浅议一元二次同余方程
新教材苏教版数学必修第一册3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 教学课件
()
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2(x1<x2),则一元二次不等式
ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2}.
()
提示:(1)×.当m=0时是一元一次不等式;当m≠0时,它是一元二次不等式.
(2) ×.因为a>0,所以不等式ax2+1>0恒成立,即原不等式的解集为R.
1 2
,x2=1,所以根据函数y=(2x
+1)(x-1)的图象,可得原不等式的解集为 {x|x＜ 1 或x＞1} .
2
3.不等式-3x2+5x-4>0的解集为________. 【解析】原不等式变形为3x2-5x+4<0. 因为Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0,所以由函数y=3x2-5x+4的图象可知,3x2-5x+4<0 的解集为 . 答案:
B.1个
C.2个
D.无法确定
【解析】选B.因为b2-4ac=0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,
所以二次函数y=ax2+bx+c有一个零点.
2.(教材二次开发:习题改编)二次函数y=(2x+1)(x-5)的零点为 ( )
A. 1 ,-5
2
B.- 1 ,5
2
C.2,- 1
5
D.-2, 1
【思考】
(1)有人说:当Δ>0时表中的x1,x2有三重身份,你能说出是哪三重身份吗? 提示:x1,x2既是二次函数图象与x轴交点的横坐标(即二次函数的零点),又是一元 二次方程的两个解,还是一元二次不等式解集的区间端点.
一元同余方程的定义
即 ≡ 4( 12).
12
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课堂练习
计算: 求解同余方程7 ≡ 4 ( 12).
解: 因为(7, 12) = 1, 所以7 ≡ 4 ( 12)有唯一解.
为求此解, 我们只需求得不定方程7 − 12 = 4的一个特解.
由辗转相除法知:
12 = 7 × 1 + 5, 7 = 5 × 1 + 2, 5 = 2 × 2 + 1
为了求得9 ≡ 12 ( 15)的一个特解,
考虑不定方程9 − 15 = 12, 其等价为3 − 5 = 4.
通过观察知: 0 = 3, 0 = 1为一个特解.
从而, 由定理2.4.2知, 9 ≡ 12 ( 15)的全部解为:
≡ 3 ( 15)
≡ 3 + 5 ≡ 8 ( 15)
10
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一次同余方程的公式解
实际上, 定理2.4.1和定理2.4.2分别对应于一元一次同余方
程 ≡ ( )的两种情形: (, ) = 1和(, ) > 1.
这里, 定理2.4.1可以看作定理2.4.2的基础, 而定理2.4.2则
是针对更一般的同余方程.
此外, 对于多元一次同余方程
设为 ≡ 0 ( /).
易见 ≡ 0 ( )是原方程的解, 这是因为(/)|(0 − )/.
故该同余方程有解当且仅当|.
8
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一元一次同余方程的公式解
证明: 如果原同余方程有解0, 则由前面的结论知|,
因此新同余方程才有意义.
该定理的证明过程给出了一种求
即 ≡ 29 ( 80).
6
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一元一次同余方程的公式解
例2.4.1
第5节 从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
15
基础知识诊断
@《创新设计》 考点聚焦突破
(2)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). 解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时,原不等式化为x＋1≤0,解得x≤－1. ②当 a＞0 时，原不等式化为x－2a(x＋1)≥0， 解得 x≥2a或 x≤－1. ③当 a＜0 时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0. 当2a＞－1，即 a＜－2 时，解得－1≤x≤2a；
3
基础知识诊断
@《创新设计》
Δ＜0
没有实数根 __R__ __∅__
考点聚焦突破
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
(x－a)·(x－b)>0 (x－a)·(x－b)<0
解集
a<b
a＝b
a>b
{_x_|_x_<_a_或__x_>_b_} __{_x_|x_≠__a_}__ _{_x_|x_<_b_或__x_>_a_}_
答案 B
10
基础知识诊断
考点聚焦突破
3.(老教材必修5P79A4改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________. 解析 由题意,得3x2－2x－2>0, 令 3x2－2x－2＝0，得 x1＝1－3 7，x2＝1＋3 7， ∴3x2－2x－2>0的解集为
－∞，1－3 7∪1＋3 7，＋∞. 答案 －∞，1－3 7∪1＋3 7，＋∞
6
基础知识诊断
考点聚焦突破
@《创新设计》
3.不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 对任意实数 x 恒成立⇔a＝b＝0，或a>0，
二次同余方程组
二次同余方程组二次同余方程组1. 定义二次同余方程组是指由多个模意义下的二次同余方程组成的方程组。
2. 解法（1）中国剩余定理中国剩余定理可以处理模数两两互质的同余方程组。
对于模数不互质的情况，需要将方程组分解为多个模数互质的方程组，然后分别使用中国剩余定理求解，最后合并解得到原方程组的解。
（2）特殊方法对于形如x^2 ≡ a (mod m)的方程，可以通过以下步骤求出解：（i）通过求解x ≡ ±b (mod m)的线性同余方程求出一组特殊解b。
（ii）求出x ≡ ±(m-b) (mod m)为通解。
3. 示例解二次同余方程组：x^2 ≡ 2 (mod 5),x^2 ≡ 2 (mod 7).①分别解出x^2 ≡ 2 (mod 5)和x^2 ≡ 2 (mod 7)的解：对于x^2 ≡ 2 (mod 5)，有x ≡ ±2 (mod 5)。
对于x^2 ≡ 2 (mod 7)，有x ≡ ±3 (mod 7)。
②构造中国剩余定理：设x ≡ a (mod 5)，x ≡ b (mod 7)，其中a和b是上一步中求出的解。
根据中国剩余定理，存在解x ≡ (7a×3+5b×2) (mod 35)。
则x ≡ 41 (mod 35)为原方程组的解。
③验证：x ≡ 41 (mod 35)满足x^2 ≡ 2 (mod 5)和x^2 ≡ 2 (mod 7)。
因为41 ≡ 1 (mod 5)，所以41^2 ≡ 1^2 ≡ 1 (mod 5)。
因为41 ≡ 6 (mod 7)，所以41^2 ≡ 6^2 ≡ 1 (mod 7)。
故x ≡ 41 (mod 35)是原方程组的解。
4. 总结二次同余方程组是数学中常见的问题，求解时可以使用中国剩余定理、特殊方法等多种方法。
在使用中国剩余定理时，需要注意将方程组分解为多个模数互质的部分，然后求解得到每个部分的解，并最终合并得到原方程组的解。
第4讲二次同余与平方剩余
227
227
5−1 227 −1 ⋅ 227 2 ( )(−1) 2 5
2 = ( ) = (−1) = −1 。 东北大学数学系 5
52 −1 8
朱和贵
4.4二次互反律的证明
定理4 (二次互反律) 设p与q是不相同的两个素数，则
⎛ p⎞ ⎛ q⎞ ( p −1) / 2⋅( q −1) / 2 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ( −1) ⎝ q ⎠ ⎝ p⎠
东北大学数学系
朱和贵
4.1 一般二次同余式
定义１ 给定整数m，对于任意的整数a，(a，m) = 1，若方程x2 ≡ a (mod m)有解，则称a是模m的二 次剩余；否则，称a是模m的二次非剩余. 例1验证1是模4的平方剩余,-1是是模4的非平方剩余 例 2 1,2,4 是模7的平方剩余,-1,3,5是模7的非平方 剩余 解 因为,12≡1, 22≡4, 32≡2, 42≡2， 52≡4 ， 62≡1 （mod7），
证明: 定理4也是要证明
⎛ p ⎞⎛ q ⎞ ( p −1) / 2⋅( q −1) / 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ( −1) ⎝ q ⎠⎝ p ⎠
东北大学数学系
朱和贵
4.4二次互反律的证明
因为
∑[ ] q ( ) = (−1) i=1 p
qi p
p −1) / 2
( q −1) / 2
( p ) = (−1)
⎜ ⎟ = (− 1) ⎜ p⎟ ⎝ ⎠
证明: r1, r2, …, rk表示a,2a,…,,(p-1)/2a的模p最小剩余 小于或等于(p-1)/2的数, 而s1, s2, …, sm表示它们中 大于(p-1)/2的数, 显然k+m=(p-1)/2, 且:
一元二次同余式解法举例
Ｙ＝－ ＋３ （ 为整数） １ ｔ ｔ ，可得解为 ： ＝３ ｙ＝３ １ ｔ三－ （ ｏ ９ ． （ ＋３ － ） ３ｍ ｄ ）
由孙子定理得 三９ ｌ Ｃ ＋４ ７ Ｃ （ ｄ ６ ． × × １ × × ２ｍｏ ３ ）
这里 Ｃ Ｃ １， 分别为 ：０ ３ ，一 代人上式得 ： ，一 ；２ ３
给出两种解法 ：第一 ，先把 （）化成二项 的二次 同余式 ，然后再把它根据它的模 ｍ或 ４ １ ｍ或 ａ ｍ或
４ｍ的质因数 ，拆成若干个与它等价的以质数幂模 的二项二次同余式ｍ ａ ；第二 ，先 由模的质 因数把 （ １ ）拆
成若干个 以质数幂模的三项二次同余式 ， 然后再分别化成若干个二项的二次 同余式求解［ ２ １ ．举例加 以说明 ． 例 １ 解同余式 ３ ＋ Ｏ ＋ ２ （ ｄ ６． ｌｘ １ 三０ ｍｏ ３）
【 作者简介】 张世 红 （９８ ，女 ，山东莒县人 ，齐齐哈 尔高等师范专科 学校副教授 ，从事基础数 学研 究。 １６ －）
・
３ ・ ０
Ｙ三２ 一 ７ ｌ２兰２ — 三２ （ ｄ ０ ） １ ７ ４ ３ｍｏ １ ８ ，
Ｙ三２ ＋ ７ Ｉ２兰２ － １ ７Ｉ － ４三３（ ｄ ０ ） Ｉ ｍｏ ｌ８ ．
Ｉ ＋ｌ ｘＩ ２ ｘ ３ Ｏ －１ 兰３ ＋２ － ｘ兰Ｏｍｏ ４ ， （ ｄ）
Ｉ ＋ｌ ｘ ２ ｘ ＋３ （ ｄ ） ３ Ｏ ＋１ 兰３ ＋ 三Ｏｍｏ ９ ．
第一个 同余式 ， 不能为奇数 ，所 以解为 ｘ－ （ ｏ ４ ， Ｏｍ ｄ ） 第二个 同余式中 ， 必为 ３的倍数 ，可设 ＝ ｙ， 而解得 ２ｙ ＋ ｙ＋ ；３ ＋ ；Ｏｍ ｄ ） ３ 从 ７ ３ ３ ｙ ３ （ ｏ ９． 即Ｙ－ｌ （ ｄ ） Ｉ 三Ｏｍｏ ３ ，那么 Ｙ三一 （ ｄ ） － ｌ ｍｏ ３ ．
同余方程的解法
同余方程的解法
同余方程是一个古老的数学问题，即求解这样一个数学性质：给定两个正整数a和m，存在一个整数x，满足x除以m余a，即x=am+a。
这样的整数x叫做同余数，以am+a形式表示的方程叫作同余方程。
例如：求解x除以7余3，即求解7x＝3(mod 7)，则x=7*1+3=10。
二、如何求解同余方程
1、约分同余方程，当m和a互质时，则有x=a*(m^(-1))+a，m^(-1)叫做逆元，记作m^(-1)=y，则x=ay+a。
2、用乘法逆元的原理求解逆元：已知a、m互质，m,y非零且ay ≡1（mod m），则y就是m的乘法逆元。
3、用欧几里得最大公约数求解逆元：已知a、m互质，则用欧几里得最大公约数求解ay+b=1，则y即可作为m的乘法逆元。
4、用因子分解求解：将m分解质因子，将a分解质因子。
然后
将m分解得到质因子，使和a的质因子相乘，计算出ay+b，即可将y 作为m的乘法逆元。
三、应用
同余方程的解法所解决的问题在实际生活中具有重要的应用。
例如，密码学领域，大多数采用RSA加密方案，该方案中，m、a、y这三个值都需要用到同余方程的解法，来保证运算的安全性。
此外，同余方程的解法也可以用于求解模等式组（即统计意义上的等式组），
并广泛应用于偏微分方程、几何有理函数及局部多多边形等数学领域。
四、结论
从上文可以看出，同余方程的解法仍然具有很强的实用性，能够解决数学和工程领域中的许多问题，且解决的结果均有可靠的理论支撑。
同余方程的解法具有重要的应用价值，并且具有广泛的应用前景，值得深入研究。
一元二次方程中蕴含的几种思想方法
一元二次方程中蕴含的几种思想方法一、降次法降次法是把高次方程转化为低次方程的基本方法，解一元二次方程的方法实际上就是把一元二次方程降次为一元一次方程来解.例1 一元二次方程230x x的根是（）Ａ．3x Ｂ．1203x x ，Ｃ．1203x x ，Ｄ．1203x x ，分析：把原方程化为x （x-3）=0的形式，就可降次为一元一次方程x=0或x-3=0,问题迎刃而解. 答案为Ｄ.二、配方法配方法是本章的一个难点，配方的目的是使方程的一边变成完全平方式，其根据是乘法公式a 2±2ab+ b 2=(a ±b)2.其步骤是：1.二次项系数化为1，并把常数移到方程的右边；2.在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程的左边能配成一个完全平方式；3.当方程右边的常数为非负数时，方程有解，这时用直接开平方法求解；当方程右边的常数为负数时，方程无解。
例2 用配方法解方程：2210xx ．解：两边都除以2，得211022xx（二次项系数化为1）移项，得21122xx（把常数移到方程的右边）配方，得221192416xx（在方程的两边都加上一次项系数一半的平方）即219416x1344x或1344x（直接开平方法）11x ，212x ．三、换元法换元法的基本思路是通过设辅助未知数，使复杂的问题转化为简单的、已知的问题.如解可化为一元二次方程的分式方程.例3 用换元法解方程1)2()2(2＝＋－＋xx xx ，设xx y 2＋＝，则原方程可化为（）．A ．012＝－－y y B ．012＝＋＋y y C ．012＝－＋y y D ．012＝＋－y y 分析：若把原方程展开再解，项数增加、次数增高，解答起来会很复杂，设xx y 2＋＝，通过换元将原方程化为整式方程012＝－－y y 再解，方便多了. 故选 A.四、转化思想解方程的过程就是不断的通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程.在本章，转化无处不在，一元二次方程转化为一元一次方程来解；特殊转化为一般，一般转化为特殊，例如通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解字母系数的一般形式的一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0的方法，进而得出一元二次方程的求根公式；将分式方程转化为整式方程；把实际问题转化为一元二次方程问题，等等.例4 经计算整式1x 与4x的积为234x x．则一元二次方程2340xx 的所有根是（）Ａ．11x ，24x Ｂ．11x ，24x Ｃ．11x ，24x Ｄ．11x ，24x 分析：通过已知可把2340x x 转化为（1x）（4x）=0，从而有1x=0或4x=0 ，解得11x ，24x ，故选Ｂ.五、类比思想要注意新旧知识的联系，把新旧知识进行类比，如用直接开平方法解一元二次方程时，可类比平方根的概念和意义；解可化为一元二次方程的分式方程时，可类比解可化为一元一次方程的分式方程的方法和步骤等.例5 先阅读，再填空解题：（1）方程2120xx的根是13x ，24x ，则121x x ，1212x x ；（2）方程22730x x 的根是112x ，23x ，则1272x x ，1232x x ；（3）方程2310x x 的根是1x ，2x ．则12x x ，12x x ；根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程2m x nx p （0m，且m n p，，为常数）的两个实数根是12x x ，，那么12x x ，12x x 与系数m n p，，有什么关系？请写出你的猜想并说明理由．分析：由求根公式可得12353522x x ，，计算就有121231x x x x ，．由数到式，类比猜想可得：1212n p x x x x mm，．理由如下：一元二次方程20m x nx p（0m，且m n p ，，为常数）的两实数根是22124422nnm pn n m px x m m ，．22124422nnm p nnm px x m m，22n n mm ．22124422nn m p n n m px x mm，2222()(4)4n n m p m222(4)4nnmp p mm．。
专题09一元二次函数的三种表示方式（解析版）
专题09一元二次函数的三种表示方式（解析版）专题09 一元二次函数的三种表示方式一、知识点精讲通过上一小节的学习，我们知道，一元二次函数可以表示成以下三种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac 存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．二、典例精析【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求该一元二次函数的解析式．【答案】见解析【分析】：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(1)2(0)y a x a =-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(31)2a -=-+，解得a ＝－34．∴二次函数的解析式为23(1)24y x =--+，即y ＝－34x 2＋32x+54．【说明】：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．【典例2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．【解析一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，展开得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为 2212444a a a a--=-，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝12±．所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+．【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．【解析二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12．所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2．【说明】：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．【典例3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【解析】设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+??-=??=++?解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．【说明】通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？三、对点精练1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无法确定【答案】A【解析】214(1)(1)30=-?-?-=-<，∴函数y ＝－x2＋x －1图象与x 轴的交点个数是0个。
同余方程的解法
本科毕业论文题目：同余方程的解法学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级:指导教师：二〇一年四月摘要：本文论述了同余方程的基本概念及同余方程的一些基本性质与解法，主要对一次同余方程的解法进行了探讨，特别是对一次同余方程的欧拉定理算法，欧几里德算法等七种解法进行了比较与分析，并介绍了同余方程组、孙子定理、素数模的同余方程，模p 的同余方程的解法。
关键词：同余同余方程孙子定理Abstract：This paper mainly discusses the basic concepts of congruence equations and congruence equation some of the basic nature of solution,and highlights the Remainder Theorem,solution of the congruence equation,mod p congruence equation solution,congruence equation of primes mode solution,etc.Key words:Congruence Congruence equation Remainder Theorem目录引言 (1)1.同余与同余方程的基本性质 (2)1.1 同余的概念与基本性质 (2)1.2同余方程的概念与性质 (3)2.一次同余方程的解法 (4)2.1 ()a=的情况 (4), m 12.2 ()=≠的情况 (7),1a m d3.同余方程组的解法 (8)3.1简单同余方程组的解法 (8)3.2 孙子定理 (9)4.高次同余方程的的解法 (11)4.1素数模的同余方程 (11)4.2模pα的同余方程 (12)总结： (17)参考文献 (18)致谢： (19)引言对于同余方程的解法国内外的数学家们均对其做出了非常全面与细致的研究。
「noip2024」同余方程
「noip2024」同余方程同余方程是一个重要的数论概念，它描述了两个整数在除以一个正整数时的余数相等。
同余方程在密码学、模运算和数论中都有广泛的应用。
本文将讨论同余方程的定义、性质、求解方法以及一些实际应用。
一、同余方程的定义和性质：同余方程是指形式为a ≡ b (mod m)的等式，表示a和b在除以m时的余数相等。
其中，a、b是任意整数，m是一个正整数。
同余方程具有以下性质：1. 反射性：a ≡ a (mod m)，整数a与自身在模m下同余。
2. 对称性：若a ≡ b (mod m)，则b ≡ a (mod m)，如果a与b在模m下同余，那么b与a也在模m下同余。
3. 传递性：若a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则a ≡ c (mod m)，如果a与b在模m下同余，b与c在模m下同余，那么a与c也在模m下同余。
4. 同余方程的加法性质：若a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则a + c ≡b + d (mod m)，如果a与b在模m下同余，c与d在模m下同余，那么a加上c与b加上d在模m下同余。
5. 同余方程的乘法性质：若a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则a * c ≡b * d (mod m)，如果a与b在模m下同余，c与d在模m下同余，那么a乘以c与b乘以d在模m下同余。
二、同余方程的求解方法：1. 穷举法：对于较小的m和已知的a和b，可以通过穷举法查找满足a ≡ b (mod m)的整数x。
从0开始，逐一尝试，直到找到满足条件的x。
2. 同余定理法：同余定理是同余方程的一个重要性质。
如果a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)和a * c ≡ b* d (mod m)。
利用同余定理，我们可以将同余方程化简为更简单的形式。
举例说明：假设我们要求解方程2x ≡ 3 (mod 5)，我们可以通过同余定理来不断化简。
一次同余方程的解法及应用
⼀次同余⽅程的解法及应⽤2019-07-04初等数论是数学基础理论的⼀个分⽀，它主要研究的是整数的性质和⽅程的整数解。
由于初等数论中的问题简明易懂，所以近代数学中许多重要的思想、⽅法和技巧都是从对整数性质的深⼊研究⽽丰富并发展起来的。
在⽇常⽣活中，我们所要注意的常常不是某些整数，⽽是这些数⽤某⼀固定的数去除所得的余数。
例如我们问现在⼏点钟，就是⽤24去除某⼀个总的时数所得的余数,同是⼏点钟或同为星期⼏。
常常在⽣活中有同样的意义，这样，就在数学中产⽣了同余的概念。
这个概念的产⽣可以说⼤⼤丰富了数学的内容。
在代数⾥⾯⼀个主要的问题就是解代数⽅程，⽽同余⽅程是同余理论的核⼼内容。
在这⾥我们所要研究的就是关于同余⽅程的⼀些基本知识、概念、术语等，以及对于⼀次同余⽅程，⼀次同余⽅程组等等的求解问题。
⼀、同余⽅程设整系数多项式f（x）=anxn+…+a1x+a0（1）我们可讨论是否有整数值x满⾜同余式f（x）0（mod m）（2）我们要求解的这个同余式（2）称为是模的同余⽅程。
若整数c满⾜f（c）0（mod m），则称c是同余⽅程（2）的解，我们把这个解记为xc（mod m）。
这实际上是把同余类cmodm看作是满⾜同余⽅程（2）的⼀个解。
当c1、c2均为同余⽅程（2）的解，且对模不同余时，才把它们看作是不同解，我们把所有对模m两两不同余的（2）的解的个数（即满⾜“2”的模m的同余类的个数）称为是同余⽅程（2）的解数。
因此，我们只要在模m的⼀组完全剩余系中来解模m的同余⽅程。
显然，模m的同余⽅程的解数⾄多为。
例1: 求同余⽅程4x2+27x-120（mod 15）的解。
解：取模15的绝对最⼩完全剩余系：-7，-6，…，-1，0，1，2，…，7。
直接计算知x=-6，3是解。
所以，这个同余⽅程的解是x-6，3（mod 15）。
例2: 求同余⽅程4x2+27x-90（mod 15）。
直接计算知这个⽅程⽆解。
当f（x）的系数都是模m的倍数时，显见，任意的整数值x都是同余⽅程（2）的解，这样的同余⽅程（2）的解数为m，但并不是同余⽅程（2）的解数为m的必要条件，这可由下⾯的例⼦看出。
初等数论_第五章__同余方程
初等数论_第五章__同余方程第五章同余方程本章主要介绍同余方程的基础知识，并介绍几类特殊的同余方程的解法。
第一节同余方程的基本概念本节要介绍同余方程的基本概念及一次同余方程。
在本章中，总假定m是正整数。
定义1设f(x) = a n x n+ +a1x+a0是整系数多项式，称f(x) ≡ 0 (mod m) (1) 是关于未知数x的模m的同余方程，简称为模m的同余方程。
若a n≡/0 (mod m)，则称为n次同余方程。
定义2设x0是整数，当x = x0时式(1)成立，则称x0是同余方程(1)的解。
凡对于模m同余的解，被视为同一个解。
同余方程(1)的解数是指它的关于模m互不同余的所有解的个数，也即在模m的一个完全剩余系中的解的个数。
由定义2，同余方程(1)的解数不超过m。
定理1下面的结论成立：(ⅰ) 设b(x)是整系数多项式，则同余方程(1)与f(x) +b(x) ≡b(x) (mod m)等价；(ⅱ) 设b是整数，(b, m) = 1，则同余方程(1)与bf(x) ≡ 0 (mod m)等价；(ⅲ) 设m是素数，f(x) = g(x)h(x)，g(x)与h(x)都是整系数多项式，又设x0是同余方程(1)的解，则x0必是同余方程g(x) ≡ 0 (mod m) 或h(x) ≡ 0 (mod m)107108 的解。
证明留做习题。
下面，我们来研究一次同余方程的解。
定理2 设a ，b 是整数，a ≡/0 (mod m )。
则同余方程ax ≡ b (mod m ) (2)有解的充要条件是(a , m )∣b 。
若有解，则恰有d = (a , m )个解。
证明显然，同余方程(2)等价于不定方程ax + my = b ， (3)因此，第一个结论可由第四章第一节定理1得出。
若同余方程(2)有解x 0，则存在y 0，使得x 0与y 0是方程(3)的解，此时，方程(3)的全部解是-=+=t m a a y y t m a m x x ),(),(00，t ∈Z 。
浅谈二次剩余——求解二次同余方程
浅谈⼆次剩余——求解⼆次同余⽅程1.⼆次同余式⼆次同余式是关于未知数的⼆次多项式的同余⽅程。
即：是⼀个⼆次同余⽅程。
此外，称为最简⼆次同余式，或称最简⼆次同余⽅程。
⼀般的，通过配⽅，可以把⼀个⼀般的⼆次同余⽅程转化为⼀个最简⼆次同余式接下来只需要讨论最简⼆次同余式。
2⼆次剩余2.1 前置概念、定理即证明：若⽆特殊说明，下⾯的模运算都是在模p的意义下1.有正整数n，奇质数p，且p∤n，若存在⼀个正整数x，使得x2≡n(mod则称n为p的⼆次剩余。
2.勒让德符号\begin{pmatrix}\dfrac{n}{p}\end{pmatrix}，若n为p的⼆次剩余，则该值为1，若不是则该值为-1，若p\mid n，则该值为0定理1：\begin{pmatrix}\dfrac{n}{p}\end{pmatrix}\equiv n^{\frac{p-1}{2}}证明：1.若p能整除n，那右边明显模p与0同余，故成⽴。
2.若n是p的⼆次剩余，则根据费马⼩定理(n^{p-1}\equiv1(\bmod p)其中，p为质数)，有n^{\frac{p-1}{2}} = {\sqrt{n}^{p-1}}\equiv 1，故成⽴3.若n不是p的⼆次剩余，则根据扩展欧⼏⾥得算法，对于i\in[1,p-1]都有唯⼀的j\in[1,p-1],i\neq j且ij\equiv n这样的数⼀共有\frac{p-1}{2}个，因此\frac{p-1} {2}\equiv (p-1)!根据威尔逊定理)(：当且仅当p为素数时有：( p -1 )! \equiv -1 ( \bmod p ))，就有\frac{p-1}{2}\equiv -1证毕威尔逊定理证明：我们知道1\times1\equiv 1(mod p),( − 1 ) \times ( − 1 )\equiv (mod p)，且仅有这两组的逆元与本⾝相等。
如果x^2\equiv 1(\bmod p)那么通过移项再因式分解可以得到x=-1或x=1，除了1，-1这两个数之外，2⾄p-2中的每⼀个数都⼀定有⼀个对应的逆元（注明：-1\equiv p-1(\bmod p)）且⼀定与⾃⼰不相等，且每⼀个数与他的逆元⼀⼀对应。
数论中的同余方程
数论是数学中的一个分支，研究的是整数及其性质。
同余方程是数论中的一个重要概念和研究对象。
同余方程是一个关于整数的等价关系，通过同余方程我们可以更好地理解整数的性质和特点。
同余方程的定义非常简单，如果两个整数a和b除以一个正整数m所得的余数相等，即a mod m = b mod m，我们就说a和b对于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
换句话说，如果a和b除以m所得的余数相等，即它们与m的除法不同余，我们就说它们对于模m同余。
通过同余方程，我们可以获得一些有意义的结论和性质。
比如，如果a ≡ b (mod m)，那么a和b对于模m的各种运算都是等价的。
例如，如果a ≡ b (mod m)和c ≡ d (mod m)，那么a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)，ac ≡ bd (mod m)等等。
这为我们在数论中的一些运算提供了便利，可以通过计算模m的余数来简化运算过程。
同余方程不仅可以用来研究整数的运算性质，还可以在密码学中发挥重要作用。
比如，著名的RSA加密算法就是基于同余方程的。
RSA加密算法使用两个不同的素数p和q作为加密密钥的一部分，通过这两个素数的乘积生成的同余方程来加密和解密信息。
由于质因子分解是一个非常耗时的过程，对于大的质数p和q，求解这个同余方程时需要耗费大量的计算时间，从而保证了RSA加密算法的安全性。
此外，同余方程还可以用来求解一些实际问题。
比如，我们可以通过同余方程来求解一些数学问题中的未知数。
例如，假设我们有一组同余方程x≡ x_1 (mod x_1)，x≡ x_2 (mod x_2)，… x≡ x_x (mod x_x)，其中b1，b2，…，bn和m1，m2，…，mn都是给定的整数。
如果这组同余方程满足一定的条件，我们可以通过一定的方法求解出x的值。
这个过程叫做求解同余方程组，是数论中的一个重要问题。
总之，同余方程是数论中的一个重要概念，通过对整数的模m余数的等价关系进行研究，我们可以得到一些有意义和有用的结果。
数论算法教案 5章(二次同余方程与平方剩余)
第5章 二次同余方程与平方剩余内容 1. 二次同余方程，平方剩余 2. 模为奇素数的平方剩余3. 勒让德符号、雅可比符号4. 二次同余方程的求解要点二次同余方程有解的判断与求解 5.1 一般二次同余方程（一） 二次同余方程2ax ＋bx ＋c ≡0（mod m ），（a 0（mod m ）） （1）（二） 化简设m ＝k kp p p ααα 2121，则方程（1）等价于同余方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡++≡++≡++）（）（）（k k p c bx ax p c bx ax p c bx ax αααmod 0mod 0mod 02221221⇒ 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod αp ）， （pa ） （2）（三） 化为标准形式p ≠2，方程（2）两边同乘以4a ， 422x a ＋4abx ＋4ac ≡0（mod αp ）()22b ax +≡2b －4ac （modαp ）变量代换， y ＝2ax ＋b （3）有2y ≡2b －4ac （mod αp ） （4）当p 为奇素数时，方程（4）与（2）等价。
即● 两者同时有解或无解；有解时，对（4）的每个解()p y y mod 0≡，通过式（3）（x 的一次同余方程，且（p , 2a ）＝1，所以解数为1）给出（2）的一个解()p x x mod 0≡，由（4）的不同的解给出（2）的不同的解；反之亦然。
● 两者解数相同。
结论：只须讨论方程 2x ≡a （mod αp ） （5）【例5.1.1】化简方程7x 2＋5x －2≡0（mod 9）为标准形式。
（解）方程两边同乘以4a ＝4×7＝28，得196x 2＋140x －56≡0（mod 9）配方 (14x ＋5) 2－25－56≡0（mod 9）移项 (14x ＋5) 2≡81（mod 9）变量代换 y ＝14x ＋5得 y 2≡0（mod 9）（解之得y ＝0, ±3，从而原方程的解为x ≡114-(y －5)≡15- (y －5)≡2(y －5)≡2y －10≡2y －1≡－7, －1, 5≡－4, －1, 2（mod 9））（四） 平方剩余【定义5.1.1】设m 是正整数，a 是整数，m a 。
浅谈一元二次方程的应用
浅谈一元二次方程的应用姓名：宋永安年级：2011 级专业：数学应用指导教师：王元会浅谈一元二次方程的应用(宋永安，2011级，数学应用本科)文章摘要：一元二次方程在初中教学内容中，站着举足轻重的地位，学好一元二次方程，是学好二次函数不可或缺的捷径，也是学好高中数学的奠基工程。
因此，本文将从函数入手，着重探讨一下一元二次方程的概念、形式、解法以及应用，以求对于一元二次方程有个深入的解析。
关键词：函数一元二次方程应用一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》和分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。
学好一元二次方程，是学好二次函数不可或缺的捷径，也是学好高中数学的奠基工程。
应该说，一元二次方程是初中教学的重点内容。
一、函数1、函数的概念函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
1755欧拉首次给出了函数变量定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面的变量变化时，前者的这些量也随之变化，则将前面的变量称之为后一些变量的函数.由此演变为目前的函数的“变量说”，黎曼在1851定义：“我们假定z是一个变量，如果对它的每一个值，都有未知量W的每一个值与之对应，则称W 是Z 的函数.1939年，布尔巴基学派主借用了笛卡儿积建立关系，进而定义函数：(1)对A 中每一个元素x ，存在y B ∈，使(),x y F ∈；(2)若()1,x y F ∈且()2,x y F ∈，则12y y =.数F 记作：:F A B →. 分别称以上函数的定义为变量说、对应说和关系说. 2、函数概念的核心思想数学的核心是研究关系，即数量关系、图形关系和随机关系.数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系.中有三点是重要的，一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号表示函数.函数的表达方式一般有三种：解析式法，表格法，图像法.解析式是最常用的方法，适用于表示连续函数或者分段函数.析式有利于研究函数性质，构建数学模型，但对初学者来说也是抽象的.表法适用于表达变量取值是离散的情况.用图像法可以直观地表述函数的形态，有利于分析函数的性质，但作图是比较困难的，用何种方法来表达函数因题而异. 3、中学数学研究的函数性质数学中研究函数主要是研究函数的变化特征.学阶段主要研究函数的周期性，也涉及奇偶性；在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性，也讨论某些函数的奇偶性.(1)函数的周期性周期性反映了函数变化周而复始的规律.中学阶段学习函数的一个基本的性质.期函数是刻画周期变化的基本函数模型，使我们集中研究函数在一个周期里的变化，了解函数在整个定义域内的变化情况.(2)函数的奇偶性函数的奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质，但它不是最基本的性质.偶性反应了函数图形的对称性质，可以帮助我们用对称思想来研究函数的变化规律.(3)函数的单调性单调性是讨论函数“变化”的一个最基本的性质.几何的角度看，就是研究函数图像走势的变化规律.4、函数与其它内容的联系(1)函数与方程用函数的观点看待方程可以把方程的根看成函数与x轴交点的横坐标，即零点的横坐标.程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了求函数图形与x轴的交点问题.(2)函数与数列数列是特殊的函数.的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集.列通常称为离散函数.差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化.(3)函数与不等式我们首先确定函数图像与x轴的交点（方程f(x)=0的解），再根据函数的图像来求解不等式.(4)函数与线性规划是最优化问题的一部分，从函数的观点来看：首先，要确定目标函数，用目标函数来刻画“好、坏”或“大、小”等.次，需要确定目标函数的可行域.后，讨论目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题.线性规划问题，可归结为以下算法：第一步，确定目标函数；第二步，确定目标函数的可行域；第三步，确定目标函数在可行域内的最值.5、函数模型函数是对现实世界数量关系的抽象，是建立思想模型的基础，具有良好的普适性和代表意义.实生活中，普遍存在着最优化问题——最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数建模的思想进行解决.运用一次函数知识和方法建模解决时，有时要涉及到多种方案，通过比较，从中挑选出最佳的方案.在实际的教学中，除了使学生了解所学习的函数在现实生活中有丰富的“原型”之外，还应通过实例介绍或让学生通过运算来体验函数模型的多样性.有通过实例，才能让学生体会、感受数据拟合在预测、规划等方面的重要作用，使学生们学会并运用用数学的知识、思想方法、数学模型去解决生活中的实际问题，提高运用数学的能力．要鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例进行探索实践.下面我们通过常见的函数模型——一元二次方程，来揭开函数与方程这种数学思想的神秘面纱.二、 一元二次方程1、一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程. 2、一元二次方程的一般式()2y 0,,0ax bx c a b c a =++=≠其中为常数，且，则称y 为x 的二次函数.顶点坐标为(2b a -,244ac b a-).经过适当变形，继而我们可以得到：(1)顶点式：2()y a x h k =-+(,,0a h k a ≠为常数，且).(2)交点式(x 轴)：12()()y a x x x x =--.(3)两根式：12()()y a x x x x =--，其中1x ,2x 是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的两个根. 注意：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式2()y a x h k =-+，抛物线的顶点坐标是(,)h k ，h ＝0时，抛物线2y ax k =+的顶点在y 轴上；当k ＝0时，抛物线2()y a x h =-的顶点在x 轴上；当h ，k ＝0时，抛物线2y ax =的顶点在原点.(2)当抛物线2y ax bx c =++与x 轴有交点时，即对应二次方程20ax bx c ++=有实数根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解公式2ax bx c ++1()a x x =-2()x x -,二次函数2y ax bx c =++可转化为两根式12()()y a x x x x =--. 3、一元二次方程的解法一元二次方程的求解和应用是初中数学的重点内容，方程思想也是学习数学的一种重要思想.一元二次方程的解法以一元一次方程为基础，解一元二次方程的基本思想就是降次，把二次变为两个一元一次方程再求解.一元二次方程的一般形式为()200ax bx c a ++=≠，特点是只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程.如果不是整式方程，需要先把它整理成整式方程再进行判断.一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.下面我们将举例分析这四种方法的运用： 例1 用直接开方法解下面的一元二次方程. （1）()2319x +=；（2）()()22324x x -=+.分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如()2(0)x m n n -=≥的方程，就可以把方程变为x m -=. 通过观察可以发现（1）、（2）两个小题可以用直接开方法来求解. 解：（1）()2319x +=.直接两边开方，得：3x +1=±3.（注意，不能漏了-3）.由3x +1=3得1x =23，由3x +1=-3得2x =43-， ∴原方程的解为：1x =23，2x =43-.（2）()()22324x x -=+.直接两边开方，得：324x x -=+或()()324x x -=-+. 由324x x -=+得1x =3，由()()324x x -=-+得2x =12-， ∴原方程的解为：1x =3，2x =12-.说明：用直接开方法解一元二次方程，一般不用把方程转化为一般形式，再两边同时开方的时候应注意方程只需在一边取正负号，还应注意不要丢解. 例2 用配方法解下列一元二次方程:22420x x --=.分析：用配方法解方程()200ax bx c a ++=≠，应先将二次项系数化为1，常数a 移到方程右边，再将方程左边配成完全平方的形式.该题可变为221x x -=，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，配方之后，就可以按照直接开方法来解方程了. 解:22420x x --=.二次项系数化为1，移常数项，得：221x x -=. 配方，得：22111x x -+=+，即2(1)2x -=.说明：用配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后变为一边是完全平方的形式就可以用直接开方法进行解题. 例3 用公式法解2347x x +=.分析:公式法就是指利用求根公式2b x a -±=，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，确定a ，b ，c 的值，然后代入到公式中进行计算.或者也可以先计算24b ac -的值，当24b ac -≥0时，把各项系数a ，b ，c 的值代入求根公式即可得到方程的根.先判断解的情况之后，如果Δ<0，那么可以直接省去更多的运算，方程无解. 解：化为一般式：23740x x -+=，求出判别式的值：Δ=24b ac -=1>0，代入求根公式：716x ±=，∴11x =，243x =.说明：公式法是解一元二次方程的通用的方法，如果对其他方法不熟悉的情况下，都可以使用公式法来解一元二次方程，因此，这个公式一定要熟记.用公式法一定要先把方程转化为一般形式，明确公式中字母在题中所表示的量，再代入公式进行计算.注意最后的根如果有根号要化成最简形式. 例4用分解因式法解26150x x +-=.分析:分解因式法就是把方程的一边变为因式相乘的形式，另外一边的值为0，解题的方法就是让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根.一般需要先把它整理成一般形式再进行分解因式.解 左边分解成两个因式的积得：（2x-3）（3x+5）=0. ∴2x–3=0，3x+5=0，∴1x =32，2x =53-.说明：在使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能把方程拆为两个一元一次方程达到降次的目的. 4、一元二次方程解法口诀含有一个未知数，最高指数是二次； 整式方程最常见，一元二次方程式。
一类一元二次同余方程的解
一类一元二次同余方程的解
韩清
【期刊名称】《佛山科学技术学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2000(018)004
【摘要】用初等方法给出了同余方程x2≡ax(modpl)的解的直接公式,并由此得到了相应的解数公式及阶的估计.
【总页数】4页(P1-4)
【作者】韩清
【作者单位】佛山科学技术学院,数学系,广东,佛山,528000
【正文语种】中文
【中图分类】O156
【相关文献】
1.从一元二次方程的解联想到高次方程的解 [J], 王涛
2.一元一次同余方程的解法初探 [J], 沈洁;刘荣英
3.从一组有趣的数字规律到一类同余方程的解 [J], 梅章骏
4.一类偶次幂同余方程的解 [J], 陈心怡;罗家贵
5.运用二次函数求解一元二次方程的解 [J], 叶荣彦
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浅议一元二次同余方程ax2+bx+c≡0（mod m）的公式解法解：（1）为方便讨论需要（实则没有影响，只是为了方便笔算需要），不妨设a,b,c在-[m/2]~[m/2]之间取数，也就是模m后的取数；（2）①如果（a，m）=1即a和m互素，则必存在a的逆运算a-1使得a*a-1≡1（mod m），那么在原来方程两边同时乘以a-1使得二次项系数为1，得到
x2+b*a-1x+c*a-1≡0（mod m）……………………（*）取b*a-1≡B（mod m）,c*a-1≡C（mod m）,所以
原来方程就简化为
x2+Bx+C≡0（mod m）…………………………（*’）讨论：如果B为偶数很好办，对于B为奇数，当m为奇数时也可以通过加减mx得到一次项系数为偶数；而当m为偶数时，则要方程两边再同时乘以4使其可以配方成为完全平方式。
以下通过两种情况进行分析：
（i）当2|B时，不妨设B=2u，则方程（*’）配方得到（x+u）2≡u2-C （mod m）
≡（ba-1/2）2-（ca-1）*a-1a
≡(a-1)2(b2-4ac) /4 (mod m) …………①当存在整数v和n使得
(a-1)2(b2-4ac) /4 ≡v2 (mod m) …………②(a-1)2(b2-4ac) /4 +m*n=v2成立，则原方程有解为 x≡-u±v
≡-（ba-1）±（a-1) √(b2-4ac)/2≡(a-1)*−b±b 2−4ac
2
（mod m）
这个形式和一元二次方程的求根公式很接近，只是这里的a-1（表示的是逆）不同于代数式意义上的倒数a-1。