动力学基本概念.

动力平衡方程的解法
（3）数值方法
可适用于线性和非线性领域 中心差分法 、常加速度法、线性加速度法
Newmark- 法 、Wilson- 法
不同参数对应的逐步积分法
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振型分析
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特征值问题
当没有外荷载和阻尼时，n个自由度体系的运动方程
反应谱
位移谱
速度谱
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加速度谱
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反应谱
由同一场地上所得到的地面运动加速度记录分别计算出它 们的反应谱曲线，进行统计分析，求出的谱曲线为抗震设 计反应谱。
公路工程抗震设计规范（JTJ 004-89）中给出动力放大系
数 谱


ug
u max
ug max
2
应变能因子法
非典型的阻尼，无法分离各模态。为了反映各单元不同 的阻尼特性，使用变形能量的概念来计算各模态的阻尼比。
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惯性力
惯性力
mu(t) cu(t) ku(t) p(t)
达朗贝尔原理 (D’ Alembert’s Principle)
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静力弹塑性分析
•定义Pushover主控数据
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静力弹塑性分析
•定义Pushover荷载工况
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静力弹塑性分析
•定义Pushover铰特性值
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动力学基本概念
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目录
结构动力平衡方程 振型分析 反应谱分析 时程分析 频域分析 弹塑性分析
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快速傅立叶转换
每个波均可表现为多个正弦波的和
… 时间函数 … 频率函数
El Centro (NS, 1940) FFT
瞬态荷载
将测试的波通过测试装置 随时做傅立叶转换
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频域分析
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ABS法
将各振型所产生的作用效应的绝对值求和，由于结构的各振型最大地震反应并 不发生在同一时刻，因此该计算结果过于保守。
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反应谱分析
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时程分析
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选取地震波
频谱特性 依据所处的场地类型和特征周期分区确定。
振型分析的方法
子空间迭代法
子空间迭代法求出结构的前r阶振型
Lanczos法
Ritz向量法
Ritz向量法求出的是和激发荷载向量直接相关的振型。 因此用振型分解反应谱法和振型叠加法进行结构动力分析 时，一般建议采用Ritz向量法进行结构的振型分析。
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振型分析
p(t)-fS -fD = mu
牛顿第二定律
静止/匀速运动
加速度运动
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结构的质量
一致质量矩阵和集中质量矩阵
一致质量矩阵的质量按实际分布情 况考虑的，集中质量矩阵假定单元 的质量集中在节点上，这样得到的 是对角阵。
一般情况下两者给出的结果相差不 多，集中质量矩阵可以减少方程自 由度，但是对于高次单元时分配质 量较困难，另外一致质量矩阵求出 的是结构频率的上限。
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结构动力平衡方程
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结构动力平衡方程
p(t) ku(t) cu(t) mu(t)
mug (t) 弹性力
阻尼力
惯性力
fS ku
fD cu
fI mu
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S Smax
0 0.1
Tg 水平设计加速度反应谱
10 T(s)
Smax 2.25CiCsCd A
式中，Ci为重要性系数，Cs为场地系数，Cd为阻尼调整系数， A为设计基本地震动加速度峰值。
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振型组合方法
完整二次项组合法（CQC法）
Rmax
nn
u 2 nu n2u 0
临界阻尼？
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结构的阻尼
振型阻尼
直接输入各振型阻尼的方法 混凝土结构的阻尼比可取为0.05
Rayleigh 阻尼
质量和刚度因子法
[C] a0 [M ] a1 [K ]
n

a0
2n

a1n
静力弹塑性分析
•分配Pushover铰
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动力弹塑性分析
延性：在初始强度没有明显退化情况下的非弹性变形能力，包括承受较 大的非弹性变形，同时强度没有明显下降的能力，利用滞回特性吸收能 量的能力。
Inelastic Hinge
M
M
集中铰模型 非弹性铰的变形RX/RY/RZ都是转角
地面加速度
mu cu ku mug
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动力平衡方程的解法
mu cu ku mug
（1）经典解法 u(t) uC(t) uP (t) u(t) A cos wnt B sinwnt p0 / k
特征值问题 : 固有圆频率
模态向量
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振型分析的原理
n个自由度体系的n个自振频率和模态向量:
各特征向量之间满足正交条件 利用模态向量的正交性，可生成对角质量矩阵和刚度矩阵 将结构体系的动力方程分解为独立的n个单自由度体系
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弹性力
弹性力
mu(t) cu(t) ku(t) p(t)
非线性
线性
fS (u,u )
非线性结构系统
fS ku
加载 卸载 再加载
mu cu fs(u,u )p(t)
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阻尼力
阻尼力
mu(t) cu(t) ku(t) p(t)
有效峰值
《建筑抗震设计规范》时程分析所用地震加速度时程曲线的最大值 (cm/s^2)
地震影响
6度
7度
8度
9度
多遇地震
18
35(55)
70(110)
140
罕遇地震
-
220(310) 400(510)
620
持续时间
一种说法指地震地面加速度值大于某值的时间总和。
一种说法以相对值定义相对持时，即最先与最后一个之间的时段 长度。
阻尼是随着时间将振动减弱或停止的能量扩散
粘滞阻尼
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非衰减自由振动 mu ku 0
t 2, 4, 6 ...
2
Tn
2 n

1 fn
,n
2fn
4
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减幅自由振动
mu cu ku 0
（2）杜哈梅积分
将外荷载视为由时间间隔非常短的冲击荷载组成的， 结构反应为对各冲击荷载反应之和。
二阶线性微分方程
Response to impulse 1 Response to impulse 2
Response to impulse
Total Response
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相对位移与 绝对位移
ut (t) u(t)ug(t)
绝对位移
mut c(u u g )k(u ug )0
相对位移
m(u ug ) cu ku 0
- 惯性力与包含地面运动影响的绝对加速度成比例 - 阻尼力与结构相对地面的相对速度成比例 - 弹性恢复力与结构相对地面的相对位移成比例
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恢复力模型
实验结果
P
曲线型模型
P
0
u
0
u
折线型模型
P
0
u
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恢复力模型
对于钢筋混凝土材料，考虑刚度退化影响的双直线模型是一种 比较常用的模型，其中的Takeda（武田）模型和Clough（克拉 夫）模型是两个比较典型的双直线弹塑性模型。
R R ij i,max j,max
i1 j1
CQC法用于振型密集型结构，如考虑平移—扭转耦连振动的线性结构系统。
平方和开方法（SRSS法）
在CQC法中，自振频率相隔越远，值越小，当近似为零时
n
Rmax
R2 i,max
i 1
SRSS法用于主要振型的周期均不相近的场合，如串联多自由度体系。
频域分析
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弹塑性分析
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静力弹塑性分析
• 构件非线性特征的定义
试验
动力分析
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静力分析
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静力弹塑性分析
•有关构件非线性时程特性的建模方法
承受反复荷载作用的构件的理想化的时程特性
Clough（克拉夫）模型
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纤维模型
纤维区 L
混凝土单元 钢材单元
. 考虑轴力变化精确分析 . 受压破坏，受拉裂缝等的分析 . 钢筋约束效果、受拉屈服、受压屈服、屈曲、拉断分析
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反应谱分析
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反应谱
反应谱是单自由度弹性体系在给定的地震作 用下，某个最大反应量（位移、速度、加速 度）与体系自振周期的关系曲线。
单自由度弹性体系 周期T
地震输入
最大值
位移反应
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动力弹塑性分析
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动力弹塑性分析
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桥梁抗震分析结果
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分布铰模型
Rigid Zone
My,i, Mz,i P
Elastic Beam Inelastic Spring
L x
Rigid Zone
My,j, Mz,j P
非弹性铰的变形RX/RY/RZ都是曲率
Rigid Integration Point Zone
Rigid Zone
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不论实际的强震记录还是人工模拟波形，一般持续时间取结构基 本周期的5～10倍。
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选取地震波
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时程分析
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时程分析
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频域分析
反应时程特性的模型的理想化过程
为便于设计人员在实际工程中的应用，ATC-40、FEMA-273 中为设计人员提供了各种材料的理想化模型
Q QCE
1.0
b a
B
C
Q QCE
1.0
b a
B
C
A
D
Ec
θ or Δ
钢筋混凝土构件的时程模型 (ATC-40)
A
D
Ec
θ or Δ
钢结构的时程模型 (FEMA-273)
塑性铰
PM铰：考虑轴力对铰的弯曲屈服强度的影响，但对于两个方向弯矩 间的相互作用是不考虑的。PM铰只能考虑初始轴力P（初始重力荷载 或用户输入的初始轴力）。
2nd Yield Surface
P
P
1st Yield Surface
S S
P S
MC MY
M
MC MY
M
MC MY
M
(a)
(b)
(c)
PMM铰：反映轴力和两个方向上弯矩的相互作用，P值是可变的，即 可以考虑变化的轴力对屈服面的影响。
建筑抗震设计规范（GB 50011-2001）中给出水平地震
影响系数 谱

k

ug
max
ug
u max
g
ug max
公路桥梁抗震设计细则（JTG-2008）中给出的设计加速
度反应谱
S CiCsCd A
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设计加速度反应谱