极限的多种求法

π
１ 在 ［０ ， １］上 可 积 ， 所 以 可 以 把 ［０ ， １］ ｎ #１＋ｘ
ｎ
四、利用几个常见重要极限和洛 必 达 法 则 或 两 边 夹 定 理 结合求极限
ｘ
等分 ， 做 ｆ（ｘ）的积分和式有 ： 原积分 ＝
ｌｉｍ $
ｎ→∞ ｉ ＝ １
１
#
ｎ ２１
１＋ ｉ－ １ ｎ
・１ ＝
ｎ
１ 例 ４ 求 ｌｉｍ ｎ→∞ ｘ－ ｓｉｎｘ
Ｎ ｎ
ｎ
（１－ ｃｏｓｘ） #４＋３ｘ ・ ｌｉｍ
＝ｌｉｍ
ｘ
２
ｎ→∞
２ ２ｓｉｎａ ｘ ２
・
ｘ ２ １ ＝２ｌｉｍ （ ２ ） ・ ｎ→∞ #４＋３ｘ ｓｉｎ ｘ ２
（ｎ→∞）
解 ：
Ｎ ｎ ｎ
设 ａ０ ＋ｍａｘ ｛ａ１，ａ２ … ，ａｍ｝，
ｎ ｎ ｎ
则 有 ： ａ０ ＝
ｎ ｎ
# ａ０
≤
ｎ→∞
１ １ ＝１ ＝１× ２× ２ #４＋３ｘ
１
（ １＋ｓｉｎｘ）
１ ｓｉｎｘ
＝１× １ｎｅ＝１
ｎ→∞
解
ｎ ｓｉｎ ｋ π ｎ 因 为$ ・１ ， 且 右 边 是 连 续 函 数 ≤$ｓｉｎ ｋ π １ ｎ ｎ ｋ ＝１ ｋ ＝１ ｎ＋ ｋ ｎ
所以 ： 原极限 ＝ｅ
２
ｌｉｍ １ｍ（１＋ｓｉｎｘ）
１ ｘ
＝ｅ ＝ｅ
１
五、 用泰勒公式求极限
ｓｉｎπ ｘ 在 ［０，１］上的积分和 ，
２
ｎ→∞
＝ ｌｉｍ
ｆ（ｘ０ ＋ｈ）－ ｆ（ｘ０ － ｈ） ２ｈ
ｎ→∞
＝ １ ｌｉｍ ２ ｎ→∞
(（０，１）所 以 ｛ｘｎ｝ 单 调 减 少 且 有 界 ， 从 而 ｛ｘｎ｝ 收 敛 ， １＜ｘｎ，ｎ ≥２，｛ｘｎ｝
记 ｌｉｍ ｘｎ＝ｘ０， 则 ｘ０∈［０，１］， 令 ｎ→＋∞， 对 ｓｉｎｘｎ＝ｘｎ＋１ 两 边 取 极 限 有
［文献标识码 ］Ａ
［文章编号 ］１００９ — ８５３４（２００７）０４ — ０１８５－ ０２ ｓｉｎ ｋ π ｎ ≥ ｎ １ ｎ＋１ ｎ＋ ｋ
从古至今， 在世界数学史上， 极限都扮演着重要的角色 ， 是数学研究的基础。除此以外 ， 极限的求法还 涉 及 到 化 学 ， 物 理学等学科领域并起着不可忽视的作用。因此 ， 极限的多种求 法是需要我们熟练掌握且不断完善的。 一、 利用定积分法求极限 另一方面有
所以 ｌｉｍ ｘｎ＝０ 且 ｛ １２
ｎ→∞
ｓｉｎ ｘｎ
｝严格递增且趋于 ＋∞
ｘｎ "１－ ｘｎ （ｎ∈Ｎ） ， 求 ｌｉｍ ｎ→∞
又因为 ｌｉｍ
ｎ→∞
解 ： 由条件知 ， ０＜ｘ１＜１ ， 设对 ｋ≤ｎ 都有 ： ０＜ｘｋ＜１ 则
（ｎ＋１）－ ｎ １ ＝ｌｉｍ ｎ→∞ １ １ １ － － １ ｓｉｎ２ｘｎ＋１ ｓｉｎ２ｘｎ＋ ｓｉｎ２（ｓｉｎｘｎ） ｓｉｎ２ｘｎ
尔大学学报 （ 哲学社会科学版 ） ， ２００１， （ ５） ： ８９－ ９０．
１８６
李坤花 （１９７２ — ）， 女 ， 汉族 ， 河南开封人 ， 济源职业技术学院讲师 ， 在读硕士。
１８５
２００７ 年 ８ 月
第 １０ 卷・第 ４ 期
１
宿州教育学院学报 故由归结原理知 ： ｌｉｍ ｆ（ ｘ０ ）＝０ ｎ
ｎ→∞
２ ２ ２ ４ ４ 解 ： 由 泰 勒 公 式 知 ： （１＋ｘ ） ＝１＋ １ ｘ － １ ｘ ＋ｏ（ｘ ），ｃｏｓｘ＝１－
ｎ→∞
ｘ
三、 利用定积分和两边夹相结合求极限 例３ 求
ｓｉｎ π ｓｉｎ ２π ｎ ＋ ｎ ＋… ＋ ｓｉｎπ 的极限 （ｎ→∞） １ ｎ＋１ ｎ＋ ｎ＋ １ ２ ｎ
ｓｉｎｘ ｌｉｍ １ ｉｎ（１＋ｓｉｎｘ）＝ｌｉｍ ｓｉｎｘ １ｎ（１＋ｓｉｎｘ） ＝ｌｉｍ ｓｉｎｘ ・ｌｉｍ １ｎ ｎ→∞ ｘ ｎ→∞ ｎ→∞ ｎ→∞ ｘ ｘ
ｌｉｍ ｘｎ＋１－ ｘｎ ＝Ａ， 则 ｌｉｍ ｘｎ ＝Ａ ｎ→∞ ｙｎ＋１－ ｙｎ ｎ→∞ ｙｎ
例 １０ 设 ｘ１∈（０， π ）， ｘｎ＋１ ＝ｓｉｎｘｎ ∈（０，１），ｎ＝１，２，３ … 求 ： （ １ ）
六、 利用导数定义求极限 例 ７ 设存在 ， 求 ｌｉｍ ｆ（ｘ ＋ｈ）＋ｆ（ｘ ２－ ｈ）－ ２ｆ（ｘ ） ｎ→∞ ｈ
解
０
ｔ %#４＋３ｔ
２
ｄｔ
１ % #１＋ｘ
０
１
ｄｘ＝２（ # ２ － １）２（－ １）
原 极 限 为 “０ ” 型 ， 可 利 用 洛 必 达 法 则 ， 既 有 原 极 限 ｌｉｍ
０
ｎ→∞
二、 利用两边夹原理求极限 例 ２ 若 ａ１，ａ２… ａｍ 为 ｍ 个正数 ， 求
ｘ
２
#ａ ＋ａ
１
ｎ
ｎ
＋… ＋ａｍ 的 极 限
"１－ ｘｎ ＝ "１－ ｘｎ （ "１－ ｘｎ ）＜０， 故 ｛ｘｎ ｝ 单 调 递 "１－ ｘｎ
求
减从而收敛 ， 记 ｌｉｍ ｘｎ＝ａ ， 则 ０≤ａ≤１ ， 令 ｎ→∞，ｘｎ＋１＝１－
ｎ→∞
ｌｉｍ
ｔ→０
极限得 ： ａ＝１－ "１－ ａ ， 解得 ： ａ＝１，ａ＝２（舍去 ）， 所以 ｌｉｍ ｘｎ＝１ 。
ｎ
ｋ ＝１
$
１
ｋ ＝１
・１ $ ｓｉｎ ｋ ｎ ｎ
ｎ
且 ｌｉｍ
ｎ→∞
ｎ ｎ＋１
ｎ
$
ｋ ＝１
１ １ 例 １ 求 ｌｉｍ （ ＋ ＋… ＋ ） ２ ｎ→∞ #ｎ（２ｎ－ １） #ｎ #ｎ（ｎ＋１） １
解 ： 因 为 ｆ（ｘ）＝
・１ ＝ ｓｉｎ（π ｓｉｎ ｋ π ｘ）＝ ２ ｎ ｎ ０ π
%
所以由两边夹定理知 ： 原极限 ＝ ２
２
８
２
１ ｘ２ ＋ｏ（ｘ２ ），ｅｘ ＝１＋ｘ２ ＋ｏ（ｘ２ ） ２ １ ｘ ＋ｏ（ｘ ） １ ＋ｏ（１） ８ ８ 所以原极限 ｌｉｍ ＝ｌｉｍ ＝－ １ ２ ２ ２ ｎ→∞ ｎ→∞ ３ ３ ［－ ｘ ＋ｏ（ｘ ）］ｘ － ＋ｏ（１） １２ ２ ２
４ ４
２
九、 利用施托兹定理求极限 （ 必须是 用 于 求 两 个 数 列 的 商 的极限且分母中数列应是严格递增趋于 ＋∞的情况 ） 该 定 理 用 数 学 语 言 叙 述 为 ： 若 数 列 ｛ｙｎ｝ 严 格 递 增 于 ＋∞ 且
［１］ 陈 琦 ， 刘 儒 德 ． 当 代 教 育 心 理 学 ［Ｍ］． 北 京 ： 北 京 师 范 大
学出版社 ， ２００３．
［２］ 许 静 ． 图 式 理 论 在 跨 文 化 交 际 中 的 运 用 ［Ｊ］． 国 际 政 治 研
究 ．１９９９， （ ４） ： １３７．
［３］ 杨 一 丹 ． 试 论 图 式 理 论 及 其 在 教 学 中 的 作 用 ［Ｊ］． 齐 齐 哈
所以有 ： ｌｉｍ
ｎ→∞ ｋ ＝ １
ｋ $ｓｉｎ ｎ
ｎ
１
・１ ＝ ｓｉｎ（π π ｘ）ｄｘ＝ ２ ｎ ０ π
%
ｘ ＋１－ １＋ｘ２ # 例 ６ 求 ｌｉｍ ２ ２ ｘ ｎ→∞ （ｃｏｓ－ ｅ ）ｘ
２
!［收稿日期 ］２００７－ ５－ １３ ［作者简介 ］郝祥晖 （１９７１ — ）， 女 ， 河南济源人 ， 济源职业技术学院讲师。
１ ｘ ｎ→∞
ｎ #ａ１ ＋ａ２ ＋…＋ａｍ ≤ #ｍａｏ ＋ #ｍａ０ ， 又 因 为 ｌｉｍ #ｍａ０ ＝ａ０ ， 故 由 ｎ→∞
例 ５ 求 ｌｉｍ （ １＋ｓｉｎａｘ）
两边夹定理知 ： ｌｉｍ
ｎ→∞
#ａ ＋ａ ＋…＋ａ
１ ２
ｎ
ｎ
ｎ
ｎ ｍ
＝ａ０
解 ： 先求 ｌｉｍ １ １ｎ（１＋ｓｉｎｘ）的极限
ｎ→∞
ｆ（ｘ０ ＋ｈ）－ ｆ（ｘ０ ） １ ｆ′ （ｘ０ － ｈ）－ ｆ′ （ｘ０ ） １ ＋ ｌｉｍ （ｘ０ ）＋ １ ｆ″ （ｘ０ ）＝ｆ″ （ｘ０ ） ＝ ｆ″ ２ ｎ→∞ － ２ ｈ ２ ２ ｈ
七、 利用数列单调有界求极限 例 ８ 设 ０＜ｘ１＜１ ， ｘｎ＋１＝１－
ｓｉｎｘ０＝ｘ０， 从而解出 ｘ０＝０
ｎ→∞
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
（ 上接第 １８４ 页 ） 函数项级数的一致收敛是数学分析 中 学 习 的 难 点 ， 此 概 念与函数列的一致收敛密切相关 ， 在教学 中 要 牢 牢 把 握 两 者 之间的 联系 ， 通过发展学生已有函数列的一致收 敛 图 式 ， 掌 握 函数项级数一致收敛的概念及性质。 （ 六 ） 整合作用 在学习新知识时， 人们会把新信息通过“ 同化” 与“ 顺 应 ” 参考文献 ： 整合” 的作用 ， 与原有图式相“ ， 然后在整合的 基 础 上 形 成 新 的 图式 ， 形成新的认知结构。经过整合后代知识结构更具有简约 性 ， 因此图式可以帮助人们简化现实。 学习微分概念时 ， 要在学生的头脑中明 确 导 数 的 概 念 ， 特 别是理解的含义 ， 从而建立起与微分概念之间 的 联 系 ， 即 两 者 的等价关系。如在我们学习级数概念时 ， 先前并没有无穷多个 数求和的问题， 这就需要我们运用分析、 比较、 类比等思维方 法 ， 得出无穷级数收敛或发散的概念图式。 总之 ， 数学学习的过程 ， 就是构建图式 ， 运 用 图 式 、 发展图 式的过程 ， 在学习数学的时候 ， 能充分发挥 数 学 图 式 的 特 点 和 功能 ， 对于 发展和完善学生的数学认知结构 ， 迅 速 掌 握 数 学 的 知识体系 ， 具有重要的指导作用。
０ ０ ０
２
ｌｉｍ ｘｎ； （ ２ ） ｌｉｍ " ｎ ｓｉｎｘｎ
ｎ→∞ ｎ→∞
０ ” 解 ： 上式为“ 型 ， 可先利用洛必达法则得 ： ０ ｌｉｍ ｆ（ｘ０ ＋ｈ）＋ｆ（ｘ０ － ｈ）－ ２ｆ（ｘ０ ） ｈ
２wk.baidu.com
解 ： 由 ｓｉｎｘ＜ｘ，ｘ∈（０， π ）及 ｘｎ＋１＝ｓｉｎｘｎ∈（０，１），ｎ＝１，２，３ … 知 ｘｎ＋
２
ｎ→∞
求法不止一种 ， 而且在实际练习中有很 多 题 都 是 几 种 方 法 的 综合运用 ， 有待大家在日常学习中不断完善和总结。 参考文献 ：
ｌｉｍ ｆ（ ｘ０ ） ｎ ｎ→∞ ２
解： 因为%ｘ０∈Ｒ 且 ｘ０≠０ 都有： ｆ（ｘｏ）＝ｆ（ｘ０ ）＝ｆ（ｘ０ ）＝…＝ｆ（ｘ０ ） ｎ∈Ｎ ２ ｎ
第 １０ 卷・第 ４ 期 ２００７ 年 ８ 月
宿 州 教 育 学 院 学 报
Ｊ ｏｕｒ ｎａ ｌ ｏｆ Ｓｕｚ ｈｏｕ Ｅｄｕｃ ａ ｔ ｉ ｏｎ Ｉ ｎｓ ｔ ｉ ｔ ｕｔ ｅ
Ｖｏｌ．１０ ， Ｎｏ．４ Ａｕｇ．２００７
极限的多种求法
郝祥晖
（ 济源职业技术学院
［摘
李坤花
河南 济源 ・
４５４６５０）
要 ］极限贯穿整个数学分析的学习 ， 无论是从微分还是积分的定义、 性质都有着密不可分的联系。 因此 ， 熟练掌握极限
的求法是学好数学分析乃至大学数学的基础和关键。 在本文中我就简单总结一下在学习中遇到的极限的几种求法 ， 希望对大家 的学习研究有所帮助。
［关键词 ］极限
导数
定积分
［中图分类号 ］Ｏ１３
０＜ｘｎ＋１＜１－ "１－ ｘｎ ＜１∴对 %ｎ ∈Ｎ 都 有 ： ０＜ｘｎ＜１ ， 从 而 ｛ｘｎ｝ 有 界 ，
又 因 为 ｘｎ＋１－ ｘｎ＝１－
（因为 ｎ→＋∞ 时 ， 有 ｔ＝ｓｉｎｘｎ→０， 令 ｔ＝ｓｉｎｘｎ） ｌｉｍ
ｔ→０ ３ １ ｔ４ ＝（ 再 由 ｓｉｎｔ＝ｔ－ ｔ ＋ｏ （ｔ４） 知 ） ＝ｌｉｍ ６ １ － １ ｔ→０ （ｔ－ ｓｉｎｔ）（ｔ＋ｓｉｎｔ） ｓｉｎ２ｔ ｔ２
［１］ 马志敏 ． 高等数学 ［Ｍ］． 中山大学出版社 ， ２００３． ［２］ 刘 玉 琏 ． 数 学 分 析 讲 义 ［Ｍ］． 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ， １９９２．
２
２
２
所以 ｛ｆ（ ｘ０ ）｝ 是常数列且由 ｌｉｍ ｆ（ ｘ０ ）＝０ 及 ｌｉｍ ｆ（ｘ）＝０ ｎ ｎ
２
ｎ→∞
２
ｎ→∞
１ ＝３ 故由施托兹定理知 ： ｌｉｍ ｎｓｉｎ２ｘｎ＝ｌｉｍ ｎ ＝３ ｎ→∞ ｎ→∞ ３ｔ４＋ｏ（ｔ４） １ ４ ２ ｔ ｓｉｎ ｘｎ
ｎ→∞
所以 ｌｉｍ " ｎ ｓｉｎｘｎ ＝ " ３ 以上就是我总结的九种极限的求 法 ， 当 然 其 中 有 些 题 的
八、 利用数列递推关系求极限 例 ９ 设 函 数 ｆ（ｘ）， %ｘ∈Ｒ 均 有 ｆ（ｘ）＝ｆ（ ｘ ）， 且 ｌｉｍ ｆ（ｘ）＝０ ， 求