名次与每个教师在该门课程中的名次不同，但排序先后相同，因此可以采用和 第三问相同的模型，求得每个教学班对应的教师的分数，并整体排序。
根据频数和频率分布情况，一般取最大频率所在分组的组中值为因素������������ 的权重������������ ，
从而得到初始权重的向量为W
=
( ������1
∑������������=1 ������1
,
������2 ∑������������=1 ������2
,
⋯
,
∑������������=������1������������������)。
定的各种可供选择的评语。 （3）确定权重集
利用模糊综合评判理论对教学效果进行评价时，必须根据各影响因素的相对重要性 给定一个因素权重集，权重集的正确与否决定了评判结果。
第一级权重向量W = (������1, ������2, ������3)，其中 wi [0,1] ，第二级权重量 wi {wi1, wi2,..., wik} ,
修正方法：选择可能存在的最大“不公平”原因，即每个指标因素对教学效果评价 影响程度不同，可通过修正每个指标的权重，进而增加评价的公平性。
问题二：
1.模型建立 （1）建立评价因素集
将理论课程教学的 11 个指标因素分为三大类形成一级指标，每一组下面的子指标 因素作为二级指标。实践教学课程的 8 个因素也分为三类，每一组下面的子指标因素作 为二级指标。
针对第一问，通过对每个评价指标下的评价等级赋值，求出每门课程（含任课 老师）教学效果的平均数，分析得到可能发生“不公平”的最大可疑之处为各个评 价指标对教学效果的影响程度不同，不能按算数平均计算，为得到较为公平的评价 应修正各个评价指标的权值。
针对第二问，将理论课程（含教师）教学的 11 个指标因素分为教学资源因素、 教师教学因素，学生学习因素形成一级指标，其下的子指标因素作为二级指标。实 践教学课程的 8 个因素分为教学资源因素、教师因素、学生因素三类，每一组下面 的子指标因素作为二级指标。利用层次分析法 AHP[2]计算每个指标的权重，形成含 有指标集、评语集、权重集的学生评课评价指标体系。
针对第三问，算出隶属度 rij 得到模糊矩阵 RT ，得最终权重向量Y i W RT ，综 合评判结果为������0������ = ������������ ∙ ������������。对课程教学效果（以下列举理论课程）排序并与第一问比 较的部分结果为：
图1
针对第四问，由于教学班与任课教师相对应，采用和第三问同样的模型，利用 附件 1 的数据，得出按教师教学效果排序并与第一问比较的部分结果为：
如今高等教学质量成为社会关注的焦点之一，在如何提高高等教育教学质量过程中， 课程的教学效果评价是最核心的一个部分，通过对教学效果的评价来促进教学质量的提 升。
由于学校对课程（或教师）教学效果评价提出的各个评价指标对教学效果影响重要 程度不同，因此我们认为传统的系统计算每门课程（或每位教师）的教学效果有失公平， 所以我们认为按照每个指标对教学效果影响的重要性对其赋权值，然后建立一个含有指 标集、权重集、评语集的教学效果评价模型较为合理。我们在后文给出了整个评价体系 的模型和一些算法，也用一些数据做了证明。期待您对下文的浏览！
二、 模型的假设
假设一、题目所给的教学效果评价指标能真实地反映教学效果 假设二、不考虑学生类别对该门课程或老师造成的偏激评价 假设三、理论课与实践课相互独立 假设四、每个教学班与教师相对应且在该学期内的教师不变 假设五、各个评价指标对不同课程（或教师）的权重都相同
1
表一：
U V W Ci rij Rk R B0i Bi A λmax RI
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学院（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1
2. 3.
日期： 年 月 日
评阅编号(教师评阅时填写)：
尊敬的教务处领导：
您好！我们是重庆邮电大学的学生，在校这段时间，我们对于学校每学期开展的学 评教系统里的课程（或教师）教学效果的评价问题提出了一些看法。
对因数������������ 在它的权重������������������ 中找最大值������������ 和最小值������������ 。
适当选取正整数p,利用公式������������−������������计算出把权重分成p组的组距，并将权重从大到小
������
分成p组。
计算落在每组内权重的频数与频率。
首先将 评价 因素用 矩 阵表示 ，取 评价因 素 集 U {u1,u2,u3} ， ui {ui1,ui2,...,uis} （i 1,2,3），这里 ui 表示所分出的第 i 大组， uis 表示第 i 大组中的第 s 个因素。 （2）建立评语集
4Байду номын сангаас
设评判因素的评语集为V ,V {A,B,C, D,E} {v1,v2,...,v5}； vi (i 1,2,...,5) 为事先确
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。
11
Dk
Ci k1 11Bi ，其中 Bi 为第 i 门课程的评价人数。 2.模型求解 算法流程图为：
图3
将数据代入，MATLAB 所编写的程序，计算每门理论课程的算术平均分数部分。 并将数据移至 EXCEL 进行排序所得理论课程排序如图所示：
3
图4
实验课程排序如图所示：
图5
可能发生“不公平”（或异常）之处有：由于每个评价指标对教学效果的教学效果 的评价影响程度不同，采用计算平均分不能体现这一点；学生在评价过程的态度会影响 结果；学生对课程或教师本身可能存在偏激的个人情感，导致分数不真实；部分课程的 评价人数可能只有一个，而这一个人可能不公平评价该门课程的教学效果。
三、 部分符号说明
评价指标集 评语集 权重集
第i门课程的教学效果算数平均分数 隶属值
第k类一级指标下的模糊矩阵 每一门课程（或教师）的模糊矩阵 第i门课程（或教师）的教学效果加权评价分数 为第i门课程（或教师）的加入评价百分比的教学效果加权评价分数
判断矩阵 最大特征值 一致性比率
四、 问题分析
课程教学效果评价中最直接、最生动、最具有说服力的和最能体现课程教学效果（或 教学质量）的手段是学生评课，对本文所提问题做如下分析。
感谢您在百忙之中抽出时间浏览我们的建议！
郑金香、郑亚励、柏权武 2013.5.15
课程教学效果综合评价
摘要
高等教学质量成为社会关注的焦点之一，在如何提高高等教育教学质量过程中， 课程的教学效果评价是最核心的一个部分，通过对教学效果的评价来促进教学质量 的提升。运用模糊数学[1]能较公平地对其作出评价。
对于第一问，采用传统的方法系统计算平均分作为评价该课程（或教师）教学效果 的一个主要部分进行排序。分析数据，找出这样评价教学效果的可疑之处，进而提出修 正方法。
对于第二问，参评人数、学生类别（文科、理、工等）、学生班级、课程资源、课 程教师教学效果、课程内容、课程考核方式等这些考核维度都可能影响课程效果评价结 果，且每一个指标对教学效果的影响程度不同。紧接第一问题提出的修正方法，为得到 较为公平的教学效果评价体系，考虑将 11 个指标因素进行二层划分，形成一级指标、 二级指标，而每个指标的权重成为重中之重。得到权重的方法可由专家打分，用频数统 计法求得权重，但这样得到的权重比较主观，不具有说服力。由于层次分析法适宜于解 决难以完全用定量方法进行分析的决策问题，因此可通过层次分析法相互比较，确定各 指标对目标的权重。形成含有指标集、评语集、权重集的学生评课评价指标体系。
(i 1,2,3) ，其中 wik [0,1] ， wik 表示第 k 个指标在第 i 个组别中的权重。在分出的三大
准则及子指标中，它们在综合评价中的程度是不一样的。地位重要的，应给予较大的权 重；反之，应给出较小的权重。确定权重的实用方法一般有两种。 ○1 频数统计法 对每个单因素的权重进行统计实验。
2
五、 模型的建立与求解 问题一：
1.模型建立 确定评价指标U {本课程的教材选用，本课程提供的学习资源（网络、电子或纸
质资源），…，您认为您在本门课程的收获程度是}，共 11 项指标。评判因素的评语集 V ,V = {������1, ������2, ������3, ������4, ������5} = {100,80,60,40,20}，A（k k 1,2,...,11）为每一项指标下的学生评 价矩阵， aij 为第 i 门课程第 j 个评语下的学生评价人数， X T {x1, x2,..., x5}， xi 为第 i 个 评 语 的 赋 值 分 数 。 则 每 一 个 指 标 下 的 总 分 数 Dk Ak X T , 每 一 门 课 程 的 平 均 值 为
对于认识不清楚的东西，用关联度[3]代替权重集对模型进行改进，再进行模糊 综合评判更为合理。
关键词：模糊数学 评价指标 权重 层次分析法 教学效果
一、 问题重述
高等教育教学质量是一个全面的系统工程，教和学是最能决定教学质量的关键 因素，随着高等教育进一步深化发展，高等教学质量已成为社会关注的焦点之一， 在如何提高高等教育教学质量过程中，高校教学质量评价成了一个重要途径，其中 课程的教学效果评价是最核心的一个部分，为此，许多学校采用的最普遍的方法是 通过对教师（或课程）教学的效果评价，来促进教学质量的提升。课程教学效果评 价通常有学生评课、同行评课、专家评课和任课教师对所任课程的自我评价等方式， 其中最直接、最生动、最具有说服力的和最能体现课程教学效果（或教学质量）的 手段是学生评课。某校“学生评课”工作的开展时间是每学期的第 12 周至 14 周， 范围是全校学生对该学期的个人所选课程，方式是由学生在教务系统的网上评课专 区进行评价。学生根据评价课程指标体系（见表 1，表 2）给所学课程（含任课教师） 进行打分。然后系统计算平均分或截边平均分作为评价该课程（或教师）教学效果 的一个主要部分进行排序。这种方法在一定程度上促进了课程的建设与（或教师） 教学效果的提高，同时也给我们提出一些问题：这种方法对所有的参评课程（含教 师）公平吗？是否会因为学生类别（文、理、工等）、学生班级、学生选课人数、课 程类别、课程学时、课程的性质与教师的任课门数而给出“不公平”的结果，最终 影响课程教学效果的评价及排名？ 为此，请你根据提供的学评课数据，评价指标体系，建立数学模型研究以下问题： 1. 分析评价数据，提出可能发生“不公平”的可疑之处（或异常情况），并给出修正 方法； 2. 参评人数、学生类别（文科、理、工等）、学生班级、课程资源、课程教师教学效 果、课程内容、课程考核方式等这些考核维度都可能影响课程效果评价结果，根据 不同考核维度对课程效果的评价影响程度，建立一个你认为合理的学生评课评价指 标体系？ 3. 根据所给的数据与评价指标体系，设计一种公平、有效的方法，对课程教学效果 进行评价并排序； 4. 针对同一门课程有多位教师任课的情况，请对不同教师在该门课程教学中的教学 效果进行评价，并讨论你所提出方法的合理性、有效性与公平性。
对于第三问，分别求二级指标下的每个指标对于评语集的模糊矩阵和一级指标下的 模糊矩阵，用模糊矩阵与第二问求得的权重集做模糊运算可到综合评价矩阵。再与赋值 过后的评语集相乘可得到每门课程的教学效果评价分数，再排序。
对于第四问，由于每个教学班只对应于一个教师，虽然同一门课程下的几位教师在 整体中的名次与每个教师在该门课程中的名次不同，但排序先后相同，因此可以采用和 第三问相同的模型，求得每个教学班对应的教师的分数，并整体排序。
根据频数和频率分布情况，一般取最大频率所在分组的组中值为因素������������ 的权重������������ ，
从而得到初始权重的向量为W
=
( ������1
∑������������=1 ������1
,
������2 ∑������������=1 ������2
,
⋯
,
∑������������=������1������������������)。
定的各种可供选择的评语。 （3）确定权重集
利用模糊综合评判理论对教学效果进行评价时，必须根据各影响因素的相对重要性 给定一个因素权重集，权重集的正确与否决定了评判结果。
第一级权重向量W = (������1, ������2, ������3)，其中 wi [0,1] ，第二级权重量 wi {wi1, wi2,..., wik} ,
修正方法：选择可能存在的最大“不公平”原因，即每个指标因素对教学效果评价 影响程度不同，可通过修正每个指标的权重，进而增加评价的公平性。
问题二：
1.模型建立 （1）建立评价因素集
将理论课程教学的 11 个指标因素分为三大类形成一级指标，每一组下面的子指标 因素作为二级指标。实践教学课程的 8 个因素也分为三类，每一组下面的子指标因素作 为二级指标。
针对第一问，通过对每个评价指标下的评价等级赋值，求出每门课程（含任课 老师）教学效果的平均数，分析得到可能发生“不公平”的最大可疑之处为各个评 价指标对教学效果的影响程度不同，不能按算数平均计算，为得到较为公平的评价 应修正各个评价指标的权值。
针对第二问，将理论课程（含教师）教学的 11 个指标因素分为教学资源因素、 教师教学因素，学生学习因素形成一级指标，其下的子指标因素作为二级指标。实 践教学课程的 8 个因素分为教学资源因素、教师因素、学生因素三类，每一组下面 的子指标因素作为二级指标。利用层次分析法 AHP[2]计算每个指标的权重，形成含 有指标集、评语集、权重集的学生评课评价指标体系。
针对第三问，算出隶属度 rij 得到模糊矩阵 RT ，得最终权重向量Y i W RT ，综 合评判结果为������0������ = ������������ ∙ ������������。对课程教学效果（以下列举理论课程）排序并与第一问比 较的部分结果为：
图1
针对第四问，由于教学班与任课教师相对应，采用和第三问同样的模型，利用 附件 1 的数据，得出按教师教学效果排序并与第一问比较的部分结果为：
如今高等教学质量成为社会关注的焦点之一，在如何提高高等教育教学质量过程中， 课程的教学效果评价是最核心的一个部分，通过对教学效果的评价来促进教学质量的提 升。
由于学校对课程（或教师）教学效果评价提出的各个评价指标对教学效果影响重要 程度不同，因此我们认为传统的系统计算每门课程（或每位教师）的教学效果有失公平， 所以我们认为按照每个指标对教学效果影响的重要性对其赋权值，然后建立一个含有指 标集、权重集、评语集的教学效果评价模型较为合理。我们在后文给出了整个评价体系 的模型和一些算法，也用一些数据做了证明。期待您对下文的浏览！
二、 模型的假设
假设一、题目所给的教学效果评价指标能真实地反映教学效果 假设二、不考虑学生类别对该门课程或老师造成的偏激评价 假设三、理论课与实践课相互独立 假设四、每个教学班与教师相对应且在该学期内的教师不变 假设五、各个评价指标对不同课程（或教师）的权重都相同
1
表一：
U V W Ci rij Rk R B0i Bi A λmax RI
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学院（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1
2. 3.
日期： 年 月 日
评阅编号(教师评阅时填写)：
尊敬的教务处领导：
您好！我们是重庆邮电大学的学生，在校这段时间，我们对于学校每学期开展的学 评教系统里的课程（或教师）教学效果的评价问题提出了一些看法。
对因数������������ 在它的权重������������������ 中找最大值������������ 和最小值������������ 。
适当选取正整数p,利用公式������������−������������计算出把权重分成p组的组距，并将权重从大到小
������
分成p组。
计算落在每组内权重的频数与频率。
首先将 评价 因素用 矩 阵表示 ，取 评价因 素 集 U {u1,u2,u3} ， ui {ui1,ui2,...,uis} （i 1,2,3），这里 ui 表示所分出的第 i 大组， uis 表示第 i 大组中的第 s 个因素。 （2）建立评语集
4Байду номын сангаас
设评判因素的评语集为V ,V {A,B,C, D,E} {v1,v2,...,v5}； vi (i 1,2,...,5) 为事先确
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。
11
Dk
Ci k1 11Bi ，其中 Bi 为第 i 门课程的评价人数。 2.模型求解 算法流程图为：
图3
将数据代入，MATLAB 所编写的程序，计算每门理论课程的算术平均分数部分。 并将数据移至 EXCEL 进行排序所得理论课程排序如图所示：
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图4
实验课程排序如图所示：
图5
可能发生“不公平”（或异常）之处有：由于每个评价指标对教学效果的教学效果 的评价影响程度不同，采用计算平均分不能体现这一点；学生在评价过程的态度会影响 结果；学生对课程或教师本身可能存在偏激的个人情感，导致分数不真实；部分课程的 评价人数可能只有一个，而这一个人可能不公平评价该门课程的教学效果。
三、 部分符号说明
评价指标集 评语集 权重集
第i门课程的教学效果算数平均分数 隶属值
第k类一级指标下的模糊矩阵 每一门课程（或教师）的模糊矩阵 第i门课程（或教师）的教学效果加权评价分数 为第i门课程（或教师）的加入评价百分比的教学效果加权评价分数
判断矩阵 最大特征值 一致性比率
四、 问题分析
课程教学效果评价中最直接、最生动、最具有说服力的和最能体现课程教学效果（或 教学质量）的手段是学生评课，对本文所提问题做如下分析。
感谢您在百忙之中抽出时间浏览我们的建议！
郑金香、郑亚励、柏权武 2013.5.15
课程教学效果综合评价
摘要
高等教学质量成为社会关注的焦点之一，在如何提高高等教育教学质量过程中， 课程的教学效果评价是最核心的一个部分，通过对教学效果的评价来促进教学质量 的提升。运用模糊数学[1]能较公平地对其作出评价。
对于第一问，采用传统的方法系统计算平均分作为评价该课程（或教师）教学效果 的一个主要部分进行排序。分析数据，找出这样评价教学效果的可疑之处，进而提出修 正方法。
对于第二问，参评人数、学生类别（文科、理、工等）、学生班级、课程资源、课 程教师教学效果、课程内容、课程考核方式等这些考核维度都可能影响课程效果评价结 果，且每一个指标对教学效果的影响程度不同。紧接第一问题提出的修正方法，为得到 较为公平的教学效果评价体系，考虑将 11 个指标因素进行二层划分，形成一级指标、 二级指标，而每个指标的权重成为重中之重。得到权重的方法可由专家打分，用频数统 计法求得权重，但这样得到的权重比较主观，不具有说服力。由于层次分析法适宜于解 决难以完全用定量方法进行分析的决策问题，因此可通过层次分析法相互比较，确定各 指标对目标的权重。形成含有指标集、评语集、权重集的学生评课评价指标体系。
(i 1,2,3) ，其中 wik [0,1] ， wik 表示第 k 个指标在第 i 个组别中的权重。在分出的三大
准则及子指标中，它们在综合评价中的程度是不一样的。地位重要的，应给予较大的权 重；反之，应给出较小的权重。确定权重的实用方法一般有两种。 ○1 频数统计法 对每个单因素的权重进行统计实验。
2
五、 模型的建立与求解 问题一：
1.模型建立 确定评价指标U {本课程的教材选用，本课程提供的学习资源（网络、电子或纸
质资源），…，您认为您在本门课程的收获程度是}，共 11 项指标。评判因素的评语集 V ,V = {������1, ������2, ������3, ������4, ������5} = {100,80,60,40,20}，A（k k 1,2,...,11）为每一项指标下的学生评 价矩阵， aij 为第 i 门课程第 j 个评语下的学生评价人数， X T {x1, x2,..., x5}， xi 为第 i 个 评 语 的 赋 值 分 数 。 则 每 一 个 指 标 下 的 总 分 数 Dk Ak X T , 每 一 门 课 程 的 平 均 值 为