3.1 函数的单调性与极值 课件4 (北师大选修2-2)
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31函数的单调性与极值课件4北师大选修2-279953
调递增，那么恒有f ’(x)>0吗?
试结合函数 y＝f(x)=-x3进行思考
如果函数y＝f(x)在这个区间内 单调递减，那么恒有f ’(x)<0吗?
理解训练：
学以致用
求函数y 3x2 3x的递增区间与递减区间.
解: y' 6x3
令y ' 0得x 1 , 令y ' 0得x 1
解:函数的定义域是(-1,+∞), f (x) 1 1 x 1 .
2 1 x 2(1 x)
由
f
(
x)
0即
x 2(1
1 x)
0,得x<-1或x>1.
注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f (x)的递增区 间是(1,+∞);
由f (x) 0 解得-1<x<1,故f (x)的递减区间是(-1,1).
于是我们设想一下能否利用 导数来研究单调性呢？
导数是处理函数单调性问题的金钥匙
观察图像1
3y＝f(x)＝-3x+4
y＝f(x) ＝2x+5 2.5 y＝f(x) ＝x
2
函数的导数的正负与函数的递
增或递减有什么关1.5 系呢？
f(x) ＝x, f’(x) ＝1 1
f(x) ＝2x+5, f’ (x) ＝2 0.5
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′(x)<0,得函数单减区间.
课下巩固作业：
P62 习题3-1 A组1(2)(3)(4) 2.
2
抽象概括
一般地，函数 y＝f(x)在某个区间内
1) 如果恒有f′(x)>0，那么y＝f(x)在这 个区间内单调递增；
试结合函数 y＝f(x)=-x3进行思考
如果函数y＝f(x)在这个区间内 单调递减，那么恒有f ’(x)<0吗?
理解训练：
学以致用
求函数y 3x2 3x的递增区间与递减区间.
解: y' 6x3
令y ' 0得x 1 , 令y ' 0得x 1
解:函数的定义域是(-1,+∞), f (x) 1 1 x 1 .
2 1 x 2(1 x)
由
f
(
x)
0即
x 2(1
1 x)
0,得x<-1或x>1.
注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f (x)的递增区 间是(1,+∞);
由f (x) 0 解得-1<x<1,故f (x)的递减区间是(-1,1).
于是我们设想一下能否利用 导数来研究单调性呢？
导数是处理函数单调性问题的金钥匙
观察图像1
3y＝f(x)＝-3x+4
y＝f(x) ＝2x+5 2.5 y＝f(x) ＝x
2
函数的导数的正负与函数的递
增或递减有什么关1.5 系呢？
f(x) ＝x, f’(x) ＝1 1
f(x) ＝2x+5, f’ (x) ＝2 0.5
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′(x)<0,得函数单减区间.
课下巩固作业：
P62 习题3-1 A组1(2)(3)(4) 2.
2
抽象概括
一般地，函数 y＝f(x)在某个区间内
1) 如果恒有f′(x)>0，那么y＝f(x)在这 个区间内单调递增；
北师版数学高二选修2-2课件 函数的极值
(2)函数的单调性与极值 ①如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是 增加 的，在区间(x0，b)上是_减__少__ 的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值. ②如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少 的，在区间(x0，b)上是_增__加__ 的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.
解答
命题角度2 含参数的函数求极值 例2 设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间；
解答
(2)讨论f(x)的极值. 解 由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值. 当a>1时，函数在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.
跟踪训练3 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图像如图所示，且与直线y＝0在 原点处相切，函数的极小值为－4.
(1)求a，b，c的值；
解答
(2)求函数的递减区间.
解 由(1)知，f(x)＝x3－3x2，且f′(x)＝3x(x－2). 由f′(x)<0，得3x(x－2)<0，∴0<x<2， ∴函数f(x)的递减区间是(0，2).
第三章 §1 函数的单调性与极值
1.2 函数的极值
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极 值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 函数的极值点和极值
思考1
观察y＝f(x)的图像，指出其极大值点和极小值点及极值.
本课结束
答案
梳理 求函数极值点的步骤
(1)求出导数 f′(x)； (2)解方程 f′(x)＝0， (3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号 (即f(x)的单调性)，确定极值点 . ①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点 . ②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点 . ③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是 极值点.
高中数学 3.1 第2课时 函数的极值课件 北师大版选修22
数y＝f(x)的____________，其函数值f(x0)为函数的
________．极大值点
极大值
图1
图2
如图2所示，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在 任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数y ＝f(x)的_________，其函数值f(x0)为函数的_________．
求函数 y＝2x＋8x的极值，并结合单调性、极值作出该函数 的图像．
[分析] 利用函数求极值的步骤：(1)先求函数的定义域； (2)求导数 f′(x)；(3)求方程 f′(x)＝0 的根；(4)检查 f′(x)在方 程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根 处取得极大值，如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小 值．
f′(x) ＋ 0
－
f(x)
极大值
故当 x＝e 时函数取得极大值，且极大值为 f(e)＝1e.
[点评] 讨论函数的性质要保持定义域优先的原则，如本题
若忽视了定义域，则列表时易错将区间(0，e)写为(－∞， e)．
求极值的具体步骤：第一，求导数f′(x)；第二，令f′(x)＝0， 求方程的根；第三，列表，检查f′(x)在方程根左右的值的 符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左 右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个根处无极 值．
①若f′(x)在x0两侧的符号______________ ，则x0为极大值
点；
“左正右负”
②若f′(x)在x0两侧的符号________________ ，则x0为极小
值点；
“左负右正”
③若f′(x)在x0两侧的符号___________，则x0不是极值点．
3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大选修2-2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)函数的定义域为R，y′＝3x2－1. 3 3 令3x －1<0，解得－ <x< ； 3 3
2
3 3 令3x －1>0，解得x<－ 或x> . 3 3
2
因此－
3 3 ， 为函数的单调递减区间， 3 3
3 3 ， ，＋∞为函数的单调递增区间． 3 3
1 解得a≥ . 3 1 当a＝ 时，f′(x)＝x2－2x＋1＝0， 3 有且只有f′(1)＝0. 1 所以，实数a的取值范围为[ ，＋∞)． 3
[一点通] 已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数 的取值范围的步骤：
(1)求导数y＝f′(x)；
(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题；
3．判断y＝ax3－1(a∈R)在R上的单调性． 解：∵y′＝3ax2，又x2≥0. (1)当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增； (2)当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减； (3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性.
[例2]
求下列函数的单调区间：
(1)y＝2x－ln x； x (2)y＝ ＋cos x； 2 (3)y＝x3－x.
②判断f′(x)的符号；
③给出单调性结论．
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增加的是 A．y＝sin x C．y＝x3－x B．y＝x·x e
(
)
D．y＝ln x－x
解析：(sin x)′＝cos x， (x·x)′＝ex＋x·x＝(1＋x)·x， e e e 1 (x －x)′＝3x －1，(ln x－x)′＝x－1，
3 2
当x∈(0，＋∞)时，只有(x·x)′＝(1＋x)·x>0. e e
(3)函数的定义域为R，y′＝3x2－1. 3 3 令3x －1<0，解得－ <x< ； 3 3
2
3 3 令3x －1>0，解得x<－ 或x> . 3 3
2
因此－
3 3 ， 为函数的单调递减区间， 3 3
3 3 ， ，＋∞为函数的单调递增区间． 3 3
1 解得a≥ . 3 1 当a＝ 时，f′(x)＝x2－2x＋1＝0， 3 有且只有f′(1)＝0. 1 所以，实数a的取值范围为[ ，＋∞)． 3
[一点通] 已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数 的取值范围的步骤：
(1)求导数y＝f′(x)；
(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题；
3．判断y＝ax3－1(a∈R)在R上的单调性． 解：∵y′＝3ax2，又x2≥0. (1)当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增； (2)当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减； (3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性.
[例2]
求下列函数的单调区间：
(1)y＝2x－ln x； x (2)y＝ ＋cos x； 2 (3)y＝x3－x.
②判断f′(x)的符号；
③给出单调性结论．
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增加的是 A．y＝sin x C．y＝x3－x B．y＝x·x e
(
)
D．y＝ln x－x
解析：(sin x)′＝cos x， (x·x)′＝ex＋x·x＝(1＋x)·x， e e e 1 (x －x)′＝3x －1，(ln x－x)′＝x－1，
3 2
当x∈(0，＋∞)时，只有(x·x)′＝(1＋x)·x>0. e e
2020北师大版高中数学选修2-2 教师课件：第三章 函数的极值
当 x 变化时，y′，y 的变化情况见下表：
x (－∞，－3) －3 (－3,3) 3 (3，＋∞)
y′
＋
0－
0
＋
y
54
－54
∴当 x＝－3 时，y 有极大值，且 y 极大值＝54；当 x＝3 时，y 有极小值， 且 y 极小值＝－54.
探究二 已知函数极值求参数的值 [例 2] 已知函数 f(x)＝ax3＋bx2，当 x＝1 时，有极大值 3. (1)求 a，b 的值；(2)求函数 y＝f(x)的极小值．
2．结论：如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的， 则___x_0____是极大值点，__f_(_x_0)___是极大值． 如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则___x_0____ 是极小值点，__f_(_x_0)___是极小值．
当 a>1 时，函数 f(x)在 x＝0 处取得极大值 1，在 x＝a－1 处取得极小值 1－(a－1)3.
极值问题的综合应用主要是利用函数的单调性和极值确定函数图像的大致形状 和位置．题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的 思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌握单调性问题以及极值问题的基本 解题策略是解决综合问题的关键．
[双基自测] 1．关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A．导数为零的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值 C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值 D．若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数
解析：导数为零的点不一定是极值点，如 f(x)＝x3，f′(0)＝0，但 x ＝0 不是极值点．极小值不一定小于极大值．f(x)在定义域内可能有 多个极值点．
31函数的单调性与极值课件4北师大选修2-284845-PPT精选文档
3
3
谈谈你的收获
小结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′(x)<0,得函数单减区间.
课下巩固作业：
P62 习题3-1 A组1(2)(3)(4) 2.
f(x)＝-3x+4, f ’(x) ＝-3
-2
-1
1
2
观察f (图x)像2 1 x 3
f (x) 3 2.2
x
2
1. 8
1. 6
指数函数的导1 数.的4 正负与函数 1. 2
的递增或递减有同1 样的关系呢？
0. 8
f (x) 0
0. 6
0.4f (x) 0
0. 2
- 2 - 1. -5 1 - 0. 50. 5 1 - 0. 2
(2)求f ´(x);
(3)在f(x)的定义域内解不等式f ´(x)>0 和f ´(x)<0; (4)确定函数f(x)的单调区间。 注意：单调区间不 以“并集”出现。
巩固提高：
变2：求函数 y3ex 3x的单调
区间。
解:
y'3ex 3
令y'0得ex 1 e 0 x0
令 y ' 0 得 e x 1 e 0 x 0
2) 如果恒有f′(x)<0，那么y＝f(x)在这 个区间内单调递减。
如果在某个区间内恒有 f(x)0 ,
则 f ( x)为常数.
发散思维
试结合函数 y＝f(x)=x3进行思考 如果函数y＝f(x)在这个区间内单
调递增，那么恒有f ’(x)>0吗?
试结合函数 y＝f(x)=-x3进行思考
高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.2函数的极值课件北师大版选修2_2
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1判断下列函数是否有极值,如果有极值,请求出其极值; 如果无极值,请说明理由.
(1)y=f(x)=x3- x2+ x+1;
3 4
3 16
(2)y=f(x)=x|x|.
3 3 解 :(1)y'=3x - x+ . 2 16解得 x= . 2 16 4 1 1 当 x> 时 ,y'>0,当 x< 时 ,y'>0. 4 4
探究一
探究二
思维辨析
利用导数求函数的极值 【例1】 求函数y=3x3-x+1的极值. 分析:首先对函数求导,然后求方程y'=0的根,再检查y'在方程根的 左右的值的符号,如果左正右负,那么此处取最大值,如果左负右正, 那么此处取极小值.
探究一
探究二
思维辨析
解:y'=9x2-1,
令 y'=0,解得
1 1 x1= ,x2=- . 3 3
当x变化时,y'和y的变化情况如下表: 1 1 1 1 x -∞,- , 3 3 3 3 y' + 0 y ↗
1 3 1 3
0
1 3
+ ↗
1 ,+∞ 3
极大值
↘
7 9
极小值
11 9
因此当 x=- 时函数有极大值,并且 y 极大值 = . 当 x= 时函数有极小值,并且 y 极小值 = .
脉 络
1.函数的极值的有关概念 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小 于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值 f(x0)为函数的极大值. 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大 于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值 f(x0)为函数的极小值. 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.
31函数的单调性与极值课件4北师大选修2-284817-PPT精品文档
于是我们设想一下能否利用 导数来研究单调性呢？
导数是处理函数单调性问题的金钥匙
观察图像1
3 y＝f(x)＝-3x+4x
2
函数的导数的正负与函数的递
增或递减有什么关1.5系呢？
f(x) ＝x, f’(x) ＝1 1
f(x) ＝2x+5, f’ (x) ＝2 0.5
变1：求函数 y3x33x2的单调区间
解： y' 9 x 2 6 x 3 x (3 x 2 )
令y'0得x2或x0
3 令y'0得0x
2
3
y3x33x2 的单调递增区间为
(,0),(2 ,)
单调递减区间为 ( 0 , 2 ) 3
3
利用导数判断函数单调性的基本步骤： (1)确定定义域；
(2)求f ´(x);
(3)在f(x)的定义域内解不等式f ´(x)>0 和f ´(x)<0; (4)确定函数f(x)的单调区间。 注意：单调区间不 以“并集”出现。
巩固提高：
变2：求函数 y3ex 3x的单调
区间。
解:
y'3ex 3
令y'0得ex 1 e 0 x0
令 y ' 0 得 e x 1 e 0 x 0
3
3
谈谈你的收获
小结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′(x)<0,得函数单减区间.
课下巩固作业：
P62 习题3-1 A组1(2)(3)(4) 2.
谢谢
1. 5 2
观察图像3
2.5
f(x)
导数是处理函数单调性问题的金钥匙
观察图像1
3 y＝f(x)＝-3x+4x
2
函数的导数的正负与函数的递
增或递减有什么关1.5系呢？
f(x) ＝x, f’(x) ＝1 1
f(x) ＝2x+5, f’ (x) ＝2 0.5
变1：求函数 y3x33x2的单调区间
解： y' 9 x 2 6 x 3 x (3 x 2 )
令y'0得x2或x0
3 令y'0得0x
2
3
y3x33x2 的单调递增区间为
(,0),(2 ,)
单调递减区间为 ( 0 , 2 ) 3
3
利用导数判断函数单调性的基本步骤： (1)确定定义域；
(2)求f ´(x);
(3)在f(x)的定义域内解不等式f ´(x)>0 和f ´(x)<0; (4)确定函数f(x)的单调区间。 注意：单调区间不 以“并集”出现。
巩固提高：
变2：求函数 y3ex 3x的单调
区间。
解:
y'3ex 3
令y'0得ex 1 e 0 x0
令 y ' 0 得 e x 1 e 0 x 0
3
3
谈谈你的收获
小结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′(x)<0,得函数单减区间.
课下巩固作业：
P62 习题3-1 A组1(2)(3)(4) 2.
谢谢
1. 5 2
观察图像3
2.5
f(x)
2019-2020学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：3.1 函数的单调性与极值3.1.2.2 .pdf
A.a> 2
B.a> 2或 a<- 2
C.a<- 2
D.a<-1
解析:∵函数 f(x)=x3-32ax2+a 在 R 上存在三个零点,∴函数 f(x)的极大
值与极小值异号.∵f'(x)=3x2-3ax,∴当 f'(x)=0 时,x=0 或 x=a.∴
f (0)·f (a)=a· ������3
-
3 2
以a-2=0,即a=2.如图②.综上,当a=2或a=-2时,方程恰有两个实数根.
图①
图②
由 f'(x)>0,得 x<-2 或 x>2; 由 f'(x)<0,得-2<x<2.
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
由表可知,当 x=-2 时,f(x)有极大值 f(-2)=238; 当 x=2 时,f(x)有极小值 f(2)=-43. 又当 x→+∞时,f(x)→+∞;当 x→-∞
时,f(x)→-∞.
所以其大致图像如图所示.
由图像知,函数 f(x)有 3 个零点.故方程 13x3-4x+4=0 有 3 个解.
题型一 题型二
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
反思用求导的方法确定方程解的个数,是一种很有效的方法.它通 过函数的变化情况,运用数形结合思想来确定函数图像与x轴的交 点个数,从而判断方程解的个数.
典例透析
31函数的单调性与极值课件4北师大选修2-284706-精品文档
f(x)＝-3x+4, f ’(x) ＝-3
-2
-1
1
2
观察f (图x)像2 1 x 3
f (x) 3 2.2
x
2
1. 8
1. 6
指数函数的导1 数.的4 正负与函数 1. 2
的递增或递减有同1 样的关系呢？
0. 8
f (x) 0
0. 6
0.4f (x) 0
0. 2
- 2 - 1. -5 1 - 0. 50. 5 1 - 0. 2
理解训练：
学以致用
求 函 数 y 3 x 2 3 x 的 递 增 区 间 与 递 减 区 间 .
解: y'6x3
令 y'0 得 x1, 令 y'0 得 x1
2
2
y3x23x 单 的 调 单 递 调 递 减增 区区 间 间 是 (1 2 ,, 1)
2
理解训练：
2) 如果恒有f′(x)<0，那么y＝f(x)在这 个区间内单调递减。
如果在某个区间内恒有 f(x)0 ,
则 f ( x)为常数.
发散思维
试结合函数 y＝f(x)=x3进行思考 如果函数y＝f(x)在这个区间内单
调递增，那么恒有f ’(x)>0吗?
试结合函数 y＝f(x)=-x3进行思考
如果函数y＝f(x)在这个区间内 单调递减，那么恒有f ’(x)<0吗?
变1：求函数 y3x33x2的单调区间
解： y' 9 x 2 6 x 3 x (3 x 2 )
令y'0得x2或x0
3 令y'0得0x
2
3
y3x33x2 的单调递增区间为
(,0),(2 ,)
3.1.2 函数的极值 课件(北师大选修2-2)
(2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数y＝f(x)与y＝a的图 像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解．
[精解详析] 令f′(x)＝0，
(1)∵f′(x)＝3x2－3，
解得x1＝－1，x2＝1，
∴当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1<x<1时，f′(x)<0. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)； f(x)的单调递减区间为(－1,1)． 当x＝－1时，f(x)有极大值3；
(1)对于可导函数来说，y＝f(x)在极值点处的导数
为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y＝
x3在x＝0处，f′(0)＝0，但x＝0不是函数的极值点． (2)可导函数f(x)在x0取得极值的充要条件是f′(x0)＝0， 且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同． (3)若函数y＝f(x)在(a，b)内有极值，则y＝f(x)在(a，
(1)按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端 点a，b. (2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立 即可． (3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一．
(4)在区间上单调的函数没有极值．
[例1]
求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； ln x (2)f(x)＝ x .
重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分
类讨论的思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌 握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合 问题的关键．
7．函数f(x)＝x3－3x＋2的零点个数为________． 解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
可知f(x)在(－∞，－1)及(1，＋∞)上是
函数的单调性与极值课件1(北师大选修2-2)
例2 求函数 f (x) x3 3x 的单调区间。
解 f (x) 的定义域是 (, )
f (x) 3x2 3 3(x 1)( x 1)
令 f (x) 0 ，得 x 1, x 1，它们将定义域 (, )
分成三个区间 (,1) (1, 1) (1,)
当 x (1,1) 时，f (x) 0 当 x (1,) (,1) 时，f (x) 0 。
上单调减少。
注意：
（1）将定理中的闭区间 a,b 换成其他各种区
间定理的结论仍成立。
（2）在(a,b) 内，f (x) 0 只是 f (x) 在 a,b 上
单调增加的充分条件，而不是必要条件。 考察函数 f (x) x3
（3）如果在区间 a,b 内 f (x) 0（或 f (x) 0） ，但等号只在个别处成立，则函数 f (x) 在 a,b上
令
v
0，得
x1
a 6 , x2
a 2
（舍去）。又
v(a ) 4a 0
6
所以函数
v
在
x
a 6
处取得唯一极大值，此极大值就是
最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方
形铁皮边长的
1 6
时，所做的方盒容积最大。
例10 制作一个容积为V 的圆柱形密闭容器， 怎样设计才能使所用材料最省？
解 如图，设容器的底面半径为r ，高为h ，
f (x) 不存在
f (x)
极大值1
(0,1)
1
0
极小值 1
2
(1,)
由表可知，f (x)在 x 0 处取得极大值 f (0) 1，
f (x) 在 x 1 处取得极小值 f (x) 1 。
2
函数
解 f (x) 的定义域是 (, )
f (x) 3x2 3 3(x 1)( x 1)
令 f (x) 0 ，得 x 1, x 1，它们将定义域 (, )
分成三个区间 (,1) (1, 1) (1,)
当 x (1,1) 时，f (x) 0 当 x (1,) (,1) 时，f (x) 0 。
上单调减少。
注意：
（1）将定理中的闭区间 a,b 换成其他各种区
间定理的结论仍成立。
（2）在(a,b) 内，f (x) 0 只是 f (x) 在 a,b 上
单调增加的充分条件，而不是必要条件。 考察函数 f (x) x3
（3）如果在区间 a,b 内 f (x) 0（或 f (x) 0） ，但等号只在个别处成立，则函数 f (x) 在 a,b上
令
v
0，得
x1
a 6 , x2
a 2
（舍去）。又
v(a ) 4a 0
6
所以函数
v
在
x
a 6
处取得唯一极大值，此极大值就是
最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方
形铁皮边长的
1 6
时，所做的方盒容积最大。
例10 制作一个容积为V 的圆柱形密闭容器， 怎样设计才能使所用材料最省？
解 如图，设容器的底面半径为r ，高为h ，
f (x) 不存在
f (x)
极大值1
(0,1)
1
0
极小值 1
2
(1,)
由表可知，f (x)在 x 0 处取得极大值 f (0) 1，
f (x) 在 x 1 处取得极小值 f (x) 1 。
2
函数
31函数的单调性与极值课件4北师大选修2-279953-文档资料
(2)求f ´(x);
(3)在f(x)的定义域内解不等式f ´(x)>0 和f ´(x)<0; (4)确定函数f(x)的单调区间。 注意：单调区间不 以“并集”出现。
巩固提高：
变2：求函数 y3ex 3x的单调
区间。
解:
y'3ex 3
令y'0得ex 1 e 0 x0
令 y ' 0 得 e x 1 e 0 x 0
f(x)1cosx. 2
令 1 cosx 0,解得 2k2x2k2(kZ).
2
3
3
令
1 2
cosx
0,解得
2k2x2k4(kZ).
3
3
因此, f(x)的递增区间是:(2k2,2k2)k (Z);
递减区间是:
(2k2 3,2k43)k (Z).
变1：求函数 y3x33x2的单调区间
解： y' 9 x 2 6 x 3 x (3 x 2 )
令y'0得x2或x0
3 令y'0得0x
2
3
y3x33x2 的单调递增区间为
(,0),(2 ,)
单调递减区间为 ( 0 , 2 ) 3
3
利用导数判断函数单调性的基本步骤： (1)确定定义域；
2) 如果恒有f′(x)<0，那么y＝f(x)在这 个区间内单调递减。
如果在某个区间内恒有 f(x)0 ,
则 f ( x)为常数.
发散思维
试结合函数 y＝f(x)=x3进行思考 如果函数y＝f(x)在这个区间内单
调递增，那么恒有f ’(x)>0吗?
试结合函数 y＝f(x)=-x3进行思考
如果函数y＝f(x)在这个区间内 单调递减，那么恒有f ’(x)<0吗?
2019-2020学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：3.1 函数的单调性与极值3.1.1.2 .pdf
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
1.当x∈[a,b]时,f'(x)>0,则f(x)在区间[a,b]上是增加的;当x∈[a,b] 时,f'(x)<0,则f(x)在区间[a,b]上是减少的.
2.若f(x)在区间[a,b]上是增加的,则f'(x)≥0在[a,b]上恒成立(f'(x)不 恒为0);若f(x)在区间[a,b]上是减少的,则f'(x)≤0在[a,b]上恒成立(f'(x) 不恒为0).
∵f (x)在(0,1]上是增加的,
∴f'(x)≥0,即 a≥-21������2在(0,1]上恒成立.
令 g(x)=-21������2,易知 g(x)=-21������2在(0,1]上是增加的,
∴g(x)max=g(1)=-12.∴a≥-12.
当 a=-12时,f'(x)=-1+������12对 x∈(0,1)也有 f'(x)>0,且仅在 x=1
1 2 3 4 56
≤
0,
解得 a≤-3.
当 a=-3 时,f'(x)=-(3x-1)2≤0,
当且仅当 x=13时,f'(x)=0,
即 a=-3 成立.
故 a 的取值范围是 a≤-3.
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
6求证:ex≥1+x. 证明:令f(x)=ex-x-1,
【变式训练 2】 求证:不等式 ln x>2���(������+���-11),其中 x>1.
31函数的单调性与极值课件4北师大选修2-284825-文档资料
理解训练：
学以致用
求 函 数 y 3 x 2 3 x 的 递 增 区 间 与 递 减 区 间 .
解: y'6x3
令 y'0 得 x1, 令 y'0 得 x1
2
2
y3x23x 单 的 调 单 递 调 递 减增 区区 间 间 是 (1 2 ,, 1)
2
理1或x>1.
注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f (x)的递增区 间是(1,+∞);
由 f(x)0解得-1<x<1,故f (x)的递减区间是(-1,1).
拓展提高
x 例4: 确定下列函数的单调区间:
(2)f(x) sinx
2 解:(1)函数的定义域是R,
1. 5 2
观察图像3
2.5
f(x)
1
2
0
f(x)lo2gx
xln2 1.5
1
对数函数的导数的正负与函数
0.5
的递增或递减有同样的关系吗？
-2
-1
f (x) 1 0-0.5
1
xln
-1
2
-1.5
1
2
3
4
f(x)log1 x
2
-2
抽象概括
一般地，函数 y＝f(x)在某个区间内
1) 如果恒有f′(x)>0，那么y＝f(x)在这 个区间内单调递增；
f(x)＝-3x+4, f ’(x) ＝-3
-2
-1
1
2
观察f (图x)像2 1 x 3
f (x) 3 2.2
x
2
1. 8
1. 6
指数函数的导1 数.的4 正负与函数 1. 2
【数学】3.1.2 函数的极值 课件(北师大版选修2-2)
第三章 导数应用 3.1.2 函数的极值
复习:
利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为: ①求函数的定义域; ②求函数的导数 f (x ) ;
③解不等式 f ( x ) >0得f(x)的单调递增区间; 解不等式 f ( x ) <0得f(x)的单调递减区间.
在上节课中,我们是利用函数的导数来研究 函数的单调性的. 下面我们利用函数的导数来研究函数的极 值问题.
当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f’(x) f(x)
+ ↗
0 极大值-2a
↘
↘
0 极小值2a
+ ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x) 有极小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明 极值与最值是完全不同的两个概念.
/ 2
/
2
当x变化时， ( x )、f ( x )的符号状态如下： f
(-∞,-1)
f/(x) f(x) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
减
0 1
减
0 0
增
+
0 1
(1,+ ∞)
增
+
导数为零的点不一定是极值点！
x=-1, x=0,x=1;
y fx = x2-13+1
-1
O
1
x
x=0是函数极小值点y=0.
2.函数的极值注意事项：
(1) 导数为零的点不一定是极值点！
(2)函数的极值是就函数在某一点附近的
小区间而言的,在函数的整个定义域可能有 多个极大值或极小值, 不唯一!
复习:
利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为: ①求函数的定义域; ②求函数的导数 f (x ) ;
③解不等式 f ( x ) >0得f(x)的单调递增区间; 解不等式 f ( x ) <0得f(x)的单调递减区间.
在上节课中,我们是利用函数的导数来研究 函数的单调性的. 下面我们利用函数的导数来研究函数的极 值问题.
当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f’(x) f(x)
+ ↗
0 极大值-2a
↘
↘
0 极小值2a
+ ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x) 有极小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明 极值与最值是完全不同的两个概念.
/ 2
/
2
当x变化时， ( x )、f ( x )的符号状态如下： f
(-∞,-1)
f/(x) f(x) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
减
0 1
减
0 0
增
+
0 1
(1,+ ∞)
增
+
导数为零的点不一定是极值点！
x=-1, x=0,x=1;
y fx = x2-13+1
-1
O
1
x
x=0是函数极小值点y=0.
2.函数的极值注意事项：
(1) 导数为零的点不一定是极值点！
(2)函数的极值是就函数在某一点附近的
小区间而言的,在函数的整个定义域可能有 多个极大值或极小值, 不唯一!
高二理科春季课第三讲北师大版选修2-2第三章导数应用§1函数的单调性与极值(共32张PPT)
在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f (x)在任何一点的函数值 都大于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其 函数值f(x0)为函数的极小值.
极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为
极值点.
高新前景高中部
高二数学理科
一不留神就学会了！
点拨：
1.极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言 的.极值点是区间内部的点而不会是端点.
f (x) 0在(-1,1)上恒成立，
a 3x2在(-1,1)上恒成立，则a （3x2）max 3 a的取值范围是[3,)
高新前景高中部
高二数学理科
一不留神就学会了！
（4）若 在区间(－1,1)上存在减函数，试求a的取值范围.
f (x) 3x2 a
f (x)在区间(-1,1)上存在减函数， f (x) 0在(-1,1)上部分成立即可，
高新前景高中部
变式训练
高二数学理科
一不留神就学会了！
变式1、函数
，已知 在 时取得极值，则 5
f (x) 3x2 2ax 3,
f (3) 0,即27 6a 3 0,即a 5
变式2、设函数
，若当 时，有极值为1，则函数
的
单调减区间是________.(1, 5)
f (x) 3x2 2ax b,
当x变化时，f (x)与f (x)的变化情况如下表：
x
(- ,-1)
-1
(-1,1)
f '(x)
-
0
+
f (x)
↘
极小值-2
↗
1 0 极大值 2
(1,+ )
↘
则f (x)的单调增区间是（-1,1）;单调减区间是(,1)和（1， ） f (x)的极小值是f (1) 2; f (x)的极大值是f (1) 2
极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为
极值点.
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点拨：
1.极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言 的.极值点是区间内部的点而不会是端点.
f (x) 0在(-1,1)上恒成立，
a 3x2在(-1,1)上恒成立，则a （3x2）max 3 a的取值范围是[3,)
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（4）若 在区间(－1,1)上存在减函数，试求a的取值范围.
f (x) 3x2 a
f (x)在区间(-1,1)上存在减函数， f (x) 0在(-1,1)上部分成立即可，
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变式训练
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一不留神就学会了！
变式1、函数
，已知 在 时取得极值，则 5
f (x) 3x2 2ax 3,
f (3) 0,即27 6a 3 0,即a 5
变式2、设函数
，若当 时，有极值为1，则函数
的
单调减区间是________.(1, 5)
f (x) 3x2 2ax b,
当x变化时，f (x)与f (x)的变化情况如下表：
x
(- ,-1)
-1
(-1,1)
f '(x)
-
0
+
f (x)
↘
极小值-2
↗
1 0 极大值 2
(1,+ )
↘
则f (x)的单调增区间是（-1,1）;单调减区间是(,1)和（1， ） f (x)的极小值是f (1) 2; f (x)的极大值是f (1) 2
最新-最新高中数学 31函数的单调性与极值课件 北师大
处方点评制度及实施细则一、背景介绍随着医疗技术的不断发展和医疗资源的日益紧缺，合理用药成为当前医疗领域亟待解决的问题之一。
为了规范医生开具处方的行为，提高用药质量，保障患者的用药安全，制定处方点评制度及实施细则成为必要举措。
二、制度目的1. 提高医生用药合理性水平，减少不必要的药物使用。
2. 促进医生对药品的了解和熟悉，提高用药技能。
3. 加强医生之间的交流与学习，推动临床规范化水平的提升。
4. 提高患者对医生处方的满意度，增强医患信任关系。
三、制度内容1. 处方点评委员会的成立（1）由医院或医疗机构设立处方点评委员会，由相关专业医生组成。
（2）委员会负责制定处方点评的标准和流程，并定期召开会议进行处方点评。
（3）委员会成员应具备一定的临床经验和药学知识，能够客观公正地评价处方的合理性。
2. 处方点评的标准（1）处方点评应基于临床指南、药物使用指南和最新的研究成果等权威资料，确保评价的科学性和准确性。
（2）处方点评的主要内容包括：药物的适应症、剂量和疗程是否合理；是否存在药物相互作用或不良反应的风险；是否存在超量开药或滥用药物的情况等。
3. 处方点评的流程（1）医生开具处方后，处方将被提交给处方点评委员会进行评审。
（2）委员会成员根据标准对处方进行评价，并出具评价报告。
（3）评价报告将及时反馈给开具处方的医生，医生可根据评价意见进行调整和改进。
（4）医生可对评价结果提出异议，委员会将进行再次评估并给予回复。
4. 处方点评的结果使用（1）评价报告将被纳入医生绩效考核的重要指标之一。
（2）评价结果将作为医生职称晋升、继续教育和培训的参考依据。
（3）医院或医疗机构可根据评价结果对医生进行奖惩措施。
四、实施细则1. 建立处方点评制度的医院或医疗机构应制定相应的实施细则，明确具体的操作流程和责任分工。
2. 严格保护医生的个人隐私和处方信息的安全性，确保评价过程的公正和客观。
3. 加强对医生的培训和指导，提高医生的用药合理性水平。
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导数是处理函数单调性问题的金钥匙
观察图像1 y＝f(x) ＝2x+5
3
y＝f(x)＝-3x+4
y＝f(x) ＝x
2.5
函数的导数的正负与函数的递 增或递减有什么关系呢？
1.5
2
f(x) ＝x, f’(x) ＝1
1
f(x) ＝2x+5, f’ (x) ＝2 f(x)＝-3x+4, f ’(x) ＝-3
拓展提高
x (2) f ( x ) sin x 2 f ( x) 1 cos x. 解:(1)函数的定义域是R,
例4: 确定下列函数的单调区间:
2 1 2 2 令 cos x 0 ,解得 2k x 2k (k Z ). 3 3 2
1 cos x 0 ,解得 2k 2 x 2k 4 ( k Z ). 令 2 3 3
3进行思考 y＝f(x)=-x
如果函数y＝f(x)在这个区间内 单调递减，那么恒有f ’(x)<0吗?
理解训练：
学以致用
2
求函数y 3 x 3 x的递增区间与递减区间.
解 : y ' 6 x 3
1 1 令y ' 0得x , 令y ' 0得x 2 2
1 y 3 x 3 x的单调递增区间 , 2 1 单调递减区间是( , ) 2
课下巩固作业：
P62 习题3-1 A组1(2)(3)(4)
2.
-2
抽象概括
一般地，函数 y＝f(x)在某个区间内
1) 如果恒有f ′ >0，那么y＝f(x)在这 (x) 个区间内单调递增；
2) 如果恒有f ′ <0，那么y＝f(x)在这 (x) 个区间内单调递减。
如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 , 则 f (x)为常数.
发散思维
试结合函数 y＝f(x)=x3进行思考 如果函数y＝f(x)在这个区间内单 调递增，那么恒有f ’(x)>0吗? 试结合函数
x (1) f ( x ) ln(1 x ) 1 2
x 1 0,得x<-1或x>1. 2(1 x )
由 f ( x ) 0 即
注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f (x)的递增区 间是(1,+∞); 由 f ( x ) 0 解得-1<x<1,故f (x)的递减区间是(-1,1).
2
变1：求函数 y 3 x 3 x 的单调区间
3 2
理解训练：
解： y ' 9 x 6 x 3 x(3 x 2) 2 令y ' 0得x 或x 0 3 2 令y ' 0得0 x 3 2 3 2 y 3 x 3 x 的单调递增区间为 ( ,0),( , )
0.5 -2 -1 1 2
观察图像2
1 f ( x) 3
x
2.2 2 1.8
f ( x) 3
x
1.6
指数函数的导数的正负与函数 的递增或递减有同样的关系呢？
1.2 1 0.8
1.4
f ( x) 0
-2 -1.5 -1 -0.5
0.6
0.4
0.2
f ( x) 0
0.5 1 1.5 2
2
单调递减区间为 (0, 2 )
3
3
利用导数判断函数单调性的基本步骤：
(1)确定定义域； (2)求f ´(x);
(3)在f(x)的定义域内解不等式f ´(x)>0 和f ´(x)<0; (4)确定函数f(x)的单调区间。
注意：单调区间不 以“并集”出现。
巩固提高：
变2：求函数 y 3e 区间。
欢迎各位老师同学走进数学课堂
3-6x2+7,求证： 引例 已知函数y=2x
这个函数在区间(0,2)上是单调递 增的. 用定义法判断函数单调性的步骤：
（1）在给定取值范围内任取x1<x2
( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）
（3）变形 （4）判断符号
（5）下结论
引入： 函数单调性体现出了函数值 y随自变量x的变化而变化的情况, 而导数是函数值的瞬时变化率, 刻画了函数变化的趋势. 于是我们设想一下能否利用 导数来研究单调性呢？
解:
x
3 x 的单调
x0
y ' 3e 3
x
令y ' 0得e ' 0得e 1 e x 0
0
y 3e 3 x的单调递增区间为(0, ) 单调递减区间为(,0)
x
拓展提高
例4: 确定下列函数的单调区间:
1 1 x 1 . 解:函数的定义域是(-1,+∞), f ( x ) 2 1 x 2(1 x )
2 2 因此, f(x)的递增区间是:(2k ,2k )(k Z ); 3 3 2 4 递减区间是: (2k 3 ,2k 3 )(k Z ).
谈谈你的收获
小结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′ (x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′ (x)<0,得函数单减区间.
-0.2
观察图像3
2.5
1 f ( x) 0 x ln 2
2 1.5 1 0.5 -2
f ( x) log 2 x
1 2 3 4
对数函数的导数的正负与函数 的递增或递减有同样的关系吗？
f ( x)
1
-1
1 x ln 2
0
-0.5 -1 -1.5
f ( x) log 1 x
2